Sistemas de Massa Ativa e Otimização

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06 – SISTEMAS DE 
MASSA ATIVA
06.01 - Conceitos
• Principal característica:
– Vencer o conflito de direções mantendo a
horizontalidade do espaço.
– Isso se dá às custas de mecanismos internos de
flexão.
• Distribuição de tensões normais em peças
solicitadas à flexão:
• A necessidade de Inércia é a principal
característica dos sistemas de massa ativa.
06.01 - Conceitos
• Horizontalidade do espaço criado pela
estrutura:
– Pisos de edificações.
• Emprego na transmissão de cargas laterais
em edifícios:
06.01 - Conceitos
• Representantes típicos:
– Viga
• Distribuição de carga unidirecional.
• Isolada ou contínua.
– Grelha
• Distribuição de carga bidirecional.
– Pórticos
• Continuidade entre vigas e pilares.
– Lajes
• Distribuição bidirecional das cargas.
06.02 - Otimização em 
sistemas de massa ativa
• Objetivo:
– Melhorar a Eficiência Estrutural,
– Melhorar a relação carga resistida / peso próprio.
• Otimização:
– Da seção transversal da peça:
• Melhorando a distribuição de inércia.
– Do perfil longitudinal da peça:
• Enfatizando seções mais solicitadas.
– Do esquema, organização, estrutural.
• Reduzindo esforços máximos na estrutura.
Otimização da seção 
transversal
Seções ideais – Flexão
• Aço:
– Seções I simétricas.
– Seções I assimétricas, com mais massa na mesa
comprimida.
• Concreto
– Seções T com mesa do lado da fibra comprimida.
Seções I, T, T Invertido
Transporte
Vigas de concreto
Vigas de concreto
Vigas-calha de concreto
Vigas de concreto
Laje PI
Laje maciça X nervurada
10
40
10
H
50
H
(4cm)c
Comparativo de rigidezes
H Área Inércia Área Inércia
8 400 2.133,33 230 853,33
10 500 4.166,67 260 1.600,51
12 600 7.200,00 280 2.750,48
15 750 14.062,50 300 5.367,77
18 900 24.300,00 340 9.233,92
20 1.000 33.333,33 360 12.568,89
25 1.250 65.104,00 410 23.990,26
MACIÇA NERVURADA
Lajes estaticamente eqüivalentes
10
40
10
H
50
H
(4cm)c
Lajes nervuradas
• Menor peso, maior inércia!
• Menor consumo de armaduras
• Menores flechas
• Vãos maiores
• Podem ser usadas em sistemas com vigas
ou sem vigas
Execução de lajes nervuradas
Exemplo de lajes nervuradas
Fôrmas para
lajes nervuradas
Fôrmas para lajes em caixão 
perdido
Lajes caixão perdido
Forro em lajes nervuradas
Isolamento de ambientes
Lajes nervuradas com blocos 
de enchimento
Pilares e vigas aliviados
Aspectos tecnológicos
• A produção de peças com seção otimizada
só se viabiliza em ambiente industrial:
– Estruturas pré-moldadas em concreto armado e
protendido.
• Seções I, Seções T, Vigas Vierendel, Peças treliçadas
– Estruturas metálicas.
• Seções I, Seções L, Seções H, etc.
• Vigas casteladas ou vigas alveolares.
• Sistemas de fôrmas apropriados:
– Lajes nervuradas com cubetas removíveis.
Produção de perfis metálicos
• Laminação a quente – Hot rolled
– Menor custo / Kg
– Paredes mais espessas...Menos eficientes
– Seções padronizadas pelos laminadores
• Soldagem
– Seções compostas personalizadas
– Seções compostas de série
• Dobragem a frio – Cold formed
– Perfis mais leves...Mais eficientes
– Maior custo/Kg
Perfis Laminados
Perfis Laminados Açominas
Perfis Laminados Açominas
• Nomenclatura
– bf = Largura da mesa (flange)
– tf = espessura da mesa
– tw = espessura da alma (web)
Perfis Soldados
Perfis Juresa
Seções compostas com rebites
Perfis eletro-soldados
Vigas com alma senoidal
Otimização do perfil 
longitudinal
UNESCO (Paris)
Vigas casteladas ou alveolares
06.03 - Vigas
• São os representantes mais simples dos
sistemas de massa ativa.
• Tensões internas devidas à flexão:
– Tensões normais:
• Variação com a altura:
– Bordos extremos tracionados e comprimidos.
– Tensão nula na linha neutra.
• Variação ao longo do vão:
– Tensões máximas onde os momentos são máximos.
06.03 - Vigas
• Tensões internas devidas à flexão:
– Tensões tangenciais:
• Cisalhamento vertical.
• Cisalhamento longitudinal.
– Variação com a altura:
• Variação parabólica de tensões tangenciais com máximo
no centro.
• Tensão nula nas mesas de uma seção T.
• Almas de seção T muito com muita solicitação de
cisalhamento devem ser mais espessas.
– Variação ao longo do vão:
• Tensões máximas nos apoios.
Forma otimizada de uma viga T
Forma otimizada de uma viga T
Vigas contínuas X vigas 
isoladas
• A continuidade, pela restrição de rotação nas
extremidades da viga, reduz a deformação e pode
reduzir também os momentos fletores.
• A continuidade é natural em peças moldadas em
concreto.
• A continuidade é mais difícil em peças montadas,
industrializadas em aço e pré-moldados.
• A utilização de vigas isoladas em estruturas de aço e
pré-moldados leva à necessidade do
contraventamento da estrutura, pois todos os nós
são articulados.
Estruturas pré-moldadas
Estruturas pré-moldadas
Estruturas metálicas
Ligações
Ligações
Vigas contínuas
Distribuição de apoios
• Em vigas contínuas, sobre apoios simples,
com vãos iguais, os primeiros vãos tendem a
ser mais solicitados pela falta de
continuidade em uma das extremidades.
• Alguns artifícios podem ser utilizados para
equilibrar os momentos e otimizar o projeto
da viga:
Viga contínua com 50 metros 
de comprimento total
• Situação A:
– 5 vãos de 10 metros
• Situação B:
– Diminuindo comprimento dos vãos extremos e aumentando
dos vãos internos
• Situação C:
– Criando dois balanços laterais de 1,50 metros e 5 vãos de
9,40 metros.
• Situação D:
– Três vigas isostáticas de 16,67 metros com relação ideal
entre os balanços e os vãos.
Situação A
 
