DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA DE EQUILÍBRIO EM PLACAS

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DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA DE EQUILÍBRIO EM PLACAS
ALUNOS: PAULO OTÁVIO, FELIPE, ARTHUR
PROFESSOR (A): ÉRICA DANTAS
CURSO: ENGENHARIA DE PETRÓLEO
RESUMO
A álgebra linear é uma disciplina muito ampla, que está presente em vários segmentos da ciência, como matemática, informática, engenharia, administração, etc. Neste artigo, iremos apresentar uma aplicação da álgebra no estudo da distribuição de temperatura em uma placa trapezoidal, mas que pode ser aplicada a qualquer formato de placa, e focaremos esta aplicação na área da engenharia de petróleo.
PALAVRAS-CHAVE: álgebra linear, engenharia, temperatura.
ABSTRACT
Linear algebra is a very broad discipline, which is present in various segments of science, such as mathematics, computer science, engineering, administration, etc. In this paper, we present an algebra application to the temperature distribution study of a trapezoidal plate, but can be applied to any format plate, and this application will focus on petroleum engineering area.
KEYWORDS: linear algebra, engineering, temperature.
 
INTRODUÇÃO
Na engenharia, há a necessidade de conhecer vários aspectos da natureza e dos materiais para se realizar um trabalho, exigindo-se assim o conhecimento de determinadas áreas. A álgebra linear é uma delas, que permite relacionar números com fenômenos lineares e aplicá-los no cotidiano.
Para se projetar uma coluna de produção (riser), deve-se levar em conta a influência da temperatura na estrutura física do metal constituinte. Cada tipo de metal possui sua faixa de trabalho a determinadas condições, do mesmo modo que numa atividade em alto-mar, que usaremos como parâmetro aqui, a coluna de produção sofre as variações térmicas do oceano, do solo submarino e parcialmente da atmosfera.
Figura 1: Variação da temperatura do mar no Campo de Marlim Sul
Tudo isso afeta a rigidez e o momento fletor da coluna, que avalia a deformação do material ao longo do tempo, e acaba influenciando diretamente no projeto. Um estudo desse tipo mal feito acabará comprometendo a vida útil dos dutos, e possivelmente haverá que se fazer uma intervenção na produção petrolífera. 
Dessa forma, tomaremos como objeto de estudo uma seção de corte de uma placa, que poderia ser um duto, uma peça de aço, e estimaremos algumas linhas de temperatura que agirão sobre ela, e tentaremos calcular a temperatura de equilíbrio em um determinado ponto central da placa.
Figura 2: placa trapezoidal com suas isotérmicas representando a temperatura média de equilíbrio ao longo dela.
BIBLIOGRAFIA
Uma consideração importante no estudo da transferência de calor é a de se determinar a distribuição de temperatura assintótica de uma placa fina quando a temperatura em seu bordo é conhecida. (LAMIN, 2000)
Por vezes interessa determinar a temperatura de uma estrutura, de modo, entre muitos outros objetivos, a tirar conclusões prévias acerca da sua resistência às pressões termais. (MIRANDA, 2016)
Conhecendo-se a distribuição de temperatura de acordo com a profundidade, pode-se então calcular sua influência na rigidez final de uma linha flexível. Para isso, é preciso conhecer as propriedades mecânicas dos materiais que constituem as camadas do duto. (SILVA, 2006)
Lay (1999) afirma que “Na atualidade, os cientistas e engenheiros trabalham em problemas muito mais complexos do que se sonhava ser possível há alguns décadas. Hoje, a Álgebra Linear tem mais valor em potencial para os alunos, em muitas áreas cientificas e de negócios, do que qualquer assunto em matemática em nível de graduação” (p.1), já (STRANG, 1986) ressalta que deve ser feita “uma menção especial ao papel da Álgebra Linear (na matemática Aplicada). Se há um assunto que se tornou indispensável, é este.” (p. viii).
DESENVOLVIMENTO
Uma tarefa básica da ciência e das engenharias, que pode ser reduzida a resolver um sistema de equações lineares através de técnicas matriciais interativas, é determinar a distribuição de temperatura de objetos tais como a do aço saindo da fornalha.
Suponha que cada lado (aresta) de uma placa de metal (triangular) foi submetido a uma temperatura constante, como na figura ao lado.
Figura 3: placa triangular sob a ação de 3 temperaturas diferentes.
Com o passar do tempo, a temperatura de cada ponto do interior da placa alcançará um “equilíbrio”, e a seguinte propriedade poderá ser comprovada.
Propriedade da Temperatura (Valor) Média: Esta propriedade é uma consequência de certas leis básicas do movimento molecular que nós não deduziremos aqui. A aplicação dessa propriedade em um exemplo real requer técnicas de cálculo diferencial e integral. Como alternativa, podemos aproximar a situação colocando sobre a placa uma grade (quadrangular), que chamaremos de malha, com um número finito de pontos de intersecção, como mostra a figura a seguir.
 
