Balanço de Energia

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Considerações Iniciais
Como escoamento é completamente confinado, um balanço de 
energia pode ser utilizado para:
Determinar a temperatura média , 𝑇𝑚(𝑋);
Determinar como a transferência de calor por convecção, 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 , está 
relacionada à diferença entre as 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 e 𝑇𝑠𝑎í𝑑𝑎
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Balanço Global de Energia
𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑞𝑠
′′ 𝑃 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑇𝑚 + 𝑑𝑇𝑚𝑇𝑚
𝐿0
 𝑚
𝑥
Figura 1 - Volume de controle para 
escoamento em um tubo
 𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 =
𝑑𝑚
𝑑𝑡
𝐶𝑝 (𝑇𝑚 + 𝑑𝑇𝑚 − 𝑇𝑚 (1.1)
𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 =
𝑑𝑚
𝑑𝑡
𝐶𝑝𝑑𝑇𝑚 (1.2)
Equacionamento do Volume de Controle
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓ê𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐çã𝑜
𝑃 = 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 (2𝜋𝑅)
𝑇𝑚 = 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑀é𝑑𝑖𝑎
 𝑚 = 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑚á𝑠𝑠𝑖𝑐𝑜
𝐿 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙
Considere
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Fluxo Térmico Na Superfície Constante
Equacionamento
𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑞𝑠
′′ (𝑃. 𝑑𝑥) (1.3)
𝑑𝑇
𝑑𝑥
=
𝑞𝑠
′′ 𝑃
 𝑚 𝐶𝑝
=
𝑃
 𝑚𝐶𝑝
ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇𝑚) (1.4)
𝑇𝑚 𝑥 = 𝑇𝑚,𝑒𝑛𝑡+ 
𝑞𝑠
′′ 𝑃
 𝑚 𝐶𝑝
x (1.5)
𝑞𝑠
′′ 𝑃
 𝑚 𝐶𝑝
≠ 𝑓(𝑥)
𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑞𝑠
′′ 𝑃 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑇𝑚 + 𝑑𝑇𝑚𝑇𝑚
𝐿0
 𝑚
𝑥
Figura 1 - Volume de controle para 
escoamento em um tubo
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Análise do Comportamento da Temperatura
Figura 2 – Variação de Temperatura Axiais na 
Transferência de Calor de um Tubo 5
Exemplo 8.2 - Incropera
Um sistema para aquecedor de água de uma temperatura de entrada 𝑇𝑚,𝑒𝑛𝑡 = 20°𝐶 até uma
temperatura de saída 𝑇𝑚𝑠𝑎𝑖 = 60°𝐶 envolve a passagem da água através de um tubo de parede
espessa, com diâmetros interno e externo de 20 e 40mm. A superfície externa do tubo
encontra-se isolada e o aquecimento elétrico no interior da parede proporciona uma taxa de
geração uniforme 𝑞 = 106 W/m³.
Para uma vazão mássica da água 𝑚 = 0,1 𝐾𝑔/𝑠, qual deve ser o comprimento
do tubo para que a temperatura de saída desejada seja alcançada ?
Se a temperatura da superfície interna do tubo em sua saída for 𝑇𝑠 = 70°C,
qual é o coeficiente de transferência de calor por convecção local na saída do
tubo?
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Temperatura Superficial Constante, 𝑇𝑠 = 𝑐𝑡𝑒
𝑑∆𝑇𝑚
𝑑𝑥
=
𝑃
 𝑚𝐶𝑝
ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇𝑚) (1.4)
𝑙𝑛
∆𝑇𝑠𝑎𝑖
∆𝑇𝑒𝑛𝑡
=
𝑃𝐿
 𝑚𝐶𝑝
 ℎ𝐿 (1.6) 
𝑇𝑠−𝑇𝑚(𝑥)
𝑇𝑠−𝑇𝑚,𝑒𝑛𝑡
= exp(−
𝑃𝑥
 𝑚𝐶𝑝
 ℎ) (1.7)
Partindo da Equação 1.4 realizando 
sua integração em função de 𝑥 e 
𝑇 temos como resultado a Equação 
1.6 que pode ser generalizada para 
qualquer ponto da tubulação como 
indica a equação 1.7
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Temperatura Superficial Constante, 𝑇𝑠 = 𝑐𝑡𝑒
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑚𝑐𝑝[∆𝑇𝑒𝑛𝑡 − ∆𝑇𝑠𝑎𝑖] (1.8)
∆𝑇𝑚𝑙 =
∆𝑇𝑠𝑎𝑖−∆𝑇𝑒𝑛𝑡
ln( 
∆𝑇𝑠𝑎𝑖
∆𝑇𝑒𝑛𝑡
)
(1.9)
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝐴𝑠∆𝑇𝑚𝑙 (1.10)
Combinando 1.8 ; 1.9 ; 1.10 
Resultamos na equação 1.11
𝐿
𝑇𝑚,𝑒𝑛𝑡
𝑇𝑚,𝑠𝑎𝑖
𝑥
Figura 1.3 Tubo 
submetido a um 
escoamento interno 
e externo
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Temperatura Superficial Constante, 𝑇𝑠 = 𝑐𝑡𝑒
𝑈 =
1
1
ℎ1
+
𝑟
𝑘1
… (1.11) 
𝑇∞−𝑇𝑚,𝑠𝑎𝑖
𝑇∞−𝑇𝑚,𝑒𝑛𝑡
= exp(−
 𝑈𝐴𝑠
 𝑚𝐶𝑝
) (1.12)
q = 𝑈𝐴𝑠∆𝑇𝑚𝑙 =
∆𝑇𝑚𝑙
𝑅𝑡𝑜𝑡
(1.13)
Combinando 1.8 ; 1.9 ; 1.10 
Resultamos na equação 1.11
𝐿
𝑇𝑚,𝑒𝑛𝑡
𝑇𝑚,𝑠𝑎𝑖
𝑥
Figura 1.3 Tubo 
submetido a um 
escoamento interno 
e externo
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Exemplo 8.3 - Incropera
Vapor D’água condensado sobre a superfície externa de um
tubo circular de parede fina, com diâmetro D=50mm e
comprimento L=6m, mantém uma temperatura na superfície
externa uniforme de 100ºC. Água escoa através do tubo a uma
vazão de 𝑚=0.25 kg/s e suas temperaturas na entrada e na
saída do tubo são 𝑇𝑚,𝑒𝑛𝑡 = 15°𝐶 e 𝑇𝑚,𝑠𝑎𝑖 = 57°𝐶 . Qual é o
coeficiente convectivo médio associado ao escoamento da
água ?
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CONSIDERAÇÕES
1. Resistência Condutiva na Parede do Tubo Desprezível;
2. Líquido incompressível e dissipação viscosa desprezível;
3. Propriedades Constantes
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