Cálculo III

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CÁLCULO III
CÁLCULO III
Agosto | 2020
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Gestão EaD
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APRESENTANDO A DISCIPLINA 
Seja bem-vindo à disciplina Cálculo III
Nesta disciplina, vamos dar continuidade ao estudo do Cálculo, que é uma 
ferramenta muito importante para resolução de problemas nas Ciências Exatas. 
Vamos agora aprofundar seus conhecimentos a respeito de séries, equações 
diferenciais, cálculo vetorial e suas aplicações, sempre buscando relacionar os 
conceitos matemáticos com a resolução de problemas aplicados. Seu material 
está organizado em quatro unidades.
Na primeira unidade, vamos identificar os conceitos de sequências, séries e 
convergência. Ao final dos estudos, você será capaz de reconhecer a convergência 
de uma série, desenvolver uma série de potência para uma série geométrica e 
funções próximas a ela, bem como construir e identificar uma série de Taylor 
de uma função.
Na segunda unidade, vamos aprender a reconhecer uma equação diferencial e 
descobrir os métodos adequados para solucioná-la. Ao final dos estudos, você 
será capaz de diferenciar os tipos de equações, definir problemas de valor inicial 
e de contorno e aplicar equações diferenciais na solução de problemas.
Na terceira unidade, vamos iniciar nossos estudos sobre cálculo vetorial por meio 
de suas funções, limites e derivadas. Já na quarta e última unidade, vamos dar 
continuidade ao estudo do cálculo vetorial, resolvendo problemas relacionados. 
Você será capaz de reconhecer a importância dos Teoremas de Green, de Stokes 
e da Divergência na análise vetorial. 
Não deixe de acompanhar seu material de estudo, realizar as atividades e 
aprofundar o conhecimento por meio do seu ambiente virtual de aprendizagem.
Bons estudos! 
Sumário
UNIDADE 1
Séries .. ................................................................................................................................................. 9
Objetivo Geral ...................................................................................................................................... 9
Objetivos Específicos .......................................................................................................................... 9
Parte 1: Séries Infinitas: Sequências ....................................................................................................11
Parte 2: Soma de uma Série Infinita .....................................................................................................21
Parte 3: Convergência de Séries de Termos Positivos .........................................................................31
Parte 4: Teste da Razão e da Raiz .........................................................................................................41
Parte 5: Séries de Potências .................................................................................................................47
Parte 6: Séries de Taylor........................................................................................................................59
UNIDADE 2
Equações Diferenciais ........................................................................................................................ 71
Objetivo Geral .................................................................................................................................... 71
Objetivos Específicos ........................................................................................................................ 71
Parte 1: Equações Diferenciais de Resolução Imediata (Via Integração Sucessiva)..........................73
Parte 2: Equações Diferenciais de Primeira ordem .............................................................................85
Parte 3: Equações Diferenciais de Segunda ordem ...........................................................................103
Parte 4: Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior ............................................................121
Parte 5: Equações Diferenciais Não Lineares .....................................................................................139
UNIDADE 3
Cálculo Vetorial ................................................................................................................................. 153
Objetivo Geral .................................................................................................................................. 153
Objetivos Específicos ...................................................................................................................... 153
Parte 1: Funções Vetoriais ..................................................................................................................155
Parte 2: Campos Vetoriais ...................................................................................................................173
Parte 3: Rotacional ..............................................................................................................................185
Parte 4: Integrais de Linha ..................................................................................................................199
Parte 5: Campos Vetoriais Conservativos ...........................................................................................213
UNIDADE 4
Aplicações do Cálculo Vetorial ......................................................................................................... 225
Objetivo Geral .................................................................................................................................. 225
Objetivos Específicos ...................................................................................................................... 225
Parte 1: Integrais de Superfície de Campos Vetoriais........................................................................227
Parte 2: Teorema de Green ..................................................................................................................241
Parte 3: Teorema de Stokes ................................................................................................................251
Parte 4: Teorema da Divergência ........................................................................................................263
Prezado estudante,
A equipe de gestão da EaD LaSalle sente-se honrada em entregar a 
você este material didático. Ele foi produzido com muito cuidadopara 
que cada Unidade de estudos possa contribuir com seu aprendizado 
da maneira mais adequada possível à modalidade que você escolheu 
estudar: a modalidade a distância. Temos certeza de que o conteúdo 
apresentado será uma excelente base para o seu conhecimento e para 
a sua formação. Por isso, indicamos que, conforme as orientações de 
seus professores e tutores, você reserve tempo semanalmente para 
realizar a leitura detalhada dos textos deste livro, buscando sempre 
realizar as atividades com esmero a fim de alcançar o melhor resultado 
possível em seus estudos. Destacamos também a importância de 
questionar, de participar de todas as atividades propostas no ambiente 
virtual e de buscar, para além de todo o conteúdo aqui disponibilizado, 
o conhecimento relacionado a esta disciplina que está disponível por 
meio de outras bibliografias e por meio da navegação online.
Desejamos a você um excelente módulo e um produtivo ano letivo. 
Bons estudos!
Gestão de EaD LaSalle
APRESENTAÇÃO
unidade 
1
Séries
Prezado estudante,
Estamos começando uma unidade desta disciplina. Os textos que a compõem foram 
organizados com cuidado e atenção, para que você tenha contato com um conteúdo 
completo e atualizado tanto quanto possível. Leia com dedicação, realize as atividades e 
tire suas dúvidas com os tutores. Dessa forma, você, com certeza, alcançará os objetivos 
propostos para essa disciplina.
OBJETIVO GERAL 
Identificar os conceitos de sequência, série, convergência e demais relacionados.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
• Reconhecer a convergência de uma série.
• Desenvolver a série de potência para a série geométrica e funções próximas a ela.
• Construir e identificar as séries de Taylor de uma função.
unidade 
1
O conteúdo deste livro é 
disponibilizado por SAGAH.
Parte 1
Séries Infinitas: Sequências
CÁLCULO III 12
SÉRIES INFINITAS
A teoria das séries infi nitas é um terceiro ramo do Cálculo, além do Cálculo Diferencial e do Cálculo Integral. As sé-
ries infi nitas nos fornecem uma nova perspectiva das funções e 
de muitos números interessantes. Dois exemplos são a série de 
Gregory-Leibniz
e a série infi nita da função exponencial
A primeira revela que está relacionado com os recíprocos dos 
inteiros ímpares de uma maneira inesperada, enquanto que a 
segunda mostra que pode ser expressa como um “polinômio 
infi nito”. Séries desse tipo são muito utilizadas em aplicações, 
tanto na parte computacional quanto na análise de funções. Para 
entender as séries infi nitas, precisamos defi nir precisamente o 
que signifi ca somar uma infi nidade de parcelas. Assim como no Cálculo Diferencial e 
Integral, também aqui os limites desempenham um papel fundamental.
11.1 Seqüências
As seqüências de números aparecem em situações diversas. Se dividirmos um bolo pela me-
tade e, então a metade de novo pela metade, e continuarmos dividindo indefi nidamente pela 
metade (Figura 1), então a fração de bolo deixada em cada estágio forma a seqüência
Isso é a seqüência de valores de , para n = 0, 1, 2, ... .
Formalmente, uma seqüência é uma função f (n) cujo domínio é um subconjunto dos 
inteiros. Os valores são denominados termos da seqüência e n é o índice. Ge-
ralmente pensamos numa seqüência informalmente, como uma coleção de valores 
ou uma lista de termos:
Quando for dado por uma fórmula, costumamos dizer que é o termo geral.
1 1
2
1
8
1
4
FIGURA 1
Nosso conhecimento do que são feitas as 
estrelas é baseado no estudo dos espectros 
de absorção, que são seqüências de 
comprimentos de onda absorvidos por gases 
na atmosfera da estrela.
11
A seqüência , conhecida 
como “série de Balmer” na Física 
e Química, desempenha um papel 
na espectroscopia. Os termos dessa 
seqüência são os comprimentos 
de onda de absorção do átomo de 
hidrogênio em nanômetros.
13 Séries UNIDADE 1 Séries Infinitas: Sequências PARTE 1
536 CÁLCULO
No exemplo seguinte, consideramos uma seqüência cujos termos são defi nidos re-
cursivamente. O primeiro termo é dado, e o enésimo termo é calculado usando o termo 
precedente .
■ EXEMPLO 1 Seqüência defi nida recursivamente Calcule para a seqüência de-
fi nida recursivamente por
Solução
 
■
Nosso próximo objetivo é estudar a convergência de seqüências. Uma seqüência 
converge a um limite L se os termos se aproximam cada vez mais de L quando 
DEFINIÇÃO Limite de uma seqüência Uma seqüência converge a um limite L, e 
escrevemos
se, para cada , existir um número M tal que , para todo n > M. Se 
não existir um limite, dizemos que diverge.
■ EXEMPLO 2 Demonstrando a convergência de uma seqüência Seja . Prove, 
formalmente, que .
Solução A defi nição exige que encontremos, para cada , um número M tal que
 
