Manual de preparação de Matematica

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Conteu´do
1 Teoria de Conjuntos 3
1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Notac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Simbologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Relacc¸o˜es de Pertenc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Formas de definic¸a˜o de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5 Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.6 Igualdade de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.7 Conjunto Nulo ou Conjunto Vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.8 Conjunto Universo ou Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.9 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.10 Conjunto de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.11 Operac¸o˜es Sobre Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Exercicios De Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Aritme´tica 12
2.1 Razo˜es e Proporc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Percentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Exercicios de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Poteˆnciac¸a˜o e Radiciac¸a˜o 17
3.1 Poteˆnciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Operac¸o˜es com Poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Multiplicac¸a˜o de Poteˆncias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes . . . . . . 18
3.2.2 Divisa˜o de Poteˆncias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes . . . . . . . . . 18
3.2.3 Multiplicac¸a˜o de Poteˆncias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes . . . . . . 18
3.2.4 Divisa˜o de Poteˆncias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes . . . . . . . . . 18
3.2.5 Poteˆncia de Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Radiciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.1 Raiz de I´mdice n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.2 Multiplicac¸a˜o e Divisa˜o de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.3 Simplificac¸a˜o de Radicais (Reduc¸a˜o ao mesmo ı´ndice) . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.4 Comparac¸a˜o de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.5 Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.6 Poteˆncia de uma raiz e Raiz de uma Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.7 Exercicios de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Algebra 24
4.1 Expresso˜es Algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.1 Expresso˜es nume´ricas e valor nume´rico de uma expressa˜o . . . . . . . . . . . . 24
4.1.2 Domı´nio de Expresso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.3 Valores Nume´ricos de Uma Expressa˜o Literal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1
2
4.1.4 Polino´mios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.5 Mono´mios Semelhantes e Mono´mios Iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.6 Operac¸o˜es Sobre Mono´mios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.7 Polino´mios, Polino´mios Semelhantes e Polino´mios Iguais . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.8 Factorizac¸a˜o de Polino´mios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.9 Polino´mios Quadra´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.10 Tria˜ngulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.11 Exercicios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.12 Exerc´ıcios de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 Geometria Plana 40
5.1 A´reas, Per´ımetros e Volumes de Figuras Geome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.1 Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.2 Losango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.3 Rectaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.4 Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.5 Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.6 Classificac¸a˜o dos triangulos - Quanto aos lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1.7 Classificac¸a˜o de Triangulos - Quanto aos Aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.8 Trape´zio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1.9 Papagaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.10 C´ırculo e Circunfereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.11 Sector Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.12 Linhas de Nı´vel de Um Triaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1.13 Teorema de Pitaˆgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.14 Aˆngulos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.15 Aˆngulos Internos de Um Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.16 Aˆngulos Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.17 Aˆngulos Internos de Um Quadrilatero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.18 Aˆngulos Verticalmente Opostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.19 Aˆngulos Alternos Internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.20 Aˆngulos Correspondentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1.21 Teorema De Semelhanc¸as de Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 Relacc¸o˜es e Func¸o˜es 60
6.1 Relacc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.1.1 Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.1.2 Func¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1.3 Func¸o˜es Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.4 Sistemas de Equac¸o˜es e Inequac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Exercicios De Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Func¸o˜es Quadra´ticas 74
7.1 Func¸o˜es e Equac¸o˜es Quadra´ticas, Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.1.1 Func¸o˜es Quadra´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.1.2 Estudo Completo de uma Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.1.3 Equac¸o˜es Quadra´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.1.4 Exerc´ıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.1.5 Equac¸o˜es Parame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.1.6 Func¸a˜o e Equac¸a˜o Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.1.7 Composic¸a˜o de func¸o˜es por func¸o˜es Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.1.8 Equac¸o˜es e Inequao˜esRadicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.2 Exercicios De Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3
8 Func¸a˜o Logaritmica e Exponeˆncial 90
8.1 Func¸a˜o e Equac¸a˜o Exponeˆncial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.1.1 Resoluc¸a˜o de Equac¸o˜es Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.1.2 Inequac¸a˜o Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.1.3 Func¸a˜o exponeˆncial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.4 Representac¸a˜o Gra´fica de uma Func¸a˜o Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.5 Ca´lculo Logar´ıtmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.1.6 Propriedades Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.1.7 Equac¸a˜o Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.1.8 Inequac¸a˜o Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.1.9 Func¸a˜o Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.1.10 Representac¸a˜o Gra´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.2 Exercicios de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9 Func¸a˜o Homogra´fica E Modular 104
9.0.1 Func¸a˜o e Equac¸a˜o Homogra´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.1 Equac¸o˜es e Inequac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.2 Func¸a˜o Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.2.1 Gra´fico da Func¸a˜o Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.2.2 Equac¸o˜es Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.2.3 Inequac¸o˜es Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.3 Exercicios de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10 Trigonometria Elementar 121
10.1 Razo˜es Trigonome´tricas No Triaˆngulo Rectaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.1.1 Aˆngulos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.1.2 Fo´rmula Fundamental da Trigonome´tria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.1.3 C´ırculo Trigonome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.1.4 Passagem Para o Primeiro Quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
10.1.5 Passagem Para Radianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.1.6 Teorema dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.1.7 Teorema dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.1.8 A´rea de triaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.2 Exercicios de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11 Func¸o˜es E Equac¸o˜es Trigonome´tricas 133
11.1 Func¸o˜es Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11.1.1 Func¸a˜o Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.1.2 Func¸a˜o Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.1.3 Func¸a˜o Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.2 Equac¸o˜es Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.2.1 Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.2.2 Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
11.2.3 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
11.3 Exerc´ıcios de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
12 Sucessa˜o e Limites de Sucesso˜es; Limite de Func¸o˜es 145
12.1 Sucessa˜o e Limites de Sucesso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
12.1.1 Sucesso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
12.1.2 Monotonia de uma Sucessa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
12.1.3 Gra´fico de uma Sucessa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
12.1.4 Limite de uma Sucessa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
12.1.5 Operac¸o˜es com Limites de Sucesso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4
12.1.6 Formas Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.1.7 O Nu´mero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.2 Progresso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.2.1 Progressa˜o Aritme´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.2.2 Termo Geral de uma Progressa˜o Aritme´tica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.2.3 Soma de n termos de uma Progressa˜o Aritme´tica. . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.2.4 Progressa˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
12.2.5 Termo Geral de uma Progressa˜o Geome´trica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
12.2.6 Soma de n termos de uma Progrssa˜o Geome´trica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
12.3 Limite de uma Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
12.3.1 Ca´lculo de Limite de uma Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
12.3.2 Indeterminac¸a˜o do Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
12.3.3 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
12.3.4 Limites Nota´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
12.4 Alguns Exercicios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
12.5 Continuidade de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
12.5.1 Pontos de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
12.6 Classificac¸a˜o dos Pontos de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
12.6.1 Descontinuidade da Primeira Espe´cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
12.6.2 Descontinuidade da Segunda Espe´cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
12.7 Exercicios De Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
13 Ca´lculo Difereˆncial 167
13.1 Conceito de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
13.2 Derivac¸a˜o por Tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
13.2.1 Regras de Derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
13.2.2 Tabelas de Derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
13.2.3 Exercicios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
13.3 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
13.4 Exerc´ıcios de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
 
Centro de Preparaçao aos Exames de Admisao ao Ensino Superior- CPEAES www.cpeaes.ac.mz 
 Por: Justino M. J. Rodrigues 
 
Justino Rodrigues ( Coordenador),E– Mail rjustino20@yahoo.com.br , Cel? 82-0432 760- www.cpeaes.ac.mz 
 
17
PREFÁCIO 
 
O presente livro (manual) foi preparado pelos professores deste centro (CPEAES) sob a sua 
coordenação e é destinado ao âmplo circulo de estudantes ocupados no estudo de preparação aos 
exames de admissão para o ensino superior ou no desenvolvimento da actividade pedagógica nos 
centros de ensino e pesquisa em particular. 
