Projeto de Elementos de Máquinas 25-fev-2020

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Projeto de Elementos de 
Máquinas
Prof. Romeu Fontana Jr.
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Projeto de Elementos de 
Máquinas
Introdução
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Projeto
• Funcional. O produto deve apresentar um desempenho que atenda às 
necessidades e expectativas do consumidor.
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Projeto
• Seguro. O produto não deve oferecer perigo ao usuário, e nem a terceiros.
• Ex: ADAS (Advanced Driver Assistance Systems), capazes de evitar os acidentes, 
incluindo frenagem automática de emergência, alerta e assistente de permanência 
em faixa de rodagem, limitador de velocidade e monitoramento de ponto cego.
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Segurança ativa: 
Freios ABS, controle de tração, controle de estabilidade, alarme de 
risco de colisão, sensores de velocidade e distância 
Segurança passiva:
Estrutura da cabine, zonas de deformação, cintos de segurança, air
bags, vidro laminado, proteção do tanque de combustível, chave de 
desligamento da bomba de combustível 
Projeto
• Confiável. Confiabilidade é a probabilidade condicional, a um determinado 
nível de confiança, de que o produto irá desempenhar sua função 
proposta satisfatoriamente, ou sem falhar a uma determinada idade.
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Projeto
• Competitivo. O produto deve ser um forte competidor em seu mercado.
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Projeto
• Utilizável. O produto deve ser "amigável ao usuário", acomodando-se a 
especificações como tamanho, resistência, postura, alcance, força, 
potência e controle humanos.
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Projeto
• Manufaturável. O produto deve ser reduzido a um número "mínimo" de 
componentes, adequados à produção em massa, com dimensões, 
distorção e resistência sob controle.
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Projeto
• Mercável. O produto pode ser comprado, e serviços de assistência técnica 
devem estar disponíveis.
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Adquirindo Informação Técnica
• Bibliotecas (comunitária, universitária e particular). Dicionários de 
engenharia e enciclopédias, livros-texto, monografias, manuais, 
periódicos, traduções, relatórios técnicos, patentes e fontes/catálogos de 
negócios.
• Fontes governamentais. Departamentos de Defesa, Comércio, Energia e 
Transporte; NASA; Imprensa Governamental; Departamento de Patentes e 
Comércio; Serviço Nacional de Informação Técnica; e Instituto Nacional de 
Patentes e Tecnologia.
• Sociedades profissionais. American Society of Mechanical Engineering, 
Society of Manufacturing Engineers, Society of Automotive Engineers, 
American Society for Testing and Materials e American Welding Society.
• Vendedores comerciais. Catálogos, literatura técnica, dados de ensaios, 
amostras e informação sobre custo.
• Internet. O meio de acesso, na rede de computadores, às páginas 
associadas à maioria das categorias supracitadas.
• Dados de materiais: www.matweb.com
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http://www.matweb.com/
Variáveis de Projeto
• Composição do material e efeito da variação nas 
propriedades.
• Efeitos do processamento local, ou nas proximidades, sobre as 
propriedades.
• Efeitos de montagens próximas, tais como soldagens e ajustes 
por contração em condições de tensão.
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Variáveis de Projeto
• Efeito de tratamento termomecânico sobre as propriedades.
• Intensidade e distribuição de carregamento.
• Validade de modelos matemáticos utilizados para representar 
a realidade.
• Intensidade de concentrações de tensão.
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Variáveis de Projeto
• Influência do tempo na resistência e na geometria.
• Efeito de corrosão.
• Efeito de desgaste.
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Resistência
• Resistência é uma propriedade de um material 
ou de um elemento mecânico. A resistência de 
um elemento depende da escolha, do 
tratamento e do processamento do material.
• Ss = resistência a cisalhamento
• Sy = resistência a escoamento
• Su = limite de resistência (resistência última)
• S = tensão média obtida por meio de uma amostragem 
de dados de ensaio
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Tensão
• Tensão é uma propriedade de estado de um 
corpo, que é uma função da carga, da 
geometria, da temperatura e do processo de 
manufatura.
• σ (sigma) para tensões normais 
• τ (tau) para as tensões de cisalhamento
• Fator de Projeto:
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Diagrama Tensão x Deformação
Diagrama de tensão-deformação obtido do ensaio de tração padronizado
(a) Material dúctil; (b) material frágil.
Nesse diagrama, pl marca o limite de proporcionalidade; el, o limite elástico; y, 
a resistência ao escoamento; u, a resistência máxima ou última; e f, a 
resistência à fratura.
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Medição de Tensões
• Extensômetro (strain gauge) é um transdutor capaz de medir 
deformações de corpos. Quando um material é deformado sua resistência
elétrica é alterada, a fração de mudança na resistência é proporcional à 
fração de mudança no comprimento do material.
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http://pt.wikipedia.org/wiki/Transdutor
http://pt.wikipedia.org/wiki/Deforma%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Material
http://pt.wikipedia.org/wiki/Resist%C3%AAncia
Critério de aplicação para 
extensômetros
•O modelo 3D é 
submetido à análise 
estrutural por elementos 
finitos.
•As regiões de maior 
tensão são propícias para 
a aplicação dos 
extensômetros.
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Projeto de Elementos de 
Máquinas
Falha por
Fadiga Resultante de
Carregamento Variável
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Ensaios com cargas dinâmicas
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Introdução à Fadiga em Metais
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O clipe é o exemplo mais simples 
de como se pode levar uma peça 
à fadiga: de sua forma original (1), 
se repetirmos o ciclo de abrir (2) e 
fechar(3) por “n” vezes, haverá 
uma quebra por fadiga do 
material (4).
A figura ao lado mostra uma 
roda de vagão ferroviário numa 
condição em que há flexão 
rotativa do eixo. Esta situação 
pode ser simulada em 
laboratório através de um 
motor elétrico com um eixo e 
um contrapeso na 
extremidade.
Introdução à Fadiga em Metais
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(a)
(b)
(c)
O esforço de flexão induz tensões de 
tração e compressão na peça. O valor de 
tensão é zero na linha neutra e atinge o 
valor máximo nos pontos mais distantes 
da linha neutra. No caso (a) temos 
tração acima da linha neutra e 
compressão abaixo da mesma; no caso 
(b) não há esforço de flexão, e portanto 
não há tensões; e no caso (c) temos 
compressão acima da linha neutra e 
tração abaixo da mesma.
Se submetermos um eixo a uma 
repetição sucessiva das situações (a), (b) 
e (c) ao longo do tempo, obteremos um 
gráfico de tensão conforme mostrado 
na figura ao lado. Esta condição de 
tensão alternante levará o eixo a uma 
falha por fadiga.
Introdução à Fadiga em Metais
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No teste em laboratório submete-se o eixo acoplado ao motor elétrico a uma condição de 
flexão rotativa, aplicando-se um contrapeso na extremidade. Instrumentando este eixo com 
extensômetros (strain gauges), obtém-se o gráfico de tensões ao longo do tempo.
Introdução à Fadiga em Metais
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No teste em laboratório também é possível elaborar um gráfico de tensões x número de ciclos. 
Para levar uma peça à falha com uma única aplicação de carga (1 ciclo), é necessário submetê-la à 
tensão limite de tração. Entretanto, é possível ocasionar a falha com tensões mais baixas quando 
repetimos a aplicação de carga por “n” ciclos.
