mat1161 152 ExercicioParaEntregar09 gaba

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MAT1161 – Ca´lculo de uma Varia´vel - 2015.2 PUC-Rio
Lista de Exerc´ıcios para Entregar 09 Gabarito Resumido
(a) f(x) =
√
10− 5 x2 e g(x) = −√10− 5x2 com Dom(f) = Dom(g) = [−√2,√2].
(b) A´rea = 2
∫ √2
−√2
√
10− 5 x2 dx = 2
√
10
∫ √2
−√2
√
1−
(
x√
2
)2
dx.
Fazendo
x√
2
= sen(t), temos dx =
√
2 cos(t) dt e 1−
(
x√
2
)2
= 1− sen2(t) = cos2(t).
Mais ainda,
x = −√2⇒ sen(t) = −
√
2√
2
= −1⇒ t = −pi
2
,
x =
√
2⇒ sen(t) =
√
2√
2
= 1⇒ t = pi
2
.
Portanto
A´rea = 2
√
10
∫ pi/2
−pi/2
√
cos2(t)
√
2 cos(t)dt = (i) 2
√
20
∫ pi/2
−pi/2
cos2(t) dt = (ii)
2
√
20
sen(t) cos(t) + t
2
∣∣∣∣pi/2
−pi/2
= 2
√
20
pi/2 + pi/2
2
= pi
√
20.
(c) A a´rea da regia˜o delimitada pelos gra´ficos de h e j e´ a a´rea da regia˜o delimitada por E ,
pois a unia˜o dos gra´ficos de h e j e´ a elipse E transladada.
(i)cos(t) ≥ 0, pois t ∈ [−pi/2, pi/2]
(ii)Integral por partes:
∫
cos2(t) dt =
∫
cos(t) cos(t) dt = sen(t) cos(t) +
∫
sen2(t) dt = sen(t) cos(t) +∫
1− cos2(t) dt = sen(t) cos(t) + t−
∫
cos2(t) dt, logo
∫
cos2(t) dt =
sen(t) cos(t) + t
2
+K.