Caderno do Professor - 8° ano - 2014 a 2017 - vol 2

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Nova edição
2014-2017
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
São Paulo
MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO PROFESSOR 
MATEMÁTICA
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
7a SÉRIE/8o ANO
VOLUME 2
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 1 1/27/16 9:02 AM
 
Senhoras e senhores docentes,
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-
radores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que 
permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula 
de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com 
os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-
dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação 
— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste 
programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização 
dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações 
de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca 
por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso 
do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb. 
Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-
tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São 
Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades 
ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias, 
dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade 
da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas 
aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam 
a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-
ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a 
diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico. 
Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu 
trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar 
e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história. 
Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.
Bom trabalho!
Herman Voorwald
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
 Governo do Estado de São Paulo 
Governador 
Geraldo Alckmin 
Vice-Governador 
Márcio Luiz França Gomes 
Secretário da Educação 
Herman Voorwald 
Secretária-Adjunta 
Cleide Bauab Eid Bochixio 
Chefe de Gabinete 
Fernando Padula Novaes 
Subsecretária de Articulação Regional 
Raquel Volpato Serbino 
Coordenadora da Escola de Formação e 
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Irene Kazumi Miura 
Coordenadora de Gestão da 
Educação Básica
Ghisleine Trigo Silveira 
Coordenadora de Gestão de 
Recursos Humanos 
Cleide Bauab Eid Bochixio 
Coordenador de Informação, 
Monitoramento e Avaliação 
Educacional 
Olavo Nogueira Filho 
Coordenadora de Infraestrutura e 
Serviços Escolares 
Célia Regina Guidon Falótico
Coordenadora de Orçamento e 
Finanças 
Claudia Chiaroni Afuso 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 2 1/27/16 9:02 AM
 
Senhoras e senhores docentes,
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-
radores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que 
permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula 
de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com 
os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-
dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação 
— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste 
programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização 
dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações 
de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca 
por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso 
do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb. 
Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-
tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São 
Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades 
ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias, 
dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade 
da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas 
aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam 
a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-
ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a 
diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico. 
Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu 
trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar 
e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história. 
Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.
Bom trabalho!
Herman Voorwald
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 3 1/27/16 9:02 AM
 
Os materiais de apoio à implementação 
do Currículo do Estado de São Paulo 
são oferecidos a gestores, professores e alunos 
da rede estadual de ensino desde 2008, quando 
foram originalmente editados os Cadernos 
do Professor. Desde então, novos materiais 
foram publicados, entre os quais os Cadernos 
do Aluno, elaborados pela primeira vez 
em 2009.
Na nova edição 2014-2017, os Cadernos do 
Professor e do Aluno foram reestruturados para 
atender às sugestões e demandas dos professo-
res da rede estadual de ensino paulista, de modo 
a ampliar as conexões entre as orientações ofe-
recidas aos docentes e o conjunto de atividades 
propostas aos estudantes. Agora organizados 
em dois volumes semestrais para cada série/
ano do Ensino Fundamental – Anos Finais e 
série do Ensino Médio, esses materiais foram re-
vistos de modo a ampliar a autonomia docente 
no planejamento do trabalho com os conteúdos 
e habilidades propostos no Currículo Oficial 
de São Paulo e contribuir ainda mais com as 
ações em sala de aula, oferecendo novas orien-
tações para o desenvolvimento das Situações de 
Aprendizagem.
Para tanto, as diversas equipes curricula-
res da Coordenadoria de Gestão da Educação 
Básica (CGEB) da Secretaria da Educação do 
Estado de São Paulo reorganizaram os Cader-
nos do Professor, tendo em vista as seguintes 
finalidades:
 incorporar todas as atividades presentes 
nos Cadernos do Aluno, considerando 
também os textos e imagens, sempre que 
possível na mesma ordem;
 orientar possibilidades de extrapolação 
dos conteúdos oferecidos nos Cadernos do 
Aluno, inclusive com sugestão de novas ati-vidades;
 apresentar as respostas ou expectativas 
de aprendizagem para cada atividade pre-
sente nos Cadernos do Aluno – gabarito 
que, nas demais edições, esteve disponível 
somente na internet.
Esse processo de compatibilização buscou 
respeitar as características e especificidades de 
cada disciplina, a fim de preservar a identidade 
de cada área do saber e o movimento metodo-
lógico proposto. Assim, além de reproduzir as 
atividades conforme aparecem nos Cadernos 
do Aluno, algumas disciplinas optaram por des-
crever a atividade e apresentar orientações mais 
detalhadas para sua aplicação, como também in-
cluir o ícone ou o nome da seção no Caderno do 
Professor (uma estratégia editorial para facilitar 
a identificação da orientação de cada atividade). 
A incorporação das respostas também res-
peitou a natureza de cada disciplina. Por isso, 
elas podem tanto ser apresentadas diretamente 
após as atividades reproduzidas nos Cadernos 
do Professor quanto ao final dos Cadernos, no 
Gabarito. Quando incluídas junto das ativida-
des, elas aparecem destacadas.
Leitura e análise
Lição de casa
Pesquisa em grupo
Pesquisa de 
campo
Aprendendo a 
aprender
Roteiro de 
experimentação
Pesquisa individual
Apreciação
Você aprendeu?
O que penso 
sobre arte?
Ação expressiva
!
?
Situated learning
Homework
Learn to learn
Além dessas alterações, os Cadernos do 
Professor e do Aluno também foram anali-
sados pelas equipes curriculares da CGEB 
com o objetivo de atualizar dados, exemplos, 
situações e imagens em todas as disciplinas, 
possibilitando que os conteúdos do Currículo 
continuem a ser abordados de maneira próxi-
ma ao cotidiano dos alunos e às necessidades 
de aprendizagem colocadas pelo mundo con-
temporâneo.
Para saber mais
Para começo de 
conversa
A NovA edição
Seções e ícones
Os materiais de apoio à implementação 
do Currículo do Estado de São Paulo 
são oferecidos a gestores, professores e alunos 
da rede estadual de ensino desde 2008, quando 
foram originalmente editados os Cadernos 
do Professor. Desde então, novos materiais 
foram publicados, entre os quais os Cadernos 
do Aluno, elaborados pela primeira vez 
em 2009.
Na nova edição 2014-2017, os Cadernos do 
Professor e do Aluno foram reestruturados para 
atender às sugestões e demandas dos professo-
res da rede estadual de ensino paulista, de modo 
a ampliar as conexões entre as orientações ofe-
recidas aos docentes e o conjunto de atividades 
propostas aos estudantes. Agora organizados 
em dois volumes semestrais para cada série/
ano do Ensino Fundamental – Anos Finais e 
série do Ensino Médio, esses materiais foram re-
vistos de modo a ampliar a autonomia docente 
no planejamento do trabalho com os conteúdos 
e habilidades propostos no Currículo Oficial 
de São Paulo e contribuir ainda mais com as 
ações em sala de aula, oferecendo novas orien-
tações para o desenvolvimento das Situações de 
Aprendizagem.
Para tanto, as diversas equipes curricula-
res da Coordenadoria de Gestão da Educação 
Básica (CGEB) da Secretaria da Educação do 
Estado de São Paulo reorganizaram os Cader-
nos do Professor, tendo em vista as seguintes 
finalidades:
 incorporar todas as atividades presentes 
nos Cadernos do Aluno, considerando 
também os textos e imagens, sempre que 
possível na mesma ordem;
 orientar possibilidades de extrapolação 
dos conteúdos oferecidos nos Cadernos do 
Aluno, inclusive com sugestão de novas ati-
vidades;
 apresentar as respostas ou expectativas 
de aprendizagem para cada atividade pre-
sente nos Cadernos do Aluno – gabarito 
que, nas demais edições, esteve disponível 
somente na internet.
Esse processo de compatibilização buscou 
respeitar as características e especificidades de 
cada disciplina, a fim de preservar a identidade 
de cada área do saber e o movimento metodo-
lógico proposto. Assim, além de reproduzir as 
atividades conforme aparecem nos Cadernos 
do Aluno, algumas disciplinas optaram por des-
crever a atividade e apresentar orientações mais 
detalhadas para sua aplicação, como também in-
cluir o ícone ou o nome da seção no Caderno do 
Professor (uma estratégia editorial para facilitar 
a identificação da orientação de cada atividade). 
A incorporação das respostas também res-
peitou a natureza de cada disciplina. Por isso, 
elas podem tanto ser apresentadas diretamente 
após as atividades reproduzidas nos Cadernos 
do Professor quanto ao final dos Cadernos, no 
Gabarito. Quando incluídas junto das ativida-
des, elas aparecem destacadas.
Leitura e análise
Lição de casa
Pesquisa em grupo
Pesquisa de 
campo
Aprendendo a 
aprender
Roteiro de 
experimentação
Pesquisa individual
Apreciação
Você aprendeu?
O que penso 
sobre arte?
Ação expressiva
!
?
Situated learning
Homework
Learn to learn
Além dessas alterações, os Cadernos do 
Professor e do Aluno também foram anali-
sados pelas equipes curriculares da CGEB 
com o objetivo de atualizar dados, exemplos, 
situações e imagens em todas as disciplinas, 
possibilitando que os conteúdos do Currículo 
continuem a ser abordados de maneira próxi-
ma ao cotidiano dos alunos e às necessidades 
de aprendizagem colocadas pelo mundo con-
temporâneo.
Para saber mais
Para começo de 
conversa
A NovA edição
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MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 4 1/27/16 9:02 AM
 
Os materiais de apoio à implementação 
do Currículo do Estado de São Paulo 
são oferecidos a gestores, professores e alunos 
da rede estadual de ensino desde 2008, quando 
foram originalmente editados os Cadernos 
do Professor. Desde então, novos materiais 
foram publicados, entre os quais os Cadernos 
do Aluno, elaborados pela primeira vez 
em 2009.
Na nova edição 2014-2017, os Cadernos do 
Professor e do Aluno foram reestruturados para 
atender às sugestões e demandas dos professo-
res da rede estadual de ensino paulista, de modo 
a ampliar as conexões entre as orientações ofe-
recidas aos docentes e o conjunto de atividades 
propostas aos estudantes. Agora organizados 
em dois volumes semestrais para cada série/
ano do Ensino Fundamental – Anos Finais e 
série do Ensino Médio, esses materiais foram re-
vistos de modo a ampliar a autonomia docente 
no planejamento do trabalho com os conteúdos 
e habilidades propostos no Currículo Oficial 
de São Paulo e contribuir ainda mais com as 
ações em sala de aula, oferecendo novas orien-
tações para o desenvolvimento das Situações de 
Aprendizagem.
Para tanto, as diversas equipes curricula-
res da Coordenadoria de Gestão da Educação 
Básica (CGEB) da Secretaria da Educação do 
Estado de São Paulo reorganizaram os Cader-
nos do Professor, tendo em vista as seguintes 
finalidades:
 incorporar todas as atividades presentes 
nos Cadernos do Aluno, considerando 
também os textos e imagens, sempre que 
possível na mesma ordem;
 orientar possibilidades de extrapolação 
dos conteúdos oferecidos nos Cadernos do 
Aluno, inclusive com sugestão de novas ati-
vidades;
 apresentar as respostas ou expectativas 
de aprendizagem para cada atividade pre-
sente nos Cadernos do Aluno – gabarito 
que, nas demais edições, esteve disponível 
somente na internet.
Esse processo de compatibilização buscou 
respeitar as características e especificidades de 
cada disciplina, a fim de preservar a identidade 
de cada área do saber e o movimento metodo-
lógico proposto. Assim, além de reproduzir as 
atividades conforme aparecem nos Cadernos 
do Aluno, algumas disciplinas optaram por des-
crever a atividade e apresentar orientações mais 
detalhadas para sua aplicação, como também in-
cluir o ícone ou o nome da seção no Caderno do 
Professor (uma estratégia editorial para facilitar 
a identificação da orientação de cada atividade). 
A incorporação das respostas também res-
peitou a natureza de cada disciplina. Por isso, 
elas podem tanto ser apresentadas diretamente 
após asatividades reproduzidas nos Cadernos 
do Professor quanto ao final dos Cadernos, no 
Gabarito. Quando incluídas junto das ativida-
des, elas aparecem destacadas.
Leitura e análise
Lição de casa
Pesquisa em grupo
Pesquisa de 
campo
Aprendendo a 
aprender
Roteiro de 
experimentação
Pesquisa individual
Apreciação
Você aprendeu?
O que penso 
sobre arte?
Ação expressiva
!
?
Situated learning
Homework
Learn to learn
Além dessas alterações, os Cadernos do 
Professor e do Aluno também foram anali-
sados pelas equipes curriculares da CGEB 
com o objetivo de atualizar dados, exemplos, 
situações e imagens em todas as disciplinas, 
possibilitando que os conteúdos do Currículo 
continuem a ser abordados de maneira próxi-
ma ao cotidiano dos alunos e às necessidades 
de aprendizagem colocadas pelo mundo con-
temporâneo.
Para saber mais
Para começo de 
conversa
A NovA edição
Seções e ícones
Os materiais de apoio à implementação 
do Currículo do Estado de São Paulo 
são oferecidos a gestores, professores e alunos 
da rede estadual de ensino desde 2008, quando 
foram originalmente editados os Cadernos 
do Professor. Desde então, novos materiais 
foram publicados, entre os quais os Cadernos 
do Aluno, elaborados pela primeira vez 
em 2009.
Na nova edição 2014-2017, os Cadernos do 
Professor e do Aluno foram reestruturados para 
atender às sugestões e demandas dos professo-
res da rede estadual de ensino paulista, de modo 
a ampliar as conexões entre as orientações ofe-
recidas aos docentes e o conjunto de atividades 
propostas aos estudantes. Agora organizados 
em dois volumes semestrais para cada série/
ano do Ensino Fundamental – Anos Finais e 
série do Ensino Médio, esses materiais foram re-
vistos de modo a ampliar a autonomia docente 
no planejamento do trabalho com os conteúdos 
e habilidades propostos no Currículo Oficial 
de São Paulo e contribuir ainda mais com as 
ações em sala de aula, oferecendo novas orien-
tações para o desenvolvimento das Situações de 
Aprendizagem.
Para tanto, as diversas equipes curricula-
res da Coordenadoria de Gestão da Educação 
Básica (CGEB) da Secretaria da Educação do 
Estado de São Paulo reorganizaram os Cader-
nos do Professor, tendo em vista as seguintes 
finalidades:
 incorporar todas as atividades presentes 
nos Cadernos do Aluno, considerando 
também os textos e imagens, sempre que 
possível na mesma ordem;
 orientar possibilidades de extrapolação 
dos conteúdos oferecidos nos Cadernos do 
Aluno, inclusive com sugestão de novas ati-
vidades;
 apresentar as respostas ou expectativas 
de aprendizagem para cada atividade pre-
sente nos Cadernos do Aluno – gabarito 
que, nas demais edições, esteve disponível 
somente na internet.
Esse processo de compatibilização buscou 
respeitar as características e especificidades de 
cada disciplina, a fim de preservar a identidade 
de cada área do saber e o movimento metodo-
lógico proposto. Assim, além de reproduzir as 
atividades conforme aparecem nos Cadernos 
do Aluno, algumas disciplinas optaram por des-
crever a atividade e apresentar orientações mais 
detalhadas para sua aplicação, como também in-
cluir o ícone ou o nome da seção no Caderno do 
Professor (uma estratégia editorial para facilitar 
a identificação da orientação de cada atividade). 
A incorporação das respostas também res-
peitou a natureza de cada disciplina. Por isso, 
elas podem tanto ser apresentadas diretamente 
após as atividades reproduzidas nos Cadernos 
do Professor quanto ao final dos Cadernos, no 
Gabarito. Quando incluídas junto das ativida-
des, elas aparecem destacadas.
Leitura e análise
Lição de casa
Pesquisa em grupo
Pesquisa de 
campo
Aprendendo a 
aprender
Roteiro de 
experimentação
Pesquisa individual
Apreciação
Você aprendeu?
O que penso 
sobre arte?
Ação expressiva
!
?
Situated learning
Homework
Learn to learn
Além dessas alterações, os Cadernos do 
Professor e do Aluno também foram anali-
sados pelas equipes curriculares da CGEB 
com o objetivo de atualizar dados, exemplos, 
situações e imagens em todas as disciplinas, 
possibilitando que os conteúdos do Currículo 
continuem a ser abordados de maneira próxi-
ma ao cotidiano dos alunos e às necessidades 
de aprendizagem colocadas pelo mundo con-
temporâneo.
Para saber mais
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Seções e ícones
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 5 1/27/16 9:02 AM
 
SUMÁRIO
Orientação geral sobre os Cadernos 7
Situações de Aprendizagem 11
Situação de Aprendizagem 1 – Expandindo a linguagem das equações 11
Situação de Aprendizagem 2 – Coordenadas cartesianas e transformações no plano 24
Situação de Aprendizagem 3 – Sistemas de equações lineares 45
Situação de Aprendizagem 4 – Equações com soluções inteiras e suas aplicações 61
Situação de Aprendizagem 5 – Áreas de figuras planas 70
Situação de Aprendizagem 6 – Teorema de Tales: a proporcionalidade na Geometria 84
Situação de Aprendizagem 7 – O teorema de Pitágoras: padrões numéricos e geométricos 98
Situação de Aprendizagem 8 – Prismas 116
Orientações para Recuperação 121
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 123
Considerações finais 125
Quadro de conteúdos do Ensino Fundamental – Anos Finais 126
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 6 1/27/16 9:02 AM
7
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS
Os temas escolhidos para compor o con-
teúdo disciplinar de cada volume não se afas-
tam, de maneira geral, do que é usualmente 
ensinado nas escolas ou do que é apresentado 
pelos livros didáticos. As inovações pretendi-
das referem-se às suas formas de abordagem 
sugeridas ao longo deste Caderno. Em tal 
abordagem, busca-se evidenciar os princípios 
norteadores do presente currículo, destacan-
do-se a contextualização dos conteúdos, as 
competências pessoais envolvidas, especial-
mente as relacionadas com a leitura e a escrita 
matemática, bem como os elementos culturais 
internos e externos à Matemática.
Nos Cadernos, os conteúdos estão organiza-
dos em 16 unidades, com extensões aproximada-
mente iguais. De acordo com o número de aulas 
disponíveis por semana, o professor explorará 
cada assunto com maior ou menor aprofunda-
mento. A critério do professor, em cada situa-
ção específica o tema correspondente a uma das 
unidades pode ser estendido para mais de uma 
semana, enquanto o de outra unidade pode ser 
tratado de modo mais simplificado. É desejável 
que o professor tente contemplar todas as uni-
dades, uma vez que, juntas, elas compõem um 
panorama do conteúdo deste volume, e, muitas 
vezes, uma das unidades contribui para a com-
preensão das outras. Insistimos, no entanto, no 
fato de que somente o professor, em sua circuns-
tância particular, e levando em consideração seu 
interesse e o dos alunos pelos temas apresenta-
dos, pode determinar adequadamente quanto 
tempo dedicar a cada uma das unidades.
Ao longo do Caderno são apresentadas, 
além de uma visão panorâmica de seu conteú-
do, oito Situações de Aprendizagem, que pre-
tendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, 
instrumentalizando o professor para sua ação 
em sala de aula. As Situações de Aprendizagem 
são independentes e podem ser exploradas com 
maior ou menor intensidade, segundo seu inte-
resse e o de sua classe. Naturalmente, em razão 
das limitações de espaço do Caderno, nem todas 
as unidades foram contempladas com Situa-
ções de Aprendizagem, mas a expectativa é de 
que a forma de abordagem dos temas seja ex-
plicitada nas atividades oferecidas. 
No Caderno também são apresentados, 
sempre que possível, materiais disponíveis 
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) 
em sintonia com a forma de abordagem pro-
posta, que podem ser utilizados pelo profes-
sor para o enriquecimento de suasaulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas con-
siderações sobre a avaliação a ser realizada, 
bem como o conteúdo considerado indispen-
sável ao desenvolvimento das competências 
enunciadas no presente volume em cada Situa-
ção de Aprendizagem apresentada.
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8
 
Conteúdos básicos do volume
O planejamento deste volume tem como 
objetivo contemplar o estudo mais aprofunda-
do das equações de 1o grau, apresentar o pla-
no cartesiano como recurso para organizar e 
representar informação, apresentar a ideia de 
equação com mais de uma incógnita nos con-
textos do sistema de equações, as equações res-
tritas às soluções inteiras, além de também ter 
o foco na aprendizagem de Geometria, onde 
abordaremos temas importantes, como o cál-
culo de áreas, os teoremas de Tales e de Pitá-
goras, suas relações, e aplicações, e os prismas.
Na Situação de Aprendizagem 1, parti-
mos de uma discussão sobre a importância 
do trabalho com a leitura, interpretação de 
enunciados e transcrição das informações 
para a linguagem algébrica, discutindo algu-
mas estratégias para o desenvolvimento da 
competência leitora do aluno. Na sequên-
cia, sugerimos a continuidade do trabalho 
iniciado na série/ano anterior com equações 
de 1o grau por meio de estratégias para a re-
solução de problemas. Na situação propos-
ta, partimos de problemas que envolvem 
equacionamentos mais complexos do que os 
trabalhados na 6a série/7o ano, e sugerimos 
estratégias de organização de dados em tabe-
las, usando variações na posição da incógni-
ta como recurso para discussão de equações 
mais complexas. A situação é finalizada com 
a apresentação de uma proposta de trabalho 
com equações usualmente não trabalhadas 
na 7a série/8o ano, em um contexto de desen-
volvimento dos raciocínios lógico e criativo.
Na Situação de Aprendizagem 2, iniciamos 
a apresentação do recurso da representação de 
figuras por meio de coordenadas. A ideia de re-
presentação da informação em um plano com 
eixos orientados não é nova, ela já apareceu nas 
séries/anos anteriores, quando foram trabalha-
dos alguns temas relacionados aos gráficos no 
contexto do tratamento da informação; porém, 
agora, ela se desenvolverá na 7a série/8o ano 
com novas explorações, tais como a ideia de 
representação por meio de coordenadas, usada 
em mapas e guias de ruas, e as transformações 
no plano (translação, reflexão, ampliação e re-
dução). O trabalho com as transformações no 
plano também representa uma oportunidade de 
retomada das ideias de simetria axial trabalha-
das nas séries/anos anteriores. 
Com a Situação de Aprendizagem 3, inicia-
mos a discussão sobre o significado de equações 
com mais de uma incógnita e sobre as estraté-
gias para a resolução de sistemas de equações. 
O uso de mais de uma incógnita para organizar 
as informações de um problema mais comple-
xo é um recurso que deve ser compreendido, 
bem como devem ser entendidas as estratégias 
de resolução de sistemas de equações lineares 
em uma 7a série/8o ano. Além da discussão 
dos métodos da adição e da substituição, que 
será proposta por meio de uma retomada 
da ideia de balança desenvolvida na 6a série/ 
7o ano, dois outros importantes aspectos serão 
trabalhados nesta Situação de Aprendizagem: 
a representação de um sistema de equações 
no plano cartesiano e a análise e discussão 
de um sistema de equações lineares por meio 
de investigações sobre sua representação no 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 8 1/27/16 9:02 AM
9
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
plano. Certamente a estratégia proposta não 
tem a intenção de explorar a discussão de sis-
temas lineares com a profundidade que será 
feita mais adiante no Ensino Médio, mas sim 
de empregar as linguagens algébrica e gráfica 
como aliadas na análise e interpretação de um 
problema com equações lineares.
Na Situação de Aprendizagem 4, apresen-
tamos uma série de problemas que, uma vez 
equacionados, conduzem a uma única equação 
com mais de uma incógnita. Equações como 
essas, que em domínio real seriam classificadas 
como indeterminadas, podem ter um número 
finito de soluções inteiras e positivas. Problemas 
dessa natureza, ou seja, problemas em que esta-
mos interessados nas soluções inteiras positivas 
de uma equação com mais de uma incógnita 
são muito frequentes em situações do nosso dia 
a dia, e sua discussão, por meio da organização 
e análise dos dados em tabelas, trabalha com 
o desenvolvimento de várias habilidades mate-
máticas, como será descrito nesta Situação de 
Aprendizagem. Como se pode perceber, este 
Caderno apresenta inúmeras possibilidades 
de abordagem, porém, deve ficar a critério do 
professor a escolha daquelas que são mais ade-
quadas ao seu programa e das maneiras para 
explorá-las. Sabemos, evidentemente, que o vo-
lume apresenta uma quantidade grande de no-
vas informações para o aluno, o que demanda 
um tempo maior reservado para a reflexão e a 
sistematização. Contamos com a leitura cuida-
dosa das propostas aqui apresentadas, mas en-
tendemos como legítimo que o professor faça 
seus cortes e recortes de maneira a adequá-las 
às suas necessidades.
Na Situação de Aprendizagem 5, o trabalho 
com áreas de figuras planas é iniciado com o estu-
do sobre equivalência de polígonos, isto é, polígo-
nos que possuem a mesma área, embora sejam de 
formatos diferentes. Em seguida, propomos al-
guns procedimentos de estimativa com o auxílio 
de malhas. Para o cálculo da área de polígonos, 
exploramos a necessidade do uso e da demons-
tração de fórmulas, apoiando-nos na decomposi-
ção de figuras e no cálculo da área de retângulos, 
procedimento que consideramos conhecido pelos 
alunos. Na etapa seguinte, os exercícios propos-
tos como exemplos visaram explorar situações de 
análise de informações contidas no enunciado ou 
na figura para a aplicação de fórmulas. Vale res-
saltar que os cálculos de áreas de polígonos esta-
rão presentes em várias situações do volume, não 
se esgotando, portanto, nesse momento.
Na Situação de Aprendizagem 6, apresen-
tamos o teorema de Tales e suas aplicações 
em situações contextualizadas. Como ponto 
de partida, propomos algumas situações que 
exploram, de forma intuitiva, a propriedade 
que o teorema estabelece. A demonstração 
do teorema de Tales, além de dar continuida-
de aos processos de demonstração iniciados 
com as deduções das fórmulas das áreas dos 
polígonos, permite explorar uma habilidade 
frequentemente aplicada na Matemática: a 
capacidade de generalização e validação de 
fatos apoiados em situações intuitivas.
Na Situação de Aprendizagem 7, o teorema 
de Pitágoras é o foco da aprendizagem. Nela, 
apresentamos uma sequência de atividades que 
explora, em uma perspectiva histórica, a análi-
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 9 1/27/16 9:02 AM
10
 
se de fatos relacionados a padrões numéricos e 
geométricos que, por sua vez, tornam-se argu-
mentos na demonstração desse teorema. Esta 
Situação de Aprendizagem também apresenta 
um conjunto de exercícios exemplares que per-
mite a identificação e a aplicação do teorema de 
Pitágoras em situações contextualizadas. Vale 
ressaltar que, neste momento, privilegiamos 
os cálculos que envolvem raízes de quadrados 
perfeitos, uma vez que os números irracionais 
são objeto de estudo do volume 1 da 8a série/ 
9o ano. Caso o professor ache conveniente 
trabalhar com esses números no contexto do 
teorema de Pitágoras, pode apoiar-se em apro-
ximações ou mesmo no uso da calculadora.
Dando continuidade ao estudo iniciado 
na 6a série/7o ano, quando foram trabalhados 
Quadro geral de conteúdos do volume 2 da 7a série/8o ano do Ensino Fundamental 
Unidade 1 – Equações de 1o grau (problemas).
Unidade 2 – Equações e inequações de 1o grau (problemas).
Unidade 3 – Sistema de coordenadas cartesianas.Unidade 4 – Transformações geométricas no plano.
Unidade 5 – Sistemas de equações lineares (método da adição).
Unidade 6 – Sistemas de equações lineares (método da substituição).
Unidade 7 – Sistemas de equações lineares (interpretação gráfica).
Unidade 8 – Equações com soluções inteiras.
Unidade 9 – Apresentação do teorema de Tales.
Unidade 10 – Reconhecimento e aplicação do teorema de Tales em situações de contexto.
Unidade 11 – Apresentação do teorema de Pitágoras.
Unidade 12 – Reconhecimento e aplicação do teorema de Pitágoras em situações de contexto.
Unidade 13 – Apresentação do cálculo de áreas de figuras planas.
Unidade 14 – Áreas de figuras planas.
Unidade 15 – Prismas.
Unidade 16 – Problemas métricos envolvendo área e volume de prismas.
os poliedros e a relação de Euler, a Situação 
de Aprendizagem 8 trata dos prismas e dos 
cálculos métricos relacionados a eles, como a 
medida de diagonais, a área da superfície e o 
volume. O trabalho com os prismas também 
visa construir um padrão de formalização de 
conceitos relativos a objetos espaciais, que se-
rão explorados na 8a série/9o ano com os estu-
dos do cilindro. 
Mais uma vez, vale lembrar que as situa-
ções-problema propostas aqui têm por objeti-
vo auxiliar a prática educativa. São exercícios 
exemplares que devem ser combinados àque-
les que o professor acumulou em seus anos de 
docência. Fica a critério do professor a esco-
lha e a exploração mais detalhadas das Situa-
ções de Aprendizagem propostas.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 10 1/27/16 9:02 AM
11
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 
EXPANDINDO A LINGUAGEM DAS EQUAÇÕES 
Conteúdos e temas: equações de 1o grau; equações variadas (resolução por métodos 
não algorítmicos); inequações.
Competências e habilidades: leitura e interpretação de enunciados; transposição entre as lin-
guagens escrita e algébrica; raciocínio lógico dedutivo.
Sugestão de estratégias: equacionar e resolver problemas de maneiras diferentes confron-
tando resultados e identificando equivalências; utilizar a heurística como método de inves-
tigação da solução de equações; estudar desigualdades por meio da resolução de problemas 
contextualizados. 
Nesta Situação de Aprendizagem, discu-
tiremos aspectos relacionados com a leitura, 
interpretação de enunciados e transcrição 
das informações para a linguagem algébrica. 
O trabalho prossegue com a resolução de pro-
blemas envolvendo equações de 1o grau, utili-
zando o recurso de organização das informações 
em tabelas.
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 1
O estudo da Álgebra no Ensino Funda-
mental inicia-se de forma organizada e inten-
cional na 6a série/7o ano, com o uso de letras 
na representação de problemas que envolvem 
regularidades, padrões e relação entre gran-
dezas. Ainda na 6a série/7o ano, o aluno deve 
tomar contato e reconhecer as equações sim-
ples como um importante recurso para orga-
nizar e representar informações. Assim, parte 
significativa do empenho do professor como o 
parceiro mais experiente do aluno deve consis-
tir em selecionar adequadamente problemas 
que permitam a maior abrangência de situa-
ções passíveis de transposição da linguagem 
materna para a linguagem da álgebra. Outro 
objetivo que também deve ser atingido na 
6a série/7o ano é o da sistematização de métodos 
de resolução de equações simples de 1o grau. 
De acordo com esta proposta de planeja-
mento, o volume 2 da 7a série/8o ano será dedi-
cado à sequência do estudo da Álgebra, sendo, 
portanto, indispensável que o professor avalie, 
no início do curso, em que estágio encontra-se 
o conhecimento dos alunos no que diz respeito 
à transposição de problemas da língua escrita 
para a Álgebra (e vice-versa) e ao tipo de equa-
ção que o aluno consegue resolver por um mé-
todo que não seja apenas o de tentativa e erro. 
Feita essa avaliação, a sequência de trabalho do 
volume poderá ser planejada, tendo como obje-
tivo a ampliação do repertório de situações de 
SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 11 1/27/16 9:02 AM
12
 
transposição entre linguagens e a ampliação 
de estratégias de resolução de equações mais 
complexas (ainda com o foco voltado às equa-
ções de 1o grau). Nesta Situação de Aprendiza-
gem, apresentaremos algumas possibilidades 
de trabalho nessa direção.
A leitura atenta de um problema é o pri-
meiro passo no caminho da transposição para 
a linguagem algébrica, mas estudos indicam 
que apenas a boa leitura não é garantia para 
a transposição correta. Veja, por exemplo, a 
seguinte situação-problema apresentada a es-
tudantes universitários e os seus resultados: 
usando as variáveis A para número de alunos 
e P para o de professores, escreva uma equa-
ção para representar a afirmação “há seis vezes 
mais alunos do que professores nesta universi-
dade”. A resposta correta não é 6A = P, apesar 
de boa parte dos estudantes ter assinalado essa 
alternativa. Se essa fosse a resposta, para um 
total de 10 alunos teríamos 60 professores, exa-
tamente o contrário do que afirma o enuncia-
do. O correto seria A = 6P.
Aproveitando esse exemplo, uma estraté-
gia importante que merece ser discutida pelo 
professor com seus alunos é a da verificação. 
Note que, após a transposição entre as lin-
guagens, que conduziu equivocadamente à 
expressão 6A = P, caso o aluno confrontasse 
seu resultado com um exemplo numérico, é 
possível que tivesse identificado seu erro. Bas-
taria, nesse caso, atribuir um valor qualquer 
para A, como 10, obtendo em seguida 60, o 
que indicaria que, para cada aluno, teríamos 
6 professores. Confrontando esse resultado 
com as informações do texto, fica evidente 
que a correção a ser feita é a da troca entre A 
e P na expressão errada, resul tando correta-
mente na expressão A = 6P (nesse caso, para 
1 professor temos 6 alunos; para 2 professo-
res temos 12 alunos; para 3 professores temos 
18 alunos; e assim sucessivamente).
Veremos a seguir alguns exemplos que 
podem ser utilizados para o mesmo tipo de 
trabalho.
1. Escreva uma sentença ma-
temática que represente a se-
guinte frase: 
“X reais a menos que Y reais é igual a 
40 reais.”
É possível que boa parte dos estudantes responda X – Y = 40, 
quando o correto seria Y – X = 40. Um exemplo numérico 
pode ajudá-los a esclarecer a questão: “Dez reais a menos 
que 50 reais é igual a 40 reais” (50 – 10 = 40). 
2. Se X operários constroem um muro em 
Y horas, quantas horas serão necessárias 
para que o triplo do número de operários 
construa o mesmo muro? (Admita operá-
rios com mesmo rendimento.)
A resposta correta não é 3Y, porque o problema em questão 
envolve grandezas “inversamente proporcionais”, ou seja, 
quanto maior o número X de operários, menor o número 
Y de horas necessárias para levantar o muro (o dobro de X 
implica a metade de Y, o triplo de X implica a terça parte de 
Y, e assim por diante). A resposta correta é 
Y
3
 . Veja como 
um exemplo numérico seria útil na identificação do erro da 
expressão 3Y:
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 12 1/27/16 9:02 AM
13
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
Se X = 1 operário e Y = 6 horas, X = 3 operários construiriam 
o muro mais rapidamente, na terça parte do tempo, ou seja, 
em 2 horas. Nesse caso, evidencia-se que a resposta 3Y, que 
resultaria em 3 ⋅ 6 = 18 horas, está errada.
Outro aspecto que pode ser trabalhado na 
verificação das estratégias de transposição de 
problemas para a linguagem algébrica é o uso 
adequado da notação, como veremos na ativi-
dade a seguir.
3. Escreva uma expressão, com as letras indica-
das na figura, para a área do retângulo.
a
b c
Alguns alunos podem escrever que a área é igual a “a ⋅ b + c”, 
quando o correto seria “a ⋅ (b + c)”. Nesse caso específico, a 
verificação com números pode conduzir a dois tipos de si-
tuação, como veremos usando osvalores numéricos a = 3, 
b = 4 e c = 2:
Situação 1: o aluno arma a conta 3 ⋅ 4 + 2 e conclui que o 
resultado é 18. Nesse caso, ele obteve o resultado esperado 
para o problema, mas a partir de uma expressão escrita de 
forma errada para sua resolução (pela expressão formulada, 
o resultado seria 14). Duas hipóteses podem ser levantadas 
nessa situação: ele escreveu a expressão com letras, mas não 
a utilizou quando foi fazer a verificação com números (fez a 
verificação apenas interpretando a figura), ou ele escreveu a 
expressão e, ao substituir os números, não associou a ideia de 
que, em uma expressão com multiplicações e somas, faze-
mos primeiro as multiplicações.
Situação 2: o aluno escreve a conta 3 ⋅ 4 + 2, lembra-se da or-
dem das operações (primeiro a multiplicação e depois a adi-
ção) e conclui que o resultado é 14. Nesse caso, seu cálculo 
está correto para a expressão, mas não é a solução do pro-
blema, porque partiu de uma expressão errada.
A primeira situação evidencia a necessidade de o professor 
retomar com os alunos a ordem das operações, e a segunda 
sugere que o professor explore mais a ideia de verificação 
que, no caso desse problema, implicaria confrontar o resul-
tado 14 com o cálculo por substituição direta de valores na 
figura, como se vê a seguir:
3
4
6
Área = 3 ⋅ 6 = 18 ≠ 14
2
Uma atividade importante que também 
deve ser praticada é a da passagem da lingua-
gem algébrica para um problema concreto e 
escrito na nossa língua. As estratégias de ve-
rificação também devem ser usadas nesse tipo 
de problema.
4. Escreva por extenso uma sentença que for-
neça a mesma informação que a expressão 
X = 5Y fornece.
Uma resposta tipicamente errada seria:
“X = número de figurinhas de João e Y = número de figuri-
nhas de Paulo. Logo, Paulo tem o quíntuplo do número de 
figurinhas de João.”
Nesse caso, partindo do enunciado criado pelo aluno, se 
João tem 3 figurinhas, Paulo terá 15, que é o quíntuplo de 3, 
ou seja, se X = 3, Y tem que ser igual a 15, o que se verifica 
pela expressão X = 5Y indicada no enunciado do problema. 
Para corrigir a resposta do aluno, bastaria trocar Paulo e João 
na frase que relaciona seus números de figurinhas.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 13 1/27/16 9:02 AM
14
 