Introdução à Fadiga em Metais
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Há um determinado valor de tensão que corresponde ao limite de resistência à fadiga (Se), onde 
deixam de ocorrer falhas. Para este nível de tensão, pode-se submeter a peça a um número infinito 
de ciclos, ou seja, a peça não sofrerá falha por fadiga.
Introdução à Fadiga em Metais
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O estudo de tensões e número de ciclos é feito no laboratório através de um teste 
de flexão rotativa, onde é possível variar a carga aplicada.
Introdução à Fadiga em Metais
• A fadiga surge decorrente da condição na qual as 
tensões variam ou flutuam entre níveis.
• Por exemplo, uma determinada fibra na superfície de 
um eixo rotante, sujeita à ação de cargas de flexão, 
passa por tração e compressão para cada revolução do 
eixo. Se esse eixo é parte de um motor elétrico que 
roda a 1725 rpm, a fibra é tensionada em tração e 
compressão 1725 vezes a cada minuto.
• Esse e outros gêneros de carregamento em membros 
de máquina produzem tensões que são chamadas 
variáveis, repetidas, alternantes ou flutuantes.
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Introduçãoà Fadiga em Metais
• Com frequência se descobre que membros de máquina 
falharam sob a ação de tensões repetidas ou flutuantes
• Uma análise mais cuidadosa revela que as tensões 
reais máximas estavam bem abaixo da resistência 
última do material e, muito seguidamente, abaixo 
mesmo da resistência ao escoamento.
• A característica mais distinguível dessas falhas é que as 
tensões foram repetidas muitas e muitas vezes. Daí a 
falha ser denominada falha por fadiga.
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Introdução à Fadiga em Metais
• Quando peças de máquina falham estaticamente, 
em geral desenvolvem uma deflexão muito 
grande, visto que a tensão excedeu à resistência 
ao escoamento, e a peça é trocada antes que a 
fratura realmente ocorra.
• Assim, muitas falhas estáticas dão um aviso 
visível antecipadamente. No entanto, o mesmo 
não ocorre com a falha por fadiga! Ela é súbita e 
total - portanto, perigosa.
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Introdução à Fadiga em Metais
• As falhas por fadiga surgem de três estágios de 
desenvolvimento:
• O estágio 1 corresponde ao início de uma ou mais 
microtrincas, causadas por deformação plástica cíclica 
seguida de propagação cristalográfica. As trincas neste 
estágio não são normalmente discerníveis a olho nu. 
• O estágio 2 compreende a progressão de micro a
macrotrincas, formando superfícies de fratura com platôs 
paralelos, separados por sulcos também paralelos. Tais 
platôs são normalmente lisos e normais na direção da 
máxima tensão de tração. Essas superfícies podem ser 
onduladas e escuras e ter bandas leves conhecidas como 
marcas de praia ou marcas de concha de ostra.
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Introdução à Fadiga em Metais
• O estágio 3 ocorre no ciclo de carga final, quando o material 
remanescente não pode suportar as cargas, resultando em fratura rápida 
e repentina. Esta falha pode ser frágil, dúctil ou uma combinação de 
ambas. Com bastante frequência, as marcas de praia, caso existentes, e os 
padrões denominados linhas de divisa apontam para a origem das trincas 
iniciais.
Falha por fadiga em 
parafuso
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Introdução à Fadiga em Metais
• A falha por fadiga deve-se à formação de trinca e propagação. Uma trinca 
de fadiga terá início, tipicamente, em uma descontinuidade no material 
em que a tensão cíclica é máxima. As descontinuidades podem surgir 
devido aos seguintes fatores:
• Projeto de mudanças rápidas na secção transversal, chavetas, furos, etc., 
em que as concentrações de tensão ocorrem.
• Elementos que rolam e/ou deslizam contra outros (mancais, engrenagens, 
cames, etc.) sob pressões de contato altas, que podem causar formação 
de cavidades superficiais ou lascamento após vários ciclos de carga.
• Descuido com a localização de marcas de identificação, marcas de 
ferramentas, riscos e rebarbas; projeto de juntas malfeito; montagem 
inadequada e outras falhas de fabricação.
• Composição do material em si, quer processado por laminação, 
forjamento, fundição, extrusão, estiramento, tratamento térmico, etc.
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Introdução à Fadiga em Metais
• Entre as várias condições que podem acelerar o início 
de trincas, incluem-se as tensões residuais de tração, 
as temperaturas elevadas, a ciclagem térmica, os meios 
corrosivos e a ciclagem de alta frequência.
• A razão e a direção de propagação de uma trinca de 
fadiga são controladas primeiramente por tensões 
localizadas e pela estrutura do material nessa trinca.
• Contudo, com a formação da trinca, outros fatores 
podem exercer influência significativa, tais como o 
meio ambiente, a temperatura e a frequência. Como 
afirmado antes, as trincas crescerão ao longo de planos 
normais às máximas tensões de tração.
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Esquema de superfícies de fratura por fadiga
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Falhas por fadiga
Falha por fadiga de um eixo 
motor AISI 4320. A falha 
iniciou-se nos pontos B e 
progrediu até a ruptura 
final em C.
A zona de ruptura final é 
pequena, indicando que as 
cargas foram baixas.
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Falhas por fadiga
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Superfície de fratura 
por fadiga de um pino 
AISI 8640. Cantos vivos 
de furos de graxa 
desencontrados 
causaram
concentrações de 
tensão que iniciaram 
duas trincas de fadiga, 
indicadas pelas setas.
Falhas por fadiga
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Superfície de fratura por fadiga de 
uma barra conectora forjada de aço 
AISI 8640.
A trinca de fratura originou-se na 
borda esquerda, na linha destacada 
de forjamento, mas nenhuma 
aspereza incomum de emenda foi 
indicada.
A trinca de fadiga progrediu meio 
caminho ao redor do furo de óleo à 
esquerda, indicado pelas marcas de 
praia, antes que a fratura rápida 
final ocorresse.
Falhas por fadiga
41
Superfície de fratura por fadiga de 
uma biela de pistão com 200 mm 
de diâmetro (8 in) de um martelo 
feito de aço liga e utilizado para 
forjamento.
Esse é um exemplo de uma fratura 
por fadiga causada por tração 
pura, em que concentrações de 
tensão superficiais estão ausentes 
e uma trinca pode ser iniciada em 
qualquer lugar na secção 
transversal.
Falhas por fadiga
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Redesenho do conjunto de braço 
de torque de trem de 
aterrissagem, feito de liga de 
alumínio 7075-T73, para eliminar 
fratura por fadiga em um furo.
(a) Configuração do braço
(b) Superfície de fratura na qual 
as setas indicam origens de 
trincas múltiplas
Vida sob Fadiga
• Há abordagens fundamentais utilizadas em projeto e 
análise para predizer quando, ou se, uma peça 
carregada ciclicamente irá falhar em fadiga, em um 
determinado período de tempo (“N” ciclos):
• 1 ≤ N ≤ 10³ ciclos = fadiga de baixo ciclo
• N > 10³ ciclos = fadiga de alto ciclo
• Método da vida sob tensão
• é o mais simples de implementar para várias aplicações de projeto
• tem muitos dados de suporte
• representa de forma adequada aplicações envolvendo alta 
ciclagem
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Método da Vida sob Tensão
• Objetivo: determinar a resistência de materiais sob a ação de cargas de 
fadiga.
• Corpos de prova são sujeitos a forças (repetidas ou variáveis) de 
magnitudes especificadas.
