Caderno do Professor - 8° ano - 2014 a 2017 - vol 2

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Nova edição
2014-2017
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
São Paulo
MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO PROFESSOR 
MATEMÁTICA
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
7a SÉRIE/8o ANO
VOLUME 2
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 1 1/27/16 9:02 AM
 
Senhoras e senhores docentes,
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-
radores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que 
permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula 
de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com 
os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-
dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação 
— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste 
programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização 
dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações 
de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca 
por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso 
do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb. 
Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-
tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São 
Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades 
ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias, 
dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade 
da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas 
aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam 
a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-
ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a 
diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico. 
Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu 
trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar 
e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história. 
Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.
Bom trabalho!
Herman Voorwald
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
 Governo do Estado de São Paulo 
Governador 
Geraldo Alckmin 
Vice-Governador 
Márcio Luiz França Gomes 
Secretário da Educação 
Herman Voorwald 
Secretária-Adjunta 
Cleide Bauab Eid Bochixio 
Chefe de Gabinete 
Fernando Padula Novaes 
Subsecretária de Articulação Regional 
Raquel Volpato Serbino 
Coordenadora da Escola de Formação e 
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Irene Kazumi Miura 
Coordenadora de Gestão da 
Educação Básica
Ghisleine Trigo Silveira 
Coordenadora de Gestão de 
Recursos Humanos 
Cleide Bauab Eid Bochixio 
Coordenador de Informação, 
Monitoramento e Avaliação 
Educacional 
Olavo Nogueira Filho 
Coordenadora de Infraestrutura e 
Serviços Escolares 
Célia Regina Guidon Falótico
Coordenadora de Orçamento e 
Finanças 
Claudia Chiaroni Afuso 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 2 1/27/16 9:02 AM
 
Senhoras e senhores docentes,
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-
radores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que 
permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula 
de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com 
os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-
dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação 
— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste 
programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização 
dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações 
de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca 
por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso 
do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb. 
Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-
tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São 
Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades 
ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias, 
dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade 
da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas 
aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam 
a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-
ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a 
diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico. 
Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu 
trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar 
e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história. 
Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.
Bom trabalho!
Herman Voorwald
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 3 1/27/16 9:02 AM
 
Os materiais de apoio à implementação 
do Currículo do Estado de São Paulo 
são oferecidos a gestores, professores e alunos 
da rede estadual de ensino desde 2008, quando 
foram originalmente editados os Cadernos 
do Professor. Desde então, novos materiais 
foram publicados, entre os quais os Cadernos 
do Aluno, elaborados pela primeira vez 
em 2009.
Na nova edição 2014-2017, os Cadernos do 
Professor e do Aluno foram reestruturados para 
atender às sugestões e demandas dos professo-
res da rede estadual de ensino paulista, de modo 
a ampliar as conexões entre as orientações ofe-
recidas aos docentes e o conjunto de atividades 
propostas aos estudantes. Agora organizados 
em dois volumes semestrais para cada série/
ano do Ensino Fundamental – Anos Finais e 
série do Ensino Médio, esses materiais foram re-
vistos de modo a ampliar a autonomia docente 
no planejamento do trabalho com os conteúdos 
e habilidades propostos no Currículo Oficial 
de São Paulo e contribuir ainda mais com as 
ações em sala de aula, oferecendo novas orien-
tações para o desenvolvimento das Situações de 
Aprendizagem.
Para tanto, as diversas equipes curricula-
res da Coordenadoria de Gestão da Educação 
Básica (CGEB) da Secretaria da Educação do 
Estado de São Paulo reorganizaram os Cader-
nos do Professor, tendo em vista as seguintes 
finalidades:
 incorporar todas as atividades presentes 
nos Cadernos do Aluno, considerando 
também os textos e imagens, sempre que 
possível na mesma ordem;
 orientar possibilidades de extrapolação 
dos conteúdos oferecidos nos Cadernos do 
Aluno, inclusive com sugestão de novas ati-vidades;
 apresentar as respostas ou expectativas 
de aprendizagem para cada atividade pre-
sente nos Cadernos do Aluno – gabarito 
que, nas demais edições, esteve disponível 
somente na internet.
Esse processo de compatibilização buscou 
respeitar as características e especificidades de 
cada disciplina, a fim de preservar a identidade 
de cada área do saber e o movimento metodo-
lógico proposto. Assim, além de reproduzir as 
atividades conforme aparecem nos Cadernos 
do Aluno, algumas disciplinas optaram por des-
crever a atividade e apresentar orientações mais 
detalhadas para sua aplicação, como também in-
cluir o ícone ou o nome da seção no Caderno do 
Professor (uma estratégia editorial para facilitar 
a identificação da orientação de cada atividade). 
A incorporação das respostas também res-
peitou a natureza de cada disciplina. Por isso, 
elas podem tanto ser apresentadas diretamente 
após as atividades reproduzidas nos Cadernos 
do Professor quanto ao final dos Cadernos, no 
Gabarito. Quando incluídas junto das ativida-
des, elas aparecem destacadas.
Leitura e análise
Lição de casa
Pesquisa em grupo
Pesquisa de 
campo
Aprendendo a 
aprender
Roteiro de 
experimentação
Pesquisa individual
Apreciação
Você aprendeu?
O que penso 
sobre arte?
Ação expressiva
!
?
Situated learning
Homework
Learn to learn
Além dessas alterações, os Cadernos do 
Professor e do Aluno também foram anali-
sados pelas equipes curriculares da CGEB 
com o objetivo de atualizar dados, exemplos, 
situações e imagens em todas as disciplinas, 
possibilitando que os conteúdos do Currículo 
continuem a ser abordados de maneira próxi-
ma ao cotidiano dos alunos e às necessidades 
de aprendizagem colocadas pelo mundo con-
temporâneo.
Para saber mais
Para começo de 
conversa
A NovA edição
Seções e ícones
Os materiais de apoio à implementação 
do Currículo do Estado de São Paulo 
são oferecidos a gestores, professores e alunos 
da rede estadual de ensino desde 2008, quando 
foram originalmente editados os Cadernos 
do Professor. Desde então, novos materiais 
foram publicados, entre os quais os Cadernos 
do Aluno, elaborados pela primeira vez 
em 2009.
Na nova edição 2014-2017, os Cadernos do 
Professor e do Aluno foram reestruturados para 
atender às sugestões e demandas dos professo-
res da rede estadual de ensino paulista, de modo 
a ampliar as conexões entre as orientações ofe-
recidas aos docentes e o conjunto de atividades 
propostas aos estudantes. Agora organizados 
em dois volumes semestrais para cada série/
ano do Ensino Fundamental – Anos Finais e 
série do Ensino Médio, esses materiais foram re-
vistos de modo a ampliar a autonomia docente 
no planejamento do trabalho com os conteúdos 
e habilidades propostos no Currículo Oficial 
de São Paulo e contribuir ainda mais com as 
ações em sala de aula, oferecendo novas orien-
tações para o desenvolvimento das Situações de 
Aprendizagem.
Para tanto, as diversas equipes curricula-
res da Coordenadoria de Gestão da Educação 
Básica (CGEB) da Secretaria da Educação do 
Estado de São Paulo reorganizaram os Cader-
nos do Professor, tendo em vista as seguintes 
finalidades:
 incorporar todas as atividades presentes 
nos Cadernos do Aluno, considerando 
também os textos e imagens, sempre que 
possível na mesma ordem;
 orientar possibilidades de extrapolação 
dos conteúdos oferecidos nos Cadernos do 
Aluno, inclusive com sugestão de novas ati-
vidades;
 apresentar as respostas ou expectativas 
de aprendizagem para cada atividade pre-
sente nos Cadernos do Aluno – gabarito 
que, nas demais edições, esteve disponível 
somente na internet.
Esse processo de compatibilização buscou 
respeitar as características e especificidades de 
cada disciplina, a fim de preservar a identidade 
de cada área do saber e o movimento metodo-
lógico proposto. Assim, além de reproduzir as 
atividades conforme aparecem nos Cadernos 
do Aluno, algumas disciplinas optaram por des-
crever a atividade e apresentar orientações mais 
detalhadas para sua aplicação, como também in-
cluir o ícone ou o nome da seção no Caderno do 
Professor (uma estratégia editorial para facilitar 
a identificação da orientação de cada atividade). 
A incorporação das respostas também res-
peitou a natureza de cada disciplina. Por isso, 
elas podem tanto ser apresentadas diretamente 
após as atividades reproduzidas nos Cadernos 
do Professor quanto ao final dos Cadernos, no 
Gabarito. Quando incluídas junto das ativida-
des, elas aparecem destacadas.
Leitura e análise
Lição de casa
Pesquisa em grupo
Pesquisa de 
campo
Aprendendo a 
aprender
Roteiro de 
experimentação
Pesquisa individual
Apreciação
Você aprendeu?
O que penso 
sobre arte?
Ação expressiva
!
?
Situated learning
Homework
Learn to learn
Além dessas alterações, os Cadernos do 
Professor e do Aluno também foram anali-
sados pelas equipes curriculares da CGEB 
com o objetivo de atualizar dados, exemplos, 
situações e imagens em todas as disciplinas, 
possibilitando que os conteúdos do Currículo 
continuem a ser abordados de maneira próxi-
ma ao cotidiano dos alunos e às necessidades 
de aprendizagem colocadas pelo mundo con-
temporâneo.
Para saber mais
Para começo de 
conversa
A NovA edição
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MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 4 1/27/16 9:02 AM
 