Temos
Portanto, se
Segue que (1) é válido com . Por exemplo, se , então podemos tomar 
. Assim, para n = 300, 301, 302, ... ■
Podemos visualizar a seqüência traçando seu “gráfi co”, ou seja, esboçando os pontos 
 (Figura 2). A seqüência converge a um limite L se, para cada 
, os pontos esboçados acabam sempre fi cando dentro da faixa de largura para cada 
A seqüência do Exemplo 1 pode ter 
sido reconhecida como a seqüência 
de aproximações de 
produzida pelo método de Newton com 
valor inicial . Quando n tende ao 
infi nito, tende a .
1 2 3 4 5 6 7
−
+
L
y
n
FIGURA 2 Gráfi co de uma seqüência 
com limite L. Para cada , os pontos 
sempre acabam fi cando a menos de 
 de L.
CÁLCULO III 14
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 537
lado da reta horizontal y = L (Figura 2). A Figura 3 mostra o gráfi co de uma seqüência 
convergente a L = 1. Entretanto, pode ser mostrado que a seqüência , que apa-
rece na Figura 4, não tem limite.
FIGURA 3 A seqüência .
y
n
1410 122 4 6 8
1,5
1
0,5
FIGURA 4 A seqüência n 
não tem limite.
y
n
1410 122 4 6
8
1
−1
Observamos o seguinte:
O limite não muda se modifi carmos ou ignorarmos um número fi nito de termos da •
seqüência.
Se • C for uma constante e para todo n sufi cientemente grande, então 
.
Suponha que f (x) seja uma função e que f (x) tenda a um limite L quando . 
Nesse caso, a seqüência tende ao mesmo limite L (Figura 5). De fato, nesse caso, 
para todo , podemos encontrar M tal que para todo x > M. Segue, 
automaticamente, que para todos inteiros n > M.
TEOREMA 1 Seqüência defi nida por uma função Seja f (x) uma função defi nida em 
para alguma constante c. Se existir , então a seqüência , defi nida 
para , converge e
■ EXEMPLO 3 Encontre o limite da seqüência 
Solução Essa é a seqüência de termo geral
Seja . Então e, pelo Teorema 1,
 
■
■ EXEMPLO 4 Calcule , onde .
Solução O limite da seqüência é igual ao limite da função , que calcula-
mos com a regra de L’Hôpital:
 
■
O limite dos comprimentos de onda de Balmer defi nidos à margem esquerda na 
página 535 é importante em Física e Química por determinar a energia de ionização do 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
L
y
x
a1 = f (1)
a2 = f (2) y = f (x)
a3 = f (3)
FIGURA 5 Se f (x) convergir a L, 
então a seqüência também 
converge a L.
15 Séries UNIDADE 1 Séries Infinitas: Sequências PARTE 1
538 CÁLCULO
átomo de hidrogênio. A Tabela 1 sugere que tende a 364,5 quando . A Figura 6 
mostra o gráfi co de e, na Figura 7, os comprimentos de onda são mostrados “se empi-
lhando” no valor do limite.
■ EXEMPLO 5 Limite dos comprimentos de onda de Balmer Calcule o limite dos compri-
mentos de onda de Balmer , onde .
Solução Observe que , onde . Calculamos o limite dividindo 
o numerador e o denominador por :
 
■
FIGURA 6 A seqüência e a função tendem 
ao mesmo limite.
y = f (x)b3
b4
b5
3
364,5
200
400
600
800
4 5 6 7
y
x
FIGURA 7
700 600 500 400
Limit L =364,5
300
Comprimento de onda (nanômetros)
UltravioletaV
er
m
el
ho
A
m
ar
el
o
V
er
de
A
zu
l
V
io
le
ta
Uma seqüência geométrica é uma seqüência da forma , em que c e r são 
constantes não-nulas. Por exemplo, se c = 2 e r = 3, obtemos a seqüência geométrica
O número r é denominado razão comum aos termos. Cada termo é r vezes o termo 
precedente , ou seja, .
Dizemos que diverge, ou tende, a , e escrevemos , se os termos 
crescem sem cota, ou seja, se, para cada N > 0, temos para todo n sufi cientemente 
grande (Figura 8).
■ EXEMPLO 6 Limite de uma seqüência geométrica Prove que:
Solução Aplicamos o Teorema 1 à função exponencial . Se 0 < r < 1, então 
(Figura 9)
Analogamente, se r > 1, então f (x) tende a quando , de modo que também 
diverge a (Figura 8). Se r = 1, então para todo n e o limite é 1. ■
TABELA 1 Os comprimentos 
de onda da série de Balmer 
tendem ao limite L = 364,5
A seqüência geométrica é 
a seqüência defi nida pela função 
exponencial cuja base r é a 
razão comum aos termos.
FIGURA 8 Se , a seqüência 
geométrica diverge a .
1 2 3 4 5 6
25
50
y
x
f (x) = rx (r > 1)
FIGURA 9 Se , a seqüência 
geométrica tende a 0.
1 2 3 4 5 6 7
1
y
x
f (x) = rx (0 < r < 1)
CÁLCULO III 16
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 539
A maioria das leis de limites de funções também é válida para seqüências. As de-
monstrações são análogas e serão omitidas.
TEOREMA 2 Leis de limites de seqüências Suponha que { } e { } sejam seqüências 
convergentes com
Então
 (i) 
 (ii) 
 (iii) 
 (iv) para qualquer constante c.
TEOREMA 3 Teorema do confronto para seqüências Sejam seqüências 
tais que, para algum número M,
Então .
■ EXEMPLO 7 Mostre que, se , então .
Solução Temos
Como tende a zero, também tende a zero e do Teorema do Confronto decorre 
. ■
Como mais uma aplicação do Teorema do Confronto, considere a seqüência
Tanto o numerador quanto o denominador tendem a infi nito, portanto não é de todo claro 
se converge. A Figura 10 e a Tabela 2 sugerem que inicialmente cresce, mas depois 
tende a zero. No próximo exemplo provamos que, dado qualquer R, realmente ten-
de a zero. Esse fato será utilizado na discussão de séries de Taylor, na Seção 11.7.
■ EXEMPLO 8 Prove que , para todo R.
Solução Pelo resultado do Exemplo 7, podemos supor, sem perda de generalidade, que 
R > 0. Então existe um único inteiro tal que
 LEMBRETE O fatorial de , denotado 
, é o número
Por exemplo, .
5 10 15
10
20
y
n
FIGURA 10 O gráfi co da seqüência 
.
17 Séries UNIDADE 1 Séries Infinitas: Sequências PARTE 1
540 CÁLCULO
Para n > M, escrevemos como um produto de n fatores:
Os primeiros M fatores são e os últimos n − M fatores são < 1. Se agruparmos os pri-
meiros M fatores e denotarmos esse produto por C e se omitirmos todos os demais fatores 
exceto o último fator , obteremos
Como , o Teorema do Confronto garante que . ■
Podemos aplicar uma função f (x) a uma seqüência para obter uma nova seqüên-
cia . É útil saber que se f (x) for contínua e se , então . 
Enunciamos esse resultado no teorema seguinte. Ver Apêndice D para uma prova.
TEOREMA 4 Se f (x) for contínua e existir o limite , então
■ EXEMPLO 9 Calcule .
Solução Temos , onde e . Além disso,
Pelo Teorema 4, , ou seja,
 
■
Agora introduzimos dois conceitos que são importantes para o entendimento de con-
vergência: os conceitos de seqüência limitada e o de seqüência monótona.
DEFINIÇÃO Seqüências limitadas Uma seqüência é:
Limitada superiormente • se existir um número M tal que para todo n. 
O número M é denominado cota superior.
Limitada inferiormente • se existir um número m tal que para todo n. O 
número m é denominado cota inferior.
Se for limitada superior e inferiormente, dizemos que é limitada. Se não 
for limitada, dizemos que é uma seqüência ilimitada.
Cotas inferiores e superiores não são únicas. Se M for uma cota superior, então 
qualquer número maior do que M também é uma cota superior (Figura 11). Analoga-
mente, se m for uma cota inferior, então qualquer número menor do que m também é 
uma cota inferior.
TABELA 2
1 2 3 4 5 6 7
L
MCota
superior
Uma
outra cota
superior
mCota
inferior
y
n
FIGURA 11 Uma seqüência convergente 
é limitada.
CÁLCULO III 18
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 541
Parece razoável que uma seqüência convergente deva ser limitada, porque 
seus termos se aproximam cada vez mais do limite (Figura 11). Isso nos leva ao 
teorema seguinte.
TEOREMA 5 Seqüências convergentes são limitadas Se converge, então é li-
mitada.
Demonstração Seja . Então existe N > 0 tal que , para todo n > 
N. Em outras palavras,
Se M for qualquer número maior do que L + 1 e também maior do que os números 
, então para todo n. Assim, M é uma cota superior. Analogamente, 
qualquer número m menor do que L − 1 e é uma cota inferior. ■
Há duas maneiras pelas quais uma seqüência pode ser divergente. A primeira é 
se for ilimitada, porque então certamente diverge, pelo Teorema 5. Por exemplo, a 
seqüência seguinte diverge:
Por outro lado, uma seqüência pode divergir mesmo se for limitada, bastando que seus 
termos fi quem pulando de qualquer jeito sem nunca se aproximar de um limite. Por exem-
plo, a seqüência é limitada mas não converge:
Quando podemos ter certeza que uma seqüência converge? Uma situação ocorre quan-
do for tanto limitada quanto monótona crescente ou decrescente. Intuitivamente, 
a razão para isso é que se for crescente e limitada superiormente por M, então seus 
termos devem acabar por tender a um limite L que não pode ser maior do que M (Fi-
gura 12). Enunciamos isso formalmente no teorema seguinte, cuja prova é fornecida 
no Apêndice B.
TEOREMA 6 Seqüências monótonas limitadas convergem
Se • for não-decrescente e para todo n, então converge e .
Se • for não-crescente e para todo n, então converge e .
■ EXEMPLO 10 Verifi que que é decrescente e limitada inferior-
mente. Existe ?
Solução A função é decrescente porque tem derivada negativa:
Segue que também é decrescente (Tabela 3). A seqüência é limitada inferior-
mente por m = 0 porque , para todo n. O Teorema 6 garante que existe o limite 
 e (pode ser mostrado que L = 0). ■
Uma seqüência é monótona
não-decrescente se • para 
todo j;
não-crescente se • para 
todo j;
crescente se • para todo j;
decrescente se • para todo j.
FIGURA 12 Uma seqüência crescente 
com cota superior M tende a um limite L.
x
0
a1 a2 a3 a4 a5
L M
O limite
Uma cota
superior
TABELA 3 A seqüência 
 é 
decrescente
19 Séries UNIDADE 1 Séries Infinitas: Sequências PARTE 1
542 CÁLCULO
■ EXEMPLO 11 Mostre que a seqüência seguinte é limitada e crescente:
Prove que existe e calcule seu valor.
Solução Essa seqüência está defi nida recursivamente por
Não seria difícil encontrar o limite L se já soubéssemos que ele existe. Poderíamos, 
então, proceder da seguinte maneira. A seqüência (a mesma seqüência ,
mas começando em ) convergiria para o mesmo limite L e, pelo Teorema 4, estabe-
leceríamos que
Assim, e, portanto,
Segue que L = −1 ou L = 2 e, como , concluímos que L = 2 (Tabela 4). Para justi-
fi car essa conclusão, devemos provar que o limite L existe. Pelo Teorema 6, basta provar 
que é limitada superiormente e crescente.
Passo 1. Mostrar que é limitada superiormente por M = 2.
Inicialmente, observe que
 
