Matemática para Negócios 9

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DISCIPLINA MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
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AULA 9 – LIMITES DE UMA FUNÇÃO
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Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
Saber calcular o limite de uma função com base nas propriedades da soma, do produto e do quociente de funções.
Olá a todos!
Nesta aula, você prenderá a calcular o limite com base nas propriedades da soma, do produto e do quociente de funções.
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Noção intuitiva de limites
Limite de função em um ponto
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x) quando x está próximo de um ponto p.
Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, podemos dizer que à medida que x se aproxima de p os valores da função aproximam-se do número L.
A notação é a seguinte:   Lim f(x)=L
 xp (“lê-se, x tende a p”)
Lim (3x+5)=?
x4
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x) quando x está próximo de um ponto p.
Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, podemos dizer que à medida que x se aproxima de p os valores da função aproximam-se do número L.
Lim (3x+5)=17
X4
EXEMPLO
Como se comportam os valores da função y = 3x + 5 quando x se aproxima do ponto p = 4?
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Seja a função f(x)=2x+1.
Como se comportam os valores da função f(x) quando x se aproxima do ponto p = 1?
Vamos atribuir a x valores que se aproximam de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y ou f(x):
	X
	Y=2X+1
	X
	Y=2X+1
	1,5
	4
	0,5
	2
	1,3
	3,6
	0,7
	2,4
	1,1
	3,2
	0,9
	2,8
	1,05
	3,1
	0,95
	2,9
	1,02
	3,04
	0,98
	2,96
	1,01
	3,02
	0,99
	2,98
Notamos que, à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1  (x -> 1), y tende para 3 (y -> 3), ou seja:  Lim (2x+1)=3
 x1
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	X
	Y=2X+1
	X
	Y=2X+1
	1,5
	4
	0,5
	2
	1,3
	3,6
	0,7
	2,4
	1,1
	3,2
	0,9
	2,8
	1,05
	3,1
	0,95
	2,9
	1,02
	3,04
	0,98
	2,96
	1,01
	3,02
	0,99
	2,98
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Quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). 
Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)3), dizemos que o limite de f(x).
Quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
De forma geral, escrevemos: Lim f(x)=L
 Xp
Se, quando x se aproxima de p (x  p), f(x) se aproxima de L (f(x) -> L)
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Propriedades dos limites
Lim [f(x)±g(x)]=Lim f(x) ±Lim g(x)
Obs: (lembrando que, “Lim=xq”)
O limite da soma é a soma dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.
Lim []=Lim (Lembrando que, “Lim= x1”)
O limite do produto é o produto dos limites.
Lim [f(Lim f(x). Lim g(x) (Lembrando que, “Lim e F(x). g(x)= x=Q”)
O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.
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ATIVIDADE PROPOSTA
Vamos testar o que aprendemos até aqui? Leia com atenção e resolva as questões a seguir!
Como se comportam os valores da função y = , quando x se aproxima do ponto p=2
Lembramos que, pela propriedade do limite do quociente de funções, o resultado é o quociente dos limites das funções.
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=2:
(x-2) se aproxima de zero
(x+1) se aproxima de 3;
Portanto, o limite da função  y =   , estará se aproximando do quocientedos limites de (x-2) e de (x+1) no ponto p=2, ou seja, será igual a: =0
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ATIVIDADE PROPOSTA
Como se comportam os valores da função y = (x+4).(x – 2x) quando x se aproxima do ponto x=3?
Lembramos que, pela propriedade do limite do produto de funções, o resultado é o produto dos limites das funções.
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=3:
(x+4) se aproxima de 7;
(x2 – 2x) se aproxima de 3;
Portanto,  o limite da função  y = (x + 4).(x² – 2x) estará se aproximando do produto dos limites de (x + 4) e de (x² – 2x) no ponto p=3, ou seja, será igual a: 7.3 = 21
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ATIVIDADE PROPOSTA
Como se comportam os valores da função y = quando x se aproxima do ponto p=2?
Lembramos que, pela propriedade do limite do quociente de funções, o resultado é o quociente dos limites das funções.
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=2: => , se aproxima de zero.
 => , se aproxima de zero.
Portanto,  o limite da função  y =aproxima-se de uma fração do tipo  
Logo, não podemos aplicar a propriedade do quociente dos limites.
Para resolver essa questão, vamos construir duas tabelas de valores que se aproximam à esquerda e à direita do ponto p=2. Vamos procurar concluir para que valor a expressão realmente converge.
	X
	Y
	X
	Y
	1
	3
	3
	5
	1,9
	3,9
	2,1
	4,1
	1,99
	3,99
	2,01
	4,01
	1,999
	3,999
	2,001
	4,001
Portanto, podemos concluir que, à medida que x se aproxima de 2, os valores de y é , aproximam-se do valor L=4.
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Escolha a opção correta: Como se comportam os valores y=-2x+1, quando x se aproxima do ponto p=3?
R: 4, porque: (os valores da função y=-2x+1 quando x se aproxima do ponto p=3 é 4).
Caucule o limite da função com o auxilio de uma tabela de valores à esquerda e à direita do ponto p=3: R: 6
Caucule o limite da função y=, usando o conceito intuitivo para o ponto p=-3. R: 0
Caucule o limite da função com o auxilio de uma tabela de valores à esquerda e à direita do ponto p=0. R:1
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Nesta aula você estudou:
- Calcular o limite com base nas propriedades da soma, do produto e do quociente de funções.