Os materiais de apoio à implementação 
do Currículo do Estado de São Paulo 
são oferecidos a gestores, professores e alunos 
da rede estadual de ensino desde 2008, quando 
foram originalmente editados os Cadernos 
do Professor. Desde então, novos materiais 
foram publicados, entre os quais os Cadernos 
do Aluno, elaborados pela primeira vez 
em 2009.
Na nova edição 2014-2017, os Cadernos do 
Professor e do Aluno foram reestruturados para 
atender às sugestões e demandas dos professo-
res da rede estadual de ensino paulista, de modo 
a ampliar as conexões entre as orientações ofe-
recidas aos docentes e o conjunto de atividades 
propostas aos estudantes. Agora organizados 
em dois volumes semestrais para cada série/
ano do Ensino Fundamental – Anos Finais e 
série do Ensino Médio, esses materiais foram re-
vistos de modo a ampliar a autonomia docente 
no planejamento do trabalho com os conteúdos 
e habilidades propostos no Currículo Oficial 
de São Paulo e contribuir ainda mais com as 
ações em sala de aula, oferecendo novas orien-
tações para o desenvolvimento das Situações de 
Aprendizagem.
Para tanto, as diversas equipes curricula-
res da Coordenadoria de Gestão da Educação 
Básica (CGEB) da Secretaria da Educação do 
Estado de São Paulo reorganizaram os Cader-
nos do Professor, tendo em vista as seguintes 
finalidades:
 incorporar todas as atividades presentes 
nos Cadernos do Aluno, considerando 
também os textos e imagens, sempre que 
possível na mesma ordem;
 orientar possibilidades de extrapolação 
dos conteúdos oferecidos nos Cadernos do 
Aluno, inclusive com sugestão de novas ati-
vidades;
 apresentar as respostas ou expectativas 
de aprendizagem para cada atividade pre-
sente nos Cadernos do Aluno – gabarito 
que, nas demais edições, esteve disponível 
somente na internet.
Esse processo de compatibilização buscou 
respeitar as características e especificidades de 
cada disciplina, a fim de preservar a identidade 
de cada área do saber e o movimento metodo-
lógico proposto. Assim, além de reproduzir as 
atividades conforme aparecem nos Cadernos 
do Aluno, algumas disciplinas optaram por des-
crever a atividade e apresentar orientações mais 
detalhadas para sua aplicação, como também in-
cluir o ícone ou o nome da seção no Caderno do 
Professor (uma estratégia editorial para facilitar 
a identificação da orientação de cada atividade). 
A incorporação das respostas também res-
peitou a natureza de cada disciplina. Por isso, 
elas podem tanto ser apresentadas diretamente 
após asatividades reproduzidas nos Cadernos 
do Professor quanto ao final dos Cadernos, no 
Gabarito. Quando incluídas junto das ativida-
des, elas aparecem destacadas.
Leitura e análise
Lição de casa
Pesquisa em grupo
Pesquisa de 
campo
Aprendendo a 
aprender
Roteiro de 
experimentação
Pesquisa individual
Apreciação
Você aprendeu?
O que penso 
sobre arte?
Ação expressiva
!
?
Situated learning
Homework
Learn to learn
Além dessas alterações, os Cadernos do 
Professor e do Aluno também foram anali-
sados pelas equipes curriculares da CGEB 
com o objetivo de atualizar dados, exemplos, 
situações e imagens em todas as disciplinas, 
possibilitando que os conteúdos do Currículo 
continuem a ser abordados de maneira próxi-
ma ao cotidiano dos alunos e às necessidades 
de aprendizagem colocadas pelo mundo con-
temporâneo.
Para saber mais
Para começo de 
conversa
A NovA edição
Seções e ícones
Os materiais de apoio à implementação 
do Currículo do Estado de São Paulo 
são oferecidos a gestores, professores e alunos 
da rede estadual de ensino desde 2008, quando 
foram originalmente editados os Cadernos 
do Professor. Desde então, novos materiais 
foram publicados, entre os quais os Cadernos 
do Aluno, elaborados pela primeira vez 
em 2009.
Na nova edição 2014-2017, os Cadernos do 
Professor e do Aluno foram reestruturados para 
atender às sugestões e demandas dos professo-
res da rede estadual de ensino paulista, de modo 
a ampliar as conexões entre as orientações ofe-
recidas aos docentes e o conjunto de atividades 
propostas aos estudantes. Agora organizados 
em dois volumes semestrais para cada série/
ano do Ensino Fundamental – Anos Finais e 
série do Ensino Médio, esses materiais foram re-
vistos de modo a ampliar a autonomia docente 
no planejamento do trabalho com os conteúdos 
e habilidades propostos no Currículo Oficial 
de São Paulo e contribuir ainda mais com as 
ações em sala de aula, oferecendo novas orien-
tações para o desenvolvimento das Situações de 
Aprendizagem.
Para tanto, as diversas equipes curricula-
res da Coordenadoria de Gestão da Educação 
Básica (CGEB) da Secretaria da Educação do 
Estado de São Paulo reorganizaram os Cader-
nos do Professor, tendo em vista as seguintes 
finalidades:
 incorporar todas as atividades presentes 
nos Cadernos do Aluno, considerando 
também os textos e imagens, sempre que 
possível na mesma ordem;
 orientar possibilidades de extrapolação 
dos conteúdos oferecidos nos Cadernos do 
Aluno, inclusive com sugestão de novas ati-
vidades;
 apresentar as respostas ou expectativas 
de aprendizagem para cada atividade pre-
sente nos Cadernos do Aluno – gabarito 
que, nas demais edições, esteve disponível 
somente na internet.
Esse processo de compatibilização buscou 
respeitar as características e especificidades de 
cada disciplina, a fim de preservar a identidade 
de cada área do saber e o movimento metodo-
lógico proposto. Assim, além de reproduzir as 
atividades conforme aparecem nos Cadernos 
do Aluno, algumas disciplinas optaram por des-
crever a atividade e apresentar orientações mais 
detalhadas para sua aplicação, como também in-
cluir o ícone ou o nome da seção no Caderno do 
Professor (uma estratégia editorial para facilitar 
a identificação da orientação de cada atividade). 
A incorporação das respostas também res-
peitou a natureza de cada disciplina. Por isso, 
elas podem tanto ser apresentadas diretamente 
após as atividades reproduzidas nos Cadernos 
do Professor quanto ao final dos Cadernos, no 
Gabarito. Quando incluídas junto das ativida-
des, elas aparecem destacadas.
Leitura e análise
Lição de casa
Pesquisa em grupo
Pesquisa de 
campo
Aprendendo a 
aprender
Roteiro de 
experimentação
Pesquisa individual
Apreciação
Você aprendeu?
O que penso 
sobre arte?
Ação expressiva
!
?
Situated learning
Homework
Learn to learn
Além dessas alterações, os Cadernos do 
Professor e do Aluno também foram anali-
sados pelas equipes curriculares da CGEB 
com o objetivo de atualizar dados, exemplos, 
situações e imagens em todas as disciplinas, 
possibilitando que os conteúdos do Currículo 
continuem a ser abordados de maneira próxi-
ma ao cotidiano dos alunos e às necessidades 
de aprendizagem colocadas pelo mundo con-
temporâneo.
Para saber mais
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Seções e ícones
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 5 1/27/16 9:02 AM
 
SUMÁRIO
Orientação geral sobre os Cadernos 7
Situações de Aprendizagem 11
Situação de Aprendizagem 1 – Expandindo a linguagem das equações 11
Situação de Aprendizagem 2 – Coordenadas cartesianas e transformações no plano 24
Situação de Aprendizagem 3 – Sistemas de equações lineares 45
Situação de Aprendizagem 4 – Equações com soluções inteiras e suas aplicações 61
Situação de Aprendizagem 5 – Áreas de figuras planas 70
Situação de Aprendizagem 6 – Teorema de Tales: a proporcionalidade na Geometria 84
Situação de Aprendizagem 7 – O teorema de Pitágoras: padrões numéricos e geométricos 98
Situação de Aprendizagem 8 – Prismas 116
Orientações para Recuperação 121
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 123
Considerações finais 125
Quadro de conteúdos do Ensino Fundamental – Anos Finais 126
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 6 1/27/16 9:02 AM
7
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS
Os temas escolhidos para compor o con-
teúdo disciplinar de cada volume não se afas-
tam, de maneira geral, do que é usualmente 
ensinado nas escolas ou do que é apresentado 
pelos livros didáticos. As inovações pretendi-
das referem-se às suas formas de abordagem 
sugeridas ao longo deste Caderno. Em tal 
abordagem, busca-se evidenciar os princípios 
norteadores do presente currículo, destacan-
do-se a contextualização dos conteúdos, as 
competências pessoais envolvidas, especial-
mente as relacionadas com a leitura e a escrita 
matemática, bem como os elementos culturais 
internos e externos à Matemática.
Nos Cadernos, os conteúdos estão organiza-
dos em 16 unidades, com extensões aproximada-
mente iguais. De acordo com o número de aulas 
disponíveis por semana, o professor explorará 
cada assunto com maior ou menor aprofunda-
mento. A critério do professor, em cada situa-
ção específica o tema correspondente a uma das 
unidades pode ser estendido para mais de uma 
semana, enquanto o de outra unidade pode ser 
tratado de modo mais simplificado. É desejável 
que o professor tente contemplar todas as uni-
dades, uma vez que, juntas, elas compõem um 
panorama do conteúdo deste volume, e, muitas 
vezes, uma das unidades contribui para a com-
preensão das outras. Insistimos, no entanto, no 
fato de que somente o professor, em sua circuns-
tância particular, e levando em consideração seu 
interesse e o dos alunos pelos temas apresenta-
dos, pode determinar adequadamente quanto 
tempo dedicar a cada uma das unidades.
Ao longo do Caderno são apresentadas, 
além de uma visão panorâmica de seu conteú-
do, oito Situações de Aprendizagem, que pre-
tendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, 
instrumentalizando o professor para sua ação 
em sala de aula. As Situações de Aprendizagem 
são independentes e podem ser exploradas com 
maior ou menor intensidade, segundo seu inte-
resse e o de sua classe. Naturalmente, em razão 
das limitações de espaço do Caderno, nem todas 
as unidades foram contempladas com Situa-
ções de Aprendizagem, mas a expectativa é de 
que a forma de abordagem dos temas seja ex-
plicitada nas atividades oferecidas. 
No Caderno também são apresentados, 
sempre que possível, materiais disponíveis 
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) 
em sintonia com a forma de abordagem pro-
posta, que podem ser utilizados pelo profes-
sor para o enriquecimento de suasaulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas con-
siderações sobre a avaliação a ser realizada, 
bem como o conteúdo considerado indispen-
sável ao desenvolvimento das competências 
enunciadas no presente volume em cada Situa-
ção de Aprendizagem apresentada.
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8
 