Agora podemos provar que , para todo n. Como , (2) implica que 
. Mas, então, por (2), implica e implica , etc, 
para todo n (formalmente, isso é uma prova por indução).
Passo 2. Mostrar que é crescente.
Como é positiva e ,
Assim, para todo N e é crescente. ■
11.1 RESUMO
Uma • seqüência é uma funçãof (n) cujo domínio é um subconjunto dos inteiros. Escre-
vemos para o enésimo termo e denotamos a própria seqüência por ou, 
simplesmente, .
Dizemos que uma seqüência • converge a um limite L, e escrevemos ou 
 se, para cada , existir um número M tal que
Se não existir um limite, dizemos que diverge.
Seja • f (x) uma função em , para algum número c e seja para . Se 
, então .
TABELA 4 Os termos da 
seqüência recursiva 
CÁLCULO III 20
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 543
Uma • seqüência geométrica é uma seqüência da forma , em que c e r são não-
nulas.
As leis básicas dos limites e o Teorema do Confronto são aplicáveis a seqüências. •
Se • f (x) for contínua e , então .
Dizemos que • é limitada superiormente por M se para todo n e limitada in-
feriormente por m se para todo n. Se for limitada superior e inferiormente, 
dizemos que é limitada.
Uma seqüência • é monótona se for não-decrescente ( ) ou não-crescente 
 para todo j.
O Teorema 6 afi rma que é convergente qualquer seqüência não-decrescente que for limi- •
tada superiormente e qualquer seqüência não-crescente que for limitada inferiormente.
11.1 EXERCÍCIOS
Exercícios preliminares
 1. Quem é para a seqüência 
 2. Qual das seqüências seguintes converge a zero?
 (a) (b) (c) 
 3. Seja a enésima aproximação decimal de . Ou seja, , 
, etc. Qual é o ?
 4. Qual dessas seqüências está defi nida recursivamente?
 (a) (b) 
 5. O Teorema 5 afi rma que toda seqüência convergente é limitada. 
Quais das afi rmações seguintes decorrem do Teorema 5 e quais 
são falsas? Se for falsa dê um contra-exemplo.
 (a) Se é limitada, então é convergente.
 (b) Se não é limitada, então é divergente.
 (c) Se é divergente, então não é limitada.
Exercícios
 1. Combine a seqüência com o termo geral:
 2. Seja para n = 1, 2, 3, ... . Escreva os primeiros três 
termos das seqüências seguintes:
 (a) (b) 
 (c) (d) 
Nos Exercícios 3-10, calcule os primeiros quatro termos das seqüên-
cias seguintes, começando com n = 1.
 3. 4. 
 5. 6. 
 7. 
 8. 
 9. 
 10. = enésima aproximação decimal de .
 11. Encontre uma fórmula para o enésimo termo da seqüência se-
guinte:
 (a) (b) 
 12. Suponha que e . Determine:
 (a) (b) 
 (c) (d) 
Nos Exercícios 13-26, use o Teorema 1 para determinar o limite da 
seqüência ou decida que a seqüência diverge.
 13. 14. 
 15. 16. 
 17. 18. 
 19. 20. 
 21. 22. 
unidade 
1
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Parte 2
Soma de uma Série Infinita
CÁLCULO II 22
546 CÁLCULO
11.2 Soma de uma série infi nita
Muitas vezes não podemos calcular exatamente as quantidades que aparecem nas aplica-
ções. Não sabemos escrever a representação decimal exata de ou dos valores da função 
seno, como, por exemplo, sen 1. Às vezes, essas quantidades podem ser representadas 
como somas infi nitas. Por exemplo,
 
Somas infi nitas desse tipo são denominadas séries infi nitas ou séries, simplesmente.
O que signifi ca, exatamente, a Equação (1)? Embora seja impossível somar uma infi -
nidade de números, podemos calcular as somas parciais , defi nidas como as somas dos 
N primeiros termos da série. Comparemos as primeiras somas parciais com sen 1:
As somas parciais aparentam convergir para sen 1 e, de fato, na Seção 11.7, vamos provar 
que . É esse o signifi cado preciso da Equação (1).
Em geral, uma série infi nita é uma expressão da forma
em que é uma seqüência qualquer. Por exemplo,
Seqüência Termo geral Série infinita
A N-ésima soma parcial é a soma dos N primeiros termos da série:
A soma da série infi nita é defi nida como o limite das somas parciais , se esse li-
mite existir.
As séries infi nitas podem começar com 
qualquer índice. Por exemplo,
Quando não for necessário especifi car 
o termo inicial, simplesmente 
escrevemos . Qualquer letra 
pode ser usada para o índice. Assim, 
podemos escrever , etc.
23 Séries UNIDADE 1 Soma de uma Série Infinita PARTE 2
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 547
DEFINIÇÃO 1 Convergência de uma série infi nita Uma série infi nita converge a S se 
. O limite S é denominado soma da série e escrevemos . Se o 
limite não existir, dizemos que a série diverge.
É fácil dar exemplos de séries divergentes. Por exemplo, diverge porque as so-
mas parciais divergem a :
Analogamente, diverge porque as somas parciais fi cam pulando de 1 para 0 
e vice-versa:
As séries podem ser investigadas numericamente calculando várias somas parciais. 
Se as somas parciais mostrarem uma tendência de convergência a algum número S, então 
temos evidência (mas não uma prova) de que a série convirja a S. O exemplo seguinte 
trata de uma série telescópica convergente, em que as somas parciais são particularmente 
fáceis de calcular.
■ EXEMPLO 1 Série telescópica Investigue numericamente a série seguinte:
Em seguida, calcule a soma S usando a identidade:
Solução A Tabela 1 exibe algumas somas parciais calculadas com um sistema algébrico 
computacional. Esses dados sugerem convergência a S = 1. Para calcular esse limite pre-
cisamente, usamos a identidade fornecida para reescrever os termos da série. Verifi camos 
que, por cancelamento, cada soma parcial colapsa para apenas dois termos:
Em geral,
Embora exista uma fórmula fácil para 
as somas parciais no Exemplo 1, isso 
constitui a exceção, e não a regra. 
Além das séries telescópicas e das 
geométricas introduzidas a seguir, 
geralmente não existe uma fórmula 
para e, para estudar séries infi nitas, 
precisamos desenvolver técnicas que 
não dependam de fórmulas.
TABELA 1 Somas 
parciais de
CÁLCULO II 24
548 CÁLCULO
Agora podemos calcular a soma S como o limite das somas parciais:
 
■
É importante lembrar da diferença entre uma seqüência e uma série , que é 
a soma dos termos da seqüência.
■ EXEMPLO 2 Diferença entre uma seqüência e uma série Discuta a diferença entre e 
, no caso .
Solução A seqüência converge a zero:
A série infi nita defi nida por essa seqüência é uma soma infi nita:
O valor dessa soma é não-nulo. De fato, a soma parcial dá uma aproximação dessa soma:
 ■
Um dos tipos mais importantes de séries é o da série geométrica, defi nida como a 
soma dos termos , em que c e r são números fi xados diferentes de zero:
O número r é denominado razão comum ou, simplesmente, razão da série.
Para , podemos visualizar a soma da série geométrica (Figura 1):
A soma é 1 porque somar termos na série corresponde a avançar passo a passo de 0 a 
1, cada passo correspondendo a um movimento para a direita por metade da distância 
que falta.
Existe uma maneira simples de calcular as somas parciais de uma série geométrica:
Se , podemos dividir por (1 − r) para obter
 
10
1
2
+
1
2
3
4
7
8
1
4
+ 1
8
+ 1
16 15
16
10
1
2
+
1
2
3
4
7
8
1
4
+ 1
8
10
1
2
+
1
2
3
4
1
4
10
1
2 1
2
FIGURA 1 As somas parciais de .
As séries geométricas são importantes 
porque elas
seguidamente surgem em aplicações; •
podem ser calculadas explicitamente; •
são usadas para estudar outras séries •
não-geométricas (por comparação).
25 Séries UNIDADE 1 Soma de uma Série Infinita PARTE 2
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 549
TEOREMA 1 Soma de uma série geométrica Uma série geométrica de razão r converge se 
 e diverge se . Além disso,
 
 
Demonstração Se , então, pela Equação (2),
Se , então e, pela Equação (3), obtemos:
Se diverge e, portanto, a série geométrica diverge. Ela também diver-
ge nos casos extremos , como vimos na discussão antes do Exemplo 1. Se a série 
geométrica começar com o termo em vez de , então■
■ EXEMPLO 3 Calcule .
Solução Isso é uma série geométrica com c = 7 e . O termo geral é 
e a soma começa em n = 3. Pela Equação (4), a soma é
 
