Raciocínio Lógico (I) 1

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1º BLOCO ................................................................................................ ........................................................................................... 2
I. Proposição ................................................................................................ ............................................................................. 2
Princípios das Proposições................................................................................................ ................................................ 2
Sentenças Abertas................................................................................................ ............................................................. 2
Negação de Proposição (~p) ou (¬p)................................................................................................ ................................. 2
Tipos de Proposição ................................................................................................ .......................................................... 3
2º BLOCO ................................................................................................ ........................................................................................... 5
I. Tabelas Verdade................................................................................................ .................................................................... 5
Valores Lógicos das Proposições Compostas ................................................................................................................... 5
3º BLOCO ................................................................................................ ........................................................................................... 9
I. Equivalência Lógica ................................................................................................ ............................................................... 9
Negação das Proposições Compostas ............................................................................................................................ 10
4º BLOCO ................................................................................................ ......................................................................................... 12
I. Tautologia ................................................................................................ ............................................................................ 12
II. Contradição................................................................................................ .......................................................................... 12
III. Contingência ................................................................................................ ........................................................................ 12
IV. Relação entre TODO, ALGUM E NENHUM......................................................................................................................... 12
5º BLOCO ................................................................................................ ......................................................................................... 15
I. Resumo e Dicas das Proposições................................................................................................ ........................................ 15
I. PROPOSIÇÃO
Proposição: toda declaração (com sujeito “definido”, verbo e sentido completo), que pode ser CLASSIFICADA em
V (verdadeiro) ou F (falso).
Ex.:
p: O “mensalão” fez muitas vítimas. (proposição)
A: O Alfacon tem os melhores professores de concurso do Brasil. (proposição)
m: 4 + 7 = 15. (proposição)
Obs. 1: A representação das proposições são letras do alfabeto, maiúsculas ou minúsculas.
Obs. 2: perguntas (sentenças interrogativas), exclamações (sentenças exclamativas), ordens (sentenças
imperativas) e sentenças abertas (aquelas com variáveis – sujeito indefinido) não são proposições.
Ex.:
Qual o seu nome? (pergunta - não é proposição)
Que dia lindo! (exclamação - não é proposição)
Feche a porta. (ordem - não é proposição)
14 + x = 42 (sentença aberta - não é proposição)
PRINCÍPIOS DAS PROPOSIÇÕES
I. não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Ex.:
p: essa frase é falsa.
II. identidade: uma proposição verdadeira sempre será verdadeira, assim como uma proposição falsa sempre será
falsa.
Ex.:
2 + 2 = 4 (verdadeira sempre)
3 x 3 = 6 (falsa sempre)
III. terceiro excluído: uma proposição só admite os valores ou verdadeiro ou falso, não existindo quaisquer outros
valores para as proposições.
SENTENÇAS ABERTAS
As sentenças abertas não são proposições, porém elas podem se tornar uma proposição, através dos
quantificadores lógicos, como veremos.
Quantificadores Lógicos: servem para transformar uma sentença aberta em proposição, são eles:
= para todo; qualquer que seja; todos;
= existe; existe pelo menos um; algum;
= não existe; nenhum.
Ex.:
x + 13 = 18 (sentença aberta)
x, x + 13 = 18 (lê-se: existe x tal que x mais 13 é igual a 18)
Observe que com o quantificador conseguimos classificar a sentença, o que faz dela uma proposição – verdadeira.
x, x + 13 = 18 (lê-se: para todo x, x mais 13 é igual a 18)
Observe que com o quantificador conseguimos classificar a sentença, o que faz dela uma proposição – falsa.
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÃO (~P) OU (¬P)
Serve para mudar o valor lógico das proposições. Assim, faz uma proposição verdadeira se tornar falsa, ou uma
falsa se tornar verdadeira. Também conhecido como modificador lógico.
Ex.:
p: Daniel é rico.
~p: Daniel não é rico.
¬p: Daniel é pobre.
Dupla Negação [~(~p) = p]: faz com que a proposição não se altere.
Ex.:
p: 2 é par.
~p: 2 não é par.
~(~p): 2 não é ímpar.
Com isso voltamos a proposição inicial: “p: 2 é par”.
TIPOS DE PROPOSIÇÃO
As proposições são apenas de dois tipos:
Simples ou Atômica: proposição única, sem conectivos lógicos e que não pode ser dividida.
Ex.:
a: Luiza está brincando.
Composta ou Molecular: formada por mais de uma proposição, ligadas entre si por conectivos lógicos, podendo
ser dividida.
Ex.:
p: se Luiza está brincado, então Léo fez o almoço.
