Análise através de volume de controle

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EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Capítulo 5: Análise através de 
volume de controle
�Volume de controle
�Conservação de massa
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Introdução
• Existe um fluxo de massa da substância de trabalho 
em cada equipamento desta usina, ou seja, na 
bomba, caldeira, turbina e condensador.
• Assim, não se pode analisar cada equipamento 
como um sistema termodinâmico fechado.
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Introdução
• Além da transferência de energia na forma de calor 
e trabalho, já vista para sistemas termodinâmicos, 
existe também o transporte de energia associado à
massa que escoa para dentro e para fora de cada 
equipamento.
• Logo, uma análise termodinâmica completa deve 
considerar a transferência de calor e de trabalho e o 
transporte de energia associado ao transporte de 
massa.
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Volume de controle (VC)
• É um volume arbitrário do espaço através do qual 
há massa entrando e saindo.
• Seu contorno geométrico é denominado de 
superfície de controle:
– Esta superfície pode ser real ou imaginária;
– Pode estar em repouso (estacionária) ou em movimento 
(móvel).
• Através da superfície de controle pode atravessar:
– Massa, trabalho, calor e quantidade de movimento.
• Em geral, qualquer região do espaço pode ser 
escolhida como volume de controle. No entanto, 
uma escolha apropriada pode simplificar bastante a 
resolução de um problema. 
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Estudo de um volume de controle
• No estudo termodinâmico de um sistema o interesse 
se concentrava nas mudanças das propriedades 
(pressão, temperatura, volume específico, entalpia, 
etc.).
• No estudo de um VC, além de continuar avaliando 
as mudanças das propriedades, procura-se:
– conhecer as forças que atuam sobre o fluido que 
atravessa a superfície de controle;
– e também a reação exercida pelo fluido sobre a superfície 
de controle.
• Muitas vezes o interesse é maior no efeito do 
movimento de uma massa de líquido, que no 
movimento em si.
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Princípios de conservação
• Na análise do sistema termodinâmico foi usado o 
princípio da conservação da energia (Primeira lei) e a 
Segunda lei da termodinâmica.
• No volume de controle, além destes, é necessário 
também analisar o princípio da conservação de 
massa e da conservação de quantidade de 
movimento, uma vez que existe fluxo de massa.
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Conservação de massa para VC
O princípio da conservação de massa para VC 
enuncia que:
Superfície de controle
VC
Entrada “e” Saída “s”










