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AULA 1 1. A seqüência D não tem dois 4. (Alternativa D) 2. Se Alexandre não vai de carro e acompanha Bento, que não vai de avião, então ambos vão de trem. Carlos não acom- panha Dário e não anda de avião, logo é companheiro de Tomás, que não anda de trem; assim, ambos vão de carro. André, que viaja de avião, é companheiro de Dário; logo, ambos vão de avião. Portanto, Alexandre vai de trem e Tomás vai de carro. (Alternativa D) 3. A estratégia é escolher o ímpar “no meio” de cada intervalo. Pedrinho pode começar com x = 51, reduzindo as possibilidades a no máximo 25 ímpares (por exemplo, se a resposta for menor, o número será um ímpar entre 1 e 49, e nesse caso Pedrinho escolherá x = 25). Continuando essa estratégia, Pedrinho reduzirá as possibilidades no próximo passo a (no máximo) 12 ímpares, depois a 6 ímpares, depois a 3 ímpares e finalmente a 1 ímpar, acer- tando o número com no máximo 5 perguntas. (Alternativa A) 4. O total de letras nas cinco respostas é 63, sendo 13 nas respostas das alternativas A e B, 9 na resposta da alternativa C, 12 na resposta da alternativa D e 16 na resposta da alternativa E. Como 63 – 13 = 50, 63 – 9 = 54, 63 – 12 = 51 e 63 – 16 = 47, a única alternativa correta é a D. (Alternativa D) 5. Se A é cão, B é cão, C é lobo, D é cão, E é lobo, o que é absurdo, pois E diria que A é um lobo. Assim, A é lobo, B é lobo, C é cão, D é lobo e E é lobo, e portanto há quatro lobos no grupo de animais. (Alternativa D) 1. Devemos perceber que enquanto o primeiro termo do trio pitagórico tem um aumento constante (sempre 2), os outros dois aumentam 8, 12, 16…; isto é, o aumento deles cada vez aumenta 4. Para chegarmos no primeiro termo 17, devemos ter quatro aumentos de 2 a partir do 9. Os outros dois termos aumentarão 20 + 24 + 28 + 32 = 104 cada um. Logo teremos como soma 104 + 104 + 40 + 41 = 289. (Alternativa A) 2. Claramente, 37 bolas não são suficientes uma vez que entre elas podem estar as 10 bolas brancas e pretas e 9 de cada uma das outras. Por outro lado, 38 bolas garantem que temos pelo menos 28 bolas que não são nem bran- cas e nem pretas e uma vez que 28 = 3 ⋅ 9 + 1 pelo Princípio da Casa dos Pombos temos certamente 10 bolas da mesma cor. (Alternativa E) 3. Mário e Carlos não podem ter ambos dito a verdade, pois somente um entrou sem pagar. Se Mário não falou a ver- dade, então o que Carlos disse é verdadeiro, o que Pedro disse é verdadeiro e o que Benjamim disse é verdadei- ro. Disso se conclui que Pedro entrou sem pagar (Se Mário disse a verdade, Carlos não disse e Pedro disse, o que é contraditório). (Alternativa B) 4. Todas as somas devem ser 90, logo acima do x temos o 30 para completar a diagonal com 90. Ao lado do x deve- mos ter 45, para completar a outra diagonal com 90. Assim x só pode ser 20 para que sua linha também dê 90. (Alternativa B) 5. O truque é ser o mais “pessimista” possível. Ao sacarmos 40 bolas, podemos ter sacado 8 de cada cor. Ao sa- carmos mais 8, podemos ter duas de cada cor restante. Ao sacarmos mais 6, podemos ter duas de cada cor res- tante. Ainda podemos sacar mais 4 e ter duas de cada cor restante. Porém a próxima garantirá uma a décima quinta da mesma cor. Assim 40 + 8 + 6 + 4 + 1 = 59. (Alternativa B) 6. Se André disse a verdade, Rafael também disse; o que contradiz o enunciado. Se Eduardo disse a verdade, Rafael também disse; o que mais uma vez contradiz o enunciado. Se Rafael disse a verdade, ou João ou Eduardo também disseram; o que mais uma vez contradiz o enunciado. Logo, apenas João pode ter dito a verdade, o que faz de Rafael o culpado. (Alternativa C) CasaEm ClasseEm SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática 2008 Resoluções NÍVEL 2 www.cursoanglo.com.br Treinamento para Olimpíadas de Matemática2008 7. A