• Ciclos ou inversões de tensão são contados até sua destruição.
• O dispositivo de ensaio de fadiga mais utilizado é a máquina de viga 
rotativa de alta velocidade (flexão pura sem cisalhamento transversal)
• Uma carga de flexão constante é aplicada, e o número de revoluções 
(inversões de tensão) dessa viga requerido até a falha é registrado.
• Os resultados são traçados em um diagrama S-N
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Método da Vida sob Tensão
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Um diagrama S-N traçado a partir dos resultados de testes de fadiga 
axial completamente inversa. Material: aço UNS G41300, normalizado; 
Sut = 116 kpsi; máximo Sut = 125 kpsi
Para aços, a partir 
desta região não 
ocorre falha, por 
maior que seja o 
número de ciclos
Se = limite de 
resistência à 
fadiga
Método da Vida sob Tensão
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Curvas S-N para ligas de alumínio representativas, excluindo 
ligas forjadas com S„, < 38 kpsi.
O gráfico S-N 
jamais se torna 
horizontal para 
metais não-
ferrosos ou ligas,
de modo que 
esses materiais 
não têm um 
limite de 
resistência à 
fadiga. 
Método da Vida sob Tensão
• Uma vez que o alumínio não tem um limite de 
resistência à fadiga, normalmente a resistência à 
fadiga Sf é relatada a um número específico de 
ciclos, normalmente N = 5( 108)
• Um ciclo de tensão (N = 1) constitui uma única 
aplicação e remoção de determinada carga, e 
então outra aplicação e remoção dessa carga na 
direção oposta.
• Logo, N = ½ significa que a carga é aplicada uma 
vez, e então é removida, o que corresponde ao 
caso de um ensaio de tração simples.
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Método da Vida sob Tensão
48
O limite de 
resistência à 
fadiga varia 
entre cerca 
de 40 a 60% 
da resistência 
à tração
para aços de 
até 212 kpsi 
(1460 MPa) 
aprox.
Gráfico dos limites de resistência à fadiga versus resistências à tração 
procedentes de resultados de ensaios de fadiga
Método da Vida sob Tensão
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O limite de 
resistência à 
fadiga varia 
entre cerca 
de 40 a 60% 
da resistência 
à tração
para aços de 
até 212 kpsi 
(1460 MPa) 
aprox.
S’e = limite de resistência
Sut = resistência à tração mínima
Fatores Modificadores doLimite de 
Resistência
• O limite de resistência de um componente 
mecânico ou estrutural difere dos valores obtidos 
com corpos de prova em laboratório. Algumas 
diferenças incluem:
• Material: composição, base de falha, variabilidade
• Manufatura: método, tratamento térmico, corrosão por 
microabrasão, condição de superfície, concentração de 
tensão
• Ambiente: corrosão, temperatura, estado de tensão, tempo 
de relaxação
• Projeto: tamanho, forma, vida, estado de tensão, 
concentração de tensão, velocidade, microabrasão, 
escoriação
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Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Se = ka.kb.kc.kd.ke.kf.S’e
– Se = limite de resistência no local crítico de uma peça 
de máquina na geometria e na condição de uso
– S’e = limite de resistência de corpo de prova em teste 
do tipo viga rotativa (laboratório)
– ka = fator de modificação de condição de superfície
– kb = fator de modificação de tamanho
– kc = fator de modificação de carga
– Kd = fator de modificação de temperatura
– ke= fator de confiabilidade
– Kf = fator de modificação por efeitos variados
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Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de Superfície ka
• Depende da qualidade do acabamento da superfície da peça real e 
da resistência à tração do material que a constitui.
• Sut é a resistência à tração
• a e b são encontrados a partir da Tabela
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Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de Superfície ka
– Exercício:
• Um aço tem uma resistência à tração de 520 MPa e 
uma superfície usinada. Estime ka
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Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de Tamanho kb
– Para carregamento axial (tração e compressão) não há 
efeito de tamanho, de modo que kb = 1
– Os resultados para flexão e torção (para uma barra 
redonda em modo rotativo) podem ser expressos da 
seguinte forma:
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Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de Tamanho kb
• Para uma barra redonda em flexão não-rotativa, utiliza-
se o índice de correção:
• Para uma seção transversal não-circular (seção 
retangular de dimensões h, b) utiliza-se o índice de 
correção:
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Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de Tamanho kb
– Exercício:
• Um eixo de aço carregado sob flexão tem 32 mm de diâmetro. O 
material desse eixo tem uma resistência média à tração de 690 
MPa. Estime o fator de tamanho kb se o eixo for utilizado:
a) em modo rotativo
b) em modo não-rotativo
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Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de Carregamento kc
– Especifica-se os valores médios do fator de carga 
na seguinte forma:
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Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de Temperatura kd
– Quando as temperaturas operacionais estão abaixo da temperatura ambiente, a fratura 
frágil é uma forte possibilidade e, portanto, deve ser investigada primeiramente.
– Quando as temperaturas operacionais são mais altas que a temperatura ambiente, o 
escoamento deve ser investigado a princípio, pois a resistência a ele cai muito 
rapidamente com a temperatura.
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• Um gráfico dos resultados de 145 ensaios 
de 21 aços carbono e de liga mostrando o 
efeito da temperatura de operação na 
resistência ao escoamento Sy e na 
resistência à tração Sut.
• A ordenada é a razão da resistência à 
temperatura de operação (ST) pela 
resistência à temperatura ambiente (SRT).
Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de Temperatura kd
• A Tabela abaixo foi obtida a partir do gráfico anterior, utilizando-se somente os 
dados de resistência à tração.
• Observe que essa tabela representa 145 ensaios de 21 diferentes aços carbono e 
liga.
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Efeito da temperatura de operação 
sobre a resistência à tração de aço.
ST= resistência à tração à 
temperatura de operação
SRT = resistência à tração à 
temperatura ambiente
Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de Temperatura kd
• Um ajuste por curva polinomial de quarta ordem aos dados 
que produziram o gráfico anterior fornece a equação abaixo, 
em que 70 ≤ TF ≤ 1000°F.
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Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de Temperatura kd
• Exercício:
– Um aço 1035 apresenta uma resistência à tração de 70 kpsi e deve ser usado 
em uma peça que trabalhe a 450°F. Estime o fator de modificação de 
temperatura kd e o limite de resistência na temperatura de operação, nas 
seguintes condições:
• Se o limite de resistência à temperatura ambiente por ensaio for:
– 39,0 kpsi
– 70,0 kpsi
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Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de Confiabilidade ke
– Conforme visto anteriormente, o limite de resistência 
médio é mostrado como:
• S’e = 0,5.Sut
– A maioria dos dados de resistência é relatada como valores 
médios.
– Os dados apresentados por Haugen e Wirsching mostram 
desvios-padrão da resistência de menos de 8%.
– Dessa forma, o fator modificador de confiabilidade para 
dar conta desse fato pode ser escrito como:
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Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de Confiabilidade ke
– A Tabela abaixo provê fatores de confiabilidade para 
alguns padrões especificados.
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Fatores de confiabilidade ke correspondentes a 8% de desvio-padrão do limite de resistência
S’e = 0,5.SutSe = ka.kb.kc.kd.ke.kf.S’e
Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de efeitos diversos kf
• Tensões residuais podem melhorar o limite de resistência ou afetá-
lo adversamente.
• Em geral, se a tensão residual na superfície de uma peça for de 
compressão, o limite de resistência será melhorado.
