diagramas barra inclinada

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I 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
EEESSSTTTÁÁÁTTTIIICCCAAA 
 
 
DIAGRAMAS 
 
ESFORÇO AXIAL - ESFORÇO TRANSVERSO - MOMENTO FLECTOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EXERCÍCIO 1 EXERCÍCIO 2 EXERCÍCIO 3 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS EXEMPLIFICATIVOS APRESENTADOS NAS AULAS TEÓRICAS 
 
 
 
 
ISABEL ALVIM TELES
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 1/14 Exercício 1 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
EXERCÍCIO 1 
 
 
 
Sem calcular previamente as reacções, 
determine as expressões analíticas do esforço 
axial (N), esforço transverso (V) e momento 
flector (M) da viga encastrada representada 
na figura. 
Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M). 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 1 - RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,6 α sen 
 0,8 α cos 
 36,8699 
4
3
 arctg 




=
=
⇒== o
αααα
 
 
 
a = x cos α 
a = 0,8 x 
 
 
 kNm a 5 
2
a
 a 10 (a) M 2 −=−= 
 
 grau) (2º curva kNm 3,2 ) (0,8 5 (x) M 2 2 ⇒−=−= xx 
 
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 
x d
Md
2
 
2 
⇒< concavidade U 
CONVENÇÃO DE SINAIS 
DA 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
4.0 m
3.0 m
αααα
a
R=10a kN
a
2
d
e
x
x
a
αααα
d
V
e
N
VN
+
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 2/14 Exercício 1 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
R – resultante de todas as forças à direita do ponto. 
 
R = 10 a kN 
 
 
N = R sen α = 10 a sen α 
V = R cos α = 10 a cos α 
 
 
 
 
 
 
 
 recta kN 6,4 0,8 0,8 10 α cos α cos 10 )x( V 
 recta kN 4,8 0,6 0,8 10 α sen α cos 10 )x( N 
 
α cos a 10 )a( V 
α sen a 10 )a( N 
α cos x a




⇒=××==
⇒=××==
 →




=
=
=
xxx
xxx
 
 
 
Extremidade da consola: (x=0) 
0 M 
 0 V 
0 N 





=
=
=
 
 
Encastramento: (x=5 m) 
kNm 80 5 3,2 M 
 kN 32 5 6,4 V 
kN 24 5 4,8 N 
2 




−=×−=
=×=
=×=
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
EXERCÍCIO 1 - OUTRA RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para os dois sistemas serem equivalentes, a Resultante tem que ser igual, ou seja: 
R = 10 x 4 = 40 kN ⇒ p x 5 = R = 40 kN ⇒ p = 8 kN/m 
αααα
a
d
e
x
R
VN
αααα
R=10a kN
R=40kN
4.0 m
3.0 m
R=40kN
⇔⇔⇔⇔ 5
.0
 m
4.0 m
3.0 m
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 3/14 Exercício 1 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
pv= p cos α = 8 x 0,8 = 6,4 kN/m 
pn= p sen α = 8 x 0,6 = 4,8 kN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 grau) (2º curva kNm 3,2 
2
 6,4 (x) 
recta kN 6,4 . pv )x( 
recta kN 4,8 . pn )x( 
2 







⇒−=−=
⇒==
⇒==
xxxM
xxV
xxN
 
 
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 
x d
Md
2
 
2 
⇒< concavidade U 
 
 
Extremidade da consola: (x=0) 
0 M 
 0 V 
0 N 





=
=
=
 
 
Encastramento: (x=5 m) 
kNm 80 5 3,2 M 
 kN 32 5 6,4 V 
kN 24 5 4,8 N 
2 




−=×−=
=×=
=×=
 
pv=6,4 kN/m
5
.0
 m
pn=4,8 kN/m
+
x x
5
.0
 m
αααα
5
.0
 m
p
αααα
pv =pcosα
pnpsenα=
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 4/14 Exercício 1 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
DIAGRAMAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
24 kN
r
+
32 kN
r
-80 kNm
c
-
N
ESFORÇO AXIAL
V
ESFORÇO TRANSVERSO
M
MOMENTO FLECTOR
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 5/14 Exercício 2 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
EXERCÍCIO 2 
 
 
Sem calcular previamente as reacções, 
determine as expressões analíticas do esforço 
axial (N), esforço transverso (V) e momento 
flector (M) da viga encastrada representada 
na figura. 
Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M). 
 
