Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
caderno do PROFESSOR m at Em át ic a ensino médio volume 2 – 2009 3a- SÉRiE MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 1 4/8/09 5:03:16 PM São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 3ª- série, volume 2 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-298-4 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.5:51 S239c Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TéCNiCA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de Carvalho, Beatriz Blay, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico) APOiO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica Prezado(a) professor(a), Vinte e cinco anos depois de haver aceito o convite do nosso saudoso e querido Governador Franco Montoro para gerir a Educação no Estado de São Paulo, nova- mente assumo a nossa Secretaria da Educação, convocado agora pelo Governador José Serra. Apesar da notória mudança na cor dos cabelos, que os vinte e cinco anos não negam, o que permanece imutável é o meu entusiasmo para abraçar novamente a causa da Educação no Estado de São Paulo. Entusiasmo alicerçado na visão de que a Educação é o único caminho para construirmos um país melhor e mais justo, com oportunidades para todos, e na convicção de que é possível realizar grandes mudanças nesta área a partir da ação do poder público. Nos anos 1980, o nosso maior desafio era criar oportunidades de educação para todas as crianças. No período, tivemos de construir uma escola nova por dia, uma sala de aula a cada três horas para dar conta da demanda. Aliás, até recentemente, todas as políticas recomendadas para melhorar a qualidade do ensino concentravam-se nas condições de ensino, com a expectativa de que viessem a produzir os efeitos desejados na aprendiza- gem dos alunos. No Brasil e em São Paulo, em particular, apesar de não termos atingido as condições ideais em relação aos meios para desenvolvermos um bom ensino, o fato é que estamos melhor do que há dez ou doze anos em todos esses quesitos. Entretanto, os indicadores de desempenho dos alunos não têm evoluído na mesma proporção. O grande desafio que hoje enfrentamos é justamente esse: melhorar a qualidade de nossa educação pública medida pelos indicadores de proficiência dos alunos. Não estamos sós neste particular. A maioria dos países, inclusive os mais desenvolvidos, es- tão lidando com o mesmo tipo de situação. O PresidenteBarack Obama, dos Estados Unidos, dedicou um dos seus primeiros discursos após a posse para destacar exata- mente esse mesmo desafio em relação à educação pública em seu país. Melhorar esses indicadores, porém, não é tarefa de presidentes, governadores ou secretários. É dos professores em sala de aula no trabalho diário com os seus alunos. Este material que hoje lhe oferecemos busca ajudá-lo nesta sua missão. Foi elaborado com a ajuda de especialistas e está organizado em bimestres. O Caderno do Professor oferece orientação completa para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas para cada disciplina. Espero que este material lhe seja útil e que você leve em consideração as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer suas dúvidas e acatar suas sugestões para melhorar a eficácia deste trabalho. Alcançarmos melhores indicadores de qualidade em nosso ensino é uma questão de honra para todos nós. Juntos, haveremos de conduzir nossas crianças e jovens a um mundo de melhores oportunidades por meio da educação. Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo MAT_CP_8a_vol2_AF.indd 3 4/17/09 10:18:05 AM 4 SuMário São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado 5 Ficha do Caderno 7 orientação geral sobre os Cadernos 8 Situações de Aprendizagem 13 Situação de Aprendizagem 1 – A equação de 3º- grau e o aparecimento natural dos números complexos 13 Situação de Aprendizagem 2 – Das fórmulas à análise qualitativa: relações entre coeficientes e raízes 21 Situação de Aprendizagem 3 – Equações e polinômios: divisão por x – k e redução do grau da equação 26 Situação de Aprendizagem 4 – Números complexos: representação no plano e significado das operações (translações, rotações, ampliações) 35 Orientações para Recuperação 50 Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 51 Considerações finais 52 Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 53 MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 4 4/8/09 1:55:37 PM 5 São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA CurriCulAr PArA o EStAdo Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fun- damental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta. Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e suges- tões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de sig- nificados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto. Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo. Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes. Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados. MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 5 4/8/09 1:55:37 PM 6 Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, reve- lando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Edu- cação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos. Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor. O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados. Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês. Bom ano letivo de trabalho a todos! Maria inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 6 4/8/09 1:55:37 PM 7 FiCHA do CAdErno Equações, polinômios, complexos: uma história cheia de significado em que as fórmulas não são tudo nome da disciplina: Matemática área: Matemática Etapa da educação básica: Ensino Médio Série: 3ª- Período letivo: 2º- bimestre de 2009 temas e conteúdos: Equações algébricas: história e significado Equações como perguntas e expansões nos conjuntos numéricos Noções sobre números complexos Equações algébricas e polinômios Das fórmulas à abordagem qualitativa; relações entre coeficientes e raízes de equações Operações com polinômios – algoritmo de Briot-Ruffini Números complexos Representação no plano Significado das operações com complexos Transformações no plano complexo e aplicações MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 7 4/8/09 1:55:37 PM 8 oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS Os temas escolhidos para compor o conteú- do disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à maneira de abordagem dos mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimes- tres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteú- dos, as competências pessoais envolvidas, es- pecialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem cor- responder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponí- veis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamen- to, ou seja, escolherá uma escala adequadapara o tratamento do mesmo. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquan- to o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contem- plar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unida- des contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode deter- minar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendiza- gem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a ma- neira de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula. As atividades são independentes, e podem ser ex- ploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua clas- se. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Apren- dizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também, em cada Cader- no, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a maneira de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno ainda algumas consi- derações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre. MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 8 4/8/09 1:55:37 PM 9 Matemática - 3a série - Volume 2 Conteúdos básicos do bimestre O conteúdo básico do 2o bimestre da 3a série é Equações Algébricas, Polinômios e Números Complexos. Os três temas entrelaçam-se conti- nuamente, ao longo da História. Como se sabe, uma equação sempre corresponde a uma per- gunta, sempre envolve algo desconhecido, uma incógnita, e sempre está associada à solução de algum problema. Equacionar um problema é justamente traduzir a pergunta que ele repre- senta por meio de uma equação. No Ensino Fundamental, sobretudo nas séries finais, já foram apresentados aos alunos diversos problemas, em diferentes contextos, cuja solução conduz a equações do primei- ro e do segundo graus. Já sabemos resolver equações de 1º- grau (ax + b = 0, com a ≠ 0) e de 2º- grau (ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0). Trata-se agora de enfrentar equações cor- respondentes a situações um pouco mais en- redadas, que conduzem a equações de 3º- grau (ax3 + bx2 + cx + d = 0, com a ≠ 0), de 4º- grau (ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, com a ≠ 0), de 5º- grau (ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0, com a ≠ 0), e assim por diante. Tal é o conteúdo das Unidades 1 e 2. A história da busca de soluções para tais equações, chamadas equações algébricas, é muito instrutiva. Com base nela, compreen- demos mais facilmente as sucessivas amplia- ções nos conjuntos numéricos, dos números naturais até os números complexos, que via- bilizam a atribuição de significado à raiz qua- drada de um número negativo. Aprendemos também com a história que, com as equações de 3º- grau, a busca por uma fórmula envolvendo radicais que nos forneça as raízes, do mesmo tipo da que nos dá as soluções de uma equa- ção de 2º- grau (x b b ac a = ± −– 2 4 2 ), não cos- tuma ser o melhor caminho para resolver as equações de graus 3 e 4, e é um caminho in- viável, impossível de ser trilhado, para equa- ções de grau maior ou igual a 5. O caminho mais conveniente, nesses casos, é uma análi- se qualitativa da pergunta que cada equação representa, extraindo da própria pergunta informações relevantes sobre as raízes. Apren- deremos com a história, portanto, que é mui- to importante sempre, e é decisivo em muitos casos, pensar efetivamente em um problema como se pensa em uma pergunta, aprendendo a examiná-la criticamente com a intenção de chegar à sua resposta. Mais do que qualquer intenção de ensinar técnicas de solução, nos- so objetivo aqui é a plena compreensão desse fato. Uma apresentação das ideias fundamen- tais da história das equações algébricas será feita na Situação de Aprendizagem 1. Avançando um pouco mais, o significado da análise qualitativa de uma equação algé- brica estará presente nas Unidades 3 e 4. Tanto as relações entre os coeficientes do po- linômio P(x) e as raízes da equação P(x) = 0, quanto o fato de que, conhecendo-se uma raiz x = k da equação P(x) = 0, conseguimos redu- zir sua solução à de uma equação de grau uma unidade menor, e assim por diante, são explo- rados nas Situações de Aprendizagem 2 e 3, cor respondentes a essas unidades. Serão en- trelaçados em atividades os dois resultados seguin tes, que expressam basicamente o mes- mo fato: “x = k é raiz da equação P(x) = 0” é MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 9 4/8/09 1:55:38 PM 10 equivalente a “o polinômio P(x) pode ser fato- rado e escrito na forma (x – k) . Q(x), em que Q(x) é um polinômio de grau uma unidade menor que P(x)”. Até esse ponto, vários fatos terão sido reunidos a respeito das raízes da equação P(x) = 0, sendo P(x) um polinômio. Relações entre coeficientes e raízes, possíveis raízes inteiras, fatoração de P(x) e diminuição no grau da equação, entre outros, poderão ser resumidos na Unidade 5. A partir da Unidade 6, os números com- plexos entram em cena mais diretamente. Como no caso das equações, a ênfase tam- bém não será posta nos cálculos algébricos, mas sim no significado de tais números, de aparência inicialmente estranha, mas que conduzem a uma notável expansão dos con- juntos numéricos já conhecidos. As múlti plas possibilidades da representação geométrica de um número complexo z, que tem como imagem um ponto no plano, como um par (x; y) de números reais, ou escrito na forma z = x + yi. Assim, como a reta foi necessária e suficiente para acolher todos os números reais, racionais e irracionais, veremos que, com a expansão do campo numérico para incluir números que possam ser raízes qua- dradas de negativos, será necessário (e sufi- ciente) todo o plano cartesiano, que servirá de inspiração para a construção do plano complexo, suporte para a representação de todos os números complexos. A unidade imaginária i, que representa o novo número cujo quadrado dá –1, serve de padrão para a representação no eixo vertical de núme- ros como 2i, 6i, 7i, – 4i, etc. Em sintonia com tal representação, vere- mos que o valor absoluto de um complexo z é |z| = x y 2 2+ , e mede a distância, no plano complexo, da imagem de z à origem do siste- ma de coordenadas. O ângulo que a reta de- terminada pela origem e a imagem de z forma com o eixo x (medido no sentido anti-horá- rio) é o argumento de z, representado por θ. As aproximações com a geometria analítica plana serão naturais: por exemplo, o conjun- to de pontos do plano que representam com- plexos de módulo constante, digamos, |z| = 5, é a circunferência x2 + y2 = 25. Plano Complexo eixo Imaginário eixo Real y x i z = x + yi |z| = 5 |z| 1 Plano Cartesiano eixo Y eixo X y x P (x:y) x2 + y2 = 25 1 1 MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 10 4/8/09 1:55:38 PM 11Matemática - 3a série - Volume 2 O significado das operações com números complexos será explicitado nas Unidades 7 e 8. Veremos em tais unidades que as operações com complexos correspondem à realização de certos movimentos no plano. Por exemplo, se a um complexo z for so- mado o número real 4, sua representação no plano será deslocada na direção do eixo x de 4 unidades; se a z for somado o número ima- ginário 3i, sua representação será deslocada na direção do eixo y de 3 unidades; se a z for somado o número 4 + 3i, sua representação sofrerá um deslocamento horizontal (eixo Real) de 4 unidades, seguido de um vertical (eixo Imaginário) de 3 unidades, ou seja, o deslocamento de z terá valor igual ao mó- dulo do complexo 4 + 3i, que é igual a 5, na direção determinada pela origem e a repre- sentação deste complexo. Ao multiplicar o complexo z pelo real 5, mostraremos que z permanece com o mesmo argumento (ângu- lo com o eixo x) mas a distância de z até a origem fica multiplicada por 5; se multipli- carmos z por i, o módulo de z permanecerá o mesmo e seu argumento aumentará de π 2 ; já se multiplicarmos z por 5i, os dois efeitos são combinados: aumenta a distância até a origem, ao mesmo tempo que o argumento aumenta de π 2 . eixo Imaginário eixo Real z + 4 + 3i z + 4 3z z . i |z| |z| z z + 3i MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 11 4/8/09 1:55:38 PM 12 A exploração de tais movimentos na ima- gem de z, decorrentes de operações realizadas sobre z, torna o estudo dos números comple- xos especialmente significativo, abrindo ca- minho para um grande número de aplicações práticas dos mesmos. Tal é o conteúdo da Si- tuação de Aprendizagem 4. De modo geral, ao longo das oito unidades do bimestre, a ênfase será dada ao significado de cada equação como uma pergunta, de cada raiz como uma resposta, de cada complexo como um ponto do plano, de cada operação realizada sobre ele como uma transformação em sua imagem no plano. Desde as seções iniciais, o exercício da compreensão leitora encontra-se presente em todas as etapas do texto. Os cálculos a serem efetuados ao longo da resolução das equa- ções são sempre acompanhados de um texto explicativo, o que pode alongar um pouco o percurso, mas esperamos que o torne mais significativo. Afinal, aprender Matemática também significa desenvolver a capacidade de expressão na leitura e na escrita, ao lado das habilidades de cálculo. Sinteticamente, as oito unidades que com- põem o presente bimestre são apresentadas a seguir. Quadro geral de conteúdos do 2º- bimestre da 3ª- série do Ensino Médio unidade 1 – Equações algébricas de graus 1, 2, 3, 4, 5, ...; história, fórmulas. unidade 2 – A raiz quadrada de um núme- ro negativo e o conjunto dos complexos. unidade 3 – Das fórmulas à abordagem qualitativa: relações entre coeficientes e raízes. unidade 4 – Equações e polinômios; operações com polinômios; divisão de um