Conteúdos básicos do volume
O planejamento deste volume tem como 
objetivo contemplar o estudo mais aprofunda-
do das equações de 1o grau, apresentar o pla-
no cartesiano como recurso para organizar e 
representar informação, apresentar a ideia de 
equação com mais de uma incógnita nos con-
textos do sistema de equações, as equações res-
tritas às soluções inteiras, além de também ter 
o foco na aprendizagem de Geometria, onde 
abordaremos temas importantes, como o cál-
culo de áreas, os teoremas de Tales e de Pitá-
goras, suas relações, e aplicações, e os prismas.
Na Situação de Aprendizagem 1, parti-
mos de uma discussão sobre a importância 
do trabalho com a leitura, interpretação de 
enunciados e transcrição das informações 
para a linguagem algébrica, discutindo algu-
mas estratégias para o desenvolvimento da 
competência leitora do aluno. Na sequên-
cia, sugerimos a continuidade do trabalho 
iniciado na série/ano anterior com equações 
de 1o grau por meio de estratégias para a re-
solução de problemas. Na situação propos-
ta, partimos de problemas que envolvem 
equacionamentos mais complexos do que os 
trabalhados na 6a série/7o ano, e sugerimos 
estratégias de organização de dados em tabe-
las, usando variações na posição da incógni-
ta como recurso para discussão de equações 
mais complexas. A situação é finalizada com 
a apresentação de uma proposta de trabalho 
com equações usualmente não trabalhadas 
na 7a série/8o ano, em um contexto de desen-
volvimento dos raciocínios lógico e criativo.
Na Situação de Aprendizagem 2, iniciamos 
a apresentação do recurso da representação de 
figuras por meio de coordenadas. A ideia de re-
presentação da informação em um plano com 
eixos orientados não é nova, ela já apareceu nas 
séries/anos anteriores, quando foram trabalha-
dos alguns temas relacionados aos gráficos no 
contexto do tratamento da informação; porém, 
agora, ela se desenvolverá na 7a série/8o ano 
com novas explorações, tais como a ideia de 
representação por meio de coordenadas, usada 
em mapas e guias de ruas, e as transformações 
no plano (translação, reflexão, ampliação e re-
dução). O trabalho com as transformações no 
plano também representa uma oportunidade de 
retomada das ideias de simetria axial trabalha-
das nas séries/anos anteriores. 
Com a Situação de Aprendizagem 3, inicia-
mos a discussão sobre o significado de equações 
com mais de uma incógnita e sobre as estraté-
gias para a resolução de sistemas de equações. 
O uso de mais de uma incógnita para organizar 
as informações de um problema mais comple-
xo é um recurso que deve ser compreendido, 
bem como devem ser entendidas as estratégias 
de resolução de sistemas de equações lineares 
em uma 7a série/8o ano. Além da discussão 
dos métodos da adição e da substituição, que 
será proposta por meio de uma retomada 
da ideia de balança desenvolvida na 6a série/ 
7o ano, dois outros importantes aspectos serão 
trabalhados nesta Situação de Aprendizagem: 
a representação de um sistema de equações 
no plano cartesiano e a análise e discussão 
de um sistema de equações lineares por meio 
de investigações sobre sua representação no 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 8 1/27/16 9:02 AM
9
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
plano. Certamente a estratégia proposta não 
tem a intenção de explorar a discussão de sis-
temas lineares com a profundidade que será 
feita mais adiante no Ensino Médio, mas sim 
de empregar as linguagens algébrica e gráfica 
como aliadas na análise e interpretação de um 
problema com equações lineares.
Na Situação de Aprendizagem 4, apresen-
tamos uma série de problemas que, uma vez 
equacionados, conduzem a uma única equação 
com mais de uma incógnita. Equações como 
essas, que em domínio real seriam classificadas 
como indeterminadas, podem ter um número 
finito de soluções inteiras e positivas. Problemas 
dessa natureza, ou seja, problemas em que esta-
mos interessados nas soluções inteiras positivas 
de uma equação com mais de uma incógnita 
são muito frequentes em situações do nosso dia 
a dia, e sua discussão, por meio da organização 
e análise dos dados em tabelas, trabalha com 
o desenvolvimento de várias habilidades mate-
máticas, como será descrito nesta Situação de 
Aprendizagem. Como se pode perceber, este 
Caderno apresenta inúmeras possibilidades 
de abordagem, porém, deve ficar a critério do 
professor a escolha daquelas que são mais ade-
quadas ao seu programa e das maneiras para 
explorá-las. Sabemos, evidentemente, que o vo-
lume apresenta uma quantidade grande de no-
vas informações para o aluno, o que demanda 
um tempo maior reservado para a reflexão e a 
sistematização. Contamos com a leitura cuida-
dosa das propostas aqui apresentadas, mas en-
tendemos como legítimo que o professor faça 
seus cortes e recortes de maneira a adequá-las 
às suas necessidades.
Na Situação de Aprendizagem 5, o trabalho 
com áreas de figuras planas é iniciado com o estu-
do sobre equivalência de polígonos, isto é, polígo-
nos que possuem a mesma área, embora sejam de 
formatos diferentes. Em seguida, propomos al-
guns procedimentos de estimativa com o auxílio 
de malhas. Para o cálculo da área de polígonos, 
exploramos a necessidade do uso e da demons-
tração de fórmulas, apoiando-nos na decomposi-
ção de figuras e no cálculo da área de retângulos, 
procedimento que consideramos conhecido pelos 
alunos. Na etapa seguinte, os exercícios propos-
tos como exemplos visaram explorar situações de 
análise de informações contidas no enunciado ou 
na figura para a aplicação de fórmulas. Vale res-
saltar que os cálculos de áreas de polígonos esta-
rão presentes em várias situações do volume, não 
se esgotando, portanto, nesse momento.
Na Situação de Aprendizagem 6, apresen-
tamos o teorema de Tales e suas aplicações 
em situações contextualizadas. Como ponto 
de partida, propomos algumas situações que 
exploram, de forma intuitiva, a propriedade 
que o teorema estabelece. A demonstração 
do teorema de Tales, além de dar continuida-
de aos processos de demonstração iniciados 
com as deduções das fórmulas das áreas dos 
polígonos, permite explorar uma habilidade 
frequentemente aplicada na Matemática: a 
capacidade de generalização e validação de 
fatos apoiados em situações intuitivas.
Na Situação de Aprendizagem 7, o teorema 
de Pitágoras é o foco da aprendizagem. Nela, 
apresentamos uma sequência de atividades que 
explora, em uma perspectiva histórica, a análi-
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 9 1/27/16 9:02 AM
10
 
se de fatos relacionados a padrões numéricos e 
geométricos que, por sua vez, tornam-se argu-
mentos na demonstração desse teorema. Esta 
Situação de Aprendizagem também apresenta 
um conjunto de exercícios exemplares que per-
mite a identificação e a aplicação do teorema de 
Pitágoras em situações contextualizadas. Vale 
ressaltar que, neste momento, privilegiamos 
os cálculos que envolvem raízes de quadrados 
perfeitos, uma vez que os números irracionais 
são objeto de estudo do volume 1 da 8a série/ 
9o ano. Caso o professor ache conveniente 
trabalhar com esses números no contexto do 
teorema de Pitágoras, pode apoiar-se em apro-
ximações ou mesmo no uso da calculadora.
Dando continuidade ao estudo iniciado 
na 6a série/7o ano, quando foram trabalhados 
Quadro geral de conteúdos do volume 2 da 7a série/8o ano do Ensino Fundamental 
Unidade 1 – Equações de 1o grau (problemas).
Unidade 2 – Equações e inequações de 1o grau (problemas).
Unidade 3 – Sistema de coordenadas cartesianas.Unidade 4 – Transformações geométricas no plano.
Unidade 5 – Sistemas de equações lineares (método da adição).
Unidade 6 – Sistemas de equações lineares (método da substituição).
Unidade 7 – Sistemas de equações lineares (interpretação gráfica).
Unidade 8 – Equações com soluções inteiras.
Unidade 9 – Apresentação do teorema de Tales.
Unidade 10 – Reconhecimento e aplicação do teorema de Tales em situações de contexto.
Unidade 11 – Apresentação do teorema de Pitágoras.
Unidade 12 – Reconhecimento e aplicação do teorema de Pitágoras em situações de contexto.
Unidade 13 – Apresentação do cálculo de áreas de figuras planas.
Unidade 14 – Áreas de figuras planas.
Unidade 15 – Prismas.
Unidade 16 – Problemas métricos envolvendo área e volume de prismas.
os poliedros e a relação de Euler, a Situação 
de Aprendizagem 8 trata dos prismas e dos 
cálculos métricos relacionados a eles, como a 
medida de diagonais, a área da superfície e o 
volume. O trabalho com os prismas também 
visa construir um padrão de formalização de 
conceitos relativos a objetos espaciais, que se-
rão explorados na 8a série/9o ano com os estu-
dos do cilindro. 
Mais uma vez, vale lembrar que as situa-
ções-problema propostas aqui têm por objeti-
vo auxiliar a prática educativa. São exercícios 
exemplares que devem ser combinados àque-
les que o professor acumulou em seus anos de 
docência. Fica a critério do professor a esco-
lha e a exploração mais detalhadas das Situa-
ções de Aprendizagem propostas.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 10 1/27/16 9:02 AM
11
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 
EXPANDINDO A LINGUAGEM DAS EQUAÇÕES 
Conteúdos e temas: equações de 1o grau; equações variadas (resolução por métodos 
não algorítmicos); inequações.
Competências e habilidades: leitura e interpretação de enunciados; transposição entre as lin-
guagens escrita e algébrica; raciocínio lógico dedutivo.
Sugestão de estratégias: equacionar e resolver problemas de maneiras diferentes confron-
tando resultados e identificando equivalências; utilizar a heurística como método de inves-
tigação da solução de equações; estudar desigualdades por meio da resolução de problemas 
contextualizados. 
Nesta Situação de Aprendizagem, discu-
tiremos aspectos relacionados com a leitura, 
interpretação de enunciados e transcrição 
das informações para a linguagem algébrica. 
O trabalho prossegue com a resolução de pro-
blemas envolvendo equações de 1o grau, utili-
zando o recurso de organização das informações 
em tabelas.
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 1
O estudo da Álgebra no Ensino Funda-
mental inicia-se de forma organizada e inten-
cional na 6a série/7o ano, com o uso de letras 
na representação de problemas que envolvem 
regularidades, padrões e relação entre gran-
dezas. Ainda na 6a série/7o ano, o aluno deve 
tomar contato e reconhecer as equações sim-
ples como um importante recurso para orga-
nizar e representar informações. Assim, parte 
significativa do empenho do professor como o 
parceiro mais experiente do aluno deve consis-
tir em selecionar adequadamente problemas 
que permitam a maior abrangência de situa-
ções passíveis de transposição da linguagem 
materna para a linguagem da álgebra. Outro 
objetivo que também deve ser atingido na 
6a série/7o ano é o da sistematização de métodos 
de resolução de equações simples de 1o grau. 
De acordo com esta proposta de planeja-
mento, o volume 2 da 7a série/8o ano será dedi-
cado à sequência do estudo da Álgebra, sendo, 
portanto, indispensável que o professor avalie, 
no início do curso, em que estágio encontra-se 
o conhecimento dos alunos no que diz respeito 
à transposição de problemas da língua escrita 
para a Álgebra (e vice-versa) e ao tipo de equa-
ção que o aluno consegue resolver por um mé-
todo que não seja apenas o de tentativa e erro. 
Feita essa avaliação, a sequência de trabalho do 
volume poderá ser planejada, tendo como obje-
tivo a ampliação do repertório de situações de 
SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 11 1/27/16 9:02 AM
12
 