Conectivo Lógico: unem as proposições simples e formam as proposições compostas. São eles:
e: conjunção (^)
Sinônimos: mas; porem; nem = e não; a vírgula
ou: disjunção (v)
ou..., ou: disjunção exclusiva (v)
se..., então:
se, somente se:
Obs.:
somente as proposições compostas possuem conectivos lógicos
o valor lógico de uma proposição composta depende do valor das proposições simples que a compõem, assim
como do conectivo utilizado.
EXERCÍCIOS
1. Entre as frases apresentadas a seguir, identificadas por letras de A a E, apenas duas são proposições.
a) Pedro é marceneiro e Francisco, pedreiro.
b) Adriana, você vai para o exterior nessas férias?
c) Que jogador fenomenal!
d) Todos os presidentes foram homens honrados.
e) Não deixe de resolver a prova com a devida atenção.
2. Em lógica, pelo princípio do terceiro excluído:
a) uma proposição falsa pode ser verdadeira e uma proposição verdadeira pode ser falsa.
b) uma proposição verdadeira pode ser falsa, mas uma proposição falsa é sempre falsa.
c) uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa, não há outra possibilidade.
d) uma proposição verdadeira é verdadeira e uma proposição falsa é falsa.
e) nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
3. Acerca de proposições, considere as seguintes frases.
I. Os Fundos Setoriais de Ciência e Tecnologia são instrumentos de financiamento de projetos.
II. O que é o CT-Amazônia?
III. Preste atenção ao edital!
IV. Se o projeto for de cooperação universidade-empresa, então podem ser pleiteados recursos do fundo setorialverde amarelo.
São proposições apenas as frases correspondentes aos itens:
a) I e IV.
b) II e III.
c) III e IV.
d) I, II e III.
e) I, II e IV.
GABARITO
1 - C
2 - C
3 - A
I. TABELAS VERDADE
Dispositivo prático que serve para avaliar o valor lógico das proposições compostas.
Obs. 1: o numero de linhas da tabela verdade depende da quantidade de proposições simples que existem na
proposição composta.
Nº de linhas da tabela = 2n;
Cujo n é o numero de proposições simples que compõem a proposição composta
Obs. 2: Esse número de linha esta associado a todas as relações possíveis de V ou F das proposições simples que
formam a proposição composta.
Demonstração:
Regras para o preenchimento da Tabela:
1) Comece sempre pelas proposições simples e suas negações, se houver;
2) Resolva primeiro o que tiver dentro dos parênteses, colchetes e chaves, respectivamente, se houver; (igual à
expressão numérica);
3) Resolva primeiro as conjunções e disjunções, depois os condicionais e por último os bicondicionais;
4) A última coluna da tabela será a da proposição “toda”.
Demonstração (1ª parte):
VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Tabela da conjunção: e ( )
Uma proposição composta por conjunção só será verdadeira se todas as proposições simples que a compõem
forem verdadeiras, caso contrario será falsa.
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
Ex.: ser servidor público de carreira.
Representando em forma de conjuntos temos a seguinte situação:
Tabela da disjunção: ou (v)
Uma proposição composta por disjunção só será falsa se todas as proposições simples que a compõem forem
falsa, caso contrario será verdadeira.
Ex.: passar num concurso.
Representando em forma de conjuntos temos a seguinte situação:
Tabela da disjunção exclusiva: ou..., ou (v).
A proposição composta por disjunção exclusiva sempre será verdadeira quando os valores lógicos das
proposições simples que a compõem forem diferentes, caso contrario será falsa.
Ex.: tomar posse num cargo público de dedicação exclusiva.
Representando em forma de conjuntos temos a seguinte situação:
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
Tabela do condicional: se..., então ( )
A proposição composta por condicional só será falsa se o antecedente (antes do conectivo) for verdadeiro e o
consequente (depois do conectivo) for falso, caso contrario será verdadeira.
Importante: no condicional, a proposição antes do conectivo é chamada de antecedente ou condição suficiente
enquanto que a proposição depois do conectivo é chamada de consequente ou condição necessária.
Lembre-se disso:
Ex.: observe a proposição: “Se é servidor publico estável, então passou no concurso”.
Representando em forma de conjuntos temos a seguinte situação:
Tabela do bicondicional: se, somente se ( )
A proposição composta por bicondicional será verdadeira sempre que as proposições simples que a
compõem tiverem valores lógicos iguais, caso contrario será falsa.
Obs.: No bicondicional as proposições são suficientes e necessárias ao mesmo tempo.
Ex.: casal apaixonado.
Representando em forma de conjuntos temos a seguinte situação:
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
Demonstração (resolução):
a
EXERCÍCIOS
1. Considerando que R e T são proposições lógicas simples, julgue o item a seguir, acerca da construção de
tabelas-verdade.
2. Considerando que os símbolos representem as operações lógicas “ou”, “não”, “condicional”,
“bicondicional” e “e”, respectivamente, julgue o item a seguir, acerca da proposição composta P:
r), em que p, q e r são proposições distintas.
