1ª Lista de Equações Diferenciais e Séries

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UNIFACS – Universidade Salvador 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Equações Diferenciais e Séries 2012 
 
1a Lista de Exercícios 
 
1) Através da seqüência das somas parciais analise a convergência das seguintes séries: 
a) 

1 )21)(n(n
1
 ( Escreva 
2n
1
1n
1
a n




) 
b) 

1
n
 ( sn = 1 + 2 + 3 + ...+ n = 
2
n)n(1
 é a soma dos n primeiros termos de uma P.A); 
c) 
 





1 1n
n
ln
 ( Escreva an = ln n  ln ( n+1 ) ) 
d) 
)
3
1n
3
n
(
1
n1-n



 e) 
 






1 n
1
1n
1
 
 
2) Utilizando séries geométricas, expresse as decimais não finitas, a seguir, como uma 
fração: 
a) 0,444... b) 5, 1373737.... c) 0,159159159... 
 
3) Uma bola é derrubada de uma altura de 9m. Cada vez que ela toca o chão sobe novamente, 
verticalmente, a uma altura que é 2/3 da distância da qual ela caiu. Determine a distância total 
percorrida pela bola até parar. 
 
4) 
A figura ao lado mostra uma “escada infinita”. 
Ache o volume total da escada sabendo que o 
maior cubo tem lado 1 e cada cubo tem 
sucessivamente um lado cujo tamanho é a metade 
do lado do cubo precedente. 
 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura ao lado mostra os 5 primeiros quadrados de 
uma seqüência infinita formada da seguinte maneira: 
O quadrado externo tem lado igual a 2. Cada um dos 
outros quadrados é obtido ligando-se os pontos 
médios dos lados do quadrado anterior. Calcule: 
 
a) a soma dos perímetros de todos os quadrados da 
seqüência. 
 
b) a soma das áreas de todos os quadrados da 
seqüência. 
 
 
 
 
 2 
6) Encontre o valor de b para o qual 
9...eee1 b3b2b 
 
 
7) Encontre os valores de x para os quais a série 


0
n
n
2
)1x(
 converge e a soma da série para esses 
valores. 
 
 
8) Através da série geométrica calcule as seguintes somas: 
a) 


1
n
n
3
1)(
; b) 

2
n3
4
; c) 

















1
n
1n
n
3
1
4
9
5 ; d) 


2
n
2n2n
36
32
 
e) 
)
5
1
2
)1(
(
0
n
n
n







 f) 
...
625
1
125
1
25
1
5
1
3
1
2
1
1 
 
 
 
9) Verifique que as séries a seguir são convergentes pelo Critério de Leibniz. Calcule a soma sn e o 
erro cometido quando a soma S da série é aproximada por sn. 
a) 

 
1
3
1n
n
1)( ; s4: b) 

 
1
1n
(2n)!
1)( ; s3 
 
10) Calcule quantos termos precisamos adicionar para encontrar a soma parcial com a precisão 
indicada 
a) 

 
1
2
1n
n
)1( ( erro < 0,01); b) 

 
1
4
1n
n
)1( ( erro < 0,001 ) 
 
11) Mostre que a série alternada 


1
n
1n
!n.10
)1(
 converge por Leibniz e calcule a soma da série com 
precisão de 3 casas decimais. 
 
 
12) Utilizando os critérios e propriedades vistos analise o comportamento das seguintes séries 
quanto à convergência 
a) 
 





n
5
3
 
b) 

n22
 
c) 

1n
n
2
2 d) 



1n
n)1( n 
e) 

3n
1
 f) 

3 2n
1
 g) 

3 4n
1
 h) 

!n
1
 
i) 

)!n2(
1
 
j) 
 




 
1
n
n
13n k) 


n
n
)n(ln
)1( l) 
!n
n
)1(
n
n
 
 
m) 
 







4n
1n
n
 
n)
    n3 3n
 
o) 
 








n2
n
1
3
2
n
 p) 


n
5n
5
n)1(
 
 
 
 3 
13) Mostre, usando o critério da razão, que as seguintes séries são convergentes para todo x real. 
a) 

0
n
n!
x
 
; b) 


0
2nn
(2n)!
x1)(
; c) 


 
0
12nn
1)!(2n
x1)(
 
 
Observação: As séries acima são respectivamente as séries de f(x) = ex, f(x) = cosx e f(x) = senx 
 
 
14) Encontre o raio e o domínio de convergência ( a menos dos extremos) das seguintes séries 
 



1n
x
 a)
1n b)
n
n
)1x(
n
1
3 






 


n
n
2
)3x(
 c)
 d)

)!n2(
x n
 e)


n
n
3n
)2x(
 
 
 
15) A partir da série geométrica 
x
1
1 x
; se xn
0
 

1
; dê a representação em série das 
seguintes funções, indicando a região de convergência. 
a) 
x1
x
f(x)


 b) 
2x1
1
f(x) 


 c) 
2x4
1
f(x) 


 d) 
3
2
x8
x
f(x) 


 
 