transposição entre linguagens e a ampliação 
de estratégias de resolução de equações mais 
complexas (ainda com o foco voltado às equa-
ções de 1o grau). Nesta Situação de Aprendiza-
gem, apresentaremos algumas possibilidades 
de trabalho nessa direção.
A leitura atenta de um problema é o pri-
meiro passo no caminho da transposição para 
a linguagem algébrica, mas estudos indicam 
que apenas a boa leitura não é garantia para 
a transposição correta. Veja, por exemplo, a 
seguinte situação-problema apresentada a es-
tudantes universitários e os seus resultados: 
usando as variáveis A para número de alunos 
e P para o de professores, escreva uma equa-
ção para representar a afirmação “há seis vezes 
mais alunos do que professores nesta universi-
dade”. A resposta correta não é 6A = P, apesar 
de boa parte dos estudantes ter assinalado essa 
alternativa. Se essa fosse a resposta, para um 
total de 10 alunos teríamos 60 professores, exa-
tamente o contrário do que afirma o enuncia-
do. O correto seria A = 6P.
Aproveitando esse exemplo, uma estraté-
gia importante que merece ser discutida pelo 
professor com seus alunos é a da verificação. 
Note que, após a transposição entre as lin-
guagens, que conduziu equivocadamente à 
expressão 6A = P, caso o aluno confrontasse 
seu resultado com um exemplo numérico, é 
possível que tivesse identificado seu erro. Bas-
taria, nesse caso, atribuir um valor qualquer 
para A, como 10, obtendo em seguida 60, o 
que indicaria que, para cada aluno, teríamos 
6 professores. Confrontando esse resultado 
com as informações do texto, fica evidente 
que a correção a ser feita é a da troca entre A 
e P na expressão errada, resul tando correta-
mente na expressão A = 6P (nesse caso, para 
1 professor temos 6 alunos; para 2 professo-
res temos 12 alunos; para 3 professores temos 
18 alunos; e assim sucessivamente).
Veremos a seguir alguns exemplos que 
podem ser utilizados para o mesmo tipo de 
trabalho.
1. Escreva uma sentença ma-
temática que represente a se-
guinte frase: 
“X reais a menos que Y reais é igual a 
40 reais.”
É possível que boa parte dos estudantes responda X – Y = 40, 
quando o correto seria Y – X = 40. Um exemplo numérico 
pode ajudá-los a esclarecer a questão: “Dez reais a menos 
que 50 reais é igual a 40 reais” (50 – 10 = 40). 
2. Se X operários constroem um muro em 
Y horas, quantas horas serão necessárias 
para que o triplo do número de operários 
construa o mesmo muro? (Admita operá-
rios com mesmo rendimento.)
A resposta correta não é 3Y, porque o problema em questão 
envolve grandezas “inversamente proporcionais”, ou seja, 
quanto maior o número X de operários, menor o número 
Y de horas necessárias para levantar o muro (o dobro de X 
implica a metade de Y, o triplo de X implica a terça parte de 
Y, e assim por diante). A resposta correta é 
Y
3
 . Veja como 
um exemplo numérico seria útil na identificação do erro da 
expressão 3Y:
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 12 1/27/16 9:02 AM
13
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
Se X = 1 operário e Y = 6 horas, X = 3 operários construiriam 
o muro mais rapidamente, na terça parte do tempo, ou seja, 
em 2 horas. Nesse caso, evidencia-se que a resposta 3Y, que 
resultaria em 3 ⋅ 6 = 18 horas, está errada.
Outro aspecto que pode ser trabalhado na 
verificação das estratégias de transposição de 
problemas para a linguagem algébrica é o uso 
adequado da notação, como veremos na ativi-
dade a seguir.
3. Escreva uma expressão, com as letras indica-
das na figura, para a área do retângulo.
a
b c
Alguns alunos podem escrever que a área é igual a “a ⋅ b + c”, 
quando o correto seria “a ⋅ (b + c)”. Nesse caso específico, a 
verificação com números pode conduzir a dois tipos de si-
tuação, como veremos usando osvalores numéricos a = 3, 
b = 4 e c = 2:
Situação 1: o aluno arma a conta 3 ⋅ 4 + 2 e conclui que o 
resultado é 18. Nesse caso, ele obteve o resultado esperado 
para o problema, mas a partir de uma expressão escrita de 
forma errada para sua resolução (pela expressão formulada, 
o resultado seria 14). Duas hipóteses podem ser levantadas 
nessa situação: ele escreveu a expressão com letras, mas não 
a utilizou quando foi fazer a verificação com números (fez a 
verificação apenas interpretando a figura), ou ele escreveu a 
expressão e, ao substituir os números, não associou a ideia de 
que, em uma expressão com multiplicações e somas, faze-
mos primeiro as multiplicações.
Situação 2: o aluno escreve a conta 3 ⋅ 4 + 2, lembra-se da or-
dem das operações (primeiro a multiplicação e depois a adi-
ção) e conclui que o resultado é 14. Nesse caso, seu cálculo 
está correto para a expressão, mas não é a solução do pro-
blema, porque partiu de uma expressão errada.
A primeira situação evidencia a necessidade de o professor 
retomar com os alunos a ordem das operações, e a segunda 
sugere que o professor explore mais a ideia de verificação 
que, no caso desse problema, implicaria confrontar o resul-
tado 14 com o cálculo por substituição direta de valores na 
figura, como se vê a seguir:
3
4
6
Área = 3 ⋅ 6 = 18 ≠ 14
2
Uma atividade importante que também 
deve ser praticada é a da passagem da lingua-
gem algébrica para um problema concreto e 
escrito na nossa língua. As estratégias de ve-
rificação também devem ser usadas nesse tipo 
de problema.
4. Escreva por extenso uma sentença que for-
neça a mesma informação que a expressão 
X = 5Y fornece.
Uma resposta tipicamente errada seria:
“X = número de figurinhas de João e Y = número de figuri-
nhas de Paulo. Logo, Paulo tem o quíntuplo do número de 
figurinhas de João.”
Nesse caso, partindo do enunciado criado pelo aluno, se 
João tem 3 figurinhas, Paulo terá 15, que é o quíntuplo de 3, 
ou seja, se X = 3, Y tem que ser igual a 15, o que se verifica 
pela expressão X = 5Y indicada no enunciado do problema. 
Para corrigir a resposta do aluno, bastaria trocar Paulo e João 
na frase que relaciona seus números de figurinhas.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 13 1/27/16 9:02 AM
14
 