O número de linhas da tabela-verdade de P é igual a 16.
3. Sejam p e q proposições e ~p e ~q, respectivamente, suas negações. Se p é uma proposição verdadeira
e q, uma proposição falsa, então é verdadeira a proposição composta:
a) p ^ q
b) ~p ^ q
c) ~p v q
d) ~p v ~q
e)
GABARITO
1 - ERRADO
2 - ERRADO
3 - D
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
I. EQUIVALÊNCIA LÓGICA
Duas ou mais proposições compostas são logicamente equivalentes quando são formadas pelas mesmas
proposições simples e o resultado de suas tabelas verdades são sempre iguais.
Ex.:
p ^ q = q ^ p (chamada de reciproca)
p v q = q v p (chamada de reciproca)
p v q = q v p (chamada de reciproca)
p v q = ~p v ~q (chamada de contrária)
p v q = ~q v ~p (chamada de contra – positiva)
p v q = (p ^ ~q) v (~p ^ q)
(chamada de reciproca)
(chamada de contraria)
(chamada de contra – positiva)
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
– positiva)
NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Outra forma de equivalência das proposições.
~ (p ^ q) = ~p v ~q: para negar a conjunção, basta negar as proposições simples e troca-se o conectivo e (^)
por ou (v).
~ (p v q) = ~p ^ ~q: para negar a disjunção, basta negar as proposições simples e troca-se o conectivo ou (v)
por e (^).
~ (p v disjunção exclusiva, basta transformar em um bicondicional.
~ (p v q) = ~p v q: para negar a disjunção exclusiva, nega-se uma das proposições simples.
~ (p v q) = p v ~q: para negar a disjunção exclusiva, nega-se uma das proposições simples.
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
v q: para negar o bicondicional, basta transformar em uma disjunção exclusiva.
para negar o bicondicional, nega-se uma das proposições simples
para negar o bicondicional, nega-se uma das proposições simples
para negar o condicional, mantém o antecedente “e” nega o consequente.
EXERCÍCIOS
1. Se Marcos levanta cedo, então Júlia não perde a hora. É possível sempre garantir que:
a) se Marcos não levanta cedo, então Júlia perde a hora.
b) se Marcos não levanta cedo, então Júlia não perde a hora.
c) se Júlia perde a hora, então Marcos levantou cedo.
d) se Júlia perde a hora, então Marcos não levantou cedo.
e) se Júlia não perde a hora, então Marcos levantou cedo.
As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas
proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão
lida, entre outras formas, como "se A então B", é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é F, e tem
valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ~A, lida como "não A", é uma proposição que tem valoração
V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A B, lida como "A e B", é uma proposição
que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F. Uma expressão da forma AvB,
lida como "A ou B", é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com
base nessas definições,julgue o item que se segue.
2. Uma expressão da forma ~(A ~B) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da
proposição .
3. A proposição "um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par" equivale logicamente à
proposição:
a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu
quadrado não é par.
b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar.
c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é ímpar.
d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um número inteiro não for par,
então o número não é par.
e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par.
GABARITO
1 - D
2 - CORRETO
3 - A
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
I. TAUTOLOGIA
É quando uma proposição composta é sempre verdadeira, independente dos valores lógicos das proposições
simples que a compõem.
Ex.: (a ^
II. CONTRADIÇÃO
É quando uma proposição composta é sempre falsa, independente dos valores lógicos das proposições simples
que a compõem.
Ex.: (a v
III. CONTINGÊNCIA
É quando a proposição composta não é tautologia nem contradição.
IV. RELAÇÃO ENTRE TODO, ALGUM E NENHUM
Relação de equivalência:
Todo A é B = Nenhum A não é B
Ex.:
Todo diretor é bom ator = Nenhum diretor é mau ator.
Nenhum A é B = Todo A não é B
Ex.:
Nenhuma mulher é compreensiva = Toda mulher não é compreensiva.
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
Relação de negação:
Todo A é B = Algum A não é B
Ex.:
Todo policial é honesto = Algum policial não é honesto.
Algum A é B = Nenhum A é B
Ex.:
Alguma ave é mamífera = Nenhuma ave é mamífera.
Temos também a representação em forma de conjuntos, que é:
Todo A é B
Algum A é B
Nenhum A é B
EXERCÍCIOS
1. Considere a seguinte proposição:
(i) Todos os alunos assistiram ao filme.
A negação da proposição (i) é:
a) Nenhum aluno assistiu ao filme.
b) Algum aluno não assistiu ao filme.
c) Alguns alunos assistiram ao filme.
d) Todos os alunos não assistiram ao filme.
