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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES – CAPÍTULO 5 Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos, Winston Jr. Zumaeta M., Artur L. Sartorti Março de 2016 FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA (Estádio III): EQUAÇÕES 5.1 HIPÓTESES No dimensionamento à flexão simples, os efeitos do esforço cortante podem ser considerados separadamente. Portanto, neste capítulo, será considerado somente o momento fletor, ou seja, flexão pura. Admite-se a perfeita aderência entre as armaduras e o concreto que as envolve, ou seja, a deformação específica de cada barra da armadura é igual à do concreto adjacente. No cálculo no estado limite último - ELU, a resistência do concreto à tração é desprezada, ou seja, na região do concreto sujeita à deformação de alongamento, a tensão no concreto é considerada nula. Nas peças de concreto submetidas a solicitações normais, admite-se a validade da hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o ELU, desde que a relação abaixo seja mantida: distância entre as seções de momento fletor nulo altura útil da seção Com a manutenção da forma plana da seção, as deformações específicas longitudinais em cada ponto da seção transversal são proporcionais à distância até a linha neutra. USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 5.2 5.2 DIAGRAMA DE TENSÕES NO CONCRETO A ABNT NBR 6118:2014 permite, para efeito de cálculo, que se trabalhe com um diagrama retangular equivalente (Figura 5.1), ou seja, para os dois diagramas, devem ser próximos os respectivos valores da resultante de compressão e da distância de seu ponto de aplicação até a linha neutra. Figura 5.1 – Deformações e tensões no concreto no estádio III. Sendo: um coeficiente de valor: - Para concretos de classes C20 a C50: 8,0 - Para concretos de classes C55 a C90: 400/)50(8,0 ckf ckf em MPa cd a tensão resistente do concreto com o valor de cálculo já levando em conta o efeito Rüsch e é escrita com os seguintes valores: cdccd f. , no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir à partir desta para a borda comprimida (Figura 5.2); c2 x σcd USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 5.3 LN Figura 5.2 – Seções nas quais a largura aumente para a borda mais comprimida. cdccd f..9,0 , no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, diminuir à partir desta para a borda comprimida (Figura 5.3); LN Figura 5.3 – Seções nas quais a largura diminui para a borda mais comprimida. c um coeficiente que leve em conta os fatores: 1) a diminuição da resistência devido ao efeito de longa duração (efeito Rüsch) - diminuição da ordem de 25%; 2) o estado triaxial de tensões provocado pelo atrito das superfícies da prensa no corpo de prova – 0,95; o aumento da resistência do concreto ao longo do tempo – 1,20. A multiplicação destes três valores resulta em 0,75x0,95x1,20=0,855. A NBR 6118:2014 apresenta os seguintes valores para c : - Para concretos de classes C20 a C50: 85,0c - Para concretos de classes C55 a C90: ]200/)50(0,1.[85,0 ckc f ckf em MPa USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 5.4 5.3 DOMÍNIOS POSSÍVEIS Na flexão, como a tração é resistida pela armadura, a posição da linha neutra deve estar entre zero e d (domínios 2, 3 e 4), já que para x < 0 (domínio 1) a seção está toda tracionada, e para x > d (domínio 4a e 5) a seção útil está toda comprimida. Os domínios citados estão indicados na Figura 5.3. Figura 5.1 – Domínios de deformação 5.3.1 Domínio 2 No domínio 2, a ruína ocorre por deformação plástica excessiva do aço, com a deformação máxima de 10‰; portanto, sd = fyd. A deformação no concreto varia de 0 até εcu (Figura 5.4). Logo, o concreto não trabalha com sua capacidade máxima e, portanto, é mal aproveitado. A posição relativa da linha neutra varia de zero a