Com relação aos procedimentos de resolu-
ção de equações, esta proposta de planejamen-
to sugere que na 6a série/7o ano o aluno já tenha 
tido contato com os métodos de resolução por 
operação inversa (“desfazer operações”) e 
por equações equivalentes (método da “ba-
lança”), e que na 7a série/8o ano ele consiga 
resolver equações mais complexas usando 
quaisquer desses métodos. É claro que, com 
orientação do professor, a prática dos alunos 
na resolução de equações será encaminhada 
para um procedimento que incorpore ideias 
de ambos os métodos, porém é importan-
te que o professor compreenda que frases 
como “muda de lado e troca o sinal” devem 
ser evitadas, porque, além de sugerirem uma 
ideia errada, induzem a uma série de equívocos, 
por exemplo, o de resolver a equação 2x = 5 
como x = 5 − 2 ⇒ x = 3, ou a equação x + ×+ =
x
2
3 
como x + x = 6 ⇒ x = 3. Nos dois casos, a 
melhor conduta do professor seria explicitar 
a operação que está sendo feita:
2x = 5 ⇒ dividindo ambos os membros por 2, 
teremos x = 5
2
.
x + x
x
+ = →
2
3 = 3 ⇒ multiplicando ambos os mem-
bros por 2, teremos 2x + x = 6, ou seja, 
3x = 6. Por fim, dividindo ambos os mem-
bros por 3, teremos x = 2.
Na 6a série/7o ano, a expectativa é de que o 
aluno consiga resolver problemas que possam 
ser traduzidos por equações simples de 1o grau, 
por exemplo: 
= =– , – –
2
3
1
4
2
x
x +
3
2
3 4 2 6
2
3 5 3 2 1
1
2
x x
x
x x x– , – ,= + + = −( )
= =– , – –
2
3
1
4
2
x
x +
3
2
3 4 2 6
2
3 5 3 2 1
1
2
x x
x
x x x– , – ,= + + = −( )
= =– , – –
2
3
1
4
2
x
x +
3
2
3 4 2 6
2
3 5 3 2 1
1
2
x x
x
x x x– , – ,= + + = −( )
= =– , – –
2
3
1
4
2
x
x +
3
2
3 4 2 6
2
3 5 3 2 1
1
2
x x
x
x x x– , – ,= + + = −( )
Citamos, a seguir, alguns exemplos de 
equações de 1o grau mais complexas, que nos 
parecem mais apropriadas de ser trabalhadas 
na 7a série/8o ano:
x
3
+ 2
5
2
= x
4
, x + 1
x – 4
=
2 – 3x
x – 4
x
3
+ 2
5
2
= x
4
, x + 1
x – 4
=
2 – 3x
x – 4
 (com x ≠ 4)
3
5
3
2
– 3x
4
= 3x – 1
2
,
2(–2x + 3)
7
– 3 = x
2
+ 2x( )
 3
5
3
2
– 3x
4
= 3x – 1
2
,
2(–2x + 3)
7
– 3 = x
2
+ 2x( )
O estudo de equações de 1o grau constitui 
um tema muito rico para o trabalho com reso-
lução de problemas. O aluno deve reconhecer 
nesse estudo que as equações constituem uma 
ferramenta importante para a representação e 
resolução de problemas cujo encaminhamento 
por meio de recursos aritméticos seria muito 
complicado. Nesse sentido, o professor deve in-
centivar que os alunos busquem inicialmente so-
lucionar os problemas por meio da Aritmética 
e que, constatada a dificuldade, saibam uti-
lizar de maneira apropriada o recurso algé-
brico das equações para encontrar a resposta 
procurada. A seguir, veremos alguns exemplos 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 14 1/27/16 9:02 AM
15
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
de problemas que cumprem essa função. Inú-
meros outros exemplos podem ser criados ou 
encontrados nos livros didáticos.
5. Ao repartir uma conta de R$ 78,00 no res-
taurante AL GEBRÁ, três amigos estabele-
ceram que:
 f Rui pagaria 3
4
 do que Gustavo pagou;
 f Cláudia pagaria R$ 10,00 a menos que a 
terça parte do que Gustavo pagou.
 Que valor da conta coube a cada um dos 
três amigos?
Em primeiro lugar, é importante que o professor oriente uma 
estratégia de organização das informações, que pode ser feita 
por meio de uma tabela. Na montagem dessa tabela, chama-
remos de x a quantia paga por um dos três amigos e, sempre 
que possível, o professor deve pedir que os alunos montem 
outras tabelas chamando de x a quantia paga por outra pessoa. 
Essa atividade de mudar o significado da incógnita é útil para 
o trabalho com a ideia de operação inversa e para a discus-
são de que, apesar de encontrarmos valores diferentes para 
x dependendo de onde ele estiver na tabela, a resposta final 
do problema sempre será a mesma, seja qual for a escolha de 
posição para x.
Tabela 1
Rui
3x
4
3x
4
 + x + 
x
3
 – 10 = 78
x = 42,24
Rui: R$ 31,68
Gustavo: R$ 42,24
Cláudia: R$ 4,08
Gustavo x
Cláudia
x
3
–10
Tabela 2
Rui
9(x + 10)
4
9(x + 10)
4
 + 3(x + 10) + x = 78
x = 4,08
Rui: R$ 31,68
Gustavo: R$ 42,24
Cláudia: R$ 4,08
Gustavo 3(x + 10)
Cláudia x
Tabela 3
Rui x x + 
4x
3
 + 
4x
9
 – 10 = 78
x = 31,68
Rui: R$ 31,68
Gustavo: R$ 42,24
Cláudia: R$ 4,08
Gustavo
4x
3
Cláudia
4x
9
 – 10
O equacionamento mais natural é o da Tabela 1, que, por 
sua vez, recai em uma equação de resolução supostamente 
já conhecida de um aluno de 7a série/8o ano. Partindo da 
Tabela 1 e do equacionamento obtido, o aluno terá encon-
trado como resultado para Rui, Gustavo e Cláudia, respecti-
vamente, os valores de R$ 31,68, R$ 42,24 e R$ 4,08. Espera-
-se, portanto, que equacionamentos com a colocação de x 
como o valor da conta a ser paga por outra pessoa que não 
Gustavo produzam os mesmos resultados finais para cada 
uma das três pessoas. De posse dessa conclusão, e tendo 
montado as Tabelas 2 e 3, o aluno poderá investigar estra-
tégias de resolução das equações decorrentes dessas duas 
tabelas, em particular nos interessando as estratégias de re-
solução da equação decorrentes da Tabela 2, que é mais 
difícil do que as outras. No caso da equação da Tabela 2, 
o aluno sabe que seu resultado final tem que ser x = 4,08 e, 
a partir dessa informação, deverá descobrir eventuais erros 
no seu processo de resolução da equação, se ele não tiver 
conduzido a esse valor. O erro mais frequente, e que mere-
ce um comentário do professor, é:
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16
 
Aomultiplicar por 4 os dois membros, o aluno escreve a 
equação:
9(x + 10) + 12(4x + 40) + 4x = 312, quando o correto seria 
9(x + 10) + 12(x + 10) + 4x = 312 ou 9(x + 10) + 3(4x + 40) + 4x = 312.
Uma boa estratégia que pode ser sistematizada ao final dessa 
discussão para evitar erros como o mencionado é:
1. Aplicamos a propriedade distributiva eliminando parênteses.
2. Frações com o numerador escrito como soma ou subtra-
ção devem ser transformadas em frações com numerador 
simples (apenas um número ou uma letra, ou um número 
multiplicando uma letra).
3. Multiplicamos os dois membros (termo a termo) pelos de-
nominadores das frações ou, de forma mais direta, pelo MDC 
dos denominadores.
Nesse caso, a resolução corresponderia às seguintes etapas:
I) 
9(x + 10)
4
 + 3(x + 10) + x = 78
II) 
9(x + 90)
4
 + 3x + 30 + x = 78
III) 
9x
4
 + 
90
4
 + 3x + 30 + x = 78
IV) 9x + 90 + 12x + 120 + 4x = 312
 25x = 102 ⇒ x = 4,08
Desafio!
6. Se de 220 subtrairmos a idade de uma pessoa, obtemos uma aproximação da frequên-
cia cardíaca máxima por minuto que ela tolera em atividade física intensa. Sabe-se que 
a frequência cardíaca máxima de Renê é 
24
23
 da de Bernardo. Se a frequência cardíaca 
máxima de Renê é igual a 
16
3
 da idade de Bernardo, determine a idade e a frequên cia 
cardíaca máxima dos dois amigos.
Adotando o mesmo tipo de procedimento usado na resolução do problema anterior, equacionaremos esse problema utili-
zando tabelas.
Tabela 1
Idade
Frequência 
cardíaca máxima
24(220 – x)
23 
=
 
16x
3
x = 36
Renê: 28 anos e FCmáx = 192
Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184
Renê 220 – 
24(220 – x)
23
24(220 – x)
23
Bernardo x 220 − x
Tabela 2
Idade
Frequência 
cardíaca máxima 220 – x = 
16
3
 220 – 
23(220 – x)
24
x = 28
Renê: 28 anos e FCmáx = 192
Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184
Renê x 220 − x
Bernardo 220 – 
23(220 – x)
24
23(220 – x)
24
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 16 1/27/16 9:02 AM
17
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
Tabela 3
Idade
Frequência 
cardíaca máxima
24x
23
 = 
16
3
 (220 – x)
x = 184
Renê: 28 anos e FCmáx = 192
Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184
Renê 220 – 
24x
23
24x
23
Bernardo 220 − x x
Tabela 4
Idade
Frequência 
cardíaca máxima x = 
16
3
 220 – 
23x
24
x = 192
Renê: 28 anos e FCmáx = 192
Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184
Renê 220 − x x
Bernardo 220 – 
23x
4
23x
4
Para a montagem das tabelas, é importante que o aluno compreenda inicialmente a seguinte informação do enunciado: 
FCmáx = 220 – I, onde FCmáx é a frequência cardíaca máxima do indivíduo de idade I. Para compreender essa relação, alguns exemplos 
podem ser úteis.
Um indivíduo de 20 anos tem frequência cardíaca máxima 200 porque 220 – 20 = 200. Do mesmo modo, um indivíduo com fre-
quência cardíaca máxima igual a 200 tem 20 anos de idade, porque 220 – 200 = 20. Um indivíduo de 30 anos tem frequência cardíaca 
máxima 190, porque 220 – 190 = 30. Da mesma maneira, um indivíduo com frequência cardíaca máxima igual a 190 tem 30 anos 
de idade, porque 220 – 190 = 30. Segue que um indivíduo de idade I tem FC máxima igual a 220 – I, e um indivíduo de frequência 
cardíaca máxima FCmáx tem idade I igual a 220 – FCmáx.
Na Tabela 3, colocamos x na frequência cardíaca máxima de Bernardo, o que implica dizer que sua idade será 220 − x. Como a fre-
quência cardíaca máxima de Renê é 24
23
da de Bernardo, então a FCmáx de Renê será 
24x
23
. A partir da FCmáx de Renê, concluímos 
que sua idade tem que ser 220 – 24x
23
. Note que o caminho feito para a organização dos dados na Tabela 3 foi:
x
Para as Tabelas 1, 2 e 4 os caminhos foram:
x
Tabela 4
x
Tabela 1
x
Tabela 2
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18
 