cada 10 inteiros consecutivos aparecem todos os algarismos 0, 1, 2, …, 9 como último algarismo. Como sua soma é 45, que termina em 5, e 7 × 5 = 35, que também termina em 5, a soma de 70 números inteiros positivos consecutivos sempre termina em 5. (Alternativa D) 8. Uma estratégia que o jogador que começa pode adotar é tirar 6 – k palitos, se o outro jogador tirou k palitos na jogada anterior. Como o resto da divisão de 1000 por 6 é 4, temos que o jogador que começa deve tirar no come- ço 4 palitos para garantir a vitória (nas outras jogadas, basta seguir a estratégia anterior). (Alternativa D) 9. Se KAB significa sim, a resposta correta à pergunta é sim, ou seja, KAB. Se KAB significa não, a resposta correta à pergunta é não, ou seja, KAB. Assim, a pessoa diz a verdade nos dois casos, mas não podemos deduzir o signifi- cado verdadeiro da palavra KAB. (Alternativa D) AULA 2 1. As telas são retângulos semelhantes e a razão de semelhança é Logo a razão entre as áreas é . Portanto cabem 9 telas de 20 polegadas em uma de 60 polegadas. (Alternativa A) 2. As duas últimas informações podem ser reunidas no esquema abaixo: O grampo, a moeda e a borracha estão dentro de caixas; logo a moeda está dentro da caixa vermelha. (Alternativa A) 3. Há 6 possibilidades distintas de se colorir o tabuleiro. (Alternativa C) 4. Com as peças (Alternativa E) 5. Antes de tudo, deve ficar claro que ninguém pode assumir que se trata de dados usuais, onde a soma das faces opos- tas é sempre 7. Observe os “vizinhos” do número 6, com uma atenção especial para a direção de suas linhas pontilhadas. Com isso podemos dizer que o 4 está oposto ao 2. Assim, pensando no dado superior, o 5 só poderia estar abaixo ou oposto ao 3. Vendo o dado inferior percebemos que o cinco não pode estar oposto ao 3, logo o 1 é que está oposto ao 3. Temos assim que o 5 só pode estar oposto ao 6. Observando a direção da diagonal pontilhada do 3 do dado inferior, podemos concluir que o número 4 está abaixo. (Alternativa C) 1. Nas figuras, basta ver se nos retângulos menores a linha tracejada é metade do perímetro. Isto não ocorre na figura onde a linha tracejada é menor que a metade. (Alternativa C) CasaEm 1 3 1 9 2 = 20 60 1 3 = . ClasseEm SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática 2008 2. Considerando que a engrenagem da esquerda girou um certo ângulo x em um sentido (horário ou anti-horário), a engrenagem da direita girou o mesmo ângulo x no sentido oposto, e portanto a bandeirinha ficou na posição mostra- da na alternativa A. (Alternativa A) 3. Primeiro colocamos o azul entre dois outros. Sabemos que o verde está depois do azul, porém ele não pode estar imediatamente depois por ser o menor de todos. Assim temos que o azul está entre o amarelo e o preto. Como amarelo vem depois do preto, concluímos que o preto é o primeiro. (Alternativa C) 4. Dos três conjuntos {1, 2, 5, 8}, {2, 3, 5, 7} e {3, 4, 5, 8} vê-se que o vértice de número 5 é adjacente a 2, 3 e 8. Os três vértices opostos a 5 sobre as faces que convergem neste vértice são 1, 7 e 4. Portanto o vértice diagonal- mente oposto a 5 é 6. (Alternativa D) 5. Temos 252° = 180° + 72°, sendo o ângulo central do pentágono igual a (Alternativa B) 6. O plano que secciona o cubo no item B é aquele que contém os segmentos que ligam os pontos médios de arestas paralelas não coincidentes de duas faces adjacentes. Pode-se verificar que as demais planificações não contém re- presentações de interseções de planos com o cubo. (Alternativa B) 7. Observando a figura, vemos 4 cubos com exatamente 3 faces livres de contato. (Alternativa A) 8. A soma das áreas das partes é 6400. Portanto, o quadrado tem lado . (Alternativa E) AULA 3 1. A quantidade utilizada de palitos é mínima quando o número de palitos de 7 cm é máximo. Como 200 = 28 × 7 + 4 = 