16) A partir da série 
1x ,
x1
1
x
0
n 


, e usando derivação ou integração, mostre que 
a) 
[ 1,1] x;nx1)(
x)(1
1
f(x)
1
1n1n
2


 

 
b) 
] 1 1,] x;
1n
x1)(
x)ln(1f(x)
0
1nn




 
c) 
] 1 1,[ x;
12n
x1)(
arctgxf(x)
0
12nn




 
 
17) A partir das séries 
R x ;e
n!
x x
0
n

, cosx = 


0
2nn
(2n)!
x1)(  R e 
senx = 


 
0
12nn
1)!(2n
x1)(  R; dê a representação em série das seguintes funções, indicando a 
região de convergência. 
a) 2xef(x)  b) /22xxef(x)  
c) f(x) = xsen2x d) f(x) = x
2 
cosx 
 
 
18) Encontre os quatro primeiros termos da série de MacLauren 
n
0
)n(
x
!n
)0(f
)x(f 
 para as 
seguintes funções: 
a) 
x1)x(f 
; b) 
3)1x(
1
)x(f


 
 4 
19) Usando a série de MacLauren encontre 
 
a) Um polinômio de grau 2 para aproximar a função 
2x1
1
)x(f


 
b) Um polinômio de grau 3 para aproximar a função 
5 x1)x(f 
 
 
 
 
20) A partir da série da função f(x) = e
x
; encontre uma série de potências de x para a função 
2xef(x) 
. Use a série encontrada para encontrar a expansão em série da integral 


1
0
2x dxe
 e 
calcule o valor da soma parcial s5. (Observe que a série encontrada converge por Leibniz e que 
portanto a soma s5 tem erro menor que a6 ). Calcule o erro. 
 
 
21) “Se  é o erro de uma aproximação, então esta terá precisão de k casas decimais se 
k10x5,0ε 
.” .Usando este resultado, calcule: 
 
a) 


1
0
2x2 dxex
, com precisão de três casas decimais. 
b) 

1
0
2
2
dx
x
xsen
, com precisão de cinco casas decimais. 
 
c) 

2,0
0
2 dx)xcos(
 , com precisão de quatro casas decimais. 
 
 
22) Use a série do exercício 16 b) para encontrar ln(1,1) com precisão de três casas decimais 
 
23) Use séries de potências para provar a fórmula de Euler 
xsenixcoseix 
 
 
 
Respostas: 
1) a) Converge a 
2
1
 ; b) Diverge; c) Diverge; d) Converge a 1; e) Converge a 1 
2) a) 
9
4
; b) 
495
2543
; c) 
999
159
 3) 45m; 4) 
7
8
; 5) a) 
22
16

m ; b) 8 m
2
 6) b = ln(8/9) 
 
7) A série converge para 
[3,1]x 
 e sua soma é 
x3
2
S


 
8 a) 
4
1

; b) 
3
2
; c) 
4
37
; d) 
72
7
; e) 
12
23
; f) 
12
25
 
 5 
9) a) 
896,0
1728
1549
s4 
. O erro absoluto cometido é menor que a5 = 0,008b) 
459,0
720
331
s3 
. O erro absoluto cometido é menor que a4 = 0,0000248 
 
10) a) 9; b) 5 ; 11) 
6.10
1
2.10
1
10
1
S
32

 
 
12) São divergentes: c); d); f); j); l); m) e o) As demais convergem. 
 
14) a) Dc = ]1, 1[; r = 1; b) Dc = ]4/3, 2/3[ ; r = 1/3; c) Dc = ] 1, 5 [; r = 2 ; d) Dc = R , r =  
 
e) Dc= ]1, 5[, r = 3 
 
15) a) 
1,1[] x;x1)(
0
1nn 

; b) 
1,1[] x;x1)(
0
2nn 
; c) 
 
0
22n
2n
2,2[] x;
2
x
 
d) 
 



0
33n
23nn
2,2[] x;
2
x)1(
 
17) a) 
Rx ;
n!
x1)(
0
2nn



; b) 
Rx ;
n!2
x1)(
0
n
12nn



 ; c) 
Rx;
1)!(2n
x21)(
0
22n12nn




 ; 
d) 
Rx;
(2n)!
x1)(
0
22nn



 
 
18) a) 
...
16
x
8
x
2
x
1x1
32

; b) 
32
3
x10x6x31
)x1(
1


 
 
19) a) 
2
x
1
x1
1 2
2


; b) 
325 x
750
36
x
50
4
5
x
1x1 
 
 
20) 




0
n1
0
2x
1)n!(2n
1)(
dxe
; 
!5.11
1
9.4!
1
7.3!
1
5.2!
1
3
1
1s5 
. O erro é menor que 
13.6!
1
a 6 
 
 
21) a) 
1560
1
264
1
54
1
14
1
5
1
3
1
s5 
; b) 
!7.13
1
!5.9
1
!3.5
1
1s3 
; c) 
5
1
s0 
 
22) 
200
1
10
1
s1 
= 0,095