Com relação aos procedimentos de resolu-
ção de equações, esta proposta de planejamen-
to sugere que na 6a série/7o ano o aluno já tenha 
tido contato com os métodos de resolução por 
operação inversa (“desfazer operações”) e 
por equações equivalentes (método da “ba-
lança”), e que na 7a série/8o ano ele consiga 
resolver equações mais complexas usando 
quaisquer desses métodos. É claro que, com 
orientação do professor, a prática dos alunos 
na resolução de equações será encaminhada 
para um procedimento que incorpore ideias 
de ambos os métodos, porém é importan-
te que o professor compreenda que frases 
como “muda de lado e troca o sinal” devem 
ser evitadas, porque, além de sugerirem uma 
ideia errada, induzem a uma série de equívocos, 
por exemplo, o de resolver a equação 2x = 5 
como x = 5 − 2 ⇒ x = 3, ou a equação x + ×+ =
x
2
3 
como x + x = 6 ⇒ x = 3. Nos dois casos, a 
melhor conduta do professor seria explicitar 
a operação que está sendo feita:
2x = 5 ⇒ dividindo ambos os membros por 2, 
teremos x = 5
2
.
x + x
x
+ = →
2
3 = 3 ⇒ multiplicando ambos os mem-
bros por 2, teremos 2x + x = 6, ou seja, 
3x = 6. Por fim, dividindo ambos os mem-
bros por 3, teremos x = 2.
Na 6a série/7o ano, a expectativa é de que o 
aluno consiga resolver problemas que possam 
ser traduzidos por equações simples de 1o grau, 
por exemplo: 
= =– , – –
2
3
1
4
2
x
x +
3
2
3 4 2 6
2
3 5 3 2 1
1
2
x x
x
x x x– , – ,= + + = −( )
= =– , – –
2
3
1
4
2
x
x +
3
2
3 4 2 6
2
3 5 3 2 1
1
2
x x
x
x x x– , – ,= + + = −( )
= =– , – –
2
3
1
4
2
x
x +
3
2
3 4 2 6
2
3 5 3 2 1
1
2
x x
x
x x x– , – ,= + + = −( )
= =– , – –
2
3
1
4
2
x
x +
3
2
3 4 2 6
2
3 5 3 2 1
1
2
x x
x
x x x– , – ,= + + = −( )
Citamos, a seguir, alguns exemplos de 
equações de 1o grau mais complexas, que nos 
parecem mais apropriadas de ser trabalhadas 
na 7a série/8o ano:
x
3
+ 2
5
2
= x
4
, x + 1
x – 4
=
2 – 3x
x – 4
x
3
+ 2
5
2
= x
4
, x + 1
x – 4
=
2 – 3x
x – 4
 (com x ≠ 4)
3
5
3
2
– 3x
4
= 3x – 1
2
,
2(–2x + 3)
7
– 3 = x
2
+ 2x( )
 3
5
3
2
– 3x
4
= 3x – 1
2
,
2(–2x + 3)
7
– 3 = x
2
+ 2x( )
O estudo de equações de 1o grau constitui 
um tema muito rico para o trabalho com reso-
lução de problemas. O aluno deve reconhecer 
nesse estudo que as equações constituem uma 
ferramenta importante para a representação e 
resolução de problemas cujo encaminhamento 
por meio de recursos aritméticos seria muito 
complicado. Nesse sentido, o professor deve in-
centivar que os alunos busquem inicialmente so-
lucionar os problemas por meio da Aritmética 
e que, constatada a dificuldade, saibam uti-
lizar de maneira apropriada o recurso algé-
brico das equações para encontrar a resposta 
procurada. A seguir, veremos alguns exemplos 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 14 1/27/16 9:02 AM
15
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
de problemas que cumprem essa função. Inú-
meros outros exemplos podem ser criados ou 
encontrados nos livros didáticos.
5. Ao repartir uma conta de R$ 78,00 no res-
taurante AL GEBRÁ, três amigos estabele-
ceram que:
 f Rui pagaria 3
4
 do que Gustavo pagou;
 f Cláudia pagaria R$ 10,00 a menos que a 
terça parte do que Gustavo pagou.
 Que valor da conta coube a cada um dos 
três amigos?
Em primeiro lugar, é importante que o professor oriente uma 
estratégia de organização das informações, que pode ser feita 
por meio de uma tabela. Na montagem dessa tabela, chama-
remos de x a quantia paga por um dos três amigos e, sempre 
que possível, o professor deve pedir que os alunos montem 
outras tabelas chamando de x a quantia paga por outra pessoa. 
Essa atividade de mudar o significado da incógnita é útil para 
o trabalho com a ideia de operação inversa e para a discus-
são de que, apesar de encontrarmos valores diferentes para 
x dependendo de onde ele estiver na tabela, a resposta final 
do problema sempre será a mesma, seja qual for a escolha de 
posição para x.
Tabela 1
Rui
3x
4
3x
4
 + x + 
x
3
 – 10 = 78
x = 42,24
Rui: R$ 31,68
Gustavo: R$ 42,24
Cláudia: R$ 4,08
Gustavo x
Cláudia
x
3
–10
Tabela 2
Rui
9(x + 10)
4
9(x + 10)
4
 + 3(x + 10) + x = 78
x = 4,08
Rui: R$ 31,68
Gustavo: R$ 42,24
Cláudia: R$ 4,08
Gustavo 3(x + 10)
Cláudia x
Tabela 3
Rui x x + 
4x
3
 + 
4x
9
 – 10 = 78
x = 31,68
Rui: R$ 31,68
Gustavo: R$ 42,24
Cláudia: R$ 4,08
Gustavo
4x
3
Cláudia
4x
9
 – 10
O equacionamento mais natural é o da Tabela 1, que, por 
sua vez, recai em uma equação de resolução supostamente 
já conhecida de um aluno de 7a série/8o ano. Partindo da 
Tabela 1 e do equacionamento obtido, o aluno terá encon-
trado como resultado para Rui, Gustavo e Cláudia, respecti-
vamente, os valores de R$ 31,68, R$ 42,24 e R$ 4,08. Espera-
-se, portanto, que equacionamentos com a colocação de x 
como o valor da conta a ser paga por outra pessoa que não 
Gustavo produzam os mesmos resultados finais para cada 
uma das três pessoas. De posse dessa conclusão, e tendo 
montado as Tabelas 2 e 3, o aluno poderá investigar estra-
tégias de resolução das equações decorrentes dessas duas 
tabelas, em particular nos interessando as estratégias de re-
solução da equação decorrentes da Tabela 2, que é mais 
difícil do que as outras. No caso da equação da Tabela 2, 
o aluno sabe que seu resultado final tem que ser x = 4,08 e, 
a partir dessa informação, deverá descobrir eventuais erros 
no seu processo de resolução da equação, se ele não tiver 
conduzido a esse valor. O erro mais frequente, e que mere-
ce um comentário do professor, é:
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16
 
Aomultiplicar por 4 os dois membros, o aluno escreve a 
equação:
9(x + 10) + 12(4x + 40) + 4x = 312, quando o correto seria 
9(x + 10) + 12(x + 10) + 4x = 312 ou 9(x + 10) + 3(4x + 40) + 4x = 312.
Uma boa estratégia que pode ser sistematizada ao final dessa 
discussão para evitar erros como o mencionado é:
1. Aplicamos a propriedade distributiva eliminando parênteses.
2. Frações com o numerador escrito como soma ou subtra-
ção devem ser transformadas em frações com numerador 
simples (apenas um número ou uma letra, ou um número 
multiplicando uma letra).
3. Multiplicamos os dois membros (termo a termo) pelos de-
nominadores das frações ou, de forma mais direta, pelo MDC 
dos denominadores.
Nesse caso, a resolução corresponderia às seguintes etapas:
I) 
9(x + 10)
4
 + 3(x + 10) + x = 78
II) 
9(x + 90)
4
 + 3x + 30 + x = 78
III) 
9x
4
 + 
90
4
 + 3x + 30 + x = 78
IV) 9x + 90 + 12x + 120 + 4x = 312
 25x = 102 ⇒ x = 4,08
Desafio!
6. Se de 220 subtrairmos a idade de uma pessoa, obtemos uma aproximação da frequên-
cia cardíaca máxima por minuto que ela tolera em atividade física intensa. Sabe-se que 
a frequência cardíaca máxima de Renê é 
24
23
 da de Bernardo. Se a frequência cardíaca 
máxima de Renê é igual a 
16
3
 da idade de Bernardo, determine a idade e a frequên cia 
cardíaca máxima dos dois amigos.
Adotando o mesmo tipo de procedimento usado na resolução do problema anterior, equacionaremos esse problema utili-
zando tabelas.
Tabela 1
Idade
Frequência 
cardíaca máxima
24(220 – x)
23 
=
 
16x
3
x = 36
Renê: 28 anos e FCmáx = 192
Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184
Renê 220 – 
24(220 – x)
23
24(220 – x)
23
Bernardo x 220 − x
Tabela 2
Idade
Frequência 
cardíaca máxima 220 – x = 
16
3
 220 – 
23(220 – x)
24
x = 28
Renê: 28 anos e FCmáx = 192
Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184
Renê x 220 − x
Bernardo 220 – 
23(220 – x)
24
23(220 – x)
24
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 16 1/27/16 9:02 AM
17
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
Tabela 3
Idade
Frequência 
cardíaca máxima
24x
23
 = 
16
3
 (220 – x)
x = 184
Renê: 28 anos e FCmáx = 192
Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184
Renê 220 – 
24x
23
24x
23
Bernardo 220 − x x
Tabela 4
Idade
Frequência 
cardíaca máxima x = 
16
3
 220 – 
23x
24
x = 192
Renê: 28 anos e FCmáx = 192
Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184
Renê 220 − x x
Bernardo 220 – 
23x
4
23x
4
Para a montagem das tabelas, é importante que o aluno compreenda inicialmente a seguinte informação do enunciado: 
FCmáx = 220 – I, onde FCmáx é a frequência cardíaca máxima do indivíduo de idade I. Para compreender essa relação, alguns exemplos 
podem ser úteis.
Um indivíduo de 20 anos tem frequência cardíaca máxima 200 porque 220 – 20 = 200. Do mesmo modo, um indivíduo com fre-
quência cardíaca máxima igual a 200 tem 20 anos de idade, porque 220 – 200 = 20. Um indivíduo de 30 anos tem frequência cardíaca 
máxima 190, porque 220 – 190 = 30. Da mesma maneira, um indivíduo com frequência cardíaca máxima igual a 190 tem 30 anos 
de idade, porque 220 – 190 = 30. Segue que um indivíduo de idade I tem FC máxima igual a 220 – I, e um indivíduo de frequência 
cardíaca máxima FCmáx tem idade I igual a 220 – FCmáx.
Na Tabela 3, colocamos x na frequência cardíaca máxima de Bernardo, o que implica dizer que sua idade será 220 − x. Como a fre-
quência cardíaca máxima de Renê é 24
23
da de Bernardo, então a FCmáx de Renê será 
24x
23
. A partir da FCmáx de Renê, concluímos 
que sua idade tem que ser 220 – 24x
23
. Note que o caminho feito para a organização dos dados na Tabela 3 foi:
x
Para as Tabelas 1, 2 e 4 os caminhos foram:
x
Tabela 4
x
Tabela 1
x
Tabela 2
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18
 
a Segundo o Dicionário Houaiss da língua portuguesa, heurística: arte de inventar, de fazer descobertas; ciência 
que tem por objeto a descoberta de fatos. 
Tendo em vista a resolução das equações decorrentes de cada uma das tabelas, é importante, mais uma vez, destacar que o aluno 
deverá compreender que o valor de x obtido em cada uma delas é diferente porque diz respeito a uma informação diferente 
da tabela, porém, as respostas finais sobre as idades e frequências cardíacas máximas de Renê e Bernardo devem ser iguais nas 
quatro tabelas, o que pode ser utilizado como recurso para corrigir eventuais erros no procedimento de resolução das equações.
7. Escreva uma expressão com le-
tras que represente corretamente 
cada um dos enunciados:
a) João tem o triplo da idade de Maria, que, 
por sua vez, tem a metade da idade de Ana.
Chamando a idade de Ana de A, temos: idade de João = 
= 
(3 ⋅ A)
2
 e idade de Maria = 
A
2
 .
b) O galinheiro de Cláudio tem 20 galinhas 
a mais do que o de Paula.
Chamando de C e P o total de galinhas do galinheiro de 
Cláudio e Paula, teremos C = P + 20.
c) X laranjas, em quantidade menor que 
uma dúzia, são Y laranjas.
Y = 12 – X, ou, de forma equivalente, X = 12 – Y.
8. Escreva uma situação real que poderia ser 
descrita pelas expressões:
a) Y = X + 2
Luiz tem 2 anos a mais que Pedro, sendo Y a idade de Luiz e 
X, a de Pedro.
b) 2 · X + 3 · Y = 50
Lúcia gastou R$ 50,00 na compra de X mercadorias de R$ 2,00 
e Y mercadorias de R$ 3,00.
c) X = 
2 · Y
3 
 + 4
Érica tem 4 anos a mais do que dois terços da idade de sua 
prima Tarsila, sendo X a idade de Érica e Y, a de Tarsila.
9. Léo, Mário e Norberto vão repartir 60 figuri-
nhas. Eles decidiram que Léo receberá 5 figu-
rinhas a mais do que Norberto e que Mário 
ficará com 3
4
 do total de figurinhas que Nor-
berto vai receber. Calcule quantas figurinhas 
cada um dos três amigos deve receber.
Léo, Mário e Norberto receberão 25, 15 e 20 figurinhas, res-
pectivamente.
Um curso de equações necessariamente 
tem que dar atenção à técnica de resolução, 
mas não deve dar ênfase maior a ela do que 
ao uso do raciocínio lógico. Não é razoável 
que se faça uso de técnicas em problemas de 
equações nos quais a solução pode ser obtida 
diretamente pelo uso da heurísticaa, como co-
mentaremos a seguir.
O ambiente de estudo das equações é extre-
mamente adequado ao exercício da heurística, 
já que muitas vezes uma equação pode ser re-
solvida por estratégias diferentes das que nor-
malmente faríamos com o uso das técnicas. 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 18 1/27/16 9:02 AM
19
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
O exercício de resolver equações por caminhos 
mais inventivos do que o da técnica é funda-
mental para o desenvolvimento do pensamento 
matemático e, portanto, deve sempre ser incen-
tivado. A seguir, apresentamos uma atividade 
em que o aluno tem que resolver uma série de 
equações, mas, na maioria dos casos, as técni-
cas conhecidas por ele não são suficientes para 
resolver os problemas, o que deve motivar a 
busca de soluções inventivas. O professor deve 
observar que na lista incluímos equações de 
2o grau, de 3o grau, com frações algébricas, ex-
ponenciais, equações com radicais, equações 
com mais de uma solução, equações sem solu-
ção e até equações com infinitas soluções, sendo 
que todas podem ser resolvidas por um aluno de 
7a série/8o ano sem o uso da técnica.
10. As técnicas estudadas para 
resolver equações são impor-
tantes porque organizam al-
guns procedimentos algébricos, mas nunca 
devemos perder de vista a heurística. Todas 
as equações a seguir podem ser resolvidas 
sem o uso das técnicas algébricas. Descu-
bra a solução de cada uma usando o méto-
do heurístico e registre com palavras o seu 
raciocínio. Lembre-se de que uma equação 
pode não ter solução, pode ter apenas uma 
solução, pode ter mais de uma solução ou 
até mesmo infinitas soluções.
a) 3x + 1 = 82
b) 
1
x + 1
 = – 
1
5
c) x2 = 25
d) x2 + 2 = 51
e) (x + 1)2 = 9
f) x2 = –16
g) 2x2 = 2
9
8
2x =
h) 2x + 1 = 16
i) 52 – x = 25
j) (x + 5) ⋅ (x – 3) = 0
k) x(x + 1) ⋅ (x + 2) ⋅ (x + 3) = 0
l) x + 1 =x + 2
m) 
5
x + 1
 = 0
n) 
x + 2
3x
 = 1
o) 
2x – 1
x + 4
 = 1
p) (2x)3 = 64
q) (2x + 1) ⋅ (3x + 3) = 0
r) x + =3 25= 25
s) 81
3
1x = = 1
t) 1 = 1
29
2 3
=
x –
u) 3 5 152 6x x+ = –= –15
v) 
2 1
41
13
41
x –
–= = 
2 1
41
13
41
x –
–=
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 19 1/27/16 9:02 AM
20
 
w) x3 = – 8
x) 1
5
0
x
 = = 0
y) 0 ⋅ x = 0
a) Basta investigar as potências de 3 até encontrar alguma 
cuja soma com 1 resulte 82. A resposta é x = 4, porque 34 = 81.
b) O denominador da fração do primeiro membro tem que 
ser igual a –5 para que a igualdade seja verdadeira com o 
segundo membro. Para que x + 1 seja igual a –5, x tem que 
ser igual a –6.
c) Os números que elevados ao quadrado resultam 25 são 5 
e –5. É provável que os alunos encontrem apenas a resposta 
positiva e que se surpreendam com o fato de encontrarmos 
duas soluções para uma equação.
d) Tirando 2 de 51 resulta 49, o que implica dizer que procu-
ramos um número cujo quadrado seja 49. Resposta: 7 e –7.
e) –3 e 3 são os números cujo quadrado é 9, mas, como esta-
mos elevando x + 1 ao quadrado, procuramos x + 1 = –3 e x + 
+ 1 = 3, ou seja, x = –4 ou x = 2.
f) Não existe número real cujo quadrado seja negativo, por-
tanto, a equação não possui solução em IR.
g) A metade de 
9
8
 é 
9
16
. Então, procuramos um número 
que, elevado ao quadrado, resulte 
9
16
. Resposta: 
3
4
 e – 
3
4
.
h) Como 24 = 16, procuramos um número que somado a 1 
resulte em 4, que é o número 3.
i) Análogo ao anterior, o x procurado é 0.
j) Se o produto de dois números é zero, neces sa ria mente um 
deles é zero (ou ambos são 0). Segue, portanto, que x é igual 
a –5 ou 3.
k) Análogo ao anterior, x pode ser 0, –1, –2 ou –3.
l) Não há valor de x que torne a igualdade verdadeira, por-
tanto, essa é uma equação “sem solução” (a solução é um 
conjunto vazio).
m) Como fração indica uma divisão, jamais poderemos 
ter uma fração de numerador diferente de zero que 
seja igual a zero. Portanto, essa é outra equação de so-
lução vazia.
n) Se uma fração é igual a 1, necessariamente seu nu-
merador é igual ao seu denominador, o que implica 
dizer que estamos procurando o x que resolva a equa-
ção x + 2 = 3x. Resposta: x = 1.
o) Análogo ao anterior. Resposta: x = 5.
p) Inicialmente, procuramos um número que, elevado ao 
cubo, resulte 64, que é o número 4. Em seguida, a pergunta 
passa a ser: qual é o expoente de uma potência de 2 para que 
o resultado seja 4? Resposta: 2. Esse exercício pode ser usado 
para discutir ou recordar a propriedade (am)n = a m ⋅ n.
q) Análogo ao raciocínio dos exercícios j e k. Resposta: – 
1
2
 
ou –1.
r) O quadrado de 25 é 625. Então, procuramos um número 
que, somado a 3, resulte 625. Esse número é 622.
s) 3x tem que ser igual a 81 para que a fração do lado esquer-
do seja equivalente a 1. O expoente que faz 3x ser igual a 81 é 
4, que é a resposta da equação.
t) Análogo ao anterior. Resposta: x = 5.
u) Seja qual for o valor de x, sabemos que x 2 e x 6 serão 
números não negativos, portanto, a equação não possui 
solução (em IR).
v) Uma vez que os dois membros representam equações de 
denominador 41, temos que ter 2x – 1 = –13, ou seja, x = – 6.
w) –2 é um número que, elevado ao cubo, resulta –8 (nes-
se exercício, o professor pode comentar com os alunos que 
em um conjunto numérico, o qual será estudado no futuro, a 
equação do problema terá outras duas soluções além do –2).
x) De modo análogo aos exercícios m e u, o problema não 
tem solução (o professor deve aproveitar esse exercício para 
discutir que x = 0 não é uma solução do problema).
y) Qualquer valor para x resolve a equação, portanto, é uma 
equação com infinitas soluções.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 20 1/27/16 9:02 AM
21
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
Professor, dependendo do interesse da tur-
ma, os seguintes comentários podem ser feitos 
ao longo da correção dessa atividade:
 f As equações a, h, i, p, s, t e x recebem o nome 
de equações exponenciais. Você consegue 
imaginar o porquê desse nome? 
Porque a incógnita se encontra em um expoente.
 f Na 1a série do Ensino Médio, você vai 
aprender técnicas para resolver equações 
exponenciais.
 f As equações b, m, n e o recebem o nome 
de equações com frações algébricas. Você 
consegue imaginar o porquê desse nome? 
Porque são equações que envolvem frações escritas com in-
cógnitas no denominador.
 f Na 7a série/8o ano e na 8a série/9o ano, você 
vai aprender técnicas para resolver equa-
ções com frações algébricas.
 f As equações c, d, e, f, g, j, k, l, q, u, v, w e 
y recebem o nome de equações algébricas 
(ou equações polinomiais). O grau de uma 
equação algébrica varia de acordo com o 
maior expoente que a incógnita assume 
quando a equação está escrita na forma 
mais simples possível. As estratégias de re-
solução das equações algébricas de 1o grau 
você começou a ver na 6a série/7o ano, e 
continua aprendendo na 7a série/8o ano. 
Na 8a série/9o ano, você aprenderá técni-
cas para resolução de equações algébricas 
de 2o grau. Na 3a série do Ensino Médio, 
você vai estudar técnicas para resolver al-
gumas equações algébricas de grau maior 
ou igual a 3.
 f A equação r chama-se equação irracional 
(equação que possui a incógnita no radicando).
 f Para sua surpresa, algumas equações para 
as quais você não encontrou solução têm 
uma ou mais respostas, mas, para encontrá-
-la(s), você terá que expandir seus conhe-
cimentos sobre conjuntos numéricos. Por 
exemplo, as equações f e u têm soluções no 
conjunto numérico dos números complexos. 
A equação w, para a qual você só encon-
trou uma solução, possui mais duas solu-
ções no conjunto dos números complexos. 
Mas fique atento, pois existem equações 
que não possuem solução, seja qual for o 
conjunto numérico assumido; ou seja, sua 
solução sempre será o conjunto vazio. São 
exemplos de equações com solução conjun-
to vazio: l, m e x.
 f Existem muitos outros tipos de equação que 
exploram contextos matemáticos que você 
ainda não conhece, então, seja bem-vindo 
ao maravilhoso mundo das equações que 
você só está começando a aprender (refe-
rimo-nos, nesse caso, às equações trigono-
métricas, matriciais e logarítmicas). 
A investigação das equações, que são sen-
tenças matemáticas em que aparecem o sinal de 
igualdade (=) e uma ou mais incógnitas, estabe-
lece quase de forma natural uma porta de en-
trada para o estudo das sentenças matemáticas 
com uma ou mais incógnitas, nas quais aparece 
um sinal de desigualdade (>, <, ≅ ou ≈).
Dois aspectos devem ser destacados na in-
trodução ao estudo das inequações. Em pri-
meiro lugar, é importante que o professor evite 
a formulação de regras como “multiplica por 
negativo e troca o sinal da desigualdade” sem 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 21 1/27/16 9:02 AM
22
 
que antes tenha sido trabalhada com segu-
rança uma compreensão significativa de tal 
“regra prática”. Em segundo lugar, deve-se 
procurar, na medida do possível, problema-
tizar o uso das inequações em situações con-
cretas de resolução de problemas. A seguir, 
apresentamos alguns problemas que contem-
plam esse objetivo. 
11. A figura indica uma folha de latão que será 
usada na montagem de uma peça (as medi-
das estão em metros).
2x
 +
 4
x + 10
2x + 4
x
x
x
x
a) Determine todos os valores possíveis de 
x (em metros) para que o perímetro da 
folha seja maior ou igual a 64 m.
2(2x + 4 + x) + 2(x + x + 10 + x) ≥ 64 ⇒ x ≥ 3 metros.
b) Determine todos os valores possíveis de 
x (em metros) para que a soma dos com-
primentos representados em vermelho 
seja menor que a soma dos demais com-
primentos que completam o perímetro 
da folha.
2(2x + 4 + x + x) < 2(x + 10) + x + x ⇒ x < 3. Nesse caso, é im-
portante que se observe a figura para identificar a condição 
de existência de x (para que a figura exista, temos que ter 
x > 0). Portanto,a resposta do problema deve atender simul-
taneamente às condições x < 3 e x > 0, o que pode ser escrito, 
resumidamente, como 0 < x < 3, com x dado em metros.
12. Para produzir x litros de uma substância, o 
custo por litro depende da quantidade pro-
duzida, ou seja, depende do valor de x. Em 
dada situação, o custo por litro é expresso 
pela relação C = 1 000 – 1,5x. A empresa 
que fabrica essa substância desenvolveu um 
novo processo de produção que pode ser 
feito ao custo (por litro) dado pela fórmula 
C = 940 – 1,4x. Pergunta-se:
a) Deseja-se produzir 450 litros da subs-
tância. Em qual dos dois processos o 
custo por litro será menor? E se a quan-
tidade a ser produzida for 620 litros?
Para x = 450, o processo antigo implica um custo de (1 000 – 
– 1,5 ⋅ 450) = R$ 325,00 por litro; e o novo, um custo de (940 – 
– 1,4 ⋅ 450) = R$ 310,00 por litro. Para x = 620, o processo antigo im-
plica um custo de (1 000 – 1,5 ⋅ 620) = R$ 70,00 por litro, e o novo, 
um custo de (940 − 1,4 ⋅ 620)= R$ 72,00 por litro. Portanto, para 
450 litros, o custo por litro dado pela fórmula antiga é maior que 
o dado pela fórmula nova e, para 620 litros, a situação se inverte.
b) Determine todos os valores de x para os 
quais o custo por litro no novo processo 
de produção é menor do que o custo 
por litro no processo antigo.
Procura-se a solução da inequação 940 − 1,4x < 1 000 − 1,5x, 
que é x < 600. Devemos ainda observar que, como x > 0, por-
tanto, 0 < x < 600, com x dado em litros.
13. Para enviar uma mensagem do Brasil para 
os Estados Unidos via fax, uma empre-
sa cobra R$ 3,40 pela primeira página e 
R$ 2,60 por página adicional, completa ou 
não. Calcule o maior número de páginas pos-
sível de uma dessas mensagens para que seu 
preço não ultrapasse o valor de R$ 136,00.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 22 1/27/16 9:02 AM
23
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
Chamando de P o preço em R$ para enviar x páginas, temos: 
P = 3,4 + 2,6 ⋅ (x – 1)
Calcular o maior número de páginas possível para que o pre-
ço não ultrapasse R$ 136,00 resume-se a resolver e interpretar 
a inequação 3,4 + 2,6 ⋅ (x – 1) ≤ 136, com x inteiro. Resolven-
do a inequação:
3,4 + 2,6x − 2,6 ≤ 136 ⇒ x ≤ 52. 
O maior número inteiro que é menor ou igual a 52 é o pró-
prio 52, que é a resposta do problema. 
14. Em um concurso com 20 ques-
tões, para cada questão respondi-
da corretamente o candidato ga-
nha 3 pontos, e, para cada uma respondida 
de forma incorreta (ou não respondida), 
perde 1 ponto. Sabendo que para ser apro-
vado o candidato deve totalizar na prova 
um mínimo de 28 pontos, calcule o menor 
número de questões respondidas correta-
mente para que o candidato seja aprovado 
no concurso.
Chamaremos de x o número de questões respondidas cor-
retamente pelo candidato e de 20 – x o número de questões 
respondidas incorretamente ou não respondidas por ele. Se 
P é o total de pontos obtidos pelo candidato ao respon-
der corretamente x questões, então a função que modela 
o problema é P = 3x – (20 – x), com x sendo um número 
inteiro tal que 0 ≤ x ≤ 20.
O menor número de questões respondidas corretamente 
para que o candidato totalize um mínimo de 28 pontos será 
o menor inteiro que atende à inequação P ≥ 28. Resolvendo:
3x – (20 – x) ≥ 28
3x – 20 + x ≥ 28
4x ≥ 48
x ≥ 12. Portanto, no mínimo ele deve acertar 12 questões, to-
talizando, nesse caso, exatamente 28 pontos.
15. Três planos de telefonia celular são apre-
sentados na tabela a seguir:
Plano
Custo fixo 
mensal
Custo adicional 
por minuto
A R$ 35,00 R$ 0,50
B R$ 20,00 R$ 0,80
C R$ 0,00 R$ 1,20
a) Qual é o plano mais vantajoso para al-
guém que utiliza 25 minutos por mês?
Chamando-se de CA, CB e CC o custo total dos planos A, B e C 
para x minutos de uso, teremos:
CA = 35 + 0,5 ⋅ x ⇒ CA = 35 + 0,5 ⋅ 25 = 47,5
CB = 20 + 0,8 ⋅ x ⇒ CB = 20 + 0,8 ⋅ 25 = 40
CC = 1,2 ⋅ x ⇒ CC = 1,2 ⋅ 25 = 30
Portanto, para 25 minutos de uso: CC < CB < CA.
b) A partir de quantos minutos de uso 
mensal o plano A se torna mais vanta-
joso que os outros dois?
Queremos encontrar o menor valor de x para que CA < CB 
e CA < CC .
CA < CB
35 + 0,5x < 20 + 0,8x, ou seja, x > 50
CB < CC
35 + 0,5x < 1,2x, ou seja, x > 50
Para qualquer valor de x maior do que 50 minutos, o plano A 
será mais barato que os planos B e C.
Considerações sobre a avaliação
Na Situação de Aprendizagem 1, discutimos 
a resolução de equações e inequações. No tema 
equações, demos continuidade à introdução feita 
na 6a série/7o ano sobre o assunto, apresentando 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 23 1/27/16 9:02 AM
24
 
situações mais complexas, passíveis de equa-
cionamento, bem como equações de 1o grau de 
complexidade maior que as apresentadas na sé-
rie/ano anterior. No que diz respeito às desigual-
dades, nestes Cadernos, o estudo das inequações 
tem início na 7a série/8o ano e prossegue nas sé-
ries/anos seguintes. Na 7a série/8o ano, entende-
mos que o assunto deve ser tratado, sempre que 
possível, com maior ênfase dada à resolução de 
problemas, e não à tecnicidade, o que não quer 
dizer que o professor deva abandonar por com-
pleto a sistematização de alguns procedimentos 
de resolução de inequações. Lembramos que o 
estudo das inequações está apenas começando 
na 7a série/8o ano e, certamente, será retomado 
com aprofundamento e outros matizes nas sé-
ries/anos seguintes.
Uma vez que o aluno estará aprofundando 
seus conhecimentos sobre equações nesse volu-
me, é tarefa importante do professor prepará-
-lo para uma boa leitura de enunciados e para 
a transposição de linguagens (do texto para a 
Álgebra e vice-versa). A leitura e a interpretação 
de enunciados será melhor quanto mais o aluno 
puder praticá-la com orientação do professor. 
O professor, por sua vez, deve evitar concentrar 
o curso apenas em problemas do tipo “resolva 
a equação...”, “determine o valor de x...” etc., 
sendo preferível que se privilegiem problemas 
com texto e contexto. Instrumentalizar os alu-
nos para uma boa leitura de enunciados signi-
fica orientá-los para que identifiquem os dados, 
as relações entre dados e a pergunta. Em segui-
da, outra etapa importante é a da transposição 
das informações coletadas para a linguagem da 
Álgebra. Nesse momento, o professor deve estar 
atento às dificuldades específicas dos seus alu-
nos para que possa elaborar a estratégia certa 
para a condução do curso.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 
COORDENADAS CARTESIANAS E TRANSFORMAÇÕES NO PLANO
Conteúdos e temas: coordenadas; plano cartesiano; pares ordenados; transformações geométricas.
Competências e habilidades: conhecer as principais características do sistema de coordenadas 
cartesianas; localizar pontos e figuras geométricas no plano cartesiano; realizar transforma-
ções geométricas no plano usando operações com as coordenadas cartesianas. 
Sugestão de estratégias: análise e resolução de situações-problema; uso de um jogo para a fa-
miliarização com o sistema de coordenadas; uso do plano para representar pontos e figuras.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 24 1/27/16 9:02 AM
25
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
a análise gráfica da solução de um sistema de 
equações. No Ensino Médio, o gráfico cartesia-
no será usado para a representação de diferen-
tes tipos de função, da linear à exponencial. 
Inicialmente, propomos algumas atividades 
relacionadas à noção de localização antes de 
introduzir formalmente o sistema de coorde-
nadas cartesianas. É importante explorar os 
conhecimentos prévios dos alunos em situa- 
ções de localização, tais como a procura de uma 
rua em um guia de endereços ou a localização 
de uma cidade em um mapa. 
A partir de alguns exemplos conhecidos, dis-
cutiremos as principais características de um sis-
tema de localização: a necessidade de um ponto 
de referência, as coordenadas e as dimensões 
envolvidas, as convenções adotadasetc. Em se-
guida, destacamos os principais elementos do 
sistema de coordenadas cartesianas: o ponto de 
origem, a reta numérica, os eixos coordenados, 
os pares ordenados e o plano cartesiano. 
Feito isso, propomos uma série de atividades 
que têm por objetivo consolidar o conhecimento 
do sistema de coordenadas cartesianas. As ativi-
dades 5 e 6 tratam da representação de figuras 
geométricas no plano cartesiano. Na atividade 8, 
propomos um jogo de batalha-naval matemático 
envolvendo coordenadas cartesianas. Da ativi-
dade 9 em diante, introduzimos as transforma-
ções geométricas no plano cartesiano: por meio 
de operações realizadas com as coordenadas 
cartesianas, exploraremos movimentos e trans-
formações de figuras geométricas simples, como 
translação, reflexão, ampliação e redução. 
Nesta Situação de Aprendizagem, iremos am-
pliar a noção de localização com base na explora-
ção e na formalização do sistema de coordenadas 
no plano. Os alunos já trabalharam nas séries/
anos anteriores com a leitura e a representação 
de valores numéricos em retas e gráficos. Nesta 
etapa da escolaridade, pretende-se que eles com-
preendam o sistema de coordenadas cartesianas 
como um modo organizado e convencionado 
para representar objetos e relações matemáticas. 
Em outras palavras, eles devem conhecer as 
principais características do plano cartesiano: 
que é constituído por dois eixos perpendiculares 
entre si, cada qual subdividido em partes iguais, 
representadas por números positivos e negativos; 
que o plano é dividido em quatro quadrantes etc. 
São essas características que fazem do plano car-
tesiano um sistema apropriado para representar 
pontos, figuras geométricas, equações e funções. 
Contudo, há uma ressalva a se considerar: no 
plano cartesiano, os pontos representados nos 
dois eixos correspondem a números reais. Como 
os alunos ainda não estudaram a formação do 
conjunto dos reais e a reta real, trabalharemos 
neste momento apenas com pontos racionais. O 
que estamos chamando de coordenadas carte-
sianas é um sistema de coordenadas racionais 
no plano. A formalização do plano cartesiano 
será feita posteriormente, a partir do estudo dos 
números reais e das funções. 
O conhecimento do sistema de coordenadas 
cartesianas também é importante para a conti-
nuidade dos estudos em Álgebra. A representa-
ção de pares ordenados (x; y) correspondentes 
a uma equação com duas variáveis possibilita 
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26
 