■
Um dos nossos principais objetivos neste capítulo é o desenvolvimento de técnicas 
que determinem se uma dada série converge ou diverge. Às vezes, é óbvio que uma série 
divirja. Por exemplo, diverge porque sua N-ésima soma parcial é . É bem 
menos evidente se a série seguinte converge ou diverge:
No Exemplo 4, usando o próximo teorema, mostraremos que essa série diverge.
CÁLCULO II 26
550 CÁLCULO
TEOREMA 2 Teste da divergência Se não converge a zero, então diverge.
Demonstração Usamos a relação
para escrever . Se for convergente com soma S, então
Assim, se não converge a zero, então deve divergir. ■
■ EXEMPLO 4 Usando o teste da divergência Será que a série
converge?
Solução O termo geral não tende a zero. De fato, tende a 1, 
portanto os termos pares tendem a 1 e os ímpares a −1. Portanto, a série diverge pelo 
Teorema 2. ■
O teste da divergência só conta uma parte da história. Se não tende a zero, então 
 certamente diverge. Mas o que acontece se convergir a zero? Nesse caso, a 
série pode convergir, ou não. Aqui temos um exemplo de uma série que diverge embora 
seus termos tendam a zero.
■ EXEMPLO 5 Uma série divergente cujos termos tendem a zero Mostre que
é divergente.
Solução Cada termo da N-ésima soma parcial é maior do que ou igual a :
Portanto,
Como , temos que e a série diverge. ■
Nosso próximo teorema mostra que as séries podem ser somadas ou subtraídas como 
somas comuns, desde que as séries sejam convergentes.
27 Séries UNIDADE 1 Soma de uma Série Infinita PARTE 2
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 551
TEOREMA 3 Linearidade de séries infi nitas Se e são, ambas, convergentes, 
então e são convergentes (uma constante c qualquer) e
Demonstração Essas regras seguem das correspondentes regras de linearidade de limites. 
Para a primeira regra, temos
As demais afi rmações são demonstradas analogamente. ■
■ EXEMPLO 6 Calcule .
Solução Escrevemos a série como a soma de duas séries geométricas. Isso é permitido 
pelo Teorema 3 porque ambas séries geométricas são convergentes:
ENTENDIMENTO CONCEITUAL Às vezes, o seguinte argumento incorreto é dado para a 
soma de uma série geométrica:
Assim, 2S = 1 + S, ou S = 1. A resposta está certa; então, por que o argumento está 
errado? Está errado porque não sabemos de antemão que a série geométrica converge. 
Observe o que ocorre quando esse argumento é aplicado a uma série divergente:
Isso daria que −S = −1 + S, ou , o que claramente está errado, porque S diverge. 
Os matemáticos desenvolveram a defi nição formal de soma de uma série infi nita como 
o limite das somas parciais com o objetivo de evitar conclusões incorretas desse tipo.
CÁLCULO II 28
552 CÁLCULO
11.2 RESUMO
Uma • série infi nita é uma expressão
Dizemos que é o termo geral da série.
As séries infi nitas têm sido uma parte do Cálcu-
lo desde o início do assunto e, desde então, têm 
permanecido uma ferramenta indispensável da 
análise matemática. As séries geométricas já fo-
ram usadas por Arquimedes no Século III a.C., 
num argumento brilhante para determinar a área S 
de um setor parabólico (a região destacada na Fi-
gura 2). O resultado de Arquimedes é equivalente 
à nossa fórmula para a integral de , 
mas ele a descobriu 2.000 anos antes da invenção 
do Cálculo. Arquimedes expressou seu resultado 
geometricamente em vez de fazê-lo em termos de 
funções (que ainda não haviam sido inventadas). 
Dados quaisquer dois pontos A e C numa parábola, 
podemos escolher B entre A e C de tal modo que a 
tangente a B seja paralela a . Seja T a área do 
triângulo . Arquimedes provou que se D for 
escolhido de maneira similar em relação a e E 
em relação a , então
 
Essa construção de triângulos pode ser continuada. 
O próximo passo seria construir os quatro triângu-
los dos segmentos de área 
total , etc. Dessa maneira, obtemos uma 
infi nidade de triângulos que acabam preenchendo 
completamente o setor parabólico. Pela Equação 
(5) e a fórmula de uma série geométrica,
Por essa e muitas outras realizações, 
Arquimedes ocupa a posição de um dos 
maiores cientistas de todos tempos, no 
mesmo time de Gauss e Newton.
O estudo moderno de séries in-
fi nitas começou no Século XVII com 
Newton, Leibniz e seus contemporâneos. A di-
vergência de (denominada série harmô-
nica) era conhecida do erudito medieval Nicole 
d’Oresme (1323-1382), mas sua prova foi perdida 
por séculos e o resultado foi redescoberto mais 
de uma vez. Também era sabido que a soma dos 
quadrados recíprocos convergia e, em tor-
no de 1640, o italiano Pietro Mengoli lançou o 
desafi o de descobrir sua soma. Apesar do esforço 
dos melhores matemáticos da época, inclusive 
Leibniz e os irmãos Jakob e Johann Bernoulli, o 
problema resistiu sem solução por mais de um sé-
culo. Em 1735, o grande mestre Leonhard Euler 
surpreendeu seus contemporâneos provando que
Essa fórmula é usada de muitas maneiras em 
Teoria de Números. Por exemplo, a probabi-
lidade p de dois números inteiros aleatoria-
mente escolhidos não terem fator comum é 
 (o recíproco do resultado de 
Euler). Essa aplicação e outras como ela fi cam 
no cerne da Matemática “pura” e, por centenas 
de anos, parecia que o resultado de Euler não 
possuía aplicações no mundo real. Surpreenden-
temente, agora existe evidência que suas genera-
lizações podem desempenhar um papel na área 
de Física avançada denominada teoria do campo 
quântico. A história parece mostrar que mesmo 
o mais “puro” dos ramos da Matemática está co-
nectado com o mundo real.
B
C
A
B
C
A
E
D
Área S Área T
FIGURA 2 Arquimedes mostrou que a 
área S do setor parabólico é , onde T 
é a área do .
Arquimedes (287 a.C.-212 a.C.), que 
descobriu a lei da alavanca, disse “Dai-me 
um ponto de apoio e eu poderei mover a 
Terra” (citado por Pappus de Alexandria, 
cerca de 340 d.C.).
PERSPECTIVA 
HISTÓRICA
29 Séries UNIDADE 1 Soma de uma Série Infinita PARTE 2
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 553
 (a) 
 (b) 
 (c) 
 (d) 
Nos Exercícios 3-6, calcule as somas parciais e .
 3. 4. 
A • N-ésima soma parcial é a soma fi nita
Se existir o limite , dizemos que a série infi nita é convergente ou converge 
à soma S. Se o limite não existir, dizemos que a série infi nita é divergente.
Teste da Divergência: • se não tende a zero, então diverge. Contudo, uma série 
pode divergir, mesmo se seu termo geral tender a zero.
Uma • série geométrica de razão r satisfazendo |r| < 1 é convergente e
A série geométrica diverge se . Existe uma fórmula para a soma parcial:
11.2 EXERCÍCIOS
Exercícios preliminares
 1. Qual é o papel das somas parciais na defi nição de soma de uma 
série infi nita?
 2. Qual é a soma da série infi nita seguinte?
 3. O que acontece se aplicarmos a fórmula da soma de uma série 
geométrica à série seguinte? A fórmula é válida?
 4. André afi rma que porque tende a zero. Esse é um 
raciocínio válido?
 5. Fabiana afi rma que converge porque . 
Esse é um raciocínio válido?
 6. Encontre N tal que para a série .
 7. Existe algum N tal que para a série ? Explique.
 8. Dê um exemplo de uma série infi nita divergente cujo termo geral 
tenda a zero.
Exercícios
 1. Encontre uma fórmula para o termo geral (não da soma par-
cial) da série infi nita.
 (a) 
 (b) 
 (c) 
 (d) 
 2. Escreva em notação de somatório:
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
unidade 
1
O conteúdo deste livro é 
disponibilizado por SAGAH.
Parte 3
Convergência de Sériesde Termos Positivos
CÁLCULO II 32
556 CÁLCULO
 50. Pierre de Fermat utilizou séries geométricas para calcular a área 
sob o gráfi co de , acima de [0, A]. Para 0 < r < 1, seja 
F(r) a soma das áreas da infi nidade de retângulos pela direita de 
extremidades , como na Figura 5. Quando r tende a 1, os re-
tângulos fi cam mais estreitos e F(r) tende à área sob o gráfi co.
 (a) Mostre que .
 (b) use a Equação (7) para calcular .
FIGURA 5
y
f (x) = xN
r3A r2A rA A
x
 51. A mesa invisível de Cantor (segundo Larry Knop, do Hamilton 
College) Tomemos uma mesa de comprimento L (Figura 6). No es-
tágio 1, removemos a seção de largura centrada no ponto mé-
dio, com o que restam duas seções, cada uma de largura inferior a 
. No estágio 2, removemos seções de largura de cada uma 
dessas duas seções, com o que removemos da mesa. Agora res-
tam quatro seções, cada uma de largura inferior a . No estágio 
3, removemos as quatro seções centrais de largura , etc.
 (a) Mostre que no estágio N, cada seção que permanece tem largura 
inferior a e que a quantidade total removida da mesa é
 (b) Mostre que, no limite quando N → ∞, sobra exatamente uma 
metade da mesa.
 Esse resultado é, no mínimo, curioso, porque não resta intervalo 
de largura positiva algum da mesa (em cada estágio, as seções re-
manescentes têm largura inferior a ). Assim, a mesa “desa-
pareceu”. No entanto, qualquer objeto de largura superior a 
pode ser colocado sobre a mesa sem que caia ao chão, pois não 
conseguirá passar por nenhuma das seções removidas.
FIGURA 6
L/16 L/16L/4
 52. O fl oco de neve de Koch (descrito em 1904 pelo matemático 
sueco Helge von Koch) é uma curva “fractal” infi nitamente ás-
pera obtida como um limite de curvas poligonais (é contínua, 
mas não tem reta tangente em ponto algum). Começamos com 
um triângulo eqüilátero (estágio 0) e obtemos o estágio 1 substi-
tuindo cada aresta por quatro arestas, cada uma com um terço do 
comprimento, arranjados como na Figura 7. Continuamos o pro-
cesso e, no enésimo estágio, substituímos cada aresta por quatro 
arestas, cada uma com um terço do comprimento.
 (a) Mostre que o perímetro do polígono no enésimo estágio satis-
faz . Prove que . O fl oco de neve tem 
comprimento infi nito.
 (b) Seja a área do triângulo eqüilátero original. Mostre que no 
enésimo estágio são acrescentados novos triângulos, 
cada um com área igual a (para ). Mostre que a área 
total do fl oco de neve é .
Estágio 3Estágio 1 Estágio 2
FIGURA 7
11.3 Convergência de séries de termos positivos
Nas três próximas seções, enfocamos o problema de determinar se uma série infi nita con-
verge ou diverge. Isso é mais fácil do que encontrar a soma de uma série infi nita, o que só 
é possível em casos especiais.
Nesta seção, consideramos séries positivas , isto é, séries tais que 
para todo n (ou seja, os termos dessas séries são não-negativos). Os termos de uma 
série positiva podem ser visualizados como retângulos de largura 1 e altura (Figura 
1). A soma parcial
é igual à área dos N primeiros retângulos.
Existem métodos numéricos poderosos 
para encontrar aproximações de séries 
infi nitas. Quando implementados num 
computador, esses métodos podem ser 
usados para calcular somas com milhões 
de casas decimais (Exercícios 75-77).
33 Séries UNIDADE 1 Convergência de Séries de Termos Positivos PARTE 3
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 557
Uma propriedade crucial das séries positivas é que suas somas parciais formam uma 
seqüência não-decrescente. Cada soma parcial é obtida da precedente pela adição de um 
número não-negativo:
e, portanto, . Recorde que uma seqüência não-decrescente converge se for 
limitada superiormente e, caso contrário, diverge (Teorema 6, Seção 11.1). Segue que 
só existem dois comportamentos possíveis para uma série positiva (nos referimos a 
isso como uma “dicotomia”).
TEOREMA 1 Teorema da dicotomia de séries positivas Se é uma série positiva, 
então existem duas possibilidades:
 (i) As somas parciais são limitadas superiormente. Nesse caso, S converge.
 (ii) As somas parciais não são limitadas superiormente. Nesse caso, S diverge.
Hipóteses importam Essa dicotomia não é válida em geral, para séries não-positivas. As so-
mas parciais da série não-positiva
são limitadas, já que ou 0, mas S diverge.
Uma das mais importantes aplicações do Teorema 1 é o teste da integral seguinte, que 
é útil porque, muitas vezes, é mais fácil calcular uma integral do que uma série.
TEOREMA 2 Teste da integral Seja , onde f (x) é positiva, não-crescente e 
contínua em x ≥ 1.
 (i) Se converge, então converge.
 (ii) Se diverge, então diverge.
O teste da integral é válido para 
quaisquer séries , desde que 
f (x) seja positiva, não-crescente e 
contínua em , para algum M. A 
convergência da série é determinada 
pela convergência de
Demonstração Comparamos com a área sob o gráfi co de f (x), acima do intervalo [1, N]. 
Como f (x) é não-crescente (Figura 2),
Se a integral imprópria da direita convergir, então as somas permanecem 
limitadas. Nesse caso, também permanece limitada e a série infi nita converge pelo 
teorema da dicotomia (Teorema 1). Isso para (i).
Por outro lado (Figura 3),
 
