Calculo1 - Lista04

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Universidade Federal de Sa˜o Carlos-Departamento de Matema´tica
89109-Ca´lculo 1-Turma E: Lista 4
Prof(a) Alessandra Verri 10 de abril de 2017
Exerc´ıcio 1. Explique por que a func¸a˜o e´ descont´ınua no nu´mero dado. Esboc¸e o gra´fico da func¸a˜o.
(a) f(x) =

1
x− 1 se x 6= 1
2 se x = 1
, a = 1. (b) f(x) =
x2 − 1
x + 1
, a = −1.
(c) f(x) =
 x
2 − 1
x + 1
se x 6= −1
6 se x = −1
, a = −1. (d) f(x) =
 x
2 − 2x− 8
x− 4 se x 6= 4
3 se x = 4
, a = 4.
(e) f(x) =
{
1− x se x ≤ 2
x2 − 2x se x > 2 , a = 2.
Exerc´ıcio 2. Considere a func¸a˜o f(x) =
{
x− 1 se x < 3
5− x se x ≥ 3 . Mostre que f(x) e´ cont´ınua em R.
Exerc´ıcio 3. Encontre os pontos nos quais f(x) e´ descont´ınua. Em quais desses pontos f e´ cont´ınua
a` direita, a` esquerda ou nenhum deles? Esboc¸e o gra´fico de f(x).
(a) f(x) =

2x + 1 se x ≤ 1
3x se −1 < x < 1
2x− 1 se x ≥ 1
. (b) f(x) =
{
(x− 1)3 se x < 0
(x + 1)3 se x ≥ 0 .
Exerc´ıcio 4. Para qual valor de c a func¸a˜o f(x) =
{
cx + 1 se x < 3
cx2 − 1 se x ≥ 3 e´ cont´ınua no ponto a = 3?
Exerc´ıcio 5. Seja f(x) = x3 − x2 + x, mostre qu existe um nu´mero c tal que f(c) = 10.
Exerc´ıcio 6. Use o Teorema do Valor Intermeda´rio para provar que existe um nu´mero positivo c tal
que seu quadrado e´ igual a 2 (esse resultado prova a existeˆncia do nu´mero
√
2).
Exerc´ıcio 7. Use o Teorema do Valor Intermeda´rio para provar que existe uma raiz da equac¸a˜o no
intervalo I especificado.
(a) x3 − 3x + 1 = 0, I = (0, 1). (b) x2 = √x + 1, I = (1, 2). (c) cosx = x, I = (1, 2).
Exerc´ıcio 8. Prove que a equac¸a˜o tem pelo menos uma raiz real.
(a) x5 − x2 − 4 = 0 (b) √x− 5 = 1
x + 3