O traço característico deste livro (manual) consiste em expor os problemas e as tendências 
actuais de planos curriculares orientados para o ensino geral e técnico nacional, o 
aperfeiçoamento e assimilação das matérias dadas nas escolas, assinalados sob óptica do 
desenvolvimento estável dos princípios básicos da teoria e da prática, planificação dos métodos 
de estudos, sem expor a metodologia concreta de planificação. 
Os autores põe em destaque os elementos que devem ser assimilados e que possam ser úteis nas 
diferentes condições de avaliação nos exames de admissão de modo a alcançar os objectivos 
desejados. 
O livro pode ser utilizado como material de estudo. 
 
O CPEAES ficar-lhe-á muito grato se nos dar a conhecer a sua opinião a cerca da tradução do 
presente livro, assim como acerca da sua apresentação e impressão. 
Agradecer-lhe-emos também qualquer outra sugestão. 
 
NB: Este livro é propriedade do centro e todos seus direitos e obrigações estão reservados a este 
centro ( CPEAES ) 
É expressamente proibido a sua reprodução, seja ela por fotocópia ou outra forma electrónica, 
tanto como a sua venda fora deste estabelecimento (CPEAES) como detentor de todos direitos. 
 
Maputo, Maio de 2007 
Justino M. J. Rodrigues (Coordenador ) 
 
 
2
Caro Leitor!...
Quero antes, agradecer a todos que de forma directa ou indirecta fizeram parte desta obra, ao escreve-
la inspirei-me nos princ´ıpios de um grande Professor que postula a ideia de que ”...ensinar e´ lembrar
aos outros que eles sabem tanto quanto voceˆ!...” e procurei de modo solene e calmo mostrar as
mais importantes passagens que todos tivemos (porque acredito em vo´s) durante o ensino secunda´rio
e na pre´ da Universidade.
Estou consciente de que a caminhada para o ensino supe´rior e´ ardua, disconfortante, mas tambe´m
te´nue e gratificante. Espero que este mate´rial sirva aos leitores amigos dos ”romances matema´ticos”como
ferramenta necessa´ria para a caminhada que se dispo˜em seguir, e porqueˆ na˜o um bom livro para as
fe´rias de fim do ano? Tem se dito, um bom comec¸o, meio caminho andado - comece por aqui.
Moc¸ambique vive nos ultimos dias uma crescente tendeˆncia de sa´ıda da lista de paises menos
alfabetizados ”paises pobres ate´ no saber...” O Governo moc¸ambicano aposta na formac¸a˜o e olha para
ela como uma base sustenta´vel e funcional para a conquista dos mais dignos valores de uma sociedade
socializa´vel. E´ neste solene momento em que as atenc¸o˜es do pa´ıs esta˜o viradas a` causa do pensamento,
do saber e da formac¸a˜o, que em cada moc¸ambicano devemos criar um Moc¸ambique - o pa´ıs que nos
viu nascer, por isso, ca´ estamos frente a um desafio que e´ nosso e acima de tudo e´ para no`s. Estamos
todos conv´ıctos de que venceremos os desafios que iremos enfrentar; e´ com este espirito de convicc¸a˜o,
com esta esperanc¸a, que buscamos a` no`s o empenho, a abnegac¸a˜o, a dedicac¸a˜o, energia e calor para a
caminhada que hoje iniciamos.
Este caminho, cheio de agruras a que vo`s propusestes seguir e´ duro, e acima de tudo e´ encorajador
e digno, por isso, como Professor, amigo e apaixonado pela escrita oferec¸o esta obra e desejo ao leitor
, muito e muito bom trabalho. Bem Haja.
Dr. Betuel de Jesus Varela Canhanga
(Licenciado em Informa´tica)
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Cap´ıtulo 1
Teoria de Conjuntos
1.1 Conjuntos
A teoria de conjuntos e´ uma parte da matema´tica que desempenha um papel de extrema importaˆncia
na vida do dia a dia. Ela e´ aplicada em muitos campos da cieˆncia tais como: Estat´ıstica, Engenharia,
Economia e etc... Neste capitulo debrussaremo-nos sobre linhagensba´sicas da teoria de conjuntos, os
estudantes em preparac¸a˜o para os exames de admissa˜o devera˜o le-lo com muito cuidado e resolver
paulatina e atenciosamente os exerc´ıcios que se seguem.
Definic¸a˜o 1.1. Conjuntos e elementos- O conjunto e´ um conceito fundamental em todos os ramos
da matema´tica; intuitivamente um conjunto e´ uma lista, uma colecc¸a˜o, um agrupamento ou uma classe
de objectos com caracter´ısticas identicas. Os objectos em um conjunto, como veremos nos exemplos
seguintes podem ser qualquer coisa, podem ser pessoas, rios, lagos, nome de provincias, etc. Estes
objectos que fazem parte de conjuntos sa˜o chamados elementos do conjunto.
Exemplo 1.1. Vejamos seguintes exemplos de conjuntos e seus elementos
1) Os nu´meros 1, 3, 7, 10 podem ser vistos como elementos de um conjunto.
2) As soluc¸o˜es da equac¸a˜o x3 + 3x− 1 = 0 sa˜o elementos de um conjunto.
3) As vogais do alfabeto portugueˆs sa˜o elementos de um conjunto.
4) Os estudantes que faltam as aulas, sa˜o elementos de um conjunto.
5) Maputo, Gaza, Inhambane, Zambe´zia, Cabo Delgado; sa˜o elementos de um conjunto.
1.1.1 Notac¸o˜es
Designam-se Conjuntos geralmente usando letras Maiu´sculas
Exemplo 1.2.
A = {2, 4, 6, 8, ...} B = {1, 3, 5, 7, 9, ...} C = {maputo, pemba, xai− xai, lichinga}
3
4 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Os elementos de um conjunto designam-se com letras minusculas
Exemplo 1.3. Veja que os nomes dos elementos do conjunto C descrito acima, aparecem com iniciais
minusculas. Um outro exemplo e´ o das vogais do alfabeto que se representam de modo seguinte
{a, e, i, o, u}
Observac¸a˜o 1.1. Veja que no exemplo anterior os elementos de um conjunto aparecem separados
pelo sinal de v´ırgula. Quando representamos um determinado conjunto, relaccionando-o com seus
elementos denotaremos de modo seguinte
A = {a, e, i, o, u}
onde o nome do conjunto aparece com letras maiu´sculas e os elementos aparecem com letras minu´sculas.