Situação B
 
Situação C
Situação D
Proporção ideal
a b a
L
M
M
q
b
2
/
8
Proporção ideal
4
)28(
8
8
2
)84(
8
8
2
)84(
)84(
)84(
)84(
4
)
4
48(;
8
82;2
8
8;
8
282
2
2
222







LLba
LLb
LbLbbLba
baqbqa
qaqbqa
Proporção ideal
kNmM
kNmM
maLa
mbLb
57,5957,59
8
763,910
57,59
2
452,310
452,3
4
)28(
3
50;
4
)28(
763,9
2
)84(
3
50;
2
)84(
2
2






06.04 - Grelhas
• Estrutura plana com carregamento
perpendicular ao plano da estrutura.
• Principal característica:
– Distribuição bi-direcional de cargas.
– Menores esforços que em sistemas
unidirecionais.
Comparação entre sistemas de 
vigas paralelas e grelhas
Análise de uma grelha
de duas vigas
Igualando as flechas
9/:
0:
:
:
1
1;
;1;)(
48
)(
48
;
1
3
2
2
3
12
3
11
3
2
1
3
2
1
3
2
2
3
11
3
2
3
2
2
1
3
1
3
2
2
1
3
1
2
3
2
1
3
1
21
PX
X
PX
IL
IL
PX
ILIL
ILPX
IL
ILIL
X
P
L
I
I
L
X
P
L
I
I
L
X
XP
EI
LXP
EI
XLff