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 2
A ideia de localização
Um dos desafios que se coloca para o profes-
sor da 7a série/8o ano é como introduzir o sistema 
de coordenadas cartesianas de uma forma sig-
nificativa para o aluno. Sugerimos que se explo-
rem, inicialmente, algumas situações e alguns 
contextos em que a noção de localização seja 
familiar aos alunos. Um aluno da 7a série/8o ano 
provavelmente já se deparou com algum tipo de 
problema de localização, como encontrar uma 
rua em um guia de endereços, achar um livro em 
uma biblioteca ou, até mesmo, jogar batalha- 
-naval. Em todos esses exemplos, a noção de 
coordenada está diretamente envolvida. 
Nosso trabalho será fazer com que o alu-
no saiba reconhecer e analisar os elementos 
que estão presentes em uma situação de loca-
lização. Ele deverá se apropriar dos termos 
próprios da Matemática usados para localizar 
um objeto, como: origem, sentido, distância, 
escala, coordenada, reta numerada, eixos co-
ordenados, plano cartesiano, par ordenado 
etc. As atividades propostas a seguir cami-
nham nessa direção.
Localização
1. Se quisermos localizar o en-
dereço de uma pessoa, pode-
mos recorrer a um guia de ruas. 
O guia funciona com um sistema de coorde-
nadas de linhas e colunas. Para localizar 
uma rua, basta conhecer suas coordenadas, 
isto é, a linha e a coluna em que ela se en-
contra. No caso do guia de ruas, esse cruza-
mento de informações determina uma re-
gião (quadrado) na qual a rua (ou parte 
dela) está localizada. Além disso, é preciso 
saber o número da página em que ela se en-
contra. O mapa a seguir foi extraído da pá-
gina de um guia de ruas da cidade de São 
Paulo. Faça o que se pede:
R. Vadico
R. M
ende
s Ca
ldeir
a
R. Rodrigues dos Santos
R. M
onsenhor A
ndrade
R. Elisa Whitaker
R. João Teodoro
R. São Caetano
R. São Caetano
R. Mauá
R. Miguel Carlos
R.
 d
a 
Ca
nt
ar
ei
ra
R.
 P
lín
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 R
am
os
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 A
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Av. Mercúrio
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do
R. Be
njam
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 B
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up
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R.
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Ge
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Ca
rn
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R. Fe
rnan
des S
ilva
R. S
am
pa
io M
ore
ira
R. da Alfândega
R. Santa Rosa
R. do Lucas
R. do Gas
ômetro
R. do G
asômet
ro
R. Polig
nano A
. Maré
Praça
São Vito
R. M
onsenhor A
ndrade
B R Á S
B O M R E T I R O
R
1
A
B
C
D
2 3 4
a) As coordenadas da Rua Miguel Carlos 
são B1. Localize-a no mapa.
A Rua Miguel Carlos encontra-se na quadrícula de interseção 
entre a segunda linha e a primeira coluna. 
b) A Rua Vadico está indicada no mapa. 
Dê a sua localização em termos de 
coordenadas.
A Rua Vadico encontra-se na casa C4, ou seja, no cruzamento 
da terceira linha com a 4ª coluna. 
Outra ideia que deve ser destacada é que a informação 
sobre a localização de um objeto parte sempre de um 
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ri
al
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Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
ponto de referência escolhido. No caso do guia de ruas, 
o ponto de referência é o canto superior esquerdo da pá-
gina, onde se iniciam as sequências de números e letras. 
Na próxima atividade, exploramos uma situação em que 
as informações sobre a localização de um objeto depende 
do referencial escolhido.
Pode-se comentar com os alunos que, nesse 
caso, utilizou-se uma combinação de letras e 
números para dar a informação da localização 
de um ponto desta rua. Poderiam ser duas le-
tras ou dois números, dependendo da convenção 
estabelecida pelo guia. O cruzamento das duas 
informações resultou na localização da região 
em que se encontra a rua no mapa. 
truída em escala. As dimensões dos ladri-
lhos quadriculados são de 10 cm por 10 cm.
ralo
a) Como você faria para informar a locali-
zação precisa do ralo nessa planta?
Resposta pessoal. A ideia é compartilhar as diferentes estraté-
gias adotadas pelos alunos e verificar se eles adotaram algum 
tipo de ponto de referência para a localização. 
b) Tendo como ponto de referência o canto 
superior esquerdo da planta, quais são as 
coordenadas horizontais e verticais do ralo?
Se escolhermos como ponto de referência o canto su-
perior esquerdo da cozinha, então o ralo se encontra a 
3,2 m na direção horizontal e a 0,7 m na direção verti-
cal em relação ao ponto de referência escolhido. Veja a 
planta a seguir.
ralo
ponto de 
referência
3,2 m
0,
7 
m
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ão
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2. Consulte um guia de 
ruas e localize a rua onde 
você mora e a rua de sua 
escola. Procure os seus nomes no índi-
ce alfabético e anote suas coordena-
das (página, linha e coluna).
Casa:
Escola:
Resposta pessoal. Você poderá mostrar no guia a locali-
zação e as coordenadas da escola.
Ponto de referência
3. Um empreiteiro deve cons-
truir um ralo em uma cozinha 
seguindo as instruções forneci-
das pelo arquiteto na planta a seguir, cons-
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28
 
c) Escolha outro ponto de referência na 
planta e escreva as coordenadas do ralo. 
Por outro lado, se adotarmos como ponto de referência o 
canto superior direito, as coordenadas da localização do ralo 
mudam: 0,4 m na horizontal e 0,7 m na vertical. Embora as 
coordenadas variem de acordo com o referencial adotado, a 
posição do ralo é sempre a mesma. Tudodepende da escolha 
do referencial mais adequado em cada situação.
ralo
ponto de 
referência
0,4 m
0,
7 
m
Localização e dimensões
Para encontrarmos o local de uma casa, precisamos do endereço dela. No caso, precisamos 
saber o nome da rua e o número da casa. Encontrada a rua, basta nos orientarmos pela nu-
meração até localizarmos a casa. Por convenção, a numeração de uma rua segue um sentido 
crescente de numeração relacionado à distância em relação ao início dessa rua. Esse início é 
estabelecido por convenção, e a partir dele numeram-se as residências, com os números pares 
à direita e os ímpares à esquerda. Assim, a casa de número 250 fica no lado direito da rua, a 
aproximadamente 250 metros de seu início. Essa situação envolveu a localização de um ponto 
em determinado espaço de uma dimensão, a saber, da distância da casa até o início da rua. 
No caso do guia de endereços, para localizar uma rua foram necessárias duas informações: 
a primeira em relação à direção horizontal (representada por letras), e a segunda, em relação 
à direção vertical (representada por números). O mesmo ocorre quando queremos informar a 
localização de um livro em uma estante. A prateleira informa a dimensão vertical e a posição 
do livro na prateleira, a dimensão horizontal. Tal livro encontra-se na 5a prateleira de baixo 
para cima, e é o 5o da direita para a esquerda. 
Um mapa geográfico também envolve a localização de duas direções: a vertical, chamada 
de latitude, e a horizontal, que é a longitude. O sentido de cada uma dessas direções foi esta-
belecido por convenção: Norte e Sul a partir da linha do Equador para a latitude, e Leste e 
Oeste a partir do meridiano de Greenwich para a longitude. A cidade de Santos, por exemplo, 
encontra-se 23o 57’ ao Sul do Equador e 46o 20’ a Oeste do meridiano de Greenwich. As três 
situações descritas envolveram a localização em um espaço de duas dimensões. 
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Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
Já a posição de um avião em pleno voo envolve a localização em um espaço de três dimensões. 
Além das coordenadas geográficas (latitude e longitude), precisamos determinar a altura em 
que o avião está viajando, completando assim três informações. Outro exemplo é a localização 
de um livro em uma biblioteca com várias fileiras de estantes. Precisamos informar a fileira em 
que se encontra a estante, a prateleira e a posição do livro na prateleira. Para três dimensões, três 
informações são necessárias. 
Da reta numerada ao plano
O modelo matemático mais usado para localizar pontos em uma dimensão é a reta numera-
da (veja a figura a seguir). Para localizar um ponto com precisão em uma reta são necessários 
três elementos. O primeiro é um ponto de referência ou origem, a partir do qual serão feitas as 
comparações de distância. O segundo é um sentido de crescimento, de forma que seja possível 
estabelecer uma sequência crescente de numeração. E, por fim, uma unidade de medida, que 
servirá de parâmetro para a marcação de todos os outros pontos da reta. 
543210–1–2–3
Origem
Unidade Sentido
Parte-se do pressuposto de que é possível associar cada ponto da reta a um único número 
real e cada número real a um único ponto na reta. Essa afirmação não será justificada neste mo-
mento, uma vez que será aprofundada somente no estudo da construção e a representação dos 
números reais, na 8a série/9o ano. Por enquanto, basta que compreenda que é possível localizar 
e representar números inteiros e racionais na reta numerada. 
Essa correspondência entre pontos e números define um sistema de coordenadas na reta. 
O número correspondente a um ponto da reta é chamado de coordenada. A coordenada 
nada mais é do que o endereço de um ponto na reta numerada. 
A reta numérica, contudo, não é suficiente para localizar pontos em um espaço de duas 
dimensões. O modelo matemático mais utilizado para esse fim é o plano. O plano cartesiano 
consiste na junção de duas retas numeradas (eixos coordenados), uma horizontal e outra ver-
tical, que se cruzam no ponto de origem. 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 29 1/27/16 9:02 AM
30
 
Do mesmo modo que um número representava um ponto na reta numerada, um par de núme-
ros representará um ponto no plano. Cada um desses números corresponderá a um ponto em um 
dos eixos coordenados. Assim, o endereço de um ponto no plano corresponde a um par ordenado 
de números. Essa ordenação foi convencionada da seguinte forma: o primeiro número corresponde 
ao eixo horizontal e o segundo, ao vertical. Por exemplo, o ponto correspondente ao par ordenado 
(3; 2) encontra-se a 3 unidades de distância da origem na horizontal e a 2 unidades na vertical. O 
gráfico a seguir mostra a representação de alguns pares ordenados no plano cartesiano. 
(3; 2)
(2; -2)
(-1; -4)
(-3; 1)
(0; 0)
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
10 2 3 4 x
y
Por convenção, o ponto de origem do plano corresponde ao par ordenado (0; 0), que é o ponto 
de interseção das duas retas numeradas. O sentido de crescimento no eixo horizontal é da esquerda 
para a direita e no vertical, de baixo para cima. Os números positivos são representados à direita 
e acima do ponto de origem, e os negativos, à esquerda e abaixo desse ponto. Os pontos do plano 
são representados pelos pares ordenados (x; y), no qual x representa os valores associados ao eixo 
horizontal, e y, os valores associados ao eixo vertical.
No caso da representação de planos no espaço, acrescenta-se mais um eixo coordenado 
perpendicular ao plano, passando pela origem. Assim, no espaço, o endereço de um ponto é 
uma coordenada composta por três pontos ordenados (x; y; z). 
O nome do sistema de coordenadas cartesianas é uma homenagem ao seu criador, o filósofo 
e matemático francês René Descartes, que viveu no século XVII. A ideia de localizar pontos no 
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31
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
plano por meio de um sistema de coordenadas representou um grande avanço no estudo da Geo-
metria. A partir da criação do sistema de coordenadas cartesianas, a Geo metria passou a se apoiar 
nas técnicas de representação algébrica, permitindo um estudo mais analítico das figuras geomé-
tricas. Além disso, a própria Álgebra se transformou, pois os valores de uma função puderam ser 
representados graficamente, permitindo uma análise geométrica das expressões algébricas.
As atividades a seguir têm como objetivo principal apresentar os principais elementos do sis-
tema de coordenadas no plano, por meio da representação de figuras geométricas e das possíveis 
transformações que podem ser feitas a partir de operações com suas coordenadas: translações, 
reflexões, ampliações e reduções. Na atividade 5, serão introduzidos os termos abscissa e ordenada 
para designar as coordenadas dos eixos x e y, respectivamente. 
Representação de figuras geométricas no plano
4. Observe as figuras geométricas represen-
tadas no plano a seguir. Podemos localizá-
-las por meio de coordenadas horizontais e 
verticais. Por exemplo, os vértices do qua-
drado ABCD têm as coordenadas: A (6; 5), 
B (4; 7), C (2; 5) e D (4; 3).
y
x
F
G E–5 10–10 5
5
–5
10
J
H
I
B
A
D
C
M
K
N
L
–10
0
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32
 
a) Escreva as coordenadas dos vértices do 
triângulo EFG, do retângulo HIJK e 
do triângulo LMN.
As coordenadas dos vértices do triângulo EFG são: E (–2; 1), 
F (–8; 5) e G (–8; 1). 
As do retângulo HIJK são H (0; –1), I (–6; –1), J (–6; –4), K (0; –4). 
As do triângulo LMN são L (6; 0), M (0; –6) e N (4; –6). 
b) Quais pontos assinalados possuem a 
mesma coordenada x (abscissa)?
Os pontos A e L possuem abscissa 6. Os pontos B, D e N pos-
suem abscissa 4. Os pontos H, K e M possuem abscissa 0. Os 
pontos I e J possuem abscissa –6. Os pontosF e G possuem 
abscissa –8. 
c) Quais pontos assinalados possuem 
coordenada y (ordenada) igual a zero?
Somente o ponto L possui ordenada igual a 0. 
d) Qual ponto assinalado encontra-se mais 
próximo da origem?
O vértice H (0; –1).
e) E o mais afastado?
O vértice F (–8; 5).
f) Quais pontos assinalados possuem to-
das as coordenadas negativas?
Os vértices I (–6; –1) e J (–6; –4).
g) Quais pontos assinalados possuem abs-
cissas negativas e ordenadas positivas?
Os vértices E (–2; 1), F (–8; 5) e G (–8; 1).
h) Calcule a área de cada uma das figuras.
Quadrado ABCD: 8 / Triângulo EFG: 12 / Retângulo HIJK: 18 / 
Triângulo LMN: 12.
Na próxima atividade, os alunos deverão 
fazer o caminho inverso, isto é, partindo das 
coordenadas para representar as figuras geo-
métricas no plano cartesiano. 
A familiaridade com os termos abscissa 
e ordenada pode levar ainda algum tempo. 
Assim, se os alunos apresentarem dificuldade 
nessa atividade, o professor pode reformular 
a pergunta, substituindo o termo abscissa por 
coordenada x e ordenada por coordenada y. 
O importante é enfatizar a capacidade leito-
ra dos alunos com relação às coordenadas 
cartesianas no plano. Outro problema que 
costuma aparecer é a dificuldade de leitura 
de pontos que estejam nos eixos coordenados. 
Por exemplo, o ponto L situa-se no eixo x, 
e possui coordenada (6; 0). O ponto H está 
situado no eixo y e possui coordenada (0; –1). 
Deve-se mostrar aos alunos que todo ponto 
situado no eixo x será representado por um 
par ordenado (x; 0), e todo ponto situado no 
eixo y, por um par ordenado (0; y). 
Desenhando polígonos
5. Desenhe os seguintes polígonos 
no plano cartesiano a partir das 
coordenadas de seus vértices:
 f Triângulo ABC, sendo A (5; 2), B (7; 7) e 
C (1; 5).
 f Quadrado DEFG, sendo D (–3; 2), E (–3; 7), 
F (–8; 7) e G (–8; 2).
 f Hexágono HIJKLM, sendo H (–7; 0), 
I (–10; 0), J (–12; –3), K (–10; –6), L (–7; –6) 
e M (–5; –3).
 f Quadrilátero NOPQ, sendo N (7; 0), O (0; –3), 
P (7; –6) e Q (5; –3).
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 32 1/27/16 9:02 AM
33
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
6. Com base nas figuras obtidas na atividade 
anterior, responda:
a) Quais pontos assinalados estão situa-
dos no eixo das abscissas?
Os vértices N (7; 0), H (–7; 0) e I (–10; 0).
b) O que eles têm em comum?
As coordenadas y (ordenadas) valem 0.
c) Quais pontos assinalados possuem or-
denadas negativas e abscissas positivas?
Os vértices P (7; –6) e Q (5; –3).
d) Qual ponto assinalado encontra-se mais 
próximo da origem?
O vértice O (0; –3).
e) E o mais afastado?
O vértice J (–12; –3).
f) Qual é a distância entre os vértices M e Q?
10 unidades.
7. Determine o quadrante a que 
pertencem os seguintes pontos:
 A (2; –3), B (7; 1), C (–1; – 4), D (1,3; – 0,5), 
E (– 5
4
; 2), F (–1; – 1
2
), G (2,5; 0,25).
1o quadrante: B, G
2o quadrante: E
3o quadrante: C, F
4o quadrante: A, D
y
x–5
–5
–10
5
5
10
100
LK
J
I H
M
N
P
O
A
B
C
F E
G D
Q
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 33 1/27/16 9:02 AM
34
 
Pode-se explorar com os alunos que, nos 
quadrantes ímpares (1o e 3o), as coordenadas 
têm o mesmo sinal, ao passo que, nos qua-
drantes pares, (2o e 4o) elas têm sinal oposto, 
como mostra a figura a seguir. 
y
x
3o
(−, +)
(−, −)
(+, +)
(+, −)
1
4o
o2o
A próxima atividade é uma espécie de jogo 
de batalha-naval adaptado para o plano car-
tesiano. O uso de jogos como estratégia de 
 ensino na Matemática tem se mostrado bas-
tante proveitoso, sobretudo com alunos do En-
sino Fundamental. Esse jogo tem por objetivo 
o conhecimento do sinal das coordenadas nos 
quatro quadrantes do plano cartesiano. No 
primeiro quadrante, ambas as coordenadas são 
positivas; no segundo, a abscissa é negativa e a 
ordenada, positiva; no terceiro, ambas as coor-
denadas são negativas; e no quarto, a abscissa é 
positiva e a ordenada, negativa.
8. O jogo da batalha-naval matemática.
 Este jogo é uma espécie de “batalha-naval” 
cujo tabuleiro é um plano coordenado xy. 
As regras são similares às do jogo tradicio-
nal. A diferença é que, em vez de navios e 
submarinos, os objetos a serem atingidos 
são objetos matemáticos. Cada jogador 
terá uma frota composta por oito deles, 
como mostra a figura a seguir.
ponto
adição
triângulo
menor
subtração
quadrado
multiplicação
triângulo 
maior
divisão
 Regras do jogo:
 I. Seu professor vai propor que você forme 
uma dupla com um colega. Um de vocês 
será o jogador Norte e o outro, o Sul.
 II. Usando o tabuleiro fornecido a seguir, po-
sicione os oito símbolos da seguinte forma:
Jogador Norte: 1o e 2o quadrantes
Jogador Sul: 3o e 4o quadrantes
 III. As extremidades de cada objeto devem 
situar-se no cruzamento de uma linha 
horizontal e vertical. As coordenadas de-
vem ser números inteiros.
 IV. Não ultrapasse os limites do tabuleiro. Não 
posicione seus objetos sobre os eixos coor-
denados. Limites: Norte (abscissas entre 
–10 e 10, ordenadas entre 1 e 10); Sul (abs-
cissas entre –10 e 10, ordenadas entre –10 e 
–1). Os símbolos não podem se interceptar.
 V. Cada jogador, na sua vez de jogar, terá direi-
to a 3 “tiros”, anunciando as coordenadas 
(x; y) de localização. O adversário deverá 
dizer se os tiros acertaram algum alvo, in-
dicando qual dos tiros e que objeto foi atin-
gido. Se não houve nenhum acerto, bastará 
dizer que foi “água”. Exemplo: Norte atira 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 34 1/27/16 9:02 AM
35
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
no Sul: (–2; –3), (4; –2), (1; –7); Sul respon-
de: (–2; –3) e (4; –2) deram “água”; (1; –7) 
acertou o vértice de um triângulo menor.
 VI. Para afundar um alvo é preciso acertar as 
coordenadas de todos os seus pontos que 
estejam no cruzamento de uma linha e 
uma coluna. Por exemplo: o objeto + (adi-
ção) possui 5 pontos (as 4 extremidades e 
o ponto central); o triângulo maior possui 
6 pontos (3 vértices e 3 pontos situados no 
meio de cada lado).
 VII. O jogador atacado deverá informar se o 
objeto for “afundado”.
VIII. Os jogadores devem marcar (com um x) 
os tiros dados em seus respectivos tabu-
leiros para saber quais tiros foram da-
dos e recebidos.
 IX. Ganha o jogo quem conseguir acertar a 
esquadra completa do outro jogador.
 Veja o exemplo de um tabuleiro usado pelo 
jogador Norte e seus tiros dados (em azul) 
e recebidos (em vermelho).
y
x
–5 10–10 50
10
–5
5
–10
×
×
×
×
×
× ×
×
× × ×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× ×
×
×
×
× × ×
Observação!
É importante que cada jogador dê os 
tiros com as coordenadas corresponden-
tes ao quadrante do adversário, caso con-
trário, poderá acertar a própria esquadra.
Tabuleiro
0–2– 4– 6– 8 10–10 2 4 6 8
8
6
4
2
–2
– 4
– 8
– 6
10
–10
y
x
Jogo da batalha-naval matemática: você, professor, deve 
acompanhar os jogos das duplas para verificar se os alunos es-
tão conseguindo utilizar corretamente as coordenadas, princi-
palmente no que se refere aos sinais e aos quadrantes.
 As próximas atividades envolvem trans-
formações geométricas no plano. Por meio de 
simples operações aritméticas realizadas com 
as coordenadas dos vértices de figuras geo-
métricas, iremos explorar algumas transfor-
mações que podem ser realizadas com essas 
figuras. É importante destacar que essa é uma 
abordagem dinâmica da Geometria, em con-
traposição à maneira usual, que é estática. 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 35 1/27/16 9:02 AM
36
 
Por meio dela, os alunos poderão analisar 
não apenas o movimento das figuras no pla-
no (translações e reflexões), mas também am-
pliações e reduções dessas figuras. 
I.
y
x
A A’
B B’
v
II.
y
x
A
v
A’ B’
B
III.
y
x
A
v
A’
B’ B
 ©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ri
al
Chamamos translação o mo-
vimento de uma figura no 
plano em que todos os seus 
pontos são igualmente deslocados em 
uma determinada direção. A translaçãoestá associada a uma figura matemática 
denominada vetor, que indica a direção 
e a magnitude de um movimento.
Nesta atividade, vamos distinguir 
três tipos de translação. A translação 
horizontal, tanto no sentido da esquer-
da para a direita (x + a), quanto no sen-
tido da direita para a esquerda (x – a). 
A translação vertical, de cima para bai-
xo (y – b) ou de baixo para cima (y + b). 
E, finalmente, a translação combinada, 
que mescla movimentos na horizontal 
ou na vertical (x ± a; y ± b).
9. Relacione as figuras com as 
seguintes translações.
 f Translação horizontal: x + 7 
 f Translação horizontal: x – 7 
 f Translação horizontal: x – 10
 f Translação vertical: y + 5 
 f Translação vertical: y – 5 
 f Translação vertical: y + 5
 f Translação combinada: (x + 4; y – 3) 
 f Translação combinada: (x – 4; y + 3)
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37
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
IV.
y
x
A
A’
B’
B
v
I. Translação horizontal: x + 7. 
II. Translação vertical: y – 5. 
III. Translação horizontal: x – 10. 
IV. Translação combinada: (x + 4; y – 3).
Translação
Considere o triângulo ABC. As coordena-
das (x; y) de seus vértices são A (3; 2), B (7; 3) 
e C (4; 5).
y
5
C
A
B
2
3 4 7 x
3
I. Translação horizontal: se somarmos uma 
constante a às coordenadas dos três vér-
tices, o triângulo será transladado em a 
unidades na direção do eixo coordenado 
 ©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ri
al
correspondente. Por exemplo, somando 6 
às abscissas dos vértices do triângulo ABC, 
obteremos o triângulo A’B’C’ de coordena-
das (x + 6; y). Esse novo triângulo resulta 
da translação horizontal (segundo o eixo x) 
em 6 unidades do triângulo original, como 
mostra a figura. 
y
5
3
2
x3 4 7
C
A
B
9 10 13
A’
C’
B’
A tabela a seguir mostra as transformações 
nas coordenadas de cada vértice.
DABC 
(x; y)
DA’B’C’
(x + 6; y)
A (3; 2) A’ (9; 2)
B (7; 3) B’ (13; 3)
C (4; 5) C’ (10; 5)
II. Translação vertical: somando –10 às 
ordenadas do triângulo ABC, obtemos o 
triângulo A’B’C’, cujas coordenadas dos 
vértices são (x; y – 10), conforme mostram 
a figura e a tabela a seguir. 
DABC 
(x; y)
DA’B’C’
(x; y – 10)
A (3; 2) A’ (3; –8)
B (7; 3) B’ (7; –7)
C (4; 5) C’ (4; –5)
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 37 1/27/16 9:02 AM
38
 
743
–7
–8
–5
2
3
5
C
A
A’
B
C’
B’
y
x
III. Translação combinada: ocorre quando so-
mamos constantes às duas coordenadas 
de cada vértice. Por exemplo, se quisermos 
transladar o triângulo ABC em 11 uni-
dades para a esquerda e 4 unidades para 
cima, devemos fazer a seguinte operação 
em suas coordenadas: (x – 11; y + 4). 
DABC 
(x; y)
DA’B’C’
(x – 11; y + 4)
A (3; 2) A’ (–8; 6)
B (7; 3) B’ (–4; 7)
C (4; 5) C’ (–7; 9)
2
3
5
6
7
9
–8 –4 3 4 7–7
y
x
C
A
A’
B
C’
B’
Genericamente, temos que a translação de 
um ponto de coordenadas (x; y) passa a ter 
coordenadas (x + a, y + b), em que a e b são 
números reais quaisquer. 
10. Desenhe, no plano cartesiano, um triân-
gulo ABC cujos vértices têm coordenadas 
A (3; 2), B (7; 3) e C (4; 5).
a) A partir do triângulo ABC, aplique, su-
cessivamente, as seguintes translações:
I. Translação horizontal (x – 6), obtendo 
o triângulo A’B’C’.
II. Translação vertical (y – 10), obtendo o 
triângulo A’’B’’C’’.
III. Translação combinada (x + 8; y + 2), 
obtendo o triângulo A’’’B’’’C’’’.
0
y
x–10 –5
–5
–10
10
105
A
B
C
A’
B’
C’
A”
B”
B’”
C’”
A’”
C”
5
b) Registre na tabela a seguir as novas coor-
denadas obtidas após cada translação.
Translação
horizontal
∆A’B’C’
(x –6; y)
Translação
vertical
∆A’’B’’C’’
(x; y –10)
Translação
combinada
∆A’’’B’’’C’’’
(x + 8; y + 2)
∆ABC
(x; y)
A (3; 2) A’ (–3; 2) A’’ (–3; –8) A’’’ (5; –6)
B (7; 3) B’ (1; 3) B’’ (1; –7) B’’’ (9; –5)
C (4; 5) C’ (–2; 5) C’’ (–2; –5) C’’’ (6; –3)
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 38 1/27/16 9:02 AM
39
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
c) O que acontece com as coordenadas 
dos vértices na translação horizontal?
Na translação horizontal, a coordenada x se altera, e a y per-
manece igual.
d) E na translação vertical?
Na translação vertical, a coordenada y se altera, mas a x per-
manece igual.
11. Agora é sua vez. Invente um 
polígono qualquer e desenhe-o no 
plano cartesiano. Indique os vértices por le-
tras e anote suas coordenadas. Em seguida, 
aplique duas translações diferentes no polí-
gono original. Preste atenção nas coordena-
das e nas translações escolhidas. O polígono 
não pode sair do espaço definido pelo plano 
cartesiano da atividade.
Resposta pessoal. Verifique se as coordenadas escolhidas 
estão contidas no plano cartesiano fornecido na atividade 
e se as translações realizadas mantêm o polígono dentro 
do plano.
Reflexão é o movimento que transforma um objeto na sua imagem espelhada em 
relação a um determinado eixo de simetria. O ponto refletido mantém a mesma 
distância em relação ao eixo de simetria que o ponto original. 
Veja o exemplo a seguir:
m
A
B’
A’
B
A imagem anterior foi refletida em relação à reta m. Portanto, a distância do ponto A até 
m é a mesma do ponto A’ até m. O mesmo acontece em relação aos pontos B e B’ e a todos os 
pontos da cabeça do cavalo e sua imagem. Nas próximas atividades, distinguiremos dois tipos 
de reflexão. A reflexão horizontal, quando a imagem do objeto é refletida tendo y como eixo de 
simetria, e a reflexão vertical, quando o eixo de simetria é x.
 ©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ri
al
Reflexão
I. Reflexão em relação ao eixo y: se multiplicar-
mos as abscissas dos vértices por –1, a figura 
será refletida em relação ao eixo y. Obteremos 
o triângulo A’B’C’ de coordenadas (–x; y).
DABC 
(x; y)
DA’B’C’
(–x; y)
A (3; 2) A’ (–3, 2)
B (7; 3) B’ (–7; 3)
C (4; 5) C’ (– 4; 5)
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40
 
–7 –3 4 7 x–4 3
y
C
AA’
B
C’
B’
2
3
5
A reflexão preserva a distância dos vértices 
em relação ao eixo, como mostra a figura. O 
vértice A está à mesma distância do eixo y que 
o vértice A’. O mesmo vale para B e B’, C e C’. 
Assim, podemos afirmar que o triângulo A’B’C’ é 
simétrico ao triângulo ABC em relação ao eixo y. 
II. Reflexão em relação ao eixo x: se multiplicar-
mos as ordenadas dos vértices por –1, a figura 
será refletida em relação ao eixo x. Obteremos 
o triângulo A’B’C’, de coordenadas (x; –y).
DABC 
(x; y)
DA’B’C’
(x; –y)
A (3; 2) A’ (3; –2)
B (7; 3) B’ (7; –3)
C (4; 5) C’ (4; –5)
743
2
–5
3
–3
5
y
x
–2 A’
C’
B’
A
C
B
Neste caso, observa-se que o triângulo A’B’C’ é 
simétrico ao triângulo ABC em relação ao eixo x.
III. Reflexão em relação à origem: se multipli-
carmos ambas as coordenadas dos vértices 
por –1, a figura será refletida em relação à 
origem. O que é equivalente a uma compo-
sição de reflexões, uma em relação ao eixo y 
e outra em relação ao eixo x, ou vice-versa. 
Obteremos, de qualquer modo, o triângulo 
A’B’C’ de coordenadas (–x; –y), como mos-
tra a figura a seguir. 
DABC 
(x; y)
DA’B’C’
(–x; –y)
A (3; 2) A’ (–3; –2)
B (7; 3) B’ (–7; –3)
C (4; 5) C’ (– 4; –5)
y
2
–2
–3
–5
–3 3 4 7 x–4–7
3
5 C
B
A
A’
B’
C’
Agora, o ponto de simetria entre os triângulos 
é a própria origem (0; 0). Ou seja, a distância de A 
até a origem é igual à distância de A’ até a origem, 
o mesmo acontece em relação a B e B’, e C e C’. 
A reflexão por um ponto é equivalente à compo-
sição entre duas translações, uma vertical e outra 
horizontal, como mostra a figura. 
12. Desenhe, no plano carte-
siano, um quadrilátero ABCD 
cujos vértices têm coordenadas 
A (2; 2), B (6; 3), C (2; 4) e D (4; 3).
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 40 1/27/16 9:02 AM
41
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
a) A partir da figura obtida, realize as se-
guintes transformações:
I. Reflexão horizontal do quadriláte-
ro ABCD, obtendo o quadrilátero 
A’B’C’D’.
II. Reflexão vertical do quadriláteroA’B’C’D’, obtendo o quadriláte-
ro A’’B’’C’’D’’.
III. Reflexão horizontal do quadriláte-
ro A’’B’’C’’D’’, obtendo o quadri-
látero A’’’B’’’C’’’D’’’.
0 x–5
–5
5
C”
A”
B” D”
C’”
A’”
D’” B’”
A’
C’
B’ D’
A
C
D B
5
b) Registre na tabela a seguir as novas coor-
denadas obtidas após cada reflexão.
ABCD
(x; y)
A’B’C’D’
(–x; y)
A’’B’’C’’D’’
(–x; –y)
A”’B”’C’”D’’’
(x; –y)
A (2; 2) A’ (–2; 2) A’’ (–2; –2) A’’’ (2; –2)
B (6; 3) B’ (–6; 3) B’’ (–6; –3) B’’’ (6; –3)
C (2; 4) C’ (–2; 4) C’’ (–2; –4) C’’’ (2; –4)
D (4; 3) D’ (–4; 3) D’’ (–4; –3) D’’’ (4; –3)
c) O que acontece com as coordenadas 
dos vértices na reflexão horizontal?
A coordenada x troca de sinal e a y permanece igual.
d) E na vertical?
Ocorre o oposto. A coordenada y troca de sinal e a x per-
manece igual.
e) Com base nessas conclusões, e observan-
do a tabela de coordenadas, qual será a 
posição do quadrilátero A’’’B’’’C’’’D’’’ 
depois de uma reflexão vertical?
Ele voltará à posição inicial do quadrilátero ABCD.
13. Nesta atividade, você vai proce-
der de maneira diferente das anterio-
res. Considere o triângulo MNO de 
coordenadas M (– 4; 5), N (2; 1) e O (–2; 7).
a) Antes de representá-lo no plano, e ten-
do como base os resultados obtidos nas 
atividades 10 e 12 da seção Você apren-
deu?, preencha a tabela com as coorde-
nadas dos triângulos obtidos depois das 
seguintes transformações:
I. Reflexão horizontal do triângulo MNO, 
obtendo o triângulo M’N’O’.
II. Reflexão vertical do triângulo M’N’O’, 
obtendo o triângulo M’’N’’O’’.
III. Translação (x – 6; y + 4) do triângu-
lo M’’N’’O’’, obtendo o triângulo 
M’’’N’’’O’’’.
∆MNO
(x; y)
∆M’N’O’
(–x; y)
∆M’’N’’O’’
(x; –y)
∆M”’N’”O’’’
(x – 6; y + 4)
M (–4; 5) M’ (4; 5) M’’ (4; –5) M’’’ (–2; –1)
N (2; 1) N’ (–2; 1) N’’ (–2; –1) N’’’ (–8; 3)
O (–2; 7) O’ (2; 7) O’’ (2; –7) O’’’ (–4; –3)
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 41 1/27/16 9:02 AM
42
 
b) Agora, desenhe o triângulo MNO no 
plano e aplique as transformações I, II 
e III. Em seguida, verifique se as coorde-
nadas das figuras obtidas são as mesmas 
da tabela que você preencheu. Se forem, 
você já é capaz de fazer translações e re-
flexões sem o auxílio de um gráfico.
0
y
x–10
–5
–10
5
10
10
5
O’
M’
O’”
N’”
N”
M”
O”
M
O
NN’
M’”
14. Você já aprendeu que quando somamos ou 
subtraímos um mesmo número das coorde-
nadas x e/ou y dos pontos de uma figura, 
o movimento decorrente é uma translação. 
Quando trocamos o sinal da coordenada x 
de determinado ponto, o movimento é cha-
mado de reflexão horizontal. E, quando troca-
mos o sinal da coordenada y, o movimento 
decorrente é uma reflexão vertical.
Ampliação e redução
I. Ampliação: para ampliar as dimensões do 
triângulo ABC em duas vezes, multiplica-
mos suas coordenadas por 2, obtendo o 
triângulo A’B’C’.
∆ABC
(x; y)
∆A’B’C’
(2x; 2y)
A (3; 2) A’ (6; 4)
B (7; 3) B’ (14; 6)
C (4; 5) C’ (8; 10)
y
2
3 4 6 7 8 14 x
3
4
5
6
10
C
A B
C’
B’
A’
Nesse caso, ao duplicarmos as coordena-
das de ABC, as distâncias até a origem tam-
bém duplicam. 
OA’ = 2 ⋅ OA
OB’ = 2 ⋅ OB
OC’ = 2 ⋅ OC
Generalizando, para ampliar uma figura 
em n vezes, multiplicamos suas coordenadas 
(x; y) por n, obtendo (n ⋅ x; n ⋅ y), para n > 1. 
Quando 0 < n < 1, obtemos uma redução da 
figura, como mostra o exemplo a seguir. 
II. Redução: para reduzir as dimensões do triân-
gulo ABC, tornando-as quatro vezes meno-
 res, multiplicamos suas coordenadas por 
1
4
, 
obtendo o triângulo A’B’C’ de coordenadas 
(
1
4
x; 
1
4
y).
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 42 1/27/16 9:02 AM
43
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
∆ABC
(x; y)
∆A’B’C’
( 1
4
x; 1
4
y)
A (3; 2) A’ (0,75; 0,5)
B (7; 3) B’ (1,75; 0,75)
C (4; 5) C’ (1; 1,25)
2
0,75
0,75 1,75 3 4 7
1,25
3
5
y
x
C
A
A’
A
B
C’
B’
Comentários sobre a aplicação da 
Situação de Aprendizagem
A aplicação dessas atividades pode ser me-
nos expositiva e mais investigativa. Por exem-
plo: solicite aos alunos que representem uma 
figura geométrica qualquer no plano cartesia-
no. Em seguida, peça que analisem o que acon-
tece com os pontos da figura quando somamos 
um valor constante às suas abscissas ou quando 
multiplicamos suas coordenadas por um valor 
negativo. Ao realizarem essas simples opera-
ções aritméticas, os alunos podem descobrir os 
diferentes tipos de transformações envolvidas. 
Ao professor caberá a tarefa de nomear e sis-
tematizar os diferentes tipos de transformação, 
usando uma notação simbólica.
Translação horizontal: (x; y) ⇒ (x + a; y) 
Translação vertical: (x; y) ⇒ (x; y + b) 
Translação horizontal e vertical: 
(x; y) ⇒ (x + a; y + b)
Reflexão horizontal: (x; y) ⇒ (–x; y) 
Reflexão vertical: (x; y) ⇒ (x; –y) 
Reflexão pela origem: (x; y) ⇒ (–x; –y)
Ampliação: (x; y) ⇒ (ax; ay). Para a > 1.
Redução: (x; y) ⇒ (ax; ay). Para 0 < a < 1.
Apresentamos, aqui, atividades relati-
vas apenas às transformações: translação 
(horizontal; vertical; horizontal e vertical) 
e reflexão (horizontal; vertical). Todavia, 
se houver tempo e se julgar necessário, o 
professor poderá propor situações envol-
vendo as demais transformações: reflexão 
pela origem, ampliação e redução. Ape-
sar de a rotação ser uma transformação, 
não a incluímos nas atividades anteriores. 
Consideramos que a inclusão desse tópico 
implicaria a discussão sobre ângulos, e a 
determinação das coordenadas ficaria mais 
complexa, fugindo ao objetivo principal 
desta Situação de Aprendizagem. 
Considerações sobre a avaliação
Após a realização das atividades propostas, 
esperamos que os alunos estejam mais familia-
rizados com as coordenadas cartesianas e com 
as representações gráficas de pontos no plano, 
construindo uma base sólida para a represen-
tação de equações e resolução de sistemas, con-
teúdos da próxima Situação de Aprendizagem. 
O uso do jogo de batalha-naval matemática 
como recurso didático constitui um excelente 
estímulo para o aluno se apropriar das coor-
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 43 1/27/16 9:02 AM
44
 
denadas cartesianas e dos quadrantes do plano 
cartesiano. Além disso, a sequência de ativida-
des de transformações geométricas no plano 
coloca tanto a Geometria como o uso do pla-
no cartesiano em outra perspectiva, diferente 
da usualmente adotada. Acreditamos que tal 
abordagem favorece a aprendizagem significa-
tiva do sistema de coordenadas cartesianas e 
amplia o conhecimento geométrico dos alunos 
ao introduzir o movimento e a transformação 
nas figuras geométricas. 
O processo de avaliação deve ser elabora-
do pelo professor de acordo com as caracte-
rísticas de cada turma e com os objetivos de 
aprendizagem mínimos estabelecidos pelo 
atual Currículo. Acreditamos que, ao final 
desse percurso, o aluno deve se apropriar dos 
seguintes conhecimentos, necessários para a 
continuidade de seus estudos: 
 f compreender a associação entre pontos de 
uma reta e números;
 f localizar e representar pontos no plano 
cartesiano;
 f distinguir os sinais das coordenadas carte-
sianas em cada quadrante do plano;
 f conhecer as características das principais 
transformações geométricas no plano.
Uma atividade que permite avaliar se o 
aluno apropriou-se efetivamente do sistema 
de coordenadas cartesianas e dos diferentes ti-
pos de transformação geométrica é a seguinte: 
solicita-se que cada aluno represente uma figura 
geométrica qualquer no plano cartesiano, iden-
tificando os vértices com letras e anotando suas 
coordenadas. Em seguida, eles devem escolher 
pelo menos duas transformações e aplicá-las na 
figura escolhida. Por exemplo, o aluno pode re-
presentar um quadrilátero ABCD e aplicar uma 
reflexão em relação ao eixo y e uma redução de 
50%, como mostra a figura a seguir.
A”
y
5
–5 5 10
x
–10
10
AA’
B
B’
B”
CC’
C”
DD’
D”
Quadrilátero ABCD: A (3; 7), B (6; 8), 
C (10; 6), D (6; 10)
Reflexão em relação ao eixo y: A’(–3; 7), 
B’ (– 6; 8), C’ (–10; 6), D’ (– 6; 10)
Redução em 50%: A” (–1,5; 3,5), B” (–3; 4), 
C” (–5; 3), D” (–3; 5)
Por meio dessa atividade, o professor po-
derá avaliar se o aluno se apropriou efetiva-
mente do sistema de coordenadas cartesianas 
e das transformações no plano. 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 44 1/27/16 9:02 AM
45
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Conteúdos e temas: sistemas de equações; métodos de resolução (adição e substituição); 
representação gráfica de uma equação linear com duas variáveis; análise das soluções de um 
sistema linear (algébrica e gráfica).
Competências e habilidades: traduzir um problema para a linguagem algébrica na forma 
de um sistema; resolver sistemas de equações pelo método da adição; resolver sistemas de 
equações pelo método da substituição; representar uma equação com duas incógnitas no 
plano cartesiano; analisar e discutir as possíveis soluções de um sistema linear; interpretar 
graficamente a solução de um sistema. 
Sugestão de estratégias: análise de situações-problema envolvendo sistemas de equações li-
neares; uso da analogia com balanças para compreender os métodos de resolução; represen-
tação gráfica das equações de um sistema. 
O assunto principal desta Situação 
de Aprendizagem é o estudo dos sistemas de 
equações de 1o grau. Os alunos já estão fa-
miliarizados com a resolução desse tipo de 
equação, estudada na 6a série/7o ano e apro-
fundado neste mesmo Caderno, na Situação 
de Aprendizagem 1. 
Nesta Situação de Aprendizagem, apresen-
taremos alguns problemas que envolvem duas 
equações e duas incógnitas. São os chamados 
sistemas de equações lineares, pois as equa-
ções podem ser representadas no plano carte-
siano por uma reta. 
Inicialmente, discutiremos o significado das 
equações com duas incógnitas e os métodos de 
resolução de sistemas por meio da análise 
de situações-problema. Recorremos à já co-
nhecida analogia com as balanças de prato 
para ilustrar o método da substituição e o da 
adição, o que, a nosso ver, contribui para uma 
melhor compreensão por parte do aluno dos 
procedimentos estudados. Deve-se evitar a 
simples memorização ou automatização dos 
procedimentos, pois isso acaba por gerar um 
aprendizado precário da Álgebra, potenciali-
zando erros e dificuldades posteriores.
Depois, apresentaremos dois procedimen-
tos de resolução de sistemas (adição e subtra-
ção), com um enfoque na escolha do método 
pelo aluno e na verificação dos resultados em 
relação à pergunta original do problema. 
A representação gráfica de equações com 
duas variáveis no plano cartesiano será explo-
rada nas últimas atividades. A construção do 
gráfico das equações de um sistema vai ajudar 
o aluno a compreender melhor quando o sis-
tema é possível e determinado ou indetermi-
nado e impossível. 
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46
 