• Falhas por fadiga parecem ser falhas por tração, ou pelo menos 
causadas por tensão de tração, de modo que qualquer coisa que 
reduza a tensão de tração reduzirá também a possibilidade de falha 
por fadiga.
• Operações como jateamento de esferas, martelamento e laminação
a frio constroem tensões compressivas na superfície da peça e 
melhoram o limite de resistência de forma significativa.
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Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de efeitos diversos kf
• Os limites de resistência de peças feitas de chapas laminadas 
ou repuxadas, ou de barras, bem como de peças forjadas, 
podem ser afetados pelas chamadas características 
direcionais da operação.
• Peças laminadas ou repuxadas, por exemplo, têm um limite 
de resistência na direção transversal que pode ser 10 a 20% 
menor que o limite de resistência na direção longitudinal.
• Peças endurecidas superficialmente podem falhar na 
superfície ou no raio máximo do núcleo, dependendo do 
gradiente de tensão. 
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Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de efeitos diversos kf
• A Figura 7-19 mostra a distribuição de tensão triangular típica 
de uma barra sob flexão ou torção.
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Para esse exemplo, o 
limite de resistência do 
núcleo domina o projeto 
porque a figura mostra 
que a tensão σ ou τ, 
qualquer que se aplique, 
no raio externo do 
núcleo, é maior que o 
limite de resistência 
desse núcleo.
Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de efeitos diversos kf
• Corrosão
– Peças que operam em uma atmosfera corrosiva tem uma resistência à 
fadiga reduzida.
– Isso se deve à formação de asperezas ou à cavitação da superfície por 
material corrosivo.
• Chapeamento Eletrolítico
– Revestimentos metálicos, tais como chapeamentos de cromo, de 
níquel ou de cádmio, reduzem o limite de resistência em até 50%.
– O chapeamento de zinco não afeta a resistência à fadiga. 
– A oxidação anódica de ligas leves reduz os limites de resistência sob 
flexão em cerca de 39%, mas não tem efeito no limite de resistência 
torcional.
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Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de efeitos diversos kf
• Pulverização de Metal
– A pulverização de metal resulta em imperfeições de superfície que 
podem iniciar trincas. Ensaios limitados mostram redução de 14% na 
resistência à fadiga.
• Freqüência Cíclica
– O processo de fadiga pode ser dependente do tempo, e também da 
frequência.
– Quando corrosão e /ou altas temperaturas, forem encontradas, a 
razão de ciclotorna-se importante.
– Quanto menor a frequência e mais alta a temperatura, mais alta a taxa 
de propagação de trinca e mais curta a vida a um dado nível de 
tensão.
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Fatores Modificadores do Limite de 
Resistência
• Fator de efeitos diversos kf
• Corrosão com Microabrasão
• O fenômeno de corrosão com microabrasão é o resultado de movimentos 
microscópicos de peças ou estruturas muito atarraxadas.
• Juntas parafusadas, ajustes mancal-pista, cubos de roda e qualquer 
conjunto de peças muito atarraxadas são exemplos. O processo envolve 
descoloração superficial, cavitação e eventual fadiga.
• O fator de microabrasão kf depende do material das partes unidas e varia 
entre 0,24 e 0,90.
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Caracterização de Tensões Flutuantes
• Tensões flutuantes em maquinaria frequentemente tomam a forma 
de um padrão senoidal, devido à natureza de algumas maquinas 
rotativas.
• Contudo, outros padrões, alguns bastante irregulares, de fato 
ocorrem.
• Descobriu-se que, em padrões periódicos exibindo um único 
máximo e um único mínimo de força, a forma da onda não é 
importante, mas sim os picos em ambos os lados, alto (máximo) e 
baixo (mínimo).
• Fmax e Fmin em um ciclo de força podem ser usados para 
caracterizar o padrão de força.
• É também verdade que variar acima e abaixo de alguma linha de 
base pode ser igualmente efetivo na caracterização do padrão de 
força.
70
Caracterização de Tensões Flutuantes
• Se a força maior é Fmax e a menor, Fmin, então uma 
componente estável, fixa, e uma componente 
alternante podem ser construídas como segue:
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Fm = componente média da variação da força
Fa = componente de amplitude da força.
Caracterização de Tensões Flutuantes
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(a) tensão flutuante com ondulação 
de alta frequência
(b , c) tensão flutuante não-senoidal
Caracterização de Tensões Flutuantes
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(d) tensão flutuante senoidal
(e) tensão repetida 
(f) tensão senoidal 
completamente inversa.
Caracterização de Tensões Flutuantes
• A tensão estável ou estática σs não é igual à 
tensão média σm; ela pode ter qualquer valor 
entre σmin e σmax e existe devido a uma carga fixa 
ou pré-carga aplicada à peça, sendo geralmente 
independente da porção variante da carga.
• Uma mola helicoidal de compressão, por 
exemplo, está sempre carregada em um espaço 
menor que o comprimento livre da mola.
• A tensão criada por essa compressão inicial é 
chamada componente estável ou estática da 
tensão, não sendo a mesma que a tensão média.
74
Caracterização de Tensões Flutuantes
• As seguintes relações são evidentes a partir da figura 
anterior:
75
Razão de tensão
Critérios de Falha por Fadiga sob 
Tensões Flutuantes 
• Uma vez definidas as várias componentes de 
tensão associadas a uma peça sujeita a tensão 
flutuante, podemos variar tanto a tensão 
média como a amplitude de tensão, ou 
componente alternante, para aprender algo 
mais a respeito da resistência à fadiga.
• Alguns métodos de representação gráfica dos 
resultados desses ensaios são mostrados nas 
figuras a seguir.
76
Critérios de Falha por Fadiga sob 
Tensões Flutuantes 
• O diagrama de Goodman da figura a seguir tem a tensão 
média traçada ao longo da abscissa, e todas as demais 
componentes de tensão na ordenada, com a tração na 
direção positiva.
• O limite de resistência à fadiga ou à vida finita, qual seja o 
aplicável, é traçado na ordenada acima e abaixo da origem.
• A linha de tensão média é uma linha a 45° a partir da 
origem até a resistência sob tração da peça.
• O diagrama de Goodman modificado consiste em linhas 
construídas a Se acima e abaixo da origem.
• A resistência ao escoamento também aparece traçada em 
ambos os eixos, uma vez que tal escoamento seria o 
critério de falha se σmax excedesse a Sy
77
Critérios de Falha por Fadiga sob 
Tensões Flutuantes 
78
Diagrama de Goodman
mostrando todas as resistências e 
os valores-limite de todas as 
componentes de tensão para uma 
tensão média particular.
Critérios de Falha por Fadiga sob 
Tensões Flutuantes 
• O diagrama de fadiga da próxima página é único na medida em que 
mostra as quatro componentes de tensão, bem como as duas 
razões de tensão.
• A curva que representa o limite de resistência para valores de R 
iniciando em R = -1 e terminando com R = 1 começa em Se no eixo 
σa, e termina em Sut, no eixo σm.
• Curvas de vida constante para N = 100.000 ciclos e N= 10.000 ciclos 
foram também desenhadas. 
• Qualquer estado de tensão, tal como aquele no ponto A, pode ser 
descrito pelas componentes mínima e máxima, ou pelas 
componentes média e alternante.
• Além disso, a segurança é indicada sempre que o ponto descrito 
pelas componentes de tensão estiver situado abaixo da linha de 
vida constante.