2. B) é uma tautologia.
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
3. Na lógica proposicional, uma tautologia é uma fórmula proposicional que:
a) é falsa para todas as possíveis valorações de suas variáveis proposicionais.
b) é verdadeira para todas as possíveis valorações de suas variáveis proposicionais.
c) pode ser falsa ou verdadeira para todas as possíveis valorações de suas variáveis proposicionais.
d) é falsa para algumas das possíveis valorações de suas variáveis proposicionais.
e) é verdadeira para algumas das possíveis valorações de suas variáveis proposicionais.
4. A declaração abaixo foi feita pelo gerente de recursos humanos da empresa X durante uma feira de
recrutamento em uma faculdade:
“Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês.”
Mais tarde, consultando seus arquivos, o diretor percebeu que havia se enganado em sua declaração. Dessa forma,
conclui-se que, necessariamente:
a) dentre todos os funcionários da empresa X, há um grupo que não possui plano de saúde.
b) o funcionário com o maior salário da empresa X ganha, no máximo, R$ 3.000,00 por mês.
c) um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês.
d) nenhum funcionário da empresa X tem plano de saúde ou todos ganham até R$ 3.000,00 por mês.
e) alguns funcionários da empresa X não têm plano de saúde e ganham, no máximo, R$ 3.000,00 por mês.
GABARITO
1 - B
2 - CORRETO
3 - B
4 - C
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
I. RESUMO E DICAS DAS PROPOSIÇÕES
1) Proposição: declaração que pode ser classificada ou em verdadeiro (V) ou em falso (F).
2) Negação de proposição:
Muda o valor lógico da proposição.
3) Tipos de proposição: simples (sem conectivo) e compostas (com conectivo e que podem ser divididas).
4) Conectivos lógicos:
e = ^ = conjunção (sinônimos: mas; porém; nem = e não).
ou = v = disjunção.
ou..., ou = v = disjunção exclusiva.
5) Tabela verdade: número de linhas da tabela = 2n, cujo n é o número de proposições simples que compõem a
proposição composta.
6) Valores lógicos das proposições compostas:
7) Equivalências lógicas:
I. p ^ q = q ^ p (troca de posição);
II. p v q = q v p (troca de posição);
III. p v q = q v p (troca de posição);
IV. p v q = ~p v ~q (nega as proposições);
V. p v q = ~q v ~p (troca de posição e nega as proposições);
VI. p v q = (p ^ ~q) v (~p ^ q);
VII.
VIII.
IX.
X.
XI.
XII.
8) Negações de proposições compostas:
~ (p ^ q) = ~p v ~q (Leis de Morgan);
~ (p v q) = ~p ^ ~q (Leis de Morgan);
~ (p v
~ (p v q) = ~p v q;
~ (p v q) = p v ~q;
v q;
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
9) Tautologias, Contradições e Contingências:
Tautologias: proposição composta toda verdadeira.
Contradição: proposição composta toda falsa.
Contingência: proposição composta que não é tautologia nem contradição.
10) Relação entre TODO, ALGUM E NENHUM:
Outra relação que temos é:
Todo A é B = Algum B é A
Ex.:
Todo professor é artista = Algum artista é professor.
EXERCÍCIOS
1. Para que valores de p, q, r, s e t, respectivamente, a proposição acima é verdadeira?
a) V, V, V, V, V
b) V, F, V, F, F
c) F, F, V, F, F
d) F, V, F, V, F
e) F, F, V, V, V
2. Considere a seguinte proposição composta:
"Você não pode dirigir um trator se tiver menos que 1m, a não ser que tenha habilitação especial.", em que:
"^" representa "e"
"v" representa "ou"
"¬" representa "negação"
" " representa "implicação"
" " representa "equivalência"
Proposições primitivas:
P: "Você pode dirigir um trator"
Q: "Você tem menos de 1m"
R: "Você tem habilitação especial"
Qual alternativa simboliza corretamente a proposição?
a) (Q^¬R) ¬P
b) (Qv¬) P
c) (¬Q^R) ¬P
d) (QvR) P
e) (Q^R) ¬P
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
3. A negação de "À noite, todos os gatos são pardos" é:
a) De dia, todos os gatos são pardos.
b) De dia, nenhum gato é pardo.
c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo.
d) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo.
e) À noite, nenhum gato é pardo.
P: Se não há autorização legislativa ou indicação dos recursos financeiros correspondentes, então, não há abertura
de créditos suplementares ou de créditos especiais.
4. Considerando a proposição acima, que tem por base o art. 167, inciso V, da Constituição Federal de 1988,
julgue o item seguinte.
A proposição P é logicamente equivalente à proposição “Se há abertura de créditos suplementares ou de créditos
especiais,então há autorização legislativa ou indicação dos recursos financeiros correspondentes”.
GABARITO
1 - C
2 - A
3 - D
4 - CORRETO