26 × 7 + 3 × 6, o número mínimo de palitos é 29. (Alternativa A) 2. Sabemos que 99 = 7 × 14 + 1. Logo daqui a 99 dias é daqui a 14 semanas e 1 dia. Assim será domingo. (Alternativa C) 3. Supondo que todos os quecomem galinha também comem porco então 40 pessoas, no máximo não comem nenhum desses dois tipos de carne. (Alternativa D) 4. Abrindo uma cadeia de três elos, o serralheiro emenda 4 cadeias de 3 elos, formando um pedaço de 15 elos. Por isso, com 6 elos, ele forma dois pedaços de 15 elos; abrindo mais um elo de um desses pedaços, ele emenda 15 com 14, formando a corrente de 30 elos. Levará portanto 7 × 5 = 35 minutos. Para verificar que não é possível em menos tempo, basta observar que, abrindo 6 elos, restam pelo menos 8 pedaços formados por 1, 2 ou 3 elos fechados e que necessitam de pelo menos 7 elos abertos para serem ligados. (Alternativa B) 5. Temos que equivale a , assim x pode ser um natural de 10 a 48, isto é, temos 39 opções para x. (Alternativa D) 1. Existem 27 possíveis resultados para a soma dos algarismos (1 a 27). As somas 1 e 27 só podem ser obtidas de um modo cada (100 e 999, respectivamente). Assim, no caso mais desfavorável, retiraríamos 27 + 25 cartões, e uma das somas aparecerá pela terceira vez no próximo cartão. Portanto precisamos de no mínimo 53 cartões. (Alternativa C) CasaEm 9 49� �x3 7� �x ClasseEm 6400 80= A B 252° O B 72° 180° O A 760 5 72 ° = °. SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 3 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática 2008 2. Seja (ab)10 um inteiro de dois algarismos. Devemos ter 10a + b = 2ab ⇔ (2a – 1)(b – 5) = 5. Como a e b são inteiros com a � 0 e 0 � b � 9, temos que 2a – 1 � 0 e assim, 2a – 1 = 5 e b – 5 = 1 ⇔ a = 3 e b = 6. Logo o único inteiro satisfazendo as condições do enunciado é 36. (Alternativa B) 3. A soma dos números de 1 a 9 é 45. Ao colocar 1 no meio, podemos escrever numa das “pás” 22 = 9 + 6 + 5 + 2 e na outra 22 = 8 + 7 + 4 + 3. Essa não é a única possibilidade, mas isso não muda o fato de que a maior soma possível em cada pá é igual a 22. (Alternativa B) 4. Como a lavagem completa é mais cara, o menor número de clientes ocorre quando o número c de lavagens com- pletas for máximo. Como 176 = 7 × 25 + 1, então c � 25. Além disso, 176 – 7c deve ser múltiplo de 5, e portanto c deve terminar em 3 ou em 8. Logo o valor máximo de c é 23, em cujo caso o número de lavagens simples é O menor número possível de clientes é 23 + 3 = 26. (Alternativa C) 5. A maior quantia é 4 moedas de de pau, 3 moedas de de pau e 2 moedas de de pau. Essa soma dá , que equivale a 2 paus e paus. (Alternativa D) 6. 1 saco de areia = 8 tijolos. Se o caminhão pode carregar ainda 18 sacos então pode carregar 18 × 8 = 144 tijolos. (Alternativa B) 7. Como o aluno que saiu da turma A é o que tinha a menor nota, a média das notas desta turma aumentou; como, todavia, este aluno tem nota maior que a de qualquer outro aluno da turma B, temos que a média da turma B aumentou. (Alternativa C) 8. Ao dividirmos a mesa em um tabuleiro 5 × 7, temos a seguinte figura, com a trajetória da bola: Observando a figura, nota-se que a bola bate na tabela 10 vezes antes de bater novamente em um canto. Observação: pode-se demonstrar que a razão entre a largura e o comprimento é a fração irredutível a/b, a bola bate na tabela a + b – 2 vezes nas tabelas antes de bater novamente em um canto. A idéia para obter esse re- sultado é construir um quadrado de lado ab com retângulos a × b e contar o número de vezes que a diagonal do quadrado corta os lados dos retângulos. (Alternativa A) Partida 13 60 133 60 1 3 1 4 1 5 176 23 7 5 3 − = × . SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 4 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática 2008
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