79
Critérios de Falha por Fadiga sob 
Tensões Flutuantes 
80
Diagrama-mestre de 
fadiga criado para o 
aço AISI 4340, com:
Sut = 158 kpsi
Sy = 147 kpsi
As componentes de
tensão em A são:
σmin = 20 kpsi
σmax = 120 kpsi
σm = 70 kpsi
σa = 50 kpsi
(Fonte: H. J. Grover, 
Fatigue of Aircraft
Structures)
Critérios de Falha por Fadiga sob 
Tensões Flutuantes
• Critério de falha de Goodman
– É uma linha reta e a álgebra é linear e fácil.
– É facilmente traçado, para qualquer problema.
– Revela sutilezas de percepção nos problemas de fadiga.
– As respostas podem ser representadas em escala, a partir dos diagramas, como uma 
verificação da álgebra.
– O limite de resistência à fadiga Se é marcado na ordenada, já corrigido pelos fatores 
modificadores.
– A resistência ao escoamento Sy é marcada na ordenada e na abcissa, pois o escoamento 
pode ser o critério de falha, ao invés da fadiga.
– O eixo de tensão média tem a resistência ao escoamento Sy e a resistência à tração Sut
marcadas.
– Cinco critérios de falha estão diagramados: o de Soderberg, o de Goodman, o de Gerber, 
o elíptico da ASME e o de escoamento.
– O diagrama mostra que somente o critério de Soderberg protege contra o escoamento.
81
Critérios de Falha por Fadiga sob 
Tensões Flutuantes
82
Diagrama de fadiga mostrando vários critérios de falha.
(para cada critério, pontos na, ou "acima" da, respectiva linha indicam falha
O ponto A 
provê a 
resistência Sm
como o valor-
limite de σm
corresponden
te à 
resistência Sa, 
que é o valor-
limite de σa.
Critérios de Falha por Fadiga sob 
Tensões Flutuantes
83
Diagrama de Goodman
(pontos na linha de Goodman, ou acima dela indicam falha)
Resistência alternada
Sa = n.σa
Resistência média
Sm = n.σm
n = fator de projeto
ou de segurança
Critérios de Falha por Fadiga sob 
Tensões Flutuantes
• A equação de critério para a linha de Goodman é:
84
• A inclinação da linha de carga mostrada é definida como:
r = Sa / Sm
• As tensões n.σa e n.σm podem substituir Sa e Sm, sendo n 
o fator de projeto ou de segurança. Assim, a equação 
torna-se:
Critérios de Falha por Fadiga sob 
Tensões Flutuantes
• Exercício:
– Uma barra de aço é submetida a um 
carregamento cíclico tal que σmax = 60 kpsi e σmin = 
-20 kpsi. Para o material, Sut = 80 kpsi, e Sy = 65 
kpsi. Determinar o limite de resistência (Se) 
utilizando o critério de Goodman, considerando o 
fator de projeto (segurança) = 1. 
85
Critérios de Falha por Fadiga sob 
Tensões Flutuantes
• Exercício:
– Um eixo de diâmetro 1,5 polegadas foi usinado a 
partir de uma barra de aço AISI 1050 repuxada a 
frio. Essa peça deve aguentar uma carga de tração 
flutuante variando de 0 a 16 kip. Encontrar o fator 
de projeto (segurança) protegendo contra fadiga, 
utilizando o critério de Goodman.
– Dados do material:
• Sut = 100 kpsi
• Sy = 84 kpsi
86
Projeto de Elementos de 
Máquinas
Eixos Rotativos e Eixos Fixos
87
Eixos - Conceitos Gerais 
• Eixo rotativo:
– utilizado para transmitir potência ou movimento.
– provê a linha de centro de rotação de elementos como engrenagens, polias, 
volantes, manivelas, rodas dentadas e similares, bem como controla a 
geometria de seus movimentos.
88
Eixos - Conceitos Gerais 
• Eixo fixo: 
– é um membro não-rotativo.– não transmite torque.
– utilizado para suportar rodas girantes, polias e similares.
89
Eixos - Conceitos Gerais 
• Um projeto de eixo realmente tem início após muito trabalho preliminar. 
• O projeto da máquina em si ditará que certas engrenagens, polias, 
mancais e outros elementos terão pelo menos sido parcialmente 
analisados e seus tamanhos e espaçamento, previamente determinados.
90
Eixos - Conceitos Gerais 
• Um projeto de eixo deve ser estudado a partir dos seguintes pontos de 
vista:
– Tensão e resistência
• Resistência estática
• Resistência de fadiga
• Confiabilidade
91
Eixos - Conceitos Gerais 
• Um projeto de eixo deve ser estudado a partir dos seguintes pontos de 
vista:
– Deflexão e rigidez
• Deflexão flexional
• Deflexão torsional
• Inclinação em mancais e em elementos suportados do eixo
• Deflexão de cisalhamento decorrente de carregamento transversal de eixos 
curtos
92
Eixos - Conceitos Gerais 
• A geometria de um eixo é geralmente a de um cilindro escalonado. 
• Engrenagens, mancais e polias devem sempre ser posicionados com precisão, bem 
como providências devem ser tomadas a fim de aceitar cargas de empuxo.
• O uso de ressaltos de eixo é um excelente meio para localizar axialmente os 
elementos desse eixo: tais ressaltos podem ser utilizados para pré-carregar 
mancais de rolamento e prover as reações necessárias de empuxo a elementos 
rotativos.
• Por essas razões, nossa análise normalmente envolverá eixos escalonados.
93
Eixos - Conceitos Gerais 
94
Eixo escalonado 
suportando a 
engrenagem de 
um redutor de 
velocidade com
engrenagem de 
par sem-fim
Eixos - Conceitos Gerais 
• Procedimento de análise
– O exame de tensão em um ponto específico de um eixo pode ser feito 
utilizando-se apenas a geometria desse eixo nas adjacências daquele ponto. 
Assim, a geometria do eixo completo em detalhe não é necessária a princípio.
– No projeto preliminar é possível localizar as áreas críticas, dimensioná-las para 
atender aos requisitos de resistência e dimensionar o restante do eixo para 
atender aos requisitos dos elementos suportados por ele.
95
Eixos - Conceitos Gerais 
• As análises de deflexão e de inclinação não podem ser realizadas até que a 
geometria do eixo completo tenha sido definida.
• Desse modo, a deflexão é uma função da geometria em toda a parte, ao passo que 
a tensão em uma seção de interesse é uma função da geometria local e de 
momentos.
• Por tal razão, o projeto de um eixo permite considerar a tensão e a resistência 
primeiramente.
• Depois que valores tentativos para as dimensões do eixo tiverem sido 
estabelecidos, a determinação da deflexão e da inclinação poderá ser feita.
96
Eixos - Conceitos Gerais 
• Mudanças no projeto podem resultar de diversas razões, tais como o uso de um 
selador recentemente projetado ou de acoplamento, uma mudança na potência 
ou na velocidade, mancais de tamanho diferente, ou o uso de componentes 
rotantes projetadas recentemente.
• Se não existir um projeto anterior para utilizar como ponto de partida, então a 
determinação da geometria do eixo poderá ter muitas soluções.
97
Eixos - Conceitos Gerais 
98
(a) Escolha uma configuração de eixo para suportar e localizar 
as duas engrenagens e os dois mancais
Eixos - Conceitos Gerais 
99
(b) A solução utiliza um pinhão integral, três ressaltos de eixo, chaveta e rasgo 
de chaveta, bem como camisa (espaçadora ou separadora).