−










=










t instante no s"" saída
 da através massa de
 escoamento de taxa
t instante no e"" entrada
 da através massa de
 escoamento de taxa
t instante no
VC dointerior no contida
massa de variação de taxa
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Conservação de massa para VC
se
VC mm
dt
dm ••
−=
Superfície de controle
VC
Entrada “e” Saída “s”
mente.respectiva saída na e entrada na
ea)(instantân massa de taxas as sãomem se
••
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Conservação de massa para VC
• Em geral podem existir vários locais na superfície de 
controle através dos quais a massa entra e sai.
• Logo, para múltiplas entradas e saídas, tem-se:
∑∑
••
−= se
VC mm
dt
dm
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Escoamento Unidimensional
• Quando uma corrente de fluxo de matéria entrando 
ou saindo do VC é:
– Normal à superfície de controle nos locais em que a massa 
entra e sai do VC, e
– Todas as propriedades intensivas são uniformes com a 
posição (se mantém constantes ao longo da área da seção 
reta do escoamento);
diz-se que o escoamento é unidimensional.
Área = A
Ar
V, T, ρ
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Escoamento Unidimensional
• Considerando a velocidade de escoamento do ar (V) 
e a densidade do ar (ρρρρ), num escoamento 
unidimensional a taxa de massa ou vazão mássica 
(kg/s) será:
ρAV=
•
m
Área = A
Ar
V, T, ρ
Ou ainda:
ν
AV
=
•
m
Onde νννν é o volume 
específico (m3/kg)
AV é a taxa volumétrica 
ou vazão volumétrica
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Conservação de massa para VC
• Assim, considerando que o VC tenha apenas uma 
entrada e uma saída, obtém-se:
ssseee
VC VAVA
dt
dm ρρ −=
• Analogamente, quando o VC tiver várias entradas (e) 
e várias saídas (s), obtém-se:
∑∑ −=
se
VC AVAV
dt
dm ρρ
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Escoamento em regime permanente
• Quando as variáveis do escoamento num ponto do 
espaço não variam com o tempo, diz-se que o 
escoamento ocorre em regime permanente.
• Analisando do ponto de vista do fluxo de massa, a 
identidade da matéria no VC varia continuamente, 
porém a quantidade total de massa presente em 
qualquer instante permanece constante.
• Logo:
0=
dt
dmVC se mm
••
=
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Escoamento em regime permanente
• Assim, num escoamento em regime permanente (a 
taxa de massa do VC se mantém constante) as taxas 
totais de entrada e saída de massa são iguais.
• No entanto, apenas esta igualdade não implica 
necessariamente que o escoamento seja em regime 
permanente, pois pode ocorrer de propriedades 
estarem variando com o tempo, como por exemplo a 
pressão ou a temperatura.
se mm
••
= ssseee VAVA ρρ =
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Escoamento em regime permanente
• Quando um fluido incompressível (ρρρρ constante) 
escoa através do VC, tem-se:
se
se
VV
AA
>
<
ssee VAVA =
• Isto é o que geralmente acontece quando se trata 
do escoamento de um líquido.
• Esta relação fornece imediatamente uma descrição 
qualitativa da velocidade na entrada e na saída do 
VC:
VC
Ve
Vs
Este VC representa 
um difusor. O inverso 
seria um bocal.
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Exemplo: Um aquecedor de água operando em regime 
permanente apresenta duas entradas e uma saída. Na entrada 
1, o vapor d’água entra a P1 = 7 bar, T1 = 200oC e com uma 
vazão mássica de 40 kg/s. Na entrada 2, água líquida a P2 = 7 
bar e T2 = 40oC entra através de uma área A2 = 25 cm2. 
Líquido saturado a 7 bar sai em 3 com uma vazão volumétrica 
de 0,06m3/s. Determine as vazões mássicas na entrada 2 e na 
saída (kg/s) e a velocidade na entrada 2 (m/s).
12
3
T1=200oC
P1=7 bar
skgm /401 =
•
T2=40oC
P2=7 bar
A2=25 cm2
LS
P3=7 bar
(AV)3=0,06 m3/s
VC
?? V2 e m ,m 32
••
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12
3
T1=200oC
P1=7 bar
skgm /401 =
•
T2=40oC
P2=7 bar
A2=25 cm2
LS
P3=7 bar
(AV)3=0,06 m3/s
VC
?? V2 e m ,m 32
••
321
•••
−+= mmm
dt
dmVC
Como o escoamento é em regime permanente:
1323210
••••••
−=⇒−+== mmmmmm
dt
dmVC
No escoamento unidimensional:
3
3
ν
(AV)
=
•
3m
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12
3
T1=200oC
P1=7 bar
skgm /401 =
•
T2=40oC
P2=7 bar
A2=25 cm2
LS
P3=7 bar
(AV)3=0,06 m3/s
VC
?? V2 e m ,m 32
••
O fluido na saída é líquidosaturado. Logo, o volume 
específico da água líquida saturada a P3=7 bar (700 kPa) é:
νννν3 = 0,001108 m3/kg
kg/s 14,15, =−=−=
•••
401554132 mmm
kg/s 54,15
,
,
ν
(AV)
3
3
===
•
0011080
060
3m
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12
3
T1=200oC
P1=7 bar
skgm /401 =
•
T2=40oC
P2=7 bar
A2=25 cm2
LS
P3=7 bar
(AV)3=0,06 m3/s
VC
?? V2 e m ,m 32
••
Considerando que o escoamento na entrada 2 também é
unidimensional tem-se:
De acordo com as propriedades na entrada 2 (T2=40oC e 
P2=7bar) conclui-se que o estado da água é de líquido 
comprimido (LC).
Como não há uma tabela com as propriedades da água como 
LC, pode-se aproximar o νννν2 com o νννν2 de LS na mesma 
temperatura (T2). Logo, νννν2 será: 0,001008 m3/kg.
2
2
2
2
2
A
νV
ν
(AV)
•
•
=⇒= 22
m
m
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12
3
T1=200oC
P1=7 bar
skgm /401 =
•
T2=40oC
P2=7 bar
A2=25 cm2
LS
P3=7 bar
(AV)3=0,06 m3/s
VC
?? V2 e m ,m 32
••
Assim: m/s 5,7,,
A
νV
2
2
2 =
∗
∗
==
−
•
4
2
1025
00100801514m
No escoamento permanente, a soma das vazões mássicas da 
saída é igual a soma das vazões mássicas de entrada.
E a soma das vazões volumétricas na entrada é igual a soma 
na saída ??
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12
3
T1=200oC
P1=7 bar
skgm /401 =
•
T2=40oC
P2=7 bar
A2=25 cm2
LS
P3=7 bar
(AV)3=0,06 m3/s
VC
?? V2 e m ,m 32
••
Na entrada 2:
As propriedades em 1 indicam que a água encontra-se no 
estado de vapor superaquecido (VS). Como não há na tabela 
de VS um valor para νννν1 a P1, faz-se a interpolação: 
νννν1=0,3064 m3/kg.
/sm ,,,VA 322 01400010080151422 =∗==
•
νm
/sm ,,VA 311 2612306404011 =∗==
•
νm
33
3
2211 VA/sm 12,274 0,014 12,26VAVA ≠=+=+
A soma das vazões volumétricas na entrada NÃO é igual
a soma na saída. Por quê???
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No escoamento em regime permanente 
ocorre conservação de vazão mássica 
porém
NÃO há conservação de
vazão volumétrica quando a densidade 
(ou o volume específico) NÃO for 
constante!!!!!
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Exemplo: O tanque de água mostrado na figura abaixo recebe 
água através da válvula 1, com uma velocidade V1 = 10ft/s, e 
da válvula 3, com uma vazão volumétrica de 0,35ft3/s. 
Determine a velocidade através da válvula 2 requerida para 
manter o nível constante de água no tanque. Considere a água 
um fluido incompressível.
2
1
D = 3 ft
d1 = 2 in
V1 = 10ft/s
d2 = 3 in d3 = 3 in
(AV)3 = 0,35 ft3/s?? V2
3
h Pela equação de conservação da 
massa em VC:
231
•••
−+= mmm
dt
dmVC
231
•••
−+= mmm
dt
Ahd VC)(ρD
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FIM!