21
21
12
21
2LL Se
LL Se
LL Se
II Se
Conclusões
• Se I1 = I2 e L1 = L2:
– X = P/2
• Se I1 = I2 e L1 >>>> L2:
– X=0; MV1=0; MV2=PL2/4
– O carregamento vai todo para a viga V2 que é a mais rígida.
• Se I1 = I2 e L2 >>>> L1:
– X=P; MV1=PL1/4; MV2=0
– O carregamento vai todo para a viga V1 que é a mais rígida
• Se I1 = I2 e L1 = 2L2:
– X=P/9; MV1=PL1/36; MV2=8PL2/36; MV2=4MV1
Alternativas para diferenças de 
vãos
• Se L1 = 2L2, basta fazer I1 = 8I2:
– X=P/2; MV1=PL1/8; MV2=PL1/16; MV1=2MV2
• Outras alternativas para compensar a
diferença
de vãos:
– Utilizar espaçamentos de nervuras diferentes em
cada direção.
– Utilizar nervuras em diagonal, fazendo com que a
maior parte das nervuras tenha o mesmo
comprimento
Modelo Grelha01
• Grelha 6,0 X 6,0 metros, apoiada em todo contorno.
• Nervuras a cada 0,50 metros em duas direções.
• Carregamento uniforme de 10,0 kN/m2, que resulta
em uma carga de 2,50 kN/m em cada nervura, em
cada direção.
• Nervuras com seção T:
– bf = 50 cm; bw = 10 cm; H = 35 cm; Hf = 5 cm.
– It = 0 em todas as barras (sem rigidez à torção).
• Material:
– E = 25.000.000 kN/m2;
• Flecha máxima = 3,30 mm.
• Momento máximo igual em cada direção:
– 13,81 kNm.
Modelo Grelha01
M=13,81 kNm
Modelo Grelha02a
• Grelha 6,0 X 12,0 metros, apoiada em todo contorno.
• Nervuras a cada 0,50 metros em duas direções.
• Carregamento uniforme de 10,0 kN/m2...
• Nervuras com seção T...
• E = 25.000.000 kN/m2;
• Flecha máxima = 5,95 mm.
• Momentos máximos:
– Na direção do menor vão = 25,58 kNm.
– Na direção do maior vão = 4,09 kNm.
Modelo Grelha02a
M=25,58 kNm
M=4,09 kNm
Modelo Grelha02b
• Igual modelo Grelha02a
– Cargas apenas nas nervuras transversais de 5,0 kN/m.
• Flecha máxima = 5,97 mm.
• Momentos máximos:
– Na direção do menor vão = 25,57 kNm.
– Na direção do maior vão = 4,05 kNm.
– Nas nervuras próximos aos apoios os momentos máximos
são menores = 3,95 kNm.
• Momento máximo para a hipótese de funcionamento
unidirecional:
– Mmax = qL2/8 = 5,0.6,02/8 = 22,5 kNm.
Modelo Grelha02b
M=25,57 kNm
M=4,05 kNm
M=3,95 kNm
Modelo Grelha03
• Grelha 6,0 X 12,0 metros, apoiada em todo contorno.
• Nervuras a cada 0,50 metros em duas direções,
inclinadas de 45 graus em relação aos bordos.
• Carregamento uniforme de 10,0 kN/m2...
• Nervuras com seção T...
• E = 25.000.000 kN/m2.
• Flecha máxima:
– 5,28 mm.
• Momento máximo igual em cada direção:
– 12,97 kNm.
Modelo Grelha03
M=12,97 kNm
06.05 - Pórticos
• Definição:
– Estrutura plana com carregamento colocado
paralelamente ao plano da estrutura.
– Arranjo estrutural adequado para condução de
cargas verticais e horizontais.
Ação de cargas verticais
• Uma viga isolada apoiada sobre dois pilares
apresenta liberdade de rotação sobre os
apoios.
• Os pilares ficam solicitados somente à
esforço normal de compressão.
Ação de cargas verticais
• Uma viga conectada rigidamente aos dois
pilares apresenta restrições de rotações nas
extremidades que fazem com que apareçam
momentos negativos nestas ligações,
reduzindo as flechas e os momentos
positivos.
Ação de cargas verticais
• O momento fletor na ligação entre a viga e o
pilar depende da rigidez do pilar. Se este for
muito rígido o momento se aproxima do valor
do momento de engastamento perfeito da
viga:
Cargas Verticais
Cargas Verticais
Cargas Verticais
Ação de cargas horizontais
• Dois pilares isolados ligados a uma viga, com
liberdade de rotação, sofrem flexão sem
solicitar a viga.
• A viga fica solicitada somente a esforço
normal para compatibilizar os deslocamentos
horizontais.
Ação de cargas horizontais
• Dois pilares conectados rigidamente a uma
viga apresentam restrições de rotações nas
extremidades que fazem com que apareçam
momentos nestas ligações, reduzindo os
deslocamentos horizontais e a flexão nos
pilares.
Ação de cargas horizontais
• O momento fletor na ligação entre os pilares
e a viga depende da rigidez da viga. Se esta
for muito rígida o momento se aproxima do
valor do momento de engastamento perfeito
do pilar na viga:
Cargas Horizontais
Cargas Horizontais
Cargas Horizontais
Pórticos com cargas verticais
• Vão de 6,0 metros.
• Altura de 3,0 metros.
• Carga vertical na viga de 20,0 kN/m.
20,0 kN/m
6,00
3
,
0
0
Modelo 01a
• Vigas e pilares 20X50
48,00
24,00
42,00
Modelo 01b
• Vigas: 20X50 – Pilares: 20X100
58,18
29,09
31,82
Modelo 01c
• Vigas: 20X50 – Pilares: 50X20
23,41
11,71
56,59
Modelo 01d
• Vigas: 20X50 – Pilares: 20X20
12,23
6,11
77,77
Pórticos com cargas horizontais
• Vão de 6,0 metros.
• Altura de 3,0 metros.
• Carga horizontal no nó de 20,0 kN.
20,0 kN
6,00
3
,
0
0
Modelo 04a
• Pilares: 20X50 – Vigas: 20X20
2,42
27,58
Modelo 04b
• Pilares: 20X50 – Vigas: 20X80
13,87
16,13
3
0
,
0
0
3
,
0
0
6,00
HA
MBMA
HA
VBVA
BA
20,0 KN 20,0 KN
A B
VA VB
HA
MA MB
HA
20,0 KN
20,0 KN
20,0 KN
20,0 KN
20,0 KN
20,0 KN
20,0 KN
20,0 KN
20,0 KN
20,0 KN
A B
VA VB
HA
MA MB
HA
6,00
3
,
0
0
3
0
,
0
0
HA
MBMA
HA
VBVA
BA
20,0 KN
20,0 KN
20,0 KN
20,0 KN
20,0 KN
20,0 KN
20,0 KN
20,0 KN
20,0 KN
20,0 KN
Pórtico sem ligações rígidas
Com uma carga concentrada
)(
42
)(
2
2
max NNH
FNNHHFM 
Com várias cargas concentradas
NHFM
2max