 
EXERCÍCIO 2 - RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,6 α sen 
 0,8 α cos 
 36,8699 
4
3
 arctg 




=
=
⇒== o
αααα
 
 
 
 
b = x sen α 
b = 0,6 x 
 
 
 
 kNm b 10 
2
b
 b 20 (b) M 2 −=−= 
 
 grau) (2º curva kNm 3,6 ) (0,6 10 (x) M 2 2 ⇒−=−= xx 
 
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 
x d
Md
2
 
2 
⇒< concavidade U 
CONVENÇÃO DE SINAIS 
DA 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
4.0 m
3.0 m
x b
αααα
αααα
αααα
b
d
e
b
2 R=20b kN
x
d
V
e
N
VN
+
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 6/14 Exercício 2 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
R – resultante de todas as forças à 
direita do ponto. 
 
R = 20 b kN 
 
 
N = R cos α = 20 b cos α 
V = R sen α = 20 b sen α 
 
 
 
 
 
 recta kN 7,2 0,6 0,6 02 α sen α sen 20 )x( V 
 recta kN ,69 0,8 0,6 20 α cos α sen 20 )x( N 
 
α sen b 20 )b( V 
α cos b 20 )b( N 
α sen x b




⇒=××==
⇒−=××−=−=
 →




=
−=
=
xxx
xxx
 
 
 
Extremidade da consola: (x=0) 
0 M 
 0 V 
0 N 





=
=
=
 
 
Encastramento: (x=5 m) 
kNm 90 5 3,6 M 
 kN 36 5 7,2 V 
kN 48 5 ,69 N 
2 




−=×−=
=×=
−=×−=
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
EXERCÍCIO 2 - OUTRA RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para os doissistemas serem equivalentes, a Resultante tem que ser igual, ou seja: 
R = 20 x 3 = 60 kN ⇒ p x 5 = R = 60 kN ⇒ p = 12 kN/m 
 
αααα
b
d
e
R=20b kN
x
V
R
N
αααα
4.0 m
3.0 m
R=60 kN
4.0 m
3.0 m
⇔⇔⇔⇔
R=60 kN
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 7/14 Exercício 2 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
pv= p sen α = 12 x 0,6 = 7,2 kN/m 
pn= p cos α = 12 x 0,8 = 9,6 kN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 grau) (2º curva kNm 3,6 
2
 7,2 (x) 
recta kN 7,2 . pv )x( 
recta kN 9,6 . pn )x( 
2 







⇒−=−=
⇒==
⇒−=−=
xxxM
xxV
xxN
 
 
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 
x d
Md
2
 
2 
⇒< concavidade U 
 
Extremidade da consola: (x=0) 
0 M 
 0 V 
0 N 





=
=
=
 
 
Encastramento: (x=5 m) 
kNm 90 5 3,6 M 
 kN 36 5 7,2 V 
kN 48 5 ,69 N 
2 




−=×−=
=×=
−=×−=
 
5
.0
 m
αααα
5
.0
 m
pv=7,2 kN/m
5
.0
 m
pn=9,6 kN/m
+
x x
p
pv =psenα
αααα
pn =pcosα
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 8/14 Exercício 2 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
DIAGRAMAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-48 kN
r
+
36 kN
r
-90 kNm
c
-
N
ESFORÇO AXIAL
V
ESFORÇO TRANSVERSO
M
MOMENTO FLECTOR
-
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 9/14 Exercício 3 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
EXERCÍCIO 3 
 
 
 
Sem calcular previamente as reacções, 
determine as expressões analíticas do 
esforço axial (N), esforço transverso (V) e 
momento flector (M) da viga encastrada 
representada na figura. 
Desenhe os diagramas dos esforços (N, V 
e M). 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 3 - RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,6 α sen 
 0,8 α cos 
 36,8699 
4
3 arctg 




=
=
⇒== o
αααα
 
 
 
 
 
 
a = x cos α 
a = 0,8 x 
 
b = x sen α 
b = 0,6 x 
 
 
 
CONVENÇÃO DE SINAIS 
DA 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
d
V
e
N
VN
+
x b
αααα
αααα
a
4.0 m
3.0 m
αααα
b
d
e
b
2
x
R =10a kN
a
2
a
R =20b kN
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 10/14 Exercício 3 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 kNm b 10 a 5 
2
b b 20 
2
a a 10 b) (a, M 2 2 −−=−−= 
 
Substituindo 
 0,6 α sen 
 0,8 α cos 
xxb
xxa
==
==
 
 
 grau) (2º curva kNm 6,8 3,6 3,2 ) (0,6 10 ) (0,8 5 (x) M 2 2 2 2 2 ⇒−=−−=−−= xxxxx 
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 
x d
Md
2
 
