Terceira lista

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Universidade Federal de Sergipe
Disciplina: Estruturas Alge´bricas I
Professor: Samuel Brito Silva
1a Lista de Exerc´ıcios
1. Se a, b, x, y ∈ Z sa˜o tais que ax + by = 1 enta˜o (a, b) = 1
2. Sejam a, b ∈ N, com (a, b) = 1. Mostre que, se ab e´ um quadrado, enta˜o
a e b sa˜o quadrados.
3. Seja p > 1 um nu´mero natural com a seguinte propriedade: ”Se p divide
o produto de dois nu´meros quaisquer, enta˜o p divide um dos fatores”.
Mostre que p e´ necessariamente primo.
4. Denotando por d(n) o nu´mero de divisores positivos do nu´mero natural
n, mostre que, se n e m sa˜o dois nu´meros naturais na˜o nulos tais que
(n,m) = 1, enta˜o d(nm) = d(n)d(m)
5. Prove usando o Teorema Fundamental da Aritme´tica que:
(a)
√
2 e´ irracional;
(b)
√
30 e´ irracional;
6. Se p e q sa˜o primos e x2−px+q = 0 possui duas ra´ızes positivas inteiras
e distintas, encontre p e q.
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