Os elementos de um conjunto aparecem entre chaves ”{}”. A esta forma de representar conjuntos
chamamos Forma tabular ou representac¸a˜o por extensa˜o
Se definirmos um conjunto particular usando uma determinada propriedade de que se revestem seus
elementos, como, por exemplo: Ao considerarmos o conjunto B como sendo o conjunto de nume´ros
impares, usamos uma letra qualquer; por questa˜o de uniformidade usaremos a letre x para representar
um elemento qualquer e o simbolo ”:”que significa - tal que, e escrevemos
B = {x : x = 2k − 1, k ∈ N}
e leˆ-se:
B e´ um conjunto de nu´meros x tal que esses nu´meros x′s sa˜o impares. A esta meneira de construir
ou representar um conjunto chama-se representac¸a˜o por compreensa˜o
1.1.2 Simbologia
Os simbolos mais usados na teoria de conjuntos esta˜o representados a seguir
1) ∈ pertence a ∈ B
2) /∈ na˜o pertence m /∈ B
3) = igual A = B
4) 6= diferente A 6= B
5) ⊂ contido A ⊂ B
6) 6⊂ na˜o contido A 6⊂ B
7) ⊃ conte´m A ⊃ B
8) 6⊃ na˜o conte´m A 6⊃ B
9) {} vazio
10) ] cardinal ]{1, 4} = 2
dr. betuel de jesus varela canhanga 5
1.1.3 Relacc¸o˜es de Pertenc¸a
• Quando um elemento a na˜o faz parte de um determinado conjunto A , diz se que a na˜o pertence
A. E escreve se a 6∈ A
• Quando um elemento a faz parte de um determinado conjunto A , diz se que a pertence a A.
E escreve se a ∈ A
Exemplo 1.4. Seja A = {a, b, c, d, e, f} , Dizemos que A e´ um conjunto e a, b, c, d, e, f sa˜o elementos
do conjunto A . Poderemos ter seguintes afirmac¸o˜es
♣ a ∈ A
♣ e ∈ A
♣ m 6∈ A
♣ p 6∈ A
1.1.4 Formas de definic¸a˜o de um conjunto
Diremos que um conjunto esta´ bem definido, quando claramente identificam-se os seus elementos.
Existem 3 formas de definic¸a˜o de um conjunto
X Extensa˜o
X Compreensa˜o
X Diagrama deVenn
Definic¸a˜o 1.2. Um conjunto diz-se definido ou representado por extensa˜o quando ”extendemos”,
listamos todos seus elementos
Exemplo 1.5. O conjunto A esta´ representado por extensa˜o
A = {1, 3, 5, 7, 9}.
Definic¸a˜o 1.3. Um conjunto diz-se definido ou representado por compreensa˜o quando ”compreen-
demos”com base em uma regra quais sa˜o os constituintes do mesmo
Exemplo 1.6. Vejamos seguintes exemplos. O conjunto A esta´ representado por extensa˜o
A = {x : x = 2k − 1; k ∈ N e x < 10}.
1.1.5 Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos
Definic¸a˜o 1.4. Um conjunto diz-se Finito se poder-se identificar o nu´mero de elementos que dele
fazem parte. Em outras palavras, se tiver Cardinal.
Exemplo 1.7. Vejamos seguintes exemplos.
1) O Conjunto formado por capitais provinciais de Moc¸ambique
6 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
2) O Conjunto formado pelos estudantes desta turma
3) O Conjunto de nu´meros naturais menores que 1000000
Definic¸a˜o 1.5. Um conjunto diz-se Infinito se na˜o se poder identificar o nu´mero de elementos que
dele fazem parte. Em outras palavras, se na˜o tiver Cardinal.
Exemplo 1.8. Vejamos seguintes exemplos.
1) O Conjunto formado por nu´meros entre 1 e 3.
2) O Conjunto de nu´meros naturais maiores que 1000000
1.1.6 Igualdade de Conjuntos
Definic¸a˜o 1.6. O conjunto A diz se igual ao conjunto B se eles tiverem mesmos elementos, isto e´,
todos elementos de B pertencem a A - e todos elementos de A pertencem a B.
Exemplo 1.9. Vejamos seguintes exemplos.
• A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 1, 4} sa˜o conjuntos iguais
• O conjunto formado por pessoas de sexo femenino e´ igual ao conjunto formado por mulheres.
”Retirem equivocos, esquec¸am guys, lesbicas e maricas...So´ para relaxar...”
• Seja A = {x : x2 + 4x+ 4 = 0}, B = x : x+ 2 = 0, e C = {−2} sa˜o conjuntos iguais.
1.1.7 Conjunto Nulo ou Conjunto Vazio
Definic¸a˜o 1.7. Diz se que um conjunto e´ nulo ou vazio e denota-se {} ao conjunto que na˜o conte´m
elementos. Em outras palavras, o seu cardinal e´ igual a zero
Exemplo 1.10. Vejamos seguintes exemplos.
• O conjunto formado por todas pessoas com mais de 700 anos de vida na terra
• O conjunto formado pelas soluc¸o˜es da equac¸a˜o x2 + 1 = 0
1.1.8 Conjunto Universo ou Universal
Definic¸a˜o 1.8. Em qualquer aplicac¸a˜o da teoria de conjuntos, todos os conjuntos estudados estara˜o
no momento de estudo particularizados de um outro conjunto mais amplo e expresso, por exemplo,
quando falamos de nu´meros naturais, vemos que eles fazem parte de um outro conjunto, que e´ o
conjunto de nu´meros. Quando falamos de estudantes desta sala, vemos que eles fazem parte do
conjunto de estudantes desta escola, portanto ha´ sempre uma tendeˆncia de particularizar um pequeno
dr. betuel de jesus varela canhanga 7
conjunto de um outro conjunto mais amplo com o intuito de concentrar atenc¸o˜es sobre a mate´ria
em estudo. Diz se que um conjunto e´ Universo ou Universal e denota-se U , se ele conte´m todos
subconjuntos de um determinado caso em estudo.
Exemplo 1.11. Vejamos seguintes exemplos
• Em Geometria plana o conjunto Universal e´ o conjunto de todos os pontos do espac¸o.
• O Conjunto Universal do conjunto de estudantes desta turma e´ o conjunto de todos estudantes
desta escola.
1.1.9 Subconjuntos
Definic¸a˜o 1.9. O nome vai mais longe, sub-conjunto, um conjunto pequeno. O termo pequeno
na lingua portuguesa e´ relactivo,”pequeno em relacc¸a˜o a alguma coisa.”Diz se que o conjunto A e´
subconjunto do conjunto B , se todos elementos de A pertencem, isto e´, tambe´m sa˜o elementos de
B.
Exemplo 1.12. Veja seguintes exemplos
• Seja A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , o conjunto A e´ subconjunto do conjunto B.
Em outras palavras A ⊂ B
• O conjunto de capitais provinciais do Sul de Moc¸ambique e´ um subconjunto de capitais provin-
ciais de Moc¸ambique.