2 
⇒< concavidade U 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R1 – resultante da carga distribuida R2 – resultante da carga distribuida 
 de 10 kN/m à direita do ponto de 20 kN/m à direita do ponto 
 
R1 = 10 a kN R2 = 20 b kN 
 
N1 = R1 sen α = 10 a sen α N2 = R2 cos α = 20 b cos α 
V1 = R1 cos α = 10 a cos α V2 = R2 sen α = 20 b sen α 
 
 
 
 kN 12 8 0,6 02 0,8 10 α sen b 02 α cos a 10 V V )b ,a( V 
kN 16 6 0,8 02 0,6 10 α cos 02 α sen 10 N N )b ,a( N 
21
21




+=×+×=+=+=
−=×−×=−=−=
baba
bababa
 
 
Substituindo: 
recta kN 13,6 0,6 12 0,8 8 )x( V 
 recta kN 8,4 0,6 16 0,8 6 )x( N 
 
 0,6 α sen 
 0,8 α cos 
 




⇒=×+×=
⇒−=×−×=
⇒
==
==
xxx
xxx
xxb
xxa
 
 
 
Expressões analíticas dos esforços: 
 grau) (2º curva kNm 6,8 (x) M 
 recta kN 13,6 )x( V 
recta kN 8,4 )x( N 
2 




⇒−=
⇒=
⇒−=
x
x
x
 
αααα
b
d
e
x
αααα
αααα
d
e
x
αααα
R =10a kN
a
R
V
N
+
R =20b kN
R
N
V
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 11/14 Exercício 3 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Extremidade da consola: (x=0) 
0 M 
 0 V 
0 N 





=
=
=
 Encastramento: (x=5 m) 
kNm 170 5 6,8 M 
 kN 68 5 13,6 V 
kN 24 5 4,8 N 
2 




−=×−=
=×=
−=×−=
 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
EXERCÍCIO 3 - OUTRA RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para os dois sistemas serem equivalentes, as Resultantes R1 e R2 têm que ser igual, ou seja: 
 
 kN/m 12 p 
kN/m 8 p 
 
 kN 60 R 5 p 
kN 40 R 5 p 
2
1
22
11




=
=
⇒




==×
==×
 
 
4.0 m
3.0 m
R =40kN
R =60 kN
4.0 m
3.0 m 5
.0
 m
+
4.0 m
3.0 m
R =40kN
R =60 kN
⇔⇔ ⇔⇔
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 12/14 Exercício 3 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
p1n= p1 sen α = 8 x 0,6 = 4,8 kN/m p2n= p2 sen α = 12 x 0,8 = 9,6 kN/m 
p1v= p1 cos α = 8 x 0,8 = 6,4 kN/m p2v= p2 sen α = 12 x 0,6 = 7,2 kN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
pn = p1n + p2n 
pv = p1v + p2v 
 
 
 
 
 
 
 
p1
αααα
p1v=p1 cosα
p1np1 senα=
p2
p2v=p2 senα
αααα
p2n=p2 cosα
⇔⇔ ⇔⇔
5
.0
 m
αααα
5
.0
 m
p1v=6,4 kN/m
p1n=4,8 kN/m
+
+
+
5
.0
 m
pv=13,6 kN/m
pn=4,8 kN/m
+
⇔⇔ ⇔⇔
5
.0
 m
αααα
5
.0
 m
p2v=7,2 kN/m
p2n=9,6 kN/m
+
 
ESTÁTICAISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 13/14 Exercício 3 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 grau) (2º curva kNm 6,8 
2
 13,6 
2
 . . pv (x) 
recta kN 13,6 . pv )x( 
recta kN 4,8 . pn )x( 
2 







⇒−=−=−=
⇒==
⇒−=−=
xxxxxM
xxV
xxN
 
 
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 
x d
Md
2
 
2 
⇒< concavidade U 
 
 
 
Extremidade da consola: (x=0) 
0 M 
 0 V 
0 N 





=
=
=
 
 
 
Encastramento: (x=5 m) 
kNm 170 5 6,8 M 
 kN 68 5 13,6 V 
kN 24 5 4,8 N 
2 




−=×−=
=×=
−=×−=
 
 
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 14/14 Exercício 3 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
DIAGRAMAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-24 kN
+
68 kN
r
-170 kNm
c
-
N
ESFORÇO AXIAL
V
ESFORÇO TRANSVERSO
M
MOMENTO FLECTOR
-
r