Elementos de Máquinas UNIDADE 2 Análise de falhas sob carregamento estático [13 02]

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Unidade 2 
Análise de falhas sob 
carregamento estático 
Elementos 
de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Teoria de falha estática 
 Tipo de carregamento 
 
 Carregamentos estáticos 
são aplicados lentamente, permanecendo constantes com 
o tempo. 
 
 Carregamentos dinâmicos 
são aplicados repentinamente (caso de impacto) e/ou 
variando repetidamente com o tempo (caso de cargas por 
fadiga). 
 
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Teoria de falha estática 
 Falha de acordo com o tipo de material 
 
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Corpo de prova 
Ensaio de Tração 
Teoria de falha estática 
 Falha de acordo com o tipo de material 
 
 Material dúctil 
Qualquer material que possa ser submetido a grandes 
deformações antes da ruptura 
 
São capazes de absorver choque ou energia e, quando 
sobrecarregados, exibem, em geral, grande escoamento 
antes de falhar. 
 
Exemplo: 
 Aço 
 
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Falha de um 
material dúctil 
Teoria de falha estática 
 Falha de acordo com o tipo de material 
 
 Material frágil 
Sofrem fratura, praticamente sem mudanças significativas 
de sua forma externa 
 
São materiais que apresentam pouco (ou nenhum) 
escoamento antes de falhar. 
 
Exemplo: 
 Ferro Fundido 
 
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Falha de um 
material frágil 
Teoria de falha estática 
 As teorias de falha são fundamentais para a 
determinação de critérios para a previsão da falha 
de um determinado material frente a um estado bi 
ou tridimensional de tensões, sendo as mais clássicas: 
 
 Materiais Frágeis 
 Teoria da Máxima Tensão Normal (Rankine) 
 Critério de Falha de Mohr 
 
 Materiais Dúcteis 
 Teoria da Máxima Tensão Cisalhante (Tresca) 
 Teoria da Máxima Energia de Distorção (Von Mises) 
 
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Teoria da Máxima Tensão Normal 
(Rankine) 
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 Materiais Frágeis 
 
 Definição (Shigley) 
 
“a falha ocorre sempre que uma das três tensões 
principais iguala-se ou excede à resistência” 
 
 Em outras palavras: 
 
“a falha ocorre quando a tensão principal máxima no 
material atinge (ou excede) a tensão normal máxima 
que o material pode suportar em um teste de tração 
uniaxial” 
 
 
 
Teoria da Máxima Tensão Normal 
(Rankine) 
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 Para o caso de tensão tridimensional: 
 
𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ 𝜎3 
 
 Essa teoria prediz ocorrência de falha sempre que: 
 
𝜎1 ≥ 𝑆𝑢𝑡 𝑜𝑢 𝜎3 ≤ −𝑆𝑢𝑐 
 
 Onde: 
𝑆𝑢𝑡 = resistência de tração última (do teste de tração) 
𝑆𝑢𝑐 = resistência de compressão última 
𝜎𝑖 = tensão normal máxima do material 
 
 
Teoria da Máxima Tensão Normal 
(Rankine) 
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 Para o caso de tensão bidimensional (plana): 
 
𝜎2 = 0 𝑒 𝜎1 ≥ 𝜎3 
 
𝜎𝐶 = 0 𝑒 𝜎𝐴 ≥ 𝜎𝐵 
 
 Essa teoria prediz ocorrência de falha sempre que: 
 
𝜎1 ≥ 𝑆𝑢𝑡 𝑜𝑢 𝜎3 ≤ −𝑆𝑢𝑐 
 
𝜎𝐴 ≥ 𝑆𝑢𝑡 𝑜𝑢 𝜎𝐵 ≤ −𝑆𝑢𝑐 
 
 
 
Estado seguro 
 das tensões 
𝜎1 
𝜎2 
𝑆𝑢𝑡 
𝑆𝑢𝑡 
−𝑆𝑢𝑐 
−𝑆𝑢𝑐 
Teoria da Máxima Tensão Normal 
(Rankine) 
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 Estas equações podem ser plotadas no plano 
𝜎1 − 𝜎2 conforme apresentado na figura abaixo: 
 
Diagrama de falha para a teoria da 
tensão normal máxima (tensão plana) 
Teoria da Máxima Tensão Normal 
(Rankine) 
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 Fator de Segurança 
 
 
“relação entre a tensão do material e a tensão 
aplicada” 
 
 
 Para o caso de tensão bidimensional (plana) 
 
 
𝐹𝑆 ≥
𝑆𝑢𝑡
𝜎𝐴
𝑜𝑢 𝐹𝑆 ≤ −
𝑆𝑢𝑐
𝜎𝐵
 
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Materiais regulares e irregulares 
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 Materiais regulares 
são aqueles que tendem a apresentar uma resistência a 
compressão igual a resistência a tração. 
Ex: Ferro Fundido 
 