FIGURA 1 A soma parcial é a soma 
das áreas dos N retângulos destacados.
a1 a2 a3 aN x
y
3
2
1
1 2 3 N
FIGURA 2
a1 a3a2 a4 aN
x
y
N
y = f (x)
1 2 3 4
CÁLCULO II 34
558 CÁLCULO
Se diverge, então tende a ∞ e (1) mostra que também 
tende a ∞. Isso prova (ii). ■
■ EXEMPLO 1 Divergência da série harmônica Mostre que diverge.
Solução A função é positiva, decrescente e contínua em , portanto pode-
mos usar o teste da integral:
A integral diverge e, portanto, a soma também diverge. ■
■ EXEMPLO 2 Determine se converge.
Solução A função é positiva e contínua em e é decrescente, pois 
 é negativa:
Portanto, podemos aplicar o teste da integral. Usamos a substituição , du = 
2x dx para calcular a integral imprópria:
A integral converge e, portanto, também converge. ■
O teste da integral é aplicável à soma dos recíprocos das potências, denominada 
série p.
TEOREMA 3 Convergência de séries p A série converge se p > 1 e, caso contrá-
rio, diverge.
Demonstração Se , temos
Como tende a zero se p > 1 e a ∞ se p < 1, a integral imprópria converge se p > 1 
e diverge se p < 1. O mesmo vale para a série p, pelo teste da integral. Para p = 1, a série 
diverge, como vimos no Exemplo 1. ■
A série infi nita
é denominada “série harmônica”.
FIGURA 3
a2a1 a3 aN−1
x
y
N
y = f (x)
1 2 3 4
35 Séries UNIDADE 1 Convergência de Séries de Termos Positivos PARTE 3
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 559
Dois exemplos de séries p são:
Um outro método poderoso para determinar a convergência de séries positivas é o 
da comparação. Suponha que . A Figura 4 sugere que se a soma maior 
convergir, então a soma menor também converge e, analogamente, se a soma menor 
divergir, então a soma maior também diverge.
TEOREMA 4 Teste da comparação
Suponha que exista M > 0 tal que para n ≥ M:
 (i) Se converge, então também converge.
 (ii) Se diverge, então também diverge.
Demonstração Suponha, sem perda de generalidade, que M = 1. Se conver-
ge, então
 
Assim, as somas parciais de são limitadas superiormente por S e converge 
pelo teorema da dicotomia (Teorema 1). Por outro lado, se diverge, então suas so-
mas parciais crescem sem cota e (2) mostra que também diverge. ■
■ EXEMPLO 3 Mostre que converge.
Solução Aplicamos o teste da comparação com e . Isso é permitido 
porque e, assim, para . A série geométrica converge:
Portanto, a série menor converge. ■
■ EXEMPLO 4 Mostre que converge.
A convergência de uma série infi nita 
não depende de onde a sériecomeça. 
Portanto, o teste da comparação 
permanece válido mesmo se a série 
não começa com n = 1.
Em palavras, o teste da comparação 
afi rma que, para séries positivas:
a convergência de séries maiores força •
a convergência de séries menores.
a divergência de séries menores força •
a divergência de séries maiores.
FIGURA 4 A série é dominada 
pela série .
b1 b2 b3 bN
a1 a2 a3 aN
x
y
1 2 3 N
CÁLCULO II 36
560 CÁLCULO
Solução Comparamos com a série geométrica . Para ,
A série geométrica converge, portanto também converge. ■
■ EXEMPLO 5 Determine se converge.
Solução Comparamos com a série harmônica mostrando que, para ,
Basta mostrar que f (x) = x − ln x é positiva em . Contudo, f (1) = 1 e é cres-
cente, pois para x > 1. Portanto, f (x) > 1 para x > 1, como queríamos 
mostrar. Como a série harmônica diverge, a série maior também diverge. ■
■ EXEMPLO 6 Usando corretamente o teste da comparação Estude a convergência de
Solução Poderíamos pensar em comparar com a série harmônica usan-
do a desigualdade (válida para )
Contudo, diverge, de modo que essa desigualdade não dá informação alguma sobre 
a série menor . Felizmente, nesse caso podemos usar o teste da integral. A 
substituição u = ln x dá
O teste da integral mostra que converge. ■
Suponha que queiramos estudar a convergência de
 