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 3
1. Considere o seguinte problema: 
João (x) Maria (y)
1 27
2 26
3 25
4 24
5 23
6 22
7 21
8 20
9 19
10 18
11 17
12 16
13 15
14 14
João (x) Maria (y)
15 13
16 12
17 11
18 10
19 9
20 8
21 7
22 6
23 5
24 4
25 3
26 2
27 1
A tabela mostra que são possíveis 27 pares de soluções. Ou 
seja, considerando apenas as informações contidas no enun-
ciado, o problema fica indeterminado, isto é, aceita mais de 
uma solução. Para que o problema tenha uma solução de-
terminada, precisamos de mais uma informação numérica a 
respeito das idades de João e Maria.
Em termos algébricos, uma equação com duas incógnitas 
pode ter mais de uma solução. Dependendo do domínio, 
pode haver infinitas soluções. 
d) Considere agora a seguinte informação: 
João é 4 anos mais velho que Maria. 
Como ficaria a solução do problema?
Observando a tabela, há um único par de valores que solu-
ciona o problema: 
x = 16 e y = 12. Portanto, o problema passou a ter uma solução 
determinada. A idade de João é 16 anos e a de Maria, 12 anos. 
e) Escreva a nova informação na forma de 
uma equação.
A soma das idades de João e Maria é 
28 anos. Qual a idade de cada um deles?
a) Esse problema tem mais de uma solu-
ção? Explique.
Professor, nesse caso, consideraremos apenas as idades em 
anos inteiros. Adiante, na atividade 3, passaremos a incluir so-
luções racionais. Sim, o problema tem mais de uma solução, 
pois existem várias combinações de números que somados 
resultam 28. 
b) Chamando a idade de João de x e a de 
Maria de y, escreva uma equação para 
esse problema.
Transcrevendo o problema para a linguagem algébrica, te-
mos x + y = 28.
c) Considerando apenas as idades com-
pletas de João e Maria, quais são as 
soluções possíveis para o problema? 
Construa uma tabela contendo todas as 
soluções possíveis.
Se considerarmos apenas as idades completas de João e 
Maria (números naturais entre 1 e 28), teremos as seguintes 
possibilidades de solução, mostradas na tabela a seguir:
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47
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
Essa nova informação pode ser escrita algebricamente como 
x = y + 4. Ou, ainda, de forma equivalente, como x – y = 4, pois 
a diferença de idade entre João e Maria é de 4 anos. 
f) Substitua os valores de x e y encontra-
dos nas duas equações do problema. O 
que acontece?
A 1ª equação é x + y = 28. Substituindo os valores de x, obte-
mos uma sentença verdadeira: 16 + 12 = 28. O mesmo ocorre 
na 2ª equação, x – y = 4, ou 16 – 12 = 4. 
2. Ainda com base no problema inicial apre-
sentado na atividade 1, responda:
a) Se o problema nos informasse que a idade 
de João é o triplo da idade de Maria, 
qual seria a solução?
O único par de valores que satisfaz essa nova condição é 21 e 
7. Portanto, João teria 21 anos e Maria, 7. 
b) E se a idade de Maria fosse o dobro da 
idade de João, qual seria a solução do 
problema? 
Nesse caso, observando a tabela, não há nenhum par de valores 
inteiros que satisfaz essa condição. Ou seja, dentro do contexto 
inicial, o problema não possui solução. A não ser que considerás-
semos as idades não inteiras. Isso tornaria inviável a solução pela ta-
bela, pois existem infinitos pares que satisfazem a primeira equação.
Equações e incógnitas
3. Escreva as equações do problema apresen-
tado na atividade 1 a partir da informação 
obtida no item b da atividade 2.
 f A soma das idades de João e Maria é 28: 
x + y = 28
 f A idade de Maria é o dobro da de João: 
y = 2x
a) Escreva apenas uma equação, com uma 
incógnita, que contenha as duas infor-
mações do problema.
Partindo da equação inicial x + y = 28 e sabendo que a idade 
de Maria é o dobro da idade de João, podemos substituir o 
valor de y por 2x, obtendo uma equação com apenas uma 
incógnita: x + 2x = 28.
b) Resolva a equação resultante e encontre 
os valores de x e y.
x + 2x = 28 
3x = 28
x = 
28
3
x = 9 
1
3
. Como y = 2x, então, y = 18 
2
3
.
c) Os valores encontrados atendem às 
condições iniciais do problema?
Não, pois o enunciado do problema indica que as idades de-
vem ser completas, o que significa que a resposta deve ser 
um número inteiro.
d) Se o problema aceitar como resposta 
idades não inteiras, qual será a solução?
Dessa forma, dentro do contexto dos números racionais, 
descobrimos algebricamente que João tinha 9 anos e 
4 meses (9 
1
3
) e Maria, 18 anos e 8 meses (18 
2
3
).
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 47 1/27/16 9:02 AM
48
 
Ao substituir o valor de uma incógnita 
pela expressão equivalente em termos da ou-
tra incógnita, obtivemos uma equação com 
apenas uma incógnita, tornando possível 
determinar sua solução. Essa forma de reso-
lução é chamada de método da substituição, 
que será discutido a seguir. 
4. Dois amigos foram a uma lan-
chonete e gastaram R$ 18,00. Eles 
comeram 2 sanduíches e tomaram 
3 sucos. Sabendo que o preço do sanduícheera o triplo do preço do suco, descubra qual 
era o preço de cada um.
As equações do problema são 2x + 3y = 18 e x = 3y, sendo x 
o preço do sanduíche e y, o do suco. O suco custa R$ 2,00 e 
o sanduíche, R$ 6,00. Este problema pode ser resolvido tanto 
por raciocínio aritmético quanto por meio de equação.
5. A diferença entre dois números é 42. Sa-
bendo que o maior vale o dobro do menor, 
acrescido de 5, descubra quais números 
são esses.
As equações do problema são x – y = 42 e x = 2y + 5. 
Os números que satisfazem o problema são 37 e 79.
6. Quando você tinha a metade da minha ida-
de, nossas idades juntas somavam 72 anos. 
Quais eram as nossas idades?
As equações do problema são: x + y = 72 e y = 
x
2
 . O mais 
velho tinha 48 anos e você, 24.
As balanças e o método da substituição
Uma forma de introduzir o método da 
substituição com significado é por meio de 
uma analogia com a balança de pratos. Vamos 
explorar a seguir um exemplo de problema 
que pode ser resolvido tanto por meio das 
balanças, como algebricamente, pelo método 
da substituição.
7. Precisamos descobrir o peso de 
dois objetos denominados x e y. 
Para isso, foram realizadas as se-
guintes medidas em uma balança de pratos. 
a) Escreva as equações que correspondem 
às medidas ilustradas nas figuras.
Primeira medida: os dois objetos pesam, conjuntamente, 
2 500 gramas. 
Em linguagem algébrica, x + y = 2 500
x y
2 000 g
500 g
Segunda medida: o objeto x pesa o mesmo que o objeto y 
mais 500 gramas.
Em linguagem algébrica, x = y + 500
x y 500 g
b) O objeto x foi trocado pelo seu equiva-
lente y mais 500 gramas. Em seguida, 
tiramos 500 gramas de cada lado man-
tendo o equilíbrio da balança. Escreva 
as equações que representam as altera-
ções feitas.
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Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
x y
y
2 000 g
500 g
500 g
Em linguagem algébrica, (y + 500) + y = 2 500, ou y + y + 500 – 
– 500 = 2 500 – 500
y y
2 000 g
500 g500 g
Em linguagem algébrica: 2y + 500 - 500 = 2 500 - 500.
c) Escreva a equação resultante e encontre 
os valores de x e y procurados.
Em linguagem algébrica, 2y = 2 000 ou y = 1 000
y y
2 000 g
Como o objeto x pesa o mesmo que o objeto y mais 
500 gramas, então seu peso é de 1 500 gramas.
Em linguagem algébrica, x = 1 000 + 500 ou x = 1 500
Em linguagem algébrica, a resolução do problema ficaria assim:
x + y = 2 500
x – y = 500
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Substituindo o valor de y na segunda equação, temos:
x = 1 000 + 500
x = 1 500
Substituindo o valor de x na primeira equação, temos:
(y + 500) + y = 2 500
2y + 500 = 2 500
2y = 2 000
y = 1 000
8. Escreva um enunciado para o problema re-
solvido na atividade anterior.
Um enunciado possível seria: Descubra o peso de dois obje-
tos x e y sabendo que, juntos, eles pesam 2 500 gramas e que 
um deles é 500 gramas mais pesado que o outro.
9. O método para resolver o sistema de equa-
ções descrito na atividade 7 é chamado 
substituição. Explique, com suas palavras, 
por que ele recebe esse nome.
A explicação deve mencionar o processo de isolar uma das 
incógnitas em uma das equações (escrever x em função de 
y ou vice-versa) e a substituição da expressão encontrada na 
outra equação.
(Observação: alguns alunos podem ter dificuldade para ex-
pressar as etapas do processo. Talvez seja necessário intro-
duzir algumas expressões, tais como: isolar uma incógnita; 
escrever x em função de y etc.)
A ideia principal desse método de reso-
lução é que, tanto na solução pela balan-
ça como na solução algébrica, a estratégia 
adotada foi a substituição do valor de uma 
das incógnitas pelo seu equivalente em ter-
mos da outra. Isso é o que caracteriza o 
chamado método da substituição.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 49 1/27/16 9:02 AM
50
 
As atividades anteriores foram resolvidas 
usando-se a imagem das balanças e a ideia de 
peso como analogia. Em ambos os casos, o 
princípio que estava subjacente era o da equi-
valência. É importante comentar com os alu-
nos que esse recurso pode ser transferido para 
outras atividades que não envolvam necessa-
riamente medidas de pesos, tais como: idade, 
preço de produtos, tempo, altura ou, simples-
mente, números. 
10. Resolva os sistemas a seguir 
usando o método da substituição.
a) x + 2y = 5
x − y = −1
 b) 3x – 2y = 8
5x + y = 9
Em termos de procedimentos gerais, para resolver um sis-
tema de duas equações lineares com duas incógnitas pelo 
método da substituição são necessárias as seguintes etapas:
1a etapa: escrever uma incógnita em termos da outra. Nes-
sa etapa, devemos orientar o aluno a escolher a incógnita 
mais apropriada para ser isolada, de preferência com coefi-
ciente unitário.
2a etapa: substituir a incógnita isolada pelo seu equivalente 
em termos da outra, obtendo uma nova equação com ape-
nas uma incógnita.
3a etapa: resolver a nova equação e obter o valor de uma 
das incógnitas.
4a etapa: substituir o valor da incógnita obtido na 3a etapa 
em uma das equações, para obter o valor da outra incógnita. 
5a etapa: verificar se a solução obtida satisfaz as equações 
originais.
a) x + 2y = 5
x − y = −1
1a: Nesse caso, uma escolha possível é escrever x em termos 
de y, por exemplo, x = 5 – 2y.
2a: Substituí-lo na outra equação: (5 –2y) – y = –1.
3a: Resolvendo a equação, obtemos y = 2. 
4a: Substituindo esse valor na 1a equação, temos x + 2 ⋅ 2 = 5, 
ou seja, x = 1. A solução do sistema é x = 1 e y = 2.
5a: Verificação: 1 + 2 ⋅ 2 = 5 e 1 – 2 = –1. A solução encontrada 
satisfaz as duas equações.
b) 3x – 2y = 8
5x + y = 9
1a: Nesse caso, a escolha mais apropriada é escrever y em 
função de x a partir da 2a equação: y = 9 – 5x.
2a: Substituindo na 1a equação, temos 3x – 2 ⋅ (9 – 5x) = 8.
3a: Resolvendo a equação, obtemos x = 2.
4a: Substituindo esse valor na 2a equação, temos 5 ⋅ 2 + y = 9, 
ou seja, y = –1.
5a: Verificação: 3 ⋅ 2 – 2 ⋅ (–1) = 8 ou 6 + 2 = 8 e 5 ⋅ 2 + (–1) = 9 
ou 10 – 1 = 9. A solução encontrada satisfaz as duas equações.
Somando e subtraindo equivalências
A ideia principal que subjaz ao chamado 
método da adição é a de que podemos somar 
ou subtrair duas equações sem comprometer o 
princípio de equivalência. Ou seja, a soma 
ou a diferença entre duas equações gera uma 
nova equação. Essa ideia nem sempre é dis-
cutida com profundidade, e muitos alunos 
simplesmente aplicam o método da adição 
por mero automatismo, sem perceber que a 
equivalência é preservada. Para ilustrar essa 
ideia, veja a atividade a seguir. 
11. Considere o seguinte pro-
blema:
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 50 1/27/16 9:02 AM
51
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
R$ 6,60
R$ 4,10
R$ 2,50
Algebricamente, subtraímos a equação II da equação I:
(I) 2x + y = 6,60 – (II) x + y = 4,10, resultando em x = 6,60 – 4,10 
ou x = 2,50.
d) Qual foi o preço pago pelo refrigerante?
Se um sanduíche custa R$ 2,50 e Júlia gastou R$ 4,10, então o 
preço do refrigerante é o valor que falta: R$ 1,60.
Se 2,50 + y = 4,10, então y = 1,60.
e) Resolva o problema algebricamente, 
subtraindo, membro a membro, as equa-
ções do problema.
2x + y = 6,60
x + y = 4,10
__ + __ = ____
–
Em termos algébricos, a resolução completa ficaria assim:
2x + y = 6,60
x + y = 4,10
–
(2x – x) + (y – y) = 6,60 – 4,10
x = 2,50 
2,50 + y = 4,10
y = 1,60
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André e Júlia foram a uma lanchonete. 
André comeu dois mistos, tomou um refrige-
rante e gastou R$ 6,60. Júlia comeu um misto 
e também tomou um refrigerante, gastando 
R$ 4,10. Qual é o preço do misto e do refrige-
rante nessa lanchonete?
a) Escreva a equação que representa o 
consumo e o gasto de André.
Representação do consumo e do gasto de André.
Chamando o sanduíchede x e o refrigerante de y, obtemos 
a equação (I) 2x + y = 6,60.
R$ 6,60
b) Escreva a equação que representa o 
consumo e o gasto de Júlia.
Representação do consumo e do gasto de Júlia.
Equivalente à equação (II) x + y = 4,10
R$ 4,10
c) Calcule a diferença de gasto e de consu-
mo entre André e Júlia. O que se obteve 
com essa operação?
Subtraindo o consumo de Júlia do consumo de André, res-
tará apenas um sanduíche. Portanto, subtraindo os valores 
pagos, a diferença obtida, R$ 2,50, é o preço do sanduíche.
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52
 
O procedimento de resolução adotado 
nesse problema é conhecido como mé-
todo da adição. Embora tenha sido feita 
uma diferença entre equações, deve-se 
comentar com os alunos que subtrair é 
equivalente a adicionar o oposto. Portan-
to, adicionando a equação I à equação II 
multiplicada por menos um, obteremos o 
mesmo resultado.
2x + y = 6,60
–x – y = – 4,10
2x + (–x) + y + (–y) = 6,60 + (– 4,10)
x = 2,50
+
Uma ideia importante que deve ser re-
tomada com os alunos é a de que qualquer 
equação pode ser transformada em outra 
equação equivalente quando realizamos as 
seguintes operações:
 f adicionamos ou subtraímos um mesmo 
número ou expressão nos dois lados da 
igualdade; 
 f multiplicamos ou dividimos os termos de 
ambos os lados da igualdade por um mes-
mo número ou expressão, desde que dife-
rente de zero. 
Procedimentos para resolução de sistemas 
lineares pelo método da adição
12. Resolva os sistemas a seguir pelo método 
da adição.
a) 
2x + y = 5
x – y = 4
b) 3x + 5y = – 6
x – 2y = – 2
3x – 6
2
c) 3x + 2y = – 4
4x – 3y = 2323
Para resolver um sistema pelo método da adição, é preciso 
que, quando somadas as equações, pelo menos uma das in-
cógnitas seja anulada. Isso ocorre quando somamos um termo 
ao seu oposto. Por exemplo: 2x + (–2x) = 0 ou (–5y) + 5y = 0. 
Assim, precisamos proceder da seguinte maneira:
1a etapa: decidir uma maneira de anular uma das incógnitas 
na soma de equações. Observar os coeficientes e sinais das in-
cógnitas. Se houver dois termos opostos entre si, basta efetuar 
a soma. Caso contrário, será preciso multiplicar uma das equa-
ções para obter um termo oposto ao termo da outra equação. 
2a etapa: efetuar a soma de equações que anule uma das 
incógnitas.
3a etapa: resolver a nova equação obtida.
4a etapa: substituir o valor da incógnita obtido na 3a etapa em uma 
das equações do sistema para obter o valor da outra incógnita. 
5a etapa: verificar se a solução obtida satisfaz as equações 
originais.
a) 2x + y = 5
x – y = 4
+
3x = 9
1a: as equações possuem termos opostos (y e –y).
2a e 3a: obtemos 3x = 9. Portanto, x = 3.
4a: substituindo na 2a equação, temos: 3 – y = 4, então y = –1.
5a: verificação: 2 ⋅ 3 + (–1) = 5 ou 6 – 1 = 5.
3 – (–1) = 4 ou 3 + 1 = 4.
A solução satisfaz as equações.
b) 
11y = 0
3x + 5y = –6
x – 2y = –2
3x + 5y = –6
–3x + 6y = 6
+⋅ –3
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53
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
1a: não há termos opostos. Portanto, podemos multiplicar a 
2a equação por –3, obtendo o termo oposto a 3x.
2a e 3a: obtemos 11y = 0. Portanto, y = 0.
4a: substituindo na 2a equação, temos:
x – 2 ⋅ 0 = –2, então x = –2.
5a: Verificação: 3 ⋅ (–2) + 5 ⋅ 0 = – 6 ou – 6 + 0 = – 6 
–2 – 2 ⋅ 0 = –2 ou –2 – 0 = –2.
A solução satisfaz as equações.
c) 3x + 2y = –4
4x – 3y = 23
9x + 6y = –12
8x – 6y = 46
+
⋅ 3
⋅ 2
17x = 34
1a: não há termos opostos. Portanto, uma estratégia é mul-
tiplicar a 2a equação por 2 e a 1a equação por 3, obtendo os 
termos opostos 6y e –6y.
2a e 3a: obtemos 17x = 34. Portanto, x = 2.
4a: substituindo na 1a equação, temos:
3 ⋅ 2 + 2y = –4, então y = –5.
5a: Verificação: 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ ( –5) = –4 ou 6 – 10 = – 4
4 ⋅ 2 – 3 ⋅ ( –5) = 23 ou 8 + 15 = 23.
A solução satisfaz as equações.
13. A soma de dois números é 78 e 
a diferença entre eles é 16. Quais 
são esses números?
Resolvendo o sistema, obtemos x = 47 e y = 31.
14. Em uma prova com 50 questões, para cada 
resposta correta o aluno ganha 4 pontos, 
e para cada incorreta, ele perde 1 ponto.
a) Se um aluno acertar 40 questões, qual 
será a sua pontuação?
40 ⋅ 4 – 10 ⋅ 1 = 150. 
Se ele acertar 40, significa que ele errou 10. Portanto, sua 
pontuação será de 150 pontos.
b) Escreva uma equação que relaciona o 
número de acertos (x) e o número de er-
ros (y) com o total de questões.
x + y = 50, onde x representa o número de acertos e y o nú-
mero de erros.
c) Escreva uma equação que relaciona o 
número de acertos (x) e o número de 
erros (y) com o total de pontos obti-
dos (p).
4x – y = p, onde p representa a pontuação obtida.
d) Um aluno fez 110 pontos. Descubra 
quantas questões ele acertou e quantas 
ele errou.
O aluno acertou 32 questões e errou 18.
A escolha do método
A ideia é que os alunos decidam qual o 
sistema mais apropriado em cada situação. 
Em princípio, não há uma norma para usar 
um ou outro método. É por meio da experiên- 
cia e da reflexão sobre os procedimentos utiliza-
dos que o aluno poderá decidir qual o melhor 
caminho a ser percorrido. Contudo, podemos 
delinear algumas características que facilitam 
um ou outro método. Por exemplo, o método 
da adição se torna mais rápido quando existem 
termos opostos nas duas equações. Já o método 
da substituição é preferível quando for fácil 
isolar uma das incógnitas. 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 53 1/27/16 9:02 AM
54
 
15. Resolva os sistemas usan-
do o método que julgar mais 
apropriado.
a) 2x – y = 7
x + 3y = −7
 b) x + 5y = 1
3x – y = –13
c) 2x + 3y = 0
6x – 4y = 13
 d) x = 3y – 1
2x + y = 12
a) x = 2 e y = –3. 
b) x = –4 e y = 1. 
c) x = 
3
2
 e y = –1. 
d) x = 5 e y = 2.
Equações, tabelas e gráficos
A representação gráfica de uma equa-
ção linear com duas incógnitas é um recurso 
valioso na discussão e na análise das possíveis 
resoluções de um sistema. Além disso, ele pre-
para o aluno para o trabalho posterior com 
funções, que se iniciará na 8a série/9o ano. 
Na atividade 1, construímos uma tabela 
com as soluções inteiras e positivas de uma 
equação com duas incógnitas. Para cada valor 
de x, correspondia um valor de y cuja soma 
era sempre 28 (x + y = 28). Podemos, então, 
construir um par ordenado (x; y) que configure 
a relação entre essas incógnitas e representá-lo 
num plano cartesiano. 
A representação de uma equação linear com 
duas incógnitas no plano cartesiano permite a 
visualização de suas possíveis soluções, o tipo 
de relação existente entre as incógnitas etc. 
Além disso, será de muita valia na análise e 
discussão das soluções de um sistema linear de 
duas equações. A seguir, vamos explorar um 
problema que resulta em um sistema desse tipo 
e representar as soluções em uma tabela e, em 
seguida, no plano cartesiano. 
16. Considere o seguinte problema: 
A soma de dois números inteiros e 
positivos é 12 e a diferença entre eles é 4. 
a) Escreva as informações do problema na 
forma de um sistema de equações.
Traduzindo em linguagem algébrica, escrevemos as equa-
ções I e II:
x + y = 12 (I)
x – y = 4 (II)
b) Preencha as tabelas com as possíveis so-
luções para cada uma das equações:
Para cada equação, constroem-se as tabelas com os valores 
de x e y, considerando o domínio dado pelo problema, isto 
é, de valores entre 1 e 11. Vamos considerar também, sem 
perda de generalidade, que x é maior que y. 
Tabela I: soluções para a primeira equação.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
x + y 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
Tabela II: soluções para a segunda equação.
x 5 6 7 8 9 10 11
y 1 2 3 4 5 6 7
x − y 4 4 4 4 4 4 4
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Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
c) Há algum par de valores para x e para y 
que satisfaz as duas equações?Sim, o par x = 8 e y = 4. 
d) Localize no gráfico os pares ordenados 
(x; y) que correspondem aos valores en-
contrados nas tabelas I e II.
Agora, para cada par ordenado (x; y) das tabelas, localizare-
mos um ponto no plano cartesiano, obtendo os seguintes 
gráficos das equações I e II:
x + y = 12y
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x11109876543210
x – y = 4
1
2
3
4
5
6
7
y
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
e) Localize no gráfico o ponto comum às 
duas tabelas. Os valores de x e y corres-
pondem à solução do problema?
Juntando os pontos no mesmo plano, obtemos o gráfico das 
duas equações. O ponto em comum aos dois gráficos (8; 4) 
é a solução do sistema.
y
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x11109876543210
f) Você deve ter notado que cada equação 
gerou um conjunto alinhado de pontos 
no gráfico. Considerando as condições 
iniciais do problema, poderíamos ligar 
esses pontos por meio de uma reta? Jus-
tifique sua resposta.
Não, pois o problema trata de números inteiros. A represen-
tação por meio de uma reta implicaria considerar todos os 
pontos intermediários entre os pares de solução de cada 
equação, incluindo números racionais e irracionais.
Consideremos agora que o problema não 
se restrinja ao domínio dos números inteiros, 
e possa incluir números negativos, racionais e 
irracionais. Então, os pontos das equações po-
dem ser representados por uma reta. Como 
já foi comentado anteriormente, a formali-
zação do conceito de reta real será feita na 
8a série/9o ano. Nesse momento, basta que o alu-
no compreenda que os pontos intermediários 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 55 1/27/16 9:02 AM
56
 
entre os inteiros também estão alinhados e, por-
tanto, podem ser representados por uma reta. 
Pode-se solicitar aos alunos que construam 
o gráfico das equações e verifiquem se pontos 
fora do domínio do problema inicial também 
estão contidos na reta. Por exemplo, no gráfico 
da equação x + y = 12 representado a seguir, os 
pares ordenados (–1; 13), (7,5; 4,5) e (15; –3) per-
tencem à reta e satisfazem a equação x + y = 12.
y
13
x + y = 12
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
14 15 x13121110987654321–1–2–3
–3
0
17. Considere agora o seguinte problema:
A soma de dois números é 6 e a dife-
rença entre eles é 1.
a) Preencha a tabela de cada equação para 
os valores indicados de x.
x + y = 6
x y
1 5
2 4
3 3
x – y = 1
x y
2 1
3 2
4 3
b) Represente no gráfico os pares ordena-
dos (x; y) que correspondem aos valores 
encontrados nas tabelas.
y
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
14 15 x131211109876543210–1–2–3
x – y = 1
x + y = 6
c) As condições do problema permitem que 
tracemos uma reta interligando os pontos 
de cada equação? Justifique sua resposta.
Sim, pois os valores de x e y podem não ser inteiros.
d) Ligue os pontos correspondentes a cada 
uma das equações. Localize o ponto de 
interseção entre as duas retas e escreva 
suas coordenadas. Elas correspondem à 
solução do problema?
O ponto de interseção é (3,5; 2,5), cujas coordenadas cor-
respondem à solução do problema inicial: 3,5 + 2,5 = 6 e 
3,5 – 2,5 = 1.
e) Escreva o sistema de equações que 
corresponde aos dados do problema 
e resolva-o pelo método que preferir. 
Verifique se a solução encontrada cor-
responde às coordenadas do ponto de 
interseção.
 x + y = 6
x – y = 1
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 56 1/27/16 9:02 AM
57
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
A solução desse sistema (x = 3,5 e y = 2,5) corresponde às 
coordenadas do ponto de interseção.
18. Construa os gráficos e as tabelas 
que representam os sistemas de 
equações a seguir. Dê as coordena-
das do ponto de interseção entre as retas que 
representam cada equação. Em seguida, re-
solva o sistema pelo método que preferir.
 (Observação: são necessários apenas dois 
pontos para representar uma reta no plano.)
a) 
2x + y = 6
x – y = – 3
 
y
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x10987654321–1–2–3–4–5
–5
2x + y = 6 x – y = –3 
0
2x + y = 6
x y
0 6
3 0
x – y = –3
x y
0 3
–3 0
A solução do sistema é x = 1 e y = 4.
b) 
x – 2y = –2
x + y = –5
 
y
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x10987654321–1–2–3
–4
–5
–5
–6–7–8–9–10
x + y = –5
x – 2y = –2
0
x – 2y = –2
x y
0 1
–2 0
x + y = – 5
x y
0 –5
–5 0
A solução do sistema é x = –4 e y = –1.
Soluções de um sistema
Assim que os alunos se apropriarem dos 
procedimentos de resolução de um sistema 
linear, podemos problematizar a questão das 
possíveis soluções de um sistema. Até ago-
ra, o repertório de soluções que os alunos 
conheciam era composto por números de-
terminados. Contudo, uma particularidade 
dos sistemas lineares de duas equações é que 
eles podem gerar outros tipos de resultados. 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 57 1/27/16 9:02 AM
58
 
Podemos obter uma solução possível, mas 
indeterminada, ou uma solução impossível.
Apresentaremos alguns exemplos de siste-
mas contendo os três tipos de soluções mos-
tradas na página anterior. O professor deve 
estimular os alunos a investigarem os padrões 
nas equações dos sistemas em que a solução 
é indeterminada ou impossível. Além disso, 
será feita a representação gráfica dos sistemas 
para a interpretação geométrica das soluções. 
19. Resolva os sistemas pelo 
método da adição. Em seguida, 
construa a tabela e o gráfico das 
equações de cada sistema e classifique o 
sistema de acordo com o tipo de solução 
resultante:
a) 2x + y = 3
x – y = 6
3x = 9
x = 3 y = –3
Agora, eles devem representar as duas equações no plano 
cartesiano. Como para determinar uma reta são suficientes 
dois pontos, eles devem montar a tabela com apenas dois 
pares ordenados para cada equação.
2x + y = 3
x y
0 3
1,5 0
x – y = 6
x y
0 –6
6 0
A partir da tabela, obtemos o gráfico a seguir, que mostra as 
duas retas, uma de cada equação, interceptando-se no ponto 
(3; –3), que é a solução do sistema.
y
–3
3 x
b) 2x + y = 3
4x + 2y = 6
Multiplicando a 1a equação por –2, obtemos outra equação 
cujos termos são os opostos aos da 2a equação.
0x + 0y = 0
–4x – 2y = –6
 4x + 2y = 6
+
Assim, ao tentarmos anular uma das incógnitas, a outra in-
cógnita e o termo independente também se anularam, ob-
tendo a igualdade 0x + 0y = 0. Como os coeficientes de ambas 
as incógnitas é zero, qualquer que seja o valor das incógnitas 
x e y o resultado sempre será igual a zero. Portanto, teremos 
uma sentença verdadeira (0 = 0) para qualquer valor de x e y. 
Esse resultado mostra que, na verdade, as duas equações do 
sistema são equivalentes, ou seja, são a mesma equação. Por 
essa razão, trata-se de um problema que tem apenas uma 
equação com duas incógnitas e, portanto, infinitas soluções. 
Em termos gráficos, a representação das equações no plano 
gera duas retas coincidentes, como mostra a figura.
2x + y = 3
x y
0 3
1,5 0
4x + 2y = 6
x y
0 3
1,5 0
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 58 1/27/16 9:02 AM
59
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
y
3
x1,5
c) 2x + y = 3
4x + 2y = 10
Multiplicando a 1a equação por –2, obtemos uma equação 
em que os coeficientes das incógnitas são opostos, mas o 
termo independente, não.
0x + 0y = 4
–4x – 2y = –6
 4x + 2y = 10
+ 
O resultado obtido, 0x + 0y = 4, não possui solução, pois 
quaisquer que sejam os valores de x e y, o lado esquerdo da 
equação será sempre igual a zero, enquanto o direito vale 
quatro. Assim, a sentença obtida é falsa, pois 0 ≠ 4. Em ter-
mos gráficos, as duas equações seriam representadas como 
mostra a figura. 
2x + y = 3
x y
0 3
1,5 0
4x + 2y = 10
x y
0 5
2,5 0
3
y
x1,5
5
2,5
Como podemos ver, as duas retas que representam as equa-
ções são paralelas. Dessa forma, elas não possuem pontos de 
interseção, o que mostra que o sistema não possui solução. 
20. Nos gráficos a seguir, as retas representam 
as equações de um sistemalinear. Classi-
fique os sistemas de acordo com o tipo de 
solução resultante:
Determinada
Possível
Solução de um 
sistema linear
Indeterminada
Impossível
 
a) 
y
xr
s
r e s são concorrentes
Sistema possível e determinado.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 59 1/27/16 9:02 AM
60
 
b) 
y
x
s
r
r e s são paralelas
Sistema impossível.
c) y
x
r
s
r e s são coincidentes
Sistema possível e indeterminado.
d) y
x
s
r
r e s são concorrentes
Sistema possível e determinado.
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendiza-
gem, espera-se que os alunos sejam capazes 
de resolver problemas envolvendo mais de 
uma incógnita, saibam representar esses 
problemas na forma de um sistema e con-
sigam achar uma solução usando o método 
mais conveniente.
Além disso, eles devem analisar e compreen-
der as possíveis soluções de um sistema linear: 
determinada, indeterminada e impossível. Eles 
também devem saber representar uma equação 
linear com duas variáveis no plano cartesiano, 
além de interpretar graficamente a solução de 
um sistema.
No decorrer das aulas, é importante que 
o professor alterne momentos de problema-
tização e sistematização com atividades e 
exercícios relativos ao conteúdo ensinado. 
Consideramos que, no decorrer dessas duas 
semanas, o professor proponha algumas ati-
vidades de avaliação que contemplem os se-
guintes itens: 
 f resolução de problemas: o foco da avaliação 
deve estar na tradução do problema para a 
linguagem algébrica (montagem do sistema);
 f resolução de sistemas: propor exer cícios 
visando à familiarização com os proce-
dimentos de resolução dos sistemas estu-
dados. Avaliar se os alunos sabem usar 
os dois métodos, escolhendo o melhor em 
cada situação, e se fazem a verificação dos 
resultados obtidos;
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 60 1/27/16 9:02 AM
61
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
 f representação gráfica: representar equa-
ções no plano cartesiano e construir ta-
belas com alguns valores das incógnitas. 
Avaliar se os alunos representam corre-
tamente os pares (x; y) da equação no 
plano cartesiano;
 f análise e discussão das soluções de um sis-
tema: propor a resolução de sistemas que 
tenham solução indeterminada ou impos-
sível. Avaliar se os alunos sabem identificar 
quando o sistema é possível e determinado 
ou indeterminado ou impossível. 
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 
EQUAÇÕES COM SOLUÇÕES INTEIRAS E SUAS APLICAÇÕES
Conteúdos e temas: múltiplos e divisores; máximo divisor comum; equações e sistemas; contagem.
Competências e habilidades: identificar regularidades e padrões; raciocínio lógico-dedutivo 
em problemas algébricos; organizar informações em tabelas.
Sugestão de estratégias: utilizar tabelas para identificar padrões e regularidades; utilizar tabe-
las para organizar informações; investigar propriedades de divisibilidade entre inteiros e do 
MDC por meio de exemplos numéricos.
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 4
Nesta Situação de Aprendizagem, apre-
sentamos uma série de problemas que, uma 
vez equacionados, conduzem a uma única 
equação com mais de uma incógnita. Equa-
ções como essas que, em domínio real, seriam 
classificadas como indeterminadas, podem 
ter um número finito de soluções inteiras e 
positivas. Investigaremos equações dessa na-
tureza (em domínio inteiro positivo) com o 
uso de tabelas e em contextos próximos de 
situações reais.
O estudo de sistemas de equações linea res 
na 7a série /8o ano, normalmente, concentra 
esforços na discussão, compreensão e sistema-
tização dos métodos de resolução (adição e 
substituição) de sistemas determinados. 
Em algumas situações práticas temos de resolver sistemas com mais incógnitas do 
que equações e, ainda, para complicar (ou facilitar), alguns desses sistemas reque-
rem apenas soluções inteiras positivas. Vejamos alguns exemplos de problemas 
adaptados de artigos da Revista do Professor de Matemática1 que, se equacionados, resultam 
em situações assim.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 61 1/27/16 9:02 AM
62
 