a Segundo o Dicionário Houaiss da língua portuguesa, heurística: arte de inventar, de fazer descobertas; ciência 
que tem por objeto a descoberta de fatos. 
Tendo em vista a resolução das equações decorrentes de cada uma das tabelas, é importante, mais uma vez, destacar que o aluno 
deverá compreender que o valor de x obtido em cada uma delas é diferente porque diz respeito a uma informação diferente 
da tabela, porém, as respostas finais sobre as idades e frequências cardíacas máximas de Renê e Bernardo devem ser iguais nas 
quatro tabelas, o que pode ser utilizado como recurso para corrigir eventuais erros no procedimento de resolução das equações.
7. Escreva uma expressão com le-
tras que represente corretamente 
cada um dos enunciados:
a) João tem o triplo da idade de Maria, que, 
por sua vez, tem a metade da idade de Ana.
Chamando a idade de Ana de A, temos: idade de João = 
= 
(3 ⋅ A)
2
 e idade de Maria = 
A
2
 .
b) O galinheiro de Cláudio tem 20 galinhas 
a mais do que o de Paula.
Chamando de C e P o total de galinhas do galinheiro de 
Cláudio e Paula, teremos C = P + 20.
c) X laranjas, em quantidade menor que 
uma dúzia, são Y laranjas.
Y = 12 – X, ou, de forma equivalente, X = 12 – Y.
8. Escreva uma situação real que poderia ser 
descrita pelas expressões:
a) Y = X + 2
Luiz tem 2 anos a mais que Pedro, sendo Y a idade de Luiz e 
X, a de Pedro.
b) 2 · X + 3 · Y = 50
Lúcia gastou R$ 50,00 na compra de X mercadorias de R$ 2,00 
e Y mercadorias de R$ 3,00.
c) X = 
2 · Y
3 
 + 4
Érica tem 4 anos a mais do que dois terços da idade de sua 
prima Tarsila, sendo X a idade de Érica e Y, a de Tarsila.
9. Léo, Mário e Norberto vão repartir 60 figuri-
nhas. Eles decidiram que Léo receberá 5 figu-
rinhas a mais do que Norberto e que Mário 
ficará com 3
4
 do total de figurinhas que Nor-
berto vai receber. Calcule quantas figurinhas 
cada um dos três amigos deve receber.
Léo, Mário e Norberto receberão 25, 15 e 20 figurinhas, res-
pectivamente.
Um curso de equações necessariamente 
tem que dar atenção à técnica de resolução, 
mas não deve dar ênfase maior a ela do que 
ao uso do raciocínio lógico. Não é razoável 
que se faça uso de técnicas em problemas de 
equações nos quais a solução pode ser obtida 
diretamente pelo uso da heurísticaa, como co-
mentaremos a seguir.
O ambiente de estudo das equações é extre-
mamente adequado ao exercício da heurística, 
já que muitas vezes uma equação pode ser re-
solvida por estratégias diferentes das que nor-
malmente faríamos com o uso das técnicas. 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 18 1/27/16 9:02 AM
19
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
O exercício de resolver equações por caminhos 
mais inventivos do que o da técnica é funda-
mental para o desenvolvimento do pensamento 
matemático e, portanto, deve sempre ser incen-
tivado. A seguir, apresentamos uma atividade 
em que o aluno tem que resolver uma série de 
equações, mas, na maioria dos casos, as técni-
cas conhecidas por ele não são suficientes para 
resolver os problemas, o que deve motivar a 
busca de soluções inventivas. O professor deve 
observar que na lista incluímos equações de 
2o grau, de 3o grau, com frações algébricas, ex-
ponenciais, equações com radicais, equações 
com mais de uma solução, equações sem solu-
ção e até equações com infinitas soluções, sendo 
que todas podem ser resolvidas por um aluno de 
7a série/8o ano sem o uso da técnica.
10. As técnicas estudadas para 
resolver equações são impor-
tantes porque organizam al-
guns procedimentos algébricos, mas nunca 
devemos perder de vista a heurística. Todas 
as equações a seguir podem ser resolvidas 
sem o uso das técnicas algébricas. Descu-
bra a solução de cada uma usando o méto-
do heurístico e registre com palavras o seu 
raciocínio. Lembre-se de que uma equação 
pode não ter solução, pode ter apenas uma 
solução, pode ter mais de uma solução ou 
até mesmo infinitas soluções.
a) 3x + 1 = 82
b) 
1
x + 1
 = – 
1
5
c) x2 = 25
d) x2 + 2 = 51
e) (x + 1)2 = 9
f) x2 = –16
g) 2x2 = 2
9
8
2x =
h) 2x + 1 = 16
i) 52 – x = 25
j) (x + 5) ⋅ (x – 3) = 0
k) x(x + 1) ⋅ (x + 2) ⋅ (x + 3) = 0
l) x + 1 =x + 2
m) 
5
x + 1
 = 0
n) 
x + 2
3x
 = 1
o) 
2x – 1
x + 4
 = 1
p) (2x)3 = 64
q) (2x + 1) ⋅ (3x + 3) = 0
r) x + =3 25= 25
s) 81
3
1x = = 1
t) 1 = 1
29
2 3
=
x –
u) 3 5 152 6x x+ = –= –15
v) 
2 1
41
13
41
x –
–= = 
2 1
41
13
41
x –
–=
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 19 1/27/16 9:02 AM
20
 
w) x3 = – 8
x) 1
5
0
x
 = = 0
y) 0 ⋅ x = 0
a) Basta investigar as potências de 3 até encontrar alguma 
cuja soma com 1 resulte 82. A resposta é x = 4, porque 34 = 81.
b) O denominador da fração do primeiro membro tem que 
ser igual a –5 para que a igualdade seja verdadeira com o 
segundo membro. Para que x + 1 seja igual a –5, x tem que 
ser igual a –6.
c) Os números que elevados ao quadrado resultam 25 são 5 
e –5. É provável que os alunos encontrem apenas a resposta 
positiva e que se surpreendam com o fato de encontrarmos 
duas soluções para uma equação.
d) Tirando 2 de 51 resulta 49, o que implica dizer que procu-
ramos um número cujo quadrado seja 49. Resposta: 7 e –7.
e) –3 e 3 são os números cujo quadrado é 9, mas, como esta-
mos elevando x + 1 ao quadrado, procuramos x + 1 = –3 e x + 
+ 1 = 3, ou seja, x = –4 ou x = 2.
f) Não existe número real cujo quadrado seja negativo, por-
tanto, a equação não possui solução em IR.
g) A metade de 
9
8
 é 
9
16
. Então, procuramos um número 
que, elevado ao quadrado, resulte 
9
16
. Resposta: 
3
4
 e – 
3
4
.
h) Como 24 = 16, procuramos um número que somado a 1 
resulte em 4, que é o número 3.
i) Análogo ao anterior, o x procurado é 0.
j) Se o produto de dois números é zero, neces sa ria mente um 
deles é zero (ou ambos são 0). Segue, portanto, que x é igual 
a –5 ou 3.
k) Análogo ao anterior, x pode ser 0, –1, –2 ou –3.
l) Não há valor de x que torne a igualdade verdadeira, por-
tanto, essa é uma equação “sem solução” (a solução é um 
conjunto vazio).
m) Como fração indica uma divisão, jamais poderemos 
ter uma fração de numerador diferente de zero que 
seja igual a zero. Portanto, essa é outra equação de so-
lução vazia.
n) Se uma fração é igual a 1, necessariamente seu nu-
merador é igual ao seu denominador, o que implica 
dizer que estamos procurando o x que resolva a equa-
ção x + 2 = 3x. Resposta: x = 1.
o) Análogo ao anterior. Resposta: x = 5.
p) Inicialmente, procuramos um número que, elevado ao 
cubo, resulte 64, que é o número 4. Em seguida, a pergunta 
passa a ser: qual é o expoente de uma potência de 2 para que 
o resultado seja 4? Resposta: 2. Esse exercício pode ser usado 
para discutir ou recordar a propriedade (am)n = a m ⋅ n.
q) Análogo ao raciocínio dos exercícios j e k. Resposta: – 
1
2
 