polinômio por x – k. unidade 5 – Síntese de resultados sobre a resolução de equações algébricas de qualquer grau. unidade 6 – Números complexos; repre- sentação no plano; relações com Geo metria Analítica. unidade 7 – Significado das operações com números complexos; translações, rotações, ampliações. unidade 8 – Transformações no plano complexo; exercícios simples. MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 12 4/8/09 1:55:39 PM 13 Matemática - 3a série - Volume 2 SituAçõES dE APrEndizAGEM SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1 A EQUAçãO DE 3º- GRAU E O APARECIMENTO NATURAL DOS NÚMEROS COMPLEXOS tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: equações como perguntas; expansões nos conjuntos numéricos; história das equações algébricas: a passagem das equações de 2o grau (com fórmulas resolutivas) para as equações de grau superior, em que elas podem não existir; primeiras noções sobre números complexos. Competências e habilidades: compreender a representação de perguntas por equações; compreen- der a importância do deslocamento das atenções da busca por fórmulas para a análise qualita- tiva de situações-problema. Estratégias: recorrer à história das equações algébricas para apresentar aos alunos a abor- dagem qualitativa das equações; explorar por meio de exercícios os fatos fundamentais sobre equações. roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 um pouco da história das equações A história das equações pode ser apresen- tada pelo professor para despertar nos alu- nos interesse sincero pela maneira como a Matemática é construída. Como se sabe, uma equação sempre representa uma pergunta en- volvendo algum elemento desconhecido, uma incógnita. Resolver a equação é descobrir tal incógnita. Equações de 1o grau, ou seja, da forma ax + b = 0 (a ≠ 0), traduzem a pergunta “Qual é o número x que multiplicado por a e somado com b dá zero?”. A resposta é única e a raiz da equação é x = – b a , ou seja, x é o simétrico do quociente de b por a. Já vimos que muitos problemas práticos envolvendo grandezas diretamente proporcionais recaem em equações de 1o grau. As equações de 2o grau possuem a forma ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) também podem ser com- pletamente resolvidas, obtendo-se uma fórmula para as raízes: x b b ac a = − ± − 2 4 2 . Quando o discriminante ∆ = b2 – 4ac é positivo, a equa- ção tem duas raízes distintas; quando ∆ = 0, as duas raí zes são iguais; e quando ∆ < 0, então a equação não tem raízes reais, uma vez que não é possível extrair a raiz quadrada de um número negativo. MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 13 4/8/09 1:55:39 PM 14 Na 8ª série do Ensino Fundamental e na 1ª- série do Ensino Médio, tais equações já fo- ram estudadas, referidas a diversos contextos. O estudo das equações de 3o grau, na forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0), histo- ricamente, seguiu pelo mesmo caminho: buscava-se uma fórmula, envolvendo radicais, que expressasse as raízes. No século XVI, os italianos Tartaglia e Cardano, entre outros, propuseram caminhos que conduziam a tal fór- mula. Nunca, no entanto, o uso sistemático da mesma se consolidou, e poucos são os que es- tudam Matemática sem serem especialistas no tema, que a conhecem, muito diferentemente do caso das equações de 2o grau, em que a fór mula de Bhaskara é amplamente conhecida. Sinte- ticamente, o caminho seguido por Tartaglia e Cardano era: Dividindo-se todos os coeficientes por a, a equação ax f 3 + bx2 + cx + d = 0 pode ser transformada na forma equivalente x f 3 + bx2 + Cx + d = 0, onde B = b a , C = c a , D = d a . Fazendo-se x = y – B 3 (o denominador 3 corresponde ao grau da equação), a equação x3 + Bx2 + Cx + D = 0 pode ser reduzida a y3 + My + n = 0, onde M e N podem ser determinados em termos de B, C e D (o que será explicado mais adiante, na Atividade 3). Assim, para resolver uma equação completa de 3o grau, basta resolver a equação incompleta y3 + My + n = 0 (o que será feito mais adiante, na Atividade 4), encontrando-se: y = – n 2 + n 4 + M 27 2 3 3 f + – n 2 – n 4 + M 27 2 3 3 . Logo, como x = y – B 3 , obtemos os valores de x em termos de a, b, c e d. Para equações de 4o grau, procedimentos semelhantes levam a fórmulas ainda mais complicadas. Para equações de grau 5, no entanto, foi demonstrado pelo matemático Abel, em 1824, que não é possível expressar as soluções por meio de radicais. Um pou- co depois, Galois estendeu tal resultado para equações de grau maior do que 5, de maneira que a busca de uma fórmula que englobe as soluções tornou-se um caminho inviável. No fim do século XVIII,Gauss demons- trou o fato de que uma equação algébrica de grau n, ou seja, da forma a0xn + a1xn – 1 + a2x n – 2 + a3x n – 3 + ... + an – 1x + an = 0 (a0 ≠ 0) tem pelo menos uma raiz; em consequência, pode ser mostrado que terá sempre n raízes, reais ou complexas. Tal fato é conhecido como Teorema Fundamental da Álgebra. MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 14 4/8/09 1:55:39 PM 15 Matemática - 3a série - Volume 2 Do ponto de vista prático, equações de grau maior do que 4 precisam ser resolvidas, uma vez que surgem efetivamente em situa- ções concretas; para isso, no entanto, deve- mos seguir outros caminhos. As equações são perguntas e as respostas a elas precisam, nes- ses casos, ser extraídas de uma análise enge- nhosa da própria pergunta; decididamente, as fórmulas não são tudo. Esse será o tema das Unidades 3 e 4. Antes disso, para trazer para a sala de aula as questões históricas apresen- tadas até aqui, vamos desenvolver algumas atividades relativas às Unidades 1 e 2. Atividade 1 Já sabemos resolver completamente as equa- ções de 2o grau, obtendo as soluções por meio da fórmula de Bhaskara. Apenas como exercí- cio, para verificar a compreensão do caminho sugerido para resolver as equações de 3o grau, vamos procurar resolver a equação de 2o grau ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) seguindo os passos propostos por Tartaglia e Cardano no texto anterior, para verificar se eles funcionariam, nesse caso. a) Divida os dois membros da equação ax2 + bx + c = 0 por a, obtendo: x2 + Bx + C = 0, com B = b a e C = c a . b) Substitua x por y − b 2 (o denominador 2 corresponde ao grau da equação) e verifique que a equação se transforma em: y2 + C – B2 4 = 0. c) Mostre que, em consequência, y = ± B – 4C 2 2 . Como y2 = B2 4 – C, segue que y = ± B – 4C 2 2 . d) Substitua agora os valores de y, de b e de C em x = y – B 2 , obtendo os valores de x (você identifica, nos cálculos, a fórmu- la de Bhaskara?). Como x = y – B 2 , segue que x = ± B – 4C 2 2 – B 2 , ou seja, x = – B 2 ± B – 4C 2 2 . Substituindo B por b a e C por c a , obtemos x = – b± b – 4ac 2a 2 , que é a fórmula de Bhaskara. e) Resolva a equação 3x2 + 15x + 18 = 0, seguindo os passos descritos nos itens anteriores. Dividindo os coeficientes por 3, obtemos f x2 + 5x + 6 = 0; substituindo f x por y – 5 2 , onde o deno minador 2 é o grau da equação, obtemos (y – 5 2 )2 + 5(y – 5 2 ) + 6 = 0; efetuando os cálculos, obtemos f y2 = 1 4 , ou seja, y = ± 1 2 ; como f x = y – 5 2 , segue que x = – 2 ou x = – 3. MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 15 4/8/09 1:55:40 PM 16 Atividade 2 Já sabemos que, se uma equação de 2o grau ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) tiver duas raízes distin- tas, x1 e x2, então ela pode ser escrita na forma x2 – Sx + P = 0, onde: S = x1 + x2 e P = x1 . x2 a) Mostre que, nesse caso, as raízes são dadas pela fórmula x = S S P± 2 4 2 – . Mostre que não existem dois números reais cuja soma seja 10 e cujo produto seja 40. Tais números seriam as raízes da equação x2 – 10x + 40 = 0 . Segundo a fórmula do item a, teríamos de calcular 10 – 1602 = – 60 ; como não existe a raiz quadrada de um número negativo, concluímos que não existem dois números reais cuja soma seja 10 e cujo produto seja 40. b) Mostre que não existem dois números reais cujo quadrado de sua soma seja menor do que o quádruplo do produto dos dois números. Se existissem dois números reais de soma igual a S e produto igual a P, então eles seriam raízes da equação x2 – Sx + P = 0. Mas se o quadrado da soma S dos dois nú meros fosse menor que o