x23 (0< x < x23), sendo: USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 5.5 Figura 5.2 – Deformações no Domínio 2 5.3.2 Domínio 3 No domínio 3, a ruína ocorre por ruptura do concreto com deformação máxima cu. Na armadura tracionada, a deformação varia de yd até 10‰, ou seja, o aço está em escoamento, com tensão s = fyd (Figura 5.5). É a situação ideal de projeto, pois os dois materiais são bem aproveitados. A ruína é dúctil, pois ela ocorre com aviso, havendo fissuração aparente e flechas significativas. A posição relativa da linha neutra varia de x23 até x34 (x23 < x < x34). cu s cu s < d x yd < 10‰ = 3,5‰ Figura 5.3 – Deformações no Domínio 3 USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 5.6 5.3.3 Domínio 4 Assim como no domínio anterior, no domínio 4 o concreto encontra-se na ruptura, com cu. Porém, o aço apresenta deformação abaixo de yd e, portanto, ele está mal aproveitado. As deformações são indicadas na Figura 5.6. A posição da linha neutra varia de x34 até d (x34 < x <1). s s yd0 < d x cu cu = 3,5‰ < Figura 5.4 – Deformações no Domínio 4 O dimensionamento nesse domínio é uma solução antieconômica, além de perigosa, pois a ruína se dá por ruptura do concreto e sem escoamento do aço. Portanto, é uma ruptura brusca, ou seja, ocorre sem aviso. Entende-se por aviso de uma estrutura os grandes e visíveis estados de deformação e fissuração. O dimensionamento no domínio 4, deve ser evitado; para isso pode-se usar uma das alternativas: Aumentar a altura h, porque normalmente b é fixo, dependendo da espessura da parede em que a viga é embutida; Fixar x como xlim34, ou seja, x = x34, e adotar armadura dupla. A ABNT NBR 6118:2014 estabelece no item 14.6.4.3 que para proporcionar o adequado comportamento dúctil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer os seguintes limites: - Para concretos com fck ≤ 50 MPa: 45,0lim d x - Para concretos com 50 MPa < fck ≤ 90 MPa: USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 5.7 35,0lim d x Este limite normativo caracteriza um limite convencional entre os domínios 3 e 4. Destaca-se que é um limite convencionado e não o real, entretanto deve ser respeitado, pois indica a capacidade de rotação da rótula plástica sem verificações adicionais. 5.4 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO Para o dimensionamento de peças na flexão simples com armadura dupla (Figura 5.7), considera-se que as barras que constituem a armadura estão agrupadas, concentradas no centro de gravidade dessas barras. Figura 5.5 - Resistências e deformações na seção A partir da vista lateral representada na Figura 5.7, as equações de equilíbrio de forças e de momentos são respectivamente: d h d' d" A A's s bw c =3,5‰ Md 3 2 1 Corte da seção transversal Rs ' Vista lateral s s ' deformação Diagrama de tensão Diagrama de x y=0,8x cd Rc Rs y/2 y/2 d εcu y = x USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 5.8 As resultantes no concreto Figura 5.8 e nas armaduras ( e ) são dadas por: Figura 5.8 – Resultante no concreto Tem-se quatro situações possíveis de dimensionamento. i) Concretos C20 a C50 com seções iguais as da Figura 5.2 cdwcdwcdcwcdwc fxbfxbfxbybR 68,085,08,08,0 Multiplicando e dividindo cR por dd / tem-se: d x fdb d d fxbR x cdxwcdwc 68,068,0 As Equações 1 e 2 ficam escritas como: 068,0 '' sssscdxw AAfdb (1i) )'( 2 8,0 168,0 '' 2 ddA d x fdbM sscdxwd )'(4,0168,0 '' 2 ddAfdbM ssxcdxwd (2i) ii) Concretos C20 a C50 com seções iguais as da Figura 5.3 cdwcdwcdcwcdwc fxbfxbfxbybR 612,085,09,08,08,0 Multiplicando e dividindo cR por dd / tem-se: y=0,8x cd bw Rc x USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 5.9 d x fdb d d fxbR x cdxwcdwc 612,0612,0 As Equações 1 e 2 ficam escritas como: 0612,0 '' sssscdxw AAfdb (1ii) )'( 2 8,0 1612,0 '' 2 ddA d x fdbM sscdxwd )'(4,01612,0 '' 2 ddAfdbM ssxcdxwd (2ii) iii) Concretos