• Conhecemos os conjuntos
– N- Conjunto de nu´meros naturais
– Z- Conjunto de nu´meros inteiros
– Q- Conjunto de nu´meros racionais
– R- Conjunto de nu´meros reais
Enta˜o poderemos ver que o conjunto de nu´meros naturais e´ subconjunto de Z e dai segue se a
seguinte cadeia
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Costuma a dizer que o conjunto A e´ superconjunto de B . Esta afrimac¸a˜o equivale a dizer que o
conjunto B e´ subconjunto de A e isto e´ lo´gico, se B e´ subconjunto de A , enta˜o A e´ superconjunto
de B . A ser assim temos para a firmac¸a˜o
A ⊂ B
os seguintes comenta´rios:
8 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
1) O conjunto A e´ subconjunto de B
2) O conjunto A esta´ contido em B
3) O conjunto B e´ superconjunto de A
4) O conjunto B e´ conte´m A
Para a afirmac¸a˜o
A 6⊂ B
poderemos fazer seguintes comenta´rios
1) O conjunto A na˜o e´ subconjunto de B
2) O conjunto A na˜o esta´ contido em B
3) Existe em A pelo menos um elemento que na˜o faz parte de B
4) O conjunto B na˜o conte´m A
Observac¸a˜o 1.2. Atenc¸a˜o:
♠ Sem limitac¸a˜o da sua esseˆncia e para todos efeitos, o conjunto vazio - ”{}” e´ subconjunto de
qualquer conjunto
♠ Se o conjunto A = B enta˜o A ⊂ B e B ⊂ A
1.1.10 Conjunto de conjunto
Algumas vezes os elementos de um determinado conjunto, sa˜o tambe´m conjuntos, exemplo, o conjunto
formado por todos subconjuntos de um determinado conjunto e´ um conjunto de conjuntos ou ainda
famı´lia de conjuntos
Exemplo 1.13. Vejamos seguintes exemplos
1) O conjunto A = {{a, b}, {c}, {a, e}} e´ um conjunto de conjuntos.
1.1.11 Operac¸o˜es Sobre Conjuntos
1) Reunia˜o - Chama-se reunia˜o de dois conjuntos ou mais a operac¸a˜o que une elementos de dois
ou de mais conjuntos.
Exemplo 1.14. Sejam dados os seguintes conjuntos
A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 2, 7, 8}
A reunia˜o ∪ de A e B e´ um outro conjunto que poderemos designa-lo por C e teremos
C = A ∪B = {1, 2, 4, 5, 7, 8}
2) Intersecc¸a˜o - Chama-se Intersecc¸a˜o de dois conjuntos ou mais a operac¸a˜o que intersecta ele-
mentos de dois ou de mais conjuntos.
dr. betuel de jesus varela canhanga 9
Exemplo 1.15. Sejam dados os seguintes conjuntos
A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 2, 7, 8}
A intersecc¸a˜o ” ∩ ” de A e B e´ um outro conjunto que poderemos designa-lo por C e teremos
C = A ∩B = {1, 2}
Veja que participam na intersecc¸a˜o os elementos que em simultaˆneo pertencem a ambos os
conjuntos.
3) Diferenc¸a - Chama-se Diferenc¸a de dois conjuntos ou mais a operac¸a˜o que diferencia dois ou
mais conjuntos.
Exemplo 1.16. Sejam dados os seguintes conjuntos
A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 2, 7, 8}
A Diferenc¸a ” \ ” de A e B e´ um outro conjunto que poderemos designa-lo por C e teremos
C = A \B = {4, 5}
Veja que participam na diferenc¸a de A e B os elementos que fazem parte de A e que na˜o fazem
parte de B
4) Diferenc¸a Sime´trica
Exemplo 1.17. Sejam dados os seguintes conjuntos
A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 2, 7, 8}
A Diferenc¸a ” \ ” de A e B e´ um outro conjunto que poderemos designa-lo por C e teremos
C = A \B = {4, 5}
Veja que participam na diferenc¸a de A e B os elementos que fazem parte de A e que na˜o fazem
parte de B.
A Diferenc¸a ” \ ” de B e A e´ um outro conjunto que poderemos designa-lo por D e teremos
D = B \A = {7, 8}
A diferenc¸a sime´trica e´ o conjunto
E = C ∪D = {4, 5, 7, 8}
Denota-se
E = A4B
10 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
1.2 Exercicios De Aplicac¸a˜o
1) Seja dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} quais das seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras?
(a) 1 ∈ A
(b) 1,2,3 pertencem a A
(c) {1, 2, 3} ∈ A
(d) 1 ⊂ A
(e) 1 ∈ A
2) Sejam dados os conjuntos A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 7, 8} quais das seguintes afirmac¸o˜es sa˜o
verdadeiras?
(a) 1 ⊂ A
(b) 1, 2, 3 pertencem a A e a B
(c) A ∈ B
(d) {A} ⊂ B
(e) A ⊂ B
(f) B ⊃ A
3) Considere os conjuntosA e B do exerc´ıcio anterior e determine:
(a) A ∪B
(b) A ∩B
(c) seja C={1,2,3,4,5,6,7,8}. determine A \B
(d) determine A \B \ C
(e) determine A \ (B \ C)
(f) determine (A \B) \ C
4) determine A ∩B ∪ C
5) determine (A ∩B) ∪ C
6) determine A ∪ (B ∩ C)
7) Em uma turma, 20 estudantes estudam matema´tica, 30 estudantes estudanm f´ısica. 10 estudam
matema´tica e f´ısica. Responda as seguintes questo˜es:
(a) Quantos sa˜o os estudantes que frequentam somente matema´tica
(b) Quantos sa˜o os estudantes que frequentam somente f´ısica
(c) Quantos sa˜o os estudantes que frequentam matema´tica ou f´ısica
(d) quantos estudantes tem a turma
8) Em um grupo musical ha pessoas de rac¸a negra e individuos de rac¸a branca. Depois de feitas as
contas verificamos que ha´ 15 brancos puros e 5 mistic¸os (brancos negros), o grupo e´ composto
por 40 musiqueiros. Responda as questo˜es que se seguem
(a) fac¸a o diagrama de Venn que ilustre esta descric¸a˜o
(b) quantos sa˜o os negros puros
(c) quantos sa˜o os negros ou brancos.
dr. betuel de jesus varela canhanga 11
9) Em uma avaliac¸a˜o considera-se posetiva as notas maiores que 10 e menores ou igual a 20,
considera-se negativa as notas menores que 10, na˜o se considera negativa nem posetiva a nota
10. Em estatisticas, um docente apresentou a seguinte descric¸a˜o: 30 estudantes tem posetivas e
40 tem negativas, a turma e´ composta por 80 estudante.
(a) fac¸a o diagrama de venn que ilustra a descric¸a˜o
(b) quantos estudantes tiveram nota igual a 10
10) numa loja de vestuarios 400 pec¸as tem a cor amarela, 200 tem a cor azul e 100 tem a cor branca.
Na loja ha´ 1000 pec¸as, 20 pec¸as tem cor branca e azul, 30 amarela e branca.
(a) Fac¸a o diagrama de Venn que ilustre a descric¸a˜o acima
(b) Quantas pec¸as tem cores amarela, azul e branca
(c) Quantas pec¸as tem a cor azul e amarela.
(d) Quantas pec¸as na˜o tem cores amarela, azul e branca
(e) Quantas pec¸as na˜o tem cores amarela, azul ou branca
11) Durante o capeonato escolar passado o centro internato de Mocuba acolheu va´rias equipas de
diferentes modalidades desportivas (Voleibol, Andebol e Futebol). Da recepc¸a˜o sabe se que:
No total participaram 175 estudantes, 80 desportistas jogaram Andebol, 70 futebol, 5 jogaram
voleibol, andebol e futebol, 10 jogaram voleibol e andebol. Sabe se tambe´m que 50 jogadores
jogaram somente andebol e 40 jogaram somente futebol. Responda as questo˜es que se seguem
(a) Quantos sa˜o os desportistas que jogaram futebol e andebol.
(b) Quantos sa˜o os desportistas que jogaram futebol e voleibol.
(c) Quantos sa˜o os desportistas que jogaram somente voleibol.
(d) Quantos sa˜o os desportistas que jogaram somente uma modalidade.
(e) Quantos sa˜o os desportistas que jogaram duas modalidades.
Ensinar e´ lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceˆ
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Cap´ıtulo 2
Aritme´tica
2.1 Razo˜es e Proporc¸o˜es
De certeza o estudante ja´ em algum momento ouviu falar de Raza˜o, uma expressa˜o que como tantas
pertencentes a lingua portuguesa podem ter diferentes sentidos. Falar em Matema´tica de raza˜o entre
dois nu´meros a e b e´ falar do quociente
a
b
, b 6= 0
ou ainda, e´ o mesmo que falar da divisa˜o de a por b , isto e´:
a÷ b, b 6= 0.
Exemplo 2.1. Numa sala de aulas esta˜o presentes 20 rapazes e 25 raparigas. Determine a raza˜o entre
o nu´mero de rapazes e raparigas.
A raza˜o entre o nu´mero de rapazes e o nu´mero de raparigas e´
no rapazes
no raparigas
=
20
25
=
4
5
ou
4÷ 5,
isto e´ 4 rapazes para 5 raparigas!!!
Definic¸a˜o 2.1. Quando falamos de raza˜o entre dois nu´meros a e b , isto e´
a
b
, ao dividendo a −
chamamos antecedente e ao divisor b − chamamos consequente
Definic¸a˜o 2.2. Os desenhistas, cartografistas, marinheiros e outros afim, utilizam o conceito raza˜o
para relaccionar distaˆncias reais e distaˆncias mapeadas, para se distinguirem introduzem no lugar de
raza˜o o conceito de escala e define-se:
escala =
medida do desenho
medida real
Exemplo 2.2. No Mapa de Moc¸ambique a distaˆncia entre Lichinga - Quelimane e´ de 50cm , sabendo
que o mapa foi desenhado com uma escala de
1
5000
. Determine a distaˆncia real em km de Quelimane
a` Lichinga.
12
dr. betuel de jesus varela canhanga 13
Exemplo 2.3. Qual e´ a raza˜o entre as a´reas de duas circunfereˆncias se a raza˜o entre seus raios for
igual a
1
2
Resoluc¸a˜o.
cos
sen
−1 1
1
−1
Figura 2.1:
cos
sen
−2 2
2
−2
Figura 2.2:
As duas Circunfereˆncias acima sa˜o somente um exemplo de varias circunfereˆncias que tem a relacc¸a˜o
de seus raios 1:2.
Iremos designar r1, S1 raio e superf´ıcie respectivamente da primeira c´ırcunfereˆncia e r2, S2 raio e
superf´ıcie respectivamente da segunda c´ırcunfereˆncia, pelo problema colocado temos:
r1
r2
=
1
2
.
Como neste exerc´ıcio devemos determinar a raza˜o de proporc¸a˜o entre as a´reas das duas c´ırcunfereˆncia,
14 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
teremos:
S1
S2
=
pi × r21
pi × r22
=
(
r1
r2
)2
=
(
1
2
)2
=
1
4
2.1.1 Percentagens
Comec¸emos por apresentar a definic¸a˜o de percentagem.
Definic¸a˜o 2.3. Chama-se Percentagem a raza˜o com consequente 100.
Exemplo 2.4. Vejamos os exemplos seguintes:
X 30
100
= 30%
X 4
3
= 1, 333 =
133, 3
100
= 133, 3%
2.1.2 Exercicios de Aplicac¸a˜o
1) Numa sala esta˜o presentes 20 rapazes e 25 raparigas. Determine:
(a) a percentagem de rapazes.
(b) a percentagem de raparigas.
2) Um comerciante compra um par de sapatos por 100 do´lares e os vende por 3 milho˜es de meticais,
a taxa de caˆmbio de 1usd : 25000MTn determine:
(a) O valor de venda em usd.
(b) O valor de compra em MTn.
(c) o lucro em usd
(d) a percentagem do lucro
3) Um funciona´rio recebia 1500usd, em Janeiro o seu sala´rio sofreu um aumento em 10% e em
Junho um outro aumento de 20% Determine
(a) O sala´rio recebido pelo funciona´rio em Fevereiro.
(b) O sala´rio recebido pelo funciona´rio em Julho.
(c) A subida percentual total. De Janeiro a` Julho.
4) O prec¸o de um producto aumenta 10% mensalmente. Ao fim de 12 aumentos qual sera´ o prec¸o
sabendo que inicialmente era 5usd?
5) Se em Janeiro de 2007 for a emprestar um montante p de um banco, quanto devolvera´ em Janeiro
de 2008 se a taxa de inflacc¸a˜o anual for de 30%
6) Nas festas de um determinado fim de ano o prec¸o do ac¸ucar branco subiu em 20% e depois subiu
novamente em 30%, mais tarde, em Janeiro sofreu uma reduc¸a˜o em 15%, em quanto porcento
variou o prec¸o?
7) Se um producto custa x MTn e sofre um aumento de 10% e mais tarde um outro aumento de
10%. Em quanto porcento variou o prec¸o do producto?
(a) 20%
(b) 15%
(c) 21%
dr. betuel de jesus varela canhanga 15
(d) Nenhuma delas
1) Seja P = {0, 2, 4, 6, 8, ...}. Mostre que P pode ser definido da seguinte maneira: P =
{x|x = 2n, n ∈ N}.
2) De uma definic¸a˜o do mesmo tipo para I = {1, 3, 5, 7, ...}.
3) Simplifique as seguntes expresso˜es:
(a) 9!5!
(b) n!(n−2)!
(c) n!(n+1)! − (n−1)!n!
4) Determine
(a) C42 , C
8
5 , C
n+2
n+1
(b) A42, A
8
5, A
n+2
n+1
5) Com os d´ıgitos 0,1,2,3,4 quantos nume´ros podem ser compostos por 5 algarismos, se na˜o for
permitida a repetic¸a˜o de d´ıgitos. (veja que 11234 na˜o e´ permitido porque houve repetic¸a˜o do
d´ıgito 1).
6) Quantas bandeiras de faixas horizontais podem ser construidas apartir de cores Amarela, Azul
e Verde.
7) Quantas bandeiras de uma faixa vertical e 3 faixas horizontais podem ser construidas apartir de
cores Amarela, Azul, Verde e Vermelha.
8) Quantas bandeiras de uma faixa vertical (Verde ou Vermelha) e 3 faixas horizontais podem ser
construidas apartir de cores Amarela, Azul, Verde e Vermelha.
9) Quantas turmas de 20 estudantesdo I ano podem ser construidas se tiverem sido inscritos 30
estudantes do I ano.
10) Pretende-se criar uma comissa˜o de 3 trabalhadores de um determinado departamento, sabendo
que que nesse departamento e´ composto por 5 funciona´rios, quantos grupos diferentes podem
ser compostos.
11) 70 pessoas estiveram presentes em um culto, cumprimentaram-se para cumprir um dos autos do
culto. Quantos foram os apertos de ma˜o.
12) 3 litros de leite sa˜o divididos em latas de 15 do litro. Quantas latas sa˜o necessarias?
13) Quantas latas de 13 do litro sa˜o necessarias para dividir 15 litros de cerveja?
14) Resolva as seguintes equac¸o˜es:
(a) 23x =
14
15
(b) x
√
2 = −√18
(c) 23x− 13 = −53x+ 43
(d) x+5x−5 − x−5x+5 = 25x2−25
15) Resolva as inequac¸o˜es seguintes:
(a) 2x+ 8 > 0
(b) 2x− 12 ≤ x−12
16 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
(c) 3(x+1)2 ≥ 5x−24
16) Qual e´ a razao entre as a´reas de dois circulos, se a razao entre os seus raios for de 14?
17) Determine a razao entre os volumes de dois cubos, sabendo que a razao das arestas e´ de 12 .
18) Num mapa de Mocambique, a distancia de Maputo a Beira e´ de 40cm. Sabendo que a escala e´
de 1 : 3000000, determine a distancia real.
19) A distancia de Quelimane a Beira e´ de 960km . Sendo a escala dum mapa de 1 : 2000000, qua
sera´ a sua distancia no mapa?
20) Um aluno consegue 36 pontos dum total de 60 num teste. Que percentagem obteve o aluno?
21) O preco de venda dum produto subiu 20 por cento numa primeira subida de precos e 40 por
cento na segunda subida. Qual foi a subida total em percentagem?
Ensinar e´ lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceˆ
Com a simplicidade construimos o nosso orgulho
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Cap´ıtulo 3
Poteˆnciac¸a˜o e Radiciac¸a˜o
3.1 Poteˆnciac¸a˜o
Definic¸a˜o 3.1. Pode acontecer que numa multiplicac¸a˜o sucessiva os factores sejam iguais, isto e´:
• 2× 2
• 3× 3× 3
• 4× 4× 4× 4× 4
Estes casos podem ser escritos de maneira mais simplificada, e teremos o seguinte:
• 2× 2 = 22
• 5× 5× 5 = 53
• 4× 4× 4× 4× 4 = 45
Ao falarmos de quadrado de dois, cubo de cinco e quinto de quatro, estamos a usar um
novo conceito Poteˆncia
Poteˆncia - e´ uma multiplicac¸a˜o de factores iguais.
• 4× 4× 4× 4× 4 = 45 o simbolo 45 e´ uma poteˆncia,
• o 4 e´ o factor que se repete e chama-se Base da Poteˆncia
• 5, que e´ o nu´mero de vezes em que se repete a base, chamaremos de Expoente.
Observac¸a˜o 3.1. Repare que ao escrevermos 41, estamos sim a denotar uma poteˆncia, no entanto,
pela definic¸a˜o, estaremos a supor existir uma multiplicac¸a˜o com um so´ factor, o que na˜o e´ verdade.
A ser assim, convencionou-se que 41 = 4 e isto generaliza-se a` todos nu´meros que tenham expoente
igual a 1
a1 = a,∀a ∈ R.
Tambe´m convencionou se que
a0 = 1, ∀a ∈ R \ {0}.
17
18 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
3.2 Operac¸o˜es com Poteˆncias
As propriedades de multiplicac¸a˜o sucessiva de factores iguais, justificam as seguintes regras:
3.2.1 Multiplicac¸a˜o de Poteˆncias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes
Ao multiplicarmos poteˆncias com bases iguais e expoentes diferentes, mantemos a base e somamos os
expoentes.
Exemplo 3.1.
42 × 45 = 42+5 = 47, 52 × 5 12 = 52+ 12 = 5 52
3.2.2 Divisa˜o de Poteˆncias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes
Ao dividirmos poteˆncias com bases iguais e expoentes diferentes, mantemos a base e subtraimos os
expoentes.
Exemplo 3.2.
42 × 45 = 42−5 = 4−3, 52 × 5 12 = 52− 12 = 5 32
3.2.3 Multiplicac¸a˜o de Poteˆncias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes
Ao multiplicarmos poteˆncias com expoentes iguais e bases diferentes, mantemos o expoente e multi-
plicamos as bases.
Exemplo 3.3.
24 × 34 = (2× 3)4 = 64, 53 × 23 = (5× 2)3 = 103 = 1000
3.2.4 Divisa˜o de Poteˆncias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes
Ao dividirmos poteˆncias com expoentes iguais e bases diferentes, mantemos o expoente e dividimos
as bases.
Exemplo 3.4.
24 ÷ 34 = (2÷ 3)4 =
(
2
3
)4
, 53 ÷ 23 = (5÷ 2)3 = (2, 5)3
3.2.5 Poteˆncia de Poteˆncia
Nas linhas anteriores, procuramos transmitir ao estudante a noc¸a˜o de poteˆncia, vamos agora recursi-
vamente desenvolver casos de sobreposic¸a˜o de poteˆncias, exemplo(
23
)4
ao desenvolvermos expresso˜es com poteˆncia de poteˆncia faremos o seguinte(
23
)4 = 23 × 23 × 23 × 23 = 23+3+3+3 = 212
de outra maneira poderemos manter a base e multiplicar os expoentes, isto e´:(
23
)4 = 23×4 = 212 = 4096
dr. betuel de jesus varela canhanga 19
Observac¸a˜o 3.2. Importante:
? Uma poteˆncia so´ e´ negativa se tiver base negativa e expoente impar.
? Uma poteˆncia de expoente par, e´ sempre posetiva independentimente do sinal da base.
? Sempre que o zero for base de uma poteˆncia, ela sera´ igual a zero.
? Sempre que o zero for expoente de uma poteˆncia de base diferente de zero, ela sera´ igual a 1.
3.3 Radiciac¸a˜o
Vamos, sem limitac¸a˜o da sua esseˆncia, prestar atenc¸a˜o aRaiz Quadrada - Raiz de indice 2:
√
a , que e´
o mesmo que escrever a
1
2 . Desta propriedade adve´m que
√
4 = 4
1
2 =
(
22
) 1
2 usando a superpoteˆnciac¸a˜o
teremos 22×
1
2 = 2, com mesma analogia teremos
√
36 = 6 porque 62 = 36,
√
100 = 10 porque 102 = 100
3.3.1 Raiz de I´mdice n
Consideremos o seguinte problema: O volume de um cubo e´ igual a 27cm3. Qual e´ a medida das
arestas do cubo?
Resoluc¸a˜o: Para resolvar este problema, recordaremos primeiro a fo´rmula para o ca´lculo do
volume de um cubo. Sabemos que:
Vcubo = (aresta)3
enta˜o, poderemos refazer a pergunta de nodo seguinte: Qual e´ o nu´mero que elevado ao cubo seja
igual a 27. Isto e´ x3 = 27 para calcular o valor recorremos ao seguinte
x3 = 27 = x3 = 33 ⇒ x = 3.
E dizemos, cubo de 3 e´ 27, enta˜o, a aresta do cubo em questa˜o mede 3cm.
Definic¸a˜o 3.2. Chama-se raiz de ı´ndice n de um nu´mero real b ao nu´mero real a , tal que
an = b
onde n e´ o ı´ndice do radical, b e´ o radicando.
• caso o n seja impar o b pode ser qualquer valor real
• caso o n seja par o b deve ser qualquer valor real posetivo ou zero.
Ja que podemos olhar para um radical como uma poteˆncia de expoente fracciona´rio, enta˜o, as
propriedades e regras sobre multiplicac¸a˜o e divisa˜o de poteˆncias podem aqui ser utilizadas com uma
e u´nica prerogativa de que para o caso de raizes, os expoentes sa˜o fracc¸o˜es.
3.3.2 Multiplicac¸a˜o e Divisa˜o de Radicais
Ao multiplicarmos (dividirmos) radicais com mesmo ı´ndice obtemos um outro radical com ı´ndice
igual ao ı´ndice dos radicandos factores (quocientes) e com radicamdo igual ao producto (raza˜o) dos
radicandos factores (quocientes).
n
√
a× n
√
b = n
√
a× b, n√a÷ n
√
b = n
√
a÷ b
20 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Exemplo 3.5. Veja os exemplos que se seguem:
1) 3
√
2× 3√24 = 3√2× 24 = 3√48
2) 3
√
2× 3√24 = 3√2× 24 = 3√48
3.3.3 Simplificac¸a˜o de Radicais (Reduc¸a˜o ao mesmo ı´ndice)
Vimos a multiplicac¸a˜o e divisa˜o de radicais com mesmo ı´ndice. Existem casos em que se nos e´ imposta
a necessidade de multiplicar e/ou dividir raizes com ı´ndices diferentes. Situac¸o˜es desta natureza levam
nos a` necessidade de simplificac¸a˜o ou transformac¸a˜o de radicais.
Observac¸a˜o 3.3. Se multiplicarmos ou dividirmos o ı´ndice de um radical e o expoente do radicando
pelo mesmo valor natural na˜o nulo, o valor do radical na˜o se altera, isto e´
n
√
am = a
m
n =
n×k√
am×k = a
m×k
n×k
Exemplo 3.6. 3
√
27 = 3
√
33 = 3×2
√
33×2 = 6
√
36
Esta propriedade ajuda-nos a resolver o caso de reduc¸a˜o de radicais ao mesmo ı´ndice. Tornando
por esta via poss´ıvel a multiplicac¸a˜o de radicais com ı´ndices diferentes.
3
√
5 e
√
7
Achando o m.m.c de (2 e 3) que sa˜o os coeficientesdos dois radicais, obteremos 6, enta˜o:
3
√
5 = 3×2
√
52 = 6
√
25
√
7 = 2
√
7 = 2×3
√
73 = 6
√
73 dai 3
√
5×
√
7 = 6
√
25× 6
√
73 = 6
√
25× 73
3.3.4 Comparac¸a˜o de Radicais
• Com o mesmo I´ndice - Dois radicais com mesmo ı´ndice e radicandos diferentes, e´ maior o que
tiver maior radicando. Assim:
3
√
5 < 3
√
15 porque 5 < 15
Observe que os dois radicais tem mesmo ı´ndice, o 3, a ser assim, basta comparar os radicandos.
• Com ı´ndices diferentes - Na˜o e´ poss´ıvel comparar dois radicais que tenham ı´ndices diferentes;
sempre que tivermos um caso de dois radicais que apresentem ı´ndices desiguais, devemos primeiro
reduzi-los ao mesmo ı´ndice e depois procedemos como no caso anterior.
Exemplo 3.7. Compare os radicais 3
√
5 e
√
7. Vamos primeiro reduzir os dois radicais a outros
radicais equivalentes, com ı´ndices iguais. Vamos achar o m.m.c entre os ı´ndices, ”2 e 3”, teremos
que este m.m.c e´ o 6. Enta˜o:
√
7 = 2
√
7 = 2×3
√
73 = 6
√
343 e 3
√
5 = 3×2
√
52 = 6
√
25
Estes radicais podem ser comparados. Comparando os radicandos chegamos a conclusa˜o de que
25 < 343 e consequentimente 3
√
5 <
√
7
dr. betuel de jesus varela canhanga 21
Passagem de factores para fora ou para dentro de um radical.
Sabemos que: n
√
an = a
n
n = a1 = a, enta˜o teremos:
n
√
an × b = n√an × n
√
b = a× n
√
b
Exemplo 3.8. Vejamos os seguintes exemplos:
1)
√
52 × 3 =
√
52 ×√3 = 5×√3
2) 3
√
54 = 3
√
33 × 2 = 3
√
33 × 3√2 = 3× 3√2
3.3.5 Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o de Radicais
Vamos comec¸ar por definir radicais semelhantes
Definic¸a˜o 3.3. Chama-se Radicais Semelhantes aqueles que diferem somente no coeficiente.
Exemplo 3.9.
3
√
5, 3 3
√
5 7 3
√
625
Veja que os seguintes radicais a primeira na˜o parecem semelhantes. Mas se efectuarmos sobre eles
algumas transformac¸o˜es obteremos radicais semelhantes.
3
√
5, 3 3
√
5 7 3
√
625 = 7 3
√
54 = 7 3
√
53 × 5 = 7× 5 3
√
5 = 35 3
√
5
teremos
3
√
5, 3 3
√
5 35 3
√
5
A adic¸a˜o e subttrac¸a˜o de radicais semelhantes efectua-se aplicando a propriedade distributiva da
multiplicac¸a˜o em relacc¸a˜o a` adic¸a˜o. Assim:
7
√
5 + 5
√
5 = (7 + 5)
√
5 2 5
√
8− 11 5
√
8 = (2− 11) 5
√
8 = −9 5
√
8
Para os casos da soma e diferenc¸a, a reduc¸a˜o na˜o joga papel preponderante visto que para estas
operac¸o˜es muito mais do que reduzir ao mesmo ı´ndice, necessitamos de reduzir os radicais a` semel-
hantes, condic¸a˜o que na˜o e´ satisfeita pelas regras de simplificac¸a˜o-reduc¸a˜o de radicais.
3.3.6 Poteˆncia de uma raiz e Raiz de uma Poteˆncia
Vejamos agora o significado de(
n
√
a
)p = n√a× n√a · · · n√a p− vezes, ( n√a)p = n√a× a× a · · · a = n√ap
Exemplo 3.10. Veja o seguinte exemplo(
3
√
5
)2
= 3
√
52 = 3
√
25
Consideremos a seguinte situac¸a˜o:
n
√(
p
√
a
)
=
(
p
√
a
) 1
n =
(
a
1
p
) 1
n = a
1
n×p = n×p
√
a
22 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
3.3.7 Exercicios de Aplicac¸a˜o
1) Para que valores de x , tem sentido as seguintes expresso˜es:
(a) 2n
√
x
(b) 2n+1
√
x
2) Simplifique os seguintes radicais:
(a) 5
√
32a3b2
(b)
√
9x4y8
(c)
√
27ab4
12a5
(d) 4
√
0, 04a4(a− b)8
3) Efectue
3
√
686× 3√5
3
√
10
.