Exemplo 1 – Para agrupar 13 ônibus em filas de 3 ou 5 em uma garagem, quantas filas de 
cada tipo serão formadas?
Exemplo 2 – Quantas quadras de vôlei e quantas quadras de basquete são necessárias para 
que 80 alunos joguem simultaneamente? E se forem 77 alunos? 
(Dado: um time de basquete é formado por 5 jogadores; um de vôlei, por 6.)
Exemplo 3 – Um laboratório dispõe de duas máquinas para examinar amostras de sangue. 
Uma delas examina 15 amostras de cada vez, enquanto a outra examina 25. Quantas vezes 
essas máquinas devem ser acionadas para examinar 2 000 amostras?
Exemplo 4 – Um caixa eletrônico dis po nibiliza para saque apenas notas de R$ 20,00, 
R$ 50,00 e R$ 100,00. Se um cliente deseja sacar R$ 250,00, de quantas maneiras diferentes 
ele poderá receber suas notas?
Exemplo 5 – Deseja-se adquirir peças dos tipos A, B e C cujos preços unitários são 
R$ 1,00, R$ 10,00 e R$ 20,00, respectivamente. Se dispomos de R$ 200,00 para a compra, 
quantas e quais são as possibilidades de compra que podemos fazer?
Escrevendo cada um desses problemas em linguagem algébrica, encontraremos equações do 
tipo ax + by = c ou ax + by + cz = d, em que nos interessam apenas as soluções inteiras e positivas 
do tipo (x; y) ou (x; y; z).
Veja como você poderia transcrever cada um desses problemas para a linguagem algébrica:
Exemplo 1:
t: número de filas com 3 ônibus.
c: número de filas com 5 ônibus.
3t + 5c = 13
Exemplo 2:
v: número de pares de times de vôlei.
b: número de pares de times de basquete.
2 · 6 · v + 2 · 5 · b = 80 ou 2 · 6v + 2 · 5b = 77
1 A Revista do Professor de Matemática é editada pela Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em: 
<http://www.rpm.org.br/cms>. Acesso em: 27 nov. 2013.
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63
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
(Lembrete: usamos 2 · 6v, e não 6v, pois, para haver uma partida de vôlei, precisamos de 
dois times completos de 6 jogadores; o mesmo raciocínio se aplica a 2 · 5b no lugar de 5b.)
Exemplo 3:
x: número de amostras examinadas pela máquina X
y: número de amostras examinadas pela máquina Y
15x + 25y = 2 000
Exemplo 4:
x: total de notas de R$ 20,00
y: total de notas de R$ 50,00
z: total de notas de R$ 100,00
20x + 50y + 100z = 250
Exemplo 5:
a: número de peças adquiridas do tipo A
b: número de peças adquiridas do tipo B
c: número de peças adquiridas do tipo C
a + 10b + 20c = 200
Problemas em que apenas nos interessam as soluções inteiras positivas de uma equação 
com mais de uma incógnita, normalmente, recebem o nome de equações diofantinas, em ho-
menagem ao matemático Diofanto de Alexandria, que viveu por volta do ano 250 d.C. e se 
interessou por problemas dessa natureza.
Quanto ao número de soluções, uma equação diofantina, como acabamos de des-
crever, pode apresentar uma, mais de uma ou nenhuma solução. O estudo aprofunda-
do das equações diofantinas permite-nos encaminhar a discussão para:
I. estabelecer um critério de existências de solução que envolva diretamente a noção de 
máximo divisor comum;
II. estabelecer um algoritmo para encontrar as soluções, quando elas existirem.
Em classe, seu professor vai orientá-lo a resolver algumas equações diofantinas com o 
auxílio de tabelas. Depois dessa orientação, você estará apto a resolver as atividades a seguir.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 63 1/27/16 9:02 AM
64
 
Nesta Situação de Aprendizagem, inves-
tigaremos problemas envolvendo equações 
diofantinas com o uso de tabelas e, a partir 
da observação de padrões e regularidades, 
identificaremos suas soluções. Não investiga-
remos o algoritmo de resolução das equações 
diofantinas, no entanto, ele é uma decorrência 
quase imediata da análise que faremos para 
determinar quando uma equação diofanti-
na tem ou não solução. Deve ficar claro,por 
meio da atividade, que o recurso das tabelas, 
usado para a busca de soluções, torna-se mui-
to complicado quando estamos diante de um 
problema em que os coeficientes da equação 
são números muito altos, o que certamente 
justificará o interesse pela busca de um algo-
ritmo geral. Caso o professor identifique esse 
interesse nos alunos, deixaremos duas indica-
ções bibliográficas nas quais o algoritmo e sua 
demonstração podem ser encontrados.
A forma como pretendemos apresen-
tar o estudo de problemas relacionados às 
equações diofantinas, apesar de não usual na 
escola básica, sugere pelo menos três aspec-
tos que justificam plenamente sua abordagem: 
1) trabalha-se com a identificação de padrões 
e regularidades; 2) trabalha-se com a ideia de 
múltiplos, divisores e do máximo divisor co-
mum; 3) trabalha-se, indiretamente, com racio-
cínio de contagem.
A seguir, apresentaremos a resolução dos 
exemplos indicados no início desta proposta, 
contando com sua análise, professor, sobre 
outros desdobramentos possíveis para a reali-
zação de atividades com os alunos.
1. Complete a tabela a seguir 
tendo em vista a interpretação 
do Exemplo 1, apresentado na 
seção Leitura e análise de texto.
Linha
Número de 
filas com 
3 ônibus (t)
Número de 
filas com 
5 ônibus (c)
Total de 
ônibus 
(3t + 5c)
1 0 0 0
2 0 1 5
3 0 2 10
4 0 3 15
5 1 0 3
6 2 0 6
7 3 0 9
8 4 0 12
9 5 0 15
10 1 2 13
2. Analise os valores tabelados na atividade 
anterior e responda qual é a única linha da 
tabela que apresenta números compatíveis 
com o problema. Justifique sua resposta.
Inicialmente, fixamos t = 0 e variamos o valor de c, o que permi-
te observar que não há solução para o problema quando t = 0, 
porque a soma 3t + 5c sempre será um múltiplo de 5 (lem-
bre-se de que queremos 3t + 5c = 13). Note que não fizemos 
mais do que 4 linhas na tabela com t = 0 por dois motivos: em 
primeiro lugar, pode-se observar com facilidade que 3t + 5c 
será sempre múltiplo de 5, o que não fornece solução para o 
problema e, em segundo lugar, na quarta linha já atingimos 
soma maior do que os 13 ônibus possíveis do problema.
Da 5a linha até a 9a, fizemos o mesmo tipo de análise, só que 
agora com c = 0. Também concluímos, nesse caso, que não 
há solução possível com c = 0.
Com os valores possíveis de 3t e de 5c listados na última co-
luna da tabela, nos interessa agora procurar somas de dois 
deles que totalizem 13. No caso do problema, a única soma 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 64 1/27/16 9:02 AM
65
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
que totaliza 13 é 10 + 3. Segue, portanto, que a única solução 
do problema é 3 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 = 13, ou seja, (t, c) = (1, 2).
Deve-se observar, por meio desse exemplo, 
que o fato de um problema dessa natureza 
ter uma, mais de uma ou nenhuma solução 
está diretamente relacionado com os valores 
atribuídos aos coeficientes da equação, que 
no caso do Exemplo 1, foram 3, 5 e 13. Ou-
tras escolhas poderiam implicar a existência 
de mais de uma solução (se trocássemos, por 
exemplo, o 13 por 15) ou de nenhuma solu-
ção (se trocássemos, por exemplo, 3 por 2).
3. Complete a tabela a seguir tendo em vista a 
interpretação do Exemplo 2, apresentado 
na seção Leitura e análise de texto.
Linha
Número de 
pares de 
times de 
vôlei (v)
Número de 
pares de 
times de 
basquete (b)
Total de 
alunos 
(12v + 10b)
1 0 0 0
2 0 1 10
3 0 2 20
4 0 3 30
5 0 4 40
6 0 5 50
7 0 6 60
8 0 7 70
9 0 8 80
10 1 0 12
11 2 0 24
12 3 0 36
13 4 0 48
14 5 0 60
15 6 0 72
16 5 2 80
4. Analise os valores tabelados na atividade 
anterior e responda qual é a única linha da 
tabela que apresenta números compatíveis 
com o problema. Justifique sua resposta.
Com as nove primeiras linhas da tabela, descobrimos uma solu-
ção do problema, que é v = 0 e b = 8. Note que o padrão seguido 
nas nove primeiras linhas não foi continuado, porque na nona 
linha já se atingiu 80, que é o número de alunos da escola na 
primeira situação proposta no enunciado do problema. Da 10a à 
15a linha, identificamos que não há solução quando b = 0. O pa-
drão com b = 0 não prosseguiu para além da 15a linha, porque na 
linha seguinte já ultrapassaríamos 80 alunos. Por fim, buscando 
combinações de resultados da última coluna cuja soma seja 80, 
encontraremos mais uma solução para o problema, que é v = 5 
e b = 2. Esse problema apresenta, portanto, soluções do tipo 
(v; b), que são (0; 8) e (5; 2).
Dando continuidade à análise desse exem-
plo, é fácil perceber que não existe solução 
para a equação 12v + 10b = 77. Uma justifica-
tiva razoável para isso é a seguinte:
 f os múltiplos de 10 terminam sempre em 0, 
portanto, 10b tem algarismo das unidades 
igual a zero;
 f os múltiplos de 12 terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8, 
portanto, 12v termina em algarismo das uni-
dades igual a um desses números; 
 f decorre dos itens anteriores que a soma 
12v + 10b termina em 0, 2, 4, 6 ou 8 e, como 
77 tem algarismos das unidades igual a 7, 
12v + 10b nunca será igual a 77.
Pode-se demonstrar que:
Uma equação diofantina ax + by = c tem 
solução inteira se, e somente se, o máximo di-
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66
 
visor comum entre a e b for um número que 
divide c.
O teorema que acabamos de enunciar 
garante a existência de soluções inteiras 
(inclui os negativos). Lembramos que, 
nos cinco exemplos que estamos anali-
sando, nos interessam as soluções intei-
ras positivas. Ou seja, sua aplicação em 
problemas desse tipo exige que se faça 
uma análise com critério, porque pode 
ser que a equação tenha uma solução 
com inteiros negativos e, nesse caso, essa 
solução não interessaria para o proble-
ma em questão.
Veremos a seguir os passos da demonstra-
ção do teorema.
Recordemos as seguintes propriedades de 
divisibilidade entre inteiros:
 f Se d divide a, então d dividirá a ⋅ m, para 
qualquer m inteiro.
Exemplo: 7 divide 21, então 7 divide 9 ⋅ 21 
(se 7 divide 21, então 21 é múltiplo de 7 e, 
portanto, o produto de 21 por qualquer in-
teiro será divisível por 7).
 f Se d divide a e divide b, então d dividirá 
a + b.
Exemplo: 3 divide 6 e 9, então, 3 divide 
6 + 9 (como 
6 9
3
+
 é igual a 
6
3
9
3
+ , e como 
3 divide 6 e 9, então 3 dividirá 6 + 9).
 f Se d é MDC (a, b), então existem inteiros r e 
s tais que a ⋅ r + b ⋅ s = d.
Exemplo: MDC (6, 9) = 3, e 6 ⋅ (–1) + 9 ⋅ (1) = 
= 3 (note que –1 e 1 não são os únicos va-
lores r e s tais que a ⋅ r + b ⋅ s = d; temos 
também, por exemplo, 2 e –1).
Essa propriedade é uma decorrência 
quase imediata do algoritmo de Euclides 
para determinação do MDC entre dois 
números:
1 2
9 6 3
3 0
Veja que o algoritmo nos permite escrever 
I) 9 = 1 ⋅ 6 + 3 e II) 6 = 2 ⋅ 3 + 0. Da primeira 
igualdade temos III) 3 = 9 – 1 ⋅ 6 e da segunda 
IV) 2 ⋅ 3 = 6 – 0. Substituindo 4 em 3, temos 
3 = 9 − 1 ⋅ (6 – 0), ou seja, 3 = (1) ⋅ 9 + (–1) ⋅ 6.
Por meio das duas primeiras proprieda-
des listadas, sabemos que, se a equação ax + 
+ by = c tiver alguma solução com x’ e y’ 
inteiros, e se d for um divisor comum de a e 
b, então d dividirá c. Em particular, como o 
MDC (a, b) é um divisor comum de a e b, a 
condição necessária para que a equação te-
nha solução inteira é que MDC (a, b) divida c. 
Já sabemos que é necessário que MDC (a, b) 
divida c para que a equação diofantina tenha 
solução inteira. Agora, nos resta pergun-
tar se essa condição também é suficien-
te. A resposta é sim, e decorre da terceira 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 66 1/27/16 9:02 AM
67
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
propriedade listada. Chamando o MDC (a, b) 
de d, se d dividir c, então c = d ⋅ m e, pela 
propriedade 3, existem inteiros r e s tais que 
a ⋅ r + b ⋅ s = d. Multiplicando ambos os mem-
bros da igualdade por m, temos a ⋅ (r ⋅ m) + 
+ b ⋅ (s ⋅ m) = d ⋅ m, ou seja, a ⋅ x’ + b ⋅ y’ = c.
5. Determineas soluções do Exem-
plo 3 apresentado na seção Leitura 
e análise de texto.
Com o resultado que acabamos de demonstrar, como o 
MDC(15, 25) = 5 divide 2 000, o problema tem solução 
inteira. Com o uso de uma tabela, é possível encon-
trar as 27 soluções do problema, que são os seguintes 
pares (x, y):
(130, 2), (125, 5), (120, 8), (115, 11), (110, 14), (105, 17), (100, 20), 
(95, 23), (90, 26), (85, 29), (80, 32), (75, 35), (70, 38), (65, 41), 
(60, 44), (55, 47), (50, 50), (45, 53), (40, 56), (35, 59), (30, 62), 
(25, 65), (20, 68), (15, 71), (10, 74), (5, 77), (0, 80)
6. Determine as soluções do Exemplo 4 apre-
sentado na seção Leitura e análise de texto.
Como o MDC (20, 50, 100) = 10 divide 250, o problema tem 
solução inteira. Utilizando uma tabela, encontramos as se-
guintes soluções (x, y, z):
(0, 1, 2), (0, 3, 1), (0, 5, 0), (5, 1, 1), (5, 3, 0), (10, 1, 0) 
Desafio!
7. Determine algumas das soluções do Exemplo 5 apresentado na seção Leitura e análise 
de texto.
Uma vez que o MDC (1, 10, 20) = 1 divide 200, a equação possui solução inteira. Utilizando uma tabela encontraremos as 
91 soluções (a, b, c):
(0, 0, 10), (0, 2, 9), (0, 4, 8), (0, 6, 7), (0, 8, 6), (0, 10, 5), (0, 12, 4), (0, 14, 3), (0, 16, 2), (0, 18, 1), (0, 20, 0)
(10, 19, 0), (10, 17, 1), (10, 15, 2), (10, 13, 3), (10, 11, 4), (10, 9, 5), (10, 7, 6), (10, 5, 7), (10, 3, 8), (10, 1, 9)
(20, 18, 0), (20, 16, 1), (20, 14, 2), (20, 12, 3), (20, 10, 4), (20, 8, 5), (20, 6, 6), (20, 4, 7), (20, 2, 8), (20, 0, 9) 
(30, 17, 0), (30, 15, 1), (30, 13, 2), ... , (30, 3, 7), (30, 1, 8)
(40, 16, 0), (40, 14, 1), ... ,(40, 0, 8)
(50, 15, 0), (50, 13, 1), ... , (50, 1, 7)
(60, 14, 0), (60, 12, 1), ... , (60, 0, 7)
(70, 13, 0), (70, 11, 1), ... , (70, 1, 6)
(80, 12, 0), (80, 10, 1), ... , (80, 0, 6)
(90, 11, 0), (90, 9, 1), ... , (90, 1, 5)
(100, 10, 0), (100, 8, 1), ... , (100, 0, 5)
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68
 
Observe que a tabela tem uma série de regularidades que, uma vez identificadas, facilitam a generalização das triplas orde-
nadas. Por exemplo, as primeiras 11 triplas, que começam com a = 0, têm soma b + c iniciando em 10 e aumentando sempre 
uma unidade. Nas demais sequências de triplas (conforme organizamos anteriormente), a será um múltiplo de 10, b será igual 
a 19, 18, 17, ... , 10 (reduzindo sempre duas unidades para a tripla seguinte) e c será igual a 0, 1, 2, ... (terminando em 9, 8, 7, 6 
ou 5, dependendo da sequência).
Diofanto viveu por volta do ano 250 d.C. e foi um matemático de trabalhos extrema-
mente originais para sua época. A principal obra de Diofanto, chamada Arithmetica, 
consta ter sido escrita em 13 livros, dos quais apenas os seis primeiros chegaram até nós. 
Alguns consideram Diofanto o “pai da Álgebra”, uma vez que ele introduziu em seu trabalho a ideia 
de equação algébrica expressa por símbolos. Na solução de sistemas de equações, Diofanto manipu-
lava um único símbolo para representar as incógnitas e chegava às respostas, comumente, pelo mé-
todo de tentativa, que consiste em assumir para alguma das incógnitas um valor preliminar que 
satisfaça algumas condições. Esses valores preliminares conduziam a expressões erradas, mas 
que geralmente sugeriam alguma estratégia pela qual valores podiam ser obtidos de forma a atender 
a todas as condições do problema. Na coleção de 150 problemas que compõem sua obra, fica claro 
que o tratamento dado por Diofanto não é o da axiomatização, e raramente ele apresenta generali-
zações. Não há uma distinção clara no tratado de Diofanto entre equações determinadas e indeter-
minadas, e, quando ele se ocupava desse segundo grupo, geralmente contentava-se em encontrar 
uma solução, e não todo o conjunto de soluções.
Muitos dos problemas resolvidos por Diofanto eram da determinação de soluções inteiras 
(ou racionais) em equações com mais de uma incógnita, fato pelo qual esse tipo de assunto, inves-
tigado na Situação de Aprendizagem 4, é conhecido por muitos na Matemática como equações 
diofantinas. Veremos a seguir (em notação moderna) um problema resolvido por Diofanto para 
ilustrar sua forma de pensar a Matemática.
Professor, a partir do texto da seção Leitu-
ra e análise de texto a seguir, você pode discu-
tir com os alunos os seguintes pontos:
 f Localização de onde viveu Diofanto e em 
que época.
 f As razões pelas quais alguns historiado-
res consideram Diofanto como o “pai da 
Álgebra”.
 f Qual é a diferença entre as equações dio-
fantinas que nós estudamos e aquelas que 
foram estudadas por Diofanto?
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 68 1/27/16 9:02 AM
69
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
“Determine dois números tais que, cada um somado com o quadrado do outro, 
for neça um quadrado perfeito.” Como Diofanto tentava sempre escrever os pro-
blemas usando apenas uma incógnita, em vez de chamar os números de x e y, cha-
mou-os de x e 2x + 1. Note que, nesse caso, ao somar o segundo com o quadrado 
do primeiro, necessariamente teremos um quadrado perfeito, porque 2x + 1 + x² 
é igual a (x + 1)². Na sequência, exige-se que o primeiro somado com o quadrado 
do segundo seja um quadrado perfeito, ou seja, que x + (2x + 1)² seja um quadrado per-
feito. Diofanto escolhe um quadrado perfeito particular, que é (2x – 2)², para igualar 
à expressão x + (2x + 1)², da qual decorrerá uma equação linear em x, como veremos 
a seguir:
x + (2x + 1)² = (2x – 2)²
x + 4x² + 4x + 1 = 4x² – 8x + 4 ⇒ x = 
3
13
. 
Segue, portanto, que um dos números é 
3
13
 e o outro, dado por 2x + 1, é 
19
13
.
Note que no lugar de (2x − 2)² poderíamos ter usado (2x − 3)² ou (2x − 4)², ou outras expressões 
semelhantes, o que resultaria em outros pares de respostas que atendem à condição do enunciado 
do problema, mas Diofanto se contentava em encontrar uma única solução para o problema.
Como curiosidade final, citamos um trecho (adap-
tado para a linguagem moderna) de uma obra datada 
do século V ou VI d.C., chamada Antologia grega, 
em que, supostamente, revela-se com quantos anos 
Diofanto morreu:
“Diofanto passou 
1
6
 da sua vida na infân-
cia, 
1
12
 na juventude, 1
7
 como solteiro; 5 anos 
depois de casado nasceu o seu filho, que mor-
reu com metade da idade que Diofanto viveu, 
4 anos antes da sua própria morte.”
Equacionando o problema, descobriremos a 
suposta idade em que Diofanto morreu:
5
2
 4 = x
x = 84 anos
©
 B
ib
lio
té
qu
e 
P
ub
liq
ue
 e
t 
U
ni
ve
rs
it
ai
re
Frontispício de livro de Aritmética de 
Diofanto, Toulouse, França, 1620.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 69 1/27/16 9:03 AM
70
 
Considerações sobre a avaliação
Na Situação de Aprendizagem 4, investiga-
mos processos de resolução de equações com 
mais de uma incógnita e soluções inteiras po-
sitivas. Acreditamos que a discussão de proble-
mas desse tipo, além de aproximar o estudo da 
Matemática de sua contextualização, permite 
também a retomada de propriedades dos múl-
tiplos e divisores de um número. Do ponto de 
vista das habilidades trabalhadas, a situação 
proposta exige que o aluno seja capaz de orga-
nizar as informações numéricas em uma tabela, 
observar padrões, generalizar regularidades e 
investigar propriedades dos múltiplos e diviso-
res por meio da resolução de problemas.
As avaliações devem verificar se o aluno está 
apto a:
 f equacionar um problema a partir da leitu-
ra e interpretação do seu enunciado;
 f identificar se a equação possui ou não 
solução por uma análise numérica di-
reta (com uso de tabelas), o que pode 
ser comprovado pelo teorema do máxi-
mo divisor comum que foi apresentado 
no texto;
 f organizar os dados em uma tabela, o que 
implica fazer escolhas convenientes dos 
números atribuídos às incógnitas de tal 
forma que haja um padrão que possa ser 
cercado na montagem da tabela;
 f encontrar todas as soluções da equação;
 f criar (e resolver) seus própriosproblemas 
envolvendo equações com várias incógni-
tas e soluções inteiras positivas.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Conteúdos e temas: áreas de figuras planas representadas em malhas, áreas de triângulos e 
quadriláteros.
Competências e habilidades: estimar áreas de figuras regulares e irregulares; compreender di-
ferentes processos de cálculos de áreas; aplicar fórmulas para cálculo de áreas de polígonos; 
identificar os termos necessários ao cálculo da área de um polígono.
Sugestão de estratégias: compor e decompor figuras planas, resolução de situações-problema.
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 5
Nesta Situação de Aprendizagem, o foco do 
estudo da Geometria está no cálculo da área de 
figuras planas. Esse estudo teve início no volume 2 
da 5a série/6o ano, quando o uso das malhas se 
combinou com a decomposição das figuras. Na 
6a série/7o ano, volume 1, o trabalho de “ladri-
lhar o plano” possibilitou a apresentação dos 
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71
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
regulares e algumas de suas propriedades. No 
volume 1 da 7a série/8o ano, aplicamos noções de 
área de retângulos para o desenvolvimento das ex-
pressões algébricas e dos produtos notáveis. Dessa 
forma, fomos construindo a noção de que medir 
ou avaliar uma superfície é determinar quantas ve-
zes ela contém outra superfície tomada por unida-
de. Ao mesmo tempo, foram deduzidas fórmulas 
para o cálculo da área de algumas figuras especí-
ficas, como o retângulo e o quadrado. O trabalho 
que propomos nesta Situação de Aprendizagem 
tem por objetivo explorar e ampliar as ideias e os 
processos aprendidos para o cálculo da área de 
figuras, refinando o olhar do aluno sobre a iden-
tificação dos termos essenciais para esse cálculo 
(medidas da base, da altura e das diagonais). 
Para o desenvolvimento desse tema, a no-
ção intuitiva da equivalência de polígonos 
apresenta-se como central, servindo de apoio 
às deduções das fórmulas para o cálculo das 
áreas do paralelogramo, do losango, do tra-
pézio e do triângulo. Em seguida, apresenta-
mos alguns procedimentos para o cálculo de 
área de figuras desenhadas sobre malhas qua-
driculadas. Nesta Situação de Aprendizagem, 
procuramos também explorar as diferenças 
entre os conceitos de área e perímetro e a apli-
cação de conceitos algébricos na resolução de 
problemas que envolvem o cálculo de áreas. 
Cabe ressaltar que, nas demais Situações de 
Aprendizagem, o cálculo da área de polígonos 
continuará sendo explorado.
Equivalência de figuras planas
Dois polígonos iguais têm, evidentemente, a mesma área. Dois polígonos diferentes, en-
tretanto, podem ter a mesma área. Quando dois polígonos têm a mesma área, dizemos que 
eles são equivalentes. Naturalmente, se dois polígonos são formados pelas mesmas partes, ou 
seja, se são equicompostos, então, são equivalentes. 
Embora menos evidente, a recíproca desse teorema, isto é, que dois polígonos com a 
mesma área são equidecomponíveis, foi demonstrada por dois matemáticos – o húngaro 
Farkas Bolyai e o alemão Paul Gerwien – e recebeu o nome de teorema de Bolyai-Gerwien.
Um quadrado, por exemplo, pode ser decomposto formando um retângulo a partir de um 
corte retilíneo feito pela metade de seus lados. O quadrado e o retângulo têm áreas equivalentes.
4 m
4 
m 8 m
2 
m
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 71 1/27/16 9:03 AM
72
 
Consideramos que a primeira forma é mais 
conveniente para introduzir esse tema por ser 
mais intuitiva e não exigir o uso de fórmulas 
ou cálculos.
Pode-se iniciar a discussão apresentando a si-
tuação de equidecomposição a seguir. Tomando 
um cartão no formato de um retângulo ABCD, 
com um corte em sua diagonal AC, pode-se di-
vidi-lo em dois triângulos (1) e (2). Promovendo 
um movimento no triângulo (2), de modo que 
o lado BC coincida com o lado AD, obtém-se 
uma nova figura: o triângulo EFG.
D
A B
C D
A B
(2)
(1)
C
G
E
F
(2) (1)
Embora as figuras sejam diferentes, pode-
mos dizer que o triângulo formado com as pe-
ças do retângulo possui algo em comum com 
o retângulo: eles ocupam a mesma porção do 
plano, e têm a mesma área. Neste momento 
o professor pode enunciar que “quando duas 
figuras planas possuem áreas iguais, dizemos 
que elas são equivalentes”.
1. Considere o hexágono regu-
lar ABCDEF. Com apenas um 
corte retilíneo, construa um pa-
ralelogramo que seja equivalente a ele. Se 
desejar, com o auxílio de régua e compasso, 
construa um hexágono regular de papel e 
encontre um corte que o transforme em um 
paralelogramo. Depois, desenhe as fases 
dessa transformação no espaço.
C
A B
DE
F
Cortando o hexágono pela diagonal CF, obtemos dois tra-
pézios isósceles. Coincidindo os lados CD com AF, obtemos 
um paralelogramo. Para provar que não há excessos nem 
espaços vazios nesse encaixe, podemos argumentar que os 
dois trapézios têm a mesma altura e que os ângul os forma-
dos no encaixe são suplementares.
C
A B
DE
F
Como dissemos, um segundo caso que deve 
ser abordado na equivalência de figuras é aquele 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 72 1/27/16 9:03 AM
73
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
que envolve o cálculo de suas áreas com o uso das 
fórmulas, isto é, sem a ne cessidade da decomposi-
ção. Por exemplo, estes retângulos são equivalen-
tes porque possuem a mesma área: A = 72 cm2.
12 cm
6 
cm
4 
cm
18 cm
Vale observar que, nessa perspectiva, o 
professor pode explorar o fato de que figu-
ras equivalentes (mesma área) podem pos-
suir perímetros diferentes. No caso, o pri-
meiro retângulo possui 36 cm de perímetro, 
enquanto o segundo possui 44 cm. A abor-
dagem de situações que envolvem cálculos 
de áreas e perímetros possibilita fixar melhor 
ambos os conceitos e preparar o aluno para 
estudar posteriormente a geometria espa-
cial, quando observamos que prismas equi-
valentes, isto é, com mesmo volume, podem 
possuir áreas das faces diferentes. Esse 
fato permite um tipo muito interessante de 
investigação: o da construção de embala-
gens com mesma capacidade e menor custo 
de material.
2. Dois retângulos são equivalentes. No pri-
meiro, a base mede 125 cm e a altura, 80 cm. 
No segundo, a base mede 50 cm e a altura 
não é conhecida. 
a) Descreva uma forma de encontrar a al-
tura do segundo retângulo e determine 
seu valor. 
Como os retângulos são equivalentes, eles possuem a 
mesma área, que, nesse caso, é o produto da base pela 
altura. Dividindo-se essa área pela medida da base do 
segundo, encontramos a altura pedida. Denominando a 
altura desconhecida por h, temos:
A = 125 ⋅ 80 = 10 000 cm2, logo 50 ⋅ h = 10 000
Portanto: h = 200 cm.
b) Compare o perímetro dos dois retângu-
los. O que você observa?
O perímetro do primeiro será 410 cm, enquanto o do se-
gundo será 500 cm. Obser va-se que, embora eles tenham a 
mesma área, seus perímetros são diferentes.
A atividade a seguir explora, sob forma de 
investigação, uma situação que envolve áreas 
e perímetros. 
3. Um retângulo tem base de 16 cm e altura de 
4 cm. Encontre as medidas de um retângulo 
equivalente a este que possua o menor perí-
metro possível.
4 
cm
16 cm
Para resolver essa atividade, o aluno pode inicialmente calcu-
lar a área do retângulo: 64 cm2. A pesquisa sobre o retângulo 
de menor perímetro equivalente a esse, que pode ser feita por 
meio de uma tabela, deve conduzi-lo a um quadrado de lado 
8 cm. Trata-se de uma oportunidade para o professor retomar 
o conceito de que o quadrado é também um retângulo.
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74
 
Fórmula de Pick: calculando áreas por contagem
Em 1899, o matemático tcheco Georg Alexander Pick publicou um artigo que apre-
sentava uma fórmula para cálculo de áreas de polígonos cujos vértices eram pontos de 
uma malha quadriculada. Observando acomposição e decomposição de figuras planas 
na malha, Pick percebeu um padrão que associava a área de um polígono à quantidade de 
pontos da malha que se situavam no seu interior e sobre seu perímetro.
A fórmula de Pick, para um polígono cujos vértices são pontos de uma malha quadricu-
lada, é: A
B
I= + −
2
1, em que A é a área do polígono, B é a quantidade de pontos da malha 
situados sobre a fronteira do polígono e I, é o número de pontos da malha existentes no 
interior do polígono.
O professor pode propor aos alunos a cons-
trução de polígonos sobre malhas e o cálculo 
de suas áreas aplicando a fórmula de Pick. 
4. A seguir, apresentamos três 
figuras – um quadrado, um pa-
ralelogramo e um triângulo re-
tângulo. Preencha a tabela apresentada e 
aplique a fórmula de Pick para encontrar a 
área das três figuras. Em seguida, conclua 
se há equivalência entre esses polígonos.
Figura
Valor 
de B
Valor 
de I
Cálculo Área
Quadrado 8 1 A = 
8
2
 + 1 – 1 A = 4 u
Paralelogramo 6 2 A = 
6
2
 + 2 – 1 A = 4 u
Triângulo 
retângulo
6 0 A = 
6
2
 + 0 – 1 A = 2 u
Pelo exposto, observamos que o quadrado e o paralelogramo 
dados são polígonos equivalentes.
5. Em uma tábua foram fixados, à mesma dis-
tância, alguns pregos, formando um geopla-
no. Com um elástico o professor formou a 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 74 1/27/16 9:03 AM
75
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
figura a seguir. Aplique a fórmula de Pick 
para encontrar a área do polígono ABCD.
A
D
B
C
Na figura, temos B = 5, I = 24, logo A = 2,5 + 24 – 1 = 25,5 u. 
Observe que o mesmo problema pode ser resolvido da 
forma indicada a seguir, pela diferença entre a área do re-
tângulo completo e a área dos 4 triângulos retângulos que 
o contornam:
D
A
C
B
A = 9 ⋅ 5 – 
3 ⋅ 4
2
 + 
2 ⋅ 7
2
 + 
5 ⋅ 1
2
 + 
2 ⋅ 4
2
 
A = 45 – 19,5 = 25,5 u.
As atividades a seguir, embora explorem o 
cálculo de áreas de figuras irregulares, ainda se 
apoiam no uso das malhas quadriculadas. O mé-
todo aqui proposto permite a estimativa de áreas 
e é empregado em várias atividades do cotidiano.
Calculando áreas de figuras irregulares
Aerofotogrametria é um conjunto de técnicas que permite a elaboração de mapeamentos 
com base em fotografias tiradas por câmeras instaladas em aviões ou satélites. Fotograme-
tristas são os profissionais que analisam as formas e as dimensões dos objetos a partir dessas 
fotografias métricas. Esses profissionais têm recursos para determinar áreas de regiões como 
cidades, países ou parques ambientais. A seguir, propomos um método para determinar, de 
forma aproximada, áreas de regiões irregulares em um mapa. Nesse caso, consideramos que 
os mapas foram construídos por meio de um sistema de projeção que preserva a proporcio-
nalidade entre as áreas representadas e as áreas reais (existem mapas que são construídos 
tendo em vista outras finalidades, como as relacionadas à navegação, e que não preservam 
tais proporções).
6. Para calcular o valor aproxi-
mado da área de uma região 
irregular, podemos desenhá-la 
sobre uma malha quadrangular, em que 
cada quadradinho da malha indica uma 
unidade de área (1 u).
A
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 75 1/27/16 9:03 AM
76
 
 Em seguida, adotam-se os processos:
I. Conta-se o número de unidades da ma-
lha totalmente contidas na região indi-
cada por A1.
II. Conta-se o menor número de unidades 
da malha que envolve totalmente a re-
gião indicada por A2.
A1 = 12 u A2 = 33 u
PARÁ
MATO GROSSO
MATO GROSSO
DO SUL
TOCANTINS
MINAS GERAIS
SÃO PAULO
PARANÁ
RIO DE JANEIRO
53 000 km2
ESPÍRITO SANTO
RIO GRANDE
DO SUL
SANTA
CATARINA
GOIÁS
DF
BAHIA
PERNAMBUCO
PARAÍBA
ALAGOAS
SERGIPE
RIO GRANDE
DO NORTE
PIAUÍ
CEARÁMARANHÃO
AMAZONAS
ACRE
RORAIMA AMAPÁ
RONDÔNIA
©
 W
ag
ne
r 
B
ar
bo
sa
 B
at
el
la
 a
da
pt
ad
o 
po
r 
C
on
ex
ão
 E
di
to
ri
al
III. Calcula-se a média aritmética entre 
as duas quantidades de unidades da 
malha contadas nos processos I e II.
A = 
A1 + A2
2
 = 12 + 33
2
 = 22,5 u
IV. Se a figura estiver em escala, deve-
mos conhecer a área da unidade da 
malha para multiplicá-la pelo valor 
 encontrado anteriormente.
 Utilize o procedimento que acabamos de 
descrever para calcular a área aproximada 
do Estado de Minas Gerais, destacado no 
mapa a seguir.
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77
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
Contamos 4 unidades da malha totalmente interiores à 
região do Estado de Minas Gerais e 18 unidades como 
o menor número de unidades da malha que envolve 
completamente a mesma região. Aplicando-se o método 
descrito, temos:
MATO GROSSO
MATO GROSSO
DO SUL
TOCANTINS
SÃO PAULO
PARANÁ
RIO DE JANEIRO
ESPÍRITO
SANTO
GOIÁS
DF
BAHIA
MINAS GERAIS
MATO GROSSO
MATO GROSSO
DO SUL
TOCANTINS
SÃO PAULO
PARANÁ
RIO DE JANEIRO
ESPÍRITO
SANTO
GOIÁS
DF
BAHIA
MINAS GERAIS
A = 
A1 + A1
2
 = 
4 + 18
2
 = 11 u 
Como cada unidade da malha corresponde a 53 000 km2, temos: 
A = 11 ⋅ 53 000 = 583 000 km2.
A área ocupada pelo Estado de Minas Gerais é de aproxima-
damente 583 000 km2.
©
 W
ag
ne
r B
ar
bo
sa
 B
at
el
la
ad
ap
ta
do
 p
or
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ri
al
©
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B
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bo
sa
 B
at
el
la
 a
da
pt
ad
o 
po
r 
C
on
ex
ão
 E
di
to
ri
al
Faça uma pesquisa em livros 
de Geografia, em atlas ou na 
internet sobre a “área real” 
que o Estado de Minas Gerais ocupa. 
Compare o valor real com o valor en-
contrado na atividade 6 apresentada na 
seção Você aprendeu?.
Como resultado dessa pesquisa, o valor deve aproximar-se 
de 588 400 km2. A título de informação, Minas Gerais é o 
quarto Estado mais extenso do Brasil e representa aproxi-
madamente 6,9% da área do território nacional.
Se julgar oportuno, o professor pode suge-
rir aos alunos que construam figuras irregu-
lares sobre a malha e que determinem a área 
da figura aplicando as duas fórmulas e com-
parando os resultados.
As fórmulas das áreas de figuras planas
As noções sobre áreas apresentadas até o 
momento envolvem os retângulos e os proce-
dimentos de estimativa e cálculo de áreas de 
figuras apoiados em malhas. Inicia-se agora a 
etapa de exploração do cálculo da área de ou-
tros polígonos. O ponto de partida foi a primei-
ra noção de área construída com os alunos: a 
área de retângulos. É necessário, portanto, que 
o seguinte enunciado seja significativo para os 
alunos: Se um retângulo tem lados de medidas 
a e b, então a sua área é dada por A = a ⋅ b.
Com base na fórmula da área do retângulo, 
chegamos facilmente à expressão que estabe-
lece a área de um quadrado de lado a: A = a2.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 77 1/27/16 9:03 AM
78
 