quádruplo de seu produto P, ou seja, se S2 < 4P, então a equa ção x2 – Sx + P = 0 teria o discriminante Δ = S2 – 4P negativo, ou seja, não teria raí zes reais. Logo, não existem dois números reais nas condições acima. Atividade 3 a) Considere a equação x3 + 15x2 + 11x + 7 = 0. Substitua x por y – 15 3 , ou seja, x = y – 5 e mostre que a nova equa- ção em y não apresenta o termo em y2 (o denominador 3 corresponde ao grau da equação). Efetuando a substituição indicada, obtemos: (y – 5)3 + 15(y – 5)2 + 11(y – 5) + 7 = 0. Efetuando os cálculos: y3 – 64y + 202 = 0 b) Mostre que, na equação x3 + Bx2 + Cx + + D = 0, substituindo-se o x por y – B 3 , a nova equação em y não apresenta o termo em y2. Efetuando a substituição de x por y – B 3 ve rificamos que os termos em y2 se cancelam. De modo geral, efetuandose os cálculos indicados, é possível mostrar que, na equa ção xn + A1x n – 1 + A2x n – 2 + A3x n – 3 + ... + An – 1x + An = 0, a substituição de x por y – A1 n conduz à eliminação do termo em y n1. Atividade 4 Vamos agora procurar entender a lógica dos passos propostos por Tartaglia e Cardano para resolver a equação incompleta de grau 3 resultante da eliminação do termo do segun- do grau: y3 + 3y + 6 = 0. Para tanto, considere a seguinte analogia: Sabemos que: f (p + q)3 = p3 + 3 p2q + 3pq2 + q3. Podemos rearranjar a igualdade f acima, escrevendo: MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 16 4/8/09 1:55:41 PM 17 Matemática - 3a série - Volume 2 (p + q)3 – 3pq.(p + q) – (p3 + q3) = 0 Comparando com f y3 + 3 . y + 6 = 0, se tivermos, simultaneamente, – 3pq = 3 e – (p3 + q3) = 6, então a solução da equa- ção dada será y = p + q. De –3pq = 3, concluímos que pq = –1, e f portanto, p3. q3 = –1; como p3 + q3 = – 6, podemos construir a equação do se- gundo grau que tem como raízes p3 e q3, uma vez que temos a soma e o produ- to desses dois números; tal equação é z2 + 6z – 1 = 0 (soma das raízes igual a – 6; produto das raízes igual a –1; ver Atividade 2). Resolvendo esta equação, obtemos as f raízes –3 ± 10 ou seja, p3 = –3 + 10 e q3 = –3 – 10 . z = –6 ± 36 + 4 2 , ou seja, z = –3 ± 10. Significa que estes são os valores de p3 e q3, ou seja, p = – 3+ 103 e q = – 3 – 103 . Concluímos, então, que y = p + q, ou seja, y = – 3+ 103 + – 3 – 103 . Se você acompanhou todos os passos da ex- plicação, então repita os mesmos procedimentos e mostre que a fórmula que dá as raízes da equa- ção algébrica de grau 3, dada por y3 + My + N = 0, é a apresentada na introdução da Atividade 1: y = – N N M 2 4 27 2 3 3 + + + – – N N M 2 4 27 2 3 3 + . Comparando a igualdade (p + q) f 3 – 3pq. .(p + q) – (p3 + q3) = 0 com a equação y3 + M . y + N = 0, deduzimos que: se –3pq = M e – (p3 + q3) = N, então y = p + q será raiz da equação. Temos, então, de encontrar dois nú f meros p e q tais que p3. q3 = – M 27 3 e p3 + q3 = –N. Tais números p3 e q3, que têm soma e produto conhecidos, devem ser as raízes da equação do segundo grau z2 + Nz – M 27 3 = 0. Resolvendo tal equação, obtemos: f z = –N ± N 4M 27 2 2 3 + = –N 2 ± N 4 + M 27 2 3 , Isso significa que os valores de p f 3 e q3 são –N 2 + N 4 + M 27 2 3 e –N 2 – N 4 + M 27 2 3 . Logo, os valores de f p e de q serão: –N 2 + N 4 + M 27 2 3 3 e –N 2 – N 4 + M 27 2 3 3 Em consequência, o valor de y será: y = p + q, ou seja, y = –N 2 + N 4 + M 27 2 3 3 + –N 2 – N 4 + M 27 2 3 3 como queríamos mostrar. Atividade 5 Encontre uma raiz da equação y3 – 3y – 2 = 0. Substituindo na fórmula obtida na atividade anterior, temos: y = 2 2 4 4 27 27 3 + + ( )– + 2 2– 4 4 + –27 27 3 ( ) = 1 0 1 0 23 3+ + =– ; MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 17 4/8/09 1:55:45 PM 18 logo, y = 2 é uma raiz. Como será visto nas atividades seguintes, co nhecendose uma das raízes de uma equação de grau 3, é possível reduzila a uma equa ção de 2o grau, encontrandose, assim, todas as raízes da equação inicial. Atividade 6 Um marceneiro quer construir duas cai- xas, uma com a forma de um cubo de aresta x, outra com a forma de um paralelepípedo com a base retangular, de lados 3 m e 5 m, e de altura igual à altura do cubo. O valor de x deve ser escolhido de tal maneira que o volume do cubo seja 4 m3 maior do que o do paralelepípedo. a) Escreva a equação que traduz a exigên- cia a ser satisfeita pelo valor de x. O volume do cubo de aresta x é igual a x3; o volume do paralelepípedo de base 15 m2 e aresta x é igual a 15x; segue, então, que a exigência de o volume do cubo ser 4 m3 maior do que o do paralelepípedo pode ser traduzida pela equação x3 = 15x + 4, ou seja, x3 – 15x – 4 = 0 . b) Use a fórmula da atividade anterior para determinar as raízes da equação do item a. A que conclusão você chega? Calculando o valor de x pela fórmula obtida an teriormente para equações de 3o grau, obtemos: x = 2 121 2 1213 3+ +– – – . Pela fórmula, parece não existir raiz da equação, uma vez que deparamos, nos cálculos, com a raiz quadrada de um número negativo. c) Verifique diretamente na equação dada que x = 4 é uma raiz, ou seja, fazendo x = 4 m, temos o cubo com volume 64 m3 e o paralelepípedo com volu- me 60 m3. Como podemos interpretar o resultado do item b? Certamente a equação admite x = 4 como raiz, como se pode verificar diretamente, uma vez que 43 – 15 . 4 – 4 = 0. No uso da fórmula das raízes, os cálculos foram inter rompidos quando surgiu a raiz quadrada de –121. No estudo das equações de 2o grau, era assim que procedíamos: ao deparar com a raiz quadrada de um número negativo, di zíamos: “a equação não tem raízes reais”. Mas aqui sabemos que a equação de grau 3 proposta tem uma raiz real, que é x = 4. Então, como ficamos? Na atividade seguinte, vamos examinar uma maneira de prosseguir nos cálculos e ob- ter o resultado x = 4, reinterpretando a limi- tação sobre a existência de raízes quadradas para um número negativo. Atividade 7 Sabemos que o quadrado de qualquer nú- mero real não nulo, positivo ou negativo, é sempre positivo. Até aqui, em nosso percurso escolar, sempre que deparamos com a extra- ção da raiz quadrada de um número negativo, dizemos que ela não existe. Na Atividade 5, tal decisão nos impediu de chegar a uma das raízes da equação, uma vez que teríamos de extrair a raiz quadrada de –121. Vamos fazer, agora, uma atividade de imaginação: imaginemos MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 18 4/8/09 1:55:46 PM 19 Matemática - 3a série - Volume 2 –7 = 7 i. , e assim por diante. Insistimos em que estamos, por enquanto, apenas fazendo um exercício de imaginação: se existir um número que seja a raiz qua drada de –1, então as raízes quadradas de todos os números negativos poderão ser expressas com base nesse número; chamando tal nú mero imaginário de i, temos, por exemplo, que – 25 = 25 . – 1 = 25. –1( ) = 5.i. b) Retorne ao item b da Atividade 6. Es- crevendo no lugar de −121 o valor imaginário 11i indique a solução da equação x3 – 15x – 4 = 0. Substituindo –121 por 11i na expressão x = 2+ –121 + 2 – –1213 3 , obtemos: x = 2+ 11i + 2 – 11i3 3 . que existam números estranhos (certamente, não seriam números da reta real) cujo quadra- do seja negativo. a) Mostre que, na verdade, bastaria existir um número estranho desses, a raiz qua- drada de –1, para que dele decorressem todas as outras raízes de negativos. De fato, como –121 = 121.(–1), para extrair a raiz quadrada de –121 bastaria sabermos quanto vale a raiz quadrada de –1. Se re presentarmos por i esse número imaginário, teríamos –1 = i2, ou seja, i = –1 . Em consequência, –121 = 121 –1= 11 i. . . Analogamente, seria possível expressar a raiz quadrada de qualquer número negativo: –9 = 9 –1 = 9. .i = 3i; analogamente, Professor, uma sugestão! Novamente temos de parar, pois não sabemos calcular a raiz cúbica do estranho nú- mero 2 + 11i. Tal número é “mistura” de uma parte real, que é 2, com uma parte imaginária, que é 11i. Números assim são chamados “números complexos”, e serão estudados a seguir. Por enquanto, vamos supor que possamos continuar a operar com tais números como se opera com os números reais, respeitando-se apenas a novidade que decorre do fato de termos i2 = –1. Por exemplo: para somar 3 + 4i com 5 + 7i, somamos as partes reais e imaginárias separadamente e f obtemos: (3 + 4i) + (5 + 7i) = (3 + 5) + (4i + 7i) = 8 + 11i. para multiplicar (3 + 4i) por (5 + 7i), utilizamos a propriedade distributiva e escrevemos: f (3 + 4i).