Pórtico com ligações rígidas
Com uma carga concentrada
NFHNHFM
422max

Com várias cargas concentradas
422max
FHHFM 
Pórtico 05a
• Pilares 20X50 – Vigas
20X20 (sem ligação
com pilares).
• 10 pavimentos. Carga
de 20,0 kN por andar
1.650,00
KNmM 650.110
2
131010310
max 
Pórtico 05b
• Pilares 20X50 – Vigas
20X150.
• 10 pavimentos. Carga
de 20,0 kN por andar
KNmM 15010
2
13
2
20
max 
153,47
74,63
75,37
146,52
Pórtico 05c
• Pilares 20X50 – Vigas
20X20 (sem ligação
com pilares).
• 10 pavimentos. Carga
de 20,0 kN no último
andar.
300,00
KNmM 300103
2
20
max 
Pórtico 05d
• Pilares 20X50 – Vigas
20X150.
• 10 pavimentos. Carga
de 20,0 kN no último
andar.
15,00
15,00
KNmM 15
2
13
2
20
max 
Reações Pórtico 05a
HA
MBMA
HA
VBVA
BA
20,0 KN
20,0 KN
pilares. nos normais
esforços existem Não pilares. nos momentos em
mobilizado é tombamento de momento o Todo
:tombamentodeMomento
100;100;0;0
300.36
300.3650.12



BABA
BAtA
t
HHVV
MMMV
KNmM
Reações Pórtico 05b
normal. esforço o maior pilares, os entre distância a menor Quanto
pilares. nos normais esforços e
fletores momentos em mobilizado é tombamento de momento O
muda! Não 
:tombamento de Momento
;100
3
1502
;500;500
6
1502300.3
150
300.36
300.3650.12





BA
BA
BA
BAtA
t
HH
VKNV
MM
MMMV
KNmM
HA
MBMA
HA
VBVA
BA
20,0 KN
20,0 KN
Viga Vierendel
Modelo 07a
• Viga Vierendel – 6X3,00 m de vão. 4,00 m de
altura.
• Vigas 20X100. Montantes 20X50, sem
ligação rígida.
• Cargas de 50,0 kN/m no banzo superior e
inferior.
Modelo 07a
2.025
2.025
Modelo 07b
• Vigas 20X100. Montantes 20X50.
622,38
558,92
Memorial Castelo Branco
Garagem Recife
Estádios Futebol
Edifícios
Aeroporto Congonhas
Estádio João Havelange
Edifício IPE
Arquibancadas
Pré-moldados
Pré-moldados