Para calcular a área de um triângulo, 
paralelogramo ou trapézio, necessitamos das 
medidas da base e da altura. A identificação 
da altura des sas figuras costuma se apresen-
tar como uma dificuldade para os alunos. No 
caso do paralelogramo, cada lado pode ser 
considerado por base, e a altura será a distân-
cia entre essa base e o lado paralelo a ela. No 
trapézio, as bases serão os lados paralelos, e a 
altura, a distância entre eles. Já no triângulo, 
cada lado pode ser considerado base. Nos dois 
quadriláteros citados, é indiferente considerar 
se a altura passa ou não pelos vértices, pois 
ela é a mesma em qualquer lugar em que se 
meça a distância entre as paralelas. Em geral, 
no triângulo, a altura será relativa ao lado que 
se toma por base e deve passar pelo vértice 
oposto ao lado tomado por base. 
A aplicação de uma propriedade, de um teo-
rema ou de uma fórmula na resolução de um 
problema é importante porque permite che-
garmos, de forma mais rápida, à solução, sem 
que tenhamos que seguir todos os passos da 
demonstração. As fórmulas podem ser entendi-
das como um resumo de raciocínios. Contudo, 
suas aplicações não podem prescindir de uma 
análise dos dadosdo problema e de uma “lei-
tura” atenta da figura.
A seguir, vamos deduzir as fórmulas das 
áreas das figuras geométricas mais simples: 
paralelogramo, trapézio, losango e triângulo. 
Para isso, o conceito central a ser aplicado é o 
da equivalência entre cada uma dessas figuras e 
um retângulo. Sugerimos ao professor que apre-
sente essas demonstrações usando figuras cons-
truídas em papelão e que discuta com o grupo 
de alunos cada passo, verificando se todos com-
preendem. Uma estratégia que pode ser apli-
cada é solicitar, em alguns momentos, que um 
aluno retome os argumentos e as interpretações 
utilizados na demonstração e que, ao final des-
ta, cada aluno faça seu registro no caderno.
As fórmulas das áreas de figuras planas
Vamos acompanhar o desenvolvimento das expres-
sões que permitem o cálculo da área de alguns polígonos 
importantes.
Área do paralelogramo
A área do paralelogramo é obtida a partir da equi-
valência com a área de um retângulo de base e altura, 
respectivamente, congruentes à base e à altura do para-
lelogramo considerado. Vamos mostrar isso a partir do 
paralelogramo ABCD:
A
D
B
C
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Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
Do vértice A, baixamos um segmento AE, perpendicular às paralelas AB e CD. Nesse caso, 
AE será a altura relativa às bases AB e CD.
A
h
ED
B
C
Vamos destacar o triângulo ADE e transportá-lo para o outro lado do paralelogramo, 
que, desse modo, vai transformar-se em um retângulo equivalente ABE’E.
A
h
E ’E C b
BA
h
ED
B
C
Observando a composição, percebemos que ambos os quadriláteros possuem a mesma al-
tura, AE, e a mesma base AB. Logo, o mesmo produto da medida AE · AB, que determina a 
área do retângulo, determina também a área do paralelogramo. Denotando cada dimensão por 
h (altura) e b (base), temos que a área do paralelogramo é: A = b · h.
Área do losango
Primeiramente, lembre-se de que chamamos de losango um paralelogramo equilátero, 
isto é, com lados congruentes. 
Como o losango é um paralelogramo, sua área pode ser obtida pelo produto da base (lado do 
losango) pela altura (distância entre a base e o lado paralelo a essa base).
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80
 
 A C
B
D
B
b
h
DA
C
 A = b · h
Outra possibilidade é mostrar que o losango 
ABCD equivale a um retângulo ACFE em que um 
lado é igual a uma das diagonais do losango e o ou-
tro é metade da outra diagonal.
DA oud= · 2
A D · d=
2
Área do triângulo
A área do triângulo pode ser deduzida a partir da área do paralelogramo. Dado um 
triângulo qualquer ABC, acrescentamos a ele o triângulo AB’C, idêntico a ele, formando 
um paralelogramo.
A
B C
A
h
b
B
B’
C
A área do triângulo é, portanto, igual à metade da área do paralelogramo, que é determi-
nada pelo produto da medida da base b pela altura h. Logo, a área A do triângulo é igual a: 
A b= =
2 2
h ou A b
 . h1 .    
B
A
M
FE D
C
D
d
2
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 80 1/27/16 9:03 AM
81
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
Neste momento, consideramos que os 
alunos já conhecem algumas ideias e pro-
cedimentos para demonstração de fórmu-
las de áreas. A fórmula da área do trapézio 
pode ser encontrada por eles a partir de um 
desafio. Inicialmente, o professor divide a 
sala em grupos de três alunos e propõe a 
seguinte atividade:
Desafio!
Área do trapézio
Trapézio é todo quadrilátero convexo que tem apenas dois lados paralelos. No trapézio 
GALO, dado a seguir, B é a medida da base GA (base maior) e b, é a medida da base LO 
(base menor). A altura do trapézio é indicada por h e representa a distância entre as bases. 
A área do trapézio é representada pela expressão: A
(B + b) ⋅ h
=
2
 . 
A
LO
b
base 
menor
base maior
h altura
B
G
Encontre uma maneira de demonstrá-la, tomando a figura anterior como referência.
Uma das possibilidades é compor um paralelogramo a partir da justaposição de um trapézio congruente ao dado, segundo 
a figura:
base 
menor
base 
menorbase maior
h altura
B + b
Com ele, aplicando a fórmula da área do paralelogramo, encontramos: A = 
(B + b) ⋅ h
2
 .
Terminadas as deduções dessas fórmulas, 
o professor pode propor aos alunos uma série 
de exercícios que já fazem parte de sua sele-
ção, quando trata deste tema, ou que podem 
ser escolhidos entre os vários encontrados na 
maioria dos livros didáticos de 7a série/8o ano. 
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82
 
A atividade a seguir representa outro de-
safio aos alunos, pois envolve o conhecimento 
de fórmulas e das relações entre as figuras en-
volvidas. Tomando este problema como mo-
delo, o professor pode sugerir aos alunos um 
pequeno projeto que explore sobreposições e 
dobraduras de figuras. 
Vale ressaltar que, no percurso das outras 
Situações de Aprendizagem, o cálculo da área 
é retomado, ampliando-se sua noção na Geo-
metria Plana e Espacial.
8. Separe duas folhas de papel sulfite. Dis-
ponha uma sobre a outra, como mostra a 
figura a seguir. Discuta com seu colega se 
a folha que está por cima cobriu a metade, 
mais da metade ou menos da metade da 
folha que está por baixo.
Observando a figura, constatamos que o quadrilátero que co-
bre parte da folha pode ser decomposto em dois triângulos 
(ABC e BCD), sendo que ABC possui como base o lado maior 
Um primeiro tipo de exercício pode ser aquele 
em que o aluno deve reconhecer na figura os 
dados essenciais para o cálculo de sua área. 
Em um segundo momento, o professor pode 
explorar enunciados e deixar a construção da 
figura a cargo do aluno. Outra etapa é reto-
mar o cálculo de áreas combinado aos conhe-
cimentos de cálculos algébricos, como propo-
mos a seguir.
7. A figura a seguir indica uma 
folha de latão que será usada na 
montagem de uma peça (as medi-
das estão em metros).
x + 10
x x
x x
2x
 +
 4
2x +
 4
a) Se calcularmos a área da superfície da 
folha de latão necessária à constru-
ção da peça, ela será uma expressão 
que depende do valor de x. Escreva 
essa expressão.
A área da folha pode ser calculada decompondo-a em qua-
tro retângulos:
A = x(2x + 4) + x(2x + 4) + x(x + 10) + (x + 10) ⋅ (2x + 4)
A = 7x2 + 42x + 40.
b) Encontre o valor da área dessa superfí-
cie quando x = 4 metros.
Sendo x = 4, substituindo este valor na expressão anterior, te-
mos: A = 7 ⋅ 42 + 42 ⋅ 4 + 40, A = 320 m2.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 82 1/27/16 9:03 AM
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Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
do retângulo (b) e altura, o lado menor (h). Portanto, sua área 
equivale à metade da área do papel retangular. Como ainda 
resta computar a área do outro triângulo (BCD), podemos 
concluir que a área coberta é maior que metade da folha.
A
b
C
B
h
D
Considerações sobre a avaliação
Espera-se, ao final desta Situação de Apren-
dizagem, que os alunos tenham ampliado suas 
estratégias para o cálculo de áreas, combinando 
métodos de estimativa e uso de malhas com o 
uso de fórmulas. As demonstrações das fór-
mulas se apresentam como um recurso não só 
de sua compreensão, mas também de estraté-
gia que os alunos podem adotar, decompondo 
figuras em outras mais simples. A fórmula, 
como dissemos anteriormente, deve auxiliar o 
pensamento do aluno na identificação dos ele-
mentos essenciais ao cálculo da área. Ela deve 
indicar a necessidade da determinação da base, 
da altura ou da diagonal e, para isso, o aluno 
pode aplicar várias noções relativas às medidas 
aprendidas anteriormente, como o conceito de 
perímetro e de proporciona lidade. O trabalho 
com áreas permite também retomar muitos 
casos de fatoração (produtos notáveis). Nesse 
sentido, vale a pena explorar alguns exercícios 
em que os dados são indicados por letras. 
Lembramos que o cálculo de área é aplicado 
em várias situações cotidianas e profissionais. 
Além domaterial que o professor já possui 
para tratar desse tema, em vários livros e vesti-
bulares podem ser encontrados bons exercícios 
para adaptá-los à linguagem da 7a série/8o ano.
Para avaliação, sugerimos que o professor 
aborde problemas:
 f que, partindo dos dados nas figuras, neces-
sitem do uso direto da fórmula, o que exige 
a identificação dos elementos necessários 
ao cálculo da área;
 f em que os alunos devam desenhar a figura 
e interpretar o enunciado;
 f que envolvam termos algébricos;
 f que permitam o uso de estratégias de es-
timativa.
A avaliação, no caso, pode apontar esse 
caminho para o professor. A dificuldade em 
qualquer um dos aspectos pode ser supera da 
com exercícios que tenham maior signi fica- 
do para os alunos. Assim, por exemplo, se for 
identificada uma dificuldade no tratamento 
algébrico, o professor poderá partir de proble-
mas com dados numéricos e ir, pouco a pou- 
co, acrescentando termos indicados por letras, 
como em um processo de generalização.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 83 1/27/16 9:03 AM
84
 
Conteúdos e temas: teorema de Tales e suas aplicações em situações contextualizadas.
Competências e habilidades: perceber a Matemática como conhecimento historicamente 
construído; compreender o processo de demonstração; criar argumentos lógicos; explorar 
relações entre elementos geométricos e algébricos; desenvolver a capacidade de síntese e 
generalização de fatos; reconhecer situações que podem ser resolvidas pela aplicação do 
teorema de Tales.
Sugestão de estratégias: demonstração, resolução de situações-problema contextualizadas; 
criação de hipóteses.
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 6
O teorema de Tales, ou teorema dos seg-
mentos proporcionais, geralmente é enunciado 
da seguinte forma: “Se um feixe de retas pa-
ralelas, indicado pelas retas a, b e c, é inter-
ceptado por duas transversais, d e e, então os 
segmentos determinados pelas paralelas sobre 
as transversais são proporcionais”.
A
a
C
c
E
e
F
B
b
D
d
AB
BC
DE
EF
=
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 
TEOREMA DE TALES: 
A PROPORCIONALIDADE NA GEOMETRIA
A ideia de proporcionalidade que ele expres- 
sa é importante na combinação de elementos 
 geométricos e numéricos porque permite de- 
senvolver noções matemáticas, como o estudo 
da semelhança de figuras e o estudo de perspec-
tiva. São várias as possibilidades de aplicação 
do teorema de Tales em situa ções-problema 
contextualizadas. A partir da noção de seme-
lhança de figuras, em particular de triân- 
gulos, objeto de estudo do volume 2 da 8a série/ 
9o ano, o teorema de Tales passa a ter uma 
posição subsidiária, pois a proporcionalidade 
que a semelhança sugere é mais abrangente 
que a proposta pelo uso desse teorema. 
A apresentação da proporcionalidade ex-
pressa pelo teorema de Tales será feita, inicial-
mente, de forma intuitiva, explorando paralelas 
traçadas em um triângulo. Em seguida, propo-
mos uma demonstração desse teorema apli-
cando o cálculo de áreas, recurso que evita 
o enfrentamento de grandezas incomensurá-
veis, necessárias a sua demonstração formal, 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 84 1/27/16 9:03 AM
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Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
e que será objeto de estudo na 8a série/9o ano. 
Uma vez demonstrado o teorema, são sugeri-
das algumas atividades que exploram sua apli-
cação e de sua recíproca.
A primeira noção a ser desenvolvida com os 
alunos é uma interpretação do teorema de Tales 
relativo aos triângulos, que pode ser expressa 
da seguinte forma: “Se uma reta paralela a um 
lado de um triângulo intersecta os outros dois 
lados em pontos distintos, então ela determina 
segmentos que são proporcionais a esses lados”.
Isso significa que, dado um triângulo qual-
quer de vértices A, B e C, tomado o segmento 
DE paralelo à base BC, vale a proporção: 
AD
AB
AE
AC
=
Ou seja, 
de modo 
equivalente:
 
A
B CAD
DB
AE
EC
=
 
A
D E
B C
Para que os alunos tenham um primeiro 
contato com essa proporcionalidade de seg-
mentos em um triângulo, sugerimos que se 
desenvolva, de forma dialogada com a classe, 
a próxima atividade. A leitura da situação des-
crita no problema deve vir acompanhada de 
sua figura. No primeiro momento, o profes-
sor pode dirigir um pouco mais as noções de 
proporcionalidade geométrica que serão apren-
didas, apoiando-se no conhecimento de pro-
porcionalidade que os alunos já adquiriram.
1. Sílvio é um jardineiro que 
está trabalhando no projeto de 
um canteiro triangular, em 
uma esquina da praça de seu bairro. 
 Inicialmente, ele propõe que o canteiro seja 
composto por dois tipos diferentes de folha-
gens rasteiras e que a divisão entre elas seja 
feita por uma faixa paralela à base BC, in-
dicada na figura pelo segmento DE. Desse 
modo, Sílvio fez as seguintes medições no 
canteiro: AD = 4 m, DB = 4 m e AE = 3 m. 
Qual deve ser a medida de EC?
A
B C
A
D
4 m 3 m
4 m
E
B C
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86
 
Neste momento, o professor pode deixar que os alunos 
construam algumas hipóteses sobre a medida de EC. Intui-
tivamente, eles podem estabelecer o critério de que, sendo 
D o ponto médio de AB, E também o será de AC. Portanto, a 
medida de EC deve ser 3 metros. 
2. Para fazer um ajuste em seu projeto, Sílvio 
posicionou o ponto D a 2 m do ponto A, 
conforme indicado na figura a seguir. En-
contre a nova medida de EC.
A
D
2 m 1,5 m
6 m
E
B C
Com essa atividade, buscamos evidenciar a proporcionali-
dade entre os segmentos determinados pela paralela nos 
lados do triângulo.
Nesse caso, pode-se pensar de duas formas: percebe-se a 
proporcionalidade 2 para 1,5 ou 2 para 6. A medida encon-
trada para EC deve ser, portanto, 4,5 metros. 
Vamos aproveitar o mesmo enuncia-
do para explorar outras proporções pos-
síveis no projeto do canteiro.
3. A partir dos ajustes e dimensões do projeto 
(atividade 2), Sílvio percebeu que poderia 
explorar melhor o canteiro, dividindo-o mais 
uma vez por outra faixa paralela à base BC, 
indicada na figura pelo segmento FG. Isso 
permitiria plantar outro tipo de folhagem, 
deixando o canteiro ainda mais bonito.
A
D
F
2 m 1,5 m
5 m
1 m
E
G
B C
 Com base nessas dimensões encontre as 
medidas de EG e GC, e utilize o espaço a 
seguir para realizar os cálculos.
O segmento EG = 3,75 m e GC = 0,75 m.
Neste momento, é conveniente uma pequena generalização 
da proporcionalidade entre os lados do triângulo determinados 
pelas paralelas à base. O professor pode aproveitar para explorar 
as proporções entre as medidas de cada uma das partes como:
AD
AB
 = 
AE
AC
 = 
2
8
 = 
1,5
6
 ou
AB
FB
 = 
AC
GC
 = 
8
1
 = 
6
0,75
 ou
AF
FB
 = 
AG
GC
 = 
7
1
 = 
5,25
0,75
 
Professor, neste momento inicial é im-
portante observar se os alunos estabelecem 
corretamente as posições dos termos na 
proporção. Nesse sentido, deve-se ressal-
tar a ordem dos termos que compõem a 
proporção.
4. Lucas queria estimar a medida mais extensa 
do pequeno lago que havia perto de sua casa. 
Pensando sobre o problema, ele inicialmente 
fez um esquema da situação, indicando 
essa extensão por AB e imaginando dois 
triângulos ABD e BCE, sendo as bases 
AD e EC paralelas (Figura 1). Depois, foi 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 86 1/27/16 9:03 AM
87
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
ao local e fincou 5 estacas, cada uma cor-
respondente a um vértice dos triângulos 
de seu esquema. Contou com passos as 
medidas correspondentes aos lados AE, 
BD e DC e completou seu esquema como 
na Figura 2.
Figura 1
C
BE
A
D
C
BE
4 passos
9 passos
3 passos
A
D
Figura 2
 O procedimento criado por Lucas permite 
a resolução do problema? Se sua resposta 
foi afirmativa, expresse os cálculos efetua-
dos e o valor, em passos, por ele encontra-
do para a extensão AB.
O objetivo desta atividadeé fazer o aluno explicitar, por meio 
de uma argumentação lógica, seu conhecimento a respeito da 
propriedade aprendida. No caso, o método aplicado por Lucas 
permite calcular a medida AB por considerar os segmentos AD 
e EC paralelos, determinando, nos lados do triângulo, segmen-
tos proporcionais. Observando que a razão de proporcionalida-
de é 
BD
DC
 = 
9
3
 = 3, podemos concluir que AB = 12 passos.
Na atividade a seguir, apresentamos aos 
alunos a expressão do teorema de Tales rela-
cionada ao triângulo. Posteriormente ela será 
ampliada para a proporção entre os segmentos 
determinados por paralelas nas transversais.
5. De uma praça em formato retangular saem 4 
avenidas, α, β, ϕ e θ, uma de cada vértice do re-
tângulo. Ligando cada par de avenidas há três 
ruas, 1, 2 e 3, sempre paralelas em cada caso. 
Os pontos de encontro entre as ruas de mesmo 
número são nomeados pelas letras do alfabe-
to, A, B, C, D etc. Observe na figura os pontos 
M e P. O ponto M está na rua “2 Leste”, en-
quanto o ponto P está na rua “3 Norte”.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 87 1/27/16 9:03 AM
88
 
Praça
NORTE
Avenida θ
Avenida α
M
P
Avenida β
Avenida ϕ
OESTE
LESTE3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
SUL
L
K
J
A
E
I
C
G
B
F
D
H
a) Considere apenas a parte Sul e as dis-
tâncias entre os pontos apresentadas a 
seguir e verifique se é válida a proporção 
 GH ____ HI = 
DE ____ EF .
 GH = 50 m
 HI = 40 m
 DE = 60 m
 EF = 48 m 
A solução desta atividade exige um cuidado na leitura do 
enunciado e das informações contidas na gravura.
50
40
 = 
60
48
 ⇔ 50 ⋅ 48 = 60 ⋅ 40 = 2 400 m. Portanto, é válida a 
proporção.
b) A proporção verificada no item anterior é 
a expressão matemática do teorema de Ta-
les, segundo o qual: se uma reta paralela a 
um lado de um triângulo intersecta os outros 
dois lados em pontos distintos, então ela de-
termina segmentos que são proporcionais a 
esses lados. Considere agora o lado Leste 
da praça da figura e escreva a expressão 
matemática do teorema de Tales.
AB
BC
 = 
DE
EF
 .
c) A partir da distância AB = 36 m, cal-
cule a medida BC.
36
BC
 = 
60
48
 ⇒ BC = 28,8 m.
d) Na figura, a distância entre os pontos 
J e K é igual a 32 m. Sendo assim, cal-
cule as medidas de KL baseando-se na 
proporcionalidade entre os segmentos 
do lado Norte e de KL com base na 
proporcionalidade entre os segmentos 
do lado Oeste.
JK
KL
 = 
AB
BC
 
32
KL
 = 
36
28,8
 KL = 25,6 m.
JK
KL
 = 
GH
HI
 
32
KL
 = 
50
40
 KL = 25,6 m.
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89
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
6. Se a praça da figura da atividade anterior 
for retirada do mapa, observa-se que as 
avenidas θ e ϕ encontram-se no ponto X, 
enquanto as avenidas α e β encontram-
-se no ponto Y, como mostra a figura a 
seguir.
NORTE
Avenida θ
Avenida α
M
P
Avenida β
Avenida ϕ
OESTE
LESTE3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
SUL
L
K
J
A
E
I
C
G
B
F
D
H
Y
X
 Adotando as medidas fornecidas ou cal-
culadas na atividade anterior, e dados 
JX = 10 m e AY = 8 m, calcule:
a) GX 
OESTE
X
I
G
K
J
H
L
3 2
32 m
50 m
10 m
1
JX
JK
 = 
GX
GH
 
10
32
 = 
GX
50
GX = 
125
8
 = 15,625 m.
b) DY
M
LESTE
A
Y
E
C
B
F
D
3
2
36 m
8 m
60 m
1
AY
AB
 = 
DY
DE
 ⇒ 
8
36
 = 
DY
60
 ⇒ DY = 
40
3
 = 13,3m.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 89 1/27/16 9:03 AM
90
 
A próxima etapa do nosso estudo contem-
plará a demonstração do teorema de Tales. 
7. Pesquise em livros de His-
tória, Filosofia ou Matemá-
tica e, também, em alguns 
sites, fatos relativos à vida do matemático 
e filósofo grego Tales de Mileto. Nessa 
pesquisa, você deve buscar as contribui-
ções de Tales à Matemática. Anote em 
uma folha avulsa os principais dados 
encontrados.
Inicialmente, o professor pode orientar 
uma pesquisa sobre a vida de Tales. É possí-
vel que haja controvérsias entre algumas in-
formações que os alunos encontrarão. Isso, 
como dito anteriormente, deve-se ao fato de 
serem poucos os registros sobre sua vida. 
O professor pode ilustrar esta aula com o 
apoio de um mapa, localizando o Egito, a 
Grécia e, particularmente, a cidade de Mi-
leto, antiga cidade grega, hoje pertencente 
à Turquia. 
Uma perspectiva histórica: quem foi Tales?
Na Ciência, temos alguns exemplos de proprie-
dades ou fórmulas vinculados a nomes de seus pro-
ponentes como: a fórmula de Bhaskara, as leis de 
Newton, as leis de Kepler, a geometria euclidiana e 
os teoremas de Tales e de Pitágoras. Esse nexo en-
tre “autor e obra” serve, muitas vezes, como fonte 
de argumentação e indicação da aplicação da ideia 
que ele representa. Dessa forma, é comum usar-
mos expressões como: “aplique Tales”, “resolva 
por Pitágoras” ou “resolva por Bhaskara”. A no-
ção expressa pelo teorema de Tales abre um gran-
de espectro de novos problemas geométricos. 
No tema desta Situação de Aprendizagem, 
dois fatos devem ser destacados: quem foi 
 Tales? O que é um teorema? 
Com a primeira questão, o professor tem 
a oportunidade de inserir a história da Mate-
mática em seu curso. A abordagem histórica 
possibilita o combate à visão do conheci-
mento como pronto e acabado. Nesse caso, 
ela permitirá uma comparação entre formas 
diferentes de fazer Matemática. 
Tales
A forma empírica, do “ensaio e erro”, que caracteriza a matemática dos egípcios e dos 
babilônios, tornou-se o fundamento da forma dedutiva empregada pelos gregos. É impossí-
vel omitir uma ou outra na construção do conhecimento geométrico. Tales é o personagem 
que circula entre as riquezas culturais de ambas as civilizações e que, criando seus próprios 
nexos, forma a base do que seria a tradição grega de fazer Matemática. Com Tales, a Geome-
tria transformou-se de conhecimento empírico, cujos resultados são deduzidos diretamente 
da prática, em conhecimento dedutivo, baseado na aplicação das leis da lógica. Contudo, 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 90 1/27/16 9:03 AM
91
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
os trabalhos de Tales e Pitágoras ainda careciam de uma organização, e essa tarefa coube a 
outro geômetra grego, Euclides, em meados do século III a.C. 
Tales viveu por volta de 585 a.C. e aprendeu muito com a matemática egípcia. À sua vida 
estão associadas grandes façanhas, como prever um eclipse e medir a altura da pirâmide de 
Quéops observando sua sombra. Pelo que se sabe, é o primeiro personagem da história a 
quem se atribuem descobertas na Matemática independentes da Geometria do mundo real.
A noção de teorema
A atividade prática dos povos egípcios e babilônios levou à descoberta de um grande 
número de fatos geométricos. Esses eram apreendidos indutivamente por meio de processos 
experimentais. No contato com essa produção, os geômetras gregos perceberam que alguns 
desses fatos podiam ser obtidos a partir de outros, por deduções lógicas. Isso lhes sugeriu 
que algumas verdades geométricas, tomadas como mais simples e gerais, serviriam de base 
para a dedução de outras propriedades geométricas.
Tendo por base um pequeno número de afirmações tomadas como verdadeiras, denomi-
nadas axiomas ou postulados (do grego digno de confiança), demonstrava-se um conjunto 
de proposições geométricas, ao qual se deu o nome de teorema. Essa foi uma das maiores 
contribuições gregas ao conhecimento matemático e científico: o método dedutivo. Tales é 
considerado um dos fundadores da geometria dedutiva.
Em um processo de demonstração, o destaque fica por conta das argumentações que 
devem ter por base conhecimentos já adquiridos.
A demonstração do teorema de Tales
Acompanhe, atentamente, as argumentações que o professor de Matemática vai construir 
para demonstrar o teorema de Tales, que afirma que: se uma reta paralela a um lado de um 
triângulo (considerado por base) intersecta os outrosdois lados em pontos distintos, então 
ela determina segmentos que são proporcionais a esses lados. Como você verá, esse teorema 
também garante que: se um feixe de retas paralelas é intersectado por duas retas transversais, 
então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais.
A demonstração do teorema de Tales
Para a demonstração do teorema de Tales, 
iniciaremos por sua interpretação relativa aos 
triângulos, já explorada de forma intuitiva nas 
atividades anteriores. Segundo esse teorema: 
“Se uma reta paralela a um lado de um triân-
gulo intersecta os outros dois lados em pontos 
distintos, então ela determina segmentos que 
são proporcionais a esses lados”.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 91 1/27/16 9:03 AM
92
 
Inicialmente, vamos considerar um triân- 
gulo qualquer de vértices A, B e C. “Se uma 
reta paralela a um lado de um triângulo 
(considerado por base) intersecta os outros 
dois lados em pontos distintos, então ela de-
termina segmentos que são proporcionais a 
esses lados”. O professor pode começar a ati-
vidade construindo com os alunos a seguinte 
representação: dado um triângulo qualquer 
de vértices A, B e C, tomado o segmento DE 
paralelo à base BC, queremos mostrar que é 
válida a proporção AD ____ DB 
 = AE ____ EC 
 .
A
B C
A
D E
B C
Começamos por estudar a área do triân-
gulo ADE: ela pode ser calculada de duas 
formas distintas:
A
D E
B C
F
G
A
D E
B C
AADE = 
1
2
 ⋅ AE ⋅ DG ou AADE = 
1
2
 ⋅ AD ⋅ EF 
Dessa forma, temos:
AE ⋅ DG = AD ⋅ EF, que é o mesmo que a pro-
porção AE ____ AD = 
EF ____ DG (1)
Vamos agora observar os triângulos DEC 
e BDE. Destacando que a base dos dois triân-
gulos é DE e que a altura correspondente a 
ela também é a mesma (h), podemos concluir 
que possuem a mesma área.
ACDE = ABDE
A
D E
G
B C
h
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 92 1/27/16 9:03 AM
93
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
base. Isso é possível por meio da adição da 
área do triân gulo ADE às áreas dos triângu-
los CDE e BDE. 
Como vimos, ACDE = ABDE, logo:
ACDE + AADE = ABDE + AADE, isto é: AACD = AABE
A
B
D
C
E
F
A
D
CB
E
G
h
Observando os triângulos ACD e ABE, 
podemos deduzir que:
AACD = 
1 __ 2 AC ⋅ DG e AABE = 
1 __ 2 AB ⋅ EF.
Como as áreas são iguais, temos que:
 1 __ 2 AC ⋅ DG = 
1 __ 2 AB ⋅ EF e, portanto, 
AC ⋅ DG = AB ⋅ EF, que pode ser escrito 
como a seguinte proporção:
 EF ____ DG = 
AC ____ AB 
.
Mas, como visto em (2), EC ____ BD = 
EF ____ DG , 
logo EC ____ BD = 
AC ____ AB 
Portanto, concluimos que: AB ____ DB = 
AC ____ EC .
A
B
D
DB EC
C
EAB AC
F
A
D E
B C
h
(h: altura relativa à base DE, ou ao vértice C, 
considerando o triângulo CDE; ou ao vértice 
B, considerando o triângulo BDE).
Contudo, podemos determinar a área des-
ses triângulos de outra forma:
ACDE = 
1
2
 ⋅ CE ⋅ DG e ABDE = 
1
2
 ⋅ BD ⋅ EF
Logo, CE ⋅ DG = BD ⋅ EF e EC ____ BD = 
EF ____ DG (2)
Comparando as expressões (1) e (2), temos 
que: EC ____ BD = 
AE ____ AD 
Ou, como preferimos: AD ____ DB = 
AE ____ EC 
.
A
B
D
DB EC
C
E
AD AE
Com essa demonstração, construímos a 
proporcionalidade entre as partes dos lados 
do triângulo obtidas por segmentos determi-
nados por uma paralela a uma base. Outro 
passo nesse estudo é generalizar essa pro-
porção quando se toma a parte e o todo dos 
segmen tos determinados por uma paralela à 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 93 1/27/16 9:03 AM
94
 
Outra forma de chegarmos à mesma con-
clusão é por meio da adição de uma unidade 
em cada termo da proporção encontrada an-
teriormente. Assim:
 AD ____ DB + 1 = 
AE ____ EC + 1
 AD + DB _________ DB = 
AE + EC _________ EC 
 AB ____ DB = 
AC ____ EC 
Essa demonstração que fizemos, contudo, 
não permite uma generalização para a interpre-
tação do teorema de Tales como: “Se um feixe 
de retas paralelas é intersectado por duas trans-
versais, então os segmentos determinados pelas 
paralelas sobre as transversais são proporcio-
nais”. Isso porque a demonstração feita até aqui 
está associada à proporcionalidade que envolve 
segmentos que têm uma de suas extremidades 
num vértice do triângulo. Para essa generaliza-
ção, propomos o seguinte procedimento:
I. Tomamos inicialmente o mesmo triân-
gulo ABC e prolongamos dois de seus 
lados de modo a criar uma nova base 
PQ, paralela à BC.
A
B
P Q
C
II. Da mesma forma que criamos a propor-
ção AD ____ DB = 
AE ____ EC , encontraremos a pro-
porção AB ____ BP = 
AC ____ CQ , que pode ser escrita 
como AC ____ AB = 
CQ
 ____ BP .
III. Retomamos a proporção AB ____ DB = 
AC ____ EC , 
que é equivalente à AC ____ AB = 
EC ____ DB .
IV. Comparando as proporções dos itens 
I e II, podemos escrever que CQ ____ BP = 
EC ____ DB 
e, portanto, estamos aptos a concluir 
que DB ____ BP = 
EC ____ CQ .
A
B
D
P Q
C
E
Com essa proposição, o teorema de Tales 
torna-se independente da figura do triângulo, 
podendo ser interpretado como proporções 
entre segmentos obtidos por retas paralelas 
e transversais.
Vale salientar que a recíproca desse teore-
ma é verdadeira. Isto é: dado um triângulo de 
vértices A, B e C, tomando-se os pontos D e 
E sobre os lados 
––– AB e ––– AC , respectivamente, se 
 AD ____ DB = 
AE ____ EC , então 
––– BC é paralelo a ––– DE .
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 94 1/27/16 9:03 AM
95
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
O teorema de Tales é aplicado a várias si-
tuações em que se necessita determinar a dis-
tância entre dois pontos inacessíveis entre si. 
O objetivo das atividades propostas a seguir é 
colocar o aluno diante de situações-problema 
que envolvem, de forma prática, um método 
de determinação de distâncias usando o teore-
ma de Tales. 
Determinação da distância entre dois 
pontos inacessíveis
8. Como alternativa à crise ener-
gética, uma cidade resolveu cons-
truir uma pequena hidrelétrica 
aproveitando a correnteza de um rio situado 
nas suas proximidades. A figura a seguir repre-
senta parte do projeto da construção da bar-
ragem da hidrelétrica. Considerando DE pa-
ralelo a BC, qual deve ser o comprimento da 
barragem a ser construída?
24 m
B
x
D
18 m
C
60 m
E
A
Observando as condições da figura, podemos montar a se-
guinte proporção:
24
x
 = 
18
42
 , o que implica x = 
24 ⋅ 42
18
 = 56 m. Logo, a barragem 
terá 56 m de comprimento.
9. Informações sobre temperaturas são 
muito úteis e frequentes no nosso coti-
diano. Nas previsões do tempo são co-
muns as informações das temperaturas 
máxima e mínima no decorrer de um 
período. Quando nos sentimos doentes, 
uma das primeiras providências a ser to-
mada é a de medir a temperatura do cor-
po com o auxílio de um termômetro. A 
escala térmica mais utilizada no Brasil é 
a Celsius (oC). Seu nome é uma homena-
gem ao astrônomo sueco Anders Celsius 
(1701-1744), que a propôs em 1742. A es-
cala térmica considera como referências 
o ponto de congelamento e o ponto de 
ebulição da água. Na escala Celsius, o 
ponto de congelamento é 0 oC e o de ebu-
lição, 100 oC. Contudo, existem diversas 
escalas térmicas. Nos Estados Unidos e 
na Inglaterra, por exemplo, a escala uti-
lizada é a Fahrenheit (oF), que considera 
32 oF o ponto de fusão (congelamento) e 
212 oF o ponto de ebulição. 
 Para pensar sobre a conversão de oC para 
oF, construímos o diagrama a seguir, colo-
cando em correspondência as temperatu-
ras da fusão do gelo e da ebulição da água:
100
Tc
0
oC
212 ebulição 
da água
fusão 
do gelo
Tf
32
oF
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 95 1/27/16 9:03 AM
96
 
a) Encontre a expressão que determina a 
conversão da temperatura na escala 
Fahrenheitpara a escala Celsius.
Tc – 0
100 – 0
 = 
Tf – 32
212 – 32
Tc 
100
 = 
Tf – 32
180
Tc = 
5 ⋅ (Tf – 32)
9
b) O noticiário informa que em Londres 
a temperatura é de 46 oF. Converta 
essa temperatura em grau Celsius e res-
ponda: está frio em Londres?
Aplicando a expressão encontrada no item anterior, temos que:
Tc = 
5(46 – 32)
9
 = 
5 ⋅ 14
9
 ≅ 7,8 oC.
Temperatura de um ambiente frio; ou seja, está frio em Londres.
c) Em contato com um cidadão estadu-
nidense, que deseja passar as férias de 
 janeiro no Brasil, uma agente informa 
que, nesse período, a temperatura média 
em certa cidade no Nordeste brasileiro é 
de 32 oC. Sem saber julgar a temperatu-
ra pela escala Celsius, o turista pede que 
a agente informe a temperatura na esca-
la Fahrenheit. Qual é a medida encon-
trada pela agente nessa escala?
Podemos aplicar novamente a expressão dada no primeiro 
item ou aplicar o teorema de Tales nas escalas:
32 – 0
100 – 0
 = 
Tf – 32
212 – 32
32
100
 = 
Tf – 32
180
Tf – 32 = 
32 ⋅ 180
100
Tf = 57,6 + 32 = 89,6 
oF
100
32
0
oC
212 ebulição 
da água
fusão 
do gelo
Tf
32
oF
A temperatura de 32 oC corresponde a 89,6 oF.
Caso o professor queira, pode ainda explo-
rar uma terceira escala térmica, o Kelvin (K). 
O zero Kelvin, quando convertido para grau 
Celsius, equivale à temperatura de –273 oC.
100
0
–273
oC
373ebulição 
da água
fusão 
do gelo
273
0
K
A atividade a seguir, embora envolva 
a relação entre duas unidades de medidas 
diferentes, também pode ser interpretada 
como uma situação de aplicação do teore-
ma de Tales. Essa ideia é explorada de forma 
mais sistemática no estudo referente a fun-
ções lineares. 
10. Para apoiar uma planta trepa-
deira, um jardineiro constrói, com 
algumas varas de bambu, uma tre-
liça. Tomando duas varas transversais, ele fi-
xou, com corda, outras três varas a fim de que 
elas ficassem paralelas umas às outras. Termi-
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 96 1/27/16 9:03 AM
97
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
nada a construção, ele efetuou algumas medi-
das que estão expressas na figura a seguir. 
Com base nas medidas apresentadas, é possí-
vel afirmar se ele conseguiu o paralelismo de-
sejado? Em caso negativo, o que ele deverá 
fazer para consegui-lo?
20 cm
26 cm
30 cm
36 cm
A intenção dessa atividade é explorarmos a recíproca do teore-
ma de Tales. No caso, aplicando as proporções dos segmentos, 
temos que 
20
26
 ≠ 
30
36
 . Logo, os três bambus não estão paralelos.
20 cm
26 cm
30 cm
x
Para resolver essa situação, ele poderá pensar de algumas 
formas, entre elas, ampliar o segmento de 36 cm para 39 cm, 
pois indicando seu segmento correspondente por x, encon-
tramos na proporção 
20
26
 = 
30
x
 , x = 39 cm.
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem, 
espera-se que os alunos tenham compreendido 
os princípios do método de demonstração em 
Geometria e que tenham ampliado seus conhe-
cimentos sobre proporcionalidade, observando 
que a Geometria permite o enfrentamento de 
várias situações-problema contextualizadas. 
Espera-se também que a abordagem histórica 
tenha sido um elemento motivador do curso. 
É comum alguns alunos reagirem de forma ne-
gativa à perspectiva histórica da Matemática, 
essencialmente porque ela exige leitura e com-
preensão de textos. Vale lembrar que as com-
petências leitora e escritora são preocupações 
permanentes deste Projeto, e que, portanto, 
devemos manter o firme propósito de propor-
cionar aos alunos Situações de Aprendizagem 
em que elas sejam exploradas.
O reconhecimento de uma situação em que se 
aplica o teorema de Tales ou sua recíproca é es-
sencial nesta etapa do trabalho. Na 8a série/9o ano, 
quando o foco da aprendizagem for semelhança 
de figuras, em especial semelhança de triângulos, 
essa habilidade será retomada e aprofundada.
Para avaliação, o professor pode incluir 
outros problemas que já fazem parte de sua 
lista de exercícios ou pesquisar, nos livros di-
dáticos, outras situações que permitam ao 
aluno aplicar, em diferentes contextos, o teo-
rema de Tales. 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 97 1/27/16 9:03 AM
98
 