No Exemplo 5, a série começa com
n = 2 porque 1/ln n não está defi nido 
para n = 1.
37 Séries UNIDADE 1 Convergência de Séries de Termos Positivos PARTE 3
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 561
Para n grande, o termo geral está muito próximo de :
portanto poderíamos comparar S com a série convergente . Contudo, não podemos 
usar o teste da comparação diretamente porque a desigualdade exata é no sentido errado:
Nesse caso, podemos aplicar a variação seguinte do teste da comparação.
TEOREMA 5 Teste da comparação no limite Sejam e seqüências positivas. Su-
ponha que exista o limite seguinte:
 (i) Se L > 0, então converge se, e somente se, converge.
 (ii) Se L = 0 e converge, então converge.
ADVERTÊNCIA O teorema da comparação 
no limite não pode ser aplicado quando 
a série não for positiva. Ver Exercício 38 
na Seção 11.4.
Demonstração Inicialmente, mostramos que se converge e L > 0 ou L = 0, então 
converge. Escolha um número positivo R > L. Como as seqüências são positivas e ten-
de a L, temos e, assim, , para todo n sufi cientemente grande. Como 
 também converge, a série converge pelo teste da comparação.
Agora suponha que L > 0 e que convirja. Podemos escolher r tal que 0 < r < 
L. Como tende a L, temos e, assim, , para todo n sufi ciente-
mente grande. Desse modo, converge pelo teste da comparação e, portanto, a 
série converge. ■
■ EXEMPLO 7 Mostre que converge.
Solução Seja . Observamos acima que para n grande, portanto faz 
sentido aplicar o teste da comparação no limite com :
Como existe L e converge, também converge. ■
CÁLCULO II 38
562 CÁLCULO
■ EXEMPLO 8 Determine se converge.
Solução Sejam e . Então
Como diverge e L > 0, a série também diverge. ■
11.3 RESUMO
As somas parciais • de uma série positiva formam uma seqüência não-
decrescente.
Teorema da dicotomia: • Uma série positiva S converge se suas somas parciais permane-
cem limitadas. Caso contrário, diverge.
Teste da integral: • Se f for positiva, não-crescente e contínua, então con-
verge (ou diverge) se, para algum M > 0, converge (ou diverge).
Série p: • A série converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.
Teste da comparação: • Suponha que exista um M > 0 tal que para . 
Se converge, então converge; se diverge, então diverge.
Teste da comparação no limite: • Sejam e seqüências positivas e suponha que 
exista o limite seguinte:
Se – L > 0, então converge se, e somente se, converge.
Se – L = 0 e converge, então converge.
 1. Seja . Se as somas parciais forem crescentes, en-
tão (escolha a conclusão correta)
 (a) é uma seqüência crescente;
 (b) é uma seqüência positiva.
 2. Quais são as hipóteses do teste da integral?
 3. Qual teste deveríamos usar para determinar se converge?
 4. Qual teste deveríamos usar para determinar se 
converge?
 5. Rafael acha que é possível investigar a convergência de 
comparando-a com . Rafael está no caminho certo?
11.3 EXERCÍCIOS
Exercícios preliminares
39 Séries UNIDADE 1 Convergência de Séries de Termos Positivos PARTE 3
ANOTAÇÕES
CÁLCULO II 40
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
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Parte 4
Teste da Razão e da Raiz
CÁLCULO II 42
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 571
 28. O teste de Leibniz não pode ser aplicado a
 Por que não? Mostre que essa série converge, usando outro método.
 29. Determine se a série seguinte converge condicionalmente:
 30. Prove que se converge absolutamente, então tam-
bém converge. Em seguida, forneça um contra-exemplo para 
mostrar que não precisa convergir se for apenas 
condicionalmente convergente.
 31. Prove a variante seguinte do teste de Leibniz: se a seqüência 
for positiva não-crescente com , então a série
 converge. Sugestão: mostre que é não-decrescente e limitada 
por e prossiga como na prova do teste de Leibniz.
 32. Use o Exercício 31 para mostrar que a série seguinte converge:
 33. Prove a convergência condicional de
 34. Mostre que a série seguinte diverge:
 Sugestão: use o resultado do Exercício 33 para escrever S como 
a soma de uma série convergente e uma divergente.
 35. Hipóteses importam Exiba um contra-exemplo para 
mostrar que o teste de Leibniz não permanece verdadeiro se 
tender a zero mas deixarmos de exigir que a seqüência seja 
não-crescente. Sugestão: considere
 36. Prove que, dado qualquer expoente a, a série 
converge. Sugestão: mostre que é decrescente se 
x for sufi cientemente grande.
 37. Dizemos que é um rearranjo de se tiver os mesmos 
termos do que , só que em ordem diferente. Mostre que se 
 for um rearranjo de e se convergir abso-
lutamente, então também converge absolutamente. 
(Esse resultado não é válido se S for somente condicionalmente 
convergente.) Sugestão: prove que as somas parciais são 
limitadas. Pode ser mostrado, também, que S = T.
 38. Hipóteses importam Em 1829, Lejeune Dirichlet indicou que 
o grande matemático francês Augustin Louis Cauchy havia co-
metido um erro num artigo publicado supondo que o teste da 
comparação no limite fosse válido para séries não-positivas. Eis 
as duas séries de Dirichlet:
 Explique como elas fornecem um contra-exemplo do teste da com-
paração no limite quando as séries não são tomadas positivas.
Compreensão adicional e desafi os
11.5 Testes da razão e da raiz
Como veremos na Seção 11.7, o número e tem uma expressão bem conhecida como uma 
série infi nita:
Contudo, os testes de convergência desenvolvidos até aqui não podem ser facilmente apli-
cados a essa série. Isso indica a necessidade do teste seguinte, que também é de funda-
mental importância no estudo de séries de potências (Seção 11.6).
43 Séries UNIDADE 1 Teste da Razão e da Raiz PARTE 4
572 CÁLCULO
TEOREMA 1 Teste da razão Seja uma seqüência e suponha que exista o limite 
seguinte:
 (i) Se , então converge absolutamente.
 (ii) Se , então diverge.
 (iii) Se , o teste da razão é inconclusivo (a série pode convergir ou divergir).
O símbolo , pronunciado “ro”, é a 
décima sétima letra do alfabeto grego.
Demonstração Se , podemos escolher um número rtal que . Como 
converge a , existe um número M tal que para . Portanto,
Em geral, e, portanto,
A série geométrica à direita converge, pois , de modo que converge 
pelo teste da comparação. Assim, converge absolutamente.
Se , escolha um número r tal que . Como converge a , existe 
um número M tal que para . Argumentando como antes, mas com as 
desigualdades invertidas, obtemos que . Como tende a ∞, vemos que 
os termos não tendem a zero e, conseqüentemente, diverge. Finalmente, o 
Exemplo 4 a seguir mostra que ambas convergência e divergência são possíveis quando 
, de modo que o teste é inconclusivo. ■
■ EXEMPLO 1 Prove que converge.
Solução Calculamos o limite . Seja . Então
Como , S converge, pelo teste da razão. ■
CÁLCULO II 44
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 573
■ EXEMPLO 2 Use o teste da razão para determinar se converge.
Solução Seja . Temos
Como , a série converge, pelo teste da razão. ■
■ EXEMPLO 3 Determine se converge.
Solução Seja . Então
Vemos que a razão dos coefi cientes tende ao infi nito:
Como diverge, pelo teste da razão. ■
■ EXEMPLO 4 Teste da razão inconclusivo Mostre que , tanto para quanto 
. Conclua que o teste da razão é inconclusivo quando .
Solução Para , temos
Por outro lado, para , temos
Assim, em ambos casos, , mas diverge e converge (uma série p 
com p = 2). Isso mostra que no caso são possíveis tanto a convergência quanto 
a divergência. ■
Para algumas séries, é mais conveniente usar o teste da raiz seguinte, que utiliza as 
raízes enésimas em vez das razões . A prova do teste da raiz, do mesmo 
modo como o do teste da razão, baseia-se numa comparação com séries geométricas 
(Exercício 53).
45 Séries UNIDADE 1 Teste da Razão e da Raiz PARTE 4
574 CÁLCULO
TEOREMA 2 Teste da raiz Seja uma seqüência e suponha que exista o limite se-
guinte:
 (i) Se L < 1, então converge absolutamente.
 (ii) Se L > 1, então diverge.
 (iii) Se L = 1, o teste da raiz é inconclusivo: a série pode convergir ou divergir.
■ EXEMPLO 5 Determine se converge.
Solução Seja . Então
Como , a série converge. ■
11.5 RESUMO
Teste da razão: • suponha que exista o limite seguinte:
Então converge absolutamente se e diverge se . O teste é inconclusivo 
se .
Teste da raiz: • suponha que exista o limite seguinte: . Então con-
verge se e diverge se . O teste é inconclusivo se .
 1. No teste da razão, é igual a ou a ?
 2. O teste da razão é conclusivo para ? É conclusivo para 
 3. Pode o teste da razão ser usado para mostrar a convergência de 
uma série que somente é condicionalmente convergente?
11.5 EXERCÍCIOS
Exercícios preliminares
Nos Exercícios 1-18, aplique o teste da razão para determinar convergên-
cia ou divergência, ou então diga que o teste da razão é inconclusivo.
 1. 2. 
 3. 4. 
 5. 6. 
Exercícios
CÁLCULO II 46
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
unidade 
1
O conteúdo deste livro é 
disponibilizado por SAGAH.
Parte 5
Séries de Potências
CÁLCULO III 48
576 CÁLCULO
 55. Seja , onde c é uma constante.
 (a) Prove que S converge absolutamente se |c| < e e diverge se
|c| > e.
 (b) É sabido que . Verifi que isso numerica-
mente.
 (c) Use o teste da comparação no limite para provar que S diverge se 
c = e.
11.6 Séries de potências
Na introdução deste capítulo, mencionamos que pode ser visto como um “polinômio 
infi nito” denominado série de potências:
Nesta seção, desenvolvemos as propriedades básicas das séries de potências, especial-
mente o conceito fundamental de raio de convergência.
Uma série de potências centrada no ponto x = c é uma série infi nita da forma
Para poder usar uma série de potências, precisamos determinar os valores de x nos quais a 
série converge. Ela certamente converge em seu centro x = c:
Em quais outros valores ela converge? O teorema seguinte afi rma que toda série de potên-
cias converge absolutamente num intervalo que é simétrico em torno do centro x = c (o 
intervalo podendo ser infi nito ou possivelmente reduzido ao único ponto c).
TEOREMA 1 Raio de convergência Seja . Existem três possi-
bilidades:
 (i) F(x) converge somente em x = c, ou
 (ii) F(x) converge em cada x, ou
 (iii) existe um número R > 0 tal que F(x) converge absolutamente se |x − c| < R e 
diverge se |x − c| > R; nas extremidades |x − c| = R a série pode convergir, ou não.
No caso (i), tomamos R = 0 e no caso (ii) tomamos R = ∞. Dizemos que R é o raio 
de convergência de F(x).
Demonstração Vamos supor que c = 0 para simplifi car a notação. A observação funda-
mental é que se F(x) converge em algum valor não-nulo x = B, então ela converge abso-
lutamente em cada |x| < B. Para provar isso, observe que se converge, 
então o termo geral deve tender a zero. Em particular, existe algum M > 0 tal que 
, para todo n e, portanto,
A maioria das funções que 
aparecem em aplicações podem 
ser representadas por séries de 
potências. Isso inclui não só as 
funções trigonométricas, exponenciais, 
logarítmicas e raízes conhecidas, mas 
também as funções mais avançadas da 
Física e Engenharia, como as “funções 
especiais” de Bessel e as elípticas.
49 Séries UNIDADE 1 Séries de Potências PARTE 5
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 577
Se |x| < |B|, então |x/B| < 1 e a série à direita é uma série geométrica convergente. Pelo 
teste da comparação, a série à esquerda também converge e, portanto, F(x) converge ab-
solutamente se |x| < |B|.
Seja S o conjunto de números x nos quais F(x) converge. Então S contém 0. Se S 
= {0}, então F(x) converge somente em x = 0 e temos o caso (i). Caso contrário, S 
contém algum número . Então, pelo que vimos no parágrafo precedente, S con-
tém o intervalo aberto (−|B|, |B|). Se S for limitado, então S tem um supremo L > 0
(ver nota ao lado). Como existem números menores do que mas arbitrariamente 
próximos de L, S contém (−B, B), para todo 0 < B < L. Segue que S contém o intervalo 
aberto (−L, L). S não pode conter qualquer número x com |x| > L, mas S pode conter 
uma ou ambas extremidades . Esse é o caso (iii). Se S não for limitado, então 
S contém intervalos (−B, B), para B arbitrariamente grande. Assim, S = R e temos o 
caso (ii). ■
De acordo com o Teorema 1, se o raio de convergência R for não-nulo e fi nito, então 
F(x) converge absolutamente num intervalo centrado em c de raio R (Figura 1). Em alguns 
casos, o teste da razão pode ser usado para encontrar o raio de convergência.
Converge absolutamente DivergeDiverge
Convergência possível nas extremidades
c − cR + Rc
x
■ EXEMPLO 1 Usando o teste da razão Em quais valores de x converge ?
Solução Seja e calculemos a razão do teste da razão:
Pelo teste da razão, F(x) converge se , ou seja, se |x| < 2. Analogamente, 
F(x) diverge se , ou |x| > 2. Portanto, o raio de convergência é R = 2.
O que acontece nas extremidades? O teste da razão é inconclusivo em , por-
tanto devemos conferir esses casos diretamente. Ambas séries divergem:
Portanto, F(x) converge somente em |x| < 2 (Figura 2). ■
Propriedade do supremo: se S for um 
conjunto de números reais com uma 
cota superior M (ou seja, para 
todo ), então S tem um supremo. 
Ver Apêndice B.
FIGURA 1 O intervalo de convergência 
de uma série de potências.
FIGURA 2 O intervalo de convergência 
de 
x
2
DivergeDiverge
Diverge Diverge
Converge
absolutamente
−2 0
CÁLCULO III 50
578 CÁLCULO
O método do exemplo precedente pode ser aplicado, mais geralmente, a qualquer 
série de potências para a qual exista o limite seguinte:
Calculamos o limite do teste da razão aplicado a F(x):
Pelo teste da razão, F(x) converge se ediverge se . 
Assim, se r for fi nito e não-nulo, então F(x) converge se e o raio de con-
vergência é . Se r = 0, então F(x) converge em cada x e o raio de convergência é 
. Se , então F(x) diverge em cada e R = 0.
TEOREMA 2 Encontrando o raio de convergência Seja e suponha 
que exista o limite seguinte:
Então F(x) tem raio de convergência (onde tomamos se r = 0 e
R = 0 se ).
■ EXEMPLO 2 Determine o raio de convergência de .
Solução Seja . Então
O raio de convergência é . Portanto, a série de potências converge absolutamente 
se |x − 5| < 1 e diverge se |x − 5| > 1. Em outras palavras, F(x) converge absolutamente 
no intervalo aberto (4, 6). Nas extremidades, temos
Portanto, a série de potências converge no intervalo semi-aberto (4, 6]. ■
■ EXEMPLO 3 Raio de convergência infi nito Mostre que converge em cada x.
51 Séries UNIDADE 1 Séries de Potências PARTE 5
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 579
Solução Seja . Então
Assim, e a série converge em cada x, pelo Teorema 2. ■
A série geométrica fornece um exemplo importante de série de potências. Lembre 
que, se |r| < 1, então . Escrevendo x em vez de r, podemos ver essa fórmu-
la como uma expansão em série de potências:
 