A caixa fixa os mancais em seus anéis externos e recebe as cargas de empuxo.
O eixo está 
sujeito a 
flexão, torção 
e cargas axiais.
Eixos - Conceitos Gerais 
100
(c) Escolha a configuração de eixo de ventilador
Eixos - Conceitos Gerais 
101
(d) A solução utiliza mancais de camisa, um eixo reto passante, colares de fixação e 
conjunto de parafusos para colares, polia de ventilador e ventilador. A caixa 
compartimento de ventilador suporta os mancais deslizantes.
O eixo está 
sujeito 
somente à 
flexão e torção
Eixos - Conceitos Gerais 
• Não existe fórmula mágica para determinar a geometria de um eixo para todas as 
situações de projeto.
• A melhor abordagem é a que consiste em estudar os projetos existentes, para 
aprender como problemas similares foram resolvidos e então, por combinação dos 
melhores destes, resolver seu próprio problema.
102
Eixos - Conceitos Gerais 
• Muitas situações de projeto de eixo incluem o problema da transmissão de torque 
de um elemento a outro nesse eixo.
• Elementos comuns de transferência de torque são os seguintes:
– Chavetas
– Estrias
– Parafusos de fixação
– Pinos
– Ajustes de pressão
– Ajustes de contração
– Ajustes cônicos
103
Eixos - Conceitos Gerais
• Todos esses meios de transferência de torque resolvem o problema 
de ancorar seguramente a roda ou o dispositivo ao eixo, mas nem 
todos solucionam o problema da localização axial precisa do 
dispositivo. 
• Alguns dos dispositivos de localização mais usados incluem o 
seguinte:
– Pino e arruela
– Porca e arruela
– Manga
– Ressalto de eixo
– Anel e sulco
– Parafuso de fixação
– Cubo partido ou cubo cônico de duas peças
– Colar e parafuso
– Pinos
104
Eixos - Conceitos Gerais 
• Chavetas e pinos
– Os pinos para esse propósito incluem pinos retos, cônicos e pinos de mola.
– Alguns destes servem tão somente para propósitos de localização – um contrapino, por 
exemplo, não deve ser usado para transmitir muito torque, mas outros servirão como 
bons transmissores de torque. 
– O uso desses dispositivos requer orifícios radiais através do eixo, e daí a concentração de 
tensão pode ser um problema, dependendo da localização deles.
105
(a) Chaveta quadrada
(b) Chaveta redonda
(c) Pino redondo
(d) Pino redondo curto
(e) Pino cônico
(f) Pino de mola tubular partido
Eixos - Conceitos Gerais 
• Chaveta cabeça de quilha
– Previne o movimento axial relativo entre cubo e eixo
– Permite o ajuste da posição do cubo.
106
Eixos - Conceitos Gerais 
• Chaveta meia-lua (Woodruff)
– Utilizada quando uma polia deve ser posicionada contra um ressalto de eixo.
– O compartimento de chaveta não necessita ser usinado para dentro da região de 
concentração de tensão do ressalto do eixo.
107
Eixos - Conceitos Gerais 
• Parafusos de fixação
– Os parafusos de fixação sem cabeça dependem da compressão para desenvolver uma 
força de aperto.
– A resistência ao movimento axial do cubo em relação ao eixo é chamada de capacidade 
de sustentação. 
– Parafusos de fixação devem ter um comprimento de cerca da metade do diâmetro do 
eixo.
108
(a) Ponta plana
(b) Ponta de taça
(c) Ponta oval
(d) Ponta de cone
(e) Ponta meio-grampo
Eixos - Conceitos Gerais
• Uniões por adaptação de forma
109
(a) Pino transversal
(b) Chaveta meia-lua (Woodruff)
(c) Chaveta plana embutida
(d) Chaveta de deslizamento
(e) Estrias ou ranhuras
(f) Dentes
(g) Perfil “K”
Eixos - Conceitos Gerais
• Ajustes forçados
110
(a) Ajuste forçado com corte no cubo
(b) Ajuste com cubo bi-partido
(c) Ajuste com chaveta
(d) Ajuste forçado
(e) Assento cônico com bucha cônica
(f) Assento cônico
(g) Forças no assento cônico
Eixos - Conceitos Gerais
• Estrias de eixo
– Assemelham-se a dentes de engrenagem cortadas ou forjadas na superfície do eixo.
– Elas são usadas quando grandes quantidades de torque devem ser transmitidas.
– Quando estrias são utilizadas, a concentração de tensão costuma ser bem moderada.
• Ajustes de pressão e contração
– Tem por finalidade segurar cubos em eixos.
– São usados igualmente para transferência de torque e preservação de localização axial.
– O fator resultante de concentração de tensão é em geral muito pequeno. 
– Um método similar consiste em utilizar um cubo partido com parafusos, para prender o cubo 
ao eixo. Esse método permite desmontagem e ajustes laterais.
• Encaixes cônicos simples entre o eixo e o dispositivo montado no eixo
– São frequentemente usados em extremidades sobressalentes de um eixo.
– Roscas de parafuso na extremidade permitem então o uso de uma porca paratravar a roda 
firmemente ao eixo.
– Esta abordagem é útil porque ela pode ser desmontada, mas não permite bom 
posicionamento axial da roda no eixo.
111
Eixos - Conceitos Gerais
• Anéis de retenção
– Utilizados no lugar de um ressalto de eixo (ou de um espaçador) para posicionar 
axialmente um componente ou um furo de alojamento.
112
(a) Anel externo
(b) Aplicação
(c) Anel Interno
(d) Aplicação
Eixos - Conceitos Gerais
113
Mancais cônicos de rolo 
usados em um eixo curto 
de máquina de cortar 
grama.
Esse projeto representa 
uma boa prática para a
situação na qual um ou 
mais elementos de 
transferência de torque 
devem ser montados 
externamente.
Eixos - Conceitos Gerais
114
Uma transmissão de 
engrenagens cônicas 
(reta) na qual ambos, 
pinhão e engrenagem, 
são montados 
internamente.
Eixos - Conceitos Gerais
115
Arranjo mostrando os anéis internos dos rolamentos ajustados mediante pressão ao 
eixo, enquanto os anéis externos flutuam na caixa.
A folga axial deve ser suficiente apenas para permitir vibrações do conjunto.
Observe o vedante de labirinto à direita
Eixos - Conceitos Gerais
116
Nesta montagem os anéis externos dos rolamentos estão pré-carregados.
Observe o uso de cunha de extremidade no eixo
Eixos - Conceitos Gerais
117
Neste arranjo, o anel interno do rolamento esquerdo está bloqueado no eixo entre 
uma porca e um ressalto de eixo. 
A porca de aperto e a arruela são padronizadas.
O anel de pressão na pista externa é utilizado para localizar completamente
a montagem do eixo na direção axial. 
Observe o rolamento direito flutuando e os sulcos de retifica do eixo.
Eixos - Conceitos Gerais
118
Este arranjo é similar ao anterior pelo fato de o rolamento esquerdo posicionar a 
montagem completa de eixo.
Nesse caso, o anel interno está preso ao eixo por meio de um anel de pressão. 
Observe o uso de uma blindagem para prevenir que a sujeira gerada
dentro da máquina entre no rolamento.