C55 a C90 com seções iguais as da Figura 5.2 cd ckck wcdwc f f x f bybR 200 )50( 185,0 400 )50( 8,0 Com ckf em MPa. Multiplicando e dividindo cR por dd / tem-se: 200 )50( 185,0 400 )50( 8,0 ckckcdxwcdwc ff fdbybR d x x As Equações 1 e 2 ficam escritas como: 0 200 )50( 185,0 400 )50( 8,0 '' ssss ckck cdxw AA ff fdb (1iii) )'( 2 400 )50( 8,0 1 200 )50( 185,0 400 )50( 8,0 '' 2 ddA d x f ff fdbM ss ck ckck cdxwd )'( 800 )50( 4,01 200 )50( 185,0 400 )50( 8,0 '' 2 ddA fff fdbM ss x ckckck cdxwd (2iii) iv) Concretos C55 a C90 com seções iguais as da Figura 5.3 USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 5.10 cd ckck wcdwc f f x f bybR 200 )50( 185,09,0 400 )50( 8,0 Com ckf em MPa. Multiplicando e dividindo cR por dd / tem-se: 200 )50( 1765,0 400 )50( 8,0 ckckcdxwcdwc ff fdbybR d x x As Equações 1 e 2 ficam escritas como: 0 200 )50( 1765,0 400 )50( 8,0 '' ssss ckck cdxw AA ff fdb (1iv) )'( 2 400 )50( 8,0 1 200 )50( 1765,0 400 )50( 8,0 '' 2 ddA d x f ff fdbM ss ck ckck cdxwd )'( 800 )50( 4,01 200 )50( 1765,0 400 )50( 8,0 '' 2 ddA fff fdbM ss x ckckck cdxwd (2iv) Para todas as situações de dimensionamento, da Figura 5.7 podem ser escritas as seguintes equações de compatibilidade de deformações: ' ' dxxdx ssc Sendo d x x e dividindo-se tudo por d d tem-se: )/'(1 ' ddx s x s x c De onde pode ser observado que: USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 5.11 sc c x (6) x x cs )1( (7) x x cs dd )/'(' (8) 5.5 EXEMPLOS A seguir apresentam-se alguns exemplos de cálculo de flexão simples em seção retangular. Todos os exemplos aqui resolvidos são na situação i. 5.5.1 Exemplo 1 Cálculo da altura útil (d) e da área de aço (As). a) Dados Concreto C25, aço CA-50, b = 30 cm, d”=4 cm, Mk = 206 kN.m, x= x23 b) Equações de equilíbrio com As’ = 0 c) Cálculo de d (equação 2i) d) Cálculo de As (equação 1i) USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 5.12 5.5.2 Exemplo 2 Idem exemplo anterior com x = x34. a) Cálculo de βx34 ‰ b) Cálculo de d (equação 2i) c) Cálculo de As (equação 1i) 5.5.3 Exemplo 3 Verificar o domínio em que se encontra a seção. Se houver solução com armadura simples, calcular a área de aço (As). a) Dados Concreto C25, Aço CA-50, b = 30 cm, h = 45 cm, d = 41cm, Mk = 247 kN.m. b) Cálculo de x Na equação (2i), supondo armadura simples: USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 5.13 c s x d =3,5 Resulta: No domínio 4 é possível armadura simples, mas , pois o aço ainda não chegou no patamar de escoamento, diferentemente dos domínios 2 e 3 em que . Pode-se observar isso na Figura 5.9. Figura 5.9 – Domínios de deformação c) Cálculo de s Para o cálculo de , considera-se semelhança de triângulos: d) Cálculo de As (equação 1i) S S 1% f yd yd TR AÇ ÃO 4 3 2DOMÍNIOS ES USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 5.14 e) Conclusão Mesmo a seção estando no domínio 4, há solução com armadura simples, porém resulta uma armadura muito grande. Há solução melhor com armadura dupla. 5.5.4 Exemplo 4 Idem exemplo anterior, com Mk = 308 kN.m a) Cálculo de x (equação 2i) supondo amadura simples b) Conclusão Não há solução para armadura simples. Neste caso só é possível armadura dupla (exemplo 5). 5.5.5 Exemplo 5 Solução do exemplo anterior com armadura dupla. a) Dados Mk = 302 kN.m, x = x34 = 0,628, d’ = 4 cm USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 5.15 6 N1 25 (Duas barras na 2 camada)a 3 N2 20 Estribo (armadura para cisalhamento) b) Cálculo de A’s (Equação 2i) c) Cálculo de As (equação 1i) d) Armaduras possíveis As : 6 Ø 25 (Ase = 30 cm²) 2 camadas 8 Ø 22,2 (Ase = 31,04 cm²) 2 camadas A’s : 2 Ø 25 (Ase = 10 cm²) 3 Ø 20 (Ase = 9,45 cm²) f) Solução adotada (Figura 5.10) Seção (30 cm x 45 cm) USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 5.16 Figura 5.10 – Detalhamento da seção
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