(5 + 7i) = 3.5 + 3.7i + 4i.5 + 4i.7i. agrupando termos do mesmo tipo, obtemos: (3 + 4i).(5 + 7i) = 15 + 21i + 20i + 28i f 2. como i f 2 = –1, o resultado final seria o seguinte: (3 + 4i).(5 + 7i) = 15 + 41i – 28 = –13 + 41i. Como veremos, essas operações envolvendo números imaginários vão se mostrar recurso fecundo para superarmos as limitações resultantes da impossibilidade de extrair raízes qua- dradas de números negativos. Com base nelas, vamos conseguir harmonizar o fato de saber- mos que a equação x3 – 15x – 4 = 0 admite efetivamente a raiz real x = 4, ainda que a fórmula resolutiva nos conduza à raiz quadrada de um número negativo. MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 19 4/8/09 1:55:48 PM 20 Atividade 8 Supondo válidas as propriedades das ope- rações com os números reais para os números formados por uma parte real x e uma parte imaginária yi, sendo i = −1, efetue as ope- rações indicadas, dando o resultado mais sim- ples possível: a) (3 – 4i) + (–5 + 3i) –2 – i b) (–11i + 7) – (–5 – 8i) –3i + 12 c) (2i – 13) . (7 – 5i) – 81+ 79i d) (13 – i). (13 + i) 170 e) i3 + i5 + i7 –i f) i13 i Considerações sobre a avaliação Até aqui, o objetivo das atividades foi a apresentação dos novos números, formados por uma parte real e uma parte imaginária, como recurso necessário para dar sentido a cálculos envolvendo a solução de equações algébricas, correspondentes a problemas con- cretos, como é o exemplo da Atividade 6. Reiteramos o fato de que equações são tradu- ções de perguntas propostas por problemas, e que o interesse em resolvê-las é inerente aos procedimentos matemáticos. A história conta- da até este ponto ilustra uma importante mu- dança de perspectiva, como já foi assinalado c) Usando o fato de que a raiz cúbica de um número é outro número que, ele- vado ao cubo, reproduz o primeiro, mostre que 2 + i é uma raiz cúbica de 2 + 11i. Vamos elevar ao cubo o “número” 2 + i, que é uma “mistura” de uma parte real com uma parte imaginária, e verificar que, efetuados os cálculos, obtemos (2 + i)3 = 2 + 11i. De fato, temos: (2 + i)3 = 23 + 3.22.i + 3. 2.i2 + i3 (2 + i)3 = 8 + 12.i + 6.i2 + i2.i Como i2 = –1, segue que: (2 + i)3 = 8 + 12i + 6.(–1) + (–1).i Ou seja, (2+ i)3 = 2 + 11i. De modo análogo, pode ser mostrado que uma raiz cúbica de 2 – 11i é 2 – i. d) Retorne à Atividade 5. Mostre que a solução x = 4 pode ser obtida com base na fórmula para as raízes cúbicas da equação x3 – 15x – 4 = 0. Substituindo os valores das raízes cúbicas encontradas, temos: x = 2+11i + 2 – 11i3 3 , ou seja, x = 2 + i + 2 – i = 4. Assim, reconci liamos a fórmula com o fato concreto de que a equação tinha x = 4 como uma de suas raízes. Como sevê, pode ser conveniente atribuir significado às raízes quadradas de núme ros negativos. Mostraremos mais adiante de que maneira os novos números assim construídos – os chamados números com plexos – são uma extensão natural muito fecunda dos conhecidos números reais. MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 20 4/8/09 1:55:48 PM 21 Matemática - 3a série - Volume 2 anteriormente, que é a de se passar da busca desenfreada de fórmulas resolutivas para uma abordagem qualitativa, que busca extrair da própria equação/pergunta as condições para a obtenção de sua resposta. Nas Situações de Aprendizagem seguintes, explicitaremos mais o significado de tal abordagem qualitativa, bem como exploraremos a existência dos nú- meros complexos, aqui apenas vislumbrados. Na avaliação das atividades, até este pon- to, sugerimos que o professor se concentre na compreensão da passagem natural das equa- ções de 2o grau para as equações de grau supe- rior a 2, revendo fatos básicos sobre as equações de 2o grau, como a análise do sinal do discrimi- nante para a determinação do número de raízes reais, as relações entre coeficientes e raízes, entre outros. No caso das equações de 3o grau, não se deve pretender mais do que a tentativa de resolu- ção de algumas delas, com coeficientes simples, usando os passos propostos nas atividades da presente situação. Esbarrar em raízes quadradas de números negativos pode ser uma motivação a mais para a continuidade dos estudos das situa- ções seguintes. Em resumo, a compreensão his- tórica da problemática da solução de equações é mais importante, neste momento, do que as técnicas algébricas para resolvê-las. SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2 DAS FÓRMULAS À ANÁLISE QUALITATIVA: RELAçÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍzES tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: relações entre coeficientes e raízes de uma equação de 2o grau – revisão; extensão das relações entre coeficientes e raízes para equações de 3o e 4o graus. Competências e habilidades: compreender o fato de que uma pergunta bem formulada traz em si os elementos constituintes de sua resposta; compreender o fato de que é possível conhecer qualidades das raízes de equação algébrica mesmo sem resolvê-la, com base no conhecimento de seus coeficientes. Estratégias: rever e estender o estudo das relações entre coeficientes e raízes, já conhecido no caso das equações de 2o grau, para equações de grau superior a 2; explorar tal fato para resolver ou conhecer algumas das soluções de uma equação algébrica. roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 Equações algébricas: das fórmulas à abordagem qualitativa Uma vez abandonada a perspectiva de ter- mos uma fórmula que indique as raízes de uma equação algébrica, cabe ao professor explorar a via da observação dos coeficientes da própria equação, em busca de informações sobre suas MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 21 4/8/09 1:55:48 PM 22 raízes. Sabemos, por exemplo, que as raízes da equação x2 + 7x + 12 = 0 têm soma igual a –7 e produto igual a 12. É possível generalizar in- formações desse tipo, sobre a soma e o produto das raízes, para uma equação de qualquer grau. É o que exploraremos a seguir. No caso da equação de 2o grau ax2 + bx + c = 0, de raízes r1 e r2, sabemos que, após a divisão de todos os coeficientes por a, ela pode ser escrita na forma x2 + b a x + c a = 0, que po- demos imaginar fatorada e escrita na forma (x – r1) . (x – r2) = 0. Efetuando as multiplica- ções indicadas e ordenando, obtemos a forma equivalente: x f 2 – (r1 + r2)x + r1 . r2 = 0, ou seja: x f 2 – S1x + S2 = 0, onde S1 = r1 + r2 = – b a é a soma das raízes e S2 = r1 . r2 = c a é o produto das raízes. No caso de uma equação de 3º- grau ax3 + bx2 + cx + d = 0, mesmo sem conhecer fór- mulas para as soluções, se a equação tiver como raízes r1, r2 e r3, procedendo de manei- ra análoga ao que fizemos para a equação de 2º- grau, após a divisão por a de todos os seus coeficientes, ela pode ser escrita na forma x3 + b a x2 + c a x + d a = 0, que podemos imaginar fatorada e escrita na forma: (x – r1) . (x – r2) . (x – r3) = 0. Efetuando as multiplicações indicadas e ordenando, obtemos a forma equivalente x3 – (r1 + r2 + r3)x 2 + (r1r2 + r1r3 + r2r3)x – r1r2r3 = 0, ou seja: x3 – S1x 2 + S2x – S3 = 0, onde S1 = r1 + r2 + r3 é a soma das raízes, S2 = r1 . r2 + r1 . r3 + r2 . r3 é a soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas, e S3 = r1 . r2 . r3 é a soma dos produtos das raízes tomadas três a três, ou seja, é o produto das raízes. Por exemplo, se uma equação de 3º- grau tiver como raízes 2, 3 e 5, então ela poderá ser escrita na forma: (x – 2) . (x – 3) . (x – 5) = 0, e ao efetuarmos as multiplicações, obtemos: x3 – 10x2 + 31x – 30 = 0 ; podemos notar que: S1 = 2 + 3 + 5 = 10, S2 = 2 . 3 + 2 . 5 + 3 . 5 = 31 e S3 = 2 . 3 . 