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Conteu´do
1 Teoria de Conjuntos 3
1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Notac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Simbologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Relacc¸o˜es de Pertenc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Formas de definic¸a˜o de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5 Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.6 Igualdade de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.7 Conjunto Nulo ou Conjunto Vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.8 Conjunto Universo ou Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.9 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.10 Conjunto de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.11 Operac¸o˜es Sobre Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Exercicios De Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Aritme´tica 12
2.1 Razo˜es e Proporc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Percentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Exercicios de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Poteˆnciac¸a˜o e Radiciac¸a˜o 17
3.1 Poteˆnciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Operac¸o˜es com Poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Multiplicac¸a˜o de Poteˆncias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes . . . . . . 18
3.2.2 Divisa˜o de Poteˆncias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes . . . . . . . . . 18
3.2.3 Multiplicac¸a˜o de Poteˆncias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes . . . . . . 18
3.2.4 Divisa˜o de Poteˆncias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes . . . . . . . . . 18
3.2.5 Poteˆncia de Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Radiciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.1 Raiz de I´mdice n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.2 Multiplicac¸a˜o e Divisa˜o de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.3 Simplificac¸a˜o de Radicais (Reduc¸a˜o ao mesmo ı´ndice) . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.4 Comparac¸a˜o de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.5 Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.6 Poteˆncia de uma raiz e Raiz de uma Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.7 Exercicios de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Algebra 24
4.1 Expresso˜es Algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.1 Expresso˜es nume´ricas e valor nume´rico de uma expressa˜o . . . . . . . . . . . . 24
4.1.2 Domı´nio de Expresso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.3 Valores Nume´ricos de Uma Expressa˜o Literal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1
2
4.1.4 Polino´mios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.5 Mono´mios Semelhantes e Mono´mios Iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.6 Operac¸o˜es Sobre Mono´mios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.7 Polino´mios, Polino´mios Semelhantes e Polino´mios Iguais . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.8 Factorizac¸a˜o de Polino´mios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.9 Polino´mios Quadra´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.10 Tria˜ngulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.11 Exercicios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.12 Exerc´ıcios de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 Geometria Plana 40
5.1 A´reas, Per´ımetros e Volumes de Figuras Geome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.1 Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.2 Losango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.3 Rectaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.4 Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.5 Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.6 Classificac¸a˜o dos triangulos - Quanto aos lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1.7 Classificac¸a˜o de Triangulos - Quanto aos Aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.8 Trape´zio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1.9 Papagaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.10 C´ırculo e Circunfereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.11 Sector Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.12 Linhas de Nı´vel de Um Triaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1.13 Teorema de Pitaˆgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.14 Aˆngulos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.15 Aˆngulos Internos de Um Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.16 Aˆngulos Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.17 Aˆngulos Internos de Um Quadrilatero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.18 Aˆngulos Verticalmente Opostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.19 Aˆngulos Alternos Internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.20 Aˆngulos Correspondentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1.21 Teorema De Semelhanc¸as de Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 Relacc¸o˜es e Func¸o˜es 60
6.1 Relacc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.1.1 Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.1.2 Func¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1.3 Func¸o˜es Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.4 Sistemas de Equac¸o˜es e Inequac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Exercicios De Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Func¸o˜es Quadra´ticas 74
7.1 Func¸o˜es e Equac¸o˜es Quadra´ticas, Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.1.1 Func¸o˜es Quadra´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.1.2 Estudo Completo de uma Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.1.3 Equac¸o˜es Quadra´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.1.4 Exerc´ıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.1.5 Equac¸o˜es Parame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.1.6 Func¸a˜o e Equac¸a˜o Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.1.7 Composic¸a˜o de func¸o˜es por func¸o˜es Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.1.8 Equac¸o˜es e Inequao˜esRadicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.2 Exercicios De Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3
8 Func¸a˜o Logaritmica e Exponeˆncial 90
8.1 Func¸a˜o e Equac¸a˜o Exponeˆncial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.1.1 Resoluc¸a˜o de Equac¸o˜es Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.1.2 Inequac¸a˜o Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.1.3 Func¸a˜o exponeˆncial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.4 Representac¸a˜o Gra´fica de uma Func¸a˜o Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.5 Ca´lculo Logar´ıtmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.1.6 Propriedades Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.1.7 Equac¸a˜o Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.1.8 Inequac¸a˜o Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.1.9 Func¸a˜o Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.1.10 Representac¸a˜o Gra´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.2 Exercicios de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9 Func¸a˜o Homogra´fica E Modular 104
9.0.1 Func¸a˜o e Equac¸a˜o Homogra´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.1 Equac¸o˜es e Inequac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.2 Func¸a˜o Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.2.1 Gra´fico da Func¸a˜o Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.2.2 Equac¸o˜es Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.2.3 Inequac¸o˜es Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.3 Exercicios de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10 Trigonometria Elementar 121
10.1 Razo˜es Trigonome´tricas No Triaˆngulo Rectaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.1.1 Aˆngulos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.1.2 Fo´rmula Fundamental da Trigonome´tria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.1.3 C´ırculo Trigonome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.1.4 Passagem Para o Primeiro Quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
10.1.5 Passagem Para Radianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.1.6 Teorema dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.1.7 Teorema dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.1.8 A´rea de triaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.2 Exercicios de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11 Func¸o˜es E Equac¸o˜es Trigonome´tricas 133
11.1 Func¸o˜es Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11.1.1 Func¸a˜o Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.1.2 Func¸a˜o Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.1.3 Func¸a˜o Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.2 Equac¸o˜es Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.2.1 Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.2.2 Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
11.2.3 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
11.3 Exerc´ıcios de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
12 Sucessa˜o e Limites de Sucesso˜es; Limite de Func¸o˜es 145
12.1 Sucessa˜o e Limites de Sucesso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
12.1.1 Sucesso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
12.1.2 Monotonia de uma Sucessa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
12.1.3 Gra´fico de uma Sucessa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
12.1.4 Limite de uma Sucessa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
12.1.5 Operac¸o˜es com Limites de Sucesso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4
12.1.6 Formas Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.1.7 O Nu´mero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.2 Progresso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.2.1 Progressa˜o Aritme´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.2.2 Termo Geral de uma Progressa˜o Aritme´tica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.2.3 Soma de n termos de uma Progressa˜o Aritme´tica. . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.2.4 Progressa˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
12.2.5 Termo Geral de uma Progressa˜o Geome´trica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
12.2.6 Soma de n termos de uma Progrssa˜o Geome´trica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
12.3 Limite de uma Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
12.3.1 Ca´lculo de Limite de uma Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
12.3.2 Indeterminac¸a˜o do Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
12.3.3 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
12.3.4 Limites Nota´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
12.4 Alguns Exercicios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
12.5 Continuidade de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
12.5.1 Pontos de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
12.6 Classificac¸a˜o dos Pontos de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
12.6.1 Descontinuidade da Primeira Espe´cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
12.6.2 Descontinuidade da Segunda Espe´cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
12.7 Exercicios De Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
13 Ca´lculo Difereˆncial 167
13.1 Conceito de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
13.2 Derivac¸a˜o por Tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
13.2.1 Regras de Derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
13.2.2 Tabelas de Derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
13.2.3 Exercicios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
13.3 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
13.4 Exerc´ıcios de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
 
Centro de Preparaçao aos Exames de Admisao ao Ensino Superior- CPEAES www.cpeaes.ac.mz 
 Por: Justino M. J. Rodrigues 
 
Justino Rodrigues ( Coordenador),E– Mail rjustino20@yahoo.com.br , Cel? 82-0432 760- www.cpeaes.ac.mz 
 
17
PREFÁCIO 
 
O presente livro (manual) foi preparado pelos professores deste centro (CPEAES) sob a sua 
coordenação e é destinado ao âmplo circulo de estudantes ocupados no estudo de preparação aos 
exames de admissão para o ensino superior ou no desenvolvimento da actividade pedagógica nos 
centros de ensino e pesquisa em particular. 
O traço característico deste livro (manual) consiste em expor os problemas e as tendências 
actuais de planos curriculares orientados para o ensino geral e técnico nacional, o 
aperfeiçoamento e assimilação das matérias dadas nas escolas, assinalados sob óptica do 
desenvolvimento estável dos princípios básicos da teoria e da prática, planificação dos métodos 
de estudos, sem expor a metodologia concreta de planificação. 
Os autores põe em destaque os elementos que devem ser assimilados e que possam ser úteis nas 
diferentes condições de avaliação nos exames de admissão de modo a alcançar os objectivos 
desejados. 
O livro pode ser utilizado como material de estudo. 
 
O CPEAES ficar-lhe-á muito grato se nos dar a conhecer a sua opinião a cerca da tradução do 
presente livro, assim como acerca da sua apresentação e impressão. 
Agradecer-lhe-emos também qualquer outra sugestão. 
 
NB: Este livro é propriedade do centro e todos seus direitos e obrigações estão reservados a este 
centro ( CPEAES ) 
É expressamente proibido a sua reprodução, seja ela por fotocópia ou outra forma electrónica, 
tanto como a sua venda fora deste estabelecimento (CPEAES) como detentor de todos direitos. 
 
Maputo, Maio de 2007 
Justino M. J. Rodrigues (Coordenador ) 
 