Figura 4: placa com 4 pontos de malha centrais.
Os pontos de intersecção das linhas da malha são chamados de pontos de malha, que são classificados em pontos de malha de contorno (que estão no contorno da placa) e pontos de malha interiores (que estão no interior da placa). 
A finalidade é montar um sistema de equações lineares que se baseou em uma aplicação em algum um âmbito (físico). No caso temos um sistema de 4 equações de quatro incógnitas.
A temperatura em cada ponto de malha é aproximadamente a média dos pontos vizinhos. A temperatura no ponto a da figura pode ser aproximada por:
Podemos multiplicar os dois lados da equação por 4, e então colocar as variáveis no lado esquerdo e as constantes no lado direito:
Repetindo o processo para os demais pontos, cria-se um sistema de equações.
4a – b – c = 30 
a – 4b + d = -60
a – 4c + d = -40
b + c - 4d = -70
Resolvendo esse sistema linear, obtemos os seguintes valores dos coeficientes:
a = 18,46 ºC
b = 26,73 ºC
c = 17,11 ºC
d = 28,46 ºC
Utilizando uma malha mais fina (com mais pontos) poderemos obter informações tão precisas quanto necessárias sobre as temperaturas nos vários pontos do plano da peça. Quando o espaçamento da malha tende a zero, as aproximações tendem à distribuição exata de temperatura.
Essa técnica também se aplica em situações tridimensionais. Na realidade, nossa placa poderia ser um corte transversal de algum objeto sólido se o fluxo de calor, perpendicular ao corte, é desprezível. 
CONCLUSÃO
A Álgebra Linear abrange várias áreas da ciência, e possibilita a solução de muitos problemas envolvendo variáveis desconhecidas, como podemos observar neste artigo. 
A partir dos dados de temperatura da placa, criou-se um sistema linear de quatro incógnitas, encontrando quatro valores aproximados para as temperaturas. À medida que aumentamos a quantidade de pontos estudados, os valores vão se aproximando do real, porém não cabe aqui demonstrar todos os cálculos, e sim explicar o conceito da aplicação de sistemas lineares na distribuição de temperatura.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANTON, HOWARD; RORRES, CHRIS. Álgebra Linear com Aplicações. 10º ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. 
SILVA, ALEX PEREIRA DA. ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA TEMPERATURA NA RIGIDEZ À FLEXÃO DE LINHAS FLEXÍVEIS. Trabalho de conclusão de curso (UFRJ). Rio de Janeiro, dezembro de 2006.
BORBA, ELIZANDRO MAX. Uma Proposta para o Ensino de Matrizes com o Apoio de Tecnologia. Trabalho de conclusão de curso (UFRS). Porto Alegre, 2011.
TOMIO, JULIO CÉSAR. Material Básico de Estudo - Sistemas de Equações Lineares. IFSC. Santa Catarina, 2011.
LAMIN, MARIA REGINA NUNES. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MODELADOS COM SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. Trabalho de conclusão de curso (UFSC). Florianópolis, 2000.
MIRANDA, FRANCISCO J.S. O Porquê da Álgebra Linear nos Cursos de Física. Escola Superior de Tecnologia e Gestão. Instituto Politécnico de Viana do Castelo.