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 
O TEOREMA DE PITÁGORAS: PADRÕES NUMÉRICOS 
E GEOMÉTRICOS
Conteúdos e temas: teorema de Pitágoras; demonstrações geométricas e algébricas.
Competências e habilidades: justificar um resultado a partir de fatos considerados mais sim-
ples; identificar padrões numéricos e geométricos; interpretar enunciados; perceber a Mate-
mática como conhecimento historicamente construído.
Sugestão de estratégias: proposição de atividades de investigação; resolução de problemas.
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 7
Assim como no teorema de Tales, no en-
sino do teorema de Pitágoras a perspectiva 
histórica se justifica como elemento motiva-
dor da aprendizagem. Nesse caso, a tarefa do 
professor é facilitada pelo grande número de 
publicações sobre o tema.
Aqui, comentaremos as diferenças entre a 
matemática aplicada dos egípcios e a mate-
mática abstrata dos gregos, destacando a im-
portância da combinação entre elas; afinal, 
a abstração permite que essas noções sejam 
aplicadas em diferentes contextos. A formali-
zação do conhecimento feita por Pitágoras, a 
partir de dados empíricos dos egípcios, forta-
lece tanto o papel da história como o da mode-
lagem no ensino de Matemática.
As atividades iniciais permitem a constru-
ção da lógica que servirá de referência para 
o professor demonstrar o teorema de Pitágo-
ras, que pode ser enunciado como:
Em um triângulo retângulo, a área do 
quadrado construído sobre a hipotenusa é 
igual à soma das áreas dos quadrados cons-
truídos sobre os catetos. 
a2 = b2 + c2
b
A
C
c
a
B
b2
c2
a2
Lembramos que o teorema de Pitágoras é 
retomado na 8a série/9o ano em dois momentos: 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 98 1/27/16 9:03 AM
99
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
no volume 2, quando o foco será as relações 
métricas no triângulo retângulo, e após os es-
tudos relativos ao número π (pi) e à área dos 
Consideramos os fatos relacionados às pró-
ximas três atividades como essenciais na cons-
trução lógica da demonstração do teorema de 
Pitágoras. O objetivo é colocar o aluno diante 
de situações-problema próximas às enfrenta-
das pelos pitagóricos. Esse resgate combina a 
história da Matemática e a resolução de pro-
blemas em uma só abordagem de ensino.
1. É muito difícil estudar Geo-
metria sem o apoio de dese-
nhos. Os gregos, em muitas de 
suas demonstrações geométricas, apoiavam-
-se na observação de figuras. A figura é um 
importante veículo para a imaginação ma-
temática. Para ilustrar o valor da figura no 
processo demonstrativo, pode-se recorrer à 
história da morte de Arquimedes. Uma das 
várias versões narra que Arquimedes en-
contrava-se diante de uma figura, quando 
Uma perspectiva histórica
Pitágoras de Samos (Samos é uma ilha do mar Egeu) foi um filósofo que exerceu forte 
influência na civilização grega, no século VI a.C. Em seus trabalhos, identificamos a 
originalidade de construção de um sistema formal de reconhecimento, a classificação e 
a exploração de padrões numéricos e geométricos. O centro da motivação das pesquisas 
de Pitágoras e de seus discípulos encontra-se na ideia de conceber uma ordenação mate-
mática do cosmos. Os pitagóricos acreditavam que os segredos espirituais do Universo 
poderiam ser desvendados por relações numéricas e, para eles, os números deixaram de 
ser utilizados somente para contagem e revelaram outras propriedades. Embora a moti-
vação possa ser alvo de críticas, deve-se admitir, contudo, que ela gerou uma contribui-
ção fantástica ao conhecimento matemático.
círculos, quando o teorema é generalizado 
com a exploração de qualquer figura seme-
lhante sobre os lados do triângulo retângulo.
sua cidade,Siracusa, foi invadida pelo exér-
cito romano. Um soldado, inclinando-se so-
bre uma figura desenhada na areia, ordenou 
a Arquimedes que o acompanhasse, ao que 
este teria respondido: “Não perturbe meus 
círculos”. Sentindo-se desafiado, o soldado 
desembainhou a espada e o matou.
 Um dos problemas clássicos da Antigui-
dade grega era o da duplicação da área 
do quadrado. Imagina-se que Tales tenha 
sido o primeiro a demonstrá-lo. No entan-
to, esse problema não escapou também 
das anotações de Pitágoras. O problema 
consiste em, dado um quadrado, encon-
trar outro que tenha o dobro de sua área. 
 Na malha a seguir construiu-se um qua-
drado. Encontre outro quadrado cuja área 
seja o dobro da dele.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 99 1/27/16 9:03 AM
100
 
Se o aluno buscar a forma algébrica para resolver este pro-
blema, ele encontrará uma raiz não inteira, que dificilmente 
poderá ser obtida, a não ser por aproximação. A exemplo 
dos antigos gregos, podemos resolver o problema evitando 
o número irracional. Para isso, é preciso que nos apoiemos 
no método figurativo, como mostramos na solução.
A1
A2
A3 A4
A5
Em caso de dificuldade, o professor pode 
indicar alguns passos para que os alunos re-
solvam o problema. Um deles é comentar que 
a área do quadrado preto é igual à de dois 
triângulos retângulos isósceles, obtidos pelo 
corte do quadrado pela sua diagonal. 
A atividade a seguir retoma as ideias tra-
tadas anteriormente, quando as proprieda-
des algébricas foram resultado de uma inter-
pretação de padrões geométricos. Naquela 
ocasião, o foco estava na expressão algébrica 
associada ao padrão numérico; agora o ob-
jetivo é utilizar a forma figurada da sequên-
cia como recurso para a compreen são de um 
fato numérico. 
2. Na investigação de padrões em sequências 
numéricas, Pitágoras apoiava-se na repre-
sentação figurativa desses padrões. Núme-
ros figurados são aqueles representados por 
determinada configuração geométrica. A 
forma figurada permite observar a “anato-
mia” da sequência. A seguir, cada termo da 
sequência está representado por certa dis-
posição de quadradinhos.
a) Faça a representação figurativa dos 
próximos dois números da sequência 
na malha a seguir.
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101
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
b) Associando cada figura ao número de 
quadradinhos que a compõem, escreva 
a sequência numérica que corresponde 
à sequência figurativa. Você reconhece 
os termos dessa sequência?
É uma sequência de números ímpares {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}. 
c) Observando a sequência figurativa, 
percebemos que o primeiro elemento é 
um quadrado de uma unidade de lado. 
Quando encaixamos o segundo termo 
no primeiro, completamos um quadrado 
cujo lado tem uma unidade a mais que o 
primeiro termo. Numericamente, encon-
tramos a seguinte relação: 1 + 3 = 4.
1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
 Quando encaixamos o terceiro termo nesse 
quadrado, completamos um novo quadrado 
que tem por lado, novamente, uma unidade 
a mais que o anterior. Numericamente, te-
mos: 1 + 3 + 5 = 9. Em cada encaixe em um 
quadrado de lado x obtemos um quadrado 
maior, de lado x + 1. Repita essa operação 
com os outros termos da sequência. Orga-
nize suas anotações e, refletindo um pouco 
mais sobre as condições oferecidas no pro-
blema, expresse, em palavras, uma conclu-
são que relacione o quadrado dos números 
naturais com os números ímpares. 
Da sequência apresentada podemos dizer que o quadrado 
de um número natural n, não nulo, pode ser obtido pela 
soma dos n primeiros números ímpares.
3. A propriedade encontrada na atividade 
anterior foi uma das que mais fascinaram 
Pitágoras.
a) Aplique-a para encontrar o quadrado 
do número 13. 
132 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 169.
b) Como podemos aplicar esse método 
para determinar a raiz quadrada de um 
número? Aplique-o para o número 64.
64 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15.
Logo, a raiz quadrada de 64 é 8, pois ele é decomposto na 
soma dos oito primeiros números ímpares.
c) Verifique que a raiz quadrada de 72 não 
é um número inteiro.
O número 72 não pode ser decomposto somente pela soma 
de números ímpares. 72 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 8.
A civilização egípcia é notável quando o assunto é construção. Apoiada em uma 
matemática experimental, essa civilização construiu um conjunto arquitetônico cujo 
destaque são as enormes pirâmides. Grande parte do processo de construção civil se 
apoia na formação de ângulos retos. Para se ter uma ideia, a base da pirâmide de Quéops, cons-
truída há mais de 4 500 anos, é composta de pedras esquadrejadas e tem por base um quadriláte-
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102
 
ro muito próximo de um quadrado. O problema de traçar ângulos retos foi resolvido pelos egíp-
cios de modo tão engenhoso quanto simples. Como descobriram que todo triângulo de lados 3, 
4 e 5 unidades de comprimento era necessariamente um triângulo retângulo, os arquitetos e 
construtores egípcios usavam uma corda com 13 nós distribuídos em intervalos iguais. Dobran-
do a corda de modo que formasse um triângulo de lados 3, 4 e 5, e emendando-a pelas extremi-
dades (1o e 13o nós), obtinham um ângulo reto, oposto ao lado 5.
4
5
3
Vamos fazer como os agrimensores egípcios e criar um esquadro de barbante. Tomando 
um pedaço de barbante, distribua 13 nós de modo que suas distâncias sejam iguais.
Atenção: use do bom senso para definir essa distância. Essa etapa deve ser feita com 
muito capricho!
Uma vez construído o esquadro de barbante, verifique se as paredes da casa em que você 
mora estão no esquadro.
Relate suas conclusões no espaço a seguir.
Essa atividade pode ser utilizada como um pequeno projeto proposto a grupos de alunos. Como todo projeto, o professor 
pode pedir um relatório em que estejam detalhados os processos envolvidos e os conhecimentos adquiridos. Atividades como 
essas, que envolvem circulação de alunos pela sala ou pela escola, necessitam de preparo prévio. O professor pode discutir 
com os alunos a melhor forma de levar a termo a execução das tarefas. 
©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ri
al
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103
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
O objetivo da próxima atividade é levar o 
aluno a construir uma relação entre os qua-
drados dos números do triângulo 3, 4 e 5. Esse 
fato se caracterizará como um caso particular 
do teorema de Pitágoras.
4. Pitágoras, em sua viagem pelo 
Egito, tomou conhecimento da 
propriedade do triângulo 3, 4 e 
5. Seu espírito crítico logo o levaria a estabe-
lecer outra relação entre esses números. Va-
mos acompanhar, nesta atividade, um supos-
to caminho percorrido por Pitágoras. Dado 
um segmento, o quadrado que tem esse seg-
mento por lado será chamado quadrado geo-
métrico, como se vê nas figuras.
Com o segmento
construímos seu quadrado geométrico
 Vamos chamar de quadrado aritmético o cál-
culo em potência de expoente quadrado (2) 
do número que representa a medida daquele 
lado. Com o número 3, encontramos o qua-
drado aritmético 32 = 9.
a) Em uma folha avulsa, construa os qua-
drados geométricos dos segmentos de 
medidas: 3, 4 e 5. Pinte de cores diferen-
tes o interior de cada um deles. Calcule 
os quadrados aritméticos dos números 
3, 4 e 5, e escreva seus resultados sobre 
os quadrados geométricos. 
25
9
16
b) Analisando os valores dos quadrados 
aritméticos, podemos concluir uma re-
lação entre eles. Tente descobri-la, rela-
tando-a no espaço a seguir.
Com esta atividade, esperamos que os alunos concluam que 
os números 3, 4 e 5, lados do triângulo retângulo, se relacio-
nam pela expressão 32 + 42 = 52.
Caso isso não aconteça, o professor pode lançar mão de per-
guntas como: é possível estabelecer umarelação entre esses 
três valores, aplicando alguma operação matemática? Será que 
somando os dois valores menores obtemos o valor do maior?
c) Recorte os quadrados geométricos dos 
segmentos 3, 4 e 5. Construa, na malha 
quadriculada a seguir, um triângulo de 
lados 3, 4 e 5. Acomode, sem sobrepor 
as figuras, sobre cada lado do triângu-
lo, o quadrado geométrico do segmento 
que corresponde à sua medida. O lado 
maior do triângulo retângulo chama-
-se hipotenusa (do grego hypoteinousa – 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 103 1/27/16 9:03 AM
104
 
“esticado abaixo”) e os outros lados 
são denominados catetos (do grego ka-
thetos – “coisa perpendicular”). For-
mule uma sentença que combine esses 
termos com as descobertas feitas sobre 
os quadrados geométricos e aritméti-
cos associados ao triângulo 3, 4 e 5.
9
16
25
É desejável que as sentenças sejam formulações próximas de: 
“No triângulo retângulo 3, 4 e 5, a área do quadrado construí-
do sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados 
sobre os catetos”.
Caso o professor deseje, pode explorar por 
demonstração geométrica a relação entre as 
áreas dos três quadrados. Para isso, sugira 
que os alunos façam sobreposição e decom-
posição de figuras, como propomos a seguir.
O quadrado de lado 4 pode ser sobreposto 
a 16 quadradinhos do quadrado de lado 5. 
O quadrado de lado 3 deve ser decomposto 
de modo a completar a área do quadrado de 
lado 5.
5. Com base nos conhecimentos adquiridos 
até agora, vamos nos tornar discípulos de 
Pitágoras e buscar outros triângulos que 
possuam a mesma propriedade do triângu-
lo 3, 4 e 5, isto é, que formem um triângulo 
retângulo com lados de medidas inteiras e 
cuja área do quadrado sobre a hipotenusa 
seja igual à soma das áreas dos quadrados 
construídos so bre os catetos.
a) Desenhe um retângulo qualquer. Corte 
o retângulo pela diagonal. Qual foi a 
figura criada? Meça seus lados com o 
auxílio de uma régua. Essa medida re-
sultou em um número inteiro? 
Professor, você pode coletar as informações e registrá-las 
na lousa: para quantos alunos essa medida resultou um 
número inteiro?
De maneira geral, não lidamos sempre com triângulos re-
tângulos cujos lados sejam números inteiros, como foi o 
caso do triângulo 3, 4 e 5. Contudo, o triângulo 3, 4 e 5 pode 
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105
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
gerar uma série de outros triân gulos retângulos com lados de 
medidas inteiras. Vamos retomar as ideias tratadas no volume 
anterior sobre as transformações geométricas, com foco es-
pecial para a ampliação.
b) Vamos construir o esquadro dos egíp-
cios no plano cartesiano. O vértice do 
triângulo 3, 4 e 5, que corresponde 
ao ângulo de 90o, será posto na origem do 
sistema. Portanto, as coordenadas dos 
vértices serão A(0; 0), B(0; 3) e C(4; 0). 
Para ampliar as dimensões do triângulo 
ABC em duas vezes, multiplicamos suas 
coordenadas por 2, obtendo o triângulo 
A’B’C’, de coordenadas (2x; 2y), isto é, 
A’(0; 0), B’(0; 6) e C’(8; 0). Se quisermos 
triplicar suas dimensões, multiplica-
mos suas coordenadas por 3, obtendo 
o triângulo de vértices A’’(0; 0), B’’(0; 9) 
e C’’(12; 0).
 I. Localize esses pontos em um plano 
cartesiano construído na malha qua-
driculada a seguir. Construa os triân-
gulos ABC, A’B’C’ e A’’B’’C’’.
12
y
x
9
6
3
0 4 8
5
10
15
B”
B’
B
A
C C’ C”
 II. Verifique se, para esses triângulos, o 
quadrado da medida da hipotenusa é 
igual à soma dos quadrados das me-
didas dos catetos.
 III. Escreva a medida de três lados de 
um triângulo de modo que este seja um 
triângulo retângulo.
Dessa forma, encontramos outros triângulos de lados com 
medidas inteiras, que possuem a mesma propriedade do 
triângulo 3, 4 e 5. 
Outra forma de apresentar esse estudo é dispondo os vér-
tices do triângulo 3, 4 e 5 como representado nesta figura. 
Essa disposição é mais clara quando se evidencia a pouca 
frequência de triângulos retângulos de lados com medidas 
inteiras, como os obtidos no item a; a possibilidade de in-
finitos ternos numéricos, chamados de ternos pitagóricos, 
que formam triângulos retângulos; e a garantia de que a ra-
zão de ampliação também se verifica entre as hipotenusas.
x
8
4
A 3
B
6
C
9
D
B’
C’
(3; 4)
(6; 8)
D’ (9; 12)y
12
Com base nessa atividade, o professor po- 
de discutir que o terno pitagórico (3, 4, 5) 
pode gerar outros infinitos ternos, como 6, 8, 
10 e 30, 40, 50. O terno 3, 4, 5 é considerado 
um terno pitagórico primitivo, pois seus ele-
mentos são primos entre si.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 105 1/27/16 9:03 AM
106
 
O professor pode explorar, ainda, que a re-
lação entre o quadrado da hipotenusa e a soma 
dos quadrados dos catetos se mantém para 
 todos os ternos formados a partir do triângulo 
3, 4 e 5, isto é, 102 = 82 + 62; 502 = 302 + 402 etc.
6. Em Matemática, como em muitas 
outras atividades humanas, depois 
que se toma gosto é difícil parar. 
Embora satisfeitos por nossas façanhas ma-
temáticas no encontro de outros ternos pita-
góricos, reconhecemos sua limitação por to-
dos serem relacionados a um único triângulo, 
o de lados 3, 4 e 5. Como Pitágoras, lancemo-
-nos em mais um desafio: Como encontrar 
outros ternos de números inteiros que sejam 
lados de um triângulo retângulo, sem que este-
jam diretamente relacionados a ampliações do 
triângulo 3, 4 e 5? 
 Para dar continuidade a esse estudo, vamos 
fazer como os pitagóricos e aplicar alguns 
conceitos aprendidos nas atividades ante-
riores. Retomando as ideias da atividade 2, 
apresentada na seção Você Aprendeu?, 
identificaremos os números figurados no 
formato de um L por gnômon, termo antigo 
que os gregos usavam para se referir ao es-
quadro de carpinteiro.
 Naquela atividade, chegamos à conclusão 
de que, em cada encaixe de um gnômon 
em um quadrado de lado x, obtemos um 
quadrado maior, de lado x + 1. Essa cons-
tatação relaciona, portanto, a área de dois 
quadrados. Nas atividades anteriores, ob-
servamos que, em um terno pitagórico, a 
soma de dois quadrados resulta em um ter-
ceiro. Combinando essas ideias, podemos 
criar outra fonte de ternos pitagóricos. Para 
compreender isso, vamos analisar mais uma 
vez o triângulo 3, 4 e 5.
 Partindo de um quadrado de 4 unidades 
de lado, precisamos, para que haja en-
caixe, que o gnômon seja composto por 
9 quadradinhos, isto é, uma unidade a 
mais que a soma de dois lados do qua-
drado dado (quadradinho que fica no 
“cotovelo” do gnômon). 
 Encaixando o gnômon no quadrado, pro-
duzimos um novo quadrado cujo lado 
mede 5 unidades (uma unidade a mais que 
o lado do quadrado dado) e cuja área é a 
soma das áreas do quadrado de lado 4 com 
a área do gnômon.
 Geometricamente construímos um qua-
drado de lado 5.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 106 1/27/16 9:03 AM
107
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
 Como, nesse caso, a quantidade de qua-
dradinhos no gnômon é igual a 9, que é o 
quadrado de um número inteiro, consegui-
mos a relação esperada: a área de um qua-
drado foi gerada pela soma da área de dois 
outros quadrados, o que aritmeticamente é 
assim representado: 42 + 32 = 52.
 Aplicando o método do encaixe de um gnô-
mon, encontre o terno primitivo tomando 
por base um quadrado de lado 12. Construa 
uma figura que represente essa situação.
O gnômon terá 25 quadradinhos e, no encaixe, produzi-
rá um quadrado de lado 13 unidades. Aritmeticamente, 
constatamos que: 122 + 52 = 132.
13
5
12
Assim, o terno (5, 12, 13) é um terno pitagórico e, portanto, o 
triângulo construído com lados dessas medidas será retângulo.
Nessa atividade é importante que os alunos 
observem que, para obtermos ternos inteiros, a 
quantidade de quadradinhos do L formado – 
que é ímpar – deve ser o quadrado de um nú-
mero ímpar. Dessa forma, paraque possa ha-
ver o encaixe, o lado do quadrado dado deve 
ser par.
Portanto, uma forma de pensarmos a 
criação de ternos pitagóricos pode partir 
de uma análise da quantidade de quadradi-
nhos que compõem o gnômon. Na condição 
do problema, ela sempre deverá ser igual 
ao quadrado aritmético de um número ím-
par, como 9, 25, 49 etc. Para pensar sobre 
a medida do lado do quadrado do encaixe 
(quadrado “abraçado” pelo gnômon), basta 
imaginar um quadrado que se encaixa nos 
lados abaixo do gnômon. Quanto ao terceiro 
quadrado, sua área é igual à do quadrado 
que tem o gnômon por lado.
7. Encontre o terno pitagórico formado 
pelo gnômon composto por 49 quadra-
dinhos. 
Se o gnômon tem 49 quadradinhos, o quadrado do encaixe 
terá 24 unidades de lado. O quadrado com os lados do gnô-
mon terá 25 unidades de lado. Portanto, teremos: 242 + 72 = 252. 
O terno pitagórico é (7, 24, 25).
8. O terno (7, 20, 21) é pitagórico? Justifique 
sua resposta aritmeticamente.
Não é um termo pitagórico, pois 212 ≠ 202 + 72, 441 ≠ 
≠ 400 + 49.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 107 1/27/16 9:03 AM
108
 
9. Para esta atividade, você precisará de 8 pe-
ças de papel nos seguintes formatos:
 f 2 retângulos congruentes quaisquer. 
Recorte esses retângulos por uma dia-
gonal e obtenha 4 triângulos retângu-
los congruentes.
1
2
3
4
 f 3 quadrados. Um deles deve ter lado 
igual à hipotenusa do triângulo retân-
gulo anteriormente formado; os outros 
dois devem ter como lados cada um dos 
catetos do triângulo já referido.
Embora o método do encai-
xe represente uma sofistica-
ção por permitir encontrar 
ternos pitagóricos para além dos gera-
dos pelo terno primitivo 3, 4 e 5, ele ain-
da é muito empírico e só vale para 
triângulos retângulos em que os dois 
lados maiores diferem em apenas uma 
unidade. Uma pergunta que Pitágoras 
se colocou, e que provamos agora, é: 
Em todo triângulo retângulo, a área do 
quadrado construído sobre a hipotenusa 
é igual à soma das áreas dos quadrados 
construídos sobre os catetos?
7
6
5
 f 1 quadrado de lado igual à soma das 
medidas dos catetos.
8
 De posse dessas peças, sobreponha sobre 
o quadrado maior (o que tem lado igual à 
soma dos catetos, indicado pelo número 8) 
cada uma das configurações representadas 
na figura a seguir. Construa uma argumen-
tação que prove que a área do quadrado 
da hipotenusa é igual à soma das áreas dos 
quadrados dos catetos. Escreva-a no espa-
ço a seguir.
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109
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
1
2
3
4
1 2
3 4
Apoiado nos mesmos conhecimentos que mostramos até 
agora, Pitágoras demonstrou a veracidade dessa propriedade 
para qualquer triângulo retângulo. Vamos acompanhar o ra-
ciocínio dele, partindo de um quadrado.
Encaixemos sobre ele um gnômon, que é formado por dois 
retângulos iguais e um quadrado, como mostra a figura:
FAKE
Figura 1
O retângulo que forma um dos “braços” do gnômon pode 
ser decomposto, por uma de suas diagonais, em dois triân-
gulos retângulos (Figura 1).
Vamos analisar um desses triângulos retângulos. Seu lado menor 
corresponde ao quadrado do canto do gnômon. O cateto maior 
corresponde ao lado do quadrado abraçado pelo gnômon. 
E a hipotenusa, qual sua relação na figura? Para descobrir, 
precisamos fazer um novo desenho distribuindo outros bra-
ços do gnômon sobre a figura, de modo a surgir um novo 
quadrado inclinado: o quadrado da hipotenusa (Figura 2).
Figura 2
Comparando as duas figuras seguintes, observamos que a 
área azul da primeira é igual a área vermelha da segunda. A 
área da figura azul, como dito anteriormente, corresponde à 
soma da área do quadrado construído sobre o cateto menor 
com a área do quadrado construído sobre o cateto maior. A 
área vermelha corresponde à área do quadrado construído 
sobre a hipotenusa do mesmo triângulo retângulo (Figura 3).
Figura 3
Assim, fica provada a generalidade da propriedade, isto é, está 
provado o teorema de Pitágoras:
Em todo triângulo retângulo, a área do quadrado cons-
truído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos 
quadrados construídos sobre os catetos.
Terminada essa etapa, pode-se retomar as 
ideias principais estudadas até aqui e enfati-
zar que, em uma demonstração, é importante 
que os argumentos utilizados sejam verdades 
demonstradas ou conhecidas. Quando apli-
camos o método da demonstração figurativa, 
como no caso do teorema de Pitágoras, ape-
nas as figuras não bastam. É necessário um 
intenso trabalho para demonstrar o pensa-
mento e raciocínio lógico. 
Sabemos que o mesmo teorema foi provado 
de outras formas. Na 8a série/9o ano, quando 
tratarmos das relações métricas no triângulo 
retângulo, o foco será a demonstração pro-
posta por Euclides em Elementos. A seguir, 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 109 1/27/16 9:03 AM
110
 
propomos outras duas demonstrações do teo-
rema de Pitágoras, caso o professor considere o 
tempo suficiente para tratá-las. 
Nesta demonstração, aplicaremos o resul-
tado aprendido anteriormente sobre a du-
plicação da área de um quadrado. Aqui são 
envolvidos somente triângulos isósceles, o que 
não permite uma generalização do teorema, 
que deve servir para qualquer triângulo. Con-
tudo, essa demonstração torna-se uma etapa 
na generalização do teorema.
Brincando de Pitágoras
10. Embora ainda seja um 
caso particular, Pitágoras pro-
vou que seu teorema também 
era válido para triângulos retângulos isós-
celes. Construa 9 triângulos retângulos 
isósceles congruentes de papel.
 Tomando por base a ideia da duplica-
ção de área de um quadrado por meio da 
construção de um quadrado sobre a hipo-
tenusa do triângulo retângulo isósceles, 
disponha os 9 triângulos, sem os sobrepor, 
a fim de constatar que a área do quadra-
do construído sobre a hipotenusa é igual 
à soma das áreas dos quadrados construí-
dos sobre os catetos. Depois, lembrando 
que se trata de uma demonstração, você 
deve elaborar argumentos que justifiquem 
sua hipótese. Escreva sua argumentação 
no espaço a seguir e, se quiser, cole a figu-
ra em seu caderno.
Após algumas tentativas, os alunos devem che gar à composi-
ção a seguir. Na argumentação, é importante que se apresente 
a justificativa de que todas as figuras são quadradas. Isso é pos-
sível porque, sendo triângulos retângulos isósceles, as medidas 
dos catetos, e, portanto, dos lados dos quadrados, são iguais. 
Quanto à medida dos ângulos, ou são ângulos retos ou são a 
soma de dois ângulos complementares do triângulo.
1
2 3
4
89
5
6 7
A fim de darmos um salto do processo de 
demonstração figurativo para o algébrico, va-
mos colocar os alunos diante de um parado-
xo que mostra os limites das demonstrações 
apoiadas exclusivamente nas figuras cons-
truídas sobre malhas.
O limite da demonstração por figuração 
11. Para esta atividade, serão necessários pa-
pel quadriculado e tesoura.
 Inicialmente, vamos construir um quadrado 
de 64 casas no papel quadriculado (Figura 1). 
Depois, vamos decompor o quadrado em 4 
figuras: dois triângulos retângulos (ACE e 
CEF) e dois trapézios retângulos (BEGH e 
DFGH), conforme a Figura 2.
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111
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
A B A
C D C F D
E B
Figura 1 Figura 2
A1
A2 A3
A4
G 
H
 Vamos recortar as peças e tentar montar 
um retângulo. 
 Você conseguiu? Agora, conte a quantidade 
de quadradinhos que compõem este retân-
gulo. À qual número você chegou? Ele cor-
responde à quantidade de quadradinhos 
iniciais? O que será que aconteceu? 
Com esta atividade, construímos um absurdo: 64 = 65. A justificati-
va é que, precisamente, a decomposição do quadrado não forma 
um retângulo. A suposta diagonal do retângulo não é formada 
por segmentos colineares (os segmentos laranja e verde pos-suem inclinações diferentes: 
2
5
 ≠ 
3
8
). Assim, nessa composição 
há um espaço vazio que não permite o encaixe perfeito entre as 
peças. Outra forma de perceber esse fato é observar que não se 
verifica a semelhança dos triângulos de área A1 e A1 + A4 .
E
E/H F/H
B
A4
A2
A1
G
C/D
C/FA/G
A3
O objetivo da atividade é colocar o aluno diante do limite 
da demonstração apoiada na figura. O professor pode ar-
gumentar que, enquanto os fatos geométricos apoiaram as 
deduções de propriedades algébricas – tema do volume 1 –, 
o uso das relações algébricas agora permitirá a validação das 
propriedades geométricas aplicadas até aqui.
O uso dos termos algébricos nas demonstrações
No volume 1 da 7a série/8o ano, o significado 
das operações algébricas e dos produtos notá-
veis teve como suporte a visualização geométri-
ca. De certa forma, agora faremos o contrário. 
Os fatos algébricos permitirão a generalização 
de fatos geométricos. 
Ternos pitagóricos com diferença de 
1 unidade
12. No volume 1 da 7a série/8o ano, aprendemos 
o produto notável: a2 – b2 = (a + b) ⋅ (a – b). 
Tomando o terno pitagórico (a, b, c), c 
será a medida da hipotenusa. Logo, c é o 
maior lado e, portanto: c > a e c > b. Pode-
mos concluir, pela aplicação do teorema de 
Pitágoras, que a2 = c2 – b2 = (c + b) ⋅ (c – b). 
Logo, se c – b = 1, teremos a2 = c + b. Esse 
fato pode ser percebido em vários ternos 
encontrados pelo método descrito na ati-
vidade 6:
Terno (3, 4, 5) 32 = 4 + 5
Terno (5, 12, 13) 52 = 12 + 13
Terno (7, 24, 25) 72 = 24 + 25
 Mantendo o padrão geométrico-numérico, 
percebemos o seguinte diagrama:
+2
+2
+2
+2
4 (+1)
12 (+1)
24 (+1)
40 (+1)
5
13
25
41
3
5
7
9
11
 Complete o terno pitágórico em que um 
dos elementos é 11.
(11, 60, 61).
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 111 1/27/16 9:03 AM
112
 
Uma demonstração algébrica do teorema 
de Pitágoras
13. Retome a demonstração do teorema de 
Pitágoras com base na figura a seguir. Com 
o auxílio da Álgebra, prove que: a2 = b2 + c2.
c
a b
c – b
Na figura, a é a medida da hipotenusa; b e c são as medidas 
dos catetos do triângulo retângulo.
Observamos que a área do quadrado maior é igual à soma 
das áreas do quadrado interior inclinado, de lado a, com os 
quatro triângulos retângulos de catetos b e c.
Na figura, o quadrado maior tem lados (b + c). Logo, sua área é:
(b + c)2 = b2 + 2bc + c2.
A área do quadrado inclinado, quadrado da hipotenusa de 
lado a, é: a2.
Os quatro triângulos retângulos de catetos b e c formam dois 
retângulos de lados b e c. Logo, a soma de suas áreas é: 2bc.
 Efetuemos, agora, os cálculos: (b + c)2 = a2 + 2bc
b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc, simplificando os termos semelhantes 
da expressão:
b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc, temos a2 = b2 + c2.
Os exercícios exemplares a seguir visam 
aplicar o teorema de Pitágoras em diferentes 
contextos. O professor pode combiná-los com 
aqueles que já fazem parte de seu curso ou bus-
car outros que estão presentes em livros didáti-
cos da 7a série/8o ano do Ensino Fundamental. 
Esses exercícios exemplares exploram al-
gumas situações contextualizadas em que se 
aplica o teorema de Pitágoras.
14. Thiago quer descobrir a medida 
aproximada da parte mais extensa 
de uma lagoa (BC). Como não sabe 
nadar, viu uma forma de resolver seu pro-
blema com o uso de seus conhecimentos em 
Geometria. Lembrando-se dos egípcios, fi-
xou três estacas na margem da lagoa e esti-
cou cordas de A até B e de A até C. Como 
lhe interessa uma medida aproximada, fez o 
máximo para formar, no encontro das cor-
das em A, um ângulo reto. Medindo o com-
primento dessas cordas obteve AB = 7 m e 
AC = 24 m. Construiu, então, em seu cader-
no, um esboço da situação e a resolveu. 
Qual é o valor encontrado por Thiago?
C
24 m
7 m
B
A
Embora a resolução do problema envolva uma simples apli-
cação do teorema de Pitágoras, o interessante na atividade é 
o procedimento criado para determinar a medida da distân-
cia imensurável entre dois pontos, semelhante ao sugerido 
pela aplicação do teorema de Tales. A resposta será 25 m. 
15. Aqui, temos o projeto de uma escada com 
5 degraus de mesma altura. Um marcenei-
ro foi contratado para construir o corrimão 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 112 1/27/16 9:03 AM
113
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
dessa escada. Quantos metros lineares de 
madeira serão utilizados no corrimão?
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
90
 cm
90
 cm
30 cm
30 cm
corrimão
Para resolver a atividade, pode-se sugerir que os alunos 
usem calculadora. Observando a figura, temos um triângulo 
retângulo. O pedaço inclinado do corrimão, que indicare-
mos por c, é a hipotenusa. Um dos catetos mede 90 cm e 
o outro, o comprimento total das bases dos degraus, isto é, 
24 ⋅ 5 =120 cm.
Portanto, teremos: c2 = 902 + 1202
Logo, c2 = 8 100 + 14 400 = 22 500
c = 22 500 = 150 cm
O comprimento total de madeira para o corrimão será 
150 + 30 + 30 = 210 cm ou 2,1 m.
16. Esta figura representa a “pipa” construída 
por Cadu. Ele possui 1 metro de linha para 
reforçar a pipa, contornando sua estrutu-
ra. Encontre o comprimento da linha que 
contorna a estrutura da pipa e verifique se 
a quantidade de fio é suficiente.
33 cm
24 cm
12 cm
12 cm16 cm
O problema se resume em achar as medidas das hipotenusas dos 
triângulos retângulos, indicados pelas cores vermelho e amarelo. 
33 cm 13 cm
12 cm
20 cm
12 cm
20 cm
5 cm
24 cm
12 cm
12 cm16 cm
No vermelho, aplicamos: x2 = 162 + 122, x = 20 cm.
No amarelo, aplicamos: y2 = 122 + 52, y = 13 cm.
O comprimento total de fio será, portanto, resultado 
da soma:
13 + 12 + 20 + 20 + 12 + 13 = 90 cm. 
Portanto, Cadu conseguirá reforçar a estrutura da pipa, pois 
ele tem 1 metro de fio.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 113 1/27/16 9:03 AM
114
 
