Projeto de Máquinas - semana 4

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Projeto de Máquinas
CCE1055
Prof. MSc. Antônio Barroso
03/03/2020
Conteúdo
• Critérios de Resistência
Conceito de Tensão
A direção da tensão depende do
tipo de solicitação, ou seja da
direção das cargas atuantes.
Tensão é o resultado da ação de
cargas externas sobre uma
unidade de área da seção
analisada na peça, componente
mecânico ou estrutural submetido
à solicitações mecânicas.
Conceito de Tensão
Através de um ensaio de tração, é possível entender as propriedades dos
materiais. São medidos os alongamentos δ, correspondentes aos acréscimos
de carga axial P, que se aplicarem à barra, até a ruptura do corpo-de-prova.
- Tensão Admissível -
O engenheiro responsável pelo projeto de elementos estruturais ou
mecânicos deve restringir a tensão do material a um nível seguro,
portanto, deve usar uma tensão segura ou admissível.
 Este carregamento é chamado de admissível, de trabalho ou de
projeto. Relação entre Tensão Limite (Ruptura ou Escoamento) e o
Fator de Segurança.
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝜎𝑅
𝐹𝑆
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝜎𝐸
𝐹𝑆
Materiais Frágeis
Materiais Dúcteis
- Tensão Admissível -
- Tensão Admissível -
- Tensão Admissível -
• Elemento sujeito a aplicação de cisalhamento 
por carga axial
𝐴 =
𝑃
𝜏𝑎𝑑𝑚
𝐴 =
𝑃
2𝜋𝑟 ∗ 𝑙
𝑙 =
𝑃
𝜋 ∗ 𝑑 ∗ 𝜏𝑎𝑑𝑚
𝑑 =
𝑃
𝜋 ∗ 𝑙 ∗ 𝜏𝑎𝑑𝑚
• Comprimento mínimo para P e d fixos
• Diâmetro mínimo para P e l fixos
Considerações Sobre Segurança
• A qualidade de um projeto pode ser medida por muitos
critérios. Um deles é a segurança;
• O engenheiro é o responsável pelo desenvolvimento de
produtos e projetos com alto grau de segurança.
• Para isso, deverá ter engenhosidade, capacidade imaginativa o
suficiente para antecipar situações potenciais de alto risco para
o produto.
• É sempre necessário calcular, dependendo do projeto, um ou
mais fatores de segurança para estimar a possibilidade de falha.
Considerações Sobre Segurança
Exemplo: Antecipar situações de risco
- Cargas em excesso
Coeficiente/ Fator de Segurança
• Um coeficiente de segurança (fator de segurança) pode ser expresso de
muitas formas.
• Ele é tipicamente a razão entre duas quantidades que possuem as
mesmas unidades, como:
1. (Resistência)/(Tensão atuante);
2. (Esforço crítico)/(Esforço aplicado);
3. (Esforço que quebra a peça)/
(Esforço esperado em serviço);
4. (Máximo número de ciclos)/
(Número de ciclos solicitados);
5. (Velocidade que quebra)/
(Velocidade em operação).
𝐹𝑆 =
𝜎𝑅
𝜎𝑎𝑑𝑚
• Sempre adimensional
• Sempre maior que 1
Considerações Sobre Segurança
Em um único projeto, podem aparecer 
mais de 10 fatores de segurança. Isso vai 
depender de quantas relações você 
precisa considerar. 
Coeficiente/ Fator de Segurança
• O menor valor de FS para
qualquer peça é o mais
importante, já que ele prevê
a forma mais provável de
falha.
• Quando FS é reduzido a 1, a
tensão sobre a peça é igual
à resistência do material e a
falha ocorre.
 Portanto, desejamos que N
seja sempre superior a 1. 𝐹𝑆 =
𝜎𝑅
𝜎𝑎𝑑𝑚
Coeficiente/ Fator de Segurança
• O fator de segurança(FS) é utilizado no dimensionamento dos
elementos de construção visando assegurar o equilíbrio entre a
qualidade de construção e seu custo.