Eixos – Análise de cargas e tensões
• Exercício
– Um eixo maciço de aço com 40 mm de diâmetro está apoiado em 2 mancais. Duas polias 
são fixadas por meio de chavetas ao eixo; a polia B tem 100 mm de diâmetro e a polia C 
tem 200 mm de diâmetro. Considerando apenas as tensões de flexão e de torção, 
determinar a localização e magnitude das maiores tensões de cisalhamento, de tração e 
de compressão no eixo.
119
Eixos – Projeto por Tensão
• Flexão, torção e tensões axiais podem estar presentes em ambas as 
componentes média e alternante.
• Cargas axiais são relativamente muito pequenas em locais críticos em que 
flexão e torção são preponderantes.
• Para um eixo sólido de seção transversal circular, as tensões flutuantes 
devido a flexão e torção são dadas por:
120
σa = Kf . 32 Ma
π d³ 
σm = Kf . 32 Mm
π d³ 
τa = Kfs . 16 Ta
π d³ 
τm = Kfs . 16 Tm
π d³ 
Ma = momento fletor alternante
Mm = momento fletor médio
Ta = torque alternante
Tm = torque médio
Kf = fator de concentração de tensão de fadiga 
para flexão
Kfs = fator de concentração de tensão de fadiga 
para torção
Eixos – Projeto por Tensão
• Critérios de resistência à fadiga de eixos:
121
Eixos – Projeto por Tensão
• Critério de Soderberg
– Para um eixo circular sólido em flexão e torção, utilizando 
as relações descritas anteriormente, obtemos:
122
Sy
Sy
Eixos – Projeto por Tensão
• Critério de Goodman
– Anàlogamente, obtemos:
123
Eixos - Materiais
• Vários aços têm módulos de Young comparáveis. Por essa razão, a 
rigidez não pode ser controlada por meio de decisões relativas ao 
material, mas somente por decisões geométricas.
• A resistência necessária para resistir às tensões de carregamento 
afeta a escolha dos materiais e seus tratamentos.
• Aços ANSI 1020-1050 são uma escolha comum, como o é um aço 
11xx sem usinagem.
• Tratamentos térmicos aumentam o dispêndio; devem ser usados 
somente se não existir outra forma de obter as resistências 
necessárias.
• Graus de carbonetação de 1020, 4320,4820 e 8620 são escolhidos 
quando a dureza de superfície é importante.
124
Eixos - Materiais
• Seções laminadas a frio estão disponíveis para diâmetros de até cerca de 
3½ polegadas, e seções laminadas a quente de até 6 polegadas podem ser 
obtidas. 
• Tamanhos maiores requerem forjamento antes da usinagem.
• Ao abordar a seleção do material, a quantidade a ser produzida é um fator 
decisivo. 
• Para uma pequena produção, torneamento é o processo usual primário de 
forma. Do ponto de vista econômico, pode-se requerer remover o mínimo 
de material. 
• Uma alta produção pode permitir um método de moldagem conservador 
de volume (forjamento a quente ou a frio, fundição), e um mínimo de 
material no eixo pode se tornar uma meta de projeto.
• As propriedades do eixo localmente dependem de sua história: trabalho a 
frio, forjamento a frio, tratamento térmico (têmpera, revenido).
125
Eixos – Projeto por Tensão
• Exercício:
– Para um eixo sólido de seção transversal redonda, 
determinar o diâmetro “d” empregando os 
critérios de falha por fadiga de Soderberg e de 
Goodman.
• Dados:
– Mm = Ta = 0, Ma= 1260 lbf.in, Tm = 1100 lbf.in, Sut = 105 kpsi, 
Sy = 82 kpsi, Se = 36 kpsi (completamente corrigido), n = 2, Kf= 
1,73 e Kfs = 1,31.
126
Eixos – Projeto por Tensão
• Exercício:
– Um eixo de aço usinado e termo-tratado tem resistência a 
tração Sut = 735 MPa, e resistência ao escoamento Sy = 574 MPa. 
A meta de confiabilidade é de 0,99. O momento fletor
alternante é 142,4 N.m, e o momento estável de torção (torque 
médio) é 124,3 N.m.
• Determinar o fator de segurança à fadiga do projeto, usando 
os critérios de Goodman e de Soderberg.
• Utilizar os fatores modificadores do limite de resistência.
• Dados: Kf = 1,58 ; Kfs = 1,39 ; d = 28 mm
127
Apêndice
• Tensão de von Mises
– A Tensão de von Mises (σ’) é a tensão equivalente ou efetiva para o estado 
geral de tensão tridimensional, caracterizado pelas tensões σ1, σ2, σ3, a que 
está sujeito o elemento mostrado abaixo.
– O escoamento ocorre se tivermos a seguinte condição:
128
(Sy = resistência ao escoamento)
σ’ = [(σ1)² - σ1.σ2 + (σ2)²] 
½
Para tensões planas:
Apêndice
• Tensão de von Mises
– Para tensões planas, a equação se reduz a:
129
(Sy = resistência ao escoamento)
σ’ = [(σ1)² - σ1.σ2 + (σ2)²] 
½
- Esta equação representa uma elipse rotacionada no plano, conforme a 
figura abaixo, sendo σ’ = Sy.
Considerando tensões normais e de 
cisalhamento:
Projeto de Elementos de 
Máquinas
Molas Mecânicas
Molas - Características
• Flexibilidade ao grau que o projetista busca. 
• A flexibilidade pode ser linear ou não-linear, ao relacionar a deflexão à 
carga.
• Molas permitem aplicação controlada da força ou torque.
• Molas são produzidas em massa (portanto, são de baixo custo).
Tensões em Molas Helicoidais
D = diâmetro médio de espira
d = diâmetro do fio
F = fôrça axial
T = F.D/2
Tensões em Molas Helicoidais
• Efeito de Curvatura
– A curvatura do fio aumenta a tensão no lado interno 
da mola, mas a diminui ligeiramente no lado externo.
– Essa tensão de curvatura é importante sobretudo em 
fadiga, pois as cargas são mais baixas e não há 
oportunidade para o escoamento localizado.
– Para carregamento estático, normalmente essas 
tensões podem ser ignoradas por causa do 
enrijecimento de deformação com a primeira 
aplicação de carga.
133
Tensões em Molas Helicoidais
134
C: Indice de mola
(medida de curvatura da espiral)
KB: fator de efeito de 
curvatura de Bergstrasser
Equação aplicável a
ambas as cargas 
estática e dinâmica
B
Deflexão de Molas Helicoidais
• As relações de força e deflexão são muito 
facilmente obtidas usando:
135
F = k . y
Sendo:
K = constante da mola
G = módulo de rigidez
N = número de espiras ativas
D = diâmetro médio de espira
d = diâmetro do fio
F = força axial
Molas de Compressão
• Os quatro tipos de extremidades geralmente usados 
para molas de compressão estão ilustrados na figura na 
próxima página. 
• Uma mola de extremidades planastem um helicoide 
ininterrupto; as extremidades são as mesmas se uma 
mola longa tivesse sido cortada em seções.
• Uma mola de extremidades planas que são 
esquadradas ou fechadas é obtida ao deformar-se as 
extremidades a um ângulo de hélice de grau zero.
• As molas devem ser sempre esquadradas e 
esmerilhadas para aplicações importantes, porque uma 
melhor transferência de carga é obtida.