ou –1.
r) O quadrado de 25 é 625. Então, procuramos um número 
que, somado a 3, resulte 625. Esse número é 622.
s) 3x tem que ser igual a 81 para que a fração do lado esquer-
do seja equivalente a 1. O expoente que faz 3x ser igual a 81 é 
4, que é a resposta da equação.
t) Análogo ao anterior. Resposta: x = 5.
u) Seja qual for o valor de x, sabemos que x 2 e x 6 serão 
números não negativos, portanto, a equação não possui 
solução (em IR).
v) Uma vez que os dois membros representam equações de 
denominador 41, temos que ter 2x – 1 = –13, ou seja, x = – 6.
w) –2 é um número que, elevado ao cubo, resulta –8 (nes-
se exercício, o professor pode comentar com os alunos que 
em um conjunto numérico, o qual será estudado no futuro, a 
equação do problema terá outras duas soluções além do –2).
x) De modo análogo aos exercícios m e u, o problema não 
tem solução (o professor deve aproveitar esse exercício para 
discutir que x = 0 não é uma solução do problema).
y) Qualquer valor para x resolve a equação, portanto, é uma 
equação com infinitas soluções.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 20 1/27/16 9:02 AM
21
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
Professor, dependendo do interesse da tur-
ma, os seguintes comentários podem ser feitos 
ao longo da correção dessa atividade:
 f As equações a, h, i, p, s, t e x recebem o nome 
de equações exponenciais. Você consegue 
imaginar o porquê desse nome? 
Porque a incógnita se encontra em um expoente.
 f Na 1a série do Ensino Médio, você vai 
aprender técnicas para resolver equações 
exponenciais.
 f As equações b, m, n e o recebem o nome 
de equações com frações algébricas. Você 
consegue imaginar o porquê desse nome? 
Porque são equações que envolvem frações escritas com in-
cógnitas no denominador.
 f Na 7a série/8o ano e na 8a série/9o ano, você 
vai aprender técnicas para resolver equa-
ções com frações algébricas.
 f As equações c, d, e, f, g, j, k, l, q, u, v, w e 
y recebem o nome de equações algébricas 
(ou equações polinomiais). O grau de uma 
equação algébrica varia de acordo com o 
maior expoente que a incógnita assume 
quando a equação está escrita na forma 
mais simples possível. As estratégias de re-
solução das equações algébricas de 1o grau 
você começou a ver na 6a série/7o ano, e 
continua aprendendo na 7a série/8o ano. 
Na 8a série/9o ano, você aprenderá técni-
cas para resolução de equações algébricas 
de 2o grau. Na 3a série do Ensino Médio, 
você vai estudar técnicas para resolver al-
gumas equações algébricas de grau maior 
ou igual a 3.
 f A equação r chama-se equação irracional 
(equação que possui a incógnita no radicando).
 f Para sua surpresa, algumas equações para 
as quais você não encontrou solução têm 
uma ou mais respostas, mas, para encontrá-
-la(s), você terá que expandir seus conhe-
cimentos sobre conjuntos numéricos. Por 
exemplo, as equações f e u têm soluções no 
conjunto numérico dos números complexos. 
A equação w, para a qual você só encon-
trou uma solução, possui mais duas solu-
ções no conjunto dos números complexos. 
Mas fique atento, pois existem equações 
que não possuem solução, seja qual for o 
conjunto numérico assumido; ou seja, sua 
solução sempre será o conjunto vazio. São 
exemplos de equações com solução conjun-
to vazio: l, m e x.
 f Existem muitos outros tipos de equação que 
exploram contextos matemáticos que você 
ainda não conhece, então, seja bem-vindo 
ao maravilhoso mundo das equações que 
você só está começando a aprender (refe-
rimo-nos, nesse caso, às equações trigono-
métricas, matriciais e logarítmicas). 
A investigação das equações, que são sen-
tenças matemáticas em que aparecem o sinal de 
igualdade (=) e uma ou mais incógnitas, estabe-
lece quase de forma natural uma porta de en-
trada para o estudo das sentenças matemáticas 
com uma ou mais incógnitas, nas quais aparece 
um sinal de desigualdade (>, <, ≅ ou ≈).
Dois aspectos devem ser destacados na in-
trodução ao estudo das inequações. Em pri-
meiro lugar, é importante que o professor evite 
a formulação de regras como “multiplica por 
negativo e troca o sinal da desigualdade” sem 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 21 1/27/16 9:02 AM
22
 
que antes tenha sido trabalhada com segu-
rança uma compreensão significativa de tal 
“regra prática”. Em segundo lugar, deve-se 
procurar, na medida do possível, problema-
tizar o uso das inequações em situações con-
cretas de resolução de problemas. A seguir, 
apresentamos alguns problemas que contem-
plam esse objetivo. 
11. A figura indica uma folha de latão que será 
usada na montagem de uma peça (as medi-
das estão em metros).
2x
 +
 4
x + 10
2x + 4
x
x
x
x
a) Determine todos os valores possíveis de 
x (em metros) para que o perímetro da 
folha seja maior ou igual a 64 m.
2(2x + 4 + x) + 2(x + x + 10 + x) ≥ 64 ⇒ x ≥ 3 metros.
b) Determine todos os valores possíveis de 
x (em metros) para que a soma dos com-
primentos representados em vermelho 
seja menor que a soma dos demais com-
primentos que completam o perímetro 
da folha.
2(2x + 4 + x + x) < 2(x + 10) + x + x ⇒ x < 3. Nesse caso, é im-
portante que se observe a figura para identificar a condição 
de existência de x (para que a figura exista, temos que ter 
x > 0). Portanto,a resposta do problema deve atender simul-
taneamente às condições x < 3 e x > 0, o que pode ser escrito, 
resumidamente, como 0 < x < 3, com x dado em metros.
12. Para produzir x litros de uma substância, o 
custo por litro depende da quantidade pro-
duzida, ou seja, depende do valor de x. Em 
dada situação, o custo por litro é expresso 
pela relação C = 1 000 – 1,5x. A empresa 
que fabrica essa substância desenvolveu um 
novo processo de produção que pode ser 
feito ao custo (por litro) dado pela fórmula 
C = 940 – 1,4x. Pergunta-se:
a) Deseja-se produzir 450 litros da subs-
tância. Em qual dos dois processos o 
custo por litro será menor? E se a quan-
tidade a ser produzida for 620 litros?
Para x = 450, o processo antigo implica um custo de (1 000 – 
– 1,5 ⋅ 450) = R$ 325,00 por litro; e o novo, um custo de (940 – 
– 1,4 ⋅ 450) = R$ 310,00 por litro. Para x = 620, o processo antigo im-
plica um custo de (1 000 – 1,5 ⋅ 620) = R$ 70,00 por litro, e o novo, 
um custo de (940 − 1,4 ⋅ 620)= R$ 72,00 por litro. Portanto, para 
450 litros, o custo por litro dado pela fórmula antiga é maior que 
o dado pela fórmula nova e, para 620 litros, a situação se inverte.
b) Determine todos os valores de x para os 
quais o custo por litro no novo processo 
de produção é menor do que o custo 
por litro no processo antigo.
Procura-se a solução da inequação 940 − 1,4x < 1 000 − 1,5x, 
que é x < 600. Devemos ainda observar que, como x > 0, por-
tanto, 0 < x < 600, com x dado em litros.
13. Para enviar uma mensagem do Brasil para 
os Estados Unidos via fax, uma empre-
sa cobra R$ 3,40 pela primeira página e 
R$ 2,60 por página adicional, completa ou 
não. Calcule o maior número de páginas pos-
sível de uma dessas mensagens para que seu 
preço não ultrapasse o valor de R$ 136,00.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 22 1/27/16 9:02 AM
23
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
Chamando de P o preço em R$ para enviar x páginas, temos: 
P = 3,4 + 2,6 ⋅ (x – 1)
Calcular o maior número de páginas possível para que o pre-
ço não ultrapasse R$ 136,00 resume-se a resolver e interpretar 
a inequação 3,4 + 2,6 ⋅ (x – 1) ≤ 136, com x inteiro. Resolven-
do a inequação:
3,4 + 2,6x − 2,6 ≤ 136 ⇒ x ≤ 52. 
O maior número inteiro que é menor ou igual a 52 é o pró-
prio 52, que é a resposta do problema. 
14. Em um concurso com 20 ques-
tões, para cada questão respondi-
da corretamente o candidato ga-
nha 3 pontos, e, para cada uma respondida 
de forma incorreta (ou não respondida), 
perde 1 ponto. Sabendo que para ser apro-
vado o candidato deve totalizar na prova 
um mínimo de 28 pontos, calcule o menor 
número de questões respondidas correta-
mente para que o candidato seja aprovado 
no concurso.
Chamaremos de x o número de questões respondidas cor-
retamente pelo candidato e de 20 – x o número de questões 
respondidas incorretamente ou não respondidas por ele. Se 
P é o total de pontos obtidos pelo candidato ao respon-
der corretamente x questões, então a função que modela 
o problema é P = 3x – (20 – x), com x sendo um número 
inteiro tal que 0 ≤ x ≤ 20.
O menor número de questões respondidas corretamente 
para que o candidato totalize um mínimo de 28 pontos será 
o menor inteiro que atende à inequação P ≥ 28. Resolvendo:
3x – (20 – x) ≥ 28
3x – 20 + x ≥ 28
4x ≥ 48
x ≥ 12. Portanto, no mínimo ele deve acertar 12 questões, to-
talizando, nesse caso, exatamente 28 pontos.
15. Três planos de telefonia celular são apre-
sentados na tabela a seguir:
Plano
Custo fixo 
mensal
Custo adicional 
por minuto
A R$ 35,00 R$ 0,50
B R$ 20,00 R$ 0,80
C R$ 0,00 R$ 1,20
a) Qual é o plano mais vantajoso para al-
guém que utiliza 25 minutos por mês?
Chamando-se de CA, CB e CC o custo total dos planos A, B e C 
para x minutos de uso, teremos:
CA = 35 + 0,5 ⋅ x ⇒ CA = 35 + 0,5 ⋅ 25 = 47,5
CB = 20 + 0,8 ⋅ x ⇒ CB = 20 + 0,8 ⋅ 25 = 40
CC = 1,2 ⋅ x ⇒ CC = 1,2 ⋅ 25 = 30
Portanto, para 25 minutos de uso: CC < CB < CA.
b) A partir de quantos minutos de uso 
mensal o plano A se torna mais vanta-
joso que os outros dois?
Queremos encontrar o menor valor de x para que CA < CB 
e CA < CC .
CA < CB
35 + 0,5x < 20 + 0,8x, ou seja, x > 50
CB < CC
35 + 0,5x < 1,2x, ou seja, x > 50
Para qualquer valor de x maior do que 50 minutos, o plano A 
será mais barato que os planos B e C.
Considerações sobre a avaliação
Na Situação de Aprendizagem 1, discutimos 
a resolução de equações e inequações. No tema 
equações, demos continuidade à introdução feita 
na 6a série/7o ano sobre o assunto, apresentando 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 23 1/27/16 9:02 AM
24
 