Os dois próximos exemplos mostram que essa fórmula pode ser adaptada para obter a 
representação em série de potências de outras funções.
■ EXEMPLO 4 Usando a fórmula das séries geométricas Prove que , se 
.
Solução Substituindo x por 2x na Equação (1):
 
A expansão (1) é válida se |x| < 1 e, portanto, a expansão (2) é válida se |2x| < 1, ou 
. ■
■ EXEMPLO 5 Prove que . Para quais x é válida essa fórmula?
Solução Inicialmente reescrevemos no formato , para poder usar a Equação (1):
Podemos substituir x por na Equação (1), desde que tenhamos , para obter
Essa expansão é válida se , ou . ■
Nosso próximo teorema afi rma, essencialmente, que as séries de potências são 
funções bem comportadas, no seguinte sentido: uma série de potências F(x) é derivável 
dentro de seu intervalo de convergência e podemos derivar e integrar F(x) como se 
fosse um polinômio.
Quando uma função f (x) é 
representada por uma série de 
potências num intervalo I, dizemos que 
a série de potências é uma “expansão 
em série de potências” de f (x) em I. 
Na próxima seção, mostramos que uma 
função tem, no máximo, uma expansão 
em série de potências com um dado 
centro c num intervalo.
CÁLCULO III 52
580 CÁLCULO
TEOREMA 3 Derivação e integração termo a termo Suponha que
tenha um raio de convergência R > 0. Então F(x) é derivável em (c − R, c + R) e sua 
derivada e antiderivada podem ser calculadas termo a termo. Mais precisamente, para 
cada , temos
Essas séries têm o mesmo raio de convergência R.
Ver o Exercício 58 para uma prova da continuidade de F(x). As provas das demais 
afi rmações são omitidas.
■ EXEMPLO 6 Derivando uma série de potências Prove que
se −1 < x < 1.
Solução Observando que
obtemos o resultado derivando a série geométrica termo a termo com |x| < 1:
 
A expansão (3) é válida em |x| < 1 porque a série geométrica tem raio de convergência 
R = 1. ■
■ EXEMPLO 7 A série de potências de f (x) = arc tg x por integração Prove que, para 
−1 < x < 1,
 
Solução Inicialmente, substituímos x por em (1) para obter:
Como a série geométrica tem raio de convergência R = 1, essa expansão é válida em 
, ou seja, . Agora aplicamos o Teorema 3 para integrar essa série termo a 
termo, lembrando que arc tg x é uma antiderivada de :
53 Séries UNIDADE 1 Séries de Potências PARTE 5
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 581
Para determinar a constante A, tomamos x = 0. Obtemos arc tg 0 = 0 = A e, portanto, A = 
0. Isso prova a Equação (4) para −1 < x < 1. ■
ENTENDIMENTO GRÁFICO Examinemos grafi camente a expansão do exemplo precedente. 
As somas parciais da série de potências para f (x) = arc tg x são
É de se esperar que forneça uma boa aproximação para f (x) = arc tg x no inter-
valo (−1, 1) em que é válida a expansão em série de potências. A Figura 3 confi rma 
isso: os gráfi cos das somas parciais e são praticamente indistinguíveis 
do gráfi co de arc tg x em (−1, 1). Assim, podemos usar as somas parciais para apro-
ximar os valores do arco tangente. Por exemplo, uma aproximação de arc tg (0,3) é 
dada por
Como a série de potências é alternada, o erro não é maior do que o primeiro termo 
omitido:
A situação muda drasticamente na região |x| > 1, na qual a série de potências diverge. 
As somas parciais desviam fortemente de arc tg x fora de (−1, 1).
21−2 −1
1
−1
x
y y = S50(x)
y = arc tg x
21−2 −1
1
−1
x
yy = S51(x)
y = arc tg x
)B()A(
Soluções em série de potências de equações diferenciais
Na próxima seção, utilizamos a teoria de séries de Taylor para provar que a função ex-
ponencial é representada por uma série de potências. Contudo, já podemos 
mostrar isso com as ferramentas à nossa disposição utilizando a equação diferencial 
satisfeita por . Recorde que, pelo Teorema 1 da Seção 7.4, é a úni-
ca função satisfazendo a equação diferencial , com condição inicial y(0) = 1.
Tentemos obter uma série de potências que também satisfaça 
 e P(0) = 1.
FIGURA 3 e são 
praticamente indistinguíveis de arc tg x 
em (−1, 1).
CÁLCULO III 54
582 CÁLCULO
Temos
Vemos que P(x) satisfaz se
Em geral, , ou
Dizemos que essa relação é recursiva. Com ela, podemos determinar, sucessivamente, 
todos coefi cientes a partir do primeiro coefi ciente , que pode ser escolhido arbitraria-
mente. Por exemplo, essa relação recursiva fornece
Para obter uma fórmula geral de , aplicamos a relação recursiva n vezes:
Concluímos que . Como mostramos no Exemplo 3, essa série de potências 
tem um raio de convergência infi nito e, portanto, P(x) é uma solução de , para todo x.
Agora observe que , portanto colocamos e obtemos uma solução 
satisfazendo a condição inicial y(0) = 1. Agora, como e P(x) ambas satis-
fazem a equação diferencial com condição inicial, elas coincidem. Assim, provamos 
que, para todo x,
 