 
2
Caro Leitor!...
Quero antes, agradecer a todos que de forma directa ou indirecta fizeram parte desta obra, ao escreve-
la inspirei-me nos princ´ıpios de um grande Professor que postula a ideia de que ”...ensinar e´ lembrar
aos outros que eles sabem tanto quanto voceˆ!...” e procurei de modo solene e calmo mostrar as
mais importantes passagens que todos tivemos (porque acredito em vo´s) durante o ensino secunda´rio
e na pre´ da Universidade.
Estou consciente de que a caminhada para o ensino supe´rior e´ ardua, disconfortante, mas tambe´m
te´nue e gratificante. Espero que este mate´rial sirva aos leitores amigos dos ”romances matema´ticos”como
ferramenta necessa´ria para a caminhada que se dispo˜em seguir, e porqueˆ na˜o um bom livro para as
fe´rias de fim do ano? Tem se dito, um bom comec¸o, meio caminho andado - comece por aqui.
Moc¸ambique vive nos ultimos dias uma crescente tendeˆncia de sa´ıda da lista de paises menos
alfabetizados ”paises pobres ate´ no saber...” O Governo moc¸ambicano aposta na formac¸a˜o e olha para
ela como uma base sustenta´vel e funcional para a conquista dos mais dignos valores de uma sociedade
socializa´vel. E´ neste solene momento em que as atenc¸o˜es do pa´ıs esta˜o viradas a` causa do pensamento,
do saber e da formac¸a˜o, que em cada moc¸ambicano devemos criar um Moc¸ambique - o pa´ıs que nos
viu nascer, por isso, ca´ estamos frente a um desafio que e´ nosso e acima de tudo e´ para no`s. Estamos
todos conv´ıctos de que venceremos os desafios que iremos enfrentar; e´ com este espirito de convicc¸a˜o,
com esta esperanc¸a, que buscamos a` no`s o empenho, a abnegac¸a˜o, a dedicac¸a˜o, energia e calor para a
caminhada que hoje iniciamos.
Este caminho, cheio de agruras a que vo`s propusestes seguir e´ duro, e acima de tudo e´ encorajador
e digno, por isso, como Professor, amigo e apaixonado pela escrita oferec¸o esta obra e desejo ao leitor
, muito e muito bom trabalho. Bem Haja.
Dr. Betuel de Jesus Varela Canhanga
(Licenciado em Informa´tica)
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Cap´ıtulo 1
Teoria de Conjuntos
1.1 Conjuntos
A teoria de conjuntos e´ uma parte da matema´tica que desempenha um papel de extrema importaˆncia
na vida do dia a dia. Ela e´ aplicada em muitos campos da cieˆncia tais como: Estat´ıstica, Engenharia,
Economia e etc... Neste capitulo debrussaremo-nos sobre linhagensba´sicas da teoria de conjuntos, os
estudantes em preparac¸a˜o para os exames de admissa˜o devera˜o le-lo com muito cuidado e resolver
paulatina e atenciosamente os exerc´ıcios que se seguem.
Definic¸a˜o 1.1. Conjuntos e elementos- O conjunto e´ um conceito fundamental em todos os ramos
da matema´tica; intuitivamente um conjunto e´ uma lista, uma colecc¸a˜o, um agrupamento ou uma classe
de objectos com caracter´ısticas identicas. Os objectos em um conjunto, como veremos nos exemplos
seguintes podem ser qualquer coisa, podem ser pessoas, rios, lagos, nome de provincias, etc. Estes
objectos que fazem parte de conjuntos sa˜o chamados elementos do conjunto.
Exemplo 1.1. Vejamos seguintes exemplos de conjuntos e seus elementos
1) Os nu´meros 1, 3, 7, 10 podem ser vistos como elementos de um conjunto.
2) As soluc¸o˜es da equac¸a˜o x3 + 3x− 1 = 0 sa˜o elementos de um conjunto.
3) As vogais do alfabeto portugueˆs sa˜o elementos de um conjunto.
4) Os estudantes que faltam as aulas, sa˜o elementos de um conjunto.
5) Maputo, Gaza, Inhambane, Zambe´zia, Cabo Delgado; sa˜o elementos de um conjunto.
1.1.1 Notac¸o˜es
Designam-se Conjuntos geralmente usando letras Maiu´sculas
Exemplo 1.2.
A = {2, 4, 6, 8, ...} B = {1, 3, 5, 7, 9, ...} C = {maputo, pemba, xai− xai, lichinga}
3
4 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Os elementos de um conjunto designam-se com letras minusculas
Exemplo 1.3. Veja que os nomes dos elementos do conjunto C descrito acima, aparecem com iniciais
minusculas. Um outro exemplo e´ o das vogais do alfabeto que se representam de modo seguinte
{a, e, i, o, u}
Observac¸a˜o 1.1. Veja que no exemplo anterior os elementos de um conjunto aparecem separados
pelo sinal de v´ırgula. Quando representamos um determinado conjunto, relaccionando-o com seus
elementos denotaremos de modo seguinte
A = {a, e, i, o, u}
onde o nome do conjunto aparece com letras maiu´sculas e os elementos aparecem com letras minu´sculas.
Os elementos de um conjunto aparecem entre chaves ”{}”. A esta forma de representar conjuntos
chamamos Forma tabular ou representac¸a˜o por extensa˜o
Se definirmos um conjunto particular usando uma determinada propriedade de que se revestem seus
elementos, como, por exemplo: Ao considerarmos o conjunto B como sendo o conjunto de nume´ros
impares, usamos uma letra qualquer; por questa˜o de uniformidade usaremos a letre x para representar
um elemento qualquer e o simbolo ”:”que significa - tal que, e escrevemos
B = {x : x = 2k − 1, k ∈ N}
e leˆ-se:
B e´ um conjunto de nu´meros x tal que esses nu´meros x′s sa˜o impares. A esta meneira de construir
ou representar um conjunto chama-se representac¸a˜o por compreensa˜o
1.1.2 Simbologia
Os simbolos mais usados na teoria de conjuntos esta˜o representados a seguir
1) ∈ pertence a ∈ B
2) /∈ na˜o pertence m /∈ B
3) = igual A = B
4) 6= diferente A 6= B
5) ⊂ contido A ⊂ B
6) 6⊂ na˜o contido A 6⊂ B
7) ⊃ conte´m A ⊃ B
8) 6⊃ na˜o conte´m A 6⊃ B
9) {} vazio
10) ] cardinal ]{1, 4} = 2
dr. betuel de jesus varela canhanga 5
1.1.3 Relacc¸o˜es de Pertenc¸a
• Quando um elemento a na˜o faz parte de um determinado conjunto A , diz se que a na˜o pertence
A. E escreve se a 6∈ A
• Quando um elemento a faz parte de um determinado conjunto A , diz se que a pertence a A.
E escreve se a ∈ A
Exemplo 1.4. Seja A = {a, b, c, d, e, f} , Dizemos que A e´ um conjunto e a, b, c, d, e, f sa˜o elementos
do conjunto A . Poderemos ter seguintes afirmac¸o˜es
♣ a ∈ A
♣ e ∈ A
♣ m 6∈ A
♣ p 6∈ A
1.1.4 Formas de definic¸a˜o de um conjunto
Diremos que um conjunto esta´ bem definido, quando claramente identificam-se os seus elementos.
Existem 3 formas de definic¸a˜o de um conjunto
X Extensa˜o
X Compreensa˜o
X Diagrama deVenn
Definic¸a˜o 1.2. Um conjunto diz-se definido ou representado por extensa˜o quando ”extendemos”,
listamos todos seus elementos
Exemplo 1.5. O conjunto A esta´ representado por extensa˜o
A = {1, 3, 5, 7, 9}.
Definic¸a˜o 1.3. Um conjunto diz-se definido ou representado por compreensa˜o quando ”compreen-
demos”com base em uma regra quais sa˜o os constituintes do mesmo
Exemplo 1.6. Vejamos seguintes exemplos. O conjunto A esta´ representado por extensa˜o
A = {x : x = 2k − 1; k ∈ N e x < 10}.
1.1.5 Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos
Definic¸a˜o 1.4. Um conjunto diz-se Finito se poder-se identificar o nu´mero de elementos que dele
fazem parte. Em outras palavras, se tiver Cardinal.
Exemplo 1.7. Vejamos seguintes exemplos.
1) O Conjunto formado por capitais provinciais de Moc¸ambique
6 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
2) O Conjunto formado pelos estudantes desta turma
3) O Conjunto de nu´meros naturais menores que 1000000
Definic¸a˜o 1.5. Um conjunto diz-se Infinito se na˜o se poder identificar o nu´mero de elementos que
dele fazem parte. Em outras palavras, se na˜o tiver Cardinal.
Exemplo 1.8. Vejamos seguintes exemplos.
1) O Conjunto formado por nu´meros entre 1 e 3.
2) O Conjunto de nu´meros naturais maiores que 1000000
1.1.6 Igualdade de Conjuntos
Definic¸a˜o 1.6. O conjunto A diz se igual ao conjunto B se eles tiverem mesmos elementos, isto e´,
todos elementos de B pertencem a A - e todos elementos de A pertencem a B.
Exemplo 1.9. Vejamos seguintes exemplos.
• A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 1, 4} sa˜o conjuntos iguais
• O conjunto formado por pessoas de sexo femenino e´ igual ao conjunto formado por mulheres.
”Retirem equivocos, esquec¸am guys, lesbicas e maricas...So´ para relaxar...”
• Seja A = {x : x2 + 4x+ 4 = 0}, B = x : x+ 2 = 0, e C = {−2} sa˜o conjuntos iguais.
1.1.7 Conjunto Nulo ou Conjunto Vazio
Definic¸a˜o 1.7. Diz se que um conjunto e´ nulo ou vazio e denota-se {} ao conjunto que na˜o conte´m
elementos. Em outras palavras, o seu cardinal e´ igual a zero
Exemplo 1.10. Vejamos seguintes exemplos.
• O conjunto formado por todas pessoas com mais de 700 anos de vida na terra
• O conjunto formado pelas soluc¸o˜es da equac¸a˜o x2 + 1 = 0
1.1.8 Conjunto Universo ou Universal
Definic¸a˜o 1.8. Em qualquer aplicac¸a˜o da teoria de conjuntos, todos os conjuntos estudados estara˜o
no momento de estudo particularizados de um outro conjunto mais amplo e expresso, por exemplo,
quando falamos de nu´meros naturais, vemos que eles fazem parte de um outro conjunto, que e´ o
conjunto de nu´meros. Quando falamos de estudantes desta sala, vemos que eles fazem parte do
conjunto de estudantes desta escola, portanto ha´ sempre uma tendeˆncia de particularizar um pequeno
dr. betuel de jesus varela canhanga 7
conjunto de um outro conjunto mais amplo com o intuito de concentrar atenc¸o˜es sobre a mate´ria
em estudo. Diz se que um conjunto e´ Universo ou Universal e denota-se U , se ele conte´m todos
subconjuntos de um determinado caso em estudo.
Exemplo 1.11. Vejamos seguintes exemplos
• Em Geometria plana o conjunto Universal e´ o conjunto de todos os pontos do espac¸o.
• O Conjunto Universal do conjunto de estudantes desta turma e´ o conjunto de todos estudantes
desta escola.
1.1.9 Subconjuntos
Definic¸a˜o 1.9. O nome vai mais longe, sub-conjunto, um conjunto pequeno. O termo pequeno
na lingua portuguesa e´ relactivo,”pequeno em relacc¸a˜o a alguma coisa.”Diz se que o conjunto A e´
subconjunto do conjunto B , se todos elementos de A pertencem, isto e´, tambe´m sa˜o elementos de
B.
Exemplo 1.12. Veja seguintes exemplos
• Seja A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , o conjunto A e´ subconjunto do conjunto B.
Em outras palavras A ⊂ B
• O conjunto de capitais provinciais do Sul de Moc¸ambique e´ um subconjunto de capitais provin-
ciais de Moc¸ambique.
• Conhecemos os conjuntos
– N- Conjunto de nu´meros naturais
– Z- Conjunto de nu´meros inteiros
– Q- Conjunto de nu´meros racionais
– R- Conjunto de nu´meros reais
Enta˜o poderemos ver que o conjunto de nu´meros naturais e´ subconjunto de Z e dai segue se a
seguinte cadeia
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Costuma a dizer que o conjunto A e´ superconjunto de B . Esta afrimac¸a˜o equivale a dizer que o
conjunto B e´ subconjunto de A e isto e´ lo´gico, se B e´ subconjunto de A , enta˜o A e´ superconjunto
de B . A ser assim temos para a firmac¸a˜o
A ⊂ B
os seguintes comenta´rios:
8 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
1) O conjunto A e´ subconjunto de B
2) O conjunto A esta´ contido em B
3) O conjunto B e´ superconjunto de A
4) O conjunto B e´ conte´m A
Para a afirmac¸a˜o
A 6⊂ B
poderemos fazer seguintes comenta´rios
1) O conjunto A na˜o e´ subconjunto de B
2) O conjunto A na˜o esta´ contido em B
3) Existe em A pelo menos um elemento que na˜o faz parte de B
4) O conjunto B na˜o conte´m A
Observac¸a˜o 1.2. Atenc¸a˜o:
♠ Sem limitac¸a˜o da sua esseˆncia e para todos efeitos, o conjunto vazio - ”{}” e´ subconjunto de
qualquer conjunto
♠ Se o conjunto A = B enta˜o A ⊂ B e B ⊂ A
1.1.10 Conjunto de conjunto
Algumas vezes os elementos de um determinado conjunto, sa˜o tambe´m conjuntos, exemplo, o conjunto
formado por todos subconjuntos de um determinado conjunto e´ um conjunto de conjuntos ou ainda
famı´lia de conjuntos
Exemplo 1.13. Vejamos seguintes exemplos
1) O conjunto A = {{a, b}, {c}, {a, e}} e´ um conjunto de conjuntos.
1.1.11 Operac¸o˜es Sobre Conjuntos
1) Reunia˜o - Chama-se reunia˜o de dois conjuntos ou mais a operac¸a˜o que une elementos de dois
ou de mais conjuntos.
Exemplo 1.14. Sejam dados os seguintes conjuntos
A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 2, 7, 8}
A reunia˜o ∪ de A e B e´ um outro conjunto que poderemos designa-lo por C e teremos
C = A ∪B = {1, 2, 4, 5, 7, 8}
2) Intersecc¸a˜o - Chama-se Intersecc¸a˜o de dois conjuntos ou mais a operac¸a˜o que intersecta ele-
mentos de dois ou de mais conjuntos.
dr. betuel de jesus varela canhanga 9
Exemplo 1.15. Sejam dados os seguintes conjuntos
A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 2, 7, 8}
A intersecc¸a˜o ” ∩ ” de A e B e´ um outro conjunto que poderemos designa-lo por C e teremos
C = A ∩B = {1, 2}
Veja que participam na intersecc¸a˜o os elementos que em simultaˆneo pertencem a ambos os
conjuntos.
3) Diferenc¸a - Chama-se Diferenc¸a de dois conjuntos ou mais a operac¸a˜o que diferencia dois ou
mais conjuntos.
Exemplo 1.16. Sejam dados os seguintes conjuntos
A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 2, 7, 8}
A Diferenc¸a ” \ ” de A e B e´ um outro conjunto que poderemos designa-lo por C e teremos
C = A \B = {4, 5}
Veja que participam na diferenc¸a de A e B os elementos que fazem parte de A e que na˜o fazem
parte de B
4) Diferenc¸a Sime´trica
Exemplo 1.17. Sejam dados os seguintes conjuntos
A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 2, 7, 8}
A Diferenc¸a ” \ ” de A e B e´ um outro conjunto que poderemos designa-lo por C e teremos
C = A \B = {4, 5}
Veja que participam na diferenc¸a de A e B os elementos que fazem parte de A e que na˜o fazem
parte de B.
A Diferenc¸a ” \ ” de B e A e´ um outro conjunto que poderemos designa-lo por D e teremos
D = B \A = {7, 8}
A diferenc¸a sime´trica e´ o conjunto
E = C ∪D = {4, 5, 7, 8}
Denota-se
E = A4B
10 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
1.2 Exercicios De Aplicac¸a˜o
1) Seja dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} quais das seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras?
(a) 1 ∈ A
(b) 1,2,3 pertencem a A
(c) {1, 2, 3} ∈ A
(d) 1 ⊂ A
(e) 1 ∈ A
2) Sejam dados os conjuntos A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 7, 8} quais das seguintes afirmac¸o˜es sa˜o
verdadeiras?
(a) 1 ⊂ A
(b) 1, 2, 3 pertencem a A e a B
(c) A ∈ B
(d) {A} ⊂ B
(e) A ⊂ B
(f) B ⊃ A
3) Considere os conjuntosA e B do exerc´ıcio anterior e determine:
(a) A ∪B
(b) A ∩B
(c) seja C={1,2,3,4,5,6,7,8}. determine A \B
(d) determine A \B \ C
(e) determine A \ (B \ C)
(f) determine (A \B) \ C
4) determine A ∩B ∪ C
5) determine (A ∩B) ∪ C
6) determine A ∪ (B ∩ C)
7) Em uma turma, 20 estudantes estudam matema´tica, 30 estudantes estudanm f´ısica. 10 estudam
matema´tica e f´ısica. Responda as seguintes questo˜es:
(a) Quantos sa˜o os estudantes que frequentam somente matema´tica
(b) Quantos sa˜o os estudantes que frequentam somente f´ısica
(c) Quantos sa˜o os estudantes que frequentam matema´tica ou f´ısica
(d) quantos estudantes tem a turma
8) Em um grupo musical ha pessoas de rac¸a negra e individuos de rac¸a branca. Depois de feitas as
contas verificamos que ha´ 15 brancos puros e 5 mistic¸os (brancos negros), o grupo e´ composto
por 40 musiqueiros. Responda as questo˜es que se seguem
(a) fac¸a o diagrama de Venn que ilustre esta descric¸a˜o
(b) quantos sa˜o os negros puros
(c) quantos sa˜o os negros ou brancos.
dr. betuel de jesus varela canhanga 11
9) Em uma avaliac¸a˜o considera-se posetiva as notas maiores que 10 e menores ou igual a 20,
considera-se negativa as notas menores que 10, na˜o se considera negativa nem posetiva a nota
10. Em estatisticas, um docente apresentou a seguinte descric¸a˜o: 30 estudantes tem posetivas e
40 tem negativas, a turma e´ composta por 80 estudante.
(a) fac¸a o diagrama de venn que ilustra a descric¸a˜o
(b) quantos estudantes tiveram nota igual a 10
10) numa loja de vestuarios 400 pec¸as tem a cor amarela, 200 tem a cor azul e 100 tem a cor branca.
Na loja ha´ 1000 pec¸as, 20 pec¸as tem cor branca e azul, 30 amarela e branca.
(a) Fac¸a o diagrama de Venn que ilustre a descric¸a˜o acima
(b) Quantas pec¸as tem cores amarela, azul e branca
(c) Quantas pec¸as tem a cor azul e amarela.
(d) Quantas pec¸as na˜o tem cores amarela, azul e branca
(e) Quantas pec¸as na˜o tem cores amarela, azul ou branca
11) Durante o capeonato escolar passado o centro internato de Mocuba acolheu va´rias equipas de
diferentes modalidades desportivas (Voleibol, Andebol e Futebol). Da recepc¸a˜o sabe se que:
No total participaram 175 estudantes, 80 desportistas jogaram Andebol, 70 futebol, 5 jogaram
voleibol, andebol e futebol, 10 jogaram voleibol e andebol. Sabe se tambe´m que 50 jogadores
jogaram somente andebol e 40 jogaram somente futebol. Responda as questo˜es que se seguem
(a) Quantos sa˜o os desportistas que jogaram futebol e andebol.
(b) Quantos sa˜o os desportistas que jogaram futebol e voleibol.
(c) Quantos sa˜o os desportistas que jogaram somente voleibol.
(d) Quantos sa˜o os desportistas que jogaram somente uma modalidade.
(e) Quantos sa˜o os desportistas que jogaram duas modalidades.
Ensinar e´ lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceˆ
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Cap´ıtulo 2
Aritme´tica
2.1 Razo˜es e Proporc¸o˜es
De certeza o estudante ja´ em algum momento ouviu falar de Raza˜o, uma expressa˜o que como tantas
pertencentes a lingua portuguesa podem ter diferentes sentidos. Falar em Matema´tica de raza˜o entre
dois nu´meros a e b e´ falar do quociente
a
b
, b 6= 0
ou ainda, e´ o mesmo que falar da divisa˜o de a por b , isto e´:
a÷ b, b 6= 0.
Exemplo 2.1. Numa sala de aulas esta˜o presentes 20 rapazes e 25 raparigas. Determine a raza˜o entre
o nu´mero de rapazes e raparigas.
A raza˜o entre o nu´mero de rapazes e o nu´mero de raparigas e´
no rapazes
no raparigas
=
20
25
=
4
5
ou
4÷ 5,
isto e´ 4 rapazes para 5 raparigas!!!
Definic¸a˜o 2.1. Quando falamos de raza˜o entre dois nu´meros a e b , isto e´
a
b
, ao dividendo a −
chamamos antecedente e ao divisor b − chamamos consequente
Definic¸a˜o 2.2. Os desenhistas, cartografistas, marinheiros e outros afim, utilizam o conceito raza˜o
para relaccionar distaˆncias reais e distaˆncias mapeadas, para se distinguirem introduzem no lugar de
raza˜o o conceito de escala e define-se:
escala =
medida do desenho
medida real
Exemplo 2.2. No Mapa de Moc¸ambique a distaˆncia entre Lichinga - Quelimane e´ de 50cm , sabendo
que o mapa foi desenhado com uma escala de
1
5000
. Determine a distaˆncia real em km de Quelimane
a` Lichinga.
12
dr. betuel de jesus varela canhanga 13
Exemplo 2.3. Qual e´ a raza˜o entre as a´reas de duas circunfereˆncias se a raza˜o entre seus raios for
igual a
1
2
Resoluc¸a˜o.
cos
sen
−1 1
1
−1
Figura 2.1:
cos
sen
−2 2
2
−2
Figura 2.2:
As duas Circunfereˆncias acima sa˜o somente um exemplo de varias circunfereˆncias que tem a relacc¸a˜o
de seus raios 1:2.
Iremos designar r1, S1 raio e superf´ıcie respectivamente da primeira c´ırcunfereˆncia e r2, S2 raio e
superf´ıcie respectivamente da segunda c´ırcunfereˆncia, pelo problema colocado temos:
r1
r2
=
1
2
.
Como neste exerc´ıcio devemos determinar a raza˜o de proporc¸a˜o entre as a´reas das duas c´ırcunfereˆncia,
14 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
teremos:
S1
S2
=
pi × r21
pi × r22
=
(
r1
r2
)2
=
(
1
2
)2
=
1
4
2.1.1 Percentagens
Comec¸emos por apresentar a definic¸a˜o de percentagem.
Definic¸a˜o 2.3. Chama-se Percentagem a raza˜o com consequente 100.
Exemplo 2.4. Vejamos os exemplos seguintes:
X 30
100
= 30%
X 4
3
= 1, 333 =
133, 3
100
= 133, 3%
2.1.2 Exercicios de Aplicac¸a˜o
1) Numa sala esta˜o presentes 20 rapazes e 25 raparigas. Determine:
(a) a percentagem de rapazes.
(b) a percentagem de raparigas.
2) Um comerciante compra um par de sapatos por 100 do´lares e os vende por 3 milho˜es de meticais,
a taxa de caˆmbio de 1usd : 25000MTn determine:
(a) O valor de venda em usd.
(b) O valor de compra em MTn.
(c) o lucro em usd
(d) a percentagem do lucro
3) Um funciona´rio recebia 1500usd, em Janeiro o seu sala´rio sofreu um aumento em 10% e em
Junho um outro aumento de 20% Determine
(a) O sala´rio recebido pelo funciona´rio em Fevereiro.
(b) O sala´rio recebido pelo funciona´rio em Julho.
(c) A subida percentual total. De Janeiro a` Julho.
4) O prec¸o de um producto aumenta 10% mensalmente. Ao fim de 12 aumentos qual sera´ o prec¸o
sabendo que inicialmente era 5usd?
5) Se em Janeiro de 2007 for a emprestar um montante p de um banco, quanto devolvera´ em Janeiro
de 2008 se a taxa de inflacc¸a˜o anual for de 30%
6) Nas festas de um determinado fim de ano o prec¸o do ac¸ucar branco subiu em 20% e depois subiu
novamente em 30%, mais tarde, em Janeiro sofreu uma reduc¸a˜o em 15%, em quanto porcento
variou o prec¸o?
7) Se um producto custa x MTn e sofre um aumento de 10% e mais tarde um outro aumento de
10%. Em quanto porcento variou o prec¸o do producto?
(a) 20%
(b) 15%
(c) 21%
dr. betuel de jesus varela canhanga 15
(d) Nenhuma delas
1) Seja P = {0, 2, 4, 6, 8, ...}. Mostre que P pode ser definido da seguinte maneira: P =
{x|x = 2n, n ∈ N}.
2) De uma definic¸a˜o do mesmo tipo para I = {1, 3, 5, 7, ...}.
3) Simplifique as seguntes expresso˜es:
(a) 9!5!
(b) n!(n−2)!
(c) n!(n+1)! − (n−1)!n!
4) Determine
(a) C42 , C
8
5 , C
n+2
n+1
(b) A42, A
8
5, A
n+2
n+1
5) Com os d´ıgitos 0,1,2,3,4 quantos nume´ros podem ser compostos por 5 algarismos, se na˜o for
permitida a repetic¸a˜o de d´ıgitos. (veja que 11234 na˜o e´ permitido porque houve repetic¸a˜o do
d´ıgito 1).
6) Quantas bandeiras de faixas horizontais podem ser construidas apartir de cores Amarela, Azul
e Verde.
7) Quantas bandeiras de uma faixa vertical e 3 faixas horizontais podem ser construidas apartir de
cores Amarela, Azul, Verde e Vermelha.
8) Quantas bandeiras de uma faixa vertical (Verde ou Vermelha) e 3 faixas horizontais podem ser
construidas apartir de cores Amarela, Azul, Verde e Vermelha.
9) Quantas turmas de 20 estudantesdo I ano podem ser construidas se tiverem sido inscritos 30
estudantes do I ano.
10) Pretende-se criar uma comissa˜o de 3 trabalhadores de um determinado departamento, sabendo
que que nesse departamento e´ composto por 5 funciona´rios, quantos grupos diferentes podem
ser compostos.
11) 70 pessoas estiveram presentes em um culto, cumprimentaram-se para cumprir um dos autos do
culto. Quantos foram os apertos de ma˜o.
12) 3 litros de leite sa˜o divididos em latas de 15 do litro. Quantas latas sa˜o necessarias?
13) Quantas latas de 13 do litro sa˜o necessarias para dividir 15 litros de cerveja?
14) Resolva as seguintes equac¸o˜es:
(a) 23x =
14
15
(b) x
√
2 = −√18
(c) 23x− 13 = −53x+ 43
(d) x+5x−5 − x−5x+5 = 25x2−25
15) Resolva as inequac¸o˜es seguintes:
(a) 2x+ 8 > 0
(b) 2x− 12 ≤ x−12
16 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
(c) 3(x+1)2 ≥ 5x−24
16) Qual e´ a razao entre as a´reas de dois circulos, se a razao entre os seus raios for de 14?
17) Determine a razao entre os volumes de dois cubos, sabendo que a razao das arestas e´ de 12 .
18) Num mapa de Mocambique, a distancia de Maputo a Beira e´ de 40cm. Sabendo que a escala e´
de 1 : 3000000, determine a distancia real.
19) A distancia de Quelimane a Beira e´ de 960km . Sendo a escala dum mapa de 1 : 2000000, qua
sera´ a sua distancia no mapa?
20) Um aluno consegue 36 pontos dum total de 60 num teste. Que percentagem obteve o aluno?
21) O preco de venda dum produto subiu 20 por cento numa primeira subida de precos e 40 por
cento na segunda subida. Qual foi a subida total em percentagem?
Ensinar e´ lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceˆ
Com a simplicidade construimos o nosso orgulho
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Cap´ıtulo 3
Poteˆnciac¸a˜o e Radiciac¸a˜o
3.1 Poteˆnciac¸a˜o
Definic¸a˜o 3.1. Pode acontecer que numa multiplicac¸a˜o sucessiva os factores sejam iguais, isto e´:
• 2× 2
• 3× 3× 3
• 4× 4× 4× 4× 4
Estes casos podem ser escritos de maneira mais simplificada, e teremos o seguinte:
• 2× 2 = 22
• 5× 5× 5 = 53
• 4× 4× 4× 4× 4 = 45
Ao falarmos de quadrado de dois, cubo de cinco e quinto de quatro, estamos a usar um
novo conceito Poteˆncia
Poteˆncia - e´ uma multiplicac¸a˜o de factores iguais.
• 4× 4× 4× 4× 4 = 45 o simbolo 45 e´ uma poteˆncia,
• o 4 e´ o factor que se repete e chama-se Base da Poteˆncia
• 5, que e´ o nu´mero de vezes em que se repete a base, chamaremos de Expoente.
Observac¸a˜o 3.1. Repare que ao escrevermos 41, estamos sim a denotar uma poteˆncia, no entanto,
pela definic¸a˜o, estaremos a supor existir uma multiplicac¸a˜o com um so´ factor, o que na˜o e´ verdade.
A ser assim, convencionou-se que 41 = 4 e isto generaliza-se a` todos nu´meros que tenham expoente
igual a 1
a1 = a,∀a ∈ R.
Tambe´m convencionou se que
a0 = 1, ∀a ∈ R \ {0}.
17
18 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
3.2 Operac¸o˜es com Poteˆncias
As propriedades de multiplicac¸a˜o sucessiva de factores iguais, justificam as seguintes regras:
3.2.1 Multiplicac¸a˜o de Poteˆncias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes
Ao multiplicarmos poteˆncias com bases iguais e expoentes diferentes, mantemos a base e somamos os
expoentes.
Exemplo 3.1.
42 × 45 = 42+5 = 47, 52 × 5 12 = 52+ 12 = 5 52
3.2.2 Divisa˜o de Poteˆncias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes
Ao dividirmos poteˆncias com bases iguais e expoentes diferentes, mantemos a base e subtraimos os
expoentes.
Exemplo 3.2.
42 × 45 = 42−5 = 4−3, 52 × 5 12 = 52− 12 = 5 32
3.2.3 Multiplicac¸a˜o de Poteˆncias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes
Ao multiplicarmos poteˆncias com expoentes iguais e bases diferentes, mantemos o expoente e multi-
plicamos as bases.
Exemplo 3.3.
24 × 34 = (2× 3)4 = 64, 53 × 23 = (5× 2)3 = 103 = 1000
3.2.4 Divisa˜o de Poteˆncias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes
Ao dividirmos poteˆncias com expoentes iguais e bases diferentes, mantemos o expoente e dividimos
as bases.
Exemplo 3.4.
24 ÷ 34 = (2÷ 3)4 =
(
2
3
)4
, 53 ÷ 23 = (5÷ 2)3 = (2, 5)3
3.2.5 Poteˆncia de Poteˆncia
Nas linhas anteriores, procuramos transmitir ao estudante a noc¸a˜o de poteˆncia, vamos agora recursi-
vamente desenvolver casos de sobreposic¸a˜o de poteˆncias, exemplo(
23
)4
ao desenvolvermos expresso˜es com poteˆncia de poteˆncia faremos o seguinte(
23
)4 = 23 × 23 × 23 × 23 = 23+3+3+3 = 212
de outra maneira poderemos manter a base e multiplicar os expoentes, isto e´:(
23
)4 = 23×4 = 212 = 4096
dr. betuel de jesus varela canhanga 19
Observac¸a˜o 3.2. Importante:
? Uma poteˆncia so´ e´ negativa se tiver base negativa e expoente impar.
? Uma poteˆncia de expoente par, e´ sempre posetiva independentimente do sinal da base.
? Sempre que o zero for base de uma poteˆncia, ela sera´ igual a zero.
? Sempre que o zero for expoente de uma poteˆncia de base diferente de zero, ela sera´ igual a 1.
3.3 Radiciac¸a˜o
Vamos, sem limitac¸a˜o da sua esseˆncia, prestar atenc¸a˜o aRaiz Quadrada - Raiz de indice 2:
√
a , que e´
o mesmo que escrever a
1
2 . Desta propriedade adve´m que
√
4 = 4
1
2 =
(
22
) 1
2 usando a superpoteˆnciac¸a˜o
teremos 22×
1
2 = 2, com mesma analogia teremos
√
36 = 6 porque 62 = 36,
√
100 = 10 porque 102 = 100
3.3.1 Raiz de I´mdice n
Consideremos o seguinte problema: O volume de um cubo e´ igual a 27cm3. Qual e´ a medida das
arestas do cubo?
Resoluc¸a˜o: Para resolvar este problema, recordaremos primeiro a fo´rmula para o ca´lculo do
volume de um cubo. Sabemos que:
Vcubo = (aresta)3
enta˜o, poderemos refazer a pergunta de nodo seguinte: Qual e´ o nu´mero que elevado ao cubo seja
igual a 27. Isto e´ x3 = 27 para calcular o valor recorremos ao seguinte
x3 = 27 = x3 = 33 ⇒ x = 3.
E dizemos, cubo de 3 e´ 27, enta˜o, a aresta do cubo em questa˜o mede 3cm.
Definic¸a˜o 3.2. Chama-se raiz de ı´ndice n de um nu´mero real b ao nu´mero real a , tal que
an = b
onde n e´ o ı´ndice do radical, b e´ o radicando.
• caso o n seja impar o b pode ser qualquer valor real
• caso o n seja par o b deve ser qualquer valor real posetivo ou zero.
Ja que podemos olhar para um radical como uma poteˆncia de expoente fracciona´rio, enta˜o, as
propriedades e regras sobre multiplicac¸a˜o e divisa˜o de poteˆncias podem aqui ser utilizadas com uma
e u´nica prerogativa de que para o caso de raizes, os expoentes sa˜o fracc¸o˜es.
3.3.2 Multiplicac¸a˜o e Divisa˜o de Radicais
Ao multiplicarmos (dividirmos) radicais com mesmo ı´ndice obtemos um outro radical com ı´ndice
igual ao ı´ndice dos radicandos factores (quocientes) e com radicamdo igual ao producto (raza˜o) dos
radicandos factores (quocientes).
n
√
a× n
√
b = n
√
a× b, n√a÷ n
√
b = n
√
a÷ b
20 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Exemplo 3.5. Veja os exemplos que se seguem:
1) 3
√
2× 3√24 = 3√2× 24 = 3√48
2) 3
√
2× 3√24 = 3√2× 24 = 3√48
3.3.3 Simplificac¸a˜o de Radicais (Reduc¸a˜o ao mesmo ı´ndice)
Vimos a multiplicac¸a˜o e divisa˜o de radicais com mesmo ı´ndice. Existem casos em que se nos e´ imposta
a necessidade de multiplicar e/ou dividir raizes com ı´ndices diferentes. Situac¸o˜es desta natureza levam
nos a` necessidade de simplificac¸a˜o ou transformac¸a˜o de radicais.
Observac¸a˜o 3.3. Se multiplicarmos ou dividirmos o ı´ndice de um radical e o expoente do radicando
pelo mesmo valor natural na˜o nulo, o valor do radical na˜o se altera, isto e´
n
√
am = a
m
n =
n×k√
am×k = a
m×k
n×k
Exemplo 3.6. 3
√
27 = 3
√
33 = 3×2
√
33×2 = 6
√
36
Esta propriedade ajuda-nos a resolver o caso de reduc¸a˜o de radicais ao mesmo ı´ndice. Tornando
por esta via poss´ıvel a multiplicac¸a˜o de radicais com ı´ndices diferentes.
3
√
5 e
√
7
Achando o m.m.c de (2 e 3) que sa˜o os coeficientesdos dois radicais, obteremos 6, enta˜o:
3
√
5 = 3×2
√
52 = 6
√
25
√
7 = 2
√
7 = 2×3
√
73 = 6
√
73 dai 3
√
5×
√
7 = 6
√
25× 6
√
73 = 6
√
25× 73
3.3.4 Comparac¸a˜o de Radicais
• Com o mesmo I´ndice - Dois radicais com mesmo ı´ndice e radicandos diferentes, e´ maior o que
tiver maior radicando. Assim:
3
√
5 < 3
√
15 porque 5 < 15
Observe que os dois radicais tem mesmo ı´ndice, o 3, a ser assim, basta comparar os radicandos.
• Com ı´ndices diferentes - Na˜o e´ poss´ıvel comparar dois radicais que tenham ı´ndices diferentes;
sempre que tivermos um caso de dois radicais que apresentem ı´ndices desiguais, devemos primeiro
reduzi-los ao mesmo ı´ndice e depois procedemos como no caso anterior.
Exemplo 3.7. Compare os radicais 3
√
5 e
√
7. Vamos primeiro reduzir os dois radicais a outros
radicais equivalentes, com ı´ndices iguais. Vamos achar o m.m.c entre os ı´ndices, ”2 e 3”, teremos
que este m.m.c e´ o 6. Enta˜o:
√
7 = 2
√
7 = 2×3
√
73 = 6
√
343 e 3
√
5 = 3×2
√
52 = 6
√
25
Estes radicais podem ser comparados. Comparando os radicandos chegamos a conclusa˜o de que
25 < 343 e consequentimente 3
√
5 <
√
7
dr. betuel de jesus varela canhanga 21
Passagem de factores para fora ou para dentro de um radical.
Sabemos que: n
√
an = a
n
n = a1 = a, enta˜o teremos:
n
√
an × b = n√an × n
√
b = a× n
√
b
Exemplo 3.8. Vejamos os seguintes exemplos:
1)
√
52 × 3 =
√
52 ×√3 = 5×√3
2) 3
√
54 = 3
√
33 × 2 = 3
√
33 × 3√2 = 3× 3√2
3.3.5 Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o de Radicais
Vamos comec¸ar por definir radicais semelhantes
Definic¸a˜o 3.3. Chama-se Radicais Semelhantes aqueles que diferem somente no coeficiente.
Exemplo 3.9.
3
√
5, 3 3
√
5 7 3
√
625
Veja que os seguintes radicais a primeira na˜o parecem semelhantes. Mas se efectuarmos sobre eles
algumas transformac¸o˜es obteremos radicais semelhantes.
3
√
5, 3 3
√
5 7 3
√
625 = 7 3
√
54 = 7 3
√
53 × 5 = 7× 5 3
√
5 = 35 3
√
5
teremos
3
√
5, 3 3
√
5 35 3
√
5
A adic¸a˜o e subttrac¸a˜o de radicais semelhantes efectua-se aplicando a propriedade distributiva da
multiplicac¸a˜o em relacc¸a˜o a` adic¸a˜o. Assim:
7
√
5 + 5
√
5 = (7 + 5)
√
5 2 5
√
8− 11 5
√
8 = (2− 11) 5
√
8 = −9 5
√
8
Para os casos da soma e diferenc¸a, a reduc¸a˜o na˜o joga papel preponderante visto que para estas
operac¸o˜es muito mais do que reduzir ao mesmo ı´ndice, necessitamos de reduzir os radicais a` semel-
hantes, condic¸a˜o que na˜o e´ satisfeita pelas regras de simplificac¸a˜o-reduc¸a˜o de radicais.
3.3.6 Poteˆncia de uma raiz e Raiz de uma Poteˆncia
Vejamos agora o significado de(
n
√
a
)p = n√a× n√a · · · n√a p− vezes, ( n√a)p = n√a× a× a · · · a = n√ap
Exemplo 3.10. Veja o seguinte exemplo(
3
√
5
)2
= 3
√
52 = 3
√
25
Consideremos a seguinte situac¸a˜o:
n
√(
p
√
a
)
=
(
p
√
a
) 1
n =
(
a
1
p
) 1
n = a
1
n×p = n×p
√
a
22 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
3.3.7 Exercicios de Aplicac¸a˜o
1) Para que valores de x , tem sentido as seguintes expresso˜es:
(a) 2n
√
x
(b) 2n+1
√
x
2) Simplifique os seguintes radicais:
(a) 5
√
32a3b2
(b)
√
9x4y8
(c)
√
27ab4
12a5
(d) 4
√
0, 04a4(a− b)8
3) Efectue
3
√
686× 3√5
3
√
10
.
4) Simplifique:
(a) 3
√
2 + 2
√
2− 5√2
(b)
√
8 +
√
18−√50 +√72
(c) 5
√
a5b2 + 5
√
32b7 − 3a 5
√
b2
5) Racionalize os denominadores das seguintes fracco˜es:
(a)
4√
14
(b)
3 +
√
2
3
√
2
(c)
12√
7 +
√
3
(d)
4
√
2 + 5√
2 +
√
3
6) Racionalize os denominadores das seguintes fracco˜es:
(a)
4
3
√
14
(b)
3 +
√
2
3 4
√
2
(c)
12
3
√
7 +
√
3
(d)
4
√
2 + 5√
2− 3√3
7) Efectue
2
√
3 + 3
√
2√
3−√2 +
4
√
3− 2√2√
3 + 2
√
2
.
8) Escreva sob a forma de uma unica potencia:
(a) 27 × 25
(b) 23x × 2−2x
(c) 4x+1 × 4x−1
dr. betuel de jesus varela canhanga 23
9) Escreva sob a forma dum produto de potencias de mesma base:
(a) 2x+3
(b) 32−x
10) Transforme numa so potencia:
(a) an ÷ an−1 (a 6= 0)
(b) pix ÷ pix+2
(c) x
x−1 (x 6= 0)
11) Simplifique a expressa˜o
93x × 6x+4
2x+3 × 37x−1 .
Ensinar e´ lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceˆ.
Com a simplicidade construimos o nosso orgulho
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Cap´ıtulo 4
Algebra
4.1 Expresso˜es Algebricas
Cometa´rio 4.1. qualquer exeperieˆncia no sentido pedago´gico e´ uma procura de verdade no tempo,
com a certeza do seu cara´cter transito´rio.
Na matema´tica a questa˜o que hoje merece simpatia envolve uma resposta aos processos de moderni-
zac¸a˜o da propria cieˆncia, procurando na escola atitudes de pensamento adequadas, o pensamento
matema´tico.
Em A´lgebra da matema´tica estudaremos va´rios temas que se revestem de enorme importaˆncia
para o domı´nio desta disciplina. Existem escritos de matema´ticos que descrevem este tema como uma
construc¸a˜o engenherica para estudantes de matema´tica, na˜o se pode pensar em grandes matema´ticos
desprovidos da a´lgebra matema´tica.
Um verdadeiro matema´tico na˜o e´ um tecnocrata de nume´ros, mas sim um malabarista de conceitos.
Quase sempre nos deparamos com operac¸o˜es e problemas de matema´tica que exigem o conhecimento
profundo de expresso˜es alge´bricas, expresso˜es polino´miais, factorizac¸a˜o e etc... estes assuntos sera˜o
com detalhe tratados neste tema.
4.1.1 Expresso˜es nume´ricas e valor nume´rico de uma expressa˜o
Na lingua portuguesa, chamamos de expressa˜o o acto ou efeito de exprimir algo, Vamos levar esta
visa˜o ao n´ıvel da matema´tica e iremos olhar para uma expressa˜o como a conjugac¸a˜o de s´ımbolos e
co´digos de matema´tica de modo a transmitir uma mensagem ou um pensamento.
Exemplo 4.1. Vejamos a seguir alguns exemplos de expresso˜es algebricas
1) x− y
2) x+ y
3) x2 + y2
24
dr. betuel de jesus varela canhanga 25
4) x3 + x2 − 3x+ 2
Pode se ver dos exemplos dados que as expresso˜es na˜o possuem nenhum verbo afirmativo ou
comparativo. elas na˜o possuem sinais comparativos e(ou) igualdade. Isto e´, na˜o sa˜o afirmac¸o˜es, alias,
mesmo do portugueˆs, as expresso˜es na˜o carregam com elas os verbos, elas na˜o podem ser caracterizadas
em verdadeiras ou falsas.
Exemplo 4.2. Vejamos as seguintes questo˜es:
1) Escola bonita - e´ uma expressa˜o
2) Escola e´ bonita - e´ uma afirmac¸a˜o que pode ser verdadeira ou falsa.
Analogamente
x− y
e´ uma expressa˜o e
x− y = 0
e´ uma afirmac¸a˜o matema´tica que, em func¸a˜o de valores que x e y for a tomar, pode ser verdadeira
ou falsa.
Estamos sempre a fazer comparac¸o˜es com expresso˜es vindas da lingua portuguesa e isto o fazemos
porque temos convicc¸a˜o de que sobre a lingua portuguesa todos temos domı´nio. Na˜o se pode conce-
ber que um falante da lingua portuguesa formule a seguinte expressa˜o: Escola Bonitas!!!!!.... Esta
expressa˜o na˜o tem sentido em portugueˆs, em outras palavras, pode se dizer que esta expressa˜o esta´
errada. Da mesma maneira na˜o se pode permitir que um matematico escreva
x = −x+−y
E porque em matema´tica na˜o existem meios termos, simplesmente se diz que a expressa˜o esta´
ERRADA!... As expresso˜es da matema´tica que tenham varia´veis tambe´m sa˜o chamadas Expresso˜es
Literais.
4.1.2 Domı´nio de Expresso˜es
O domı´nio de uma expressa˜o alge´brica com uma varia´vel (x por exemplo), e´ o conjunto de valores de
x pelos quais e´ poss´ıvel calcular o valor da expressa˜o. Em outras palavras, e´ o conjunto de valores
que x possa tomar de modo a que a expressa˜o tenha sentido.
Exemplo 4.3. Consideremos a expressa˜o
x+ 1
x− 1 ,
esta expressa˜o tem domı´nio
x ∈ R\{1},
porque se o x for iguala 1 teremos no denominador x − 1 = 1 − 1 = 0, e teremos uma contradic¸a˜o
ao postulado segundo o qual: ”Na˜o existe divisa˜o por zero!!!...”
Em geral ao determinar dominios de existeˆncia de uma expressa˜o seguem se as seguintes linhagens
mestras:
• Radicandos de um radical com indice par na˜o deve ser negativo, isto e´, devem ser
maiores ou iguais a zero
26 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Exemplo 4.4. Determine os Domı´nios das Seguintes Expresso˜es
1)
√
x− 1 o domı´nio sera: x− 1 > 0⇒ x > 1.
2)
√
x+ 3 o domı´nio sera: x+ 3 > 0⇒ x > −3.
3) 5
√
x+ 3 o domı´nio sera: x ∈ R. Veja que o ı´ndice do radical e´ ı´mpar.
• Denominador de uma fracc¸a˜o na˜o pode ser igual a zero
Exemplo 4.5. Determine os Domı´nios das Seguintes Expresso˜es
1)
x+ 1
x− 1 o domı´nio sera´: x− 1 6= 0⇒ x 6= 1.
2)
x+ 3
x+ 2
o domı´nio sera´: x+ 2 6= 0⇒ x 6= −2.
• As func¸o˜es logaritmicas definem-se em R+ , isto e´, os argumentos de func¸o˜es logar´ıtmicas
devem sempre ser maiores do que zero.
Exemplo 4.6. Determine os Domı´nios das Seguintes Expresso˜es
1) log2(x− 2) o domı´nio sera: x− 2 > 0⇒ x > 2.
2) log10(sinx) o domı´nio sera: sinx > 0. resolve-se a inequac¸a˜o.
• Denominadores que conte´m raizes de ı´ndice par devem ser maiores do que zero.
Exemplo 4.7. Determine os Domı´nios das Seguintes Expresso˜es
1)
x− 1√
x+ 1
o domı´nio sera: x− 1 > 0⇒ x > 1.
2)
x2 + 3
3
√
x+ 1
o domı´nio sera: x+ 1 6= 0⇒ x 6= −1. Veja que o ı´ndice do radical e´ ı´mpar.
4.1.3 Valores Nume´ricos de Uma Expressa˜o Literal
As expresso˜es geralmente sa˜o compostas por sinais operacionais, por nume´ros e por simbolos litera´rios
(Letras) ”Dai, Expresso˜es Literais”. E elas podem assumir um determinado valor depois de efectu-
adas algumas operac¸o˜es. Este valor tem o nome de valor nume´rico de expresso˜es literais. Por exemplo,
se elas possuem varia´veis, ao substituirmos as varia´veis por respectivos valores nume´ricos, obteremos
atrave´s de operac¸o˜es um nume´ro que correspondera´ ao valor nume´rico da expressa˜o no seu todo.
Exemplo 4.8. Determine o valor nume´rico das seguintes expresso˜es:
1) x2 − y2, quando x = 1 e y = 2, teremos:
x2 − y2 = (1)2 − (2)2 = 1− 4 = −3.
Assim −3 e´ o valor nume´rico da expressa˜o dada com as condic¸o˜es dadas.
dr. betuel de jesus varela canhanga 27
2) x2 − y2, quando x = 2 e y = 1, teremos:
x2 − y2 = (2)2 − (1)2 = 4− 1 = 3.
Assim 3 e´ o valor nume´rico da expressa˜o dada com as condic¸o˜es dadas.
3) x2 − y2, quando x = a e y = b , teremos:
x2 − y2 = (a)2 − (b)2.
Assim a2 − b2 e´ o valor nume´rico da expressa˜o dada com as condic¸o˜es dadas.
4) x+ y3, quando x = −1 e y = −3, teremos:
−1 + (−3)3 = −1 + (−27) = −1− 27 = −28.
Assim −28 e´ o valor nume´rico da expressa˜o dada com as condic¸o˜es dadas.
4.1.4 Polino´mios
Definic¸a˜o 4.1. Chama-se mono´mio a expressa˜o constituida por nu´meros relactivos ou por um pro-
ducto de nu´meros relactivos eventualmente representados por letras.
Exemplo 4.9. Vejamos seguintes exemplos
1) 3 e´ um mono´mio
2) 2x e´ um mono´mio
3) 3x2 e´ um mono´mio
4) 7x2y3 e´ um mono´mio
5)
xy2
7
e´ um mono´mio
Definic¸a˜o 4.2. Num mono´mio a parte composta por nume´ros (constantes) chama-se coeficiente.
Definic¸a˜o 4.3. A parte composta por letras chama-se parte literal.
Definic¸a˜o 4.4. Chama-se grau de um mono´mio a soma dos expoentes associados as varia´veis. Vamos
considerar sem limitac¸a˜o da sua esseˆncia, mono´mios de varia´vel x.
Exemplo 4.10. Vejamos os seguintes exemplos.
1) No mono´mio 7x2y3 o coeficiente e´ o 7 e a parte literal e´ x2y3 , o grau deste mono´mio e´
2 + 3 = 5
2) No mono´mio ax2 o coeficiente e´ o a e a parte literal e´ x2 , o grau deste mono´mio e´ 2
3) No mono´mio abx3 o coeficiente e´ o ab e a parte literal e´ x3 , o grau deste mono´mio e´ 3
28 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
4.1.5 Mono´mios Semelhantes e Mono´mios Iguais
Definic¸a˜o 4.5. Diz se que dois mono´mios sa˜o semelhantes ou identicos, se eles tem amesma parte
literal
Exemplo 4.11. Considere seguintes exemplos
1) 4x e −7x sa˜o mono´mios identicos
2) 2x2y e
yx2
4
sa˜o mono´mios identicos.
Definic¸a˜o 4.6. Dois mono´mios sa˜o iguais se eles sa˜o identicos e possuem mesmos coeficientes.
Exemplo 4.12. Considere seguintes exemplos
1) 4x e 4x sa˜o iguais
2) 2x2y e
8yx2
4
sa˜o iguais.
4.1.6 Operac¸o˜es Sobre Mono´mios
Com os mono´mios podemos efectuar as operac¸o˜es de adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o e divisa˜o.
Os estudantes devem prestar atenc¸a˜o a explicac¸o˜es do Professor
Adic¸a˜o - Adicione seguintes mono´mios
1) 3x2 e 7x2
2) ax2 e bx2
3) 7x4 e 7x3
4) 3x2 e 7x5
5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3
Subtrac¸a˜o - Subtraia seguintes mono´mios
1) 3x2 e 7x2
2) ax2 e bx2
3) 7x4 e 7x3
4) 3x2 e 7x5
5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3
Divisa˜o - Divida seguintes mono´mios
Na divisa˜o de mono´mios seguem se as regras sobre divisa˜o de poteˆncias (com mesma base e expoente
diferentes).
1) 3x2 e 7x2
dr. betuel de jesus varela canhanga 29
2) ax2 e bx2
3) 7x4 e 7x3
4) 3x2 e 7x5
5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3
Multiplicac¸a˜o - Multiplique seguintes mono´mios
Na multiplicac¸a˜o de mono´mios seguem se as regras sobre multiplicac¸a˜o de poteˆncias (com mesma
base e expoente diferentes).
1) 3x2 e 7x2
2) ax2 e bx2
3) 7x4 e 7x3
4) 3x2 e 7x5
5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3
4.1.7 Polino´mios, Polino´mios Semelhantes e Polino´mios Iguais
Definic¸a˜o 4.7. Um Polino´mio e´ um agrupamento de mono´mios (este agrupamento e´ feito atrave´s
de operadores de adic¸a˜o ou subtrac¸a˜o)
Definic¸a˜o 4.8. Dois polino´mios sa˜o identicos se os seus mono´mios sa˜o identicos dois a dois
Exemplo 4.13. x2 − 1 e 3x2 + 3
Definic¸a˜o 4.9. Dois polino´mios sa˜o iguais se os seus mono´mios sa˜o iguais dois a dois
Exemplo 4.14. x2 − 1, x2 − 1 e −1 + x2
Com polino´mios podemos efectuar as operac¸o˜es de adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, divisa˜o e multiplicac¸a˜o. (Os
estudantes podem consultar o livro Matema´tica Jovem de Anto´nio Almeida Costa, Alfredo dos Anjos
e Anto´nio Lopes)
Os estudantes devem prestar atenc¸a˜o a explicac¸o˜es do Professor
Adicione seguintes polino´mios
1) x3 − 7x+ 9 e 2x3 +√5x+ 5
2) x2 − x 73 + 2 e 2x 73 +√5x
3) x4 − x sin 7− 3 e 2x3 +√5x+ 6
Subtraia seguintes polino´mios
1) x3 − 7x+ 9 e 2x3 +√5x+ 5
2) x2 − x 73 + 2 e 2x 73 +√5x
30 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
3) x4 − x sin 7− 3 e 2x3 +√5x+ 6
Multiplique seguintes polino´mios
1) x3 − 7x+ 9 e 2x3 +√5x
2) x2 − x 73 + 2 e 2x 73 +√5x
3) x4 − x sin 7− 3 e 2x3 + 6
Divida seguintes polino´mios
1) x3 − 7x+ 9 e 2x3 + 3
2) x2 − 3x+ 2 e 2x− 1
3) x4 − 3x3 + 2x2 − x+ 1 e 2x3 + x2 − 3x
4) −x5 + 3x2 + 4x e 2x
5) 2x2 + x− 10 e x− 2
6) 3x3 − 2x+ 5 e x− 3
4.1.8 Factorizac¸a˜o de Polino´mios
Antes de introduzirmo-nos neste tema, vamos procurar perceber que o termo factorizac¸a˜o vem de
factores, e que factores sa˜o os diferentes componentes de uma multiplicac¸a˜o. Por exemplo 2× 4 = 8,
podemos dizer que 2 e 4 sa˜o factores.
Portanto, factorizar e´ o mesmo que trasnformar uma determinada expressa˜o polinomial em uma
sucessa˜o de factores. Transformar uma expressa˜o em uma multiplicac¸a˜o.
Exemplo 4.15. Existem diferentes me´todos de factorizac¸a˜o, cada me´todo e´ adequado a determinadas
situac¸o˜es. Veja os exemplos que se seguem
1) x3 = x× x× x.
2) x3 + x2 = x2(x+ 1) (evidenciamos os factores comuns).
3) 2x3 + 2x = 2x(x2 + 1) (evidenciamos os factores comuns).
4) ax+ a2x+ a2 + a = x(a2 + a) + a2 + a = (a2 + a)(x+ 1) (evidenciamos os factores comuns).
5) 10− 3x− x2 Para factorizar este polino´mio quadra´tico teremos
10− 3x− x2 = (2− x)(5+ x)
transformamos assim o polino´mio 10− 3x− x2 em factores (2− x) e (5 + x)
dr. betuel de jesus varela canhanga 31
Observac¸a˜o 4.1. Seja dado o polinomio ax2+ bx+ c, a 6= 0 se ∆ = b2− 4ac ≥ 0 poderemos
factorizar o polinomio seguinte a formula
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2)
onde x1, x2 sa˜o calculados pelas formulas
x1 =
−b+√∆
2a
, x2 =
−b−√∆
2a
Observac¸a˜o 4.2. Em muitos casos usamos algumas igualdades (Os ditos casos nota´veis), vejamos:
Explicar aos estudantes estes casos nota´veis
• (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2,
• (x− y)2 = x2 − 2xy + y2,
• (x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3,
• (x− y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3,
• x2 − y2 = (x− y)(x+ y),
• x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2),
• x3 + y3 = (x+ y)(x2 − xy + y2),
4.1.9 Polino´mios Quadra´ticos
Existem diferentes classes de polino´mios, e estas classes sa˜o atribuidas em func¸a˜o do seu maior ex-
poente. Por exemplo, um polino´mio com maior expoente igual a 1 chama-se polino´mio de grau 1 ou
linear, um polino´mio com maior expoente igual a 2 chama-se polino´mio de grau 2 ou quadra´tico,
um polino´mio com maior expoente igual a 3 chama-se polino´mio de grau 3 ou cu´bico... assim em
diante.
Definic¸a˜o 4.10. Chama-se polino´mio quadra´tico de varia´vel x ao polino´mio dado na forma
P (x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0, b, c ∈ R.
A a, b e c chamamos coeficientes do polino´mio.
Ao igualarmos um polino´mio quadra´tico a zero transformamo-lo numa equac¸a˜o quadra´tica.
Observac¸a˜o 4.3. Importante
• um polino´mio de grau 1 tem uma soluc¸a˜o (ou 1 raiz)
• um polino´mio de grau 2 tem duas soluc¸o˜es (ou 2 raizes)
• um polino´mio de grau 3 tem treˆs soluc¸o˜es (ou 3 raizes)
• · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
32 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Os polino´mios quadra´ticos sa˜o sobejamente conhecidos, raza˜o pela qual existem
formulas para momentos importantes de estudos sobre estes tipos de polino´mios. Veja
atentamente
Definic¸a˜o 4.11. Para um polino´mio quadra´tico na forma ax2+bx+c = 0, chama-seDiscriminante,
e denota-se ∆ ao valor nume´rico dado pela expressa˜o ∆ = b2 − 4ac
Definic¸a˜o 4.12. Chama-se Zero de um polino´mio aos valores de x que fazem com que o polino´mio
seja igual a zero. Isto e´:
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
Fac¸amos seguintes transformac¸a˜os:
1) (colocar em evideˆncia o valor de a , e a seguir multiplicar e dividir a segunda parcela por 2)
ax2 + bx+ c = 0⇒ a
(
x2 +
b
a
x+
c
a
)
= 0⇒ a
(
x2 +
2b
2a
x+
c
a
)
= 0
2) passar o a , para o membro direito, somar e subtrair a equac¸a˜o o valor
(
b
2a
)2
ax2 + bx+ c = x2 +
b
a
x+
c
a
= x2 + 2
b
2a
x+
(
b
2a
)2
−
(
b
2a
)2
+
c
a
= 0
3) Identificar o caso nota´vel
ax2 + bx+ c =
(
x+
b
2a
)2
−
(
b
2a
)2
+
c
a
=
[
x−
(
− b
2a
)]2
−
(
b
2a
)2
+
4ac
4a2
= 0
4) Fazendo transformac¸o˜es na parte da constante teremos
ax2 + bx+ c =
[
x−
(
− b
2a
)]2
− b
2 − 4ac
4a2
= 0⇒
[
x−
(
− b
2a
)]2
=
b2 − 4ac
4a2
5) Resolvendo a equac¸a˜o teremos
ax2 + bx+ c = x−
(
− b
2a
)
= ±
√
b2 − 4ac
2a
⇒ x =
(
− b
2a
)
±
√
b2 − 4ac
2a
de onde teremos
x1,2 =
−b±√b2 − 4ac
2a
=
−b±√∆
2a
Definic¸a˜o 4.13. Para um polino´mio quadra´tico na forma ax2 + bx + c = 0, chama-se Vertice ao
ponto onde o gra´fico muda de monotonia. e determinam-se as coordenadas deste ponto usando as
expresso˜es
xv =
−b
2a
, yv =
−∆
4a
tambe´m, pode se achar o xv achando a me´dia aritme´tica dos zeros da func¸a˜o
dr. betuel de jesus varela canhanga 33
Observac¸a˜o 4.4. E´ importante saber que um ponto no plano e´ composto por duas coordenadas, uma
coordenada no eixo dos x e uma outra coordenada no eixo dos y , e´ analogo ao cena´rio de que um
casal e´ composto por duas entidades (masculina e femenina). Assim ao determinarmos o ve´rtice de
uma para´bola preocupamo-nos em determinar o xv e o yv , portanto o par (xv, yv)
Observac¸a˜o 4.5. Se designarmos os dois zeros de uma equac¸a˜o quadra´tica por x1 e x2 , poderemos
escrever uma equac¸a˜o quadra´tica ou um polino´mio quadra´tico de modo seguinte
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2)
Observac¸a˜o 4.6. Se designarmos os dois zeros de uma equac¸a˜o quadra´tica por x1 e x2 , poderemos
escrever uma equac¸a˜o quadra´tica ou um polino´mio quadra´tico de modo seguinte
ax2 + bx+ c = a[x2 − (x1 + x2)x+ x1 × x2]
Veja que
x1 + x2 = − b
a
e x1 × x2 = c
a
Observac¸a˜o 4.7. Nas equac¸o˜es quadra´ticas ou polino´mios quadra´ticos, podemos calcular as coorde-
nadas do ve´rtice e a seguir escrever o polino´mio de modo seguinte
ax2 + bx+ c = a(x− xv)2 + yv.
Esta formula e´ tambe´m conhecida por Fo´rmula de Viet - SP
4.1.10 Tria˜ngulo de Pascal
linha 0
1
linha 1
1 1
linha 2
1 2 1
linha 3
1 3 3 1
linha 4
1 4 6 4 1
linha 5
1 5 10 10 5 1
linha 6
1 6 15 20 15 6 1
linha 7
1 7 21 35 35 21 7 1
linha 8
1 8 28 56 70 56 28 8 1
34 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Exemplo 4.16. Veja de seguida os exemplos da aplicac¸a˜o do triaˆngulo de Pascal
Observac¸a˜o 4.8. Um bino´mio com expoente n ∈ N pode ser desenvlvido em soma de mono´mios com
grau igual a n e coeficiente tirados da linha n do triaˆngulo de Pascal.
1) Decomponha (3 + 2)1, como podemos ver temos uma poteˆncia de expoente 1, vamos enta˜o
recorrer a linha 1, teremos que somar mono´mios de grau 1 e coeficientes 1 e 1 (veja a linha 1),
teremos enta˜o:
(3 + 2)1 = 1× 3120 + 1× 3021 = 3 + 2 = 5
2) Decomponha (3 + 2)2, como podemos ver temos uma poteˆncia de expoente 2, vamos enta˜o
recorrer a linha 2, teremos que somar mono´mios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha
2), teremos enta˜o:
(3 + 2)2 = 1× 3220 + 2× 3121 + 1× 3022 = 9 + 12 + 4 = 25
3) Decomponha (a + b)2, como podemos ver temos uma poteˆncia de expoente 2, vamos enta˜o
recorrer a linha 2, teremos que somar mono´mios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha
2), teremos enta˜o:
(a+ b)2 = 1× a2b0 + 2× a1b1 + 1× a0b2 = a2 + 2ab+ b2
4) Decomponha (a + b)3, como podemos ver temos uma poteˆncia de expoente 3, vamos enta˜o
recorrer a linha 3, teremos que somar mono´mios de grau 3 e coeficientes 1, 3, 3 e 1 (veja a linha
3), teremos enta˜o:
(a+ b)3 = 1× a3b0 + 3× a2b1 + 3× a1b2 + 1× a0b3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
5) Decomponha (a + b)4, como podemos ver temos uma poteˆncia de expoente 4, vamos enta˜o
recorrer a linha 4, teremos que somar mono´mios de grau 4 e coeficientes 1, 4, 6, 4 e 1 (veja a
linha 4), teremos enta˜o:
(a+ b)4 = 1× a4b0 + 4× a3b1 + 6× a2b2 + 4× a1b3 + 1× a0b4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4
6) Decomponha (a − b)2 = [a + (−b)]2, como podemos ver temos uma poteˆncia de expoente 2,
vamos enta˜o recorrer a linha 2, teremos que somar mono´mios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1
(veja a linha 2), teremos enta˜o:
(a+ b)2 = [a+ (−b)]2 = 1× a2(−b)0 + 2× a1(−b)1 + 1× a0(−b)2 = a2 − 2ab+ b2
dr. betuel de jesus varela canhanga 35
7) Decomponha (a − b)3 = [a + (−b)]3, como podemos ver temos uma poteˆncia de expoente 3,
vamos enta˜o recorrer a linha 3, teremos que somar mono´mios de grau 3 e coeficientes 1, 3, 3 e 1
(veja a linha 3), teremos enta˜o:
(a−b)3 = [a+(−b)]3 = 1×a3(−b)0+3×a2(−b)1+3×a1(−b)2+1×a0(−b)3 = a3−3a2b+3ab2−b3
8) Decomponha (a − b)4 = [a + (−b)]2, como podemos ver temos uma poteˆncia de expoente 4,
vamos enta˜o recorrer a linha 4, teremos que somar mono´mios de grau 4 e coeficientes 1, 4, 6, 4
e 1 (veja a linha 4), teremos enta˜o:
(a−b)4 = 1×a4(−b)0+4×a3(−b)1+6×a2(−b)2+4×a1(−b)3+1×a0(−b)4 = a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4
4.1.11 Exercicios Resolvidos
1) Determine os Valores de A e B de modo que:
(a)
1
(x− 1)(x+ 1) =
A
x− 1 +
B
x+ 1
Resoluc¸a˜o
vamos somar as fracc¸o˜es que se encontrama direita, teremos:
1
(x− 1)(x+ 1) =
A(x+ 1) +B(x− 1)
(x− 1)(x+ 1) ⇒
⇒ 1 = Ax+A+Bx−B ⇒ (A+B)x+A−B = 0x+ 1
daqui resolvemos o seguinte sistema de equac¸o˜es
{
A+B = 0
A−B = 1 ⇒
{
A = −B
−B −B = 1 ⇒
{
A = −B
B = −1
2
⇒