5 = 30, ou seja, observação para o professor! Poderíamos notar, com base na fór- mula de Bhaskara, que as duas raízes da equação são as indicadas a seguir: r b b ac a1 2 4 2 = + – – e r b b ac a2 2 4 2 = – – – , cuja soma dá r1 + r2 = – b a , e cujo produto dá r1 . r2 = c a . MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 22 4/8/09 1:55:49 PM 23 Matemática - 3a série - Volume 2 a equação pode ser escrita na forma x3 – S1x 2 + S2x – S3 = 0. Se procedermos analogamente no caso de uma equação de 4º- grau ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, de raízes r1, r2, r3, r4, chegaremos à forma equivalente: x4 – S1x 3 + S2x 2 – S3x + S4 = 0, onde: S1 = r1 + r2 + r3 + r4, S2 = r1r2 + r1r3 + r1r4 + r2r3 + r2r4 + r3r4 S3 = r1r2r3 + r1r2r4 + r1r3r4 + r2r3r4 S4 = r1r2r3r4. Tal relação pode ser generalizada para uma equação algébrica de grau n. É im- portante notar a alternância nos sinais das somas S: as somas das raízes tomadas de 1 em 1, de 3 em 3, de 5 em 5 ... apare- cem como coeficientes na equação com o sinal trocado; as somas de 2 em 2, de 4 em 4, de 6 em 6, ... aparecem como coe- ficientes com o próprio sinal. As atividades seguintes darão ao profes- sor a oportunidade de explorar essa rela- ção entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica. Atividade 1 Escreva na forma x3 – S1x 2 + S2x – S3 = 0 uma equação algébrica de grau 3 cujas raízes são: a) 3, 5 e 1 Temos: S1 = 3 + 5 + 1 = 9, S2 = 3.5 + 3.1 + 5.1 = 23 e S3 = 3.5.1 = 15; Logo, a equação correspondente é x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0. b) 2, 7 e –3 Analogamente, temos: S1 = 6, S2 = –13, e S3 = –42, e a equação correspondente é x3 – 6x2 –13x + 42 = 0. c) –2, –3 e 4 Efetuando os cálculos, obtemos: S1 = –1, S2 = –14, S3 = 24, e a equação correspondente é x3 + x2 – 14x – 24 = 0. Atividade 2 Escreva na forma x4 – S1x 3 + S2x 2 – S3x + S4 = 0 uma equação algébrica de grau 4 cujas raízes são: a) 2, 3, 4 e 5 Calculando as somas das raízes tomadas 1 a 1, 2 a 2, 3 a 3 e 4 a 4, temos: S1 = 14, S2 = 2.3 + 2.4 + 2.5 + 3.4 + 3.5 + 4.5 = 71, S3 = 2.3.4 + 2.3.5 + 2.4.5 + 3.4.5 = 154, S4 = 2 . 3 . 4 . 5 = 120, e a equação correspondente é x4 – 14x3 + 71x2 – 154x + 120 = 0. b) –2, 3, 4, –5 Analogamente, temos: S1 = 0, S2 = –27, S3 = –14, S4 = 120, e a equação correspondente é x4 – 0 . x3 – 27x2 +14x + 120 = 0. MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 23 4/8/09 1:55:49 PM 24 c) 1, 0, 3, 7 Efetuando os cálculos, temos: S1 = 11, S2 = 31, S3 = 21, S4 = 0, e a equação correspondente é: x4 – 11x3 + 31x2 – 21x = 0. Atividade 3 Dada a equação x3 – 8x2 + kx – 24= 0, responda: a) Quais as possíveis raízes inteiras da equação? Observando os coeficientes, concluímos que 24 é igual ao produto das três raízes. Logo, os divisores de 24 são possíveis raízes intei ras da equação, ou seja, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 8, ± 12, ± 24. Naturalmente, depen dendo do valor de k, tal equação pode não admitir qualquer um desses divisores como raiz; o que se pode afirmar é precisamente o fato de que, se houver raiz inteira, ela terá de ser um dos divisores de 24. b) Se a equação tiver duas raízes simétricas, qual será a terceira raiz? Como a soma das duas raízes simétricas é zero e a soma das três raízes é 8, então a terceira raiz deverá ser igual a 8. c) Se uma das raízes for o inverso da outra, qual será a terceira raiz? Como o produto das duas raízes inversas é igual a 1 e o produto das três raízes é 24, então a terceira raiz deverá ser igual a 24. d) É possível que a equação tenha uma raiz nula? Não é possível que a equação tenha raiz nula, pois, nesse caso, o produto das raízes seria zero, e já vimos que o produto das raí zes é igual a 24. Atividade 4 Considere a equação 3x4 – 12x3 + kx2 – 6x + + 3 = 0. a) Quais as possíveis raízes inteiras da equação? Dividindo os coeficientes da equação por 3, que é o coeficiente do termo de maior grau, obtemos a equação equivalente (com as mesmas raízes) expressa na forma: x4 – 4x3 + k 3 x2 – 2x + 1 = 0. Comparando com a forma x4 – S1x 3 + S2x 2 – – S3x + S4 = 0, concluímos que o produto das raízes da equação é igual a S4 = 1. Logo, as possíveis raízes inteiras da equação são os divisores de 1, ou seja, +1 ou –1. b) Quais os valores de k que fazem com que a equação proposta acima tenha raízes inteiras? Para que a equação tenha raízes inteiras, ou seja, para que ela tenha +1 ou –1 como raí zes, quando substituirmos os valores de x por +1 ou por –1 no primeiro membro da equa MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 24 4/8/09 1:55:49 PM 25 Matemática - 3a série - Volume 2 ção, o resultado deve dar igual ao segundo membro, ou seja, a zero. Para x = 1, temos: 14 – 4 . 13 + k 3 12 – 2 . 1 + 1 = 0, ou seja, k = 12. Para x = –1, temos: (–1)4 – 4. (–1)3 + k 3 (–1)2 – 2(–1) + 1 = 0, ou seja, k = –24. Atividade 5 Sabendo que 1 é raiz da equação x3 + 7x2 + kx – 15 = 0, determine o valor de k e encontre as outras duas raízes. Como 1 é raiz, substituindo x por 1 devemos ter a igualdade verdadeira; logo, 1 + 7 + k – 15 = 0, e então, k = 7. Como a soma das três raízes é igual a –7, sendo uma delas igual a 1, a soma das outras duas deve ser igual a – 8. Como o produto das três raízes é igual a 15, sendo uma delas igual a 1, o produto das ou tras duas é igual a 15. Logo, além da raiz dada r1 = 1, as outras duas raízes da equação são tais que sua soma é – 8 e seu produto é 15; elas são, portanto, as raí zes da equação de 2o grau x2 + 8x + 15 = 0. Resolvendo tal equação, obtemos r2 = –3 e r3 = –5. Concluímos que a equação proposta no enunciado tem como raízes os números reais 1, –3 e –5. observação para o professor! Outras atividades como as anteriores podem ser propostas, mas lembramos que não interessa tanto, nesse caso, a rea- lização de muitos cálculos, quanto, por exemplo, a percepção, na Atividade 5, do fato de que, conhecendo uma raiz da equação, é possível reduzi-la a uma equação mais simples, ou seja, a pes- quisa sobre as possíveis raízes inteiras pode resultar na solução da equação. Na Situa ção de Aprendizagem seguinte tal fato será mais bem explorado. Considerações sobre a avaliação O objetivo das atividades desta Situação de Aprendizagem é a compreensão do fato de que os próprios coeficientes das equações trazem informações relevantes sobre suas possíveis raízes, o que é apenas uma amostra das possibilidades de uma abordagem quali- tativa das equações. Outros procedimentos semelhantes poderiam ser aqui apresentados, mas consideramos que as atividades realiza- das terão sido bem-sucedidas se os alunos compreenderam a existência de tais cami- nhos alternativos, na busca das soluções de equações, mesmo sem uma exploração mais exaustiva de tal fato. MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 25 4/8/09 1:55:49 PM 26 SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3 EQUAçÕES E POLINÔMIOS: DIVISãO POR x–k E REDUçãO DO GRAU DA EQUAçãO tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: divisão de um polinômio por x – k; algoritmo para efetuar de maneira simples a divisão de um polinômio por x – k; redução do grau de uma equação com base no conhecimento de uma das raízes. Competências e habilidades: compreender as relações naturais entre o estudo dos polinômios e o estudo das equações algébricas; compreender a importância da articulação entre a técnica e o significado na solução de equações/problemas. Estratégias: todos os elementos conceituais relativos aos conteúdos da presente Situação de Aprendizagem serão apresentados por meio de exercícios exemplares, tendo em vista uma aproximação efetiva entre as técnicas resolutivas e os significados dos conceitos envolvidos. roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Alguns fatos fundamentais sobre polinômios: a ideia de identidade Como foi mostrado aos alunos na Ativi- dade 4 da Situação de Aprendizagem 2, co- nhecendo uma das raízes de uma equação de grau 3, é possível reduzir a sua solução à de uma equação de 2o- grau. De maneira ge- ral, é possível generalizar tal procedimento: se conhecemos uma das raízes de uma equação algébrica de grau 4, é possível reduzir a sua solução à de uma equação de grau 3, e assim sucessivamente; conhecendo-se uma das raízes de uma equação de grau n, será possível redu- zir a sua solução à de uma equação de grau n – 1. Para isso, é preciso realizar algumas operações com os polinômios que constituem o primeiro membro das equações algébricas. O estudo das equações algébricas, portanto, se entrelaça naturalmente com o estudo dos polinômios. Não vamos aqui nos dedicar especialmente a técnicas de cálculos com poli- nômios, mas um mínimo de informações so- bre elas precisam ser conhecidas, para poder continuarmos a aprender fatos fundamentais sobre equações. Como se sabe, um