Coeficiente/ Fator de Segurança
• Na indústria aeronáutica,
fatores de segurança para
aeronaves comerciais estão na
faixa de 1,2 a 1,5.
• Aeronaves militares podem ter
o fator de segurança menor do
que 1,1 , só que a tripulação
toda possui paraquedas, além
do que os pilotos de teste
possuem altíssimos salários.
Coeficiente/ Fator de Segurança
• Os mísseis possuem fator de segurança igual a 1, mas não tem
tripulação e não se espera que precisem retornar a origem.
Coeficiente/ Fator de Segurança
• Estes pequenos fatores de segurança em aeronaves são necessários
para manter os pesos baixos e são justificados pela análise analítica
sofisticada, com testes dos materiais usados, extenso testes de
protótipos dos projetos, e rigoroso serviço de inspeção para pequenas
falhas de equipamentos.
Coeficiente/ Fator de Segurança
Quão maior do que 1 deve ser o fator de segurança depende de muitos
fatores, inclusive:
• do nosso nível de confiança no modelo no qual os cálculos são baseados;
• do nosso conhecimento da variação das possíveis condições de carga em
serviço;
• da nossa confiança nas informações de resistência do material
disponíveis.
𝐹𝑆 =
𝜎𝑅
𝜎𝑎𝑑𝑚
Coeficiente/ Fator de Segurança
 O engenheiro pode escolher o FS com base na sua experiência, de
acordo com alguns critérios. É uma análise que precisa ser muito
cuidadosa pois deve levar em consideração diversos fatores, tais como:
 O mais importante é ter bom senso nesta escolha.
• Material a ser aplicado;
• Frequência de carregamento (fadiga);
• Ambiente de atuação;
• Tipo de carregamento para o qual se
projeta ou futuro;
• Modo de ruptura que pode ocorrer;
• Deterioração que poderá ocorrer no
futuro devido à falta de manutenção ou
causas naturais;
• A importância de um certo membro
para a integridade do todo;
• Influência na função a ser
desempenhada pela máquina;
• Riscos de vida ou de propriedade;
Coeficiente/ Fator de Segurança
• Algumas orientações para a escolha de um coeficiente de
segurança para projetos de máquinas podem ser definidas com
base em três critérios:
1. Na qualidade e disponibilidade de dados adequados sobre as
propriedades dos materiais;
2. Nas condições ambientais esperadas em comparação com
aquelas nas quais os dados de teste do material foram obtidas;
3. Na precisão dos modelos de solicitação e de tensão
desenvolvidos para análises.
Coeficiente/ Fator de Segurança
• A Tabela 1-3 (Norton) mostra um conjunto de fatores para
materiais dúcteis
Coeficiente/ Fator de Segurança
𝐹𝑆𝑑ú𝑐𝑡𝑖𝑙 ≅ 𝑀𝐴𝑋(𝐹1, 𝐹2, 𝐹3) 𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝜎𝑒
𝐹𝑆Materiais Dúcteis
Coeficiente/ Fator de Segurança
𝐹𝑆𝑓𝑟á𝑔𝑖𝑙 ≅ 2 × 𝑀𝐴𝑋𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑙(𝐹1, 𝐹2, 𝐹3) 𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝜎𝑟
𝐹𝑆Materiais Frágeis
Coeficiente/ Fator de Segurança
Exemplo: Cabos de aço.
• Carga de trabalho (CT) é a
massa máxima que o cabo de
aço está autorizado a
sustentar.
• O fator de segurança (FS) é a
relação entre a carga de
ruptura mínima (CRM) do
cabo e a (CT).
• Um fator de segurança
adequado garantirá Segurança
na operação de movimentação
de carga, Desempenho e
Durabilidade do cabo de aço
e, consequentemente,
economia.