136
Molas de Compressão
137
Molas de Compressão
138
Fórmulas para dimensões de molas de compressão (Na = número de espiras ativas)
Molas de Compressão
• Estabilidade
– Em Resistência dos Materiais aprendemos que uma coluna flambará 
quando a carga se tornar muito grande. 
– Similarmente, molas de espira de compressão podem flambar quando 
a deflexão se tornar muito grande.
– A condição para estabilidade absoluta é:
139
Sendo:
L0 = comprimento livre
D = diâmetro médio da espira
E = módulo de elasticidade
G = módulo de rigidez
α = constante de condição de 
extremidade
Molas de Compressão
• Estabilidade
– Para aços, temos:
– Para extremidades esquadradas e esmerilhadas:
• α = 0,5 e L0 < 5,26.D
140
Molas de Compressão
• Estabilidade
– A Tabela abaixo dá valores de α para condições 
usuais de extremidade:
141
Materiais de Mola
• As molas são manufaturadas por processos de trabalho a quente ou 
a frio, dependendo do tamanho do material, da constante da mola 
e das propriedades desejadas.
• O enrolamento da mola induz tensões residuais por flexão, mas 
estas são normais à direção das tensões de torção de trabalho em 
uma mola de espiras. 
• Muito frequentemente na manufatura de mola, elas são aliviadas, 
depois do enrolamento, por um tratamento térmico ameno.
• Uma grande variedade de materiais de mola está disponível ao 
projetista, incluindo aços comuns de carbono, aços liga e aços 
resistentes à corrosão, bem como materiais não-ferrosos, como 
bronze-fósforo, latão de mola, cobre-berílio e várias ligas de níquel
• Os aços mais comumente usados são AISI 1085, 1065, 1066, 6150 
(cromo-vanádio), e 9254 (cromo-silicio).
142
Materiais de Mola
• Os materiais de mola podem ser comparados por um exame de suas 
resistências de tração.
• Estas variam tanto com o tamanho do fio que não podem ser 
especificadas até que ele seja conhecido.
• O material e seu processamento também têm um efeito na resistência à 
tração.
• Resulta que o gráfico da resistência à tração versus o diâmetro de fio é 
quase uma linha reta para alguns materiais quando traçado em papel 
logarítmico.
• A equação desta linha é:
143
Sendo:
A = constante (tabela)
m = expoente (tabela)
d = diâmetro do fio
Materiais de Mola
144
Materiais de Mola
• Embora a resistência ao escoamento de torção seja 
necessária para projetar a mola e analisar o 
desempenho, os materiais de mola costumam ser 
ensaiados somente para resistência à tração (ensaio 
fácil e barato de fazer).
• Uma estimativa aproximada da resistência ao 
escoamento de torção (Ssy) para aços é dada por:
145
0,35.Sut ≤ Ssy ≤ 0,52.Sut
Molas de Compressão
Exercício:
• Uma mola helicoidal de compressão é feita de fio musical de diâmetro d = 
0,94 mm. O diâmetro externo da mola é de 11 mm. As extremidades são 
esquadradas e existem um total de 12,5 voltas. Dado: G = 81700 MPa.
a) Estime a resistência ao escoamento torcional do fio (dado Ssy = 0,45.Sut).
b) Estime a carga estática correspondente à resistência ao escoamento.
c) Estime a constante (k) da mola.
d) Estime a deflexão que seria causada pela carga no item (b).
e) Estime o comprimento sólido da mola.
f) Que comprimento a mola deve ter para assegurar que, quando estiver 
comprimida sólida e então solta, não haverá mudança permanente no 
comprimento livre?
g) Dado o comprimento encontrado no item (f), a flambagem é uma 
possibilidade?
h) Qual é o passo da espira de corpo?
146
Molas de Compressão
Exercício (P2 - 2013):
A mola utilizada nas suspensões dianteira e traseira do veículo Fórmula SAE construído pelos alunos da 
UNIP tem as seguintes características:
• Diâmetro do fio = 9,15 mm
• Diâmetro externo de espira = 53,8 mm
• Extremidades esquadradas e esmerilhadas
• Espiras ativas = 6
• Comprimento livre = 134 mm
• Material: revenido a óleo
• Módulo de elasticidade = 196500 MPa
• Módulo de rigidez = 77200 MPa
Pede-se:
a) Calcular a constante da mola
b) Qual a força necessária para comprimir totalmente a mola?
c) Qual a força necessária para produzir um deslocamento de 15 mm na mola?
d) Qual a tensão de cisalhamento resultante da força calculada no item anterior?
147
Frequência crítica de molas helicoidais
• Os fabricantes de molas tem feito filmes em câmera lenta sobre 
ressonância em molas de válvulas automotivas. As imagens mostram um 
pico muito violento, com a mola perdendo contato com os suportes nas 
extremidades, podendo ocorrer falhas como mostrado abaixo: 
148
Falha de mola de válvula em um 
motor sobreacelerado. A fratura está 
ao longo da linha de 45° da tensão 
principal
máxima associada com o 
carregamento de torção pura.
Estudo da vibração
• Frequência natural: é a frequência de oscilação de um sistema que, após uma 
perturbação inicial, continuar a vibrar por si próprio sem a ação de forças 
externas. 
• Ressonância: é o fenômeno que ocorre sempre que a frequência natural de 
vibração de uma máquina ou estrutura coincidir com a frequência de excitação 
externa, que resulta em deflexões excessivas e falhas.
Ponte Tacoma Narrows durante 
vibração induzida pelo vento.
Foi inaugurada em 1-7-1940 e 
caiu em 7-11-1940
Frequência crítica de molas helicoidais
150
Sendo:
f = frequência fundamental (Hz)
k = constante elástica da mola
g = aceleração da gravidade
W = peso da mola
d = diâmetro do arame
D = diâmetro médio de espira
Na = número de espiras ativas
ɣ = peso específico
Carregamento de fadiga de molas 
helicoidais de compressão
151
d = diâmetro do arame
D = diâmetro médio de espira
KB = fator de efeito de curvatura
Critério de Goodman para 
torção pulsante:
Ssu = 0,67. Sut
Onde:
Ssu = resistência máxima 
ao cisalhamento
Sut = resistência à tração
Apêndice A
Gráficos de fatores teóricos de 
concentração de tensão
152
153
Barra em tração ou compressão simples com um furo transversal
154
Barra retangular com um furo transversal em flexão
155
Barra retangular entalhada em tração ou compressão simples
156
Barra retangular entalhada em flexão
157
Barra retangular filetada (adelgaçada) em tração ou compressão simples
158
Barra retangular filetada (adelgaçada) em flexão
159
Eixo redondo com filetagem (adelgaçamento) do ressalto em tração
160
Eixo redondo com filetagem (adelgaçamento) do ressalto em torção
161
Eixo redondo com filetagem (adelgaçamento) do ressalto em flexão
162
Eixo redondo em torção com furo transversal
163
Eixo redondo em flexão com um furo transversal
164
Placa carregada em tração por um pino através de um orifício
165
Barra redonda sulcada em tração
166
Barra redonda sulcada em flexão
167
Barra redonda sulcada em torção
168
Eixo redondo com 
rebaixo em flexão e/ou 
tração
169
Eixo redondo com 
rebaixo em torção
170
Barra redonda ou tubo com um furo transversal redondo sob flexão
171
Barra redonda ou tubo com um furo transversal redondo sob flexão
Estudo 
de caso
(Eixo)
172
Dimensões em mm
173