𝑆𝑢𝑐 = 𝑆𝑢𝑡 
 
 Círculo de Mohr 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝜎1
2
 
Materiais regulares e irregulares 
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 Materiais irregulares 
são aqueles que tendem a apresentar uma resistência a 
compressão muito superior a resistência a tração. 
Ex: Ferro Fundido Cinza 
 
𝑆𝑢𝑐 ≫ 𝑆𝑢𝑡 
 
 Círculo de Mohr 
𝜏𝑖 = 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑐 
Teoria de Rankine 
não é aplicável 
Materiais regulares e irregulares 
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 Linhas de falha: Região segura do projeto 
 
 Círculo de Mohr para cisalhamento puro 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜎1 = 𝜎2 
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 Materiais Frágeis 
 
 Como visto anteriormente, a teoria da Máxima 
Tensão Normal (Rankine) é aplicável apenas para 
materiais frágeis regulares. 
 
 Assim, para prever falhas em materiais frágeis 
irregulares o critério de falha de Mohr ou a teoria de 
falha de Coulomb-Mohr é a mais indicada. 
 
 Essa teoria é uma adaptação da teoria da máxima 
tensão normal 
Critério de falha de Mohr 
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 A figura abaixo ilustra o critério de Coulomb-Mohr para 
materiais frágeis, considerando a máxima resistência à 
tração 𝑆𝑢𝑡 
Critério de falha de Mohr 
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 Para materiais frágeis regulares temos: 
 
𝑺𝒖𝒄 = 𝑺𝒖𝒕 
quadrado simétrico 
 
 Para materiais frágeis irregulares temos: 
 
𝑺𝒖𝒄 ≫ 𝑺𝒖𝒕 
quadrado assimétrico. 
 
 Em que: 
𝑆𝑢𝑡 = resistência de tração última (do teste de tração) 
𝑆𝑢𝑐 = resistência de compressão última 
 
 
Critério de falha de Mohr 
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 Porém, a envoltória de falha para materiais 
irregulares é válida somente nos 1º e 3º quadrantes, 
por não considerar a relação de variação existente 
entre as tensões normal e de cisalhamento. 
Critério de falha de Mohr 
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 Relação de dependência 
a relação de dependência entre tensão normal (𝝈) e 
tensão de cisalhamneto (𝝉) é contemplada através da 
união dos vértices destes dois quadrantes 
Critério de falha de Mohr 
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𝜏𝑖 = 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑐 
materiais irregulares 
𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑡 
𝑆𝑢𝑡, 0 
0, 𝑆𝑢𝑡 
−𝑆𝑢𝑐 , 0 
−𝑆𝑢𝑐 , −𝑆𝑢𝑐 
 Teoria de Mohr 
Critério de falha de Mohr 
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Estado seguro 
 das tensões 
0,−𝑆𝑢𝑐 
𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑡 
𝑆𝑢𝑡 , −𝑆𝑢𝑡 
0,−𝑆𝑢𝑐 
−𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑡 
−𝑆𝑢𝑐 , 0 
−𝑆𝑢𝑐 , −𝑆𝑢𝑐 
 Teoria de Mohr modificada 
experimentalmente 
Critério de falha de Mohr 
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Estado seguro 
 das tensões 
 Fator de Segurança 
Analisando os 1º e 2º quadrantes da figura referente ao 
critério de Mohr modificado, definem-se claramente três 
planos de condições de tensão: 
 
I. plano A, onde 𝝈𝟏 e 𝝈𝟑 são sempre positivos; 
 
II. plano B, onde 𝝈𝟏 e 𝝈𝟑 tem sinais opostos e o limite de 
resistência em 𝑺𝒖𝒕; 
 
III. plano C, onde 𝝈𝟏 e 𝝈𝟑 tem sinais opostos e os limites 
de resistênciaem 𝑺𝒖𝒕 e 𝑺𝒖𝒄. 
 
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Critério de falha de Mohr 
𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑡 
𝑆𝑢𝑡 , −𝑆𝑢𝑡 
0,−𝑆𝑢𝑐 
−𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑡 
−𝑆𝑢𝑐 , 0 
−𝑆𝑢𝑐 , −𝑆𝑢𝑐 
Estado seguro 
 das tensões 
𝑆𝑢𝑡 , −𝑆𝑢𝑐 
 Fator de Segurança 
 
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Critério de falha de Mohr 
 Fator de Segurança 
 
 Para os planos A e B, temos: 
 
 
𝐹𝑆 ≥
𝑆𝑢𝑡
𝜎1
𝑜𝑢 𝐹𝑆 ≤ −
𝑆𝑢𝑐
𝜎3
 
 
 
 Pois a falha ocorre quando as linhas de carga 
ultrapassam os pontos A’ e B’, respectivamente, para 
os planos A e B. 
 