polinômio de grau n é uma expressão algébrica do tipo P(x) = a0x n + a1x n – 1 + a2x n – 2 + a3x n – 3 + ... + an – 1x + an = 0, com a0 ≠ 0. Uma equação algébrica também pode ser chamada uma equação polinomial, uma vez que ela pode ser escrita na forma P(x) = 0, sendo P(x) um polinômio. MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 26 4/8/09 1:55:49 PM 27 Matemática - 3a série - Volume 2 Se o valor de P(x) para x = k, que indica- remos por P(k), for igual a zero, ou seja, se P(k) = 0, então isso significa que k é uma raiz da equação polinomial P(x) = 0. Sendo P1(x) um polinômio e P2(x) outro poli- nômio, podemos ter o caso de P1(x) = P2(x)para alguns valores particulares de x e P1(x) ≠ P2(x) para outros valores de x. Por exem plo, se P1(x) = x 2 + 3x – 1 e P2(x) = x 3 – 5x2 + 4x + 13, então temos: P1(2) = 9 e P2(2) = 9, mas P1(0) = –1 e P2(0) = 13. Quando dois polinômios P1(x) e P2(x) são tais que, para todos os valores possíveis para x, temos P1(x) = P2(x), então dizemos que os polinômios são idênticos, e escrevemos P1(x) ≡ P2(x). Sendo P1(x) = a0x n + a1x n – 1 + a2x n – 2 + + a3x n – 3 + ... + an – 1x + an um polinômio de grau n e P2(x) = b0x m + b1x m – 1 + b2x m – 2 + b3x m– 3 + ... + bm – 1x + bm outro polinômio de grau m, para termos P1(x) ≡ P2(x), ou seja, paraos dois po- linômios serem iguais para todos os valores de x, devemos ter a igualdade dos termos independentes de x, ou seja, an = bm, pois an = P1(0) e bm = P2(0). Podemos mostrar que a igualdade entre os dois polinômios para todos os valores de x obriga a igualdade de todos os coeficientes dos termos de mesmo grau, ou seja: an = bm ; an – 1 = bm– 1 ; an – 2 = bm – 2 e assim por diante. Em consequência, dois polinômios idênti- cos devem ser sempre do mesmo grau, uma vez que se forem de graus diferentes, os coeficientes dos termos de maior grau serão distintos (um deles é zero e o outro é diferente de zero). Por exemplo, podemos ter P1(x) = x 2 + 3x – 1 e P2(x) = x 3 – 5x2 + 4x + 13 iguais para al- guns valores de x, mas não para todos os valores de x, ou seja, não é verdade que P1(x) ≡ P2(x), neste caso, pois os coeficientes dos termos de grau 3 são distintos (1 em P2(x) e 0 em P1(x)). operações com polinômios Para somar, subtrair e multiplicar polinô- mios, basta operar com as expressões algébri- cas que compõem suas parcelas, que são os monômios, realizando as operações indicadas, recorrendo à propriedade distributiva, quan- do for o caso, e reunindo os termos que cor- respondem a potências de x de mesmo grau (chamados “termos semelhantes”). A divisão de um polinômio por outro, no entanto, exige atenção um pouco maior, e será necessária para podermos aprender a reduzir o grau de uma equação, com base no conheci- mento de uma de suas raízes. De fato, se x = k for uma raiz da equação algébrica: a0x n + a1x n – 1 + a2x n – 2 + a3x n – 3 + ... + an – 1x + + an = 0 (a0 ≠ 0), então a equação pode ser escrita na forma fatorada MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 27 4/8/09 1:55:49 PM 28 (x – k) . (b0x n – 1 + b1x n – 2 + b2x n – 3 + ... + + bn– 2x + bn – 1) = 0. Daí segue que ou x – k = 0, e portanto, x = k, ou então, b0x n – 1 + b1x n – 2 + b2x n – 3 + ... + bn – 2x + bn – 1 = 0. Resolvendo a equação de grau n – 1 que corresponde ao segundo fator igualado a zero, teremos as n raízes da equação inicial. Os polinômios a0x n + a1x n – 1 + a2x n – 2 + a3x n – 3 + + ... + an – 1x + an, e o resultante do produto (x – k) . (b0x n – 1 + b1x n – 2 + b2x n – 3 + ... + bn – 2x + + bn – 1) são idênticos, isto é, são iguais para todos os valores reais de x. Para obter o polinômio b0x n – 1 + b1x n – 2 + + b2x n – 3 + ... + bn – 2x + bn – 1, basta dividir o polinômio a0x n + a1x n – 1 + a2x n – 2 + a3x n – 3 + ...+ + an – 1x + an, pelo binômio x – k, o que pode ser feito diretamente, escrevendo-se a0x n + a1x n – 1 + a2x n – 2 + a3x n – 3 +...+ an – 1x + + an ≡ (x – k) . (b0xn – 1 + b1xn – 2 + b2xn – 3 +...+ + bn – 2x + bn – 1). O símbolo ≡ significa, como já foi dito, nes- se caso, mais do que a simples igualdade; sig- nifica que os dois membros da igualdade são iguais para todos os valores possíveis de x. Para determinar os valores dos coeficien- tes b0, b1, b2, …, bn – 1 a partir dos coeficientes a0, a1, a2, a3, ... an –1, an, podemos efetuar a multiplicação anteriormente indicada e, em seguida, igualar os coeficientes dos termos de mesmo grau nos dois lados da identidade. Os exercícios das atividades seguintes cons- tituem uma oportunidade de exploração dos fatos descritos acima. Atividade 1 Considere os polinômios A(x) = x2 – 3x + 2 e B(x) = x3 – 2x2 – 3x + 2. a) É possível termos A(x) = B(x)? Sim, é possível termos A(x) = B(x). Resolvendo a equação algébrica A(x) = B(x), temos: x2 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 2; logo, x3 – 3x2 = 0. Fatorando, obtemos x.x.(x – 3) = 0, e segue que, para o produto ser nulo, um dos fatores deve ser nulo, ou seja, ou x = 0, ou x = 0 (0 é uma raiz dupla), ou então x – 3 = 0, ou seja, x = 3. Logo, a equa ção A(x) = B(x) tem como raízes 0 e 3. Para todos os valores de x diferentes de 0 e de 3 os polinômios A(x) e B(x) assumem valores distintos. b) É possível termos A(x) ≡ B(x)? Não é possível termos A(x) ≡ B(x). Os poli nômios têm graus diferentes. Em consequên cia, os coeficientes de x3 são diferentes em A(x) e em B(x). MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 28 4/8/09 1:55:49 PM 29 Matemática - 3a série - Volume 2 Atividade 2 Considere os polinômios A(x) = x3 – 3x + 2 e B(x) = x3 – 2x2 – 3x + 10. a) É possível termos A(x) = B(x)? Sim. Basta resolver a equação correspon dente: x3 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 10. Efetuando os cálculos, obtemos 2x2 = 8, e então, x = ± 2. b) É possível termos A(x) ≡ B(x)? Não, pois os coeficientes de x2 são diferentes nos dois polinômios. Atividade 3 Considere os polinômios: P1(x) = ax 5 – 11x4 – 2x3 + 7x2 + bx + d. P2(x) = bx 5 + cx4 – 2x3 + 7x2 – 3x + d. a) Determine os valores de a, b e c de modo que os polinômios sejam idênticos. Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, temos: a = b, c = –11 e b = – 3 = a b) Calcule o valor de d sabendo que –1 é raiz da equação P1(x) = 0. Se –1 é raiz da equação P1(x) = 0, então devemos ter P1(–1) = 0. Logo, substituindo x por –1, e igualando o resultado a zero, obtemos: – 3 . (–1)5 – 11(–1)4 – 2 . (–1)3 + 7(–1)2 – – 3 . (–1) + d = 0. Concluímos, efetuando os cálculos, que d = 2 – 2 3 . Atividade 4 Considere o polinômio P(x) = 3x5 – 2x4 + + 5x3 – 11x2 – 7x + 12. a) Mostre que x = 1 é raiz da equação P(x) = 0. Basta substituir x por 1 em P(x) e verificar que o resultado dá zero, ou seja, que temos P(1) = 0. Isso significa que P(x) pode ser fatorado e apresenta x – 1 como um fator, ou seja, é divisível por x – 1. Podemos, então, escrever: P(x) ≡ (x – 1). Q(x), onde Q(x) é o quociente da divisão de P(x) por x – 1. b) Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo binômio x – 1. O quociente da divisão será um polinômio de grau 4, podendo ser escrito na forma geral ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Devemos ter a identidade 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 ≡ (x – 1). .