situações mais complexas, passíveis de equa-
cionamento, bem como equações de 1o grau de 
complexidade maior que as apresentadas na sé-
rie/ano anterior. No que diz respeito às desigual-
dades, nestes Cadernos, o estudo das inequações 
tem início na 7a série/8o ano e prossegue nas sé-
ries/anos seguintes. Na 7a série/8o ano, entende-
mos que o assunto deve ser tratado, sempre que 
possível, com maior ênfase dada à resolução de 
problemas, e não à tecnicidade, o que não quer 
dizer que o professor deva abandonar por com-
pleto a sistematização de alguns procedimentos 
de resolução de inequações. Lembramos que o 
estudo das inequações está apenas começando 
na 7a série/8o ano e, certamente, será retomado 
com aprofundamento e outros matizes nas sé-
ries/anos seguintes.
Uma vez que o aluno estará aprofundando 
seus conhecimentos sobre equações nesse volu-
me, é tarefa importante do professor prepará-
-lo para uma boa leitura de enunciados e para 
a transposição de linguagens (do texto para a 
Álgebra e vice-versa). A leitura e a interpretação 
de enunciados será melhor quanto mais o aluno 
puder praticá-la com orientação do professor. 
O professor, por sua vez, deve evitar concentrar 
o curso apenas em problemas do tipo “resolva 
a equação...”, “determine o valor de x...” etc., 
sendo preferível que se privilegiem problemas 
com texto e contexto. Instrumentalizar os alu-
nos para uma boa leitura de enunciados signi-
fica orientá-los para que identifiquem os dados, 
as relações entre dados e a pergunta. Em segui-
da, outra etapa importante é a da transposição 
das informações coletadas para a linguagem da 
Álgebra. Nesse momento, o professor deve estar 
atento às dificuldades específicas dos seus alu-
nos para que possa elaborar a estratégia certa 
para a condução do curso.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 
COORDENADAS CARTESIANAS E TRANSFORMAÇÕES NO PLANO
Conteúdos e temas: coordenadas; plano cartesiano; pares ordenados; transformações geométricas.
Competências e habilidades: conhecer as principais características do sistema de coordenadas 
cartesianas; localizar pontos e figuras geométricas no plano cartesiano; realizar transforma-
ções geométricas no plano usando operações com as coordenadas cartesianas. 
Sugestão de estratégias: análise e resolução de situações-problema; uso de um jogo para a fa-
miliarização com o sistema de coordenadas; uso do plano para representar pontos e figuras.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 24 1/27/16 9:02 AM
25
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
a análise gráfica da solução de um sistema de 
equações. No Ensino Médio, o gráfico cartesia-
no será usado para a representação de diferen-
tes tipos de função, da linear à exponencial. 
Inicialmente, propomos algumas atividades 
relacionadas à noção de localização antes de 
introduzir formalmente o sistema de coorde-
nadas cartesianas. É importante explorar os 
conhecimentos prévios dos alunos em situa- 
ções de localização, tais como a procura de uma 
rua em um guia de endereços ou a localização 
de uma cidade em um mapa. 
A partir de alguns exemplos conhecidos, dis-
cutiremos as principais características de um sis-
tema de localização: a necessidade de um ponto 
de referência, as coordenadas e as dimensões 
envolvidas, as convenções adotadasetc. Em se-
guida, destacamos os principais elementos do 
sistema de coordenadas cartesianas: o ponto de 
origem, a reta numérica, os eixos coordenados, 
os pares ordenados e o plano cartesiano. 
Feito isso, propomos uma série de atividades 
que têm por objetivo consolidar o conhecimento 
do sistema de coordenadas cartesianas. As ativi-
dades 5 e 6 tratam da representação de figuras 
geométricas no plano cartesiano. Na atividade 8, 
propomos um jogo de batalha-naval matemático 
envolvendo coordenadas cartesianas. Da ativi-
dade 9 em diante, introduzimos as transforma-
ções geométricas no plano cartesiano: por meio 
de operações realizadas com as coordenadas 
cartesianas, exploraremos movimentos e trans-
formações de figuras geométricas simples, como 
translação, reflexão, ampliação e redução. 
Nesta Situação de Aprendizagem, iremos am-
pliar a noção de localização com base na explora-
ção e na formalização do sistema de coordenadas 
no plano. Os alunos já trabalharam nas séries/
anos anteriores com a leitura e a representação 
de valores numéricos em retas e gráficos. Nesta 
etapa da escolaridade, pretende-se que eles com-
preendam o sistema de coordenadas cartesianas 
como um modo organizado e convencionado 
para representar objetos e relações matemáticas. 
Em outras palavras, eles devem conhecer as 
principais características do plano cartesiano: 
que é constituído por dois eixos perpendiculares 
entre si, cada qual subdividido em partes iguais, 
representadas por números positivos e negativos; 
que o plano é dividido em quatro quadrantes etc. 
São essas características que fazem do plano car-
tesiano um sistema apropriado para representar 
pontos, figuras geométricas, equações e funções. 
Contudo, há uma ressalva a se considerar: no 
plano cartesiano, os pontos representados nos 
dois eixos correspondem a números reais. Como 
os alunos ainda não estudaram a formação do 
conjunto dos reais e a reta real, trabalharemos 
neste momento apenas com pontos racionais. O 
que estamos chamando de coordenadas carte-
sianas é um sistema de coordenadas racionais 
no plano. A formalização do plano cartesiano 
será feita posteriormente, a partir do estudo dos 
números reais e das funções. 
O conhecimento do sistema de coordenadas 
cartesianas também é importante para a conti-
nuidade dos estudos em Álgebra. A representa-
ção de pares ordenados (x; y) correspondentes 
a uma equação com duas variáveis possibilita 
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Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 2
A ideia de localização
Um dos desafios que se coloca para o profes-
sor da 7a série/8o ano é como introduzir o sistema 
de coordenadas cartesianas de uma forma sig-
nificativa para o aluno. Sugerimos que se explo-
rem, inicialmente, algumas situações e alguns 
contextos em que a noção de localização seja 
familiar aos alunos. Um aluno da 7a série/8o ano 
provavelmente já se deparou com algum tipo de 
problema de localização, como encontrar uma 
rua em um guia de endereços, achar um livro em 
uma biblioteca ou, até mesmo, jogar batalha- 
-naval. Em todos esses exemplos, a noção de 
coordenada está diretamente envolvida. 
Nosso trabalho será fazer com que o alu-
no saiba reconhecer e analisar os elementos 
que estão presentes em uma situação de loca-
lização. Ele deverá se apropriar dos termos 
próprios da Matemática usados para localizar 
um objeto, como: origem, sentido, distância, 
escala, coordenada, reta numerada, eixos co-
ordenados, plano cartesiano, par ordenado 
etc. As atividades propostas a seguir cami-
nham nessa direção.
Localização
1. Se quisermos localizar o en-
dereço de uma pessoa, pode-
mos recorrer a um guia de ruas. 
O guia funciona com um sistema de coorde-
nadas de linhas e colunas. Para localizar 
uma rua, basta conhecer suas coordenadas, 
isto é, a linha e a coluna em que ela se en-
contra. No caso do guia de ruas, esse cruza-
mento de informações determina uma re-
gião (quadrado) na qual a rua (ou parte 
dela) está localizada. Além disso, é preciso 
saber o número da página em que ela se en-
contra. O mapa a seguir foi extraído da pá-
gina de um guia de ruas da cidade de São 
Paulo. Faça o que se pede:
R. Vadico
R. M
ende
s Ca
ldeir
a
R. Rodrigues dos Santos
R. M
onsenhor A
ndrade
R. Elisa Whitaker
R. João Teodoro
R. São Caetano
R. São Caetano
R. Mauá
R. Miguel Carlos
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ira
R. da Alfândega
R. Santa Rosa
R. do Lucas
R. do Gas
ômetro
R. do G
asômet
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R. Polig
nano A
. Maré
Praça
São Vito
R. M
onsenhor A
ndrade
B R Á S
B O M R E T I R O
R
1
A
B
C
D
2 3 4
a) As coordenadas da Rua Miguel Carlos 
são B1. Localize-a no mapa.
A Rua Miguel Carlos encontra-se na quadrícula de interseção 
entre a segunda linha e a primeira coluna. 
b) A Rua Vadico está indicada no mapa. 
Dê a sua localização em termos de 
coordenadas.
A Rua Vadico encontra-se na casa C4, ou seja, no cruzamento 
da terceira linha com a 4ª coluna. 
Outra ideia que deve ser destacada é que a informação 
sobre a localização de um objeto parte sempre de um 
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ex
ão
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Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
ponto de referência escolhido. No caso do guia de ruas, 
o ponto de referência é o canto superior esquerdo da pá-
gina, onde se iniciam as sequências de números e letras. 
Na próxima atividade, exploramos uma situação em que 
as informações sobre a localização de um objeto depende 
do referencial escolhido.
Pode-se comentar com os alunos que, nesse 
caso, utilizou-se uma combinação de letras e 
números para dar a informação da localização 
de um ponto desta rua. Poderiam ser duas le-
tras ou dois números, dependendo da convenção 
estabelecida pelo guia. O cruzamento das duas 
informações resultou na localização da região 
em que se encontra a rua no mapa. 
truída em escala. As dimensões dos ladri-
lhos quadriculados são de 10 cm por 10 cm.
ralo
a) Como você faria para informar a locali-
zação precisa do ralo nessa planta?
Resposta pessoal. A ideia é compartilhar as diferentes estraté-
gias adotadas pelos alunos e verificar se eles adotaram algum 
tipo de ponto de referência para a localização. 
b) Tendo como ponto de referência o canto 
superior esquerdo da planta, quais são as 
coordenadas horizontais e verticais do ralo?
Se escolhermos como ponto de referência o canto su-
perior esquerdo da cozinha, então o ralo se encontra a 
3,2 m na direção horizontal e a 0,7 m na direção verti-
cal em relação ao ponto de referência escolhido. Veja a 
planta a seguir.
ralo
ponto de 
referência
3,2 m
0,
7 
m
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ex
ão
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di
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ri
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ex
ão
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to
ri
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2. Consulte um guia de 
ruas e localize a rua onde 
você mora e a rua de sua 
escola. Procure os seus nomes no índi-
ce alfabético e anote suas coordena-
das (página, linha e coluna).
Casa:
Escola:
Resposta pessoal. Você poderá mostrar no guia a locali-
zação e as coordenadas da escola.
Ponto de referência
3. Um empreiteiro deve cons-
truir um ralo em uma cozinha 
seguindo as instruções forneci-
das pelo arquiteto na planta a seguir, cons-
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c) Escolha outro ponto de referência na 
planta e escreva as coordenadas do ralo. 
Por outro lado, se adotarmos como ponto de referência o 
canto superior direito, as coordenadas da localização do ralo 
mudam: 0,4 m na horizontal e 0,7 m na vertical. Embora as 
coordenadas variem de acordo com o referencial adotado, a 
posição do ralo é sempre a mesma. Tudo