Exercícios
1. A haste suspensa está apoiada por um disco circular fixo na
sua extremidade superior (Figura). A haste passa por um
orifício de 40 mm de diâmetro e a carga a ser suportada é de
20 kN. Determine o diâmetro mínimo da haste e a espessura
mínima do disco. As tensões admissíveis para tração e
cisalhamento são 60 MPa e 35 MPa, respectivamente.
Exercícios
2. A barra rígida AB é suportada por uma haste de aço AC com diâmetro
de 20 mm e um bloco de alumínio com área da seção transversal de
1800 mm². Os pinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão
submetidos a cisalhamento simples. Se a tensão de ruptura do aço e
do alumínio forem (𝜎𝑎ç𝑜)𝑟𝑢𝑝 = 680 𝑀𝑃𝑎 e (𝜎𝑎𝑙)𝑟𝑢𝑝 = 70 𝑀𝑃𝑎 ,
respectivamente, e a tensão de cisalhamento de ruptura de cada
pino for 𝜏𝑟𝑢𝑝 = 900 𝑀𝑃𝑎 , determine a maior carga P possível,
considerando um C.S./F.S. de 2.
Exercício 1
a) Haste
b) Disco
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑃
𝐴
𝐴 =
𝑃
𝜎𝑎𝑑𝑚
=
20.000
60∗106
= 0,0033 𝑚²
𝐴 =
𝜋𝐷²
4 𝐷 =
4𝐴
𝜋
= 0,0206𝑚 = 20,6 𝑚𝑚
𝐴 =
𝑃
𝜏𝑎𝑑𝑚
=
20.000
35∗106
= 0,000571 𝑚²𝜏𝑎𝑑𝑚 =
𝑃
𝐴
𝐴 = 2𝜋𝑅 ∗ 𝑡 = 𝜋𝑑 ∗ 𝑡 𝑡 =
𝐴
𝜋𝑑
= 0,00455𝑚 = 4,55 𝑚𝑚
Exercício 2
Exercício 2
• Cálculo de Tensões Admissíveis para Haste de Aço, Bloco de 
Alumínio e Pinos de cisalhamento.
Exercício 2
• Cálculo da Força Máxima P na Haste AC
Exercício 2
• Cálculo da Força Máxima P no bloco de Alumínio
Exercício 2
• Cálculo da Força Máxima P nos pinos de cisalhamento
Exercícios
• Devemos considerar o menor dos valores encontrados para P, 
garantindo assim a segurança em todos os tipos de 
solicitações presentes no projeto, sem exceder as tensões 
admissíveis.• 𝑷𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟔𝟖 𝒌𝑵 (limite do bloco de Alumínio)
Normas de Projetos e de Segurança
• Muitas associações de engenharia e agências governamentais
desenvolveram normas para áreas específicas de projetos de
engenharia.
• A maior parte delas são apenas recomendações, mas algumas
têm força de lei.
• Responsabilidade pela solidez e segurança do projeto, pelos
materiais utilizados e quaisquer danos causados a terceiros.
Normas de Projetos e de Segurança
 American Gear Manufacturers Association
(AGMA) – Associação Americana de 
Fabricantes de Engrenagem 
http://www.agma.org/
 American Institute of Steel Construction
(AISC) – Instituto Americano da Construção 
em Aço http://www.aisc.org
 American Iron and Steel Institute (AISI) –
Instituto Americano do Ferro e Aço 
http://www.steel.org /
 American National Standards Institute (ANSI) 
– Instituto Americano de Normas 
http://www.ansi.org/
 American Society for Metals (ASM 
International) – Sociedade Americana de 
Metais http://www.asmintl.org/
 American Society of Mechanical Engineers 
(ASME) – Sociedade Americana de 
Engenheiros Mecânicos http://www.asme.org/
 American Society of Testing and Materials 
(ASTM) – Sociedade Americana de Testes e 
Materiais http://www.astm.org/
 American Welding Society (AWS) –
Sociedade Americana de Solda 
http://www.aws.org/
 Anti-Friction Bearing Manufacturers 
Association (AFBMA) – Associação dos 
Fabricantes de Mancais de Rolamento 
International Standards Organization (ISO) –
Organização Internacional de Normas 
http://www.iso.ch/iso/en
http://www.agma.org/
http://www.aisc.org/
http://www.ansi.org/
http://www.asmintl.org/
http://www.asme.org/
http://www.astm.org/
http://www.aws.org/
http://www.iso.ch/iso/en
Conteúdo
• Critérios de Resistência
Critérios de Resistência
• Sabemos que quando se determina um material para um projeto,
dependendo das condições de solicitação, o material pode se
encontrar sob diferentes estados mecânicos.