17. A figura representa a planta de um terreno 
que tem a forma de um trapézio retângulo 
ABCD. No momento de colocá-lo à venda, 
o proprietário resolveu dividi-lo em duas 
partes, de modo que ambas tivessem a mes-
ma área. A divisão entre os dois terrenos foi 
feita com uma cerca, indicada na figura por 
PQ, pararela ao lado AB. Encontre o períme-
tro do terreno ABPQ.
FAKE
15 m
29 m
20 m
A
B
Q
P
D
C
Este tipo de atividade coloca o aluno em uma situação em 
que só o conhecimento da fórmula não basta para resolver 
o problema. Ela, contudo, serve para orientar o pensamento 
no sentido de buscar os termos essenciais para a resolução 
da atividade. No caso, o cálculo da área do trapézio indica a 
necessidade de determinar sua altura. O aluno deve observar 
que a altura pode ser traçada pelo vértice D, formando, assim, 
um triângulo retângulo. No entanto, ainda faltará um dado 
para podermos aplicar o teorema de Pitágoras: a medida 
de um cateto. A partir da análise da figura, percebe-se que a 
medida do cateto, que não é a altura, pode ser encontrada 
pela diferença das medidas das bases do trapézio. Outra forma 
de resolver o problema é atribuir à distância BP ou AQ um va-
lor algébrico. Contudo, a medida final dessa distância também 
pode ser resolvida por cálculo sem a atribuição da variável. 
Às vezes é difícil para os alunos encontrarem essas relações. 
Se o professor achar conveniente, é interessante buscar ou-
tros exercícios que, como este, explorem situações em que 
os dados necessários sejam encontrados como resultado de 
uma análise da figura.
1o passo – cálculo da área do trapézio: para determinar a altura, 
uma ideia é levantarmos a altura no vértice D e, com o uso do 
teorema de Pitágoras, encontrar o valor de h:
FAKE
15 m
20 m
29 m
9 m
h
152 = h2 + 92
h = 12 m
Comecemos pelo cálculo da área da figura total: 
A = 
(29 + 20) ⋅ 12
2
 = 294 m2.
A área do retângulo ABPQ será, portanto, A = 147 m2. Cha-
mando BP de x, as dimensões do retângulo serão x e 12. 
Assim, teremos:
A
B
Q
P
12 m
h=12 m
x
A = 12 ⋅ x
147= 12 ⋅ x
x = 12,25 m
Logo, o perímetro do quadrilátero ABPQ é 2 ⋅ 12 + 2 ⋅ 12,25 = 
= 48,5 m.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 114 1/27/16 9:03 AM
115
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem, 
espera-se que os alunos tenham ampliado os 
princípios do método de demonstração inicia-
dos com o teorema de Tales. Embora tenhamos 
focalizado os aspectos ligados à demonstra-
ção – exigindo várias habilidades relacionadas 
ao enfrentamento de situações-problema, ao 
processo de reconhecimento e generalização 
de propriedades e ao desenvolvimento da ar-
gumentação lógica –, é importante considerar 
que caberá ao professor encontrar outras situa-
ções contextualizadas em que o teorema pode 
ser aplicado. O reconhecimento das situações 
em que se emprega o teorema de Pitágoras 
é um elemento essencial a ser considerado 
como resultado dessa Situação de Aprendi-
zagem. Um tema que decorre da demons-
tração de um teorema é a validade de sua 
recíproca. Em outras palavras, mesmo sem 
demonstração, o professor pode discutir com 
o grupo de alunos que a recíproca do teore-
ma de Pitágoras é válida, isto é, que, se em um 
triângulo o quadrado da medida do maior 
lado é igual à soma dos quadrados das me-
didas dos outros dois lados, então o ângulo 
oposto ao lado maior é reto e, portanto, o 
triângulo é retângulo. Essa conclusão pode 
nortear alguns exercícios em que o professor, 
oferecendo as medidas dos lados de um triân-
gulo, pode indagar sobre ele ser ou não um 
triângulo retângulo. Esse tema é retomado no 
estudo de Trigonometria na 1a série do Ensino 
Médio, quando, na aplicação da Lei dos Cos-
senos, podemos investigar se um triângulo é 
acutângulo, retângulo ou obtusângulo.
Na avaliação, o professor pode explorar 
alguma situação nova de demonstração fi-
gurativa. A atividade 11, por exemplo, pode 
ser aplicada em uma situação avaliativa no 
sentido de apreender como os alunos estão 
analisando uma situação e como argumentam 
em sua demonstração. O reconhecimento das 
situações-problema que são resolvidas pela 
aplicação do teorema de Pitágoras deve tam-
bém ser focalizado na avaliação do professor. 
É importante o professor observar que em 
alguns exercícios, nos quais os dados vêm 
expressos nas figuras, os alunos geralmen-
te cometem o erro de considerar o lado des-
conhecido como a hipotenusa na expressão 
a2 = b2 + c2. Para determinar raízes quadradas, 
se o professor julgar necessário, pode propor 
o uso de calculadoras ou o uso do método 
aprendido na atividade 3, isto é, pela decom-
posição em uma soma de números ímpares. 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 115 1/27/16 9:03 AM
116
 
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8 
PRISMAS
Conteúdos e temas: prismas: identificação, relações métricas, área da superfície e volume de 
um prisma reto.
Competências e habilidades: reconhecer e nomear um prisma; explorar as relações entre ele-
mentos geométricos e algébricos; visualizar figuras espaciais no plano; sintetizar e generalizar 
fatos obtidos de forma concreta.
Sugestão de estratégias: manipulação de sólidos geométricos; planificação de prismas; leitura 
e interpretação de enunciados e dados; resolução de problemas.
Prismas: identificação 
e elementos
O prisma é um formato presente em 
muitas situações de nosso cotidiano dos 
estudantes. A palavra “prisma” deriva do 
grego pris, que significa “serrar”, e do su-
fixo -ma, que indica “resultado”. Os anti-
gos gregos utilizavam esse termo para se 
referir aos pedaços de madeira que eram 
cortados. Nos dias de hoje, a maioria das 
embalagens e objetos com que temos con-
tato tem essa forma.
Recolha, em casa ou na rua, al-
gumas embalagens que possam 
ser levadas para sala de aula. 
Identifique se suas faces são polígonos e 
quantos lados elas têm. Conte o número de 
faces, vértices e arestas de cada embalagem. 
Faça, no espaço a seguir, um desenho de 
3 embalagens que você observou.
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 8
Nesta Situação de Aprendizagem, segui-
mos no estudo de Geometria, mas agora com 
foco na geometria espacial. Esse assunto foi 
iniciado no volume 1 da 6a série/7o ano, quan-
do o objetivo era reconhecer, classificar e no-
mear os poliedros por meio de atividades que 
envolviam planificação, montagem de sólidos 
e um estudo preliminar da relação de Euler. 
Agora, na 7a série/8o ano, o foco será o re-
conhecimento, a planificação, a representação 
plana e as relações métricas dos prismas, em 
particular os prismas retos. No volume 2 da 
8a série/9o ano, os cilindros concluem os estu-
dos da geometria espacial nesse segmento da 
escola básica. No volume 2 da 2a série do En-
sino Médio, a geometria espacial é retomada 
em uma perspectiva mais ampla e formal. 
Neste momento serão tratadas as relações 
métricas de outros sólidos, como a pirâmide, 
o cone e a esfera.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 116 1/27/16 9:03 AM
117
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
Inicialmente, propomos que o professor 
apresente aos alunos uma série desses objetos 
concretos, como caixa de fósforos, embalagens 
de pizzas, caixas de sapatos, e discuta com 
eles alguns conceitos básicos como:
 f as bases dos prismas retos são polígonos 
de mesma forma e tamanho, e suas faces 
laterais são retangulares;
 f o nome do prisma é dado pela forma de 
sua base, que pode ser triangular, quadran-
gular, hexagonal etc;
 f o paralelepípedo é um prisma cujas bases 
são paralelogramos; 
 f se todas as faces do paralelepípedo são re-
tangulares, ele é chamado de paralelepípe-
do retângulo;
 f se o prisma tiver todas as faces quadradas, 
ele formará um cubo, também chamado 
de hexaedro regular (grego hexa – seis, e 
hedros – apoiar-se, faces), o conhecido for-
mato do dadinho.
Nas embalagens, o professor pode indicar o 
nome dos principais elementos que formam os 
prismas retos.
vértice
aresta
face
Desmontando a embalagem, o professor 
pode começar a discussão sobre a planificação 
do prisma e sobre o cálculo de sua área.
A partir do trabalho com embalagens, 
o professor pode distribuir aos alunos algu-
mas planificações de prismas de diferentes 
bases para que eles façam as suas construções.
Diagonais de um prisma
A atividade a seguir explora as diagonais em 
um prisma quadrangular reto. Esse caso per-
mite aplicar o teorema de Pitágoras em figuras 
espaciais. Esse mesmo problema pode ser pro-
posto imaginando caixas de lápis em formato 
de um prisma de base triangular. Nele, obser-
va-se que o prisma não tem diagonal e que a 
medida do lápis coincide com a diagonal da 
face lateral. Outra possibilidade é supor a cai-
xa como um cubo ou como um prisma regular 
de base hexagonal. 
1. Uma caixa tem o formato 
de um paralelepípedo reto-re-
tângulo com 4 cm de compri-
mento, 3 cm de profundidade e 12 cm de 
altura, conforme figura a seguir. Encontre 
a medida do segmento AB, também cha-
mado de diagonal do prisma.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 117 1/27/16 9:03 AM
118
 
4
12
3
A
B
A partir da figura, podemos construir um triângulo retângulo 
que tem a distância AB como a hipotenusa e, por catetos, a 
altura do prisma e a diagonal da base, indicada pela letra d.
4
12
3
A
D
d
B
Inicialmente, aplicaremos o teorema de Pitágoras para deter-
minarmos a medida de d:
Diagonal da base: d2 = 16 + 9 = 25 ⇒ d = 5
Assim, a diagonal do prisma pode ser encontrada aplicando-se 
mais uma vez o teorema de Pitágoras: D2 = 144 + 25 = 169 ⇒ D = 13. 
Portanto, o segmento AB = 13 cm.
Volume de um prisma
Para calcular o volume de um prisma, de-
terminamos quantos cubinhos de aresta de 
1 unidade de comprimento cabem nele. Come-
cemos com um paralelepípedo reto, de base 
retangular. 
Cálculo do volume do paralelepípedo reto pela 
 decomposição e contagem de cubinhos.Com isso, é possível concluir que a quan-
tidade de cubinhos que cabem no paralelepí-
pedo reto é igual à área da base (Abase ), que 
corresponde à quantidade de cubos apoiados 
sobre ela, pela altura (H), que corresponde à 
quantidade de camadas de cubos que preen-
chem completamente o sólido.
Dessa forma, o volume de um paralelepípedo 
pode ser calculado com a expressão: V = Abase ⋅ H.
Neste momento, mesmo sem a aplicação do 
Princípio de Cavalieri, podemos generalizar que 
o volume de qualquer prisma se dá pela mesma 
expressão. Uma imagem que pode auxiliar os 
alunos nessa generalização é caracterizar 
os prismas pela sobreposição de placas idênticas, 
umas sobre as outras.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 118 1/27/16 9:03 AM
119
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
Um tema que vem se tornando de relevân-
cia social, quando se trata da preservação do 
meio ambiente, é o referente a embalagens dos 
produtos. Além do tipo do material utilizado 
na fabricação das embalagens, como isopor, 
papelão ou plástico, é importante também con-
siderar se as embalagens são bem dimensiona-
das, isto é, se a relação volume interno/quanti-
dade de material utilizado é a melhor possível. 
Também devemos atentar ao fato de que, para 
serem embaladas coletivamente, isto é, lado a 
lado, o formato deve satisfazer a condição de 
permitir o menor espaço vazio entre elas.
A atividade a seguir explora essa relação 
entre a área da superfície de um prisma e seu 
volume. O objetivo é levar o aluno a compreen-
der que prismas equivalentes, isto é, de mesmo 
volume, podem possuir áreas superficiais dife-
rentes. A atividade ainda exige a representação 
algébrica do volume, a resolução de uma equa-
ção e o cálculo de áreas. Configura-se, portanto, 
como um exercício que trabalha vários concei-
tos tratados na 7a série/8o ano.
2. Dizemos que dois prismas são equivalentes 
quando têm o mesmo volume. A seguir, são 
dados dois prismas com diferentes formatos 
que compõem o projeto de uma caixa. 
8 cm
8 cm
8 cm
FAKE
4 cm
8 cm
(x + 10) cm
Sabendo que eles são equivalentes, determine:
a) a capacidade das caixas.
Para calcular o volume do cubo, podemos aplicar a expressão 
geral para o volume de prismas, V = 64 ⋅ 8 = 512 cm3.
b) a caixa cuja superfície tem a menor área.
A área lateral do cubo é composta por 6 quadrados de lados 
iguais a 8 cm.
Assim, a área da superfície total do cubo é igual a 
Acubo= 6 ⋅ 64 = 384 cm
2.
Para o cálculo da área da superfície total do paralelepípe-
do, necessitamos encontrar o valor de x. Como os prismas 
são equivalentes, eles possuem o mesmo volume. Para o 
paralelepípedo, vale a seguinte expressão para o volume:
V = Abase ⋅ h = 8 ⋅ (x + 10) ⋅ 4 = 32x + 320
Como V = 512 cm3, podemos escrever a equação: 
32x + 320 = 512 ⇒ x = 6.
Assim, as dimensões do paralelepípedo serão: 8 cm, 16 cm 
e 4 cm. A área da sua superfície total é composta por dois 
retângulos de lados 16 cm e 8 cm (bases), dois retângulos de 
lados 8 cm e 4 cm, e dois retângulos de lados 16 cm e 4 cm. 
Portanto, a expressão de sua área superficial será:
Aparalelepípedo = 2 ⋅ 8 ⋅ 16 + 2 ⋅ 8 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 ⋅ 16 = 256 + 64 + 128 = 
= 448 cm2.
Logo, embora os prismas tenham o mesmo volume, o cubo 
representa aquele que consome menor quantidade de ma-
terial para ser produzido.
O professor pode acrescentar que, entre os 
retângulos equivalentes, o quadrado é o de 
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 119 1/27/16 9:03 AM
120
 
menor perímetro, ao passo que, dentre os pa-
ralelepípedos equivalentes, o cubo é o de me-
nor área superficial. 
3. O uso de urnas eletrônicas nas eleições no 
Brasil é considerado um dos processos elei-
torais mais modernos do mundo. Na figu-
ra a seguir, temos representada uma dessas 
urnas. Vamos considerá-la um prisma cujas 
bases são trapézios retângulos. Na figura, 
estão dadas as medidas de AB, AC, CD e 
DE. Considere, também, a diferença entre 
o perímetro do retângulo BDEF e o perí-
metro do trapézio ABDC igual a 34 cm. 
F
BA
C
D
E
17 cm
21 cm
37 cm
40 cm
B
a) Desejando-se produzir uma capa de 
material plástico para cobrir a urna, ne-
cessita-se calcular a área da urna a ser 
coberta. Determine esta área.
 (Dica: no caso, ignore a área da face 
apoiada sobre a mesa.)
Para resolver esta atividade, é necessário indicar a aresta BD 
por uma incógnita, por exemplo, x. Desse modo, podemos 
escrever a seguinte expressão:
40 + 40 + x + x – (21 + 37 + 17 + x) = 34
80 + 2x – 75 – x = 34
x = 29 cm
Ou podemos encontrar a incógnita aplicando o teorema de 
Pitágoras, como segue:
BD2 = 212 + 202
BD2 = 841
BD = 29 cm
A área a ser coberta pela capa é igual à soma das áreas das 
duas bases do prisma, os dois trapézios, com as áreas dos três 
retângulos que são suas faces laterais, excluída a face apoiada 
sobre a mesa.
A = 2 ⋅ 
(17 + 37) ⋅ 21
2
 + 40 ⋅ 29 + 17 ⋅ 40 + 21 ⋅ 40 = 3 814 cm2.
b) Calcule a capacidade ocupada por 
uma urna. 
Para o cálculo do volume precisamos da área da base, que é 
a área do trapézio e da altura do prisma, que, no caso, é a 
medida da aresta DE. Portanto:
V = 
(17 + 37) ⋅ 21
2
 ⋅ 40 = 22 680 cm3.
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem, 
espera-se que os alunos tenham se apropriado 
dos fatos principais associados aos prismas. 
Inicialmente, priorizamos a identificação e 
caracterização dos prismas para sua posterior 
representação plana. Além disso criamos um 
vocabulário geométrico, que permite a dife-
renciação entre elementos da geometria plana 
e da geometria espacial, como a diferenciação 
entre lados do polígono e arestas do poliedro.
A aprendizagem dos alunos pode ser ava-
liada inicialmente a partir de situações que 
envolvam: aspectos qualitativos dos prismas, 
como identificação da base e da altura; no-
menclatura dos prismas, a partir de objetos 
concretos; e suas representações planas com o 
uso das malhas.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 120 1/27/16 9:03 AM
121
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
Em um segundo momento, o professor 
pode explorar situações-problema que envol-
vam o cálculo de áreas e volumes de prismas. 
ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO
Nas quatro primeiras Situações de Apren-
dizagem, o tema central foi o aprofundamen-
to do estudo referente à equação de 1o grau, 
apresentando duas contextualizações. A pri-
meira se refere à transposição da linguagem 
algébrica para uma representação gráfica, ao 
passo que a segunda trata de uma abordagem 
sobre as equações com mais de uma incógnita. 
Além disso, também há uma introdução aos 
estudos dos sistemas de equações lineares.
Dessa forma, o acompanhamento das di-
ficuldades apresentadas pelos alunos resume-
-se na detecção de algumas características 
que são naturais a esse processo, destacadas 
a seguir:
 f não consegue transpor a informação para 
a linguagem algébrica;
 f consegue transpor a informação, porém 
não consegue resolver a equação;
 f consegue resolver a equação, porém não 
interpreta e analisa as soluções no contexto 
do problema.
Para recuperar o primeiro tipo de dificulda-
de, o professor pode utilizar de tópicos que já 
foram trabalhados anteriormente, por exem-
plo, a reaplicação da Situação de Aprendiza-
gem 5 da 6a Série/7o Ano, cujo tema tratado 
foi a generalização de padrões aritméticos e 
geométricos, escolhendo somente as atividades 
que são ideais para tal momento. Outro recurso 
que pode ser aplicado é a resolução de proble-
mas de modo colaborativo, de tal forma que, 
em duplas previamente escolhidas, um aluno 
que tem domínio sobre o assunto possa ajudar 
o outro que não atingiu os objetivos mínimos.
Os dois últimos tipos de dificuldades estão 
relacionados à prática docente do professor, 
que serão facilmente resolvidos na própria 
intervenção dele em sala de aula, verificando, 
nesse caso, quais são as dificuldades referen-tes à aplicação de certo algoritmo ou esquema 
operatório. Para o segundo e para o terceiro 
tipos, será necessário que o professor provo-
que as reflexões necessárias sobre o problema 
resolvido, indagando, por exemplo, se a res-
posta do problema é plausível, analisar se a 
resposta do problema atende ao enunciado do 
problema. Em termos gerais, por meio dessa 
intervenção será possível realizar um processo 
de recuperação contínua. 
A Situação de Aprendizagem 2 aborda a 
ressignificação de conteúdo, que é a transição 
existente entre o simbólico (plano cartesiano) 
e o conceitual (linguagem algébrica). Dessa 
forma, para a correta formalização dos con-
ceitos não assimilados, é importante que o 
professor lance mão de objetos manipuláveis, 
por exemplo, o geoplano, e também de recur-
sos computacionais, como o Geogebra.
É também uma oportunidade para o profes-
sor investigar a consistência do conhecimento 
sobre áreas de figuras planas.
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122
 
Se existirem dificuldades de aprendizagem na 
Situação de Aprendizagem 3, seria importante 
que o professor avaliasse se a causa está relacio-
nada aos procedimentos de resolução ou proble-
mas na interpretação da atividade. No primeiro 
caso, a recuperação deve contemplar os proce-
dimentos de resolução de equação de 1o grau: o 
significado da operação inversa, a ideia de equi-
valência, a linguagem algébrica etc.
Se a dificuldade de interpretação do proble-
ma persistir, o professor deverá preparar uma 
atividade com foco na leitura de enunciados, 
identificação dos verbos principais, reconheci-
mento dos valores a serem descobertos (incógni-
tas), descrição da pergunta central do problema 
etc. Vale ressaltar que a Situação de Aprendiza-
gem 6 da 6a série/7o ano aborda esse tema.
Já para a Situação de Aprendizagem 4, se 
os objetivos mínimos não forem atingidos ple-
namente, pode-se lançar mão das seguintes 
estratégias de recuperação/reforço:
 f trabalhar com a representação das equa-
ções (com duas incógnitas) no plano car-
tesiano. Uma equação do tipo ax + by = c 
terá sempre como representação uma reta 
e, construindo o gráfico no papel milime-
trado (ou quadriculado), pode-se definir as 
soluções inteiras como pontos da malha de 
coordenadas inteiras por onde passa a reta;
 f trabalhar com estratégia de jogos: divida a 
classe em grupos, e cada um deverá elaborar 
um problema de equação diofantina (com 
sua solução). Os problemas criados pelos 
grupos deverão ser trocados entre eles, e 
vencerá o grupo que conseguir resolver cor-
retamente o maior número de problemas. 
As quatro últimas Situações de Aprendizagem 
tratam de aspectos teóricos importantíssimos da 
Geometria: o cálculo de áreas de figuras planas, 
o Teorema de Tales relacionados à proporciona-
lidade na Geometria, o Teorema de Pitágoras e 
áreas e volumes relacionados aos prismas.
Considerando que algumas metas não te-
nham sido alcançadas na Situação de Apren-
dizagem 5, o professor pode acrescentar outros 
tipos de problemas que o auxiliem a identificar 
os pontos a serem reforçados.
Em determinados casos, os alunos apresen-
tam dificuldades em “montar” a proporção, 
trocando os termos de posição, destacados na 
Situação de Aprendizagem 6. A atenção do pro-
fessor nesse sentido é fundamental para que o 
aluno reconheça as partes que se colocam em ra-
zão e proporção. O apoio de figuras, para iden-
tificar o que são as paralelas e as transversais, é 
fundamental na superação dessas dificuldades.
Caso as metas aplicadas na Situação de 
Aprendizagem 7 não tenham sido atingidas, 
sugerimos que o professor retome os aspectos 
essenciais do processo de demonstração do teo-
rema e que proponha aos alunos um conjunto 
de exercícios de contexto que permitam a identi-
ficação da hipotenusa e dos catetos e a aplicação 
do teorema.
E, por fim, no caso de dificuldade de 
aprendizagem relacionados aos tópicos refe-
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123
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
rentes à Situação de Aprendizagem 8, sugere-
-se que as atividades de recuperação/reforço 
retomem:
 f as figuras planas, particularmente o triân-
gulo equilátero, o retângulo, o paralelo-
gramo, o quadrado e o hexágono regular, 
enfatizando, de forma esquemática, suas 
propriedades e relações métricas;
 f a manipulação dos objetos sólidos em for-
ma de prismas, identificando seus elemen-
tos, particularmente aqueles relacionados 
às figuras planas vistas anteriormente;
 f a representação plana de prismas;
 f o cálculo de áreas e volumes dos prismas 
com diferentes bases. 
RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR 
E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO TEMA 
Livros
ALVES, Sérgio; GALVÃO, Maria E. E. L. Um 
estudo geométrico das transformações elemen-
tares. São Paulo: IME-USP, 1996.
BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo pa-
drões pitagóricos. São Paulo: Atual, 1993.
BAUMGART, John K. Tópicos de história da 
Matemática para uso em sala de aula: Álgebra. 
São Paulo: Atual, 2001.
BOYER, Carl Benjamin. História da Mate-
mática. São Paulo: Edgard Blucher, 1994.
CAJORI, Florian. Uma história da Matemá-
tica. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007.
CARNEIRO, José Paulo. “Dispositivo para 
expressar o MDC de dois números como com-
binação linear deles”. Revista do Professor de 
Matemática, n. 37, São Paulo: Sociedade Bra-
sileira de Matemática, 1998.
COIMBRA, Carlos. Coordenadas no Espaço. 
Ciência hoje na escola: tempo e espaço. Rio de 
Janeiro: Ciência Hoje, v. 7, 1999.
COXFORD, Albert F.; SHULTE, Arthur P. 
As ideias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1995.
DEWDNEY, A. K. 20 000 léguas Matemáti-
cas. Rio de Janeiro: Zahar, 2000. 
DINIZ, Maria Ignez S.; SOUZA, E. R. Álge-
bra: das variáveis as equações e funções. São 
Paulo: CAEM, IME-USP, 1996. Disponível 
em: <http://www.ime.usp.br/caem /publicacoes. 
php>. Acesso em: 27 nov. 2013.
FETISSOV, A. I. A demonstração em Geo-
metria. São Paulo: Atual/Editora Mir, 
1995. (Coleção Matemática: Aprendendo e 
Ensinando.) 
GARBI, Gilberto G. O Romance das equa-
ções algébricas. São Paulo: Makron Books, 
1997.
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_2014-2017.indb 123 1/27/16 9:03 AM
124
 
GUEDJ, Denis. O teorema do papagaio: um 
thriller da história da Matemática. São Paulo: 
Companhia das Letras, 1999.
IMENES, Luiz M. Descobrindo o teorema de 
Pitágoras. São Paulo: Scipione, 1998. 
KRULIK, Stephen; REYS, Robert. E. (Org.). 
A resolução de problemas na Matemática esco-
lar. São Paulo: Atual, 1998.
LIMA, Elon Lages. Meu professor de Mate-
mática e outras histórias. Rio de Janeiro: So-
ciedade Brasileira de Matemática, 1991. 
LIMA, Elon Lages et. al. Temas e problemas 
elementares. 2. ed. Rio de Janeiro: Sociedade 
Brasileira de Matemática, 2006. (Coleção do 
Professor de Matemática.)
MILES, Cesar Polcino; COELHO, Sonia P. 
Números: uma introdução à Matemática. São 
Paulo: Edusp, 2001.
PATROCÍNIO, Antônio Carlos; SATO, Sér-
gio Nokiani; ISNARD, Carlos Augusto “So-
luções inteiras”. Revista do Professor de Mate-
mática, n. 8. São Paulo: Sociedade Brasileira 
de Matemática, 1986.
ROCQUE, Gilda Diha.; PITOMBEIRA, 
João Bosco. “Uma equação diofantina e suas 
resoluções”. Revista do Professor de Matemá-
tica, n. 19. São Paulo: Sociedade Brasileira de 
Matemática, 1991.
SINGH, Simon. O último Teorema de Fermat. 
Rio de Janeiro: Record, 1988. 
TOMEI, Carlos. Euclides: a conquista do espa-
ço. São Paulo: Odysseus, 2006.
Sites 
Fórmula de Pick. Disponível em: <http:// cmup.
fc.up.pt/cmup/pick/index.html>. Acesso em: 
29 nov. 2013. 
Modelo tridimensional do espaço, do globo 
terrestre e de várias regiões, construído a 
partir de fotos de satélites. Disponível em: 
<http://www.google.com/intl/pt-PT/earth/
index.html>. Acesso em: 29 nov. 2013. 
Revista do Professor de Matemática – RPM. 
São Paulo: Sociedade Brasileirade Matemá-
tica. Disponível em: <http://www.rpm.org.br/
cms>. Acesso em: 27 nov. 2013. 
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125
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste Caderno, foram abordados dois te-
mas centrais do ensino da Matemática, a Ál-
gebra e a Geometria, com conteúdos muito 
importantes para que o aluno possa ampliar o 
seu repertório de conhecimentos. Em Álgebra, 
foram apresentadas Situações de Aprendiza-
gem que aprofundam os estudos relacionados 
a equações de 1o grau, bem como uma intro-
dução ao estudo de sistemas lineares e seus 
procedimentos de resolução; já na Geome-
tria, foram abordados dois teoremas impres-
cindíveis para a construção do pensamento 
geométrico: o teorema de Tales e o teorema 
de Pitágoras. Outra aplicação importante se 
refere ao cálculo de áreas de figuras planas e 
espaciais – no caso das figuras espaciais, foi 
dado um tratamento especial aos prismas de 
uma forma geral.
O professor deve lembrar que muitos dos 
temas tratados neste semestre serão retoma-
dos nas séries/anos subsequentes, seguindo 
uma proposta de currículo em espiral, o que 
deve ser usado como um balizador para a 
escolha da “escala” a ser adotada no que diz 
respeito tanto à profundidade com que vai ex-
plorar cada assunto, como ao tempo que de-
dicará a cada um deles. 
Na grade de conteúdos do Ensino Médio 
apresentada a seguir, destacamos aqueles que 
mantêm relação direta ou indireta com os te-
mas abordados neste Caderno.
O objetivo dessas indicações é mapear al-
gumas possibilidades concretas do currículo 
em espiral, no qual os temas aparecem e rea-
parecem, e são tratados de uma maneira mais 
aprofundada ou sob novos pontos de vista.
Por fim, reforçamos mais uma vez a nos-
sa compreensão de que o Caderno apresenta 
uma quantidade variada de novos temas e que 
as propostas e comentários aqui apresentados 
são sugestões de reflexão para o professor, 
sendo perfeitamente compreensível que sejam 
feitos ajustes, adequações, cortes e recortes 
para colocá-los a serviço do seu planejamento.
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126
 
5a série/6o ano 6a série/7o ano 7a série/8o ano 8a série/9o ano
V
ol
um
e 
1
NÚMEROS NATURAIS
– Múltiplos e divisores.
– Números primos.
– Operações básicas.
– Introdução às potências.
FRAÇÕES
– Representação.
– Comparação e 
ordenação.
– Operações.
NÚMEROS DECIMAIS
– Representação.
– Transformação em 
fração decimal.
– Operações.
SISTEMAS DE MEDIDA
– Comprimento, massa 
 e capacidade.
– Sistema métrico 
decimal.
NÚMEROS NATURAIS
– Sistemas de numeração na 
Antiguidade.
– O sistema posicional decimal.
NÚMEROS INTEIROS
– Representação.
– Operações.
NÚMEROS RACIONAIS
– Representação fracionária 
e decimal. 
– Operações com decimais 
e frações.
GEOMETRIA/MEDIDAS
– Ângulos.
– Polígonos.
– Circunferência.
– Simetrias.
– Construções geométricas.
– Poliedros.
NÚMEROS RACIONAIS
– Transformação de 
decimais finitos em fração. 
– Dízimas periódicas e 
fração geratriz.
POTENCIAÇÃO
– Propriedades para 
expoentes inteiros.
TRATAMENTO DA 
INFORMAÇÃO
– A linguagem das 
potências.
ÁLGEBRA
– Equivalências e 
transformações de 
expressões algébricas.
– Produtos notáveis.
– Fatoração algébrica.
NÚMEROS REAIS
– Conjuntos numéricos.
– Números irracionais.
– Potenciação e radiciação 
em IR.
– Notação científica.
ÁLGEBRA
– Equações de 2o grau: 
resolução e problemas.
– Noções básicas sobre 
função; a ideia de 
interdependência.
– Construção de tabelas e 
gráficos para representar 
funções de 1o e 2o graus.
V
ol
um
e 
2
GEOMETRIA/MEDIDAS
– Formas planas e espaciais.
– Noção de perímetro e área 
de figuras planas.
– Cálculo de área 
por composição e 
decomposição.
TRATAMENTO DA 
INFORMAÇÃO
– Leitura e construção de 
gráficos e tabelas.
– Média aritmética.
– Problemas de contagem.
NÚMEROS/
PROPORCIONALIDADE
– Proporcionalidade direta 
 e inversa.
– Razões, proporções, 
porcentagem.
– Razões constantes na 
geometria: .
TRATAMENTO DA 
INFORMAÇÃO
– Gráficos de setores.
– Noções de probabilidade.
ÁLGEBRA
– Uso de letras para 
representar um valor 
desconhecido.
– Conceito de equação.
– Resolução de equações.
– Equações e problemas.
ÁLGEBRA/EQUAÇÕES
– Equações de 1o grau.
– Sistemas de equações e 
resolução de problemas.
– Inequações de 1o grau.
– Sistemas de coordenadas 
(plano cartesiano).
GEOMETRIA/MEDIDAS
– Teorema de Tales e 
Pitágoras: apresentação e 
aplicações.
– Área de polígonos.
– Volume do prisma.
GEOMETRIA/MEDIDAS
– Proporcionalidade, noção 
de semelhança.
– Relações métricas entre 
triângulos retângulos.
– Razões trigonométricas.
– O número π; a 
circunferência, o círculo 
e suas partes; área do 
círculo.
– Volume e área do 
cilindro.
TRATAMENTO DA 
INFORMAÇÃO
– Contagem indireta e 
probabilidade.
QUADRO DE CONTEÚDOS DO 
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste volume.
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CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL
NOVA EDIÇÃO 2014-2017
COORDENADORIA DE GESTÃO DA 
EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB
Coordenadora 
Maria Elizabete da Costa
Diretor do Departamento de Desenvolvimento 
Curricular de Gestão da Educação Básica 
João Freitas da Silva
Diretora do Centro de Ensino Fundamental 
dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação 
Profissional – CEFAF 
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenadora Geral do Programa São Paulo 
faz escola
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenação Técnica 
Roberto Canossa 
Roberto Liberato 
Suely Cristina de Albuquerque Bomfim
EQUIPES CURRICULARES
Área de Linguagens 
Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos 
Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli 
Ventrella.
Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria 
Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, 
Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto 
Silveira.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês e 
Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire 
de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro, 
Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes 
Nogueira.
Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria 
Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos 
Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, 
Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli 
Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.
Área de Matemática 
Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, 
Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio 
Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge 
Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley 
Aparecido Cornatione. 
Área de Ciências da Natureza 
Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth 
Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e 
Rodrigo Ponce. 
Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, 
Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e 
Maria da Graça de Jesus Mendes. 
Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio 
Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade 
Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.
Química: Ana Joaquina Simões S. de Mattos 
Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João 
Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.
Área de Ciências Humanas 
Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e 
Teônia de Abreu Ferreira.
Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, 
Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.
História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria 
Margarete dos Santos Benedicto e Walter Nicolas 
Otheguy Fernandez.
Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de 
Almeida e Tony Shigueki Nakatani.
PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO 
PEDAGÓGICO
Área de Linguagens 
Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine 
Budiski de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel 
Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes 
e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali 
Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da 
Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, 
Sandra Pereira Mendes,Sebastiana Gonçalves 
Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia 
Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, 
Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana 
Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela 
dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba 
Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina 
dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, 
Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista 
Bomfim, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia 
Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, 
Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena 
Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato 
José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de 
Campos e Silmara Santade Masiero.
Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene 
Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves 
Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. 
de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, 
Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina 
Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda 
Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, 
Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar 
Alexandre Formici, Selma Rodrigues e 
Sílvia Regina Peres.
Área de Matemática 
Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis 
Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, 
Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, 
Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, 
Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan 
Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes 
Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, 
Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina 
Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, 
Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, 
Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares 
Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda 
Meira de Aguiar Gomes. 
Área de Ciências da Natureza 
Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro 
Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende 
Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara 
Santana da Silva Alves.
Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio 
de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline 
de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto 
Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson 
Luís Prati. 
Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula 
Vieira Costa, André Henrique Ghelfi Rufino, 
Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes 
M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio 
Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael 
Plana Simões e Rui Buosi. 
Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila 
Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. 
Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura 
C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko 
S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. 
Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus. 
Área de Ciências Humanas 
Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson 
Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio 
Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.
Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio 
Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, 
Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, 
Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, 
Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de 
Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, 
Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato 
e Sonia Maria M. Romano.
História: Aparecida de Fátima dos Santos 
Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete 
Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina 
de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso 
Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana 
Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de 
Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, 
Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria 
Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas. 
Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves, 
Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e 
Tânia Fetchir.
Apoio:
Fundação para o Desenvolvimento da Educação 
- FDE
Impressão e acabamento sob a responsabilidade 
da Imprensa Oficial do Estado S/A – IMESP
MATEMÁTICA_CP_7s_8a_Vol2_B_2014-2017.indd 127 1/27/16 2:40 PM
 
* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são 
indicados sites para o aprofundamento de conhecimen-
tos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados 
e como referências bibliográficas. Todos esses endereços 
eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é 
um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da 
Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites 
indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.
* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de 
terceiros e mantêm as características dos originais, no que 
diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos 
elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos).
* Os ícones do Caderno do Aluno são reproduzidos no 
Caderno do Professor para apoiar na identificação das 
atividades.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Material de apoio ao currículo do Estado de São Paulo: caderno do professor; matemática, ensino 
fundamental – anos finais, 7a série/8o ano / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; 
equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto 
Perides Moisés, Walter Spinelli. – São Paulo: SE, 2014. 
v. 2, 128 p.
Edição atualizada pela equipe curricular do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino 
Médio e Educação Profissional – CEFAF, da Coordenadoria de Gestão da Educação Básica - CGEB.
ISBN 978-85-7849-674-6
1. Ensino fundamental anos finais 2. Matemática 3. Atividade pedagógica I. Fini, Maria Inês. II. 
Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, 
Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
CDU: 371.3:806.90
S239m
Ciências Humanas 
Coordenador de área: Paulo Miceli.
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís 
Martins e Renê José Trentin Silveira. 
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, 
Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas.
História: Paulo Miceli, Diego López Silva, 
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e 
Raquel dos Santos Funari.
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, 
Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos 
Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.
Ciências da Natureza 
Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes. 
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo 
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene 
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta 
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, 
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso 
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, 
João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, 
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida 
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria 
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo 
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, 
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, 
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, 
Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo 
de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, 
Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell 
Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e 
Yassuko Hosoume. 
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse 
Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe 
Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa 
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda 
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.
Caderno do Gestor 
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de 
Felice Murrie.
GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO 
EDITORIAL 2014-2017
FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI
Presidente da Diretoria Executiva 
Antonio Rafael Namur Muscat
Vice-presidente da Diretoria Executiva 
Alberto Wunderler Ramos
GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS 
À EDUCAÇÃO
Direção da Área 
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Coordenação Executiva do Projeto 
Angela Sprenger e Beatriz Scavazza
Gestão Editorial 
Denise Blanes
Equipe de Produção
Editorial: AmarilisL. Maciel, Angélica dos Santos 
Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina 
Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina 
H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, 
Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento, 
Flávia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier, 
Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro 
Calbente Câmara, Leslie Sandes, Mainã Greeb 
Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo, 
Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula 
Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro 
Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella 
Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e 
Tiago Jonas de Almeida.
Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca 
Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana 
Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida 
Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro e 
Vanessa Leite Rios.
Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza 
Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico).
CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS 
CONTEÚDOS ORIGINAIS
COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO 
DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS 
CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS 
CADERNOS DOS ALUNOS 
Ghisleine Trigo Silveira
CONCEPÇÃO 
Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, 
Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini 
(coordenadora) e Ruy Berger (em memória).
AUTORES
Linguagens 
Coordenador de área: Alice Vieira. 
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, 
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami 
Makino e Sayonara Pereira.
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, 
Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana 
Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, 
Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, 
Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini 
Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles 
Fidalgo.
LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel 
Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues 
Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia 
González.
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet 
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, 
José Luís Marques López Landeira e João 
Henrique Nogueira Mateos.
Matemática 
Coordenador de área: Nílson José Machado. 
Matemática: Nílson José Machado, Carlos 
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz 
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério 
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e 
Walter Spinelli.
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