O método que acabamos de usar é uma ferramenta poderosa no estudo de equações 
diferenciais. Já sabíamos, de antemão, que é uma solução de , mas diga-
mos que tenhamos uma equação diferencial cuja solução seja desconhecida. Podemos 
tentar encontrar uma solução na forma de uma série de potências . Em 
casos favoráveis, a equação diferencial leva a uma relação recursiva que nos permite 
determinar os coefi cientes .
■ EXEMPLO 8 Encontre uma solução em série de potências da equação diferencial
 
com condição inicial .
A solução da Equação (6) satisfazendo 
 é denominada “função de 
Bessel de ordem um”. A função de 
Bessel de ordem n é uma solução de
As funções de Bessel aparecem 
em muitas áreas da Física e da 
Engenharia.
55 Séries UNIDADE 1 Séries de Potências PARTE 5
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 583
Solução Suponha que a Equação (6) tenha uma solução em série de 
potências. Então
Agora substituímos as séries de e na equação diferencial (6) para determinar a 
relação recursiva satisfeita pelos coefi cientes :
Vemos que a equação está satisfeita se
 
Os primeiros termos de cada lado dessa equação são
Combinando os coefi cientes de , obtemos
 
Em geral, e, com isso, obtemos a relação recursiva
 
Observe que, por (8), temos . A relação recursiva implica que todos os coefi cientes 
 pares são nulos:
Quanto aos coefi cientes ímpares, observe que podemos escolher arbitrariamente . Con-
tudo, . Assim, tomamos , com o queP(x) satisfaz a condição inicial 
. Agora aplicamos a Equação (9):
CÁLCULO III 56
584 CÁLCULO
Isso mostra o padrão geral dos coefi cientes. Para escrever os coefi cientes numa forma 
compacta, seja n = 2k + 1. Então
e a relação recursiva pode ser escrita como
Aplicando essa relação recursiva k vezes, obtemos a fórmula fechada
Assim, obtivemos uma representação em série de potências de nossa solução:
Uma aplicação direta do teste da razão mostra que P(x) tem um raio de convergência infi -
nito. Portanto, P(x) é uma solução do problema de valor inicial para todo x. ■
11.6 RESUMO
Uma • série de potências é uma série infi nita da forma
Dizemos que a constante c é o centro da série.
Uma série de potências tem um de três comportamentos: •
 (i) F(x) converge somente em x = c, ou
 (ii) F(x) converge em cada x, ou
 (iii) existe R > 0 tal que F(x) converge absolutamente se |x − c| < R e diverge se |x − c| > R.
Dizemos que R é o raio de convergência de F(x). A convergência nas extremidades 
 deve ser conferida separadamente. Tomamos R = 0 no caso (i) e R = ∞ no 
caso (ii).
Se existir • , então F(x) tem um raio de convergência (onde R = 
0 se r = ∞ e R = ∞ se r = 0).
57 Séries UNIDADE 1 Séries de Potências PARTE 5
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 585
Se • R > 0, então F(x) é derivável em (c − R, c + R) e pode ser derivada e integrada termo 
a termo:
(A é uma constante qualquer). As séries de potências de e têm o mes-
mo raio de convergência R.
A expansão em série de potências • é válida em . Ela pode ser 
usada para deduzir expansões de outras funções relacionadas por meio de substituição, 
integração e derivação.
 1. Suponha que convirja em x = 5. Essa série também 
precisa convergir em x = 4? E em x = −3?
 2. Suponha que convirja em x = 10. Essa série tam-
bém precisa convergir em qual dos pontos em (a)-(d)?
 (a) x = 8 (b) x = 12 (c) x = 2 (d) x = 0
 3. Suponha que F(x) seja uma serie de potências com raio de con-
vergência R = 12. Qual é o raio de convergência de F(3x)?
 4. A série de potências tem um raio de convergên-
cia R = 1. Qual é a expansão em série de potências de e 
qual é seu raio de convergência?
 1. Use o teste da razão para determinar o raio de convergência de 
.
 2. Use o teste da razão para mostrar que tem um raio de 
convergência R = 2. Em seguida, determine se a série converge 
absoluta ou condicionalmente nas extremidades .
 3. Mostre que as três séries seguintes têm o mesmo raio de conver-
gência. Em seguida, mostre que (a) diverge em ambas extremi-
dades, (b) converge numa extremidade mas diverge na outra e (c) 
converge em ambas extremidades.
 (a) (b) (c) 
 4. Repita o Exercício 3 para as séries seguintes:
 (a) (b) (c) 
 5. Mostre que diverge em todo .
 6. (a) Encontre o raio de convergência de .
 (b) Determine se a série converge nas extremidades do intervalo de 
convergência.
Nos Exercícios 7-26, obtenha os valores de x nos quais a série de 
potências dada convirja.
 7. 8. 
 9. 10. 
 11. 12. 
 13. 14. 
 15. 16. 
 17. 18. 
 19. 20. 
 21. 22. 
11.6 EXERCÍCIOS
Exercícios preliminares
Exercícios
CÁLCULO III 58
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
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Parte 6
Séries de Taylor
CÁLCULO III 60
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 587
11.7 Séries de Taylor
Na seção precedente, vimos que funções como e f (x) = arc tg x podem ser 
representadas como séries de potências. Essas séries de potências fornecem uma com-
preensão bastante clara da função representada e nos permitem aproximar os valores de 
f (x) com qualquer grau de precisão desejado. Assim, é desejável desenvolver métodos 
gerais de obtenção de representações em séries de potências.
Suponha que f (x) tenha uma representação em série de potências centrada em x = c 
que seja válida para todo x do intervalo (c − R, c + R), com R > 0:
61 Séries UNIDADE 1 Séries de Taylor PARTE 6
588 CÁLCULO
Então podemos derivar a série termo a termo (Teorema 3 da Seção 11.6) para obter
Tomando x = c em cada uma dessas séries, vemos que
Isso mostra que os coefi cientes são dados pela fórmula (provando o Teorema 1 a seguir):
 
Lembre que esses são os coefi cientes dos polinômios de Taylor. Resumindo,
A série de potências à direita é denominada série de Taylor de f (x) centrada em x = c. No 
caso especial em que c = 0, a série de Taylor também é denominada série de Maclaurin:
TEOREMA 1 Unicidade da expansão em série de potências Se f (x) for representada por 
uma série de potências F(x) centrada em c num intervalo (c − R, c + R), com R > 0, 
então F(x) é a série de Taylor de f (x) centrada em x = c.
■ EXEMPLO 1 Encontre a série de Maclaurin de .
Solução Para todo n, a derivada enésima é , de modo que
Portanto, os coefi cientes da série de Maclaurin são e a série de 
Maclaurin é
 
■
O Teorema 1 nos diz que se quisermos representar f (x) por uma série de potências 
centrada em c, o único candidato para esse trabalho é a série de Taylor:
CÁLCULO III 62
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 589
Contudo, não há garantia que T(x) convirja para f (x). Para estudar a convergência, consi-
deramos a k-ésima soma parcial, que é o polinômio de Taylor de grau k:
Lembre que o resto é defi nido por
Como T(x) é o limite das somas parciais , vemos que
A série de Taylor converge a f (x) se, e somente se, .
Embora não exista um método geral para determinar se converge a zero, muitas 
vezes podemos aplicar o teorema seguinte.
TEOREMA 2 Seja f (x) uma função infi nitamente derivável no intervalo aberto I = (c − R, 
c + R), com R > 0. Suponha que exista tal que, para todo , valha
Então f (x) é representada por sua série de Taylor em I:
 LEMBRETE Dizemos que f (x) é 
“infi nitamente derivável” se existir 
 para todo n.
Demonstração Aplicamos a estimativa do erro de polinômios de Taylor:
(Ver Teorema 1, Seção 9.4.) Se , então e
Conforme foi visto no Exemplo 8 da Seção 11.1, para qualquer número R, a quanti-
dade tende a zero quando . Concluímos que para todo 
 e decorre o Teorema 2. ■
■ EXEMPLO 2 Expansões de Maclaurin do seno e do cosseno Mostre que as expansões de 
Taylor seguintes são válidas para todo x:
As expansões de Taylor foram estudadas 
ao longo dos Séculos XVII e XVIII por 
Euler, Gregory, Leibniz, Maclaurin, 
Newton, Taylor, dentre outros. Esses 
desenvolvimentos na Europa e 
Inglaterra foram antecipados pelo 
grande matemático hindu Madhava 
(cerca de 1340-1425) que, séculos 
antes, descobriu as expansões do seno 
e cosseno e muitos outros resultados.
63 Séries UNIDADE 1 Séries de Taylor PARTE 6
590 CÁLCULO
Solução Para f (x) = sen x, temos
Portanto, e . Os coefi cientes de Taylor não-nulos de 
sen x são . Analogamente para f (x) = cos x,
Portanto, e . Os coefi cientes de Taylor não-nulos de 
cos x são .
Em ambos casos, , para todo x e n. Assim, podemos aplicar o Teorema 
2 com M = 1 e qualquer R para concluir que as séries de Taylor convergem para f (x) com 
|x| < R. Como R é arbitrário, as expansões de Taylor são válidas para todo x. ■
■ EXEMPLO 3 Expansão de Taylor de em x = c Encontre a série de Taylor de 
 em x = c.
Solução Temos para todo x e, portanto,
Para provar a convergência, observamos que é crescente e, portanto, para qual-
quer R, vale para todo . Aplicando o Teorema 2 
com , concluímos que T(x) converge a f