Critérios de Resistência
• Para um projeto, é necessário saber quando um determinado
material pode vir a falhar.
 Quando se trata de tensão uniaxial (tração ou compressão), é fácil
determinar o limite de falha de um determinado material.
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝜎𝑅
𝐹𝑆
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝜎𝐸
𝐹𝑆
Materiais Frágeis
Materiais Dúcteis
Critérios de Resistência
• Por quê as peças falham?
• Deformação;
• Escoamento;
• Indentação;
• Ruptura frágil;
• Ruptura dúctil;
• Fadiga;
• Corrosão;
• Desgaste;
• Impacto;
• Fretagem;
• Fluência;
• Relaxação térmica;
• Choque térmico;
• Desgaste por Contato;
• Dano por radiação;
• Flambagem;
• Corrosão sob tensão
• Corrosão e desgaste
• Corrosão associada à fadiga;
• Fadiga e fluência
combinadas.
Critérios de Resistência
• Por quê as peças falham?
Critérios de Resistência
• No geral, materiais dúcteis falham por excesso na tensão de cisalhamento
e materiais frágeis por excesso na tensão normal (tração/compressão);
• A literatura estabelece de forma clara divisão de Teorias para Critérios de
Resistência (Falha) de materiais:
• Materiais Frágeis (falha ao atingir ruptura):
– Critério da Máxima Tensão Normal (Teoria de Rankine ou Teoria de Coulomb);
– Teoria de Coulomb-Mohr;
– Teoria de Coulomb-Mohr modificada.
• Materiais Dúcteis (falha ao atingir escoamento):
– Teoria da Máxima Energia de Distorção (vonMises-Hencky);
– Teoria da Máxima Tensão de Cisalhamento (Tresca).
Critérios de Resistência
• LEMBRE-SE: Estamos tratando de cargas estáticas!
• Quando o carregamento é dinâmico (cargas variáveis), a
distinção entre o comportamento frágil e dúctil desaparece !
• Materiais dúcteis passam a falhar como os frágeis!
Critérios de Resistência
• Para o caso de um elemento estrutural sujeito a um estado uniaxial de
tensões, a condição para que ele não falhe, é simples:
• Mas, e para um caso de solicitação mais geral e/ou complexa?
Critérios de Resistência
• No caso de um estado triplo de tensões, é impossível de se realizar um
ensaio mecânico, devido a infinidade de combinações e as dificuldades
técnicas que surgiriam durante os testes.
Devido a estas dificuldades, surgiu
a necessidade de se
desenvolverem métodos gerais
para se determinar o grau de
perigo de um estado tensional
quando se dispõe de um número
limitado de ensaios mecânicos do
material. Estes diversos métodos
são chamados critérios de
resistência.
Critérios de Resistência
Estado Triaxial. Estado Plano de Tensões (𝜎2 = 0).
Critérios de Resistência
• Círculo de Mohr para tração unidirecional:
• Circulo de Mohr para torção pura:
Critérios de Resistência - Frágeis
• Materiais Frágeis:
– Um material é considerado frágil quando rompe, à tração (ou compressão), ainda na
fase elástica (sem “aviso prévio”).
– Em outras palavras, a falha se dá por ruptura, sem que haja escoamento.
– Exemplos: concreto, fibra de carbono, ferro fundido, vidro, porcelana, cerâmicas, etc.
Tensão x Deformação
Sem patamar de escoamento
(“aviso de falha”).
Critério da Tensão Normal Máxima 
• Ocorre quando a tensão principal máxima no material atinge a
tensão normal máxima que o material pode suportar em um
teste de tração uniaxial;
• Esta teoria também admite que falhas em compressão e
cisalhamento ocorram na mesma tensão máxima que as falhas
em tração.
Critério de Falha de Mohr
• A principal limitação do critério anterior (TNM) é considerar que
as resistências à tração e à compressão de um material são
iguais;
• Previsão da falha de materiais frágeis com tensões limites
diferentes para tração e compressão;
• Para sua utilização, devem ser conhecidas as tensões limites do
material quando este é submetido a:
– um estado de tração uniaxial, (𝝈𝒓)𝒕
– um estado de compressão uniaxial, (𝝈𝒓)𝒄
– um estado de cisalhamento puro, 𝝉𝒓
• Os valores podem ser obtidos por meio de ensaios (tração e
compressão separadamente) e traçando os círculos de Mohr para
cada uma das condições de carregamento;
Critério de Falha de Mohr
𝜎𝑟𝑡 = Limite de ruptura por tração
𝜎𝑟𝑐 = Limite de ruptura por compressão
𝜏𝑟 = Limite de ruptura por cisalhamento
𝜏𝑟 =
𝜎𝑟
2
Critério de Falha de Mohr
• Pode-se, ainda, considerar um terceiro ensaio: o de torção;
• Neste caso, um terceiro círculo é construído e uma envoltória de
estados de tensão admissível é traçada;
• Se o estado de tensão atuante no corpo em análise gerar um
círculo de Mohr completamente contido no interior da envoltória,
o estado de tensão é admissível e, portanto, o corpo encontra-se
em segurança. Caso contrário, tem-se a falha.
Critério de Falha de Mohr
• Aplica-se ainda um coeficiente (fator) de segurança (C.S / F.S.):
𝜎1
𝜎𝑟𝑡
−
𝜎3
𝜎𝑟𝑐
=
1
𝐶. 𝑆.
𝜎1 ≤
𝜎𝑟𝑡
𝐶. 𝑆. 𝜎3 ≤
𝜎𝑟𝑐
𝐶. 𝑆.
𝜎1 ≥ 𝜎3 ≥ 0 0 ≥ 𝜎1 ≥ 𝜎3 𝜎1 𝑜𝑢 𝜎3 ≥ 0 ≥ 𝜎1 𝑜𝑢 𝜎3
1º quadrante 3º quadrante 2º e 4º quadrantes
Teoria de Coulomb-Mohr Modificada
• Observando-se os quadrantes na teoria de Mohr, temos que os 1º
e 3º quadrantes estão em segurança, porém para os 2º e 4º
quadrantes existe uma incompatibilidade das falhas com esta
teoria, o que levou a uma modificação na teoria de Coulomb-Mohr
para que se ajustasse melhor aos dados observados.
1º quadrante 3º quadrante 2º e 4º quadrantes
(𝜎𝑟𝑐 − 𝜎𝑟𝑡)𝜎1
𝜎𝑟𝑐 ∗ 𝜎𝑟𝑡
−
𝜎3
𝜎𝑟𝑐
=
1
𝐶. 𝑆.
𝜎1 ≤
𝜎𝑟𝑡
𝐶. 𝑆. 𝜎3 ≤
𝜎𝑟𝑐
𝐶. 𝑆.
𝜎1 ≥ 𝜎3 ≥ 0 0 ≥ 𝜎1 ≥ 𝜎3
𝜎𝑥 𝑜𝑢 𝑦≥ 0 ≥ 𝜎𝑦 𝑜𝑢 𝑥
Teoria de Coulomb-Mohr Modificada
• Essa inconsistência foi
descoberta de forma
experimental;
• A figura ao lado, mostra
dados experimentais,
superpostos à envoltória de
falhas, do Ferro Fundido
Cinzento.
Teoria de Coulomb-Mohr Modificada
• Para evitar a necessidade de desenhar o diagrama em cada caso,
Dowling desenvolveu as seguintes equações:
𝐶1 =
1
2
𝜎1 − 𝜎2 +
2𝜎𝑟𝑡 − 𝜎𝑟𝑐
− 𝜎𝑟𝑐
(𝜎1 + 𝜎2)
𝐶2 =
1
2
𝜎2 − 𝜎3 +
2𝜎𝑟𝑡 − 𝜎𝑟𝑐
− 𝜎𝑟𝑐
(𝜎2 + 𝜎3)
𝐶3 =
1
2
𝜎3 − 𝜎1 +
2𝜎𝑟𝑡 − 𝜎𝑟𝑐
− 𝜎𝑟𝑐
(𝜎3 + 𝜎1)
 𝜎 = 𝑀𝐴𝑋 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝜎1, 𝜎2, 𝜎3 , 𝑠𝑒 𝑀𝐴𝑋<0 , 𝜎= 0
𝐶. 𝑆. =
𝜎𝑟𝑡
 𝜎
Exemplo – Material Frágil – Norton 4 ed
Exemplo – Material Frágil – Norton 4 ed
1. Análise das tensões:
a) Tensões presentes: Flexão (viga) e Torção;
b) Tensão máxima de tração no Ponto A (Flexão);
c) Tensão máxima de cisalhamento ao redor da haste (Torção);
d) Posso escolher o ponto A
Exemplo – Material Frágil – Norton 4 ed
2. Tensão máxima de cisalhamento e as tensões principais
provenientes da combinação das tensões :
Exemplo – Material Frágil – Norton 4 ed
3. Equações de Dowling:
Exemplo – Material Frágil – Norton 4 ed
4. Coeficiente de Segurança:
5. Checar o ponto B – Cisalhamento puro: por torção e por força
cortante (flexão)
𝐶. 𝑆. =
𝜎𝑟𝑡
 𝜎
=
52500
24144
= 2,2
𝜏𝑓𝑙𝑒𝑥𝑎𝑜 =
4𝑉
3𝐴
=
4𝐹
3𝜋
𝑑²
4
=
4(1000)
5,298
= 755 𝑝𝑠𝑖
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜏𝑡𝑜𝑟çã𝑜 + 𝜏𝑓𝑙𝑒𝑥𝑎𝑜 = 𝜏𝑥𝑧 + 𝜏𝑓𝑙𝑒𝑥𝑎𝑜
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 12072 + 755 = 12827 𝑝𝑠𝑖
Exemplo – Material Frágil – Norton 4 ed
6. Tensões principais provenientes da combinação das tensões :
7. Equações de Dowling:
Exemplo – Material Frágil – Norton 4 ed
8. Coeficiente de Segurança:
𝐶. 𝑆. =
𝜎𝑟𝑡
 𝜎
=
52500
12827
= 4,1
Logo, o C.S. mais crítico é no ponto A, sendo este o 
ponto mais susceptível a falha!
Critérios de Resistência - Dúcteis
• Materiais Dúcteis:
– Um material é considerado dúctil quando suporta grandes deformações antes de
romper;
– Em outras palavras, a falha se dá por escoamento, após a ocorrência de deformações
plásticas (irreversíveis).
– Exemplos: aço, alumínio, cobre, ouro, etc.
Tensão x Deformação
Com patamar de
escoamento (“aviso de falha”).
Critério da Máxima Tensão de 
Cisalhamento (Tresca) 
• "A maior tensão de cisalhamento não deve ultrapassar a metade da
tensão limite de tração, determinada no ensaio de tração simples".
• Este critério se baseia no fato
de que o escoamento dos
materiais dúcteis é causado
por deslizamento do material
ao longo de superfícies
oblíquas, deslizamento
devido, principalmente às
tensões cisalhantes.
 Qualquer círculo de Mohr com raio < 𝝉𝒎𝒂𝒙caracterizará
a segurança do estado tensional.
𝜏𝑚𝑎𝑥 ≤
𝜎𝑒
2
Critério da Máxima Tensão de 
Cisalhamento (Tresca) 
• A máxima tensão tangencial em um ponto para o estado plano de
tensões (𝜎2 = 0) pode ser calculada como:
• Assim, o critério de Tresca pode ser descrito como:
𝜎1 > 0
𝜎3 > 0
𝜎1 < 0
𝜎3 < 0
𝜎1 > 0
𝜎3 < 0
𝜎1 < 0
𝜎3 > 0
Critério da Máxima Tensão de 
Cisalhamento (Tresca) 
• Reescrevendo em função do estado de tensões:
Critério da Máxima Tensão de 
Cisalhamento (Tresca) 
• Inclusão do Coeficiente de Segurança (C.S.):
𝐶. 𝑆. =
0,5𝜎𝑒
𝜏𝑚𝑎𝑥𝜏𝑚𝑎𝑥 ≤
𝜎𝑒
2
𝜏𝑚𝑎𝑥 ≤
0,5𝜎𝑒
𝐶. 𝑆.
𝐶. 𝑆. =
𝜎𝑒
(𝜎1 − 𝜎3)
Critério da Máxima Energia de 
Distorção (Von Mises)
• Mais utilizado que o critério de Tresca devido a sua melhor
correlação com dados experimentais;
• Consideram-se os conceitos de energia de distorção de um
elemento, ou seja, a energia associada a sua mudança de
forma, e não do seu volume;
• Segundo a teoria, o material resiste até que a energia de
distorção alcance um valor limite, constante para cada
material (ensaio de tração uniaxial);
Critério da Máxima Energia de 
Distorção (Von Mises)
• Densidade de energia de distorção para Triaxial de tensões
em um elemento:
• Densidade de energia de distorção no ensaio uniaxial:
• Pelo enunciado do critério, temos que 𝑢𝑑 ≤ 𝑢𝑡𝑟𝑎çã𝑜 Assim,
Critério da Máxima Energia de 
Distorção (Von Mises)
• Para o Estado Plano de Tensões (𝜎2 = 0)
Critério da Máxima Energia de 
Distorção (Von Mises)
• Reescrevendo em função do estado de tensões:
• Para os casos em que 𝜎𝑦𝑦 = 0, a equação se simplifica para:
Critério da Máxima Energia de 
Distorção (Von Mises)
• Para inclusão do Coeficiente de Segurança (C.S.), passamos a
tratar com a Tensão Equivalente de Von Mises (𝝈′):
𝐶. 𝑆. =
𝑆𝑦
𝜎′
=
𝜎𝑒
𝜎′
𝜎′ =
𝑆𝑦
𝐶. 𝑆.
=
𝜎𝑒
𝐶. 𝑆.
• Estado Tridimensional:
• Estado Plano de
Tensões:
Critério da Máxima Energia de 
Distorção (Von Mises)
• Para o caso de cisalhamento puro encontrado em
carregamentos de torção pura (linha a -45° da origem),
temos:
Critério da Máxima Energia de 
Distorção (Von Mises)
Tresca x Von Mises
• Tresca • Von Mises
Critérios de Resistência - Dúcteis
• Antigamente, a Teoria da Tensão Normal Máxima (TNM) dos
materiais frágeis já foi utilizada para os materiais dúcteis, porém
identificou-se posteriormente que ela não é segura;
• Apesar de poder ser utilizada para materiais frágeis, com o
surgimento das teorias de Coulomb-Mohr, também entrou em
desuso;
• Comparando a envoltória quadrada da TNM com a elipse da energia
de distorção (Von Mises) e com o hexágono inscrito da teoria do
cisalhamento máximo (Tresca), é possível perceber que materiais
dúcteis falham em carregamentos estáticos no segundo e no quarto
quadrantes. O projetista sábio evitará usar a teoria da tensão
normal com materiais dúcteis!
Critérios de Resistência - Dúcteis
FALHA!!
Exemplo – Material Dúctil – Norton 4 ed
Exemplo – Material Dúctil – Norton 4 ed
1. Análise das tensões no Ponto A:
2. Tensão máxima de cisalhamento e as tensões principais
provenientes da combinação das tensões :
3. Tensão equivalente de von Mises a partir das tensões principais:
4. O coeficiente de segurança para Von Mises:
5. O coeficiente de segurança para Tresca:
Exemplo – Material Dúctil – Norton 4 ed
𝐶. 𝑆. =
𝑆𝑦
𝜎′
=
47000
27661
= 1,7
𝐶. 𝑆. =
0,50𝜎𝑒
𝜏𝑚𝑎𝑥
=
0,50(47000)
15090
= 1,6
6. Checar o ponto B – Cisalhamento puro: por torção e por força
cortante (flexão):
𝜏𝑓𝑙𝑒𝑥𝑎𝑜 =
4𝑉
3𝐴
=
4𝐹
3𝜋
𝑑²
4
=
4(1000)
5,298
= 755 𝑝𝑠𝑖
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜏𝑡𝑜𝑟çã𝑜 + 𝜏𝑓𝑙𝑒𝑥𝑎𝑜 = 𝜏𝑥𝑧 + 𝜏𝑓𝑙𝑒𝑥𝑎𝑜
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 12072 + 755 = 12827 𝑝𝑠𝑖
Exemplo – Material Dúctil – Norton 4 ed
𝐶. 𝑆.𝑉𝑀 =
0,577𝑆𝑦
𝜏𝑚𝑎𝑥
=
0,577(47000)
12827
= 2,1
𝐶. 𝑆.𝑇𝑅 =
0,50𝜎𝑒
𝜏𝑚𝑎𝑥
=
0,50(47000)
12827
= 1,8
Logo, o C.S. mais crítico é no ponto A, sendo este o 
ponto mais susceptível a falha!
• Apesar do Ponto A ter sido crítico para os 2 casos (frágil / dúctil), a
mudança de material de frágil (Ferro Fundido) para dúctil (alumínio)
reduziu o C.S. (2,2 para 1,7/1,6);
• A redução no Ponto B foi maior ainda (4,1 para 2,1/1,8);
• Nesse caso, podemos analisar que o uso do alumínio mantém a
segurança do projeto e provavelmente reduz os custos;
• A mudança de método para material dúctil também alterou os valores,
porém nesse caso trata-se de uma alteração relativa menor, e
geralmente escolhemos aquele mais seguro (conservador) – Von Mises;
• Vale lembrar que, conforme visto anteriormente, qualquer outra
influência externa não considerada nos cálculos poderão acarretar na
escolha do Ferro Fundido (mais conservador).
Comparação entre exemplos
Recomendações - Revisar
• Estado de Tensões
– Uniaxial
– Plano
– Tridimensional
• Tensões Principais (equivalentes)
• Círculos de Mohr
• Materiais e Falhas
– Frágil x Dúctil
Assuntos de:
• Resistência dos 
Materiais 1 e 2
• Elementos de 
Máquinas
Livro: Projeto de 
Máquinas – Uma 
abordagem Integrada –
4ª edição ou superior –
Robert L. Norton
Capítulos 2,3 e 4