A =
1
2
B = −1
2
.
(b)
2
(x− 1)(x+ 1)2 =
A
x− 1 +
B
x+ 1
+
C
(x+ 1)2
Resoluc¸a˜o
vamos somar as fracc¸o˜es que se encontram a direita, teremos:
2
(x− 1)(x+ 1)2 =
A(x+ 1)2 +B(x− 1)(x+ 1) + C(x− 1)
(x− 1)(x+ 1)2 ⇒
⇒ 2 = A(x2+2x+1)+B(x2− 1)+C(x− 1) = (A+B)x2+(2A+C)x+(A−B−C) = 2
daqui resolvemos o seguinte sistema de equac¸o˜es
A+B = 0
2A+ C = 0
A−B − C = 2
⇒

A = −B
2(−B) + C = 0
−B −B − C = 2
⇒

A = −B
−2B = −C
−2B − C = 2
⇒
⇒

A = −B
−2B = −C
−2C = 2
⇒

A = −B
−2B = 1
C = −1
⇒

A =
1
2
B = −1
2
C = −1
36 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
(c) Factorize o seguinte Polino´mio
P (x) = x3 − 3x2 + 2x
Resoluc¸a˜o
Vamos primeiro evidenciar o factor comum, o factor que aparece em todos os mono´mios,
teremos enta˜o:
P (x) = x3 − 3x2 + 2x = x(x2 − 3x+ 2)
vemos que estamos agora na presenc¸a de um polino´mio quadra´tico. Podemos achar as
raizes (x1 = 1; x2 = 2) e dai poderemos escrever
P (x) = x3 − 3x2 + 2x = x(x2 − 3x+ 2) = x(x− 1)(x− 2)
(d) Factorize o seguinte Polino´mio
x3 − y3,
Resoluc¸a˜o
trata-se da diferenc¸a de cubos, veja que estamos na presenc¸a de um caso nota´vel, teremos
enta˜o:
x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2)
(e) Factorize o seguinte Polino´mio
x2 − y4,
trata-se da diferenc¸a de quadrados, veja que estamos na presenc¸a de um caso nota´vel,
teremos enta˜o:
x2 − y4 = x2 − (y2)2 = (x− y2)(x+ y2)
2) Efectue as seguintes operac¸o˜es
(a)
5
2x− 10 +
x
x− 5
Resoluc¸a˜o
Vamos antes de tudo transformar a primeira fracc¸a˜o e de seguida achamos o mmc.
5
2x− 10 +
x
x− 5 =
5
2(x− 5) +
x
x− 5 =
5
2(x− 5) +
2x
2(x− 5) =
5 + 2x
2x− 10 .
(b)
x2
x+ 2
− 4x− 4
x+ 2
Resoluc¸a˜o
Como temos duas fracc¸o˜es com mesmo denominador, iremos somente efectuar a operac¸a˜o
de subtracc¸a˜o, preste atenc¸a˜o porque antes do sinal de fracc¸a˜o aparece um sinal -”que afecta
toda a fracc¸a˜o.
x2
x+ 2
− 4x− 4
x+ 2
=
x2 − 4x+ 4
x+ 2
.
3) Seja f(x) = 2x2−x Determine f(2), f(a), f(2+a), f(2−a), f(k+a), f(a)−f(2−a)
(a) f(2) = 2(2)2 − 2 = 2× 4− 2 = 8− 2 = 6
(b) f(a) = 2(a)2 − a = 2× a2 − a = a(2a− 1)
(c) f(2+a) = 2(2+a)2− (2+a) = 2× (4+4a+a2)−2−a = 8+8a+2a2−2−a = 2a2+8a+6
(d) f(2−a) = 2(2−a)2− (2−a) = 2× (4−4a+a2)−2+a = 8−8a+2a2−2+a = 2a2−7a+6
(e) f(k + a) = 2(k + a)2 − (k + a) = 2× (k2 + 2ka+ a2)− k − a = 2k2 + 4ka+ 2a2 − k − a =
2a2 + 2k2 + 4ka− k − a
(f) f(a)− f(2− a) = 2a2 − a− (2a2 − 7a+ 6) = −a+ 7a− 6 = 6a− 6
dr. betuel de jesus varela canhanga 37
4.1.12 Exerc´ıcios de Aplicac¸a˜o
1) Calcule o valor nume´rico das seguintes expresso˜es para os valores de x indicados
(a) (x− 1)(x2 + x+ 1) para x = 1, x = √2
(b)
x+ 1
x− 1 −
x3 − 5x
x2 − 1 para x = −3
2) Seja f(x) = 3(x− 2)2 + 5 calcule f(2 + α) e f(2− α)
3) Seja f(x) =
5
2− x calcule f(2 + α) e f(2− α)
4) Seja f(x) =
x+ 3
x− 2 calcule f(2 + α) e f(2− α)
5) Seja f(x) = x2−3x+2. Calcule f(−3), f(2x−3), f(2x−3)+f(2x+3), f(x+h), f(x+ h)− f(x)
h
6) Seja f(x) = 2x− 3 e g(x) = x2 + 5 calcule
(a) f(5), g(−3), g[f(2)], f [g(3)], g[f(x)]
(b) f [g(x+ 1)] + g[g(x)]
7) Determine o domı´nio de seguintes expresso˜es
(a) x2 − 1 + 1
x
(b)
x2 − 5x+ 1
x2 − 2x
(c)
√
2− x
(d)
1√
x
+
2
x+ 3
(e)
√
x+ 3
x− 4
(f)
√
x2 + 3
x− 1
(g)
5
x2 − 9 +
7√
x+ 3
(h)
√
x− 2 +√6− 2x
8) Seja P (x) = 2x3 + ax2 + bx− 5. Determine a e b de modo que P (2) = 0 e P (−1) = 0
9) Sejam dados os polino´mios
A(x) = −x3 + 3x2 − 7x+ 5, B(x) = 2x3 − 3x2 + 2x− 1, C(x) = −3x3 + 5x− 2.
Determine
(a) A+B + C
(b) 2A+ 2B − C
(c) 2A− 3B − 5C
10) Determine α e β de modo que os polinomios A(x) e B(x) sejam iguais
(a) A(x) = (α+ β)x2 − 3x B(x) = 5x2 − (α− β)x
(b) A(x) = 2αx2 + 3x− 5 B(x) = 4x2 + 3βx− 3α+ β
38 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
11) Determine m de modo que o polino´mio Q(x) = (m2 − 1)x2 + (m2 − 3m+ 2)x+ 1 +m3
(a) seja constante
(b) seja do primeiro grau
12) Factorize pondo em evideˆncia o factor comum
(a) 8a3b2 + 16a2b3 + 20a3b3
(b) 5x3 − 15x2
(c) 16x5 − 20x4 + 8x3
(d) (x+ 1)(7x− 3)− (x+ 1)(2− x)
(e) 2x(x− 1)2 − 2x2(x− 1)
13) Factorize os seguintes trino´mios
(a) x2 + 3x+ 2
(b) x2 + 7x+ 6
(c) x2 + x− 42
(d) x5 + 4x4 + 4x3
14) Factorize (Difereˆnc¸a de quadrados)
(a) 25a2 − 36
(b)
4x2
9
− 16y
2
25
(c) 18− 5x2
(d) (a+ 5)2 − (4− 3a)2
15) Escreva sob forma de quadrado perfeito
(a) 81a2 − 18a+ 1
(b) 49x2 + 28xy + 4y2
(c) (a+ 3)2 − 6(a+ 3)√5 + 45
(d)
(6− x)2
12
+
6− x
x
+
3
x2
16) Factorize usando casos nota´veis
(a) 8x3 − y
3
27
(b)
8a3
27
+
64b6
125
(c) 8x3 − (x− 3)3
(d) (2x− 5)3 + 27x3
17) Factorize agrupando em factores
(a) ax+ 2x+ 3a+ 6
(b) ax− x− 5a+ 5
(c) x2 − 3ax− 2x+ 6a
18) Factorize caso poss´ıvel
dr. betuel de jesus varela canhanga 39
(a) x4 − 16y4
(b) 5x2 + 125
(c) −9x3y + 30x2y2 − 25xy3
(d) 3x2 + 15xy + 12y2
(e) 5a2 − 10a2b2 + 5b4
(f) (a− 3)2 − (5− 2a)2
(g) (x− y)3 − (x+ y)3
19) Simplifique
(a)
4x− 8
x− 2
(b)
−6x2 − 14x
14 + 6x
(c)
x− 3
x2 − 6x+ 9
(d)
x2 − 8x+ 16
16− x2
(e)
8x− 4x2
6x− 12
(f)
4x2 − 12x+ 9
4x2 − 9
(g)
(2x− 1)(x− 1)2 − 2(x2 − x− 1)(x− 1)
(x− 1)4
20) Simplifique
(a)
2x(x− 1)− x2
(x− 1)2
(b)
(2x+ 3)x2 − 2x(x2 + 3x)
x3
(c)
(2x+ 1)(x2 − x)− (2x− 1)(x2 + x)
x2(x− 1)2
21) Efectue seguintes operac¸o˜es
(a)
x2
x+ 2
− 4x− 4
x+ 2
(b)
x
x+ 1
+
3
4
(c)
x
x− 3 −
2
x2 − 9
(d)
2x
x2 − 2x− 15 +
3
x2 − 10x+ 25
22) Determine A e B de modo que:
(a)
3x− 1
x2 + 4x− 5 =
A
x+ 5
+
B
x− 1
(b)
1
2x2 + 3x− 2 =
A
2x− 1 +
B
x+ 2
Ensinar e´ lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceˆ
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Cap´ıtulo 5
Geometria Plana
5.1 A´reas, Per´ımetros e Volumes de Figuras Geome´tricas
5.1.1 Quadrado
E´ uma figura geometrica que tem as seguintes caracteristica:
1) Quatro lados iguais;
2) Quatro aˆngulos rectos - (iguais a 90o).
3) Diagonais iguais e perpendiculares.
Chamemos d− diagonal; P− Per´ımetro, S− Superf´ıcie ou a´rea; a− o lado do quadrado. Veja a
figura
A B
CD
a
a
a
a
90o
Figura 5.1:
40
dr. betuel de jesus varela canhanga 41
Com base na figura e nas propriedades do quadrado podemos tirar as seguintes ilac¸o˜es:
• AC = BD = d,
• AB = BC = CD = AD = a.
• d2 = a2 + a2 ⇒ d2 = 2a2 ⇒ d =
√
2a2 ⇒ d = a√2;
• P = 4a, S = a2.
5.1.2 Losango
E´ uma figura geometrica que tem as seguintes caracteristica:
1) Quatro lados iguais;
2) Diagonais perpendiculares.
Chamemos d− diagonal; P− Per´ımetro, S− Superf´ıcie ou a´rea; a− o lado do losango. Veja a
figura
A B
CD
a
a
a
a
90o
K
Figura 5.2:
42 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Com base na figura e nas propriedades do losango podemos tirar as seguintes ilac¸o˜es:
• DK = h e´ perpendicular a AB - (altura).
• AC = d1, BD = d2,
• AB = BC = CD = AD = a.
• P = 4a, S = ah, S = d1 + d2
2
5.1.3 Rectaˆngulo
E´ uma figura geometrica que tem as seguintes caracteristica:
1) Lados iguais 2 a 2;
2) Quatro aˆngulos rectos - (iguais a 90o).
3) Diagonais iguais.
Chamemos d− diagonal; P− Per´ımetro, S− Superf´ıcie ou a´rea; l− o lado menor do rectaˆngulo
e c− o lado maior do rectaˆngulo. Veja a figura
A B
C
D
c
l
Figura 5.3:
dr. betuel de jesus varela canhanga 43
Com base na figura e nas propriedades do rectaˆngulopodemos tirar as seguintes ilac¸o˜es:
• AC = BD = d,
• AB = CD = c, AD = BC = l.
• d2 = c2 + l2 ⇒ d = √c2 + l2;
• P = 2c+ 2l, S = cl.
5.1.4 Paralelogramo
E´ uma figura geometrica que tem as seguintes caracteristica:
1) Lados opostos iguais;
2) Lados opostos paralelos;
3) angulos opostos iguais;
4) Diagonais intersectam-se no ponto me´dio.
Chamemos d− diagonal; P− Per´ımetro, S− Superf´ıcie ou a´rea; a− o lado menor e b− o lado maior do
paralelogramo. Veja a figura
A B
CD b
a
K
Figura 5.4:
Com base na figura e nas propriedades do paralelogramo podemos tirar as seguintes ilac¸o˜es:
• DK = h e´ perpendicular a AB - (altura).
• AC = d1, BD = d2,
• AB = CD = b BC = AD = a.
• P = 2a+ 2b, S = bh,
5.1.5 Triangulo
E´ uma figura geometrica que tem as seguintes caracteristica:
1) Treˆs lados;
2) Treˆs aˆngulos;
44 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
A Bc
C
a
b
K
Figura 5.5:
Chamemos P− Per´ımetro, S− Superf´ıcie ou a´rea; a, b, c− os lados do triangulo. Veja a figura
Com base na figura e nas propriedades do triangulo podemos tirar as seguintes ilac¸o˜es:
• CK = h e´ perpendicular a AB - (altura).
• P = a+ b+ c, S = base× altura
2
=
AB × CK
2
=
ch
2
,
5.1.6 Classificac¸a˜o dos triangulos - Quanto aos lados
1) Triangulo Equilatero
• tem treˆs lados iguais,
• CK ⊥ AB (⊥ significa perpendicular) - (altura),
• A altura divide a base em dois segmentos iguais AK = BK ,
• A altura divide o aˆngulo do topo em dois sectores iguais ^ACK = ^KCB ,
• Os seus treˆs aˆngulos sa˜o iguais e iguais a 60o.
A Ba
C
a
a
K
Figura 5.6:
dr. betuel de jesus varela canhanga 45
(a) Como AB = a e AK = BK ⇒ AK = BK = a
2
dai que no triangulo AKC teremos
a2 = h2 +
(a
2
)2
a2 −
(a
2
)2
= h2 ⇒ h2 = a2 −
(a
2
)2 ⇒ h2 = 4
4
a2 −
(a
2
)2 ⇒
h2 =
4a2 − a2
4
⇒ h =
√
4a2 − a2
4
=
√
3a2
2
⇒ h = a
2
√
3
(b) P = 3a (Per´ımetro)
(c) S =
ah
2
=
a× a
2
√
3
2
=
a2
4
√
3
2) Triangulo Isosceles
• Tem pelo menos dois (2) lados iguais.
• CK ⊥ AB (⊥ significa perpendicular) - (altura),
• A altura divide as bases em duas (2) partes iguais se esta altura for trac¸ada apartir do
ve´rtice criado pelos (2) lados iguais.
A B
C
aa
b
K
Figura 5.7:
46 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
(a) Como AB = b, AC = BC,⇒ AK = BK = b
2
dai que no triangulo AKC teremos
a2 = h2 +
(
b
2
)2
a2 −
(
b
2
)2
= h2 ⇒ h2 = a2 −
(
b
2
)2
⇒ h2 = 4
4
a2 −
(
b
2
)2
⇒
h2 =
4a2 − b2
4
⇒ h =
√
4a2 − b2
4
=
√
4a2 − b2
2
(b) P = 2a+ b (Per´ımetro)
(c) S =
ah
2
=
b×
√
4a2 − b2
2
2
=
b
√
4a2 − b2
4
3) Triangulo Escaleno
• Tem os treˆs (3) lados desiguais, isto e´,diferentes.
• CK ⊥ AB (⊥ significa perpendicular) - (altura),
A B
C
ab
c
K
Figura 5.8:
dr. betuel de jesus varela canhanga 47
(a) P = a+ b+ c (Per´ımetro)
(b) S =
ah
2
5.1.7 Classificac¸a˜o de Triangulos - Quanto aos Aˆngulos
1) Triaˆngulo Acutaˆngulo - Vide a figura (5.9)
• Tem todos (3) aˆngulos agudos (menores que 90o)
A B
C
ab
c
Figura 5.9:
2) Triaˆngulo Rectaˆngulo - veja a figura (5.10)
• Tem um aˆngulo recto [na figura vem sombreado] (igual a 90o)
• Os outros dois (2) aˆngulos sa˜o agudos (menores do que 90o).
A B
C
ab
c
Figura 5.10:
3) Triaˆngulo Obtusaˆngulo - veja a figura (5.11)
• Tem um aˆngulo obtuso (maior que 90o)[na figura vem sombreado]
• Os outros dois (2) aˆngulos sa˜o agudos (menores do que 90o).
48 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
A B
C
ab
c
K
Figura 5.11:
5.1.8 Trape´zio
E´ uma figura da geometria plana com as caracteristicas seguintes
• Tem quatro (4) lados
• Dois lados paralelos - bases
– Base Maior - dos lados paralelos - o que tiver maior comprimento.
– Base Menor - dos lados paralelos - o que tiver menor comprimento.
• Dois lados na˜o paralelos.
• Tem a altura que e´ a distaˆncia entre as bases.
1) Trape´zio Rectaˆngulo.
• Tem dois aˆngulos rectos - [na figura vem sombreados].
• A altura e´ igual a um dos lados
• CK e´ a altura.
A B
D Cbase
Base
K
Figura 5.12:
2) Trape´zio Escaleno.
• Tem todos lados desiguais.
dr. betuel de jesus varela canhanga 49
• AD 6= BC
• Dois aˆngulos agudos e dois obtusos
• CK e´ a altura.
A B
D Cb
B
K
Figura 5.13:
3) Trape´zio Equilatero.
• Tem dois (2) lados iguais.
• AD = BC.
• Dois aˆngulos agudos (iguais) e dois obtusos (iguais).
• CK e´ a altura.
A B
D Cb
B
K
Figura 5.14:
Para qualquer trape´zio temos
S =
(B + b)
2
× h.
5.1.9 Papagaio
• Dois lados consecutivos iguais
• Diagonais Perpendiculares
• dois dos quatro aˆngulos sa˜o iguais.
• P = 2a+ 2b (Perimetro)
50 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
• S = d1 × d2
2
onde d1 = AC, d2 = BD sa˜o as diagonais do papagaio.
• BC = CD e AB = AD.
A
D B
C
Figura 5.15:
5.1.10 C´ırculo e Circunfereˆncia
• P = 2pir (Per´ımetro).
• S = pir2 (Superf´ıcie).
o
A
r
Figura 5.16:
5.1.11 Sector Circular
O sector circular e´ uma determinada parte do c´ırculo, veja a parte sombreada.
• O comprimento do arco na parte sombreada calcula-se pela formula Ca = α2pir360o onde α e´ o
aˆngulo descrito ao trac¸armos o sector circular.
• P = 2r + Ca = 2r + α2pir360o , (Per´ımetro)
dr. betuel de jesus varela canhanga 51
• S = αpir
2
360o
(Superf´ıcie).
o
Ar
Figura 5.17:
5.1.12 Linhas de Nı´vel de Um Triaˆngulo
1) Altura - Um segmento perpendicular a um dos lados do triangulo, e e´ baixado do vertice oposto
a esse lado.
90o
Figura 5.18:
52 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Observac¸a˜o 5.1. Num triangulo podemos sempre encontrar treˆs (3) alturas, o ponto de in-
tersecc¸a˜o das alturas chama-se ortocentro. As treˆs linhas desenhadas no triangulo da figura
(5.19) sa˜o alturas (cada uma trac¸ada em relacc¸a˜o a uma base), o que implica que os aˆngulos
marcados na figura sejam de 90o. O ponto pintado no centro do triaˆngulo e´ o ortocentro.
Figura 5.19:
2) mediatriz - Um segmento perpendicular ao lado do triangulo, e que passa pelo ponto me´dio desse
triaˆngulo. Podemos trac¸ar 3 mediatrizes apartir de um triangulo.
Observac¸a˜o 5.2. As treˆs linhas desenhadas no triangulo da figura (5.20) sa˜o mediatrizes (cada
uma trac¸ada em relacc¸a˜o a um lado), o que implica que se verificam as seguintes igualdades
AI = CI, CJ = BJ, AK = BK.
E os aˆngulos marcados na figura sa˜o rectos. O ponto pintado no centro do triaˆngulo e´ o Cicun-
centro (nome dado ao ponto de intersecc¸a˜o das mediatrizes).
A BK
J
C
I
Figura 5.20:
3) mediana - Um segmento que passa pelo ponto me´dio do lado de um triaˆngulo e e´ trac¸ado apartir
do ve´rtice oposto a` esse lado. Podemos trac¸ar 3 medianas apartir de um triangulo.
dr. betuel de jesus varela canhanga 53
Observac¸a˜o 5.3. As treˆs linhas desenhadas no triangulo da figura (5.21) sa˜o medianas (cada
uma trac¸ada em relacc¸a˜o a um lado), o que implica que se verificam as seguintes igualdades
AI = CI, CJ = BJ, AK = BK.
O ponto pintado no centro do triaˆngulo e´ o Centro de gravidade ou Barricentro (nome
dado ao ponto de intersecc¸a˜o das medianas).
A BK
J
C
I
Figura 5.21:
4) Bissectriz - Um segmento que divide aˆngulo de um triangulo em (2) partes (sectores) iguais.
Podemos trac¸ar 3 bissectrizes apartir de um triangulo.
Observac¸a˜o 5.4. As treˆs linhas desenhadas no triangulo da figura (5.22) sa˜o bissectrizes (cada
uma trac¸ada em relacc¸a˜o a um aˆngulo), o que implica que se verificam asseguintes igualdades
^1 = ^2, ^3 = ^4, ^5 = ^6.
O ponto pintado no centro do triaˆngulo e´ o Incentro (nome dado ao ponto de intersecc¸a˜o das
bissectrizes).
A
3
4
B
5
6
C
1 2
Figura 5.22:
54 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
5) Linha me´dia - Um segmento que une os pontos me´dios de dois lados de um triaˆngulo. A linha
me´dia e´ paralela ao terceiro lado e mede a metade desse lado. Podemos trac¸ar 3 linhas me´dias
apartir de um triangulo.
Observac¸a˜o 5.5. As treˆs linhas desenhadas no triangulo da figura (5.23) sa˜o linhas me´dias
(cada uma trac¸ada em relacc¸a˜o a (2) lados do triangulo), o que implica que se verificam as
seguintes igualdades
AI = CI, CJ = BJ, AK = BK.
Cumprem-se tambe´m as seguintes afirmac¸o˜es
(a) JK ‖ AC, 2× JK = AC
(b) IJ ‖ AB, 2× IJ = AB
(c) IK ‖ BC, 2× IK = BC
A BK
J
C
I
Figura 5.23:
5.1.13 Teorema de Pitaˆgoras
Observac¸a˜o 5.6. O teorema de pitaˆgoras aplica-se sobre triangulos rectaˆngulo.
Segundo Pitaˆgoras, a superf´ıcie do quadrado desenhado apartir da hipotenusa de um triangulo
rectaˆngulo, e´ igual, a soma das superf´ıcies de quadrados desenhados apartir dos catedos do mesmo
triangulo. Na figura (5.24) temos um triangulo [o aˆngulo pintado mede 90o] rectaˆngulo com hipotenusa
a e catetos b e c, pelo teorema teremos
1) Superf´ıcie do quadrado formado pela hipotenusa Sh = a2
2) Superf´ıcie do quadrado formado pelo cateto b Sc1 = b2
3) Superf´ıcie do quadrado formado pelo cateto c Sc2 = c2
enta˜o:
a2 = b2 + c2
dr. betuel de jesus varela canhanga 55
A B
C
ab
c
Figura 5.24:
5.1.14 Aˆngulos Complementares
Sa˜o aqueles cuja soma e´ igual a 90o graus. α + β = 90o, dizemos que α e´ complementar de β,
versa-vice.
Na figura (5.25), suponhamos que o aˆngulo B seja recto, isto e´, igual a 90o, a soma de α e β e´
igual a 90o.
B
α
β
Figura 5.25:
5.1.15 Aˆngulos Internos de Um Triangulo
A soma dos aˆngulos internos de um triangulo e´ sempre igual a 180o, a ser assim, na figura (5.26),
temos
α+ β + γ = 180o
da figura (5.26), podemos tirar as seguintes deduc¸o˜es:
β + θ = 180o ⇒ β = 180o − θ
por outro lado
α+ β + γ = 180o
enta˜o:
α+ (180o − θ) + γ = 180o ⇒ α+ γ = θ
56 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
A
α
B
β θ
C
γ
Figura 5.26:
5.1.16 Aˆngulos Suplementares
Sa˜o aqueles cuja sua soma e´ igual a 180o. Dizemos que α e β sa˜o complementares se
α+ β = 180o
o
αβ
Figura 5.27:
5.1.17 Aˆngulos Internos de Um Quadrilatero
A soma dos aˆngulos internos de um quadrilatero e´ sempre igual a 360o. De acordo a figura (5.28)
teremos
α+ β + γ + θ = 360o
Para um quadrilatero regular (figuras geome´tricas sa˜o regulares se tiverem todos lados iguais)
a soma dos aˆngulos consecutivos e´ igual a 180o. Isto e´
α+ β = α+ θ = β + γ = γ + θ = 180o
5.1.18 Aˆngulos Verticalmente Opostos
Os aˆngulos opostos em relacc¸a˜o ao ve´rtice sa˜o iguais, assim sendo e de acordo a figura (5.29)
α = β γ = θ
dr. betuel de jesus varela canhanga 57
A B
CD
α β
θ γ
Figura 5.28:
α
β
γ θ
Figura 5.29:
5.1.19 Aˆngulos Alternos Internos
Os aˆngulos alternos internos sa˜o iguais, observe a figura (5.30), suponhe que r e s sa˜o rectas
paralelas, enta˜o:
α = θ γ = β
α β
γ θ
r
s
Figura 5.30:
Observac¸a˜o 5.7. Os aˆngulos alternos internos sa˜o tambe´m chamados z - aˆngulos pois, eles formam
a letra Z.
58 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
5.1.20 Aˆngulos Correspondentes
Os aˆngulos correspondentes sa˜o a junc¸a˜o dos pressupostos criados sobre aˆngulos verticalmente
opostos e z -aˆngulos , observe a figura (5.31), suponhe que r e s sa˜o rectas paralelas, enta˜o cumprem-
se as seguintes afirmac¸o˜es:
1) Por oposic¸a˜o de ve´rtices temos:
(a) α = α1
(b) β = β1
(c) γ = γ1
(d) θ = θ1
2) Por serem aˆngulos alternos internos (z -aˆngulos) temos:
(a) α = θ
(b) γ = β
3) De onde concluimos:
(a) α = α1 = θ = θ1
(b) γ = γ1 = β = β1
α β
γ θ
α1
β1
γ1θ1
r
s
Figura 5.31:
5.1.21 Teorema De Semelhanc¸as de Triangulos
Dois triangulos sa˜o semelhantes se:
1) Teˆm aˆngulos correspondentes iguais.
2) Teˆm lados correspondentes proporcionais.
Na figura (5.32), consideremos que:
α = α1, β = β1, γ = γ1
portanto os dois triangulos sa˜o ide´nticos, a ser assim cumpre-se a segunda afirmac¸a˜o: (os lados cor-
respondentes sa˜o proporcionais),
1) O lado AB e´ correspondente a` DE
dr. betuel de jesus varela canhanga 59
A
α
B
β
C
γ
D
α1
E
β1
F
γ1
Figura 5.32:
2) O lado BC e´ correspondente a` EF
3) O lado AC e´ correspondente a` DF
e
AB
DE
=
BC
EF
=
AC
DF
Ensinar e´ lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceˆ
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Cap´ıtulo 6
Relacc¸o˜es e Func¸o˜es
6.1 Relacc¸o˜es
Comec¸emos por definir alguns conceitos:
Definic¸a˜o 6.1. Sejam dados os conjuntos
A = {a1, a2, a3, · · · } e B = {b1, b2, b3, · · · },
chamaremos relacc¸a˜o a ligac¸a˜o de elementos de A com os elementos de B. Em outras palavras, chamare-
mos Relacc¸a˜o a associac¸a˜o entre elementos de dois conjuntos.
Vamos supor que os elementos do conjunto A sa˜o as provincias no Norte de Moc¸ambique e os
elementos de B sa˜o as suas respectivas capitais, teremos enta˜o:
A = {cabo delgado, niassa, nampula} B = {pemba, lichinga, nampula}
ao associarmos os nomes das provincias com as suas capitais dizemos que estamos estabelecendo
relacc¸o˜es e teremos
A −→ B = {(cabo delgado, pemba); (niassa, lichinga); (nampula, nampula)}
Definic¸a˜o 6.2. Para este caso, chamaremos ao conjunto de partida da relacc¸a˜o, conjunto A por
domı´nio ou objecto e ao conjunto de chegada, o conjunto B chamaremos contradomı´nio ou
imagem.
As relacc¸o˜es podem ser estabelecidas de 3 maneiras diferentes.
1) por extensa˜o,
2) por diagramas de venn, e
3) por compreensa˜o.
Exemplo 6.1. Consideremos o conjunto
A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 10, 15, 20},
60
dr. betuel de jesus varela canhanga 61
podemos estabelecer a seguinte relacc¸a˜o entre elementos de A com elementos de B
A −→ B = {(1, 5); (2, 10); (3, 15); (4, 20)},
esta maneira de estabelecer relacc¸o˜es na˜o se difere da usada acima. A mesma relacc¸a˜o pode ser
estabelecida usando formulas e simbolos matema´ticos de modo seguinte
{(x, y)|y = 5x, x ∈ {1, 2, 3, 4}};
neste caso o domı´nio da func¸a˜o e´ o conjunto
A = {1, 2, 3, 4}
e a regra de definic¸a˜o da relacc¸a˜o e´
y = 5x.
Com base na regra temos
x = 1 y = 5× 1 = 5 x = 2 y = 5× 2 = 10
x = 3 y = 5× 3 = 15 x = 4 y = 5× 4 = 20
assim sendo, temos
{(x, y)|y = 5x, x ∈ {1, 2, 3, 4}} = {(1, 5); (2, 10); (3, 15); (4, 20)};
Mostramos desta meneira, dois metodos diferentes de representac¸a˜o de relacc¸o˜es.
Observac¸a˜o 6.1. As func¸o˜es sa˜o relacc¸o˜es que para cada elemento do conjunto de partida existe
um e somente um elemento no conjunto de chegada.
Exemplo 6.2. Veja o seguinte exemplo.
{(1, 2); (3, 4); (5, 6); (7, 8)}
e´ uma func¸a˜o porque para cada elemento do conjunto de partida, o conjunto
{1, 3, 5, 7}
existe somente um elemento no conjunto de chegada
{2, 4, 6, 8},
de maneira ana´loga podemos dizer que e´ uma func¸a˜o porque para cada x pertencente ao par (x, y)
existe um e somente um y
Em diferentes fontes de conhecimento, em diferentes livros constam diferentes maneiras de denotar
func¸o˜es, vejamos seguintes casos
y = 7− x, f(x) = 7− x, g(x) = 7− x.
Denotamos enta˜o de 3 maneiras diferentes a mesma func¸a˜o. Assumimos nestes casos que os valores
do domı´nio sa˜o pertencentes ao conjunto de nu´meros reais. Estas func¸o˜es chama-se func¸o˜es de
varia´vel real
62 centro de preparac¸a˜ode exames de admissa˜o ao ensino superior
6.1.1 Func¸o˜es
Vamos comec¸ar por definir uma func¸a˜o
Definic¸a˜o 6.3. Um Func¸a˜o e´ uma relacc¸a˜o em que para cada elemento do domı´nio corresponde um
e somente um elemento do contradomı´nio.
Definic¸a˜o 6.4. Toda func¸a˜o do tipo
y = ax+ b
chama-se func¸a˜o linear
Estas func¸o˜es quando representadas gra´ficamnete apresentam-se como uma recta (uma linha recta),
dai o nome ¿Func¸a˜o LinearÀ
Numa func¸a˜o linear y = ax+ b o a e´ o coeficiente angular, e´ o paraˆmetro que determina o n´ıvel de
inclinac¸a˜o da recta. Dai, se duas rectas tiverem mesmo coeficiente angular, enta˜o elas sa˜o paralelas.
Se os coeficientes angulares na˜o forem iguais significa que as rectas tem um ponto comum. A recta
perpendicular a
y = ax+ b
tem a forma
y = −1
a
x+ b1,
• se b = 0 a func¸a˜o passa a ter a forma y = ax e func¸o˜es deste tipo passam pela origem do sistema
carteziano ortogonal.
• Se o valor de a for negativo, isto e´, menor que zero, diremos que a func¸a˜o e´ decrescente.
• Se o valor de a for posetivo a func¸a˜o e´ crescente.
• Se o velor de a for igual a zero, diremos a func¸a˜o e´ constante, isto e´ , na˜o e´ crescente nem
decrescente.
O coeficiente angular da recta que passe pelos pontos
P1(x1, y1) e P1(x2, y2)
e´
a =
y2 − y1
x2 − x1 , x2 6= x1
Definic¸a˜o 6.5. Diremos que uma func¸a˜o e´ crescente num intervalo se para qualquer que seja x1, x2
pertencentes ao domı´nio da func¸a˜o (ou a um intervalo) com
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
Definic¸a˜o 6.6. Diremos que uma func¸a˜o e´ decrescente num (intervalo) se para qualquer que seja
x1, x2 pertencentes ao domı´nio da func¸a˜o f , com
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
Para esboc¸ar o gra´fico de uma func¸a˜o linear basta-nos encontrar dois pontos por que passa a recta,
unindo os 2 pontos teremos a recta.
dr. betuel de jesus varela canhanga 63
Exemplo 6.3. Vejamos os esboc¸os gra´ficos de algumas func¸o˜es lineares
1) y1 = 2x+ 2
2) y2 = 2− x
3) y3 = 3
x
y
(0, 2)
(2, 0)
(0, 3)
(−1, 0) (2, 0)
y1 = 2x+ 2
y2 = −x+ 2
y3 = 3
Figura 6.1:
6.1.2 Func¸a˜o Inversa
Para invertermos uma func¸a˜o y = f(x) seguimos os passos seguintes:
1) Na sentenc¸a y = f(x) procuramos isolar o x escrevendo x = f(y)
2) Trocamos o x por y−1 e o y por x .
Exemplo 6.4. Determine a func¸a˜o inversa de y = x− 1
1) Vamos isolar o x :
y = x− 1⇒ y − x = −1⇒ −x = −1− y ⇒ x = y + 1
2) Trocamos x por y−1 e y por x teremos enta˜o
y−1 = x+ 1
Vejamos os esboc¸os gra´ficos das func¸o˜es f e a func¸a˜o f−1
64 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
x
y
x+ 1
x− 1
Figura 6.2:
6.1.3 Func¸o˜es Compostas
Consideremos os conjuntos
A = {1, 2, 3}; B = {2, 4, 6}; C = {3, 5, 7}
Componha o esquema da relacc¸a˜o
f : A→ B e g : B → C.
Observe que existe uma maneira de definir a relacc¸a˜o A → C usando as relacc¸o˜es (func¸o˜es) f e
g, suponhamos que h : A→ C sem a necessidade de passar por B , entao teremos:
h(1) = 3⇒ 3 = g[f(1)]; h(2) = 5⇒ 5 = g[f(2)]; h(3) = 7⇒ 7 = g[f(3)];
assim, de modo claro conclui-se que
h(x) = g[f(x)]
e dizemos
A h e´ uma func¸a˜o que compo˜e f em g .
Exemplo 6.5. Sejam dadas as func¸o˜es
f(x) = ax+ b, g(x) = cx+ d,
vamos determinar a a func¸a˜o fog e gof
fog = f [g(x)] = a[g(x)] + b = a(cx+ d) + b = acx+ ad+ b
gof = g[f(x)] = c[f(x)] + d = c(ax+ b) + d = acx+ cb+ d
dr. betuel de jesus varela canhanga 65
6.1.4 Sistemas de Equac¸o˜es e Inequac¸o˜es Lineares
Todas as rectas podem ser representadas apartir da expressa˜o y = ax+b onde em caso de a = 0 temos
uma recta horizontal que corta o eixo vertical em b, caso contra´rio temos uma recta obliqua e inclinada
de modo dependente do a-coeficiente angular. Muitos problemas de matema´tica, economia, gesta˜o
e a´reas afim, podem ser resolvidos usando sistemas de rectas. Veja o seguinte exemplo:
Exemplo 6.6. Em boas cozinhas, para preparar 5 unidades de sopa mistura-se uma determinada
quantidade de a´gua ao dobro de o´leo. Se se misturar quantidades iguais de a´gua e o´leo no lugar de 5,
produzem-se 7 unidades. Determine a quantidade de litros de a´gua e de o´leo.
Este tipo de problemas e muitos outros podem ser e com muita facilidade resolvidos usando os
sistemas de equac¸o˜es lineares. E´ poss´ıvel criar e/ou resolver problemas que exigem sistemas de equac¸o˜es
de diferentes graus, mas, para todos efeitos e sem limitac¸a˜o da sua vamos falar de sistemas de 2 equac¸o˜es
com 2 inco´gnitas. Resolver um sistema de 2 equac¸o˜es com duas inco´gnitas e´ o mesmo que procurar
encontrar o par (x, y) que satisfaz o sistema{
ax+ by + c = 0
dx+ ey + f = 0
.
Observac¸a˜o 6.2. Seja dado o seguinte sistema de duas equac¸o˜es com duas inco´gnitas
 ax+ by + c = 0dx+ ey + f = 0
diremos que
1) O sistema tem uma e unica soluc¸a˜o se
a
d
6= b
e
2) O sistema na˜o tem soluc¸a˜o se
a
d
=
b
e
3) O sistema tem muitas soluc¸o˜es se
a
d
=
b
e
=
c
f
Exemplo 6.7. Quantas soluc¸o˜es tem o sistema 2x− y + 5 = 0x− 5y = 7
Usando as regras dadas acima concluimos que o sistema tem uma unica soluc¸a˜o. Resolvendo-o
teremos:
{
2x− y + 5 = 0
x− 5y = 7 ⇒
{
2x− y + 5 = 0
x = 7 + 5y
⇒
{
2(7 + 5y)− y + 5 = 0
x = 7 + 5y
⇒

