MAPA - MAT - ANÁLISE MATEMÁTICA - Rascunho

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MAPA – Material de Avaliação Prática da Aprendizagem
	Acadêmico:
	R.A.
	Curso: Licenciatura em Matemática
	 Disciplina: Análise Matemática
	Valor da atividade: 3,5 pontos
	Prazo: 01/10/2021
Instruções para Realização da Atividade
1. Todos os campos acima deverão ser devidamente preenchidos;
2. É obrigatória a utilização deste formulário para a realização do MAPA;
3. Esta é uma atividade individual. Caso identificado cópia de colegas, o trabalho de ambos sofrerá decréscimo de nota;
4. Utilizando este formulário, realize sua atividade, salve em seu computador, renomeie e envie em forma de anexo no campo de resposta da atividade MAPA;
5. Formatação exigida para esta atividade: documento Word, Fonte Arial ou Times New Roman tamanho 12, Espaçamento entre linhas 1,5, texto justificado; 
6. Ao utilizar quaisquer materiais de pesquisa referencie conforme as normas da ABNT;
7. É necessário responder as DUAS PARTES da Atividade.
8. Os cálculos e fórmulas devem ser realizados no próprio arquivo word (TEMPLATE disponível no Material da Disciplina). Para isso utilize o EQUATION, que é a ferramenta inserida no próprio word, ou outra ferramenta disponível. NÃO SERÃO ACEITOS TRABALHOS FEITOS À MÃO E INSERIDOS NO ARQUIVO.
Em caso de dúvidas, entre em contato com seu Professor Mediador.
Bons estudos!
PARTE 1 – Teorema do Valor Intermediário.
a) Enuncie e Demonstre o Teorema do Valor Intermediário para funções reais de uma variável real; 
Seja
Então S é limitado (nenhum elemento de S é maior do que b) e não é vazio (pois contém a).
 Logo, possui um supremo c.
Então , pois: se c = a, então tem-se por hipótese; caso contrário, como f é contínua em c e quando, 
Se se tivesse , haveria, pela continuidade de f em c, pontos x tais que para os quais se teria em todo o intervalo , o que contradiz o fato de c ser o supremo de S .
 Logo, .
b) Dentre as hipóteses do Teorema do Valor Intermediário, existe uma condição muito importante que garante a existência de tais pontos. Qual é essa hipótese?
A hipótese de que seja uma função contínua garante a existência de tais pontos. Além disso, é importante ressaltar a continuidade da função no compacto 
c) Enuncie pelo menos um corolário diretamente ligado ao Teorema do Valor Intermediário.
Corolário: Se f é uma função contínua de em e se e têm sinais opostos, então existe pelo menos um número real entre e tal que 
d) Resolva a seguinte situação-problema. 
O queniano Eliud Kipchoge se tornou o primeiro atleta a correr uma maratona em menos de duas horas. O campeão olímpico e recordista mundial marcou o tempo de 1 hora 59 minutos e 40 segundos neste sábado, em evento preparado especialmente para a tentativa em Viena, na Áustria. Kipchoge foi apoiado por 36 outros corredores que o acompanharam em grupos alternados.
Disponível em: <https://veja.abril.com.br/esporte/eliud-kipchoge-se-torna-primeiro-a-correr-uma-maratona-em-menos-de-2-horas/>. Acesso em Out. 2019
Sabendo que uma maratona possui um percurso de 42,195 km, prove que, em pelo menos dois momentos distintos da corrida, a velocidade instantânea de Eliud era de 5 metros por segundo.
Seja a velocidade instanânea. Considere dois instantes de tempo e , onde . 
Defina . Tome um ponto a tal que . Agora, observe que . Pelo Teorema do valor intermediário, existe um , tal que . Portanto, . 
Sabendo que a velocidade média é dada por: 
 
Como a velocidade acima é média, existe pelo menos um instante de tempo em que a velocidade instantânea é menor que a média. Assumindo que terminamos.
PARTE 2 – Teorema do Valor Médio.
a) Para a demonstração do Teorema do Valor Médio, um outro teorema (também conhecido por um nome) é utilizado. Qual é esse Teorema? Enuncie o Teorema em questão.
Teorema de Rolle: Considere uma função f satisfazendo as seguintes condições:
(1) é contínua no intervalo fechado [ a , b] ;
(2) é derivável no intervalo aberto; 
(3) .
Então, existe um número em , tal que,.
Demonstração: Como é contínua em, pelo teorema dos valores extremos assume um valor máximo e um valor mínimo em . Sejam e os pontos de onde estes valores são atingidos, isto é, sejam e tais que , para todo em.
Existem dois casos a serem considerados:
(i) A função é constante em . Neste caso, para todo .
de. Assim, para todo de .
(ii) para algum no intervalo aberto . Neste caso, ou m ou é diferente das extremidades e do intervalo considerado.
Sem perda de generalidade, suponhamos que seja m este ponto. Como m é um ponto de máximo e está no intervalo aberto (a,b) onde f é derivável, tem-se . Logo, o ponto satisfaz a conclusão do teorema.
b) Agora que já sabemos qual é o Teorema necessário para demonstrar o Teorema do Valor Médio, enuncie e demonstre o Teorema do Valor Médio (de Lagrange). (Pode, quando necessário, apenas citar o teorema visto anteriormente)
Teorema do valor médio:
 Considere uma função satisfazendo as condições:
(1) é contínua no intervalo fechado ;
(2) é derivável no intervalo aberto 
Então, existe um número em , tal que 
Demonstração: A demonstração é feita usando-se o teorema de Rolle. Para isso, considera a função , onde é a reta que une os pontos.
isto é, 
A função satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle, isto é, d é contínua em [a,b], diferenciavel em pois f e g o são, e, além disso, 
Assim, existe um ponto onde .
Logo, , ou seja,
 
c) Resolva a seguinte questão:
Considere uma função diferenciável em todo o seu domínio, tal que , . Se , então, pelo Teorema do Valor Médio, determine o valor máximo de .
Considerando as hipóteses da função do enunciado e aplicando o Teorema do Valor Médio ao intervalo , pode-se afirmar que existe , , tal que:
Mas , pela hipótese . Logo,
Sendo e , temos que: