Elementos de Máquinas UNIDADE 3 Fadiga [15 03]

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Unidade 3 
Fadiga 
conceitos e aplicações 
Elementos 
de Máquinas 
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Fadiga 
 Ocorrência: 
 carregamento dinâmico 
 (variação de cargas e tensões 
 repetidamente com o tempo) 
 
 Origem: 
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área de 
concentração 
de tensão 
trincas 
entalhes 
furos 
rebaixos 
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Fonte: Shigley 
 Exemplo: 
 Falha por Fadiga 
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Fonte: Shigley 
 Exemplo: 
 Falha por Fadiga 
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Fonte: Shigley 
 Exemplo: 
 Estágio de Falha por Fadiga 
Trincas 
 Origem: 
 fabricação do elemento 
 desenvolvimento com o tempo 
 
 Em fadiga, a trinca geralmente se inicia em uma 
imperfeição ou descontinuidade do material, que atuam 
como pontos de concentração de tensões. 
 
 Existem três estágios básicos e fundamentais na falha por 
fadiga: 
 
I - a nucleação da trinca 
II - a propagação da trinca e 
III - a fratura súbita, devido ao crescimento instável da trinca 
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Trincas 
 Estágio I 
 
 Etapa onde ocorre surgimento da trinca, é chamada de 
fadiga de estágio I 
 
 Ocorrência do deslizamento dos grãos (metalografia). 
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Trincas 
 Estágio II 
 
 Etapa onde ocorre a extensão da trinca, é chamada de 
fadiga de estágio II. 
 
 O crescimento da trinca ocorre de forma ordenada. 
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Trincas 
 Estágio III 
 
 Etapa onde ocorre a fratura final, é chamada de fadiga de 
estágio III. 
 
 Ocorre quando a trinca é suficientemente longa 
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Nucleação da trinca 
Propagação 
da 
trinca 
Fratura súbita 
(PERIGOSA) 
Trincas – Estágios 
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Método da Vida sob Fadiga 
 Para predizer quando, ou se, uma componente de 
máquina carregada ciclicamente irá falhar em 
fadiga, em um determinado período de tempo, 
utiliza-se geralmente três métodos: 
 
I - Método da Vida sob Tensão 
 → o qual será abordado aqui... 
 
II - Método da Vida sob Deformação 
 → indicado para baixa ciclagem 
 
III - Método da Mecânica de Fratura Linear Elástica 
 → indicado quando a trinca já existe 
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Método da Vida sob Fadiga 
 Tais métodos tentam predizer a vida, em número de 
ciclos de tensão até a ocorrência de falha, 𝑵 , para 
um nível de carregamento especificado. 
 
 Classificação: 
 
 fadiga de baixo ciclo 
 
𝟏 ≤ 𝑵 ≤ 𝟏𝟎𝟑 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔 
 
 fadiga de alto ciclo 
 
𝑵 > 𝟏𝟎𝟑 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔 
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Ciclo de Tensão 
 ou Revesão de tensão 
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Método da Vida sob Tensão 
 Para estabelecer a resistência à fadiga de um 
material, muitos testes se fazem necessários em 
decorrência da natureza estatística da fadiga. 
 
 Esses testes são realizados na máquina de viga 
rotativa de alta velocidade de R. R. Moore. 
 
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 Essa máquina sujeita o 
corpo de prova à flexão 
pura (sem cisalhamento 
transversal) por meio de 
pesos. 
 
Método da Vida sob Tensão 
 O corpo de prova é tensionado até sua destruição e, 
contando o total de ciclos. 
 
 Para o ensaio de viga rotativa, uma carga de flexão 
constante é aplicada, e o número de revoluções dessa 
viga requerido até a falha é registrado. 
 
 O primeiro ensaio é realizado a uma tensão um pouco 
inferior à resistência última de tração (𝑆𝑢𝑡) do material. 
 
 O segundo teste é feito a uma tensão menor que aquela 
utilizada no primeiro teste. 
 
 O processo é continuado, e os resultados são traçados em 
um diagrama 𝑺 − 𝑵. 
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𝑺𝒆 
𝑺𝒖𝒕 
Vida 
infinita 
Baixo ciclo Alto ciclo 
Vida finita 
 Diagrama 𝑺 − 𝑵 
 
 Sendo: 
 
𝑺𝒇 → resistência à fadiga 
 
𝑵 → número de ciclos de tensão 
 
𝑺𝒆 → limite de resistência à fadiga ou limite de endurança 
 
𝑺𝒖𝒕 → resistência última a tração 
 
 Características: 
 
Aço UNS G41300 → 𝑺𝒖𝒕 = 𝟖𝟏𝟎 𝑴𝑷𝒂 
 
 
 
 
 
 
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 Diagrama 𝑺 − 𝑵 
 informações 
Fonte: Shigley 
Método da Vida sob Tensão 
 Para metais não-ferrosos ou “ligas”, o gráfico do diagrama 
𝑺 − 𝑵 , jamais se torna horizontal, de modo que esses 
materiais não tem um limite de endurança. 
 
 Uma vez que o alumínio não tem um limite endurança, 
normalmente a resistência à fadiga 𝑺𝒇 é relatada até um 
número específico de ciclos, normalmente 𝑵 = 𝟓 × 𝟏𝟎𝟖 
ciclos de tensão inversa. 
 
 Esse diagrama é traçado em escala logarítmica para 
enfatizar a flexão na curva, que poderia não ser aparente 
se os resultados fossem traçados usando-se coordenadas 
cartesianas 
 
 
 
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 Diagrama 𝑺 − 𝑵 
 
 Ligas de Alumínio representativas 
 excluindo ligas forjadas com 𝑆𝑢𝑡 < 260 𝑀𝑃𝑎 
𝑵 = 𝟓 × 𝟏𝟎𝟖 
Fonte: Shigley 
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Limite de Resistência à Fadiga 
 O diagrama 𝑺 − 𝑵 relaciona o nível de tensão com o 
número de ciclos aplicado até a falha. 
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Limite de Resistência à Fadiga 
 Observe que no gráfico, ocorre um “joelho” e, além 
desse “joelho” não ocorrerá falha, não importa o 
quão grande seja o número de ciclos. 
 
 A resistência correspondente ao “joelho” é chamada 
de Limite de Resistência à Fadiga ou Limite de 
Endurança e é representada pela sigla 𝑆′𝑒 
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Limite de Resistência à Fadiga 
 Relacionando o limite de resistência à fadiga (𝑺′𝒆) 
com a resistência última à tração (𝑺𝒖𝒕), construiu-se o 
seguinte diagrama: 
 
 Informações sobre o diagrama: 
 
 Gráfico dos limites de resistência à fadiga versus 
resistências à tração procedentes de resultados de 
ensaios verdadeiros para uma grande quantidade 
de ferros forjados e de aços. 
 
 Fonte: Shigley 
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Limite de Resistência à Fadiga 
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pontos 
espalhados 
pontos 
agrupados 
Limite de Resistência à Fadiga 
 Mischke analisou uma grande amostra de dados 
reais de teste procedentes de várias fontes e conclui 
que o limite de endurança pode, de fato, estar 
relacionado com a resistência última à tração: 
 
 Para Aços: 
 
𝑆′𝑒 ≅ 0,5 ∙ 𝑆𝑢𝑡 → 𝑆𝑢𝑡 ≤ 1400 𝑀𝑃𝑎 
𝑆′𝑒 = 700 𝑀𝑃𝑎 → 𝑆𝑢𝑡 > 1400 𝑀𝑃𝑎 
 
 Para Ferro Fundido: 
 
𝑆′𝑒 ≅ 0,4 ∙ 𝑆𝑢𝑡 → 𝑆𝑢𝑡 < 420 𝑀𝑃𝑎 
𝑆′𝑒 = 175 𝑀𝑃𝑎 → 𝑆𝑢𝑡 ≥ 420 𝑀𝑃𝑎 
 
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(3.1) 
(3.2) 
Limite de Resistência à Fadiga 
 O Limite de Endurança para váriasclasses de ferros 
fundidos, polidos ou usinados estão listados na tabela 
A-24 (Budynas - 10ᵃ edição) 
 
 Ligas de alumínio não tem Limite de Endurança. As 
resistências à endurança de algumas ligas de 
alumínio a 5 108 ciclos de tensão revertida são 
dadas na tabela A-24 (Budynas - 10ᵃ edição) 
 
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R
e
si
st
ê
n
c
ia
 à
 F
a
d
ig
a
 
 
Número de ciclos de tensão 𝑵 𝒍𝒐𝒈 
𝑺𝒆 
𝑺𝒖𝒕 
alto 
ciclo 
baixo 
ciclo 
 Mischke analisou o diagrama 𝑺 − 𝑵 e definiu 
analiticamente a resistência à fadiga (𝑺𝒇), tanto para 
regiões de baixos ciclos quanto para regiões de altos 
ciclos 
Resistência à Fadiga 
 Mischke definiu que: 
 
 
𝑆𝑓 = 𝑥 ∙ 𝑁
𝑦 
 
 
 Onde: 
 
𝑺𝒇 → resistência à fadiga 
𝑵 → número de ciclos de tensão 
 𝒙 → coeficiente 
 𝒚 → coeficiente 
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(3.3) 
Resistência à Fadiga 
 Sendo: 
 
𝑥 =
𝑓 ∙ 𝑆𝑢𝑡
2
𝑆𝑒
 
e 
𝑦 = −
1
3
∙ log
𝑓 ∙ 𝑆𝑢𝑡
𝑆𝑒
 
 
 Onde: 
𝑺𝒖𝒕 → resistência última a tração 
𝑺𝒆 → limite de endurança 
 𝒇 → fração da resistência à fadiga 
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(3.4) 
(3.5) 
Resistência à Fadiga 
 A fração da resistência à fadiga (𝒇) pode ser determinada 
por: 
 
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Fonte: Shigley 
𝑆𝑢𝑡 < 490 𝑀𝑃𝑎 
 
adote 𝑓 = 0,9 
Resistência à Fadiga 
 Se uma tensão completamente invertida (𝝈𝒂 ), for 
provida, estabelecendo 𝑺𝒇 = 𝝈𝒂 na equação (3.3) , 
temos: 
 
𝜎𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑁
𝑦 
 
 O número de ciclos até falha poderá ser expresso 
como: 
 
𝑁 =
𝜎𝑎
𝑥
1
𝑦
 
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(3.7) 
(3.6) 
Resistência à Fadiga 
 A fadiga de baixo ciclo é frequentemente definida 
como uma falha que ocorre entre um intervalo: 
 
 
1 ≤ 𝑁 ≤ 103 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 
 
 
 Podendo ser determinada por: 
 
 
𝑆𝑓 ≥ 𝑆𝑢𝑡 ∙ 𝑁
log 𝑓
3 
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(3.8) 
Exercício - 1 
 Considere o aço 1050 𝐻𝑅, que possui uma resistência 
à tração 𝑆𝑢𝑡 = 630 𝑀𝑃𝑎. Determine: 
 
a) O limite de endurança 𝑆′𝑒 de viga rotativa a 
106 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 
 
b) A resistência à fadiga 𝑆𝑓 para um espécime de 
viga rotativa polido correspondendo a 104 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 até 
falha 
 
c) A vida esperada 𝑁 sob uma tensão 
completamente invertida de 385 𝑀𝑃𝑎. 
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Fatores Modificadores 
 O Limite de Resistência à Fadiga 𝑺′𝒆 , é obtido 
através de testes padronizados em condições ideais 
(laboratório). 
 
 Portanto, o limite de resistência deve ser adequado 
às diferenças físicas existentes entre o ambiente de 
teste e o elemento real a ser projetado. 
 
 Essa diferenças físicas incluem: 
 
 Material: composição, base de falha, variabilidade, etc 
 Manufatura: método, tratamento térmico, condição de 
superfície, concentração de tensão, etc 
 Ambiente: corrosão, temperatura, estado de tensão, etc 
 Projeto: tamanho, forma, vida, etc 
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Fatores Modificadores 
 Joseph Marin analisou todos os fatores modificadores 
e definiu a seguinte equação: 
 
𝑆𝑒 = 𝑘𝑎𝑘𝑏𝑘𝑐𝑘𝑑𝑘𝑒𝑆′𝑒 
 
 Onde: 
 
𝒌𝒂 → fator de modificação de condição de superfície 
𝒌𝒃 → fator de modificação de tamanho 
𝒌𝒄 → fator de modificação de carga 
𝒌𝒅 → fator de modificação de temperatura 
𝒌𝒆 → fator de confiabilidade 
𝑺′𝒆 → limite de endurança (laboratório) 
𝑺𝒆 → limite de endurança corrigido 
 
 
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(3.9) 
Fator de Superfície - 𝑘𝑎 
 A superfície de um corpo de prova (laboratório) é 
altamente polida. 
 
 O fator de modificação depende da qualidade do 
acabamento da superfície da peça real e da 
resistência à tração do material que a constitui. 
 
 O fator de modificação da condição da superfície é 
dado por: 
 
𝑘𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑆𝑢𝑡
𝑏 
 
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(3.10) 
Fator de Superfície - 𝑘𝑎 
 
𝑘𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑆𝑢𝑡
𝑏 
 
 Onde: 
 
 𝑺𝒖𝒕 → resistência à tração mínima do material 
𝒂 e 𝒃 → tabela 6-2 (Shigley) 
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 Fonte: Shigley 
(3.10) 
Exercício - 2 
 Um aço tem uma resistência última mínima de 
𝟓𝟐𝟎 𝑴𝑷𝒂 e uma superfície usinada. 
 
 Estime 𝒌𝒂 
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Fator de Tamanho - 𝑘𝑏 
 Os corpos de prova utilizados em testes de fadiga 
(laboratório) apresentam, normalmente, dimensões 
reduzidas. 
 
 A correção de tamanho deve ser aplicada, pois, em 
um volume maior, aumenta a probabilidade de 
imperfeições, ocasionando falhas a níveis de tensões 
bem mais baixos em relação aos testes. 
 
 
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Fator de Tamanho - 𝑘𝑏 
 As equações a seguir apresentam os fatores de 
tamanho para peças em modo rotativo: 
 
 Para flexão e torção: 
 
𝑘𝑏 = 1,24 ∙ 𝑑
−0,107 → 2,79 ≤ 𝑑 ≤ 51 𝑚𝑚 
 
𝑘𝑏 = 1,51 ∙ 𝑑
−0,157 → 51 < 𝑑 ≤ 254 𝑚𝑚 
 
 Para carregamento axial: 
 
𝑘𝑏 = 1 
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(3.11) 
Fator de Tamanho - 𝑘𝑏 
 Um dos problemas que surgem ao usar a Equação 
(3.11) é o que fazer quando uma barra redonda em 
flexão não esta rodando (modo não-rotativo) ? 
 
 Ou ainda, quando uma seção transversal não 
circular é usada ? 
 
 Por exemplo, qual é o fator de tamanho (𝑘𝑏) de uma 
barra de 6 𝑚𝑚 de espessura e 40 𝑚𝑚 de largura ? 
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Fator de Tamanho - 𝑘𝑏 
 Para essas situações, Marin definiu uma dimensão 
efetiva 𝒅𝒆 , equivalente a 95% da área de tensão 
máxima de um corpo de prova, ou seja: 
 
𝑑𝑒 =
𝐴95
0,0766
 
 
 Determinado 𝒅𝒆 substitui-se o mesmo na Equação 
(3.11) no lugar de 𝒅 
 
 A tabela 6-3 provê valores de 𝐴95 de formas 
estruturais comuns sob flexão não-rotativa. 
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(3.12) 
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Fonte: Shigley 
𝐴95 = 0,01046 ∙ 𝑑
2 
𝑑𝑒 = 0,370 ∙ 𝑑 
𝐴95 = 0,05 ∙ 𝑏ℎ 
𝑑𝑒 = 0,808 ∙ 𝑏ℎ 
Fator de Tamanho - 𝑘𝑏 
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Fonte: Shigley 
Fator de Tamanho - 𝑘𝑏 
Exercício - 3 
 Um eixo de aço carregado sob flexão tem 𝟑𝟐 𝒎𝒎 de 
diâmetro, com uma manga afiletada de 𝟑𝟖 𝒎𝒎 de 
diâmetro. 
 
 O material desse eixo tem uma resistência média à 
tração de 𝟔𝟗𝟎 𝑴𝑷𝒂. 
 
 Estime o fator de tamanho de Marin 𝒌𝒃 se o eixo for 
utilizado em um: 
 
(a) Modo rotativo 
 
(b) Modo não-rotativo 
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Fator de Carregamento - 𝑘𝑐 
 Quando ensaios de fadiga são realizados com flexão 
rotativa, carregamento axial (puxar-empurrar) e 
carregamento torcional, os limites de endurança 
diferem-se com relação a resistência última à tração 
(𝑆𝑢𝑡) 
 
 Portanto, adota-se: 
 
𝑘𝑐 = 
1
 0,85
 0,59
 → 
𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙
𝑡𝑜𝑟çã𝑜
 
 
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(3.13)Fator de Temperatura - 𝑘𝑑 
 Testes de fadiga (laboratório) são realizados, 
geralmente, a temperatura ambiente. 
 
 Quando as temperaturas operacionais estão abaixo 
da temperatura ambiente, a fratura frágil é uma forte 
possibilidade e, portanto, deve ser investigada 
primeiramente. 
 
 Quando as temperaturas operacionais são superiores 
a temperatura ambiente, o escoamento deve ser 
investigado a princípio, pois a resistência a ele cai 
muito rapidamente com a temperatura. 
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Fator de Temperatura - 𝑘𝑑 
 O fator de redução da resistência à fadiga devido a 
elevadas temperaturas 𝑘𝑑 , é definido por Shigley e 
Mitchell (1989), como: 
 
 
𝑘𝑑 = 0,9877 + 0,6507 10
−3 𝑇℃ − 0,3414 10
−5 𝑇℃
2 + 
 
+ 0,5621 10−8 𝑇℃
3 − 6,2460 10−12 𝑇℃
4 
 
 
 Onde: 
 
𝑻℃ → temperatura de operação → 𝟑𝟕℃ ≤ 𝑻℃ ≤ 𝟓𝟒𝟎℃ 
 
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(3.14) 
Fator de Temperatura - 𝑘𝑑 
 Caso seja conhecido a resistência à tração à 
temperatura de operação 𝑺𝑻 e, a resistência à 
tração à temperatura ambiente 𝑺𝑹𝑻 , pode-se então, 
utilizar a seguinte relação: 
 
 
𝑘𝑑 =
𝑆𝑇
𝑆𝑅𝑇
 
 
 
 Com o auxílio dessa relação, foi possível determinar a 
tabela 6-4 (a seguir), referente aos aços 
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(3.15) 
Fator de Temperatura - 𝑘𝑑 
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Fonte: Shigley 
Exercício - 4 
 Um aço 1035 apresenta uma resistência à tração de 
490 𝑀𝑃𝑎 e deve ser usado em uma peça que 
trabalhe a 230℃. 
 
 Estime o fator de modificação de temperatura de 
Marin 𝑘𝑑 e 𝑆𝑒 230℃, utilizando: 
 
(a) A Equação (3.14) 
 
(b) A Tabela 6-4 
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Fator de Confiabilidade - 𝑘𝑒 
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Fonte: Shigley 
 De acordo com Haugen e Wirching, considerando 
um desvio-padrão do limite de endurança de menos 
de 𝟖%, tem-se: 
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Entalhe e 
Concentração de Tensão 
 A existência de irregularidades ou descontinuidades, 
tais como furos, reentrâncias ou entalhes, em uma 
peça aumenta as tensões teóricas significativamente 
na vizinhança imediata da descontinuidade. 
 
 A máxima tensão resultante decorrente da 
irregularidade ou defeito (neste caso - fadiga), é 
definida utilizando um fator de concentração de 
tensão em fadiga 𝑲𝒇 juntamente com a tensão 
nominal do material, ou seja: 
 
𝜎𝑚á𝑥 = 𝐾𝑓 ∙ 𝜎0 ou 𝜏𝑚á𝑥 = 𝐾𝑓𝑠 ∙ 𝜏0 
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(3.16) 
Entalhe e 
Concentração de Tensão 
 
𝜎𝑚á𝑥 = 𝐾𝑓 ∙ 𝜎0 ou 𝜏𝑚á𝑥 = 𝐾𝑓𝑠 ∙ 𝜏0 
 
 Onde: 
 
𝜎𝑚á𝑥 → máxima tensão de flexão 
𝜎0 → tensão nominal de flexão 
𝐾𝑓 → fator de concentração de tensão em fadiga 
 
𝜏𝑚á𝑥 → máxima tensão de cisalhamento 
𝜏0 → tensão nominal de cisalhamento 
𝐾𝑓𝑠 → fator de concentração de tensão em fadiga 
 
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(3.16) 
Entalhe e 
Concentração de Tensão 
 A sensibilidade a entalhe 𝒒 é definida pela 
equação: 
 
 
 
 
0 ≤ 𝑞 ≤ 1 
 
 Onde: 
 
𝐾𝑡 ou 𝐾𝑡𝑠 → fator de concentração de tensão 
 para carga estática 
 
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𝑞 =
𝐾𝑓 − 1
𝐾𝑡 − 1
 𝑞𝑠 =
𝐾𝑓𝑠 − 1
𝐾𝑡𝑠 − 1
 ou (3.17) 
Entalhe e 
Concentração de Tensão 
 A equação sensibilidade a entalhe 𝒒 mostra que: 
 
 quando 𝒒 = 𝟎 , então 𝑲𝒇 = 𝟏 e o material não tem 
qualquer sensibilidade a entalhes 
 
 quando 𝒒 = 𝟏 , então 𝑲𝒇 = 𝑲𝒕 e o material tem 
sensibilidade completa a entalhe. 
 
 
 
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𝑞 =
𝐾𝑓 − 1
𝐾𝑡 − 1
 𝑞𝑠 =
𝐾𝑓𝑠 − 1
𝐾𝑡𝑠 − 1
 ou (3.17) 
Entalhe e 
Concentração de Tensão 
 No trabalho de análise ou projeto: 
 
1. encontre 𝑲𝒕 , a partir da geometria da peça 
 → utilize as tabelas A-13 (apêndice do livro) 
 
2. especifique o material e encontre 𝒒 
 → utilize as figuras 6-20 e 6-21 
 
3. Utilize a Equação (3.17) e determine 𝑲𝒇 
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Entalhe e 
Concentração de Tensão 
 Exemplo de Tabela A-13 – eixo rebaixado em tração 
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Fonte: Shigley 
𝐾𝑡 
Entalhe e 
Concentração de Tensão 
 Exemplo de Tabela A-13 – eixo rebaixado em torção 
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Fonte: Shigley 
𝐾𝑡𝑠 
Entalhe e 
Concentração de Tensão 
 Exemplo de Tabela A-13 – eixo rebaixado em flexão 
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Fonte: Shigley 
𝐾𝑡 
Entalhe e 
Concentração de Tensão 
tração e flexão 
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𝑞 
Fonte: Shigley 
Entalhe e 
Concentração de Tensão 
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torção 
Fonte: Shigley 
𝑞𝑠 
200 Bhn = 689 MPa 
Entalhe e 
Concentração de Tensão 
 Na falta das figuras 6-20 e 6-21, o fator de 
concentração de tensão em fadiga (𝑲𝒇) pode ser 
determinado por outras duas teorias: 
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𝐾𝑓 =
𝐾𝑡
1 +
2 𝐾𝑡 − 1
𝐾𝑡
∙
𝑎
𝑟
 
𝑎 → Tabela 6-15 𝑎 → Fórmula 
𝐾𝑓 = 1 +
𝐾𝑡 − 1
1 +
𝑎
𝑟
 
𝑒𝑟𝑟𝑜 ≅ 2,5% 
Kunn-Hardrath Heywood (3.18) (3.19) 
Entalhe e 
Concentração de Tensão 
 𝑎 → constante de Neuber [ 𝑖𝑛] 
 
 Fórmula de Kunn-Hardrath 
 Para o aço → flexão ou carregamento axial 
 
 
𝑎 = 0,246 − 3,08 10−3 𝑆𝑢𝑡 + 
 
 +1,51 10−5 𝑆𝑢𝑡
2 − 2,67 10−8 𝑆𝑢𝑡
3 
 
 Onde: 
𝑺𝒖𝒕 → resistência à tração mínima do material [𝑘𝑝𝑠𝑖] 
 
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(3.20) 
Entalhe e 
Concentração de Tensão 
 𝑎 → constante de Neuber [ 𝑖𝑛] 
 
 Fórmula de Kunn-Hardrath 
 Para o aço → torção 
 
 
𝑎 = 0,190 − 2,51 10−3 𝑆𝑢𝑡 + 
 
 +1,35 10−5 𝑆𝑢𝑡
2 − 2,67 10−8 𝑆𝑢𝑡
3 
 
 Onde: 
𝑺𝒖𝒕 → resistência à tração mínima do material [𝑘𝑝𝑠𝑖] 
 
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(3.21) 
Entalhe e 
Concentração de Tensão 
 𝑎 → constante de Neuber [ 𝑖𝑛] 
 
 Fórmula de Kunn-Hardrath 
 
 Unidades: 
𝑎 → 𝑖𝑛 e 𝑆𝑢𝑡 → 𝑘𝑝𝑠𝑖 
 
 Conversões: 
1 𝑖𝑛 = 25,4 𝑚𝑚 
 
1 𝑘𝑝𝑠𝑖 ≅ 6,89 𝑀𝑃𝑎 
 
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Entalhe e 
Concentração de Tensão 
 𝑎 → constante de Neuber [ 𝑚𝑚] 
 
 Tabela de Heywood 
 
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Fonte: Shigley 
 ressalto → mangas 
 fenda → reentrâncias 
Exercício - 5 
 Um eixo de aço sob flexão tem uma resistência última 
de 700 𝑀𝑃𝑎 e uma manga com um raio de filete de 
3 𝑚𝑚 conectando um diâmetro de 32 𝑚𝑚 a um de 
48 𝑚𝑚 
 
 Estime 𝐾𝑓 usando: 
 
a) As cartas de sensibilidade Eq. (3.17) 
b) A Equação de Kunn-Hardrath Eq. (3.18) 
c) A Equação de Heywood Eq. (3.19) 
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Exercício - 6 
 A figura abaixo mostra um eixo rotativo, usinado, 
sustentado em mancais de esferas em A e D e carregado 
por uma força estática (𝑭) de 𝟔, 𝟖 𝒌𝑵. 
 
 Empregando resistências "mínimas" ASTM,( 50% de 
confiabilidade), estime a vida da peça. 
 
 Considere: 
 
 𝑆𝑢𝑡 = 690 𝑀𝑃𝑎 (resistência mínima a tração) 
 𝑟 = 3 𝑚𝑚 (raio de arredondamento - entalhe) 
 𝑇℃ = 50℃ (temperatura de operação) 
 
 
 
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Exercício - 6 
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Diagrama de momento flexor 
Desenho de eixo mostrando todas as dimensões em milímetros 
 Análise: 
 
 A falha ocorrerá provavelmente no ponto B, no ponto C ou 
no Momento Máximo. 
 
 O ponto do momento máximo não possui entalhe 
 
 Pontos B e C possuem entalhe 
 
 Ponto B possui seção menor que o ponto C 
 
 Portanto, a falha ocorrerá no ponto B 
 
 E... Da RM temos... 𝑀𝐵 = 695,5 𝑁.𝑚 
 
 
 
 
 
Exercício - 6 
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Tensões Flutuantes à Flexão 
 Tensões flutuantes frequentemente tomam a forma 
de um padrão senoidal, devido à natureza de 
algumas máquinas rotativas. Porém, isso não é uma 
regra. 
 
 Descobriu-se que, em padrões periódicos exibindo 
um único máximo e um único mínimo de força, a 
forma da onda não é importante, mas sim os picos de 
forças, alto (máximo) e baixo (mínimo). 
 
 Logo: 
 
𝐹𝑚𝑎𝑥 e 𝐹𝑚𝑖𝑛 
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Tensões Flutuantes à Flexão 
 Se a força maior é 𝐹𝑚𝑎𝑥 e a menor é 𝐹𝑚𝑖𝑛 , então 
uma componente estável (fixa) e uma componente 
alternante podem ser construídas como segue: 
 
 
𝐹𝑚 =
𝐹𝑚𝑎𝑥 + 𝐹𝑚𝑖𝑛
2
e 𝐹𝑎 =
𝐹𝑚𝑎𝑥 − 𝐹𝑚𝑖𝑛
2
 
 
 Onde: 
𝑭𝒎 → componente média estável da variação da força 
𝑭𝒂 → amplitude da componente alternante de força 
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(3.22) 
Tensões Flutuantes à Flexão 
 Exemplo de alguns dos 
vários sinais de tensão-
tempo que ocorrem: 
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Tensão flutuante senoidal Tensão flutuante repetida 
Tensão flutuante 
completamente reversa 
Tensões Flutuantes à Flexão 
 A partir da Figura 6-23, temos: 
 
 
𝜎𝑚 =
𝜎𝑚𝑎𝑥 + 𝜎𝑚𝑖𝑛
2
e 𝜎𝑎 =
𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛
2
 
 
 Onde: 
𝝈𝒎𝒂𝒙 → tensão máxima 
𝝈𝒎𝒊𝒏 → tensão mínima 
𝝈𝒎 → tensão média 
𝝈𝒂 → tensão de amplitude 
 
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(3.23) 
Tensões Flutuantes à Flexão 
 Adicionalmente à Equação (3.23), temos: 
 
 
𝑅 =
𝜎𝑚𝑖𝑛
𝜎𝑚𝑎𝑥
 
 e 
𝐴 =
𝜎𝑎
𝜎𝑚
 
 
 Onde: 
𝑹 → razão de tensão 
𝑨 → razão de amplitude 
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(3.24) 
(3.25) 
Tensões Flutuantes à Flexão 
 Atenção: 
 Sempre analisar a concentração de tensão: 
 
𝜎𝑎 = 𝐾𝑓 ∙ 𝜎𝑎𝑜 e 𝜎𝑚 = 𝐾𝑓 ∙ 𝜎𝑚𝑜 
 
 Onde: 
𝝈𝒂𝒐 → tensão de amplitude nominal introduzida por 𝑭𝒂 
𝝈𝒎𝒐 → tensão média nominal introduzida por 𝑭𝒎 
 
 
 Na ausência de concentração de tensão → 𝐾𝑓 = 1 
 
 
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(3.26) 
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Critério de Falha por Fadiga 
 Analise o Diagrama de Fadiga 
 
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𝜎𝑒 
𝜎𝑒 𝑆𝑢𝑡 
𝑆𝑒 
0 
𝜎𝑎2 
𝜎𝑎1 
𝜎𝑚2 𝜎𝑚1 
𝐵 
𝐴 
Te
n
sã
o
 a
lt
e
rn
a
n
te
 
 
Tensão média (𝜎𝑚) 
Linha de carregamento 
Linha de Langer (escoamento) 
Linha de Goodman 
Linha de Soderberg 
Ponto de Falha 
Fonte: Shigley 
Critério de Falha por Fadiga 
 Diagrama de Fadiga 
 onde: 
 
𝝈𝒆 → tensão de escoamento 
𝑺𝒆 → limite de endurança corrigido 
𝑺𝒖𝒕 → resistência última a tração 
𝝈𝒎 → tensão média 
𝝈𝒂 → tensão de amplitude 
 
 
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Fonte: Shigley 
Critério de Falha por Fadiga 
 Do Diagrama de Fadiga, retira-se duas relações: 
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 Critério de Goodman – Flexão 
 → utilizado para materiais frágeis 
 Critério de Soderberg – Flexão 
 → utilizado para materiais dúcteis 
 
𝜎𝑎
𝑆𝑒
+
𝜎𝑚
𝑆𝑢𝑡
=
1
𝐹𝑆
 
𝜎𝑎
𝑆𝑒
+
𝜎𝑚
𝜎𝑒
=
1
𝐹𝑆
 
(3.27) 
(3.28) 
Exercício - 7 
 A figura abaixo mostra um eixo rotativo e a tensão 
flutuante nominal (no centro da seção de 50 𝑚𝑚) à qual 
ele é submetido. O eixo é fabricado de um aço com 
𝑆𝑢𝑡 = 600 𝑀𝑃𝑎 e 𝜎𝑒 = 400 𝑀𝑃𝑎. 
 
 Possui superfície usinada e trabalha a temperatura 
ambiente. Adote confiabilidade de 50%. Considerando um 
carregamento a flexão, estime o fator de segurança em 
relação a uma eventual falha por fadiga. 
 
 
 
 
 
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Tensões Flutuantes à Torção 
 Por analogia, temos: 
 
𝑇𝑚 =
𝑇𝑚𝑎𝑥 + 𝑇𝑚𝑖𝑛
2
e 𝑇𝑎 =
𝑇𝑚𝑎𝑥 − 𝑇𝑚𝑖𝑛
2
 
 
 Onde: 
𝑻𝒎𝒂𝒙 → torque máximo 
𝑻𝒎𝒊𝒏 → torque mínimo 
 
𝑻𝒎 → componente média estável da variação de torque 
𝑻𝒂 → amplitude da componente alternante de torque 
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(3.29) 
Tensões Flutuantes à Torção 
 Por analogia, temos: 
 
𝜏𝑚 =
𝜏𝑚𝑎𝑥 + 𝜏𝑚𝑖𝑛
2
e 𝜏𝑎 =
𝜏𝑚𝑎𝑥 − 𝜏𝑚𝑖𝑛
2
 
 
 Onde: 
𝝉𝒎𝒂𝒙 → tensão torcional máxima 
𝝉𝒎𝒊𝒏 → tensão torcional mínima 
𝝉𝒎 → tensão torcional média 
𝝉𝒂 → tensão torcional de amplitude 
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(3.30) 
Tensões Flutuantes à Torção 
 Por analogia, temos: 
 
𝑅 =
𝜏𝑚𝑖𝑛
𝜏𝑚𝑎𝑥
 
 e 
𝐴 =
𝜏𝑎
𝜏𝑚
 
 
 Onde: 
𝑹 → razão de tensão 
𝑨 → razão de amplitude 
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(3.31) 
(3.32) 
Tensões Flutuantes à Torção 
 Atenção: 
 Sempre analisar a concentração de tensão: 
 
𝜏𝑎 = 𝐾𝑓 ∙ 𝜏𝑎𝑜 e 𝜏𝑚 = 𝐾𝑓 ∙ 𝜏𝑚𝑜 
 
 Onde: 
𝝉𝒂𝒐 → tensão de amplitude nominal introduzida por 𝑻𝒂 
𝝉𝒎𝒐 → tensão média nominal introduzida por 𝑻𝒎 
 
 
 Na ausência de concentração de tensão → 𝐾𝑓 = 1 
 
 
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(3.33) 
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Fonte: Shigley 
Critério de Falha por Fadiga 
 Analise o Diagrama de Fadiga 
 
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𝜎𝑒 
𝑆𝑠𝑦 𝑆𝑠𝑢 
𝑆𝑒 
0 
𝜏𝑎2 
𝜏𝑎1 
𝜏𝑚2 𝜏𝑚1 
𝐵 
𝐴 
Te
n
sã
o
 t
o
rc
io
n
a
l 
a
lt
e
rn
a
n
te
 
 
Tensão torcional média (𝜏𝑚) 
Linha de carregamento 
Linha de Langer (escoamento) 
Linha de Goodman 
Linha de Soderberg 
Ponto de Falha 
Critério de Falha por Fadiga 
 Diagrama de Fadiga 
 onde, segundo Smith: 
 
 
 
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 𝑺𝒔𝒖 → módulo torcional de ruptura 
 𝑺𝒔𝒚 → resistência ao escoamento de torção 
𝑆𝑠𝑢 = 0,67 ∙ 𝑆𝑢𝑡 
𝑆𝑠𝑦 = 0,577 ∙ 𝜎𝑒 
(3.34) 
(3.35) 
Critério de Falha por Fadiga 
 Diagrama de Fadiga 
 onde: 
 
𝝈𝒆 → tensão de escoamento 
𝑺𝒆 → limite de endurança corrigido 
𝑺𝒖𝒕 → resistência última a tração 
𝝉𝒎 → tensão torcional média 
𝝉𝒂 → tensão torcional de amplitude 
𝑺𝒔𝒖 → módulo torcional de ruptura 
𝑺𝒔𝒚 → resistência ao escoamento de torção 
 
 
 
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Prof. Me. André L. BossoFonte: Shigley 
Critério de Falha por Fadiga 
 Do Diagrama de Fadiga, retira-se duas relações: 
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 Critério de Goodman – Torção 
 → utilizado para materiais frágeis 
 Critério de Soderberg – Torção 
 → utilizado para materiais dúcteis 
 
𝜏𝑎
𝑆𝑒
+
𝜏𝑚
𝑆𝑠𝑢
=
1
𝐹𝑆
 
𝜏𝑎
𝑆𝑒
+
𝜏𝑚
𝑆𝑠𝑦
=
1
𝐹𝑆
 
(3.36) 
(3.37) 
Exercício - 8 
 A figura abaixo mostra um eixo rotativo e a tensão 
flutuante nominal (no centro da seção de 50 𝑚𝑚) à qual 
ele é submetido. O eixo é fabricado de um aço com 
𝑆𝑢𝑡 = 600 𝑀𝑃𝑎 e 𝜎𝑒 = 400 𝑀𝑃𝑎. 
 
 Possui superfície usinada e trabalha a temperatura 
ambiente. Adote confiabilidade de 50%. Considerando um 
carregamento a torção, estime o fator de segurança em 
relação a uma eventual falha por fadiga. 
 
 
 
 
 
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