y = −19
9
x = 7 + 5
(
−19
9
)
= −33
9
Graficamente a soluc¸a˜o de um sistema de equac¸a˜o corresponde ao ponto de intersecc¸a˜o das duas
rectas geradas pelas func¸o˜es definidas pelas equac¸o˜es do sistema. Para o sistema acima teremos veja
a figura (6.3):
Para resolver uma inequac¸a˜o linear vamos apartir do esboc¸o do gra´fico fazer a leitura da parte que
satisfaz a condic¸a˜o da inequac¸a˜o.
66 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
x
y
2x+ 5
x−7
5
Figura 6.3:
Vejamos o seguinte exemplo
2x+ 5− y > 0
devemos fazer com que o y tenha coeficiente posetivo, para tal vamos multiplicar ambos membros da
inequac¸a˜o por -1 e teremos
−2x− 5 + y < 0,
esboc¸amos o gra´fico de
y = 2x+ 5
x
y
2x+ 5
Figura 6.4:
dr. betuel de jesus varela canhanga 67
e porque pelo exercicio o sinal (condic¸a˜o) da inequac¸a˜o e´ menor, a soluc¸a˜o e´ a parte de baixo (a
parte sombreada no esboc¸o gra´fico)
Para o caso em que temos um sistema de va˜rias equac¸o˜es lineares, devemos esboc¸a-las e escolhemos
como soluc¸a˜o a parte correspondente a intersecc¸a˜o das diferentes soluc¸o˜es.
Exemplo 6.8.
 y + x− 1 ≥ 0y − x− 2 ≥ 0
Antes de resolvermos este sistema de inequac¸o˜es, vamos transformar em sistema de equac¸o˜es,
 y + x− 1 = 0y − x− 2 = 0 ⇒
 y + x = 1y − x = 2
somando as duas equac¸o˜es (metodo de adic¸a˜o sucessiva) teremos 2y = 3, isto e´ y =
3
2
, substituindo
numa das equac¸o˜es (a primeira por exemplo) teremos
3
2
+ x− 1 = 0⇒ x = 1− 3
2
⇒ x = −1
2
.
A soluc¸a˜o do sistema de equac¸a˜o e´ o ponto
(
−1
2
,
3
2
)
que e´ o ponto de intersecc¸a˜o das duas rectas que sa˜o definidas pelas equac¸o˜es do sistema. Vamos no
mesmo S.C.O esboc¸ar as rectas
y + x− 1 = 0, e y − x− 2 = 0
68 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
−x+ 1
x
y
y − x− 2 = 0
y + x− 1 = 0
− 1
2
3
2
II
IIII
IV
Figura 6.5:
As duas rectas intersectam-se e fazem 4 regio˜es (I,II,III,IV), veja na figura (6.5). Como no sistema
de inequac¸o˜es todas as condic¸o˜es foram dadas para regio˜es maiores que as rectas dadas, a nossa soluc¸a˜o
sera a regia˜o II que e´ a regia˜o que fica acima das duas rectas.
Observac¸a˜o 6.3. Veja que se o sinal de desigualdade for > ou < as rectas aparecem em trac¸o na˜o
cheio, isto e´, (tracejado).
Existe um tipo de inequac¸o˜es que muito embora na˜o sejam lineares, sa˜o compostas por bino´mios
lineares em forma de factores e(ou) quocientes.Exemplo 6.9. Veja atentamente os exemplos que se seguem
1) Resolva a seguinte equac¸a˜o
x− 1
x+ 1
= 0,
veja que para que a fracc¸a˜o dada(qualquer fracc¸a˜o) seja igual a zero basta qu e x − 1 = 0(o
numerador seja igual a zero). enta˜o teremos
x− 1
x+ 1
= 0⇒ x− 1 = 0⇒ x = 1,
e´ importante frizar que
x+ 1 6= 0⇒ x 6= −1
portanto a soluc¸a˜o e´
S : x = 1
dr. betuel de jesus varela canhanga 69
2) Resolva a seguinte equac¸a˜o
2x− 1
x− 3 = 0,
teremos
2x− 1
x− 3 = 0⇒ 2x− 1 = 0⇒ x =
1
2
,
como
1
2
6= 3 teremos que
S : x =
1
2
3) Resolva a seguinte equac¸a˜o
(2x− 1)(x− 3) = 0,
pode ver se que basta que
S : 2x− 1 = 0 ∨ x− 3 = 0⇒ x = 1
2
∨ x = 3
4) Resolva a seguinte equac¸a˜o
(x2 − 1)(x+ 4)(x+ 2) = 0,
teremos enta˜o
S : x2 − 1 = 0 ∨ x+ 4 = 0 ∨ x+ 2 = 0⇒ x = −4 ∨ x = −2 ∨ x− 1,∨x = 1
Consideremos agora o caso em que temos inequac¸o˜es compostas por bino´mios lineares.
1) Resolva a seguinte inequac¸a˜o
x− 1
x+ 1
> 0,
iremos aqui recorrer ao me´todo de tabelas, antes vamos resolver seguintes equac¸o˜es
x− 1 = 0, x+ 1 = 0
isto e´
x = 1, x = −1
Vamos construir a seguinte tabela
x ]−∞;−1[ -1 ]-1;1[ 1 ]1;+∞[
x− 1 - -2 - 0 +
x+ 1 - 0 + + +
x− 1
x+ 1
+ @ - 0 +
Ao resolvermos a inequac¸a˜o dada, porque a condic¸a˜o diz maior do que zero, nos limitamo-nos
a procurar encontrar asregio˜es ao longo do eixo dos x onde a expressa˜o tem sinal posetivo, e
lendo a ultima linha da tabela podemos dar a seguinte soluc¸a˜o
S : x ∈]−∞;−1[∪]1,+∞[
70 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
(a) se no lugar da inequac¸a˜o dada neste exerc´ıcio tivessemos que resolver a seguinte inequac¸a˜o
x− 1
x+ 1
< 0,
tereiamos que seguir os mesmos passos mas no fim, da leitura da ultima linha da tabela
iriamos dar como soluc¸a˜o a parte que tem o sinal negativo, isto e´:
S : x ∈]− 1; 1[,
(b) e se tivessemos a inequac¸a˜o
x− 1
x+ 1
≥ 0,
tereiamos que seguir os mesmos passos mas no fim, da leitura da ultima linha da tabela
iriamos dar como soluc¸a˜o a parte que tem o sinal posetivo ou zero, isto e´:
S : x ∈]−∞;−1[∪[1,+∞[
2) Resolva a seguinte inequac¸a˜o
(x− 1)(x+ 2)
(x+ 1)(x− 3) < 0,
usando o me´todo de tabelas, teremos que antes resolver seguintes equac¸o˜es
x− 1 = 0, x+ 1 = 0, x+ 2 = 0, x− 3 = 0
isto e´
x = 1, x = −1, x = −2, x = 3
Vamos construir a seguinte tabela
x ]−∞;−2[ -2 ]-2;-1[ -1 ]-1;1[ 1 ]1;3[ 3 ]3;+∞[
x− 1 - - - - - 0 + + +
x+ 2 - 0 + + + + + + +
x+ 1 - - - 0 + + + + +
x− 3 - - - - - - - 0 +
(x− 1)(x+ 2)
(x+ 1)(x− 3) + 0 - @ + 0 - @ +
A soluc¸a˜o sera a parte negativa porque a inequac¸a˜o aparece com o sinal menor do que zero.
Assim sendo teremos:
S : x ∈]− 2;−1[∪]1; 3[
dr. betuel de jesus varela canhanga 71
6.2 Exercicios De Aplicac¸a˜o
1) Represente graficamente as func¸o˜es definidas pelas equac¸o˜es seguintes, determine o domı´nio e
contradomı´nio.
(a) y = 2x− 1
(b) y = 2− x
(c) y = x+ 2y − 1
(d) 2x− 3y + 2 = 0
(e) y = 3
(f) x = 1 (suponha que seja func¸a˜o de y )
2) Para cada uma das alineas do nu´mero anterior identifica se o ponto (1, 0) e o ponto (1, 1)
pertencem ou na˜o a recta
3) Identifique o coeficiente angular (declive) das rectas dadas
(a) 2x+ 2y − 7 = 0
(b) y = 3
(c) x− 3y + 2
3
= 0
(d) x− 2y = 1
4) Veja se as seguintes rectas sa˜o paralelas (se tem mesmo coeficiente angular)
(a) 9x− 6y + 2 = 0, 3x+ 2y + 1 = 0
(b)
2x
3
+
y
2
= 3, 2x+ 3y − 1
5) Seja f(x) = 2x− 6, D(f) =]− 1; 4], determine a Im(f)
6) Seja f(x) =
−x− 7
2
, D(f) =]− 1; 3[, determine a Im(f)
7) De uma func¸a˜o, sabemos que D(f) = [−3; 5] e Im(f) = [1; 5]
(a) Esboc¸e uma das possibilidade
(b) Suponha que as func¸o˜es sa˜o lineares. Escreva as suas fo´rmulas
8) Ache f [g(x)] e g[f(x)]
(a) f(x) = x+ 1 g(x) = x− 1
(b) f(x) = ax+ b g(x) = cx+ d
(c) Para a func¸a˜o anterior determine f [f(x)].
(d) Qual e´ a caracter´ıstica de uma func¸a˜o composta por duas func¸o˜es lineares
9) Seja f uma func¸a˜o linear, tal que f [f(x)] = x− 1, determine f(x)
10) Resolva as seguintes equac¸o˜es
(a)
x+ 3
5
− 3
10
=
x− 5
2
+
7
10
(b)
3x− 3
3x+ 5
= 9
11) Resova a equac¸a˜o (x+ 3)(4x+ 7)(3x− 1) = 0 apresente as soluc¸o˜es em:
72 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
(a) N
(b) Z
(c) Q
(d) R
12) Nas boas escadas a altura a dos degraus e a sua profundidade p esta˜o relaccionadas por 2a−64 =
p em Cm.
(a) Esboce 3 escadas diferentes para a = 10, a = 20 a = 15
(b) Umas escadas compostas de 17 degraus levam a um piso situado 2, 55m acima. Qual e´ a
profundidade dos degraus?
(c) Considera-se que a altura de um degrau na˜o pode ultrapassar 25Cm. Dispo˜e-se dum espac¸o
que permite colocar escadas tais que a soma da profundidade seja 4m. Qual sera´ a altura
ma´xima dessas escadas?
13) Resolva as inequac¸o˜es seguintes
(a) 3x− 2
3
≥ x+ 2
3
(b) −3x− 2
2
>
x+ 2
5
(c) 2 ≤ −2x+ 7
3
< 6
14) Resolva seguintes inequac¸o˜es
(a) (x+ 3)(x− 5) > 0
(b) (3x− 5)(2− 3x) ≥ 0
(c) x
(x
2
− 1
)
≥ 0
(d)
5
1− 4x < 0
(e)
2− x
x− 6 < 0
15) Indique o nu´mero de soluc¸o˜es dos seguintes sistemas de equac¸o˜es
(a)
{
x+ 4y − 2 = 0
2x− y + 3 = 0
(b)
{
3x+ 5y + 1 = 0
−21x− 35y − 7 = 0
(c)
{ −x+ 2y + 3 = 0
3x− 6y + 1 = 0
(d)
{
x+ y + 2 = 0
3x− 4y − 20 = 0
16) Resolva os seguintes sistemas
(a)
{
2x+ 3y − 6 = 0
2x+ y + 2 = 0
(b)
{
2x− 3y − 6 = 0
2x+ 3y − 6 = 0
(c)
{
2x− 10y = 0
−5x+ 25y = 0
dr. betuel de jesus varela canhanga 73
(d)
{
(x+ y)− (x− y) + 1 = 0
x+ y
2
+
x− y
3
− 7
36
= 0
17) Um cavalo e uma mula caminhavam juntos levando no lombo pesados sacos. Lamentava-se o
cavalo da sua pesada carga quando a mula lhe disse: ”de que ti queixas? Se eu levasse um dos
teus sacos, a minha carga seria o dobro da tua. Pelo contra´rio, se te desse um saco, a tua carga
seria igual a minha.”Quantos sacos levava o cavalo e quantos sacos levava a mula?
18) Resolva
(a) 2x− y + 1 > 0
(b) 3x+ 5y ≤ 0
(c) x− y − 1 > 2x+ 6y
(d) 2x− y + 1 < x− y − 1
19) Resolva
(a) 2x+ 3y − 1 < 0 e x− y > 1
(b) x− 2 ≥ 0 e x+ y − 2 ≤ 0
(c) 2x+ y − 1 < 0 e y ≤ −2x− 5
(d) x > 0, y > 0 e x+ y ≤ 5
(e) (2x− y + 1)(x− y − 1) ≥ 0
Ensinar e´ lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceˆ
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Cap´ıtulo 7
Func¸o˜es Quadra´ticas
7.1 Func¸o˜es e Equac¸o˜es Quadra´ticas, Radicais
7.1.1 Func¸o˜es Quadra´ticas
Estudaremos neste cap´ıtulo func¸o˜es que podem ser apresentadas de maneira gra´fica expressando
para´bolas ou partes de para´bolas. Vimos nas aulas passadas o conceito de relac¸a˜o e func¸a˜o, estu-
damos tambe´m uma determinada e espec´ıfica famı´lia de func¸o˜es, as func¸o˜es lineares - aquelas que
admitem expoente ma´ximo associado a varia´vel igual a 1. As func¸o˜es lineares apresentam-se na forma
y = ax+ b,
e sobre elas, construimos o gra´fico e fizemos va´rios estudos (rever aulas passadas).
Ao estudarmos func¸o˜es quadra´ticas iremos de certeza re-utilizar as bases que adquirimos do es-
tudo de func¸o˜es e func¸o˜es lineares, um exemplo disso aplica-se sobre o conceito Domı´nio e(ou) Con-
tradomı´nio, Zeros, Sinal, Monotonia de func¸a˜o. Iremos aqui, usar estes conceitos virando nossas
atenc¸o˜es para as func¸o˜es que admitem expoente ma´ximo de x igual a 2 - func¸o˜es quadra´ticas. As
func¸o˜es quadra´ticas sa˜o func¸o˜es do tipo
y = ax2 + bx+ c, a 6= 0,
e podem ser representadas de maneiras diferentes.
1) Vejamos o caso mais simples de funco˜es quadra´ticas, o caso em que elas tem a forma
f(x) = ax2
Veja figura (7.1)
(a) y = x2
(b) y = 2x2
(c) y = 3x2
Observac¸a˜o 7.1. No esboc¸o gra´ficos de func¸o˜es quadra´ticas a amplitude (abertura da para´bola)
varia de modo inverso com o valor dea , isto e´, quanto maior for o valor de a , menor sera a
abertura da parabola.
74
dr. betuel de jesus varela canhanga 75
x
y
y = x2 y = 2x2
y = 3x2
Figura 7.1:
Se o a for negativo a parabola e´ virada para baixo (concavidade virada para baixo)
Veja figura (7.2)
(a) y = −x2
(b) y = −2x2
(c) y = −3x2
x
y
−x2
−3x2
−2x2
Figura 7.2:
2) Vejamos o caso em que as func¸o˜es tem deslocamento ao longo do eixo horizontal.
y = a(x− p)2 onde o x ∈ R, a 6= 0 e p, q ∈ R.
Podemos ter va´rios exemplos de func¸o˜es quadra´ticas com esta representac¸a˜o
Veja a figura (7.3)
(a) y = x2
76 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
(b) y = (x+ 3)2
(c) y = (x− 1)2
x
y
y = (x+ 3)2 y = x2 y = (x− 1)2
Figura 7.3:
Observac¸a˜o 7.2. Os gra´ficos de y = ax2, y1 = a(x − p)2 sa˜o semelhantes e obtem-se y1 a
partir da transladac¸a˜o de y = ax2 em p unidades para a esquerda se p > 0 ou p unidades para
a direita se p < 0.
Definic¸a˜o 7.1. Chama-se ve´rtice de uma func¸a˜o quada´tica ao ponto (xv, yv) onde ela muda
de comportamento, isto e´, deixa de crescer e passa a decrescer ou versa e vice.
Exemplo 7.1. Para as func¸o˜es dadas nos exemplos anteriores vejamos os seus respectivos
ve´rtices (coordenadas do ve´rtice).
(a) Para a func¸a˜o y = x2 o ve´rtice e´ o ponto V (0, 0)
(b) Para a func¸a˜o y = (x+ 3)2 o ve´rtice e´ o ponto V (−3, 0)
(c) Para a func¸a˜o y = (x− 1)2 o ve´rtice e´ o ponto V (1, 0).
Consideremos a func¸a˜o y = −3(x − 1)2, vamos antes fazer o esboc¸o gra´fico, (Figura
7.4)
Observac¸a˜o 7.3. As func¸o˜es y = (x − 1)2, y = −3(x − 1)2 e y = 3(x − 1)2 tem ve´rtices no
ponto (1, 0) o que nos leva a concluir que o valor de a na˜o influencia na determinac¸a˜o do ve´rtice
da func¸a˜o.
Pode concluir-se que o ve´rtice da func¸a˜o y = a(x− p)2 e´ o ponto V (p, 0) e o eixo de simetria e´
o eixo x = p.
Exemplo 7.2. Determine, sem construir o gra´fico, o ve´rtice e o eixo de simetria da func¸a˜o
(a) y = 2(x−√2)2
(b) y = − 26 (x− c)2
dr. betuel de jesus varela canhanga 77
x
y
Figura 7.4: y = −3(x− 1)2
(c) y = x2 + x+ 14 (passe primeiro para a forma y = a(x− p)2.
3) Observemos agora o caso em que
y = a(x− p)2 + q, x ∈ R, a 6= 0, q 6= 0, ∀p
Este caso e´ semelhante ao caso (2) em que tinhamos
y = a(x− p)2.
Para obtermos o gra´fico deste tipo de func¸o˜es, fazemos a transladac¸a˜o que fizemos no caso
y = a(x − p)2 e acrescentamos mais uma transladac¸a˜o de q unidades para cima se q > 0 e
para baixo se q < 0. Note-se que ao transladarmos um determinado gra´fico, devemos transladar
todos os pontos que fazem parte dele.
Desenhar com o aux´ılio dos estudantes, explicando detalhadamente os passos para a construc¸a˜o
de y = 12(x− 5)2 + 2
Eis os passos:
(a) Construir o gra´fico da func¸a˜o y1 = x2;
(b) construir o gra´fico da func¸ao y2 = 12x
2;
(c) construir o gra´fico da func¸a˜o y3 = 12(x− 5)2; e, finalmente,
(d) construir o gra´fico da func¸a˜o y4 = 12(x − 5)2 + 2. transladando-o duas (2) unidades para
cima.
Observac¸a˜o 7.4. O gra´fico da func¸a˜o y = a(x− p)2 + q pode se obter do gra´fico y1 = ax2 por
meio de uma transladac¸a˜o horizontal de p unidades e uma transladac¸a˜o vertical de q unidades.
Observac¸a˜o 7.5. Para func¸o˜es dadas na forma y = a(x− p)2 + q , o eixo de simetia e´ x = p e
o ve´rtice localiza-se no ponto V (p, q).
7.1.2 Estudo Completo de uma Func¸a˜o
O estudo completo de uma func¸a˜o consiste numa se´rie de investigac¸o˜es que sa˜o feitas para a descoberta
de caracter´ısticas que, de maneira inequ´ıvoca, identificam uma func¸a˜o. Este estudo (para func¸o˜es
quadra´ticas) e´ composto por 9 (nove) passos importantes a saber:
78 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
x
y
II : 1
2
x2
I : x2
III : 1
2
(x− 5)2
IV : 1
2
(x− 5)2 + 2
Figura 7.5:
1) O sinal de a
2) O domı´nio da func¸a˜o,
3) o contradomı´nio da func¸a˜o,
4) as coordenadas do ve´rtice,
5) os zeros da func¸a˜o,
6) a variac¸a˜o da func¸a˜o ( ou monotonia da func¸a˜o),
7) a variac¸a˜o do sinal da func¸a˜o,
8) a equac¸a˜o do eixo de simetria e
9) a construc¸a˜o gra´fica.
Com os estudantes, na sala, fazer o estudo completo das func¸o˜es y = x2 − 2x e y = −x2 + 2x+ 3
7.1.3 Equac¸o˜es Quadra´ticas
No cap´ıtulo anterior falamos de equac¸o˜es lineares, e definimos equac¸a˜o como uma igualdade que conteˆm
uma determinada inco´gnita. Ao resolvermos uma equac¸a˜o procuramos achar os valores da inco´gnita
que satisfaz a igualdade. Chamaremos enta˜o de equac¸a˜o quadra´tica a equac¸a˜o que tiver na inco´gnita
o expoente 2. A forma geram da equac¸a˜o quadra´tica e´ a seguinte:
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0.
Existem 3 tipos de equac¸o˜es qudra´ticas e nas suas resoluc¸o˜es diferem um tipo do outro no ponto
de vista de eficieˆncia, isto e´, podemos resolveˆ-las da mesma maneira, mas e´ racional para cada caso
cumprir certos algor´ıtmos que facilitam a resoluc¸a˜o. Vejamos:
1) No caso em que os valores de b e c sa˜o iguais a zero, teremos
ax2 = 0, a 6= 0
e da´ı resulta que x = 0, neste caso e´ muito simples encontrar a soluc¸a˜o, veja que achar a soluc¸a˜o
de uma equac¸a˜o ax2 = 0 reduz se a determinar ao longo do eixo dos x o conjunto de pontos
interceptados pela paraˆbola y = ax2 , veja nas figuras (7.1) e (7.2) os gra´ficos de y = ax2 .
dr. betuel de jesus varela canhanga 79
2) No caso em que c = 0, b 6= 0 , teremos
ax2 + bx = 0
. Colocando o x em evideˆncia, vem x(ax + b) = 0 onde x = 0 ou ax + b = 0 o que nos
leva a`s soluc¸o˜es x = 0 ou x = − ba . Vamos aqui fazer o esboc¸o do gra´fico de func¸o˜es dadas na
forma y = ax2+bx para podermos observar gra´ficamente as soluc¸o˜es. Consideremos as equac¸o˜es
x2 + 3x = 0 x2 − 5x = 0. Ao determinarmos as soluc¸o˜es gra´ficas destas equac¸o˜es vamos fazer
os esboc¸os gra´ficos de func¸o˜es
y = x2 + 3x e y = x2 − 5x
x
y
x2 + 3x
x2 − 5x
Figura 7.6:
Resolvendo a equac¸a˜oteremos x2 + 3x = 0 ⇒ x(x + 3) = 0 dai que teremos x = 0 ou x + 3 =
0⇒ x = −3. Para a equac¸a˜o x2− 5x = 0 teremos x(x− 5) = 0⇒ x = 0 ou x− 5 = 0⇒ x = 5,
estes resultados podem ser observados apartir da leitura gra´fica.
3) No caso em que os valores de a, b e c sa˜o diferentes de zero, teremos
ax2 + bx+ c = 0,
os estudantes podera˜o resolver esta equac¸a˜o usando a fo´rmula resolvente que foi vista aquando
do estudo da factorizac¸a˜o de polino´mios quadra´ticos. So´ para recordar:
x1,2 =
−b±√∆
2a
e ∆ = b2 − 4ac.
Com o aux´ılio desta fo´rmula, os estudantes podera˜o tambe´m encontrar as coordenadas do ve´rtice
do gra´fico que descreve a func¸a˜o y = ax2 + bx+ c :
xv = − b2a e yv = −
∆
4a
80 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
7.1.4 Exerc´ıcio
Determine para as seguintes func¸o˜es os zeros, os ve´rtices e o eixo de simetria da func¸a˜o.
1) y = ax2 + bx+ c, a 6= 0,
2) y = x2 − 10x+ 25,
3) −x2 + 8x = −5 + y,
4) x2 − 7x+ 11 = 1− y,
5) y = 2x2 + 7x+ 5,
6) y + 3x+ (x+ 1)2 + x2 = 2(x2 − 1) + x(x+ 3).
Observac¸a˜o 7.6. Seja dada uma equac¸a˜o quadra´tica, se a+ b+ c = 0 esta equac¸a˜o tem ra´ızes iguais
a x1 = 1 e x2 = ca .
Observac¸a˜o 7.7. Sejam x1 e x2 , ra´ızes de uma equac¸a˜o quadra´tica, enta˜o x1+x2 = − ba ; x1×x2 = ca
e x2 − (x1 + x2)x+ x1 × x2 = 0
7.1.5 Equac¸o˜es Parame´tricas
Nma func¸a˜o quadra´tica de acordo ao valor assumido pelo ∆ = b2− 4ac podemos saber se tem ou na˜o
raizes e caso as tenha podemos saber se estas raizes sa˜o duplas ou na˜o
1) ∆ < 0 a func¸a˜o na˜o tem raizes em R
2) ∆ = 0 a func¸a˜o tem raizes duplas isto e´ x1 = x2
3) ∆ > 0 a func¸a˜o tem raizes diferentes isto e´ x1 6= x2
Usando estes 3 pressupostos podemos resolver as equac¸o˜es parame´tricas
Exemplo 7.3. Seja dada a func¸a˜o y = x2 − 6x+ k
1) Determine k de modo que a func¸a˜o y na˜o tenha raizes2) Determine k de modo a que a func¸a˜o tenha raizes duplas
3) Determine k de modo que a func¸a˜o tenha raizes reais e diferentes
4) Determine k de modo que a func¸a˜o passe pelo ponto (1, 2)
7.1.6 Func¸a˜o e Equac¸a˜o Radical
Func¸o˜es radicais sa˜o func¸o˜es que possuem a varia´vel dentro do radical (e sem limitac¸a˜o da sua esseˆncia,
vamos supor que tenham formas lineares como radicandos) e tem a forma
y =
√
ax+ b. ax+ b ≥ 0
A condic¸a˜o ax + b ≥ 0 adve´m do domı´nio de radicais com ı´ndice par (recordar o cap´ıtulo sobre
radiciac¸a˜o).
dr. betuel de jesus varela canhanga 81
Exemplo 7.4. Considere a func¸a˜o
1) f(x) =
√
2x− 1 Determine o domı´nio da func¸a˜o.
2) g(x) =
√
ax− 3 Determine o domı´nio da func¸a˜o.
Observac¸a˜o 7.8. Como esboc¸ar o gra´fico de uma func¸a˜o radical?
• Atente a figura (7.7), nela esta˜o constru´ıdos os quatro gra´ficos que podem ser usados como
auxiliadores no esboc¸o gra´fico de func¸o˜es radicais.
1) y =
√
x ,
2) y =
√−x ,
3) y = −√x , e
4) y = −√−x
x
y
y =
√
x
y = −√xy = −√−x
y =
√−x
Figura 7.7:
• Ver atentamente os teores sobre equac¸o˜es e inequac¸o˜es irracionais. Explicar aos estudantes.
7.1.7 Composic¸a˜o de func¸o˜es por func¸o˜es Radical
1) Sejam dadas as func¸o˜es
f(x) =
√
ax+ b, g(x) =
√
cx+ d
Determinemos as func¸o˜es fog e gof.
fog = f [g(x)] =
√
a
√
cx+ d+ b
82 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
e
gof = g[f(x)] =
√
c
√
ax+ b+ d
2) Sejam dadas as func¸o˜es
f(x) =
√
ax+ b, g(x) = cx+ d
Determinemos as func¸o˜es fog e gof.
fog = f [g(x)] =
√
a(cx+ d) + b
e
gof = g[f(x)] = c
√
ax+ b+ d
7.1.8 Equac¸o˜es e Inequao˜es Radicais
Existem va´rios tipos de equac¸o˜es quadra´ticas
1) Equac¸o˜es do tipo
√
A = B resolve-se impondo que
A = B2, e B ≥ 0
Exemplo 7.5. Para resolvermos a equac¸a˜o
√
x2 − 1 = −x+ 2 fazemos
x2 − 1 = (−x+ 2)2 ⇒ x2 − 1 = x2 − 4x+ 4⇒ 4x− 5 = 0⇒ x = 5
4
,
Pelo domı´nio de expresso˜es radicais de ı´ndice par temos que
x2 − 1 ≥ 0⇒ x ∈]−∞,−1] ∪ [1,+∞[,
e porque
5
4
faz parte do domı´nio da expressa˜o dizemos enta˜o que S : x =
5
4
.
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
y
−3 −2 −1 1 2 3 x
Figura 7.8:
Vejamos a soluc¸a˜o da mesma equac¸a˜o dada na forma gra´fica
dr. betuel de jesus varela canhanga 83
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
y
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 x
x =
5
4
Figura 7.9:
2) Para o caso em que a equac¸a˜o e´ dada na forma
√
A =
√
B
teremos:
A = B, A ≥ 0, B ≥ 0
Exemplo 7.6. Consideremos a equac¸a˜o
√−x+ 4 = √x− 1
seguindo as regras acima teremos:
−x+ 4 ≥ 0⇒ −x ≥ −4⇒ x ≤ 4
analogamente
x− 1 ≥ 0⇒ x ≥ 1
o que nos leva a afirmar que caso exista soluc¸a˜o desta equac¸a˜o, ela localiza-se entre 1 e 4, isto e´,
no conjunto intersecc¸a˜o dos domı´nios das expresso˜es radicais dadas. Resolvendo
−x+ 4 = x− 1⇒ −2x = −5⇒ x = 5
2
,
como 2.5 esta´ entre 1 e 4 temos: S : x =
5
2
Graficamente teremos:
84 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
2
y
1 2.5 4 x
√
x− 1√−x+ 4
Figura 7.10:
Para resolver inequac¸o˜es e a semelhanc¸a do que aconteceu com as inequac¸o˜es quadra´ticas, us-
aremos o meto´do gra´fico. Suponhamos que queremos resolver a inequac¸a˜o
√−x+ 4 > √x− 1
, esboc¸amos o gra´fico de
y1 =
√−x+ 4 e y2 =
√
x− 1,
e a soluc¸a˜o sera o intervalo onde o gra´fico de y1 se localiza acima do gra´fico de y2 E a soluc¸a˜o
sera
x ∈]−∞, 5
2
[.
Veja que os parenteses sa˜o abertos porque a inequac¸a˜o aparece com o sinal > e na˜o ≥ .
dr. betuel de jesus varela canhanga 85
2
y
1 2.5 4 x
√
x− 1√−x+ 4
Figura 7.11:
7.2 Exercicios De Aplicac¸a˜o
1) Resolva seguintes inequac¸o˜es
(a) (x+ 3)(x− 5) > 0
(b) (3x− 5)(2− 3x) ≥ 0
(c) x
(x
2
− 1
)
≥ 0
(d)
5
1− 4x < 0
(e)
2− x
x− 6 < 0
2) Verifique quais dos seguintes pontos pertencem a para´bola que representa graficamente a func¸a˜o
f(x) = x2 − 5x+ 6.
(a) A(2, 0)
(b) B(4, 2)
(c) C(−1, 10)
3) Determine o valor de m para que o ponto A(2, 1) pertenc¸a a` para´bola que representa grafica-
mente a func¸a˜o f(x) = (m+ 1)x2 − 1.
4) Mesma pergunta com A(2, 5) e f(x) = x2 − 2x+m.
5) Represente graficamente as seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = (x− 3)2
86 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
(b) f(x) =
(x− 1)2
3
(c) f(x) = 3(x+ 2)2 + 1
6) Escreva sob a forma cano´nica e resolva, a partir dessa forma, a equac¸a˜o y = 0; indique em cada
caso as coordenadas do ve´rtice.
(a) y = x2 − 6x+ 6
(b) y = 2x2 − 8x+ 6
(c) y = x2 − 65x− 725
7) Resolva, utilizando o discriminante, as seguintes equac¸o˜es:
(a) 3x2 − 5x+ 7 = 0
(b) 4(x− 3)2 = 3− x
(c) (2 +
√
3)x2 − (2√3 + 1)x+√3− 1 = 0
8) Determine os valores de k na func¸a˜o y = x2 − 6x+ k, de modo que:
(a) as ra´ızes sejam reais e iguais;
(b) as ra´ızes sejam reais e diferentes;
(c) na˜o haja ra´ızes reais;
(d) uma das ra´ızes seja 5;
(e) a curva passe pelo ponto A(4, 5);
(f) a ordenada do ve´rtice seja −1.
9) Determine os valores de p de modo que a func¸a˜o quadra´tica y = x2 + px+ p− 716 tenha ra´ızes
reais.
10) Nas seguintes equac¸o˜es do segundo grau, sendo dada uma soluc¸a˜o, determine a outra sem resolver
a equc¸a˜o:
(a) 6x2 − 7x− 10; x1 = 2
(b) x2 − x+√2− 2; x1 =
√
2
11) Escreva equac¸o˜es do segundo grau que admitam as seguintes soluc¸o˜es:
(a) 1 e -1
(b) 1√
2
e −2√2
12) Determini x e y sabendo que:
(a) x+ y = −13 e x× y = −23
(b) x+ y = 6 e x× y = 7
13) Seja ax2 + bx+ c = 0 e x1 × x2 = 0.
(a) Qual e´ o valor de c?
(b) Se as ra´ızes na˜o forem ambas iguais a zero, simplifique ax2+ bx+ c. Qual e´ a segunda ra´ız?
Por que ponto passa o gra´fico? Fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
(c) Se ambas as ra´ızes forem zero, simplifique ax2 + bx+ c. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
14) Seja ax2 + bx+ c = 0 e x1 × x2 6= 0.
dr. betuel de jesus varela canhanga 87
(a) Simplifique ax2 + bx+ c sabendo que as ra´ızes sa˜o iguais.
(b) Por que ponto passa o gra´fico? Onde esta´ o ve´rtice? Fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
15) Determine um nu´mero real cuja soma com o seu inverso seja igual a 4.
16) Na figura ao lado, o quadrado tem 10m de lado. Determine x de modo que o quadrado iterior
tenha 90m2 de a´rea.
17) Um rectaˆngulo tem 34cm de per´ımetro e as suas diagonais medem 13cm. Determine o compri-
mento dos seus lados.
18) As pessoas que assistiram a uma reunia˜o cumprimentaram-se, apertando-se as ma˜os. Uma delas
verificou que foram 66 os apertos de ma˜o. Quantas pessas estiveram na reunia˜o?
19) Duas camponesas levaram um total de 100 ovos para o mercado. Uma delas tinha mais mer-
cadoria mas recebeu por ela tanto dinheiro como a outra. Uma vez vendidos todos os ovos, a
primeira camponesa disse a` segunda: ”se eu tivesse trazido a mesma quantidade de ovos que
tu, teria recebido 1500 meticais”. A segunda camponesa respondeu: ”e se eu tivesse vendido os
ovos que tinhas, teria recebido 20003 meticais”. Quantos ovos vendeu cada uma?
20) Um problema chineˆs: Uma cidade quadrada de dimenso˜es desconhecidas possui uma porta no
meio de cada um dos seus lados. Uma a´rvore encontra-se a 20 passos da porta Norte, no exterior
da cidade. Esta a´rvore e´ vis´ıvel desde um ponto C que se pode alcanc¸ar percorrendo 14 passos
a partir da porta Sul, seguidos de 1775 passos em direcc¸a˜o a Oeste. Quais sa˜o as dimenso˜es da
cidade?
21) Determine o valor de k para que a func¸a˜o f(x) = (2− k)x2 − 5x+ 3 admita um valor ma´ximo.
22) Determine o valor de m para que a func¸a˜o f(x) = (4m+1)x2−x+6 admita um valor mı´nimo.
23) Determine k de modo que o valor mı´nimo da func¸a˜o f(x) = x2 − 6x+ 3k seja 3.
24) Determine p de modo que a func¸a˜o f(x) = −3x2 + (2p− 3)x− 1 tenha um valorma´ximo para
x = 2.
25) A trajecto´ria duma bola, num chuto, descreve uma para´bola. Supondo que a altura h , em
metros, t segundos apo´s o chuto, seja dada por h = −t2 + 6t, determine:
(a) em que instante a bola atinge a altura ma´xima;
(b) qual e´ a altura ma´xima atingida pele bola.
26) Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto e´ dado por C = x2 −
80x+ 300. Nestas condic¸o˜es, calcule:
(a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mı´nimo;
(b) o valor mı´nimo do custo.
27) Estude o sinal dos seguintes trino´mios:
(a) y = x2 − 6x+ 9
(b) y = 5x2 + 2x+ 17
28) Resolva, utilizando as regras do sinal do trino´mio do segundo grau, as inequac¸o˜es seguintes:
(a) x2 − 8x+ 16 ≥ 0
(b) x2 − 8x+ 7 > 0
(c) 9x2 + 8x− 1 < 0
88 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
(d) −x+ 7x2 + 2 ≤ 0
29) Resolva as seguintes inequac¸o˜es:
(a) (x− 3)2 > 16
(b) (x+ 2)2 − 9 ≤ 0
(c) (x+ 3)2 ≥ 10
30) Represente graficamente as func¸o˜es seguintes:
(a) f(x) =
√
x+ 3
(b) f(x) =
√−2x+ 5
(c) f(x) = 2
√−x+ 1
(d) f(x) = 1−√x
31) Represente a func¸a˜o que da´ o raio de um c´ırculo em func¸a˜o da sua a´rea.
32) Seja f(x) = 14x
2 − 1, D(f) = [0,+∞[.
(a) Esboce o gra´fico de f e f−1.
(b) Determine a func¸a˜o inversa e o seu domı´nio e contradomı´nio.
33) Seja f(x) = −√x− 4 + 1.
(a) Determine D(f) e Im(f).
(b) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f e da sua func¸a˜o inversa.
(c) Determine a func¸a˜o inversa, o seu domı´nio e o seu contradomı´nio.
34) Seja f(x)
√
x+ 4− 1.
(a) Determine D(f) e Im(f).
(b) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f e da sua func¸a˜o inversa.
(c) Determine a func¸a˜o inversa, o seu domı´nio e o seu contradomı´nio.
(d) Determine fof−1 e f−1o f.
35) Das func¸o˜es a seguir, determine fog e gof.
(a) f(x) = x2 − 4 e g(x) = −x2 + 2x
(b) f(x) = 5 + x− 2x2 e g(x) = 5− 3x
36) Resolva analiticamente as equac¸o˜es seguintes:
(a)
√
x+ 8 = 3
(b) x+
√
x− 1 = 13
(c)
√
x2 − 1 + 2 = x
37) Resova analiticamente as seguintes equac¸o˜es:
(a)
√
x2 − 3x = √3x− 5
(b)
√
x2 − 3x− 4 = √x2 − 6x+ 5
Resolva grafica e analiticamente as seguintes inequac¸o˜es:
(a)
√
1 + x > 3
dr. betuel de jesus varela canhanga 89
(b)
√
x+ 2 >
√
x+ 3
(c)
√
2x− 3 < √x+ 3
Ensinar e´ lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceˆ
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Cap´ıtulo 8
Func¸a˜o Logaritmica e Exponeˆncial
8.1 Func¸a˜o e Equac¸a˜o Exponeˆncial
Definic¸a˜o 8.1. Chama-se Equac¸a˜o Exponencial a` toda equac¸a˜o que apresenta inco´gnita sob ex-
poente.
Exemplo 8.1. A equac¸a˜o
2x = 8
e´ exponeˆncial, pois o x que e´ a inco´gnita aparece no expoente
8.1.1 Resoluc¸a˜o de Equac¸o˜es Exponenciais
Para resolver equac¸o˜es exponenciais como 2x = 8, prossegue-se:
1) Encontrar duas poteˆncias da mesma base, uma em cada membro;
2) Igualar os expoentes dos dois membros entre si; e,
3) Achar o valor da varia´vel.
Exemplo 8.2. Vejamos seguintes exemplos
1) Resolva 2x = 8
2x = 23
como as bases sa˜o iguais, igualamos os expoentes e teremos:
x = 3
2) Resolva 3x =
1
9
3x = 3−2
como as bases sa˜o iguais, igualamos os expoentes e teremos:
x = −2
90
dr. betuel de jesus varela canhanga 91
3) Resolva 17x = 1
17x = 170
como as bases sa˜o iguais, igualamos os expoentes e teremos:
x = 0
4) Resolva 7x = −1 Esta equac¸a˜o na˜o tem soluc¸a˜o, veja que para qualquer x ∈ R, 7x e´ sempre
posetivo.
5) Resolva 5x = 0 Esta equac¸a˜o na˜o tem soluc¸a˜o, veja que para qualquer x ∈ R, 7x > 0.
6) Resolva
√
3x = 9
√
3x = 32 ⇒ (3x) 12 = 32 ⇒ 3x2 = 32
igualando os expoentes temos:
x
2
= 3⇒ x = 6.
7) Vejamos o caso em que temos equac¸o˜es do tipo
3x+1 + 3x+2 + 1 = 37
Eis os passos importantes:
(a) Fazer o desenvolvimento seguindo regras de potenciac¸a˜o,
3x3 + 3x9 + 1 = 37
(b) colocar em evideˆncia o factor comum, e isolar o 3x
3x(3 + 9) = 37− 1⇒ 12× 3x = 36⇒ 3x = 36
12
⇒ 3x = 31 ⇒ x = 1
8) Para o caso em que temos uma equac¸a˜o do tipo
4x − 9× 2x + 8 = 0,
procedemos de modo seguinte
(a)
4x − 9× 2x + 8 = 0⇒ (2x)2 − 9× 2x + 8 = 0
(b) Vamos fazer a substituic¸a˜o t = 2x, t > 0 e determinar os valores de t que satisfazem a
equac¸a˜o assim obtida,
t2 − 9t+ 8 = 0⇒ (t− 1)(t− 8) = 0⇒ t1 = 1, t2 = 8
92 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
(c) Para cada valor de t obtido, resolver a equac¸a˜o 2x = t e teremos
2x = 1⇒ x = 0, 2x = 8⇒ x = 3.
(d) A Soluc¸a˜o sera´
x ∈ {0; 3}
9) Resolva as seguintes equac¸o˜es
(a) 5x+1 + 5x = 150
(b) 9x − 8× 3x = 9
8.1.2 Inequac¸a˜o Exponencial
Seja am > an , uma inequac¸a˜o exponencial. Na resoluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ preciso ter atenc¸a˜o o
seguinte:
• Se a > 1, o sentido do sinal de desigualdade mante´m-se, isto e´,
am > an ⇒,m > n;
• Se 0 < a < 1; (o a e´ a base exponeˆncial e esta base na˜o pode ser negativa nem igual
a 1) muda o sentido do sinal de desigualdade, isto e´,
am > an ⇒ m < n
Exemplo 8.3. 1) Resolva 2x > 1
primeiro devemos perceber que 1 = 20 e dai escrevemos 2x > 20 , de acordo as instruc¸o˜es o nosso
a = 2 > 0 enta˜o x > 0
2) Resolva 2x < 8
2x < 23 ⇒ x < 3
3) Resolva 17x ≥ 1
17x ≥ 170 ⇒ x ≥ 0
4) Resolva
(
1
2
)x
< 8 (
1
2
)x
<
(
1
2
)−3
porque a < 1 teremos
x > −3
5) Resolva 7x > −1 veja que ∀x ∈ R⇒ 7x e´ sempre posetivo, isto significa que e´ maior que -1, dai
que a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´ x ∈ R .
6) Resolva 5x < 0 neste caso na˜o existe soluc¸a˜o, pois 5x e´ sempre maior do que zero, isto e´, nunca
e´ menor do que zero ou ainda dizemos que x ∈ {} (intervalo vazio).
dr. betuel de jesus varela canhanga 93
8.1.3 Func¸a˜o exponeˆncial
O estudante de certeza ja sabe a oque se refere o termo ”exponeˆncial,”
Definic¸a˜o 8.2. Chama-se, Func¸a˜o Exponencial, a` toda func¸a˜o que tem sob expoente uma varia´vel.
Exemplo 8.4. Veja as seguintes func¸o˜es:
1) f(x) = 2x
2) f(x) = 2x + 1
3) f(x) = 2x+1
8.1.4 Representac¸a˜o Gra´fica de uma Func¸a˜o Exponencial
Ha´ que ter em conta o seguinte: Seja f(x) = ax ;
1) Se a > 1 a func¸a˜o exponencial. f(x) e´ crescente.
2) Se 0 < a < 1 a func¸a˜o exponeˆncial f(x) e´ decrescente
3) O valor de a corresponde a assimptota horizontal
4) Devemos procurar os pontos histo´rcos da func¸a˜o, isto e´, os pontos onde ela toca os eixos do
S.C.O
Exemplo 8.5. Represente graficamente as seguintes func¸o˜es, ache o Df e a Imf
x
y
2x
1
2
x
Figura 8.1:
1) y = 2x, vide (8.1)
2) y =
(
1
2
)x
, vide (8.1)
3) y = 2x + 1, vide (8.2)
4) y = −2x + 1, vide (8.2)
5) y = 2(x+1) + 1, vide (8.3)
94 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
x
y
2x + 1
−2x + 1
Figura 8.2:
x
y
2x+1
2x+1 + 1
2x
Figura 8.3:
6) y = −2x, vide (8.4)
7) y = −2(x−1) − 3, vide (8.4)
dr. betuel de jesus varela canhanga 95
x
y
−2(x−1) − 3
−2x −2x−1
Figura 8.4:
8.1.5 Ca´lculo Logar´ıtmico
Definic¸a˜o 8.3. Chama-se logar´ıtmo base a de b e denota-se
loga b
onde
a ∈ R+ \ {1}, b > 0
ao valor y , tal que ay = b
E temos
loga y = x; (a > 0; a 6= 1); y > 0; x ∈ R
, leˆ-se: logar´ıtmo de y na base a e´ igual a x. Onde:
• y e´ o logaritmando,
• a e´ a base,
• x e´ o logar´ıtmo.
Observac¸a˜o 8.1. Veja que, se:
y = ax ⇒ loga y = x; (a > 0; a 6= 1)
Exemplo 8.6. Determine o valor de x tal que
1) log2 x = 4 veja que, segundo a definic¸a˜o de logar´ıtmo,
x = 24 ⇒ x = 16
2) logx 81 = 4,
96 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
8.1.6 Propriedades Importantes
1) loga 1 = 0
2) loga a = 1
3) aloga x = x
4) loga b =
logp b
logp a
(mudanc¸a de base: b > 0; p > 0; p 6= 0)
5) loga uv = loga u+ loga v6) loga
u
v
= loga u− loga v, v 6= 0
7) loga n
√
pq =
q
n
loga p;
Observac¸a˜o 8.2. Sem limitac¸a˜o da sua esseˆncia, tem se que:
log10a = lg a, loge a = ln a
8.1.7 Equac¸a˜o Logar´ıtmica
1) Resolva 2 log2 x = log2 4. Este tipo de equac¸a˜o resolve-se seguindo os seguintes passos:
2) Calcule sem recorrer a tabelas e(ou) ma´quinas calculadoras
(a) 5log5 2,
Usando a a propriedade (3) temos que
5log5 2 = 2
(b) log2 2
√
3
Usando a propriedade (7) teremos
log2 2
√
3 =
√
3 log2 2
e pela propriedade (2) temos que
log2 2 = 1⇒
√
3 log2 2 =
√
3
(c) Determine lg 25 sabendo que lg 2 = x
Ao resolvermos este exercicio devemos procurar escrever o 25 como
100
4
dai teremos
lg 25 = lg
100
4
= lg 100− lg 4
Pela propriedade (6) teremos
lg 25 = lg 102 − lg 22 = 2 lg 10− 2 lg 2
usando propriedade (2) e aliado ao facto de que pelo exercicio lg 2 = x teremos
lg 25 = 2− 2x.
(d) Determine lg 500 sabendo que lg 2 = α .
dr. betuel de jesus varela canhanga 97
(e) Determine log4 log2 log3 81
Pela definic¸a˜o de logar´ıtmo temos que
log3 81 = 4
entao
log4 log2 log3 81 = log4 log2 4
como log2 4 = 2 entao teremos
log4 log2 4 = log4 2 =
1
2
(f) Determine log8 log6 log2 64
3)
log2 x = log2 4
Como temos nos 2 membros logar´ıtmos da mesma base, igualamos apenas os logaritmandos
4) x = 4.
5) Resolva log3 x = 1,
Basta usar a definic¸a˜o de logar´ıtmo para resolver este exerc´ıcio, teremos enta˜o
log3 x = 1⇒ x = 31 ⇒ x = 3
6) Resolva a equac¸a˜o logar´ıtmica log3(x− 1) + log3(2x+ 1)− log3(x− 3) = 3
Vamos achar o domı´nio da expressa˜o, para tal teremos que resolver seguintes inequac¸o˜es
x− 1 > 0 ∧ 2x+ 1 > 0 ∧ x− 3 > 0⇒ x > 3
aplicando as propriedades (5) e (6) teremos
log3
(x− 1)(2x+ 1)
x− 3 = 3,
vamos escrever 3 como log3 27 dai que
log3
(x− 1)(2x+ 1)
x− 3 = log3 27⇒
(x− 1)(2x+ 1)
x− 3 = 27
Resolvamos a equac¸a˜o
(x− 1)(2x+ 1)
x− 3 = 27⇒ (x− 1)(2x+ 1) = 27(x− 3)
transformamos assim numa equac¸a˜o quadra´tica
2x2 − x− 1− 27x+ 81 = 0⇒ x2 − 14x+ 40 = 0⇒ x = 10 ∨ x = 4.
Concluimos enta˜o que
S : x ∈ {4; 10}
pois tanto 4 como o 10 sa˜o maiores que 3 (condic¸a˜o imposta pelo domı´nio da expressa˜o)
Observac¸a˜o 8.3. Durante a resoluc¸a˜o de uma equac¸a˜o logar´ıtmica muitas vezes somos obrigados a
transforma-la em exponeˆncial, outras vezes a simples percepc¸a˜o deste conceito satisfaz a resoluc¸a˜o
do problema. As equac¸o˜es e inequac¸o˜es logar´ıtmicas sa˜o muito analogas as equac¸o˜es e inequac¸o˜es
exponeˆnciais.
98 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
8.1.8 Inequac¸a˜o Logar´ıtmica
Consideremos a inequac¸a˜o
log2 x > log2 3.
Para resolveˆ-la, e´ preciso ter em conta o seguinte, se logam > loga n, enta˜o:
1) Se a > 1, o sentido do sinal de desigualdade mante´m-se, isto e´,
logam > loga n,⇒ m > n;
2) Se 0 < a < 1, muda o sentido do sinal de desigualdade, isto e´,
logam > loga n,⇒ m < n;
Para o caso
log2 x > log2 3
porque a = 2 > 1 teremos
x > 3
Exemplo 8.7. Veja seguintes exemplos
1) log2 x > log2 2, como a base e´ 2, enta˜o teremos x > 2 veja no gra´fico
x
y
log2 2 = 1
Figura 8.5:
2) log 1
2
x > log 1
2
3, como a base e´
1
2
, enta˜o teremos x < 3
3) log3 x > log
2
9 x
Mudamos de base
log3 x > log
2
9 x⇒ log3 x >
1
2
log23 x
dr. betuel de jesus varela canhanga 99
aplicando a substituic¸a˜o
t = log3 x
teremos
t >
1
2
t2 ⇒ 2t− t2 > 0
de onde resulta que t ∈]0; 2[ e sendo assim
log3 x > 0 ∧ log3 x < 2
o que nos da
x ∈]1; 9[
8.1.9 Func¸a˜o Logar´ıtmica
Vamos considerar a seguinte func¸a˜o:
f(x) = loga x; a > 0; a 6= 1; x > 0 :
A` esta func¸a˜o, chamaremos Func¸a˜o Logar´ımica de Base a. Por utras palavras, a` func¸a˜o inversa da
func¸a˜o exponencial de base a, da´-se o nome de Func¸a˜o Logar´ıtmica de Base a.
8.1.10 Representac¸a˜o Gra´fica
Para a representac¸a˜o gra´fica, suponhamos por exemplo a = 2 : O gra´fico da func¸a˜o
f(x) = log2 x
obte´m-se de modo seguinte
1) Determinamos o domı´nio da func¸a˜o, para tal, consideramos o argumento da func¸a˜o maior do
que zero e dai extra´ımos a assimptota vertical
2) Procuramos a` semelhanc¸a da func¸a˜o exponeˆncial, os pontos de histo´ria da func¸a˜o, que sa˜o os
pontos onde a func¸a˜o intersecta o eixo x (x- intercepto) e o eixo y (y - intercepto)
Represente graficamente as seguintes func¸o˜es:
1) f(x) = log2(x+ 1)
2) f(x) = log1
2
(x+ 1) Esboce este gra´fico (veja que e´ identico ao esboc¸ado na (8.6) mas tem uma
base menor do que a unidade.
3) f(x) = − log2(−x+ 1)
4) f(x) = − log2(−x+ 1)− 3 e f(x) = − log2(−x− 3) + 1
100 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
x
y
Figura 8.6: f(x) = log2(x+ 1)
x
y
Figura 8.7: f(x) = − log2(−x+ 1)
8.2 Exercicios de Aplicac¸a˜o
1) Sendo x < 0 e sabendo que ax > 1, o que pode afirmar sobre o valor de a? Justifique
graficamente.
2) Se a > 1 e 0 < ax < 1, o que pode afirmar sobre o valor de x? Justifique graficamente.
3) Se 0 < a < 1 e ax > 1, o que pode afirmar sobre o valor de x? Justifique.
4) Esboce os gra´ficos das func¸o˜es definidas por:
(a) y = 2x−3
(b) y =
(
1
2
)x
+ 3
(c) y = 5− 2x
(d) y = 1 + 3x
5) Resolva as seguintes equac¸o˜es:
dr. betuel de jesus varela canhanga 101
x
y
f(x)
(−5, 0)
g(x)
Figura 8.8: f(x) = − log2(−x− 3) + 1 e g(x) = − log2(−x+ 1)− 3
(a)
(
3
2
)x
= 827
(b) 3x = 181
(c) 3x = 9
√
3
6) Resolva as seguintes inequac¸o˜es:
(a)
(
3
2
)x
≥ 1
(b) 19 ≤
(
1
3
)x
≤ 9
(c) 5−2 ≤
(
1
5
)x
≤ 4
(d) bx ≥ b, (0 < b < 1)
(e) bx > b2, (b > 1)
7) Determine, aplicando a definic¸a˜o de logar´ıtmo:
(a) log3 81
(b) log 1
3
32
(c) log 2
5
25
4
8) Determine o valor de x tal que:
(a) log2 x = 4
(b) log√2 x = 5
(c) log 1
2
x = −23
(d) log0,5 x =
3
4
102 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
9) determine o domı´no das func¸o˜es definidas por:
(a) y = log 1
2
(x− 3)
(b) y = log2(x2 − 3)
(c) y = logx(x2 − 7x+ 12)
10) Esboce os gra´ficos das func¸o˜es definidas por:
(a) y = log2(x+ 4)
(b) y = log3 x+ 2
(c) y = log 1
3
(x− 1) + 2
(d) y = log2(5− x)
11) Determine a func¸a˜o inversa das func¸o˜es seguintes e para cada func¸a˜o e sua inversa, determine o
domı´nio e o contradomı´nio.
(a) f(x) = 2x+3 − 5
(b) f(x) = log 2
3
(x− 2) + 7
12) Resolva as seguintes inequac¸o˜es:
(a) log3 x < log3
1
2
(b) log10 2x > log10 x
(c) log 1
5
3x > 0
(d) log3
x
2 ≤ 2
(e) log 1
3
(x2 − 1) > 1
13) Dado lg 2 = 0, 3010 e lg 3 = 0, 4771, determine : (Nota: lg x = log10 x)
(a) lg 24
(b) lg 29
(c) lg 32
(d) lg
√
3
14) Calcule, aplicando as propriedades dos logar´ıtmos:
(a) log5
3
√
52
(b) 72 log7 5
(c) 2−3 log2 2
(d) log2 16×log2
√
27
log2 8
(e) 13 log 23 8− 2 log 23 3 +
1
4 log 23 81
15) Determine (fog)(x) e (gof)(x) nos seguintes casos:
(a) f(x) = 3x e g(x) = log 1
3
x
(b) f(x) = 5x e g(x) = 2x+ 1
16) Resolva as seguiintes equac¸o˜es exponenciais:
(a) (ax−1)x = 1
(b) 4× 22x − 4× 2x − 3 = 1
dr. betuel de jesus varela canhanga 103
(c) 9x + 3× 6x = 4x+1
(d) 2x+7 − 2x+4 − 2x+2 = 3x+4 − 3x+2
(e) 9x+1 + 8× 3x + 33 = 3x+4 + 19× 3x+2
(f) 16
x
2
−1 − 4x+1 = 322 + 22x+1 − 4x+2
17) Resolva, com ajuda da ma´quina de calcular, as equac¸o˜es seguintes:
(a) 2x = 348
(b) 6, 23x = 13
18) Resolva as seguintes equac¸o˜es logar´ıtmicas:
(a) lg(2x− 5) + lg(3x+ 7) = 4 lg 2
(b) 2 lg 2 + lg(x2 − 1) = lg(4x− 1)
(c) 3 log4 x+ log2 x = 10
(d) 2(log3 x+ log 1
3
x) = 3 + log3
1
x
(e)
7
lg(x3 − 1) +
lg x
lg(x2 − 3) =
17
lg x3 − 1
Com a simplicidade construimos o orgulho!...
Typeset by LATEX2εCap´ıtulo 9
Func¸a˜o Homogra´fica E Modular
9.0.1 Func¸a˜o e Equac¸a˜o Homogra´fica
Definic¸a˜o 9.1. Chamam-se func¸a˜o Homogra´fica a func¸o˜es do tipo
f(x) =
ax+ b
cx+ d
; onde a, b, c, d ∈ R.
Exemplo 9.1. vejamos seguintes exemplos
1) A func¸a˜o
y =
1
x
e´ Homogra´fica onde
a = 0, d = 0, b = 1, c = 1
e teˆm uma representac¸a˜o gra´fica caracterizada por uma curva chamada hipe´rbole equila´tera.
O gra´fico desta func¸a˜o faz uma curva suave em dois quadrantes alternos, vejamos a tabela de
valores
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) -
1
3
−1
2
-1 @ 1
1
2
1
3
Com base na tabela podemos construir o gra´fico da figura (9.1)
2) Consideremos agora
y = −1
x
e´ homografica
a = 0, d = 0, b = −1, c = 1
vide a figura (9.2)
A func¸a˜o homogra´fica
f(x) =
ax+ b
cx+ d
104
dr. betuel de jesus varela canhanga 105
x
y
Figura 9.1:
x
y
Figura 9.2:
e´ definida para cx+ d 6= 0, ou seja o seu domı´nio e´
Df = x ∈ R\{−d
c
}
Observac¸a˜o 9.1. Analisando as tabela pode ver se que na medida em que os valores de x tendem
a crescer (em modulo), os valores de y va˜o aproximando o zero, isto e´, va˜o aproximando o eixo dos
x′s , Escrevemos y → 0 quando x→∞ e dizemos, o y ou, a func¸a˜o tende para zero quando x tende
para o infinito). O eixo dos x e´ assiptota ao gra´fico. Por outro lado, Quando x tende para zero, y
tende o infinito, isto e´ x→ 0⇒ y →∞ . Neste caso , o gra´fico da func¸a˜o aproxima-se do eixo dos y ,
mas nunca o toca. O eixo dos y e´ assimptota ao gra´fico.
106 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
O gra´fico da func¸a˜o homogra´fica definida por
f(x) =
ax+ b
cx+ d
admite duas ass´ımptotas: uma ass´ımptota vertical e uma ass´ımptota horizontal. A ass´ımptota
vertical corresponde ao valor que anula o denominador, isto e´
cx+ d = 0⇒ x = −d
c
.
Para determinar a equac¸a˜o da ass´ımptota horizontal, devemos escrever f(x) sob a forma seguinte
f(x) = A+
B
cx+ d
; segundo a fo´rmula , a equac¸a˜o da ass´ımptota horizontal sera´ dada por y =
a
c
Exemplo 9.2. Vejamos os exemplos seguintes
1) Esboce gra´ficamente a func¸a˜o
f(x) =
2x+ 1
x+ 2
,
(a) Vamos determinar primeiro a assimptota vertical, pelo domı´nio
x+ 2 6= 0⇒ x 6= −2 logo AV = −2 i.e (x = −2).
(b) A assimptota horizontal pode ser dada pela formula
AH = y =
a
c
2
1
= 2
(c) Zeros da func¸a˜o,
2x+ 1 = 0⇒ x = −1
2
(d) y intercepto (intercepto vertical)- Chamaremos de y intercepto (caso exista, ao ponto onde
o gra´fico intersecta o eixo do y ) para esta func¸a˜o homogra´fica o y intercepto e´
f(0) =
2× 0 + 1
0 + 2
=
1
2
2) Esboce gra´ficamente a func¸a˜o
f(x) = −2x+ 1
x+ 2
, Vide a figura 9.2
(a) Veja que escrever
f(x) = −2x+ 1
x+ 2
,
e´ o mesmo que escrever
f(x) =
−2x− 1
x− 3 ,
portanto
a = −2, , b = −1, c = 1, d = −3.
determinemos a assimptota vertical, pelo domı´nio
x− 3 6= 0⇒ x 6= 3 logo AV = 3 i.e (x = 3).
dr. betuel de jesus varela canhanga 107
x
y
Figura 9.3:
(b) A assimptota horizontal pode ser dada pela formula
AH = y =
a
c
=
−2
1
= −2
(c) Zeros da func¸a˜o,
−2x− 1 = 0⇒ x = −1
2
(d) y intercepto (intercepto vertical)- Chamaremos de y intercepto (caso exista, ao ponto onde
o gra´fico intersecta o eixo do y ), isto e´ x e´ igual a zero.
f(0) =
−2× 0− 1
0− 3 =
1
3
Observac¸a˜o 9.2. gra´fico da func¸a˜o homogra´fica e´ composto por dois ramos simetricos em relac¸a˜o ao
ponto de encontro das ass´ımptotas.
9.1 Equac¸o˜es e Inequac¸o˜es
Para resolver inequac¸o˜es e equac¸o˜es com uma parte homografica, recorremos ao me´todo de tabelas
estudado no cap´ıtulo sobre func¸o˜es, equac¸o˜es e inequac¸o˜es lineares.
108 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
x
y
Figura 9.4:
9.2 Func¸a˜o Modular
Definic¸a˜o 9.2. Definimos o modulo de um nu´mero da seguinte forma:
|a| =
 a, se a ≥ 0;−a, se a < 0.
Exemplo 9.3. vejamos os exemplos seguintes
1) |0| = 0 .
2) |−2| = −(−2) = 2 porque -2 e´ menor que zero.
3) |2| = 2 porque 2 e´ maior que zero.
dr. betuel de jesus varela banhanga 109
4)
∣∣−2 +√3∣∣ = −(−2 +√3) porque −2 +√3 e´ menor que zero.
5)
∣∣2−√3∣∣ = 2−√3 porque 2−√3 e´ maior que zero.
6)
|x− 1| =
 x− 1, se x− 1 ≥ 0;−(x− 1), se x− 1 < 0. ⇒
 x− 1, se x ≥ 1;−x+ 1, se x < 1.
7)
− |x− 1| =
 −(x− 1), se x− 1 ≥ 0;−[−(x− 1)], se x− 1 < 0. ⇒
 −x+ 1, se x ≥ 1;x− 1, se x < 1.
8)
∣∣x2 − 1∣∣ =
 x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0;−(x2 − 1), se x2 − 1 < 0. ⇒
 x2 − 1, se x ∈]−∞,−1] ∪ [1;+∞[;−x2 + 1), se x ∈]− 1; 1[.
9) ∣∣∣∣x2 − 1x+ 2
∣∣∣∣ =