(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e). Efetuando as operações indicadas no segun do membro, obtemos: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 ≡ ax5 + bx4 + + cx3 + dx2 + ex – ax4 – bx3 – cx2 – dx – e. Agrupando os termos semelhantes do se gundo membro, obtemos: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 ≡ ax5 + (b – a)x4 + (c – b)x3 + (d – c)x2 + (e – d)x – e. MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 29 4/8/09 1:55:50 PM 30 Igualando os coeficientes dos termos de mes mo grau nos dois membros da identidade, temos: 3 = a; –2 = b – a; 5 = c – b; –11 = d – c; –7 = e – d; 12 = – e. Logo, concluímos que a = 3, b = 1, c = 6, d = –5, e = –12 e em consequência, Q(x) = 3x4 + x3 + 6x2 – 5x – 12. Assim, para resolver a equação P(x) = 0, sabendo que uma de suas raízes é x = 1, obtemos o quociente de P(x) por x – 1, che gando ao quociente Q(x); as demais raí zes de P(x) = 0 são as raízes da equação Q(x) = 0. Atividade 5 Considere o polinômio P(x) = 3x5 – 2x4 + + 5x3 – 11x2 – 7x – 46. a) Mostre que x = 2 é raiz da equação P(x) = 0. Basta substituir x por 2 em P(x) e verificar que o resultado dá zero, ou seja, que temos P(2) = 0. Isso significa que P(x) pode ser fatorado e apresenta um fator x – 2, ou seja, ele é divisível por x – 2. Podemos escrever, então: P(x) ≡ (x – 2).Q(x), onde Q(x) é o quociente da divisão de P(x) por (x – 2). b) Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo binômio x – 2. O quociente da divisão será um polinômio de grau 4. Em sua forma geral, podemos escre ver que Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Para determinar Q(x), temos a identidade: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2– 7x – 46 ≡ ≡ (x – 2) . (ax4 + bx3 + cx2 + dx + e). Efetuando as operações indicadas no segun do membro, obtemos: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 ≡ ax5 + bx4 + + cx3 + dx2 + ex – 2ax4 – 2bx3 – 2cx2 – 2dx – 2e. Agrupando os termos semelhantes do se gundo membro, obtemos: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 ≡ Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau nos dois membros da identi dade, temos: 3 = a; –2 = b – 2a; 5 = c – 2b; –11 = d – 2c; –7 = e – 2d; –46 = –2e. Logo, concluímos que a = 3, b = 4, c = 13, d = 15, e = 23 e então, o quociente será: Q(x) = 3x4 + 4x3 +13x2 +15x + 23. Em consequência, para resolver a equa ção P(x) = 0, sabendo que uma de suas raízes é x = 2, obtemos o quociente de P(x) por x – 2, chegando ao quociente Q(x); as demais raízes de P(x) = 0 são as raízes da equação Q(x) = 0. ax5 + (b – 2a)x4 + (c – 2b)x3 + (d – 2c)x2 + (e – 2d)x – 2e. MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 30 4/8/09 1:55:50 PM 31 Matemática - 3a série - Volume 2 Atividade 6 Algoritmo de briot-ruffini Retome o enunciado da Atividade 5. Existe uma maneira prática para obter o quo- ciente de P(x) = 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 pelo binômio x – 2. Observando os cálculos efetuados, notamos que, sendo Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, o coeficiente f a é igual ao coeficiente de x5 em P(x): a = 3; o coeficiente f b é obtido somando-se ao coeficiente de x4 em P(x) o produto de 2 por a: b = –2 + 2a; o coeficiente f c é obtido somando-se ao coeficiente de x3 em P(x) o produto de 2 por b: c = 5 + 2b; o coeficiente f d é obtido somando-se ao coeficiente de x2 em P(x) o produto de 2 por c: d = –11 + 2c; o coeficiente f e é obtido somando-se ao coeficiente de x em P(x) o produto de 2 por d: e = –7 + 2d. Esses cálculos podem ser organizados no algoritmo seguinte, conhecido como algoritmo de Briot-Ruffini para a divi- são de um polinômio por um binômio da forma x – k: coeficientes de P (x) coeficientes de Q (x) Q(x) = 3x4 + 4x3 + 13x2 + 15x + 23 resto da divisão raiz 2 3 – 2 5 – 11 – 46 3 . 2 3 4 . 2 4 13 15 23 0 13 . 2 15 . 2 23 . 2 – 7 Para verificar o entendimento do que se apresentou, construa o algoritmo acima para determinar o quociente da divisão de P(x) = x5 – 2x4 – 7x3 + 3x2 + 8x + 57 por x – 3. MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 31 4/8/09 1:55:51 PM 32 Temos, então, Q(x) = x4 + x3 – 4x2 – 9x – 19. Atividade 7 a) Dado o polinômio P(x) = a0xn + a1xn – 1 + + a2x n – 2 + a3x n – 3 + … + an – 1x + an , mostre que o resto da divisão de P(x) por x – k é P(k). Quando P(x) é divisível por x – k, podemos escrever P(x) ≡ (x – k). Q(x), e segue que P(k) = 0. Quando P(x) não é divisível por x – k, então temos a identidade: P(x) ≡ (x – k). Q(x) + R, onde a constante R é o resto da divisão. raiz 3 coeficientes de P (x) coeficientes de Q (x) resto da divisão 1 – 2 – 7 3 57 1 . 3 1 1 . 3 1 – 4 –9 –19 0 –4 . 3 –9 . 3 –19 . 3 8 Segue daí que P(k) = R, ou seja, o resto da divisão de P(x) por x – k é igual a P(k). b) Calcule o resto da divisão de P(x) = 3x5 + + x4 + 3x3 – 7x + π pelo binômio x + 3. O resto será o valor de P(–3), ou seja, R = P(–3) = –708 + π. O cálculo do resto também poderia ser feito por meio do algoritmo de BriotRuffini, uti lizado nas Atividades 5 e 6. Basta proceder como lá foi indicado, notando que ao último coeficiente do polinômio corresponderá, em vez do resto zero, o valor do resto procurado: resto da divisão 0 p 27 . (–3) – 81. (–3) 236 . (–3) – 81 236 –708 + p –7 coeficientes de Q (x) coeficientes de P (x) 3 1 3 3 . (–3) – 8 . (–3) 3 – 8 27 raiz –3 MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 32 4/8/09 1:55:51 PM 33 Matemática - 3a série - Volume 2 Atividade 8 a) Mostre que a equação a seguir apresenta raízes inteiras: 2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 = 0 Dividindo os coeficientes por 2, obtemos a equação equivalente x4 – 9 2 x3 + 3x2 + 11 2 x – 3 = 0. Escrita nessa forma, já vimos que os divi sores de –3 serão possíveis raízes inteiras, pois esse coeficiente representa o produto das raízes da equação. Calculando os va lores numéricos do polinômio do primei ro membro da equação para x = ± 1 e x = ± 3 , concluímos que –1 e 3 são raízes da equação dada. b) Resolva a equação. A equação dada é, portanto, equivalente à equação: (x + 1) . (x – 3) . (mx2 + nx + p) = 0. Para encontrar o trinômio mx2 + nx + p, e descobrir as outras raízes da equação, basta dividir o polinômio do primeiro membro su cessivamente por (x + 1) e (x – 3), confor me indicamos a seguir: 2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡ ≡ (x + 1) . (ax3 + bx2 + cx + d) coeficientes de P (x) coeficientes de Q1(x) resto da divisão 2 2 –9 –11 6 17 11 –6 2 . (–1) –11 . (–1) 17 . (–1) –6 . (–1) – 6 0 raiz –1 2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡ (x + 1) . (2x3 – 11x2 + 17x – 6). Dividindose agora Q1(x) por (x – 3), obtemos Q2(x): (2x3 – 11x2 + 17x – 6) ≡ (x – 3) . (2x2 – 5x + 2). coeficientes de Q1 (x) coeficientes de Q2 (x) resto da divisão 2 2 –11 –5 17 2 –6 0 2 . 3 –5 . 3 2 . 3raiz 3 MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 33 4/8/09 1:55:51 PM 34 Considerações sobre a avaliação Como foi dito inicialmente, o objetivo da presente Situação de Aprendizagem era ape- nas consolidar a ideia de que, conhecendo uma das raízes de uma equação algébrica, podemos reduzir a sua solução à de uma equação de grau inferior, por meio de uma divisão do polinômio inicial por um binômio do tipo (x – k), onde k é a raiz co- nhecida. Para tanto, foi necessário introdu- zir algumas ideias a respeito da identidade de polinômios, que conduziram a uma ma- neira de efetuar os cálculos, resumida em um algoritmo, conhecido como Algoritmo de Briot-Ruffini. Praticamos tal redução de ordem em uma equação em alguns exemplos ilustrativos, sem qualquer intenção de super- valorizar as técnicas de cálculo, procurando apenas evidenciar a construção do caminho alternativo que a abordagem qualitativa das equações algébricas propicia. Se os alunos tiverem compreendido perfeitamente o fato de que, quando conhecemos uma das raízes de uma equação algébrica, é como se o grau da equação fosse reduzido de uma unidade, sendo capazes de efetuar uma divisão e mos- trar a nova equação a ser enfrentada, então os objetivos da presente Situação de Apren- dizagem terão sido atingidos. Concluímos, então, que: 2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡ ≡ (x + 1) . (x – 3) . (2x2 – 5x + 2). Resolvendo a equação de 2o grau 2x2 – 5x + 2 = 0, obtemos as raízes r3 = 2 e r4 = 1 2 . Logo, as raízes da equação dada inicialmente são: r1 = –1, r2 = 3, r3 = 2, e r4 = 1 2 . MAT_CP_3a_vol2_AF.indd 34 4/8/09 1:55:51 PM 35 Matemática - 3a série - Volume 2 SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4 NÚMEROS COMPLEXOS: REPRESENTAçãO NO PLANO E SIGNIFICADO DAS OPERAçÕES (TRANSLAçÕES, ROTAçÕES, AMPLIAçÕES) tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: apresentação dos números complexos como pontos do plano; operações com números complexos: significado geométrico; aplicações das operações com complexos na interpretação de movimentos e transformações no plano (translações, rotações, ampliações). Competências e habilidades: compreender a analogia existente entre a passagem dos números reais aos números complexos e a passagem dos pontos da reta aos pontos do plano; aumento na capacidade de expressão por meio de números, em decorrência da apresentação do significado geométrico dos complexos e das operações sobre eles.
Compartilhar