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Critério de falha de Mohr 
 Fator de Segurança 
 
 Para o plano C, temos: 
 
𝐹𝑆 ≥
𝑆𝑢𝑡
𝜎 
 
 
 Sendo (𝜎 ) a tensão efetiva para materiais frágeis e, 
determinada por: 
 
𝜎 = 𝑀𝐴𝑋 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝜎1, 𝜎2, 𝜎3 
 
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Critério de falha de Mohr 
 Se 𝜎 = 𝑀𝐴𝑋 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝜎1, 𝜎2, 𝜎3 ≤ 0 ⇒ 𝜎 = 0 
 
 expressão de Dowling: 
 
𝐶1 =
1
2
𝜎1 − 𝜎2 +
𝑆𝑢𝑐 + 2𝑆𝑢𝑡
𝑆𝑢𝑐
𝜎1 + 𝜎2 
 
𝐶2 =
1
2
𝜎2 − 𝜎3 +
𝑆𝑢𝑐 + 2𝑆𝑢𝑡
𝑆𝑢𝑐
𝜎2 + 𝜎3 
 
𝐶3 =
1
2
𝜎3 − 𝜎1 +
𝑆𝑢𝑐 + 2𝑆𝑢𝑡
𝑆𝑢𝑐
𝜎3 + 𝜎1 
 
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Critério de falha de Mohr 
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𝝈𝟏 −𝝈𝟐 
𝝉𝒎𝒂𝒙 
−𝝉𝒎𝒂𝒙 
𝑻 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑵 ∙ 𝒎 
𝑻 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑵 ∙ 𝒎 
𝒓 
 O eixo maciço de ferro fundido mostrado na figura abaixo 
está sujeito a um torque 𝑻 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑵 ∙ 𝒎 e cisalhamento 
puro 
 
 Determine seu menor raio de forma que ele não falhe 
segundo a teoria da máxima tensão normal. 
 
 Um corpo de prova de ferro fundido, testado a tração, 
apresenta uma tensão última 𝑺𝒖𝒕 = 𝟏𝟓𝟎 𝒌𝑷𝒂. 
Exercícios - 1 
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 Depois que falhas ocorreram em diversas caixas de rolamento de 
ferro fundido, tomou-se a decisão de usar rosetas de extensômetros 
(stran-gages) para determinar as tensões de operação e então 
realizar uma análise de falha usando o critério de falha de Mohr. 
 
 Durante um longo período de operação, a combinação mais 
crítica de tensões foi estabelecida como sendo ( 𝝈𝒙 = 𝟎 , 
𝝈𝒚 = 𝟏𝟏𝟓 𝑴𝑷𝒂, 𝝉𝒙𝒚 = 𝟕𝟓 𝑴𝑷𝒂); e os limites de resistência em tração e 
compressão do ferro fundido foram determinados como sendo 
𝑺𝒖𝒕 = 𝟏𝟔𝟎 𝑴𝑷𝒂 e 𝑺𝒖𝒄 = 𝟔𝟓𝟓 𝑴𝑷𝒂, respectivamente. Determine: 
 
(a) tensões principais 𝝈𝟏 e 𝝈𝟐 correspondentes ao estado de tensão 
dado. 
 
(b) Construa um diagrama de falha de Mohr, para o ferro fundido. 
 
(c) Usando os resultados obtidos nos itens (a) e (b), você poderia 
explicar porque as falhas estão ocorrendo nas caixas de 
rolamentos? Mostre seus cálculos. 
Exercícios - 2 
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 Considere a chave de roda da figura a seguir, como feita 
de ferro fundido, usinada para as dimensões fornecidas. 
 
 A força 𝑭 requerida para a fratura dessa peça pode ser 
considerada a resistência da componente da peça. 
 
 Se o material utilizado é o ferro fundido 𝑨𝑺𝑻𝑴 𝒈𝒓𝒂𝒖 𝟑𝟎 , 
encontre a força 𝑭 com o modelo de falha de Mohr 
modificado. 
 
 Dados: 
𝑆𝑢𝑡 = 215 𝑀𝑃𝑎 
𝑆𝑢𝑐 = 750 𝑀𝑃𝑎 
Exercícios - 3 
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∅ 𝟓 𝒄𝒎 
𝟓 𝒄𝒎 
𝟑𝟎 𝒄𝒎 
𝟒𝟎 𝒄𝒎 
Exercícios - 3 
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