x2 − 1
x+ 2
, se
x2 − 1
x+ 2
≥ 0;
−x
2 − 1
x+ 2
, se
x2 − 1
x+ 2
< 0.
Vamos primeiro estudar o sinal da fracc¸a˜o
x2 − 1
x+ 2
para podermos resolver as inequac¸o˜s
x2 − 1
x+ 2
≥ 0 e x
2 − 1
x+ 2
< 0
usemos para tal o me´todo de tabelas. Resolvemos as equac¸o˜es
x2 − 1 = 0⇒ (x− 1)(x+ 1) = 0⇒ x = ±1, x+ 2 = 0⇒ x = −2
x ]−∞− 2[ -2 ]− 2,−1[ −1 ]− 1, 1[ 1 ]1,+∞[
x− 1 - - - - - 0 +
x+ 1 - - - 0 + + +
x+ 2 - 0 + + + + +
x2 − 1
x+ 2
- @ + 0 - 0 +
Apartir da ultima linha da tabela podemos ver que
x2 − 1
x+ 2
≥ 0⇒ x ∈]− 2,−1] ∪ [1,+∞[
110 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
e
x2 − 1
x+ 2
< 0⇒ x ∈]−∞,−2[∪]− 1, 1[
enta˜o teremos
∣∣∣∣x2 − 1x+ 2
∣∣∣∣ =

x2 − 1
x+ 2
, se x ∈]− 2,−1] ∪ [1,+∞[;
−x
2 − 1
x+ 2
, se x ∈]−∞,−2[∪]− 1, 1[.
10) ∣∣x2 + 2x− 3∣∣ =
 x2 + 2x− 3, se x2 + 2x− 3 ≥ 0;−(x2 + 2x− 3), se x2 + 2x− 3 < 0.
Resolvendo as duas inequac¸o˜es que aparecem no sistema, teremos:
x2 + 2x− 3 ≥ 0⇒ x ∈]−∞,−3] ∪ [1,+∞[
e
x2 + 2x− 3 < 0⇒ x ∈]− 3, 1[
∣∣x2 + 2x− 3∣∣ =
 x2 + 2x− 3, se x ∈]−∞,−3] ∪ [1,+∞;−x2 − 2x+ 3, se x ∈]− 3, 1[.
11)
|x|2 + 2 |x| − 3 =
 x2 + 2x− 3, se x ≥ 0;(−x)2 + 2(−x)− 3, se x < 0. ⇒
 x2 + 2x− 3, se x ≥ 0;x2 − 2x− 3, se x < 0.
Definic¸a˜o 9.3. Chamamos func¸a˜o modular a func¸a˜o real de varia´vel real que a cada x faz corre-
sponder o seu mo´dulo, ou seja f(x) = |x| .
Aplicando a definic¸a˜o de mo´dulo, teremos
|f(x)| = |x| =
{
x, se x ≥ 0;
−x, se x < 0.
Generalizando, teremos:
|f(x)| =
{
f(x), se f(x) ≥ 0;
−f(x), se f(x) < 0.
9.2.1 Gra´fico da Func¸a˜o Modular
Para construir o gra´fico da func¸a˜o modular f(x) = |f(x)| procedemos de modo seguintes:
1) Partindo da definic¸a˜o, desenvolvemos a func¸a˜o dada.
2) Esboc¸amos as diferentes partes da func¸a˜o
dr. betuel de jesus varela banhanga 111
3) procuramos carregar ou por outro, destacar as regio˜es correspondentes para cada intervalo do
domı´nio de existeˆncia da func¸a˜o.
Exemplo 9.4. Veja os exemplos que se seguem
1) Seja f(x) = |x| , construa os gra´ficos de f(x). Para construir os gra´ficos da func¸a˜o, temos de
seguir os passos dados acima:
Desenvolvemos a func¸a˜o seguindo a definic¸a˜o de mo´dulo.
f(x) =
 x, se x ≥ 0;−x, se x < 0.
Vamos portanto esboc¸ar o gra´fico de
y1 = x quando x ≥ 0
e
y2 = −x quando x < 0
x
y
−x x
Figura 9.5:
2) Seja f(x) = |x+ 1| , construa os gra´ficos de f(x). Para construir os gra´ficos da func¸a˜o, temos
de seguir os passos dados acima:
Desenvolvemos a func¸a˜o seguindo a definic¸a˜o de mo´dulo.
f(x) =
 x+ 1, se x+ 1 ≥ 0;−(x+ 1), se x+ 1 < 0. ⇒ f(x) =
 x+ 1, se x ≥ −1;−x− 1, se x < −1.
Vamos portanto esboc¸ar o gra´fico de
y1 = x+ 1 quando x ≥ −1
112 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
e
y2 = −x− 1 quando x < −1
x
y
−x− 1 x+ 1
Figura 9.6:
3) Seja f(x) = − |x− 3| , construa os gra´ficos de f(x).
Desenvolvemos a func¸a˜o seguindo a definic¸a˜o de mo´dulo.
f(x) =
 −(x− 3), se x− 3 ≥ 0;−[−(x− 3)], se x− 3 < 0. ⇒ f(x) =
 −x+3, se x ≥ 3;x− 3, se x < 3.
Vamos portanto esboc¸ar o gra´fico de
y1 = −x+ 3 quando x ≥ 3
e
y2 = x− 3 quando x < 3
x
y
x− 3
−x+ 3
Figura 9.7:
dr. betuel de jesus varela banhanga 113
4) Esboce graficamente a func¸a˜o
f(x) =
∣∣∣∣x− 1x+ 2
∣∣∣∣
Desenvolvendo a func¸a˜o pela definic¸a˜o de modulo teremos
f(x) =
∣∣∣∣x− 1x+ 2
∣∣∣∣ =

x− 1
x+ 2
, se x ∈]−∞,−2[∪[1,+∞[;
−x− 1
x+ 2
, se x ∈]− 2, 1[.
e dai teremos a figura (12.4)
x
y
AH = 1
AV = −2
Figura 9.8:
5) Esboce gra´ficamente a func¸a˜o
f(x) =
∣∣x2 + 2x− 3∣∣
Desenvolvendo o modulo apartir da definic¸a˜o teremos
f(x) =
∣∣x2 + 2x− 3∣∣ =
 x2 + 2x− 3, se x2 + 2x− 3 ≥ 0;−(x2 + 2x− 3), se x2 + 2x− 3 < 0.
Enta˜o
f(x) =
 x2 + 2x− 3, se x ∈]−∞,−3] ∪ [1,+∞;−x2 − 2x+ 3, se x ∈]− 3, 1[.
Vide a figura (9.9)
6) Esboce o gra´fico da func¸a˜o
f(x) = |x|2 + 2 |x| − 3
Vide figura (9.10) Desenvolvendo o modulo pela definic¸a˜o teremos
f(x) =
 x2 + 2x− 3, se x ≥ 0;x2 − 2x− 3, se x < 0.
114 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
x
y
Figura 9.9:
x
y
Figura 9.10:
7) Esboce o gra´fico da func¸a˜o
f(x) = |x|2 − 2 |x| − 3
Vide figura (9.11) Desenvolvendo o modulo pela definic¸a˜o teremos
f(x) =
 x2 − 2x− 3, se x ≥ 0;x2 + 2x− 3, se x < 0.
9.2.2 Equac¸o˜es Modulares
Definic¸a˜o 9.4. Chama-seMo´dulo ou Valor absoluto de um nu´mero real x , e denota-se |x| , ao
nu´mero real na˜o negativo que satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
|f(x)| = |x| =
{
x, se x ≥ 0;
−x, se x < 0.
dr. betuel de jesus varela banhanga 115
x
y
Figura 9.11:
Exemplo 9.5. 1) Resolva
|x− 3| = 5
Pelo desenvolvimento do mo´dulo temos
|x− 3| ⇒
 x− 3, se x ≥ 3;−x+ 3, se x < 3.
enta˜o
|x− 3| = 5⇒
 x− 3 = 5, se x ≥ 3;−x+ 3 = 5, se x < 3. ⇒
 x = 8, se x ≥ 3;x = −2, se x < 3.
Como 8 e´ maior do que 3 e -2 e´ menor do que 3 teremos a seguinte soluc¸a˜o
S : x ∈ {−2; 8}
2) Resolva a equac¸a˜o seguinte
|x+ 7| = −3
Usando o desenvolvimento do modulo teremos
|x+ 7| = −3⇒
 x+ 7 = −3, se x ≥ −7;−x− 7 = −3, se x < −7. ⇒
 x = −10, se x ≥ −7;x = −4, se x < −7.
Como -10 e´ menor do que -7 e -4 e´ maior que -7, isto e´, as duas soluc¸o˜es na˜o pertencem aos
intervalos obtidos pela definic¸a˜o do mo´dulo diremos que a soluc¸a˜o desta equac¸a˜o e´
x ∈ {}
116 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
3) Resolva a seguinte equac¸a˜o modular
|x− 1| = |3x+ 1|
Para resolver esta equac¸a˜o modular seguimos a regra
|A| = |B| ⇒
 A = B,A = −B .
Enta˜o teremos
|x− 1| = |3x+ 1| ⇒
 x− 1 = 3x+ 1,x− 1 = −(3x+ 1) . ⇒
 x = −1,x = 0 .
4) Resolva
|x− 1|+ |x+ 2| = |x− 3|
Passamos o membro a direita para a esquerda
|x− 1|+ |x+ 2| − |x− 3| = 0.
Resolver esta equac¸a˜o significa procurar determinar valores de x que fazem com que a equac¸a˜o
seja igual a zero. Vamos primeiro desenvolver os treˆs modulos que aparecem nesta equac¸a˜o
|x− 1| =
 x− 1, se x ≥ 1;−x+ 1, se x < 1.
|x+ 2| =
 x+ 2, se x ≥ −2;−x− 2, se x < −2.
e
|x− 3| =
 x− 3, se x ≥ 3;−x+ 3, se x < 3. ;
Em seguida construimos a tabela
x ]−∞;−2[ -2 ]-2;1[ 1 ]1;3[ 3 ]3;+∞[
|x+ 2| −x− 2 0 x+ 2 3 x+ 2 5 x+ 2
|x− 1| 1− x 3 1− x 0 x− 1 2 x− 1
|x− 3| −x+ 3 5 −x+ 3 2 −x+ 3 0 x− 3
|x− 1|+ |x+ 2| − |x− 3| −x− 4 -2 x 1 3x− 2 7 x+ 4
−x− 4 = 0⇒ x = −4, quando x ∈]−∞,−2[;
dr. betuel de jesus varela banhanga 117
x = 0⇒ x = 0, quando x ∈]− 2, 1[;
3x− 2 = 0⇒ x = 2
3
, quando x ∈]1, 3[;
x+ 4 = 0⇒ x = −4, quando x ∈]3,+∞[;
Destas equac¸o˜es, das soluc¸o˜es
(
−4; 0; 2
3
)
somente -4 e 0 pertencem aos seus respectivos inter-
vaos. Portanto a soluc¸a˜o sera´
S : x ∈ {−4; 0}
Iremos mostrar pelo esboc¸o gra´fico as soluc¸o˜es aqui apresentadas, lembre se que determinar
soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o f(x) = 0 significa determinar os valores de x por onde a func¸a˜o toca
o eixo horizontal.
x
y
Figura 9.12:
Veja que o gra´fico toca o eixo de x em -4 e 0.
9.2.3 Inequac¸o˜es Modulares
Podemos generalizar o resultado das inequac¸o˜es do tipo
|x| > k ou |x| < k, ∀k > 0.
118 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
1) |x| > k ⇒ ()x < −k ou x > k
2) |x| < k ⇒ −k < x < k.
Exemplo 9.6. Vejamos os exemplos seguintes:
1) |x| > 4⇒ |x| > 22 ⇒ x < −2 ou x > 2
2) |x− 1| > 4⇒ |x− 1| > 22 ⇒ x− 1 < −2 ou x− 1 > 2⇒ x < −1 ou x > 3
3) |x+ 2| > 9⇒ |x+ 2| > 32 ⇒ x+ 2 < −3 ou x+ 3 > 3⇒ x < −5 ou x > 0
4) |x| < 4⇒ |x| > 22 ⇒ −2 < x < 2
5) |x+ 1| < 4⇒ |x+ 1| > 22 ⇒ −2 < x+ 1 < 2⇒ −3 < x < 1
6) |x− 3| < 25⇒ |x− 3| > 52 ⇒ −5 < x− 3 < 5⇒ −2 < x < 8
Observac¸a˜o 9.3. Podemos tambe´m resolver inequac¸o˜es modulares usando a definic¸a˜o de modulo
e(ou) usando o me´todo gra´fico (a semelhanc¸a do que fizemos para equac¸o˜es quadra´ticas).
9.3 Exercicios de Aplicac¸a˜o
1) Represente graficamente as func¸o˜es seguintes:
(a) f(x) = 2xx+1
(b) g(x) = x+42x−3
(c) h(x) = 4x−1x−3
2) Seja f uma func¸a˜o definida por f(x) = x2 + 2x.
(a) Estude e represente graficamente a func¸a˜o f.
(b) Estude e represente graficamente no mesmo sistema de eixos a func¸a˜o g definida por g(x) =
2x
x+1 .
(c) Determine as coordenadas dos pontos de intersecc¸a˜o dos dois gra´ficos.
(d) Verifique este resultado analiticamente, resolvendo o sistema y = x2 + 2x e y = 2xx+1
3) Determine h(x) = g[f(x)] e k(x) = f [g(x)] nos casos seguintes:
(a) f(x) = 3x− 7 e g(x) = x−32x+1
(b) f(x) = −x2 + 4 e g(x) = −x+82x−5
4) Chama-se distaˆncia de dois nu´meros x e y ao mo´dulo da sua diferenc¸a. Nota-se: d(x; y) = |x−y|
(a) Calcule as distaˆncias seguintes:
i. d(−3; 3)
ii. d(−3, 41; 3, 41)
iii. d
(
0; 34
)
iv. d(
√
2;−3√2)
dr. betuel de jesus varela banhanga 119
(b) Determine os nu´meros reais x tais que:
i. d(4;x) = 0, 31
ii. d
(
x;−13
)
= 14
iii. d
(
x; 25
)
= 32
5) Represente graficamente as seguintes func¸o˜es modulares:
(a) y = |2− x|
(b) y = |x2 − 5x+ 6|
(c) y = |√5− x− 3|
(d) y =
∣∣∣1−2xx+1 ∣∣∣
6) Represente graficamente as seguintes func¸o˜es soma ou diferenc¸a de mo´dulos:
(a) y = |2x− 3|+ |x+ 4|
(b) y = 3|x− 1| − |x− 5|
7) Resolva as seguintes equac¸o˜es modulares:
(a) |3x− 4| = 2
(b) |2x− 3| = 2x− 3
(c) |x2 − 4x+ 5| = 2
(d) |4x− 1| = |2x+ 3|
(e) |x|2 − 5|x|+ 6 = 0
8) Resolva as seguintes inequac¸o˜es modulares:
(a) |3x| < 1
(b)
∣∣−x2 ∣∣ ≥ 5
(c) |x− 1| ≥ −2
(d) |3− x| ≤ 3
(e) |3x− 1| < 5
(f)
∣∣2x−1
2
∣∣ < 15
(g) |2x+ 1|+ 4− 3x > 0
120 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Ensinar e´ lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceˆ
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Cap´ıtulo 10
Trigonometria Elementar
10.1 Razo˜es Trigonome´tricas No Triaˆngulo Rectaˆngulo
Definic¸a˜o 10.1. Chamamos Triangulo Rectaˆngulo, ao triangulo que possue um aˆngulo igual a 90o
(90 graus).
Exemplo 10.1. Com base na figura teremos
A B
C
c
a
b
Figura 10.1:
1) O aˆngulo Bˆ mede 90o, raza˜o pela qual diz-se que o triangulo da fugura (10.1) e´ rectaˆngulo.
2) A , B e C sa˜o os ve´rticesdo triangulo (nota que escrevem se em letras ma´ıusculas).
3) a , b e c sa˜o nomes dos lados da fugura (note que escrevem-se em letras minusculas).
4) a soma dos aˆngulos internos de um triangulo e´ sempre igual a 180o.
5) Como Bˆ = 90o enta˜o Aˆ + Cˆ = 90o, dizemos enta˜o que Aˆ e Cˆ sa˜o aˆngulos complementares
(lembrar geometria plana).
121
122 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Definic¸a˜o 10.2. Chamam-se Catetos de um triangulo rectaˆngulo os lados do triangulo que passam
pelo aˆngulo recto, isto e´, os lados que sa˜o adjacentes ao aˆngulo recto.
Definic¸a˜o 10.3. Chama-se Hipotenusa de um triangulo rectaˆngulo ao lado do triangulo que na˜opassa pelo aˆngulo recto, o lados que e´ oposto ao aˆngulo recto.
1) Seno
O seno de um aˆngulo Aˆ e´ definida como a raza˜o entre o cateto oposto a Aˆ e a hipotenusa
sin Aˆ =
Cateto Oposto
Hipotenusa
=
a
b
2) Coseno
O co-seno de um aˆngulo Aˆ e´ definida como a raza˜o entre o cateto adjacente a Aˆ e a hipotenusa
cos Aˆ =
Cateto Adjacente
Hipotenusa
=
c
b
3) Tangente
A tangente de um aˆngulo Aˆ e´ definida como a raza˜o entre o cateto oposto a Aˆ e cateto adjacente
a Aˆ
tan Aˆ =
Cateto Oposto
Cateto Adjacente
=
a
c
4) Cotangente
A co-tangente de um aˆngulo Aˆ e´ definida como a raza˜o entre o cateto adjacente a Aˆ e cateto
oposto a Aˆ
cot Aˆ =
Cateto Adjacente
Cateto Oposto
=
c
a
Em relacc¸a˜o a figuta (10.1) poderemos construir a seguinte tabela
aˆngulos Aˆ Cˆ
sin ab
c
b
cos cb
a
b
tan ac
c
a
cot ca
a
c
Veja apartir da tabela que:
sin Aˆ = cos Cˆ,
cos Aˆ = sin Cˆ,
dr. betuel de jesus varela canhanga 123
tan Aˆ = cot Cˆ, e
cot Aˆ = tan Cˆ
Observac¸a˜o 10.1. Func¸o˜es Inversas: As func¸o˜es trigonome´tricas admitem inversa˜o.
• Se sin Aˆ = k ⇒ Aˆ = arcsin k, (arco cujo seno e´ k.)
• Se Se cos Aˆ = k ⇒ Aˆ = arccos k, (arco cujo coseno e´ k.)
• Se tan Aˆ = k ⇒ Aˆ = arctan k, (arco cuja tangente e´ k.)
• Se cot Aˆ = k ⇒ Aˆ = arccotk, (arco cuja cotangente e´ k.)
Por outro lado cot Aˆ =
1
tan Aˆ
Daqui em diante e sem limitac¸a˜o da sua essencia vamos chamar ao aˆngulo Aˆ por α, Bˆ por β, e
Cˆ por γ.
10.1.1 Aˆngulos Complementares
Definic¸a˜o 10.4. Chamam-se Aˆngulos Complementares a aqueles cuja soma e´ igual a 90 graus
Exemplo 10.2. Se α+ γ = 90 enta˜o dizemos que α e γ sa˜o aˆngulos complementares
Para dois α e γ aˆngulos complementares cumpre-se o seguinte
1) α+ γ = 90
2) sin γ = cos(90− γ)
3) cos γ = sin(90− γ)
4) tan γ = cot(90− γ)
Veja que se α e´ complementar a γ enta˜o α+ γ = 90⇒ 90− α = γ
10.1.2 Fo´rmula Fundamental da Trigonome´tria
sin2 α+ cos2 α = 1
Esta formula e´ chamada FUNDAMENTAL DA TRIGONOME´TRIA porque muitas outras formu-
las sa˜o dela der´ıvadas.
124 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
cos
sen
−1 1
tan
1
−1
Figura 10.2:
10.1.3 C´ırculo Trigonome´trico
Definic¸a˜o 10.5. Chama-se C´ırculo Trigonome´trico ao c´ırculo com centro no ponto (0, 0) e raio
igual a unidade, r = 1, vide figura (10.2)
1) No c´ırculo trigonome´trico o eixo vertical e´ conhecido como eixo dos senos
2) O eixo horizontl e´ chamado eixo dos cossenos
3) O eixo tangente e´ paralelo ao eixo dos senos e passa pelo ponto (1, 0)
4) O c´ırculo trigonome´trico e´ composto por quatro quadrantes
1) Primeiro Quadrante Vide figura (10.3)
• seno - posetivo
• coseno - posetivo
• tangente - posetivo
• cotangente - posetivo
2) Segundo Quadrante vide figura (10.4)
• seno - posetivo
• coseno - negativo
• tangente - negativo
• cotangente - negativo
3) Terceiro Quadrante vide figura (10.5)
• seno - negativo
• coseno - negativo
• tangente - posetivo
• cotangente - posetivo
dr. betuel de jesus varela canhanga 125
cos
sen
−1 1
1
−1
Figura 10.3:
cos
sen
−1 1
1
−1
Figura 10.4:
4) Quarto Quadrante vide figura (10.6)
• seno - negativo
• coseno - posetivo
• tangente - negativo
• cotangente - negativo
Iremos a seguir mostrar um c´ırculo trigonome´trico que servi-lo-a como grande auxilio durante os
estudos e na aplicac¸a˜o pra´tica de trigonome´tria
126 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
cos
sen
−1 1
1
−1
Figura 10.5:
cos
sen
−1 1
1
−1
Figura 10.6:
10.1.4 Passagem Para o Primeiro Quadrante
Ao longo do c´ırculo trigonome´trico existem quatro pontos importantes,
(0o ou 360o, 90o, 180o e 270o).
Todos aˆngulos ao longo do c´ırculo trigonome´trico podem ser escritos em func¸a˜o destes aˆngulos impor-
tantes. Assim, por exemplo
120 = 90 + 30 ou 120 = 180− 60,
sa˜o duas maneiras diferentes de expressar o mesmo aˆngulo usando aˆngulos importantes diferentes.
Tem sido mais fa´cil trabalhar com aˆngulos do primeiro quadrante, raza˜o pela qual, e´ importante
saber encontrar apartir de um aˆngulo qualquer dado fora do primeiro quadrante, os respectivos aˆngulos
correspondetes no primeiro quadrante.
Ao passarmos um aˆngulo para o I quadrante se aˆngulo principal estiver ao longo do eixo horizontal,
isto e´, se for
180o, 360o
na˜o alteramos a func¸a˜o.
dr. betuel de jesus varela canhanga 127
cos
sen
255o =
5pi
4
315o = −45o = −pi
4
=
7pi
4
135o =
3pi
4
45o =
pi
4
√
3
2
−
√
3
2
√
2
2
−
√
2
2
1
2
− 1
2
√
3
2
−
√
3
2
√
2
2
−
√
2
2
1
2
− 1
2
210o =
4pi
3
330o = −pi
6
=
11pi
6
150o =
5pi
6
30o = −pi
6
120o =
2pi
3
60o =
pi
3
240o =
4pi
3
−60o = 5pi
3
= −pi
3
Figura 10.7:
Exemplo 10.3. Veja o exemplo seguinte
sin(360 + α) = sinα,
porque 360o esta´ na posic¸a˜o horizontal, a func¸a˜o inicial (seno, para este caso) na˜o e´ alterada. De modo
ana´logo aconteceria se o aˆngulo principal fosse o de 180o.
Sempre que o aˆngulo principal estiver ao longo do eixo vertical, isto e´
90o ou 270o
alteramos a func¸a˜o,
Exemplo 10.4. veja o seguinte exemplo
sin(90− α) = cosα,
128 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
porque 90o esta´ na posic¸a˜o vertical, a func¸a˜o sin passa para func¸a˜o cos .
No processo de passagem para o primeiro quadrante e´ tambe´m necessa´rio investigar o sinal da
func¸a˜o dada no quadrante correspondente
Exemplo 10.5. determine passando para um aˆngulo do primeiro quadrante
1) (a) sin(360 + α) = sinα
(b) sin(360− α) = − sinα
(c) sin(90− α) = cosα
(d) sin(270 + α) = −cosα
2) (a) cos(360 + α) = · · · · · · · · ·
(b) cos(360− α) = cosα
(c) tan(180− α) = · · · · · · · · ·
(d) sin(180 + α) = · · · · · · · · ·
3) (a) tan(360 + α) = · · · · · · · · ·
(b) tan(360− α) = · · · · · · · · ·
(c) sin(180− α) = sinα
(d) sin(270− α) = · · · · · · · · ·
4) (a) cot(360 + α) = · · · · · · · · ·
(b) cot(360− α) = · · · · · · · · ·
(c) cot(180− α) = · · · · · · · · ·
(d) sin(90 + α) = cosα
1) Para achar na primeira volta o aˆngulo correspondente a um aˆngulo dado fora da primeira volta
achamos o resto da divisa˜o do aˆngulo dado por 360o.
Exemplo 10.6. Se quizermos reduzir a primeira volta o angulo de 4750o devemos dividi-lo por
360o e teremos
4750
360
= 13 +
70
360
,
portanto o resto da divisa˜o e´ 70. Dai que teremos
4750o = 70o.
2) Quando reduzimos um determinado aˆngulo que esta´ fora da primeira volta, devemos primeiro
procurar encontrar seu correspondente na primeira volta e posteriormente no primeiro quadrante
assim:
3) Sabendo que 360 graus e´ o mesmo que zero graus, sempre que um dado aˆngulo completar uma
volta, consideramos como se tivesse feito zero graus.
4) e´ importante verificar se as voltas sa˜o posetivas (sentido na˜o hora´rio) ou se sa˜o negativas (sentido
hota´rio = sentido dos ponteiros do relo´gio)
dr. betuel de jesus varela canhanga 129
10.1.5 Passagem Para Radianos
Para passar um determinado aˆngulo dado em graus para radianos, basta conhecer a seguinte proporc¸a˜o
piRadianos = 180 graus
Assim, aplicando a regra de treˆs simples poderemos mudar qualquer aˆngulo tanto de graus para
radianos versa e vice.
10.1.6 Teorema dos Senos
No triangulo ABC, com lados
a, b, c e aˆngulos Aˆ, Bˆ, Cˆ
A B
C
c
a
b
Figura 10.8:
130 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Cumpre-se a seguinte igualdade
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
Exemplo 10.7. Duas a´rvores localizam-se em lados opostos do rio Maquival. O aˆngulo entre as linhasde visa˜o de um observador que as veˆ e´ de 120o e o aˆngulo formado por uma dessas linhas e a linha que
une as a´rvores e´ de 45o. Sabendo que uma das a´rvores esta´ a 100 metros do observador (a terceira
linha mede 100 metros), qual e´ a distaˆncia entre as a´rvores
Para resolver este problema devemos recorrer ao teorema dos senos e teremos
100
sin 45o
=
distancia
sin 120o
de onde teremos
100√
2
2
=
distancia√
3
2
⇒ distancia = 100
√
3
2
10.1.7 Teorema dos Cossenos
Suponha que os aˆngulos do triangulo da figura (10.8) sa˜o todos eles diferentes de 90o (o triangulo na˜o
e´ rectangulo), o teorema dos cossenos, permite-nos a` semelhanc¸a do teorema de pita´goras relaccionar
os lados do triaˆngulo e um dado aˆngulo, assim teremos:
1) a2 = b2 + c2 − 2bc× cosA
2) b2 = a2 + c2 − 2ac× cosB
3) c2 = a2 + b2 − 2ab× cosC
10.1.8 A´rea de triaˆngulo
Normalmente, para determinar a a´rea de um triangulo usamos a altura (segmento que forma um
aˆngulo de 90 graus). Aqui mostra-se ser poss´ıvel sem a altura, determinar a a´rea de um triangulo
ABC com lados a, b, c e aˆngulos A,B,C; assim
S =
ab sinC
2
=
ac sinB
2
=
bc sinA
2
Observac¸a˜o 10.2. Recorde-se da geometria plana que um paralelograma tem supe´rficie igual ao dobro
da superf´ıcie de um triaˆngulo. Assim, sempre que for necessa´rio calcular a a´rea de um paralelograma
podemos nos concentrar na metade desse paralelogramo (triangulo) e finalmente multiplicamos por
dr. betuel de jesus varela canhanga 131
dois obtendo assim a superf´ıcie do paralelogramo
S = ab sinC = ac sinB = bc sinA
10.2 Exercicios de Aplicac¸a˜o
1) Num exerc´ıcio de tiro, o alvo encontra-se numa parede cuja base esta´ situada a 20m do atirador.
Sabendo que o atirador veˆ o alvo sob um aˆngulo de 10o em relac¸a˜o a horizontal, calcule adistaˆncia
do alvo ao cha˜o.
2) Uma pessoa de 1, 70m de altura veˆ o ponto mais alto de um edif´ıcio sob um aˆngulo de 60o .
Quando recua 100m , veˆ o mesmo ponto sob um aˆngulo de 30o . Supondo que a pessoa e o
edif´ıcio esta˜o no mesmo n´ıvel, determine a altura do edif´ıcio e a distaˆncia inicial da pessoa ao
edif´ıcio.
3) Sendo x um aˆngulo, simplifique as expresso˜es:
(a) tanx× cosx
(b) 1− 1
cos2 x
, (cosx 6= 0)
(c) cos3 x+ cosx× sin2 x
4) Sendo x um aˆngulo, demonstre a iguldade 1 + 2 sinx× cosx = (sinx+ cosx)2
5) Exprima em graus:
(a) pi6 rd
(b) pi5 rd
6) Convirta em radianos:
(a) 3000
(b) 1000
(c) 67o30”
7) Determine com a precisa˜o de 10−4 :
(a) sin pi6
(b) cos 5pi8
8) Determine a medida de α em radianos (0 < α < 2pi), sabendo que:
(a) sinα =
√
2
2
(b) cosα = −1
(c) tanα = −√3
9) Determine o menor valor na˜o negativo congruente ao arco (reduc¸a˜o a` primeira volta positiva):
(a) 685o
(b) 1140o
(c) 15pi2 rd
132 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
10) Represente no c´ırculo trigonome´trico as extremidades dos arcos, em radianos, por:
(a) x = pi4 + kpi
(b) x = −pi3 + 2kpi
(c) x = pi6 + kpi
11) Num triaˆngulo ABC, sa˜o dados α = 45o, β = 30o e a+ b =
√
2 + 1. Calcule o valor de a.
12) Num triaˆngulo ABC, sa˜o dados a = 1, b = 3
√
2, C = 450. Calcule c.
13) Dois lados de um triaˆngulo medem 6cm e 10cm e formam entre si um aˆngulo de 120o. Calcule
a medida do terceiro lado.
14) Os lados de um triaˆngulo ABC medem a, b, c e os seus aˆngulos α, β, γ. Determine a
sua a´rea sabendo que:
(a) a = 3, 2; b = 2, 8; γ = 32o
(b) a = 8, 4; c = 10; β = 115o
15) Calcule a a´rea dum paralelogramo cujos lados medem 8, 4 e 7, 5 sabendo que formam um aˆngulo
de 72o
16) Calcule a a´rea dum losango de lado 8 e que tem um aˆngulo de 130o.
17) Usando o teorema dos senos e o teorema da a´rea, demonstre que, num triaˆngulo qualquer, a a´rea
pode ser dada por S = a
2 sinB×sinC
2 sinA
Ensinar e´ lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceˆ
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Cap´ıtulo 11
Func¸o˜es E Equac¸o˜es
Trigonome´tricas
11.1 Func¸o˜es Trigonome´tricas
Observac¸a˜o 11.1. Vamos antes de tudo definir func¸a˜o perio´dica.
Exemplo 11.1. Veja os exemplos seguintes
1) Em geral a e´poca chuvosa e´ perio´dica (nao estou a falar do cena´rios dos ultimos anos, por isso
e´ que fac¸o questa˜o de dizer, em geral)
2) A festa de aniversa´rio de uma determinada pessoa e´ um evento perio´dico
3) O pagamento de sala´rios e´ um evento perio´dico.
4) A festa do natal e´ um evento perio´dico.
Quando definirmos func¸a˜o perio´dica, estaremos somente a juntar duas palavras conhecidas, func¸a˜o
+ perio´dica. A caracteristica fundamental de uma func¸a˜o perio´dica e´ a seguinte
f(x+ p) = f(x),
onde p e´ o pe´riodo
Definic¸a˜o 11.1. Chama-se func¸a˜o perio´dica a toda func¸a˜o que depois de um intervalo de existeˆncia
constante ¿O pe´rio´doÀ , volta a repetir-se (volta a passar pelos mesmos pontos)
Vamos aqui recordar os nossos conhecimentos de trigonometria elementar.
133
134 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
cos
sen
255o =
5pi
4
315o = −45o = −pi
4
=
7pi
4
135o =
3pi
4
45o =
pi
4
√
3
2
−
√
3
2
√
2
2
−
√
2
2
1
2
− 1
2
√
3
2
−
√
3
2
√
2
2
−
√
2
2
1
2
− 1
2
210o =
4pi
3
330o = −pi
6
=
11pi
6
150o =
5pi
6
30o = −pi
6
120o =
2pi
3
60o =
pi
3
240o =
4pi
3
−60o = 5pi
3
= −pi
3
Figura 11.1:
Revejam o circulo trigonome´trico
11.1.1 Func¸a˜o Seno
Definic¸a˜o 11.2. Chama-se func¸a˜o seno a func¸a˜o dada na forma
f(x) = a sin(bx+ k) + c, b 6= 0
onde
• a e´ a amplitude - e´ a contracc¸a˜o do eixo 0y
• b e´ a contracc¸a˜o do eixo 0x ou a ampliac¸a˜o em 0x
dr. betuel de jesus varela canhanga 135
1) se b e´ igual a 2 cada onda contrai-se horizontalmente 2 vezes
2) se b e´ igual a
1
2
cada onda amplia-se horizontalmente 2 vezes
• A func¸a˜o seno e´ perio´dica e tem per´ıodo T = 2pi
b
• O gra´fico passa (um dos seus per´ıodos comec¸a) pelo ponto bx+ k = 0⇒ x = −k
b
• Imf = [c− a, c+ a]
Exemplo 11.2. Veja alguns exemplos de esboc¸os gra´ficos de func¸o˜es trigonome´tricas.
1) y = sinx
x
y
−2pi
−pi
0o
pi
2pipi
2
−pi
2
3pi
2
− 3pi
2
Figura 11.2:
2) y = 2 sin
(pi
2
− 2x
)
+ 3,
cos
sin
−2pi
−pi
0o
pi
2pipi
2
−pi
2
3pi
2
− 3pi
2
x1
Figura 11.3:
3) y = −3 sin
(pi
2
+ 2x
)
− 5,
136 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
cos
sin
−2pi
−pi
0o
pi
2pipi
2
−pi
2
3pi
2
− 3pi
2
x1
Figura 11.4:
11.1.2 Func¸a˜o Coseno
Definic¸a˜o 11.3. Chama-se func¸a˜o coseno a func¸a˜o dada na forma
f(x) = a cos(bx+ k) + c, b 6= 0
onde
• a e´ a amplitude - e´ a contracc¸a˜o do eixo 0y
• b e´ a contracc¸a˜o do eixo 0x ou a ampliac¸a˜o em 0x
1) se b e´ igual a 3 cada onda contrai-se 3 vezes
2) se b e´ igual a
1
3
cada onda amplia-se horizontalmente 3 vezes
• A func¸a˜o coseno e´ perio´dica e tem per´ıodo T = 2pi
b
• O gra´fico passa(um dos seus per´ıodos comec¸a) pelo ponto bx+ k = 0⇒ k = −k
b
• Imf = [c− a, c+ a]
Exemplo 11.3. Veja alguns exemplos de esboc¸os gra´ficos de func¸o˜es coseno.
1) y = cosx vide func¸a˜o da figura (11.8)
2) y = 2 cos
(pi
2
− 2x
)
+ 3,
3) y = −3 cos
(pi
2
+ 2x
)
− 5,
dr. betuel de jesus varela canhanga 137
x
y
−2pi
−pi
0o
pi
2pipi
2
−pi
2
3pi
2
− 3pi
2
Figura 11.5:
cos
sin
−2pi
−pi
0o
pi
2pipi
2
−pi
2
3pi
2
− 3pi
2
x1
Figura 11.6:
cos
sin
−2pi
−pi
0o
pi
2pipi
2
−pi
2
3pi
2
− 3pi
2
x1
Figura 11.7:
138 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
11.1.3 Func¸a˜o Tangente
Definic¸a˜o 11.4. Chamamos func¸a˜otangente a func¸a˜o dada na forma
f(x) = a tan(bx+ k) + c
onde
• a e´ a amplitude - e´ a contracc¸a˜o do eixo 0y
• b e´ a contracc¸a˜o do eixo 0x ou a ampliac¸a˜o em 0x
1) se b e´ igual a 3 cada onda contrai-se 3 vezes
2) se b e´ igual a
1
3
cada onda amplia-se horizontalmente 3 vezes
• A func¸a˜o tangente e´ perio´dica e tem per´ıodo T = pi
b
• O gra´fico na˜o passa pelo ponto bx = pi
2
+ kpi
• Imf =]−∞,+∞[
Exemplo 11.4. 1) y = tanx
x
y
−2pi −pi 0o pi 2pipi
2
−pi
2
3pi
2
− 3pi
2
Figura 11.8:
2) y = 2 tan
(pi
2
− 2x
)
+ 3, vide figura (11.9)
dr. betuel de jesus varela canhanga 139
cos
sin
x1
0o pi
2
−pi
2
Figura 11.9:
Observac¸a˜o 11.2. Geralmente considera-se uma perda de tempo o ensino da func¸a˜o cotangete,
pois, quem conhece a func¸a˜o tangente, basta que se recorde que
tanx =
1
cotx
ou cotx =
1
tanx
,
para resolver qualquer questa˜o relaccionada a func¸a˜o cotangente
11.2 Equac¸o˜es Trigonome´tricas
Neste para´grafo, vamos estudar equac¸o˜es que envolvem a trigonome´tria. Dos temas anteriores, o
estudante ja´ sabe o que e´ uma equac¸a˜o e o que significa resolver uma equac¸a˜o, iremos aqui pura
e simplismente e no uso dos conhecimentos ja´ adquiridos, tratar de explicar ao estudante como se
resolvem equac¸o˜es trigonome´tricas
11.2.1 Seno
sinx = sin a enta˜o x =
{
x = a+ 2kpi,
x = (180− a) + 2kpi,
Exemplo 11.5. Resolver com o Professor as seguintes questo˜es
1) sinx = 1
2) sinx = −1
140 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
3) sinx = 0
4) sinx =
1
2
5) sin 2x =
−√3
2
11.2.2 Coseno
cosx = cos a enta˜o x =
{
x = a+ 2kpi,
x = −a+ 2kpi,
Exemplo 11.6. Resolver com o Professor as seguintes questo˜es
1) cosx = a
2) cosx = 1
3) cosx = −1
4) cosx = 0
5) cosx =
√
2
2
6) cosx =
−√3
2
11.2.3 Tangente
tanx = tan a enta˜o x =
{
x = a+ kpi,
x = a− kpi, ⇒ x = a± kpi
Exemplo 11.7. Resolver com o Professor as seguintes questo˜es
1) tanx = a, a ∈ R+
2) cotx = a, a ∈ R+
3) tanx = 1
4) cotx =
√
3
5) tan 2x = −√3
6) 3× tan 2x = −√3
Observac¸a˜o 11.3. Os estudantes esta˜o ja habituados (quero crer) a resolver uma inequac¸a˜o, partindo
sempre de uma euqac¸a˜o. Aqui, na˜o iremos fugir a regra, portanto para resolver uma inequac¸a˜o
trigonome´trica devemos
dr. betuel de jesus varela canhanga 141
1) Transformar a inequac¸a˜o em uma equac¸a˜o
2) Resolver a inequac¸a˜o
3) Identificar a regia˜o soluc¸a˜o da inequac¸a˜o
Exemplo 11.8. Professor, resolver com os estudantes as inequac¸o˜es que se seguem mostrando-os as
soluc¸o˜es apartir de esboc¸os em c´ırculos trigonome´tricos.
1) sinx > a
2) sinx < a
3) cosx ≥ a
4) sinx ≤ 0
5) sinx >
√
2
2
6) cosx > −
√
3
2
7) tanx > a
8) tanx < −a
9) tanx < −1
10) cosx ≤ −1
2
11) cosx ≥ 1
2
11.3 Exerc´ıcios de Aplicac¸a˜o
1) Construa o gra´fico (um per´ıodo completo) das seguintes func¸o˜es, dando o domı´nio, a imagem e
o per´ıodo.
(a) f(x) = 3 + sinx
(b) f(x) = −3 sinx
(c) f(x) = −1 + 13 sin 3x
(d) f(x) = 1− 2 sin(−x+ pi)
2) Fac¸a como o exerc´ıcio anterior para as seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = 2 cosx
(b) f(x) = −12 cos 4x
(c) f(x) = 2 cos
(
x+
3pi
2
)
− 12
142 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
3) Idem para:
(a) f(x) = 2 tanx
(b) f(x) = −14 tanx
(c) f(x) = 1 + 4 tan
(
x− pi
2
)
4) Determine, utilizando o c´ırculo trigonome´trico:
(a) sin 150o
(b) tan 5pi6
(c) sin 4pi3
(d) tan 5pi3
5) Determine em func¸a˜o do arco x as seguintes expresso˜es:
(a) sin
(
3pi
2
+ x
)
(b) sin
(
3pi
2
− x
)
6) Exprima em func¸a˜o do arco x as seguintes expresso˜es:
(a) cos(4pi + x)
(b) sin
(
5pi
2
− x
)
(c) cos
(
9pi
2
+ x
)
7) Simplifique a expressa˜o cos(5pi+x)×tan(4pi−x)
sin(pi+x)×cos
pi
2
− x
8) Calcule, usando as fo´rmulas de adic¸a˜o:
(a) sin 5pi12
(b) cos 7pi12
(c) cos 11pi12
9) Simplifique sin 4x× cos 3x− cos 4x× sin 3x
10) Sendo dado 0 ≤ x ≤ pi2 e sinx = 45 ,
(a) calcule cosx, sin 2x, cos 2x e tan 2x.
(b) em que quadrante se situa o aˆngulo correspondente a 2x?
11) Calcule sin 2x sabendo que sinx+ cosx = 1, 2.
12) Demonstre que
sin 2x
1− cos2 x =
2
tanx
.
13) Sendo dado cos = 12 , com 0 ≤ x ≤ pi2 , determine cos x2 .
14) Sendo dado sinx = 35 , com 0 ≤ x ≤ pi2 , determine sin x2 , cos x2 e tan x2 .
15) Dada tan x2 =
1
2 , determine sinx, cosx e tanx.
16) Transforme em produto as expressoes seguinres:
dr. betuel de jesus varela canhanga 143
(a) sin(2x+ y) + sin(2x− y)
(b) sin 7x+ sin 5x+ sin 3x+ sinx
(c) cos 2x+ cos 4x+ cos 6x = cos 8x
17) Simplifique a expressao cos 4a+cos 2asin 4a−sin 2a .
18) Transforme em produto a expressao sin2 x− sin2 y.
19) Resolva as seguintes rquacoes em seno:
(a) sin 3x = sin pi4
(b) sin
(
3x− pi
4
)
= sin pi4
(c) sin
(
2x− pi
4
)
= −1
(d) sin
(
2x− pi
3
)
=
√
3
2
20) Resolva as seguintes equacoes em cosseno:
(a) cosx = cos pi3
(b) cos 2x = cos
(
x− pi
6
)
(c) cos
(
3x− pi
4
)
= 0
(d) cos
(
2x− pi
3
)
= 12
21) Resolva as seguintes equacoes em tangente:
(a) tan 3x = tan 2x
(b) tan 3x−√3 = 0
22) Resolva as seguintes equacoes trigonometricas:
(a) cosx− sinx = 0
(b) 2 sin2 x = sinx
(c) sin
2 x−1
sinx−1 = 0
(d) 3 sinx− 2 sin2 x = 0
23) Resolva as seguintes inequacoes em seno:
(a) sinx ≥ −
√
2
2
(b) 2 sinx =
√
2
(c) 0 < sinx < 1
24) Resolva as seguintes inequacoes em cosseno:
(a) cosx ≤ 12
(b) 2 cosx+ 1 > 0
(c) 0 < cosx < 1
25) Resolva as seguintes inequacoes em tangente:
(a) tanx <
√
3
3
144 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
(b) 3 tanx−√3 > 0
(c) 0 < tanx < 1
26) Resolva as seguintes inequacoes trigonometricas:
(a) cos 2x > 0
(b) sin
(
2x− pi
4
)
≥ 12
(c) tan
(
x− pi
4
)
< −1
(d) 2 sin2 x− 3 sinx+ 1 ≥ 0
27) Determine o valor de x de modo que (pode usar calculadora):
(a) x = arccos
√
2
2
(b) x = arctan 6
(c) x = arcsin
(
cos
pi
2
)
Ensinar e´ lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceˆ
Com a simplicidade construimos o nosso orgulho
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Cap´ıtulo 12
Sucessa˜o e Limites de Sucesso˜es;
Limite de Func¸o˜es
12.1 Sucessa˜o e Limites de Sucesso˜es
12.1.1 Sucesso˜es
Definic¸a˜o 12.1. Chamaremos de Sucessa˜o a toda e qualquer aplicac¸a˜o de N∗ = N\{0} em R : Isto
e´, aplicac¸a˜o com domı´nio igual ao conjunto de nu´meros Naturais e contradomı´nio igual ou contido em
R
Exemplo 12.1. Vamos, a seguir, mostrar alguns exemplos de sucesso˜es.
1) 2; 4; 6; 8; · · · an = 2n; ∀n ∈ N∗
2) 1; 4; 9; 16; · · · an = n2; ∀n ∈ N∗
3) 2; 4; 8; 16; · · · an = 2n; ∀n ∈ N∗
Observac¸a˜o 12.1. Os termos sa˜o numerados assim: a1, a2, a3, · · · , an; respectivamente, para o
primeiro, segundo, terceiro, e n-e´simo termo; onde an e´ tambe´m chamado Termo geral da sucessa˜o.
Definic¸a˜o 12.2. Termo Geral duma sucessa˜o e´ o termo pelo qual ela e´ gerada.
Exemplo 12.2. Determine os primeiros treˆs termos da sucessa˜o de termo geral an = 5 + 7n Iremos
determinar
a1, a2 e a3,
a1 = 5 + 7× 1 = 5 + 7 = 12,
a2 = 5 + 7× 2 = 5 + 14 = 19,
a3 = 5 + 7× 3 = 5 + 21 = 26.
145
146 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
12.1.2 Monotonia de uma Sucessa˜o
• Uma sucessa˜o an diz-se crescente se an+1 − an > 0
Exemplo 12.3. Consideremos a sucessa˜o de termo geral an = 2n+ 1, nesta sucessa˜o o termo
an+1 = 2(n+ 1) + 1 = 2n+ 3;
achando a diferenc¸a
an+1 − an
teremos
an+1 − an = 2n+ 3− (2n+ 1) = 2n+ 3− 2n− 1 = 2;
porque 2 e´ maior que zero dizemos que a sucessa˜o de termo geral an = 2n+ 1 e´ crescente.• Uma sucessa˜o an diz-se decrescente se an+1 − an < 0
Exemplo 12.4. Consideremos a sucessa˜o de termo geral an =
1
n
, nesta sucessa˜o o termo
an+1 =
1
n+ 1
;
achando a diferenc¸a
an+1 − an
teremos
an+1 − an = 1
n+ 1
− 1
n
=
n
n(n+ 1)
− n+ 1
n(n+ 1)
=
n− n− 1
n(n+ 1)
= − 1
n(n+ 1)
;
porque o denominador e´ sempre maior do que zero, (veja que o n e´ maior que zero) dai que a
fracc¸a˜o toda seja menor do que zero. Dizemos enta˜o que a sucessa˜o de termo geral an =
1
n
e´
decrescente.
• Se an+1 − an = 0; diz-se que a sucessa˜o an e´ constante.
Exemplo 12.5. Considere a sucessa˜o de termo geral an = 2, nesta sucessa˜o o termo
an+1 = 2
achando a diferenc¸a
an+1 − an
teremos
an+1 − an = 2− 2 = 0
o que nos leva a dizer que a sucessa˜o de termo geral an = 0 e´ constante
dr. betuel de jesus varela canhanga 147
Observac¸a˜o 12.2. Uma sucessa˜o diz se monotona se for crescente ou decrescente. Isto e´, se
uma sucessa˜o for constante dizemos que ela na˜o e´ monotona.
Exemplo 12.6. Classifique quanto a monotonia (monotona crescente, monotona decrescente e na˜o
monotona) as seguintes sucesso˜es
1) an =
n+ 1
n
2) an =
1
n+ 1
3) an = 2− 5n
4) an = (−2)n
5) an = 3n
6) an = −3
12.1.3 Gra´fico de uma Sucessa˜o
Exemplo 12.7. Veja os seguintes exemplos
1) Seja dada a sucessa˜o
an =
1
n
O gra´fico desta sucessa˜o e´ um gra´fico e pontos isolados. Vamos construir a tabela de valores e
a partir desta construiremos o espectivo gra´fico.
n 1 2 3 4 5
an 1 12
1
3
1
4
1
5
Pode constatar se que a sucessa˜o dada tende a aproximar o eixo horizontal na medida em que os
n
an
•
• • • • •
Figura 12.1:
valores de n aumentam. Diremos enta˜o que ela tende para zero quando n tende para o infinito.
148 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
2) Seja dada a sucessa˜o
an = 1 +
1
n
,
Vamos construir a tabela de valores e a partir desta construiremos o espectivo gra´fico.
n 1 2 3 4 5
an 2 32
4
3
5
4
6
5
Do ultimo exemplo vemos do gra´fico que cada termo fica mais perto de 1, ou ainda que os os
n
an
•
• • • • •
Figura 12.2:
valores que a sucessa˜o vai tomando na medida que os valores de n va˜o aumentando sa˜o cada vez
mais pro´ximos da unidade. Diz-se neste caso que a sucessa˜o converge para 1 quando n tende
para ∞ (infinito). Escreve-se
lim
n→∞ an = 1
ou simplismente
lim an = 1
12.1.4 Limite de uma Sucessa˜o
A sucessa˜o an converge para o limite k se, ao aumentar o nu´mero n, os termos an da sucessa˜o tendem
para o valor k, ou seja, aproximam-se cada vez mais de k. Escreve-se:
lim
n→∞ an = k
ou
lim an = k
e diz se que an e´ Convergente.
A sucesa˜o que na˜o converge, isto e´, que na˜o tem limite e´ chamada divergente.
12.1.5 Operac¸o˜es com Limites de Sucesso˜es
Suponhamos que an e bn sa˜o sucesso˜es convergentes com limites respectivamente k1 e k2. Isto e´:
lim an = k1 lim bn = k2,
significa que ao aumentar o nu´mero n, os termos de an aproximam-se cada vez mais de k1 enquanto
isso os termos de bn aproximam-se cada vez mais de k2 disto podemos concluir:
dr. betuel de jesus varela canhanga 149
1) lim(an + bn) = lim an + lim bn = k1 + k2.
2) lim(an − bn) = lim an − lim bn = k1 − k2.
3) lim
an
bn
=
lim an
lim bn
=
k1
k2
k2 6= 0.
4) lim(an × bn) = lim an × lim bn = k1 × k2.
5) lim(an)p = (lim an)
p = kp1.
6) lim pan = plim an = pk1 .
Observac¸a˜o 12.3. Quando se fala de limite de sucessa˜o, pode na˜o se escrever a tendeˆncia, pois e´
sempre para o infinito.
Vejamos alguns casos importantes Determine o lim kbn sabendo que bn →∞
1) lim kbn = 0 se |k| < 1, isto e´ −1 < k < 1.
2) lim kbn =∞ se k > 1.
3) lim kbn na˜o exite se k ≤ −1.
4) lim kbn e´ indeterminac¸a˜o se k = 1.
12.1.6 Formas Indeterminadas
Vamos estudar os seguintes tipos de formas ba´sicas:
• ∞∞ e´ uma indeterminac¸a˜o
• ∞−∞ e´ uma indeterminac¸a˜o
• 0
0
e´ uma indeterminac¸a˜o
• 1∞ e´ uma indeterminac¸a˜o
• 0×∞ e´ uma indeterminac¸a˜o
Exemplo 12.8. Ache o limite de
1) an =
2 + 4n
n+ 1
substituindo teremos
lim an = lim
(
2 + 4n
n+ 1
)
=
∣∣∣∣∣∣∞∞ ∣∣∣∣∣∣
para levantarmos a indeterminac¸a˜o vamos escolher no denominador a parte que mais depressa
corre para o infinito (parte mais velha) e fazemos o mesmo no denominador. Teremos enta˜o:
n→∞⇒ 2 + 4n ∼ 4n n+ 1 ∼ n
dai teremos
lim an = lim
(
2 + 4n
n+ 1
)
= lim
4n
n
= 4 videfig.(12.3)
150 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
n
an
• •
• • •
Figura 12.3:
n 1 2 3 4 5
an 3 103 = 3.333(3)
7
2 = 3.5
18
5 = 3.6
11
3 = 3.666(6)
2) an =
3
n
1
n2
fazendo a substituic¸a˜o teremos
lim an = lim
3
n2
1
n
=
[
0
0
]
para levantar esta indeterminac¸a˜o,vamos fazer a divisa˜o e teremos
3
n2
1
n
=
3n
n2
=
3
n
de onde teremos
lim
3
n
= 0
3) an =
(
1 + 2n
1 + 3n
)3
4) an =
(
2n3+
4n2 + n3
)2
− 24
5) an =
6
n
3
n
12.1.7 O Nu´mero e
Exemplo 12.9. Veja os seguintes exemplos
dr. betuel de jesus varela canhanga 151
1) Seja an =
(
1 +
1
n
)n
vamos pelo me´todo gra´fico determinar o limite de an
n 1 2 3 4 5
an 2 94 = 2.25
(
4
3
)3 ≈ 2.37 (54)4 ≈ 2.44 (65)5 ≈ 2.48
n
an
• •
• • •
e ≈ 2.7183
Figura 12.4:
Pela resoluc¸a˜o deste exercicio pode ver se que
lim an = lim
(
1 +
1
n
)n
= [1∞]
que e´ uma indeterminac¸a˜o. Com base no gra´fico podemos ler que
lim an = lim
(
1 +
1
n
)n
= e.
Observac¸a˜o 12.4. Suponhamos que an → 1, bn →∞ enta˜o teremos
lim (an)
bn = [1∞] = elim(an−1)bn
2) Determine
lim
(
n+ 2
n
)n
.
Se formos a substituir o n pelo infinito teremo uma indeterminac¸a˜o na base do tipo[∞
∞
]
,
ao levantarmos esta indeterminac¸a˜o passamos a ter uma outra indeterminac¸a˜o, a do tipo [1∞] .
para levantarmos este tipo de na˜o determinac¸a˜o recorremos ao seguinte:
lim(an)bn = [1∞] = elim(an−1)×bn = e
lim
 
n+ 2
n
− 1
)
×n
enta˜o
lim(an)bn = e
lim
 
n+ 2− n
n
)
×n
= e
lim
 2
n
)
×n
= e2
3) Determine lim
(
n+ 1
n+ 2
)2n
152 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
12.2 Progresso˜es
Vamos estudar 2 tipos de progresso˜es:Progressa˜o Aritme´tica e Progressa˜o Geome´trica.
12.2.1 Progressa˜o Aritme´tica
Definic¸a˜o 12.3. Chama-se Progressa˜o Aritme´tica (P.A) a` toda a sucessa˜o em que o termo con-
sequente obte´m-se adicionando um certo valor constante ao termo precedente. A` este valor constante
da´-se o nome de Raza˜o ou Diferenc¸a da P.A. Seja d a raza˜o de um PA, a1 o seu primeiro termo,
a2 = a1 + d, a3 = a2 + d, a4 = a3 + d · · · an = an−1 + d
Exemplo 12.10. Observe seguintes exemplos
1) 1, 3, 5, 7, 9, 11 · · · A Raza˜o desta progressa˜o e´ 2
2) 10, 7, 4, 1,−2,−5, · · · A raza˜o desta progressa˜o e´ −3
12.2.2 Termo Geral de uma Progressa˜o Aritme´tica.
O termo geral duma P.A. e´ dado por:
an = a1 + (n− 1)× d ou an = ak + (n− k)d
onde d e´ a raza˜o da P.A.
Exemplo 12.11. Determine o termo geral e o vige´simo termo das progresso˜es: 10, 7, 4, 1,−2,−5, · · ·
Vamos primeiro achar a raza˜o:
d = an − an−1 = 7− 10 = 1− 4 = −5− (−2 = −3).
O primeiro termo da progressa˜o e´ a1 = 10 Agora podemos determinar o termo geral:
an = a1 + d(n− 1) = 10 + (n− 1)× (−3) = −3n+ 13.
O vige´simo termo e´
a20 = −3× 20 + 13 = −47.
12.2.3 Soma de n termos de uma Progressa˜o Aritme´tica.
A soma de n termos de uma progressa˜o aritme´tica e´ dada pela formula
Sn =
a1 + an
2
× n;
onde:
• a1 e´ o primeiro termo dos termos a somar,
• an e´ o u´ltimo termo dos termos a somar, e
• n e´ o nu´mero de termos a somar.
Exemplo 12.12. Dada a progressa˜o: 1,3, 5, 7, 9, 11, 13, · · ·
dr. betuel de jesus varela canhanga 153
1) Determine a soma dos primeiros 20 termos da progressa˜o. Para resolver esta questa˜o vamos usar
a formula
Sn =
a1 + an
2
× n;
depois de transformada. Sabendo que
an = a1 + (n− 1)d
teremos
Sn =
a1 + a1 + d(n− 1)
2
× n =
[
a1 +
d
2
(n− 1)
]
n;
substituindo
a1 = 1, d = 2, n = 20,
teremos
S20 =
[
1 +
2
2
(20− 1)
]
20 = (1 + 19)20 = 20× 20 = 400;
2) Determine
a5 + a6 + a7 + · · ·+ a20
, veja que o primeiro termo da soma e´ a5 = 9, u´ltimo termo da soma e´
a20 = a1 + d(20− 1) = 1 + 2× 19 = 39
e o nu´mero de termos a somar e´ n = 16, utilizando a formula obterems
S16 =
(
a1 + an
2
)
n =
(
a5 + a20
2
)
16 =
(
9 + 39
2
)
16 = 384.
12.2.4 Progressa˜o Geome´trica
Definic¸a˜o 12.4. Toda a sucessa˜o cujo termo consequente obte´m-se multiplicando o termo precedente
por um nu´mero constante, chama-se Progressa˜o Geome´trica (P.G). Ao nu´mero constante, da´-se o
nome de raza˜o ou quociente da P.G.
12.2.5 Termo Geral de uma Progressa˜o Geome´trica.
O termo geral de uma PG e´ dado pela formula
an = a1 × qn−1 ou an = ak × qn−k, k < n
Exemplo 12.13. vejamos: 1, 3, 9, 27, 81, · · · E´ uma P.G. de raza˜o q = 3
Vamos primeiro achar a raza˜o:
q =
an − a
n− 1 =
3
1
=
9
3
=
27
9
= 3.
O primeiro termo da progressa˜o e´ a1 = 1 Agora podemos determinar o termo geral:
an = a1 × q(n−1) = 1× 3n−1.
O vige´simo termo e´
a20 = 319 = 1162261467.
154 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Exemplo 12.14. Determine o termo geral da progressa˜o seguinte:
2, 6, 18, 54, 162, · · ·
Para determinar o termo geral vamos usas
a1 = 2, q =
18
6
=
6
2
= 3
e teremos
an = a1 × qn−1 = 2× 3n−1
12.2.6 Soma de n termos de uma Progrssa˜o Geome´trica.
A soma de n termos de uma PG e´ dada por
Sn =
a1 × (1− qn)
1− q
Onde:
1) a1 e´ o primeiro termo da soma,
2) n e´ o nu´mero de termos a somar e
3) q , como ja´ vimos, e´ a raza˜o da progressa˜o.
Exemplo 12.15. Determine a soma dos primeiros 5 termos da seguinte progressa˜o geome´trica
2, 6, 18, 54, 162 · · ·
Observac¸a˜o 12.5. para achar a soma destes 5 termos podemos recorrer ao me´todo tradicional e
teremos
2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242,
isto o fizemos porque a quantidade de termos e´ pequena, estamos a somar somente 5 termos. Imagine
que quizessemos somar 500 termos, quanto trabalho teriamos? E´ nessas ocasio˜es que se urge impor-
tante usar a formula da soma de n termos de uma P.G. Usando a formula para somar os 5 primeiros
termos da PG teriamos
a1 = 2, q = 3, n = 5,
e teremos
S5 =
a1 × (1− q5)
1− q =
2× (1− 35)
1− 3 =
2× (1− 243)
−2 =
2× (−242)
−2 = 242
Exemplo 12.16. Resolva seguintes questo˜es
1) Qual das seguintes sucesso˜es sa˜o PA ou PG
dr. betuel de jesus varela canhanga 155
(a) 3, 5, 2, −1, · · ·
(b) 2, 2, 2, 2, · · ·
(c) 18, 12, 8, 4, · · ·
(d) 5, 7, 9, 11, · · ·
(e) −1
2
,
1
4
, −1
8
,
1
16
, · · ·
2) Construa a fo´rmula do termo geral das seguintes PA
(a) 210, 220, 230, 240, · · ·
(b) 10, 12, 14, 16, · · ·
3) Construa a fo´rmula do termo geral das seguintes PG
(a) 2, 10, 50, 250, · · ·
(b) 5, 50, 500, 5000, · · ·
4) Ache as seguintes somas
(a) 1 + 2 + 3 + · · ·+ 300
(b) 10 + 12 + 14 + · · ·+ 98
5) Ache as seguintes somas
(a) 2 + 1 +
1
2
+
1
4
+ · · ·
(b)
1
3
− 1
9
+
1
27
− · · ·
6) Ache a representac¸a˜o racional de cada uma das fracc¸o˜es decimal perio´dica
(a) 5, 111111 · · ·
(b) 2.5333333 · · ·
12.3 Limite de uma Func¸a˜o
Definic¸a˜o 12.5. Diz-se que o nu´mero b e´ limite da func¸a˜o f(x), quando x tende para a (x→ a);
se para qualquer valor xi pertencente a vizinhanc¸a de raio δ > 0 e centro em a tem se
|xi − a| < δ ⇒ |f(xi)− b| < ε
onde ε > 0 e escreve-se
lim
x→a f(x) = b,
156 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
12.3.1 Ca´lculo de Limite de uma Func¸a˜o
Observac¸a˜o 12.6. Ao calcularmos limite de uma func¸a˜o procedemos de maneira analoga ao ca´lculo
de limites de sucesso˜es. Todos os me´todos usados para levantamento de indeterminac¸o˜es de sucesso˜es
sa˜o va´lidos para limites de func¸o˜es.
12.3.2 Indeterminac¸a˜o do Tipo
0
0
Exemplo 12.17. veja: lim
x→2
x− 2
x2 − 4 =
[
0
0
]
Este tipo de indeterminac¸a˜o levanta-se:
1) Factorizando, no caso de expresso˜es racionais, ou
2) Substituindo, para casos de expresso˜es irracionais, ou
3) Multiplicando pelo conjugado
lim
x→2
x− 2
x2 − 4 = limx→2
x− 2
(x+ 2)(x− 2) = limx→2
1
x+ 2
=
1
4
12.3.3 Limites Laterais
1) Se f(x) tende para o limite b quando x tende para a; tomando apenas valores menores que a,
escreve-se:
lim
x→a−
f(x) = b
O nu´mero b chama-se Limite a` Esquerda de f(x) no ponto a
2) Se f(x) tende para o limite c quando x tende para a; tomando apenas valores maiores que a,
escreve-se:
lim
x→a+
f(x) = c
O nu´mero c chama-se Limite a` Direita de f(x) no ponto a
Portanto b e c sa˜o chamados Limites Laterais
Exemplo 12.18. Determine os limites laterais das func¸o˜es
1)
f(x) =
 3, se x < 2;x− 1, caso contra´rio,
Vamos construir o gra´fico desta func¸a˜o para podermos observas os seus limites laterais.
Com base na figura (12.5) constatamos que:
• a esqueda de 2 a func¸a˜o tende para 3, lim
x→2−
f(x) = 3
• a direita de 2 a func¸a˜o tende para 1, lim
x→2+
f(x) = 1
dr. betuel de jesus varela canhanga 157
x
y
Figura 12.5:
Definic¸a˜o 12.6. Diz se que uma func¸a˜o tem limite num certo ponto se os seus limites laterais
forem iguais.
Observac¸a˜o 12.7. Para a func¸a˜o esboc¸ada na figura (12.5), porque seus limites laterais sa˜o
diferentes quando x→ 2, dizemos que ela na˜o tem limite quando x→ 2.
2)
f(x) =

x2 − 1, se x ∈]−∞, 1[;
−x+ 1, x ∈]1;∞[;,
2, x = 1;,
Vamos construir o gra´fico desta func¸a˜o para podermos observas os seus limites laterais.
x
y
Figura 12.6:
Com base na figura (12.6) constatamos que:
• a esqueda de 1 a func¸a˜o tende para 0, lim
x→1−
f(x) = 0
• a direita de 1 a func¸a˜o tende para 0, lim
x→1+
f(x) = 0
158 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Observac¸a˜o 12.8. Para a func¸a˜o esboc¸ada na figura (12.6), porque seus limites laterais sa˜o
iguais quando x→ 1 dizemos que ela tem limite e esse limite e´ igual a zero.
12.3.4 Limites Nota´veis
Veja alguns limites nota´veis
1) lim
x→0
sinx
x
= 1
x
y
Figura 12.7:
Observac¸a˜o 12.9. Veja que o gra´fico da func¸a˜o
y =
sinx
x
tem um ponto de discontinuidade, que e´ o ponto de abcissa x = 0, esboc¸ando o gra´fico podemos
ver que a func¸a˜o tende para 1 na vizinhanc¸a de zero. Muitos exerc´ıcios sobre limites de func¸o˜es
trigonome´tricas resolvem-se com auxilio do limite estudado acima. Raza˜o pela qual chamamos
Limite nota´vel. Outros limites nota´veis sa˜o:
2) lim
x→0
tanx
x
= 1
3) lim
x→0
ln(x+ 1)
x
= 1
4) lim
x→0
ex − 1
x
= 1
12.4 Alguns Exercicios Resolvidos
1) Resolva lim
x→∞
(2x− 1)(3x+ 5)(4x− 2)
3x3 + x− 2
Aplicando a substituic¸a˜o, teremos
lim
x→∞
(2x− 1)(3x+ 5)(4x− 2)
3x3 + x− 2 =
[∞
∞
]
pegando as partes mais velhas teremos
lim
x→∞
(2x− 1)(3x+ 5)(4x− 2)
3x3 + x− 2 = limx→∞
2x 3x 4x
3x3
= lim
x→∞
24x3
3x3
=
24
3
= 8
dr. betuel de jesus varela canhanga 159
2) Resolva lim
x→2
x2 − 4
x2 − 3x+ 2
Aplicando a substituic¸a˜o, teremos
lim
x→2
x2 − 4
x2 − 3x+ 2 =
[
0
0
]
factorizando tanto o nume´rador como o denomı´nador teremos
lim
x→2
x2 − 4
x2 − 3x+ 2 = limx→2
(x+ 2)(x− 2)
(x− 2)(x− 1) = limx→2
x+ 2
x− 1 =
4
1
= 4.
3) Resolvalim
x→0
√
1 + x− 1
3
√
1 + x− 1
Aplicando a substituic¸a˜o, teremos
lim
x→0
√
1 + x− 1
3
√
1 + x− 1 =
[
0
0
]
para fazer com que tanto a raiz do nume´rador como a do denominador desaparec¸am fac¸amos o
m.m.c (menor mu´ltiplo comum) de 2 e 3 (´ındices das raizes). mmc(2;3)=6, fac¸amos enta˜o
t6 = 1 + x, x→ 0⇒ t→ 1
e
lim
t→1
t3 − 1
t2 − 1 = limt→1
(t− 1)(t2 + t+ 1)
(t− 1)(t+ 1) = limt→1
t2 + t+ 1
t+ 1
=
3
2
.
4) Resolva lim
x→a
√
x−√a
x− a
Aplicando a substituic¸a˜o, teremos
lim
x→a
√
x−√a
x− a =
[
0
0
]
Um outro me´todo para resolver este tipo de limites (expresso˜es irracionais) conciste na racional-
izac¸a˜o do denominador e(ou) do nume´rador. Teremos enta˜o:
lim
x→a
√
x−√a
x− a = limx→a
x− a
(x− a)(√x+√a) = limx→a
1√
x+
√
a
=
1
2
√
a
.
5) Resolva lim
x→0
(
sin 3x
x
)x+2
.
Vamos achar o limite
lim
x→0
(
sin 3x
x
)
= lim
x→0
(
3
sin 3x
3x
)
= 3
e o limite
lim
x→0
(x+ 2) = 2
de onde concluimos que
lim
x→0
(
sin 3x
x
)x+2
= 32 = 9
160 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
6) Resolva lim
x→∞
(
x+ 1
2x+ 1
)x2
Vamos achar o limite
lim
x→∞
(
x+ 1
2x+ 1
)
=
[∞
∞
]
= lim
x→∞
( x
2x
)
=
1
2
e o limite
lim
x→∞x
2 =∞
finalmente teremos
lim
x→∞
(
x+ 1
2x+ 1
)x2
=
(
1
2
)∞
= 0
7) Resolva lim
x→∞
(
x+ 1
x− 1
)x
Substituindo teremos
lim
x→∞
(
x+ 1
x− 1
)x
= [1∞]
Vamos levantar a indeterminac¸a˜o, teremos:
e
lim
x→∞
 
x+ 1
x− 1 − 1
)
x
= e
lim
x→∞
 2
x− 1
)
x
= e
lim
x→∞
 2x
x− 1
)
= e
lim
x→∞
 2x
x
)
= e2
8) lim
x→∞
(
x+ 1
x
)x
= e Aplicando a substituic¸a˜o teremos:
lim
x→∞
(
x+ 1
x
)x
= e = [1∞]
vamos levantar a indeterminac¸a˜o, teremos enta˜o:
lim
x→∞
(
x+ 1
x
)x
= e
lim
x→∞
 
x+ 1
x
− 1
)
x
= e
lim
x→∞
 1
x
)
x
= e
9) Resolva lim
x→∞x[ln(x+ 1)− ln(x)]
Substituindo teremos
lim
x→∞x[ln(x+ 1)− ln(x)] = [∞−∞]
Vamos levantar a indeterminac¸a˜o, teremos:
lim
x→∞x[ln(x+ 1)− ln(x)] = limx→∞x
[
ln
x+ 1
x
]
= lim
x→∞ ln
(
x+ 1
x
)x
= ln
[
lim
x→∞
(
x+ 1
x
)x]
como
lim
x→∞
(
x+ 1
x
)x
= e
(vide exerc´ıcios anteriores) enta˜o teremos
lim
x→∞x[ln(x+ 1)− ln(x)] = ln e = 1
dr. betuel de jesus varela canhanga 161
12.5 Continuidade de Func¸o˜es
Definic¸a˜o 12.7. A func¸a˜o f(x) diz-se cont´ınua no ponto x = x0 se verificam simultaneamente as
seguintes condic¸o˜es:
1) A func¸a˜o e´ definida no ponto x = x0; isto e´, existe um nu´mero f(x0)
2) Existe limite finito de f(x) quando x tende para x0
3) lim
x→x0
f(x) = f(x0),
Exemplo 12.19. Verifique se a func¸a˜o f(x) = x2 e´ cont´ınua no ponto x0 = 2
1) A func¸a˜o f(x) = x2 e´ definida em x0 = 2 e f(2) = 4.
2) lim
x→2
x2 = 4
3) lim
x→2
x2 = f(2)
Concluimos deste modo que a func¸a˜o e´ cont´ınua.
Observac¸a˜o 12.10. Se uma func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua, dizemos que ela e´ Discont´ınua.
Observac¸a˜o 12.11. Seja f(x) uma func¸a˜o definida num certo intervalo e x0 pertencente a esse
intervalo. Enta˜o, se:
•
lim
x→x−0
f(x) = f(x0) 6= lim
x→x+0
f(x)
dizemos que ela e´ cont´ınua a Esquerda.
•
lim
x→x+0
f(x) = f(x0) 6= lim
x→x−0
f(x)
dizemos que ela e´ cont´ınua a Direita.
12.5.1 Pontos de Descontinuidade
Se num dado ponto x = x0 , a condic¸a˜o de continuidade e´ violada, enta˜o x0 chama-se Ponto de
Descontinuidade.
Exemplo 12.20. Na func¸a˜o
f(x) =
x− 1
(x− 2)(x+ 1)
e´ descont´ınua nos pontos x = 2, x = −1 pois esta func¸a˜o na˜o esta´ definida nestes pontos. Enta˜o
x = 2, x = −1 sa˜o pontos de descontinuidade para a func¸a˜o dada.
162 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
12.6 Classificac¸a˜o dos Pontos de Descontinuidade
12.6.1 Descontinuidade da Primeira Espe´cie
Se para uma func¸a˜o f(x) existirem limites laterais finitos e diferentes, isto e´,
1) ∃ lim
x→x−0
f(x)
2) ∃ lim
x→x+0
f(x)
3) lim
x→x−0
f(x) 6= lim
x→x+0
f(x)
enta˜o o ponto de descontinuidade x = x0 chama-se Ponto de Descontinuidade da Primeira
Espe´cie do Tipo Salto.
Se lim
x→x−0
f(x) = lim
x→x+0
6= f(x0, ) enta˜o o ponto de descontinuidade x = x0 chama-se Ponto de
Descontinuidade da Primeira Espe´cie Elimina´vel ou Evita´vel.
Exemplo 12.21. 1) A func¸a˜o [vide figura (12.8)]
f(x) =
 x+ 1, se x ≥ 2;−x, x < 2.
x
y
Figura 12.8:
e´ descont´ınua no ponto x = 2, Classifique o tipo de descontinuidade.
12.6.2 Descontinuidade da Segunda Espe´cie
Se para uma func¸a˜o f(x) pelo menos um dos limites laterais for ∞ ; a descontinuidade e´ da segunda
espe´cie.
Exemplo 12.22. Vejamos seguintes exemplos
dr. betuel de jesus varela canhanga 163
x
y
Figura 12.9:
1) Investigue a continuidade da func¸a˜o y =
1
x
, esta func¸a˜o e´ homogra´fica e tem a = 0, b = 1, c =
1, d = 0,
pelo gra´fico da figura (12.9) podemos fazer as seguintes leituras
(a) lim
x→0+
= +∞
(b) lim
x→0−
= −∞
(c) A func¸a˜o e´ no ponto x = 0 discontinua (discontinuidade de segunda espe´cie).
2) Investigue a continuidade da func¸a˜o y =
x− 1
(x− 2)(x+ 1) , pelo gra´fico da figura (12.10) podemos
fazer as seguintes leituras
(a) lim
x→−1−
= −∞
(b) lim
x→−1+
= +∞
(c) lim
x→2−
= −∞
(d) lim
x→2+
= +∞
(e) A func¸a˜o e´ nos pontos x = −1 e x = 2 discontinua (discontinuidade de
segunda espe´cie).
12.7 Exercicios De Aplicac¸a˜o
1) Determine os primeiros 4 termos das sucessoes seguintes:
(a) Un =
√
n
(b) Un =
(
1
2
)n
164 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
x
y
Figura 12.10:
2) Calcule os tres termos seguintes e o temo geral das seguintes sucessoes:
(a) 12 ,
1
6 ,
1
9 , ...
(b) 1, 15 ,
1
9 , ...
3) Os numeros totais de diagonais que se podem titar de todos os vertices de um poligono formam
uma sucessao. Definiremos o termo geral Un desta sucessao como sendo o numero total de
diagonais de um poligono de n vertices.
(a) Explique porque esta definicao so tem sentido a partir de n = 4.
(b) Calcule os primeiros 4 termos da sucessao.
(c) Determine o termo geral da sucessao.
4) Determine, caso exista, o limite das seguintes sucessoes:
(a) Un = 1− 2n2
(b) Un = 2n
(c) Un = 14n−3
(d) Un = 2−n
2
n
(e) Un = 1+3
n
3n
5) Determine:
(a) lim
(
n2
n2 − 6 −
1
n
)
(b) lim
(
2n +
1
2n
)
(c) lim
(
2n2 + 2
n2 − 1
)6
(d) lim 3
√
27− 1n
dr. betuel de jesus varela canhanga 165
(e) lim 3
n
3n+4n
6) Calcule:
(a) lim
(
n+ 1
n
)n
2
(b) lim
(
1 +
1
2n+ 1
)n
(c) lim
(
1 +
1
kn
)n
7) Investigue a continuidade da seguinte funcao: f(x) = x
2−3x+2
x2+x+1
.
8) Determine, caso existam, as equacoes das assimptotas das seguintes funcoes:
(a) y = tanx
(b) y = 1
x2−1
(c) y = 1
(x−1)2
(d) y = x
2+x
x
(e) y = 1sinx
(f) y = 2 + 1√
x
(g) y = 51−x − 5
(h) y = arctanx+ 10
(i) y = 1ln |x|
9) Calcule:
(a) lim
x→1
2x2−5x+8
x2+1
(b) lim
x→3
x−3√
3−x
(c) lim
x→4
√
x−2
x−4
(d) lim
x→a
x2−ax
a−x
(e) lim
x→p
x−√p
x2−p
(f) lim
x→∞
(
1 +
k
x
)x
(g) lim
x→0
√
2x+1−√x+1
sinx
(h) lim
x→0
sin 4x
tanx
(i) lim
x→0
sinx−tanx
x
(j) lim
x→0
sin x
2
8x
Determine se e´ cont´ınua a funcao f(x) = sinx|x| , f(0) = 1.
10) tem Seja f uma funcao definida por f(x) =
{
3x x ≤ −1
x2 − x+ p x > −1 . Determini p para que a
funcao f seja cont´ınua.
166 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
11) Determine se e´ cont´ınua a funcao f(x) =
{
x2 −1, x ≤ 0;
|x2 − 1|, x > 1.
Ensinar e´ lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceˆ
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Cap´ıtulo 13
Ca´lculo Difereˆncial
13.1 Conceito de Derivada
Definic¸a˜o 13.1. Seja dada um func¸a˜o f(x) que e´ definida num certo domı´nio D. Suponhamos que
x1 e x2 sa˜o dois pontos pertencentes a D, e x2 > x1 chamaremos de incremento de f a func¸a˜o
dada pela expressa˜o
∆y = f(x2)− f(x1).
Definic¸a˜o 13.2. Sejam x1 e x2 dois pontos pertencentes a D, e D e´ o domı´nio de definic¸a˜o de uma
func¸a˜o f(x)suponhamos ainda que x2 > x1, chamaremos de incremento de x a expressa˜o
∆x = x2 − x1.
x
y
2x
x1 x2
f(x1)
f(x2)
∆y
∆x
Figura 13.1:
Observac¸a˜o 13.1. Na figura abaixo vamos trac¸ar a partir do gra´fico anterior um segmento que une
os pontos f(x1) e f(x2)
167
168 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
x
y
2x
x1 x2
f(x1)
f(x2)
Figura 13.2:
Podemos ver que estamos na presenc¸a de um triaˆngulo com pontos em (x1, f(x1)); (x2, f(x1))
e (x2, f(x2)). Da trigonome´tria sabemos que o quociente dos catetos (oposto pelo adjacente) a um
determinado aˆngulo corresponde a tangente a esse aˆngulo; sabemos tambe´m que a tangente a um
determinado aˆngulo dita o coeficiente angular da hipotenusa, isto e´, o grau de inclinac¸a˜o da hipotenusa.
A ser assim,
∆y
∆x
=
cateto oposto
cateto adjacente
e´ o coeficiente angular (declive do segmento que une f(x1) com f(x2)
Observac¸a˜o 13.2. Vejamos o seguinte, como
∆y = f(x2)− f(x1) e ∆x = x2 − x1 ⇒ x2 = x1 +∆x
e
∆y = f(x1 +∆x)− f(x1)
Definic¸a˜o 13.3. Suponhamos agora que a distaˆncia entre os pontos x1 e x2 e menor, isto e´
x2 ∼= x1 ⇒ x2 − x1 ∼= 0⇒ ∆x→ 0
Suponhamos ainda que nestas condic¸o˜es existe o limite
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
f(x1 +∆x)− f(x1)
∆x
este limite e´ igual a derivada da func¸a˜o f(x) em x1 e denota-se f ′(x1).
Definic¸a˜o 13.4. A func¸a˜o que determina a relacc¸a˜o entre os valores de x e as derivadas nesses pontos
chamamos de func¸a˜o derivada e denota-se f ′(x)
Exemplo 13.1. Consideremos alguns exemplos.
dr. betuel de jesus varela canhanga 169
1) Usando a definic¸a˜o de derivada determine a deriva de f(x) = 2 Vamos achar ∆y a parte.
Consideremos um x qualquer pertencente ao domı´nio de f(x). Veja que esta func¸a˜o e´ constante
, portanto f(x) = 2 e f(x+∆x) = 2 dai teremos que
∆y = f(x+∆x)− f(x) = 22 − 22 = 0
Passemos agora ao ca´lculo do limite
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
0
∆x
= 0
dizemos enta˜o que
f ′(x) = 0 e por exemplo f ′(0) = 0; f ′(2) = 0; f ′(4) = 0.
2) Usando a definic¸a˜o de derivada determine a deriva de f(x) = x Vamos achar ∆y a parte.
Consideremos um x qualquer pertencente ao domı´nio de f(x).
∆y = f(x+∆x)− f(x) = (x+∆x)− x = ∆x
Passemos agora ao ca´lculo do limite
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
∆x
∆x
= 1
dizemos enta˜o que
f ′(x) = 1, e por exemplo f ′(0) = 1; f ′(2) = 1; f ′(4) = 1.
3) Usando a definic¸a˜o de derivada determine a deriva de f(x) = 3x Vamos achar ∆y a parte.
Consideremos um x qualquer pertencente ao domı´nio de f(x).
∆y = f(x+∆x)− f(x) = 3(x+∆x)− 3x = 3∆x
Passemos agora ao ca´lculo do limite
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
3∆x
∆x
=
[
0
0
]
levantamos a indeterminac¸a˜o (simplificando a expressa˜o) teremos
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
3
1
= 3
dizemos enta˜o que
f ′(x) = 3, e por exemplo f ′(0) = 3; f ′(2) = 3; f ′(4) = 3.
170 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
4) Usando a definic¸a˜o de derivada determine a deriva de f(x) = 2x+ 1 Vamos achar ∆y a parte.
Consideremos um x qualquer pertencente ao domı´nio de f(x).
∆y = f(x+∆x)− f(x) = [2(x+∆x) + 1]− (2x+ 1) = 2x+ 2∆x+ 1− 2x− 1 = 2∆x
Passemos agora ao ca´lculo do limite
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
2∆x
∆x
= 2
dizemos enta˜o que
f ′(x) = 2, e por exemplo f ′(0) = 2; f ′(2) = 2; f ′(4) = 2.
5) Usando a definic¸a˜o de derivada determine a deriva de f(x) = x2 Vamos achar ∆y a parte.
Consideremos um x qualquer pertencente ao domı´nio de f(x).
∆y = f(x+∆x)− f(x) = (x+∆x)2 − x2 = x2 + 2x∆x+ (∆x)2 − x2 = 2x∆x+ (∆x)2
Passemos agora ao ca´lculo do limite
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
2x∆x+ (∆x)2
∆x
=
[
0
0
]
levantamos a indeterminac¸a˜o (simplificando a expressa˜o) teremos
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
2x+∆x
1
= 2x
dizemos enta˜o que
f ′(x) = 2x, e por exemplo f ′(0) = 2× 0; f ′(2) = 2× 2 = 4; f ′(4) = 2× 4 = 8.
6) Usando a definic¸a˜o de derivada determine a deriva de f(x) = x2+5x Vamos achar ∆y a parte.
Consideremos um x qualquer pertencente ao domı´nio de f(x).
∆y = f(x+∆x)− f(x) = (x+∆x)2 + 5(x+∆x)− (x2 + 5x) =
= x2 + 2x∆x+ (∆x)2 + 5x+ 5∆x− x2 − 5x = (∆x)2 + 2x∆x+ 5(∆x)
Passemos agora ao ca´lculo do limite
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
(∆x)2 + 2x∆x+ 5(∆x)
∆x
=
[
0
0
]
levantamos a indeterminac¸a˜o (simplificando a expressa˜o) teremos
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
∆x+ 2x+ 5
1
= 2x+ 5
dizemos enta˜o que
f ′(x) = 2x+5, e por exemplo f ′(0) = 2×0+5 = 5; f ′(2) = 2×2+5 = 9; f ′(4) = 2×4+5 = 13.
dr. betuel de jesus varela canhanga 171
7) Usando a definic¸a˜o de derivada determine a deriva de f(x) = x3 Vamos achar ∆y a parte.
Consideremos um x qualquer pertencente ao domı´nio de f(x).
∆y = f(x+∆x)− f(x) = (x+∆x)3 − x3 = x3 + 3x2∆x+ 3x(∆x)2 + (∆x)3 − x3 =
= 3x2∆x+ 3x(∆x)2 + (∆x)3
Passemos agora ao ca´lculo do limite
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
3x2∆x+ 3x(∆x)2 + (∆x)3
∆x
=
[
0
0
]
levantamos a indeterminac¸a˜o (simplificando a expressa˜o) teremos
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
3x2 + 3x∆x+ (∆x)2
1
= 3x2
dizemos enta˜o que
f ′(x) = 3x2, e por exemplo f ′(0) = 3× 02 = 0; f ′(2) = 3× 22 = 12; f ′(4) = 3× 42 = 48.
8) Usando a definic¸a˜o de derivada determine a deriva de f(x) =
1
x
Vamos achar ∆y a parte.
Consideremos um x qualquer pertencente ao domı´nio de f(x).
∆y = f(x+∆x)− f(x) = 1
x+∆x
− 1
x
=
x− x−∆x
x(x+∆x)
=
= − ∆x
x(x+∆x)
Calculemos tambe´m
∆y
∆x
∆y
∆x
= −
∆x
x(x+∆x)
∆x
= − ∆x
x∆x(x+∆x)
;
Passemos agora ao ca´lculo do limite
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
− ∆x
x∆x(x+∆x)
=
[
0
0
]
levantamos a indeterminac¸a˜o (simplificando a expressa˜o) teremos
lim
∆x→0
∆y
∆x
= − lim
∆x→0
1
x(x+∆x)
= − 1
x2
dizemos enta˜o que
f ′(x) = − 1
x2
, e por exemplo @f ′(0); f ′(2) = − 1
22
= −1
4
; f ′(4) = − 1
42
= − 1
16
.
172 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
9) Usando a definic¸a˜o de derivada determine a deriva de f(x) =
1
x2
Vamos achar ∆y a parte.
Consideremos um x qualquer pertencente ao domı´nio de f(x).
∆y = f(x+∆x)− f(x) = 1
(x+∆x)2
− 1
x2
=
x2 − (x+∆x)2
x2(x+∆x)2
=
=
x2 − x2 − 2x∆x− (∆x)2
x2(x+∆x)2
= −2x∆x+ (∆x)
2
x2(x+∆x)2
Calculemos tambe´m
∆y
∆x
∆y
∆x
= −
2x∆x+ (∆x)2
x2(x+∆x)2
∆x
= − 2x∆x+ (∆x)
2
x2(x+∆x)2∆x
= − 2x+∆x
x2(x+∆x)2
Passemos agora ao ca´lculo do limite
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
− 2x+∆x
x2(x+∆x)2
= −2x
x4
= − 2
x3
.
dizemos enta˜o que
f ′(x) = − 2
x3
, e por exemplo @f ′(0); f ′(2) = − 2
23
= −1
4
; f ′(4) = − 2
43
= − 1
32
.
10) Usando a definic¸a˜o de derivada determine a deriva de f(x) =
√
x Vamos achar ∆y a parte.
Consideremos um x qualquer pertencente ao domı´nio de f(x).
∆y = f(x+∆x)− f(x) = √x+∆x−√x
racionalizando o numerador (multiplicando pelo seu conjugado) teremos
∆y =
(
√
x+∆x−√x)(√x+∆x+√x)√
x+∆x+
√
x
=
∆x√
x+∆x+
√
x
Calculemos tambe´m a parte
∆y
∆x
teremos
∆y
∆x
=
∆x
∆x(
√
x+∆x+
√
x)
e simplificando a expressa˜o teremos
∆y
∆x
=
1
(
√
x+∆x+√
x)
Passemos agora ao ca´lculo do limite
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
∆y
∆x
=
1
(
√
x+∆x+
√
x)
=
1
2
√
x
.
dizemos enta˜o que
f ′(x) =
1
2
√
x
, e por exemplo @f ′(0); f ′(2) =
1
2
√
2
; f ′(4) =
1
2
√
4
=
1
4
.
dr. betuel de jesus varela canhanga 173
11) Usando a definic¸a˜o de derivada determine a deriva de f(x) = sinx Vamos achar ∆y a parte.
Consideremos um x qualquer pertencente ao domı´nio de f(x).
∆y = f(x+∆x)− f(x) = sin(x+∆x)− sinx (13.1)
vamos usar as formulas trigonome´tricas, lembre-se que
sin p− sin q = 2 sin p− q
2
cos
p+ q
2
(13.2)
aplicando (13.2) em (13.1) teremos
lim
∆x→0
2
sin
(
∆x
2
)
cos
(
2x+∆x
2
)
∆x
Passemos agora ao ca´lculo do limite
lim
∆x→0
2
sin
(
∆x
2
)
cos
(
2x+∆x
2
)
∆x
.
Lembre-se que
lim
x→0
sinx
x
= 1
enta˜o
lim
∆x→0
2
sin
(
∆x
2
)
cos
(
2x+∆x
2
)
2
(
∆x
2
) =
= lim
∆x→0
sin
(
∆x
2
)
(
∆x
2
) × cos(2x+∆x
2
) = lim∆x→0
[
1× cos
(
2x+∆x
2
)]
= cosx
12) Usando a definic¸a˜o de derivada determine a deriva de f(x) = cosx Vamos achar ∆y a parte.
Consideremos um x qualquer pertencente ao domı´nio de f(x).
∆y = f(x+∆x)− f(x) = cos(x+∆x)− cosx (13.3)
vamos usar as formulas trigonome´tricas, lembre-se que
cos p− cos q = −2 sin p+ q
2
sin
p− q
2
(13.4)
aplicando (13.4) em (13.3) teremos
lim
∆x→0
−2
sin
(
2x+∆x
2
)
sin
(
∆x
2
)
∆x
174 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Passemos agora ao ca´lculo do limite
lim
∆x→0
−2
sin
(
2x+∆x
2
)
sin
(
∆x
2
)
∆x
.
Lembre-se que
lim
x→0
sinx
x
= 1
enta˜o
lim
∆x→0
−2
sin
(
2x+∆x
2
)
sin
(
∆x
2
)
2
(
∆x
2
) =
= − lim
∆x→0
sin
(
∆x
2
)
(
∆x
2
) × sin(2x+∆x
2
) = − lim∆x→0
[
1× sin
(
2x+∆x
2
)]
= − sinx
Observac¸a˜o 13.3. Segundo a definic¸a˜o podemos calcular a derivada de qualquer func¸a˜o, muito em-
bora na˜o seja ta˜o fa´cil para algumas func¸o˜es um pouco mais complicadas. Existem no entanto um
conjunto de formulas e regras que ajudam a determinac¸a˜o da derivada de qualquer func¸a˜o.
13.2 Derivac¸a˜o por Tabela
Vamos a seguir apresentar um conjunto de regras que podem ser usadas para a derivac¸a˜o, estas regras,
auxiliam-se a` tabela de derivadas
13.2.1 Regras de Derivac¸a˜o
Seja x ∈ R, p e´ uma constante real , f, g, t sa˜o func¸o˜es de x enta˜o cumpre-se o seguinte:
1)
x′ = 1. (13.5)
2)
t(x) = xp ⇒ t′(x) = pxp−1. (13.6)
3)
t(x) = pf(x)⇒ t′(x) = pf ′(x). (13.7)
4)
t(x) = f(x) + g(x)⇒ t′(x) = f ′(x) + g′(x). (13.8)
5)
t(x) = f(x)× g(x)⇒ t′(x) = f ′(x)g(x) + g′(x)f(x). (13.9)
dr. betuel de jesus varela canhanga 175
6)
t(x) =
f(x)
g(x)
⇒ t′(x) = f
′(x)g(x)− g′(x)f(x)
g2(x)
. (13.10)
7)
t(x) = f(g(x))⇒ t′(x) = f ′(g(x))g′(x). (13.11)
13.2.2 Tabelas de Derivac¸a˜o
Seja x ∈ R, p e´ uma constante real , f, g, t sa˜o func¸o˜es de x enta˜o cumpre-se o seguinte:
1) t(x) = p⇒ t′(x) = 0.
2) t(x) =
√
x⇒ t′(x) = 1
2
√
x
, x > 0.
3) t(x) = sinx⇒ t′(x) = cosx.
4) t(x) = cosx⇒ t′(x) = − sinx.
5) t(x) = tanx⇒ t′(x) = 1
cos2 x
.
6) t(x) = cotx⇒ t′(x) = − 1
sin2 x
.
7) t(x) = arcsinx⇒ t′(x) = 1√
1− x2 , (−1 < x < 1).
8) t(x) = arccosx⇒ t′(x) = − 1√
1− x2 , (−1 < x < 1).
9) t(x) = arctanx⇒ t′(x) = 1
1 + x2
.
10) t(x) = arcctgx⇒ t′(x) = − 1
1 + x2
.
11) t(x) = ax ⇒ t′(x) = ax ln a, (a > 0).
12) t(x) = ex ⇒ t′(x) = ex ln e = ex.
13) t(x) = lnx⇒ t′(x) = 1
x
, (x > 0).
14) t(x) = loga x⇒ t′(x) =
1
x ln a
, (x > 0, a > 0).
Exemplo 13.2. Iremos em seguida apresentar alguns exemplos da aplicac¸a˜o das regras e tabelas de
derivadas.
1) Derive y = x5 − 4x3 + 2x− 3
Como estamos na presenc¸a de um polino´mio podemos derivar mono´mio a amono´mio auxiliando-
nos da regra (13.8) e (13.6) teremos
y′ = 5x4 − 4× 3x2 + 2 = 5x4 − 12x2 + 2.
176 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
2) Derive y = ax2 − bx+ c, a 6= 0.
derivaremos mono´mio a amono´mio auxiliando-nos da regra (13.8) e (13.6) teremos
y′ = 2ax− b.
3) Derive y =
2x+ 3
x2 − 5x+ 5
Estamos na presenc¸a de uma fracc¸a˜o, auxiliando-nos da regra (13.10) teremos
y′ =
2(x2 − 5x+ 5)− (2x− 5)(2x+ 3)
(x2 − 5x+ 5)2 =
−2x2 − 6x+ 25
(x2 − 5x+ 5)2 .
4) Derive y = 5 sinx− 4 cosx
Temos que derivar func¸o˜es trigonome´tricas, auxiliamo-nos na regra (13.7) e (13.8), teremos
y′ = 5 cosx− 4× (− sinx) = 5 cosx+ 4 sinx.
5) Derive y = x2 arctanx
Auxiliados na regra (13.9) teremos
y′ = 2x arctanx+
x2
x2 + 1
.
6) Derive y = x6ex
Trata-se da derivada de producto que conte´m func¸a˜o exponeˆncial. Auxilamo-nos a regra (13.9)
teremos
y′ = 6x5ex + x6ex.
7) Derive y = ex arcsinx
Trata-se da derivada de producto que conte´m func¸a˜o exponeˆncial e trigonome´trica. Auxilamo-
nos a regra (13.9) teremos
y′ = ex arcsinx+
ex√
1− x2 .
8) Derive y = lnx lg x
Trata-se da derivada de producto que conte´m func¸a˜o logar´ıtmica. Auxilamo-nos a regra (13.9)
teremos
y′ =
lg x
x
+
lnx
x ln 10
.
9) Derive y = (1 + 2x)50
Estamos na presenc¸a de uma func¸a˜o composta. Auxilamo-nos a regra (13.11) teremos
y′ = 50(1 + 2x)49(1 + 2x)′ = 50(1 + 2x)492 = 100(1 + 2x)49.
dr. betuel de jesus varela canhanga 177
10) Derive y =
(
3x+ 1
5
)4
teremos
y′ = 4
(
3x+ 1
5
)3(3x+ 1
5
)′
= 4
(
3x+ 1
5
)3(3
5
)
=
12
5
(
3x+ 1
5
)3
.
11) Derive y =
√
1− x2
Estamos na presenc¸a de uma func¸a˜o composta. Auxilamo-nos a regra (13.11) teremos
y′ =
(1− x2)′
2
√
1− x2 =
−2x
2
√
1− x2 = −
x√
1− x2 .
12) Derive y = (2− 3 sin 2x)6
teremos
y′ = 6(2− 3 sin 2x)5(2− 3 sin 2x)′ = 6(2− 3 sin 2x)5(−3 cosx)(2x)′ =
= −18(2− 3 sin 2x)5 cosx× 2 = −36(2− 3 sin 2x)5 cosx.
13) Derive y =
√
1− arctanx
teremos
y′ =
(1− arctanx)′
2
√
1− arctanx =
−
(
1
1 + x2
)
2
√
1− arctanx =
= − 1
(1 + x2)(2
√
1− arctanx) .
14) Derive y = arcsin
(
x√
1 + x2
)
y′ =
(
x√
1 + x2
)′
√
1−
(
x√
1 + x2
)2 (13.12)
Simplificando esta expressa˜o teremos
y′ =
(
x√
1 + x2
)′
√
1
1 + x2
=
(
x√
1 + x2
)′√
1 + x2 (13.13)
Supondo que
y1 =
x√
1 + x2
calculamos y′1
y′1 =
(
x√
1 + x2
)′
=
√
1 + x2 − x× (1 + x
2)′
2
√
1 + x2
1 + x2
=
√
1 + x2 − 2x
2
2
√
1 + x2
1 + x2
(13.14)
178 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
simplificando esta expressa˜o (achando mmc no numerador) teremos
y′1 =
1
(1 + x2)
√
1 + x2
(13.15)
Aplicando (13.15) em (13.13) teremos
y′ =
1
1 + x2
15) Derive y = arctan lnx
Sabendo que (arctan t)′ =
1
1 + t2
enta˜o:
y′ =
(lnx)′
1 + ln2 x
=
1
x(1 + ln2 x)
13.2.3 Exercicios Propostos
Determine a derivada das seguintes func¸o˜es
1) y = sin3 5x cos2
x
3
2) y = − 11
2(x− 2)3 −
4
x− 3
3) y = − 15
4(x− 3)5 −
10
3(x− 3)4 −
1
2(x− 3)2
4) y =
x7
7(1− x3)5
5) y =
√
2x2 − 2x+ 1
x
6) y =
x√
2x2 − 2x+ 1
7) y =
x
a2
√
a2 + x2
8) y =
x3
3
√
(1 + x2)3
9) y =
2
3
3
√
x2 +
18
7
x 6
√
x+
9
5
x
3
√
x2 +
6
13
x3 5
√
x
10) y =
1
8
3
√
(1 + x3)8 − 1
5
3
√
(1 + x3)6
11) y =
4
5
4
√
x− 1
x+ 3
12) y = x5(b− 3x4)5
13) y =
(
a+ bxn
a− bxn
)k
14) y =
9
7(x− 3)4 −
4
(x− 3)3 +
2
(x+ 2)2
− 7
(x− 3)3
dr. betuel de jesus varela canhanga 179
15) y = (a− x)√a+ x
16) y =
√
(x− a)(x− b)(x− c)(x− d)
17) y = 7
√
x+ 5
√
x
18) y = (2x+ 1)(3x− 2)√3x− 5
19) y =
1√
2ax− x4
20) y = ln( 3
√
1 +ax − 3x)− ln(√1 + ex + loga x)
21) y =
cos3 x(3 cos4 cos5 x− 5)
15
22) y =
(tanx−1)(tan4 x+ 7 tan5 x− arctanx)
3 tan3 x
23) y = tan( cos3 x)
24) y =
1
2
sinx2
25) y = sin7(x− 2 cosx4)
26) y = 4 sinx cos2 x2 + sinx2
27) y =
tan3 x
3
− tanx+ x
28) y = − cosx
4 sin4 x
+
4
3
cotx
29) y =
√
a sin2 x+ b cosx2
30) y = arctan
x sinα
1 + x cosβ
31) y = sinx a
32) y = 6
√
eax+b
33) y = ecos
2 x
34) y =
√
cosxa
√
sinx
35) y = ln(x+
√
a2 + x2)
36) y = x− 2√x+ 2 ln(1 + 5√x
37) y =
x
ln3 x
38) y = ln cos
x− 2
x2
39) y = ln
(x− a)2
x3 + b
40) y = ln ln ln lnx
Observac¸a˜o 13.4. 1)
180 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
2) Estudo da Primeira Derivada
(a) Se a primeira derivada de f(x) for posetiva numa regia˜o do domı´nio da func¸a˜o f(x), enta˜o
a func¸a˜o e´ crescente nessa regia˜o.
(b) Se a primeira derivada de f(x) for negativa numa regia˜o do domı´nio da func¸a˜o f(x), enta˜o
a func¸a˜o e´ decrescente nessa regia˜o
(c) Se a primeira derivada de f(x) for igual a zero num determinado ponto do domı´nio da
func¸a˜o f(x), enta˜o a func¸a˜o atinge um ma´ximo relactivo ou local nesse ponto.
3) Estudo da Segunda Derivada
(a) Se a segunda derivada de f(x) for posetiva numa regia˜o do domı´nio da func¸a˜o f(x), enta˜o
a func¸a˜o tem concavidade virada para cima nessa regia˜o.
(b) Se a segunda derivada de f(x) for negativa numa regia˜o do domı´nio da func¸a˜o f(x), enta˜o
a func¸a˜o tem concavidade virada para baixo nessa regia˜o
(c) Se a segunda derivada de f(x) for igual a zero num determinado ponto do domı´nio da
func¸a˜o f(x), enta˜o a func¸a˜o tem uma inflexa˜o nesse ponto.
Veja os exerc´ıcios resolvidos.
13.3 Exerc´ıcios Resolvidos
1) Consideremos a func¸a˜o f(x) = x2 − 1,
(a) ache a primeira e segunda derivadas.
(b) Estude a monotonia e a concavidade de f(x)
Resoluc¸a˜o
Usando as regras de derivac¸a˜o teremos
f ′(x) = 2x f ′′(x) = 2
Vamos esboc¸ar no mesmo gra´fico as treˆs func¸o˜es
dr. betuel de jesus varela canhanga 181
x
y
x2 − 1
2x
2
Figura 13.3:
Da Leitura do gra´fico e dos nossos conhecimentos sobre diferenciac¸a˜o tiramos as seguintes con-
cluso˜es
• A func¸a˜o dada e´ quadra´tica com valor de a posetivo (concavidade virada para cima).
• A func¸a˜o tem um mı´nimo igual a -1 quando x = 0,
• A func¸a˜o der´ıvada tem zero no ponto onde a func¸a˜o f(x) atinge um extremo relactivo
(mı´nimo).
• A segunda derivada e´ posetiva e igual a 2, por isso a concavidade da para´bola e´ virada para
cima.
• A primeira derivada de f(x) e´ negativa no intervalo ] −∞; 0[ e nesse intervalo a func¸a˜o
f(x) e´ decrescente.
• A primeira derivada de f(x) e´ posetiva no intervalo ]0;+∞[ e nesse intervalo a func¸a˜o f(x)
e´ crescente.
2) Consideremos a func¸a˜o f(x) = x3 − 3x2 + 2x,
(a) ache a primeira e segunda derivadas.
(b) Estude a monotonia e a concavidade de f(x)
(c) Determine os seus extremos relactivos
Resoluc¸a˜o
Usando as regras de derivac¸a˜o teremos
f ′(x) = 3x2 − 6x+ 2 f ′′(x) = 6x− 6
Vamos esboc¸ar no mesmo gra´fico as treˆs func¸o˜es, f(x), f ′(x), f ′′(x)
182 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
x
y
3x2 − 6x+ 2
6x− 6
x3 − 3x2 + 2x
Figura 13.4:
Da Leitura do gra´fico e dos nossos conhecimentos sobre diferenciac¸a˜o tiramos as seguintes con-
cluso˜es
• A func¸a˜o dada e´ cu´bica e por isso tem 3 raizes, xa = 0, xb = 1, xc = 2.
• A func¸a˜o derivada f ′(x) = 3x2 − 6x + 2 tem concavidade virada para cima, tem zeros
nos pontos x1 = 1 − 1√
3
e x2 = 1 +
1√
3
onde a func¸a˜o f(x) atinge extremo relactivo
(ma´ximo em x1 ) e (mı´nimo em x2 ). Veja que estes extremos sa˜o mesmo relactivos, pois
na˜o e´ verdade que o ma´ximo valor que a func¸a˜o toma e´ atingido em 1− 1√
3
e tambe´m na˜o
e´ verdade que o mı´nimo valor que a func¸a˜o toma e´ atingido em 1 +
1√
3
.
• A func¸a˜o f(x) tem um mı´nimo relactivo (local) igual a f
(
1 +
1√
3
)
.
• A func¸a˜o f(x) tem um ma´ximo relactivo (local) igual a f
(
1− 1√
3
)
.
• A segunda derivada e´ uma func¸a˜o linear que e´ negativa quando x < 1 onde a concavidade
de f(x) e´ virada para baixo.
• A segunda derivada e´ posetiva quando x > 1 onde a concavidade de f(x) e´ virada para
cima.
• No ponto x = 1 a concavidade de f(x) na˜o esta´ virada para cima nem para baixo, dizemos
enta˜o que e´ o ponto de inflexa˜o, e e´ ai onde f ′′(x) = 0.
3) Fac¸a o estudo completo da seguinte func¸a˜o y =
x2 − 4
x2 + 1
Resoluc¸a˜o
Antes de mais vamos recordar que o estudo completo da func¸a˜o e´ um processo constituido por
seguintes passos:
• Determinac¸a˜o do Domı´nio da func¸a˜o.
• Determinac¸a˜o dos zeros da func¸a˜o.
dr. betuel de jesus varela canhanga 183
• Determinac¸a˜o de f ′(x) e f ′′(x).
• Determinac¸a˜o dos zeros da primeira (extremos relactivos) e segunda derivada (pontos de
inflexa˜o).
• Determinac¸a˜o das assimptotas.
• Estudo do sinal (com base no sinal da primeira derivada).
• Estudo da concavidade da func¸a˜o (com base no sinal da segunda detivada).
• Esboc¸o gra´fico.
(a) Determinac¸a˜o do Domı´nio da func¸a˜o.
f(x) =
x2 − 4
x2 + 1
, Df : x ∈ R
veja que o denominador na˜o e´ igual a zero para qualquer valor de x ∈ R.
(b) Determinac¸a˜o dos zeros da func¸a˜o.
Para determinarmos os zeros da func¸a˜o teremos
f(x) = 0⇒ x
2 − 4
x2 + 1
= 0⇒ x2 − 4 = 0⇒ x = ±2.
(c) Determinac¸a˜o de f ′(x) e f ′′(x).
i.
f ′(x) =
(x2 − 4)′(x2 + 1)− (x2 − 4)(x2 + 1)′
(x2 + 1)2
=
2x(x2 + 1)− 2x(x2 − 4)
(x2 + 1)2
=
=
2x(x2 + 1− x2 + 4)
(x2 + 1)2
=
10x
(x2 + 1)2
ii.
f ′′(x) =
10x
(x2 + 1)2
=
(10x)′(x2 + 1)2 − 10x [(x2 + 1)2]′
(x2 + 1)4
=
=
10(x2 + 1)2 − 10x [2(x2 + 1)2x]
(x2 + 1)4
=
10(x2 + 1)2 − 40x2(x2 + 1)
(x2 + 1)4
=
=
10(x2 + 1)[x2 + 1− 4x2)
(x2 + 1)4
=
10(x2 + 1)(1− 3x2)
(x2 + 1)4
(d) Determinac¸a˜o dos zeros da primeira derivada (extremos relactivos) e segunda derivada
(pontos de inflexa˜o). Vamos determinar os zeros da primeira e segunda derivada
i.
f ′(x) = 0⇒ 10x
(x2 + 1)2
= 0⇒ 10x = 0⇒ x = 0
ii.
f ′′(x) = 0⇒ 10(x
2 + 1)(1− 3x2)
(x2 + 1)4
= 0⇒ 10(x2 + 1)(1− 3x2)⇒ 1− 3x2 = 0
⇒ −3x2 = −1⇒ x2 = 1
3
⇒ x = ± 1√
3
(e) Determinac¸a˜o das assimptotas.
i. A func¸a˜o dada nao tem assimptotas verticais. Veja que ela tem o domı´nio x ∈ R.
e na˜o so´.
@a tal que lim
x→a f(x) =∞
184 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
ii. Determinemos as assimptotas horizontais (versos - obl´ıquas) Vamos achar
k1 = lim
x→+∞
f(x)
x
= lim
x→+∞
x2 − 4
(x2 + 1)x
=
[∞
∞
]
Procuramos levantar a indeterminac¸a˜o
k1 = lim
x→+∞
x2
x3
= lim
x→+∞
1
x
= 0.
b1 = lim
x→+∞[f(x)− k1x] = limx→+∞
x2 − 4
x2 + 1
= 1.
dai temos que a assimptota obliqua e´ igual a
y = k1x+ b1 = 0x+ 1 = 1
neste caso temos o caso particular de assiptota obliqua que e´ (assimptota horizon-
tal).
Achemos
k2 = lim
x→−∞
f(x)
x
= lim
x→−∞
x2 − 4
(x2 + 1)x
=
[∞
∞
]
Procuramos levantar a indeterminac¸a˜o
k2 = lim
x→−∞
x2
x3
= lim
x→−∞
1
x
= 0.
b2 = lim
x→−∞[f(x)− k2x] = limx→−∞
x2 − 4
x2 + 1
= 1.
dai temos que a assimptota obliqua e´ igual a
y = k2x+ b2 = 0x+ 1 = 1.
neste caso temos o caso particular de assiptota obliqua que e´ (assimptota horizon-
tal).
Vemos que neste caso, a func¸a˜o tem somente uma assimptota, que e´ a recta y = 1.
(f) Estudo do sinal (com base no sinal da primeira derivada). A primeira derivada e´
f ′(x) =
10x
(x2 + 1)2
.
Esta func¸a˜o e´ negativa a esquerda de zero(f(x) e´ decrescente a direita de zero). f ′(x)
e´ posetiva a direita de zero (f(x) e´ crescente a direita de zero).
(g) Estudo da concavidade da func¸a˜o(com base no sinal da segunda detivada).
f ′′(x) =
10(x2 + 1)(1− 3x2)
(x2 + 1)4
ao estudarmos o sinal desta func¸a˜o vamos somente estudar o sinal de (1− 3x2) pois os
outros factores sa˜o sempre posetivos. teremos
x ∈]−∞;− 1√
3
[∪] 1√
3
,+∞[ f ′′(x) < 0 concavidade virada para baixo
e
x ∈]− 1√
3
;
1√
3
[ f ′′(x) > 0 concavidade virada para cima
(h) Esboc¸o gra´fico.
dr. betuel de jesus varela canhanga 185
x
y
Figura 13.5:
13.4 Exerc´ıcios de Aplicac¸a˜o
1) Seja dada a func¸a˜o f(x) = x2 − x.
(a) Determine f
′
(x) pelo ca´lculo de lim
∆x→0
∆y
∆x .
(b) Determine a equac¸a˜o da tangente ao grafico em (−3, 12).
(c) Determine o ponto em que a inclinac¸a˜o do grafico e´ igual a:
i. 4
ii.
1
2
iii. −2
2) Calcule a derivada das func¸o˜es seguintes:
(a) y = x7
(b) y = x2 3
√
x
(c) y =
√
x5
x
√
x
3) Calcule a inclinac¸a˜o do grafico da func¸a˜o y = x4 nos pontos (2, 16) e (−1, 1).
4) Seja f(x) = x5. Para que valores de x , a derivada e´ igual a
5
16
?
5) Seja f(x) =
√
x.
(a) Desenhe o grafico da func¸a˜o.
(b) Calcule lim
x→0+
f(x)
(c) Investigue lim
x→0+
f
′
(x)
(d) Determine o ponto de tangencia com a equac¸a˜o y = x+
1
4
6) Determine as derivadas das func¸o˜es seguintes:
(a) y =
1
2
x3 − 3
4
x2 + 5x
186 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
(b) y = (x2 − 5)(x+ 2√x)
(c) y = (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)
(d) y =
1−√x
1 +
√
x
7) Seja f(x) = 2x2 + 2.
(a) Determine os pontos de intersecc¸a˜o do grafico com os eixos de x e dos y.
(b) Determine f
′
(x).
(c) Determine os pontos do grafico em que a tangente tem coeficiente angular igual a
3
2
.
(d) Desenhe o grafico de f .
8) Seja, agora, g(x) = 2x3 + x2 + x+ 2.
(a) Resonda a`s mesmas perguntas que no exercicio anterior.
(b) Determine os pontos do grafico em que a tangente e´ paralela a recta y = x.
(c) Desenhe o grafico de g.
9) Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es:
(a) y = (3x2 − 5x+ 8)4
(b) y = 3
√(
1
2
x− 3
)2
(c) y =
√
9x2 + 4 +
2√
9x2 + 4
(d) y =
[(
1
x− 1
)2
+ x
]2
(e) y =
√
x+ 1
x− 1
(f) y =
x√
x2 + 25
10) Determine a equac¸a˜o da tangente ao grafico de f(x) para o valor dado de x :
(a) f(x) = (3x2 + 1)2; x = −1
(b) f(x) =
1
(2x− 1)2 ; x = 1
11) Das seguintes func¸o˜es, determine:
(a) os intervalos de variac¸a˜o da func¸a˜o;
(b) as coordenadas dos pontos maximo, minimo e de inflexao.
(c) o coeficiente da tangente no ponto de inflexao.
i. f(x) = 2 + (x− 1)3
ii. f(x) = x3 − 3x2 + 2
iii. f(x) = 3
√
x
iv. f(x) =
x2
x− 1
(d) Classifique a paridade as func¸o˜es seguintes:
i. y = |x|
dr. betuel de jesus varela canhanga 187
ii. y =
1
x
iii. y =
x2 − x
x2 + 1
iv. y =
√|x2 + 1|
(e) Faca o estudo das seguintes func¸o˜es:
i. y = −x3 − 6x2 − 9x
ii. y =
x2 − 4
x2 + 1
12) Dum rectangulo de cartolina de de 10dm de 16dm faz-se uma caixa (sem tampa) cortando 4
quadrados iguais nos 4 vertices.
(a) Determine a derivada da formula do volume.
(b) Para que valor do lado dos 4 quadrados recortados o volume e´ maximo e quanto e´ esse
volume?
(c) Desenhe o grafico do volume em func¸a˜o ao lado dos quadrados referidos anteriormente.
13) Um papel rectangular de area 2m2 vai-se imprimir. As partes que se nao imprimem sao as
bordas de 20cm abaixo e acima e as bordas de 15cm e esquerda e a direita. Quais sao as
dimensoes do papel para uma area impressa maxima?
14) Seja f(x) = x2 − 1
2
x; x ∈
[
1
4
,+∞
[
(a) Determine o dominio e o contradominio da sua func¸a˜o inversa g.
(b) No grafico de g situa-se P(p,1). Calcule p.
(c) Determine a equac¸a˜o da tangente ao grafico em p.
15) f(x) = sinx+ cosx.
(a) Calcule a derivada de f.
(b) Determine os zeros de f.
(c) Determine os extremos de f.
(d) Desenhe o grafico de f.
16) Responda a`s mesmas perguntas do exercicio precedente para a func¸a˜o f(x) = sin2 x.
17) f(x) = arctanx.
(a) Desesnhe o grafico de f.
(b) Calcule as coordenadas dos pontos em que a tangente tem declive igual a
1
4
. Nn figura,
desenhe essas tangentes.
(c) Determine os valores possiveis dos coeficientes angulares das tangentes ao grafico de f.
18) Determine as derivadas das seguintes func¸o˜es:
(a) y = sin 3x
(b) y = − cos(−6x+ 3)
(c) y = 4 cos2(3x− 1)
(d) y = cosx3
(e) y = arcsin(x2 + 3x)
188 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
(f) y =
1
arccos(3x+ 1))
(g) y =
(
2
3
)−x+7
(h) y = ln(x− 4)
(i) y = log2(3x+ 5)
(j) y = 3
√
log24(sin 3x)
(k) y = pipi
(l) y = lg x2 × lg 8
(m) y =
√
sin ex + sin e
√
x
Ensinar e´ lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceˆ
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