4) Simplifique:
(a) 3
√
2 + 2
√
2− 5√2
(b)
√
8 +
√
18−√50 +√72
(c) 5
√
a5b2 + 5
√
32b7 − 3a 5
√
b2
5) Racionalize os denominadores das seguintes fracco˜es:
(a)
4√
14
(b)
3 +
√
2
3
√
2
(c)
12√
7 +
√
3
(d)
4
√
2 + 5√
2 +
√
3
6) Racionalize os denominadores das seguintes fracco˜es:
(a)
4
3
√
14
(b)
3 +
√
2
3 4
√
2
(c)
12
3
√
7 +
√
3
(d)
4
√
2 + 5√
2− 3√3
7) Efectue
2
√
3 + 3
√
2√
3−√2 +
4
√
3− 2√2√
3 + 2
√
2
.
8) Escreva sob a forma de uma unica potencia:
(a) 27 × 25
(b) 23x × 2−2x
(c) 4x+1 × 4x−1
dr. betuel de jesus varela canhanga 23
9) Escreva sob a forma dum produto de potencias de mesma base:
(a) 2x+3
(b) 32−x
10) Transforme numa so potencia:
(a) an ÷ an−1 (a 6= 0)
(b) pix ÷ pix+2
(c) x
x−1 (x 6= 0)
11) Simplifique a expressa˜o
93x × 6x+4
2x+3 × 37x−1 .
Ensinar e´ lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceˆ.
Com a simplicidade construimos o nosso orgulho
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Cap´ıtulo 4
Algebra
4.1 Expresso˜es Algebricas
Cometa´rio 4.1. qualquer exeperieˆncia no sentido pedago´gico e´ uma procura de verdade no tempo,
com a certeza do seu cara´cter transito´rio.
Na matema´tica a questa˜o que hoje merece simpatia envolve uma resposta aos processos de moderni-
zac¸a˜o da propria cieˆncia, procurando na escola atitudes de pensamento adequadas, o pensamento
matema´tico.
Em A´lgebra da matema´tica estudaremos va´rios temas que se revestem de enorme importaˆncia
para o domı´nio desta disciplina. Existem escritos de matema´ticos que descrevem este tema como uma
construc¸a˜o engenherica para estudantes de matema´tica, na˜o se pode pensar em grandes matema´ticos
desprovidos da a´lgebra matema´tica.
Um verdadeiro matema´tico na˜o e´ um tecnocrata de nume´ros, mas sim um malabarista de conceitos.
Quase sempre nos deparamos com operac¸o˜es e problemas de matema´tica que exigem o conhecimento
profundo de expresso˜es alge´bricas, expresso˜es polino´miais, factorizac¸a˜o e etc... estes assuntos sera˜o
com detalhe tratados neste tema.
4.1.1 Expresso˜es nume´ricas e valor nume´rico de uma expressa˜o
Na lingua portuguesa, chamamos de expressa˜o o acto ou efeito de exprimir algo, Vamos levar esta
visa˜o ao n´ıvel da matema´tica e iremos olhar para uma expressa˜o como a conjugac¸a˜o de s´ımbolos e
co´digos de matema´tica de modo a transmitir uma mensagem ou um pensamento.
Exemplo 4.1. Vejamos a seguir alguns exemplos de expresso˜es algebricas
1) x− y
2) x+ y
3) x2 + y2
24
dr. betuel de jesus varela canhanga 25
4) x3 + x2 − 3x+ 2
Pode se ver dos exemplos dados que as expresso˜es na˜o possuem nenhum verbo afirmativo ou
comparativo. elas na˜o possuem sinais comparativos e(ou) igualdade. Isto e´, na˜o sa˜o afirmac¸o˜es, alias,
mesmo do portugueˆs, as expresso˜es na˜o carregam com elas os verbos, elas na˜o podem ser caracterizadas
em verdadeiras ou falsas.
Exemplo 4.2. Vejamos as seguintes questo˜es:
1) Escola bonita - e´ uma expressa˜o
2) Escola e´ bonita - e´ uma afirmac¸a˜o que pode ser verdadeira ou falsa.
Analogamente
x− y
e´ uma expressa˜o e
x− y = 0
e´ uma afirmac¸a˜o matema´tica que, em func¸a˜o de valores que x e y for a tomar, pode ser verdadeira
ou falsa.
Estamos sempre a fazer comparac¸o˜es com expresso˜es vindas da lingua portuguesa e isto o fazemos
porque temos convicc¸a˜o de que sobre a lingua portuguesa todos temos domı´nio. Na˜o se pode conce-
ber que um falante da lingua portuguesa formule a seguinte expressa˜o: Escola Bonitas!!!!!.... Esta
expressa˜o na˜o tem sentido em portugueˆs, em outras palavras, pode se dizer que esta expressa˜o esta´
errada. Da mesma maneira na˜o se pode permitir que um matematico escreva
x = −x+−y
E porque em matema´tica na˜o existem meios termos, simplesmente se diz que a expressa˜o esta´
ERRADA!... As expresso˜es da matema´tica que tenham varia´veis tambe´m sa˜o chamadas Expresso˜es
Literais.
4.1.2 Domı´nio de Expresso˜es
O domı´nio de uma expressa˜o alge´brica com uma varia´vel (x por exemplo), e´ o conjunto de valores de
x pelos quais e´ poss´ıvel calcular o valor da expressa˜o. Em outras palavras, e´ o conjunto de valores
que x possa tomar de modo a que a expressa˜o tenha sentido.
Exemplo 4.3. Consideremos a expressa˜o
x+ 1
x− 1 ,
esta expressa˜o tem domı´nio
x ∈ R\{1},
porque se o x for iguala 1 teremos no denominador x − 1 = 1 − 1 = 0, e teremos uma contradic¸a˜o
ao postulado segundo o qual: ”Na˜o existe divisa˜o por zero!!!...”
Em geral ao determinar dominios de existeˆncia de uma expressa˜o seguem se as seguintes linhagens
mestras:
• Radicandos de um radical com indice par na˜o deve ser negativo, isto e´, devem ser
maiores ou iguais a zero
26 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Exemplo 4.4. Determine os Domı´nios das Seguintes Expresso˜es
1)
√
x− 1 o domı´nio sera: x− 1 > 0⇒ x > 1.
2)
√
x+ 3 o domı´nio sera: x+ 3 > 0⇒ x > −3.
3) 5
√
x+ 3 o domı´nio sera: x ∈ R. Veja que o ı´ndice do radical e´ ı´mpar.
• Denominador de uma fracc¸a˜o na˜o pode ser igual a zero
Exemplo 4.5. Determine os Domı´nios das Seguintes Expresso˜es
1)
x+ 1
x− 1 o domı´nio sera´: x− 1 6= 0⇒ x 6= 1.
2)
x+ 3
x+ 2
o domı´nio sera´: x+ 2 6= 0⇒ x 6= −2.
• As func¸o˜es logaritmicas definem-se em R+ , isto e´, os argumentos de func¸o˜es logar´ıtmicas
devem sempre ser maiores do que zero.
Exemplo 4.6. Determine os Domı´nios das Seguintes Expresso˜es
1) log2(x− 2) o domı´nio sera: x− 2 > 0⇒ x > 2.
2) log10(sinx) o domı´nio sera: sinx > 0. resolve-se a inequac¸a˜o.
• Denominadores que conte´m raizes de ı´ndice par devem ser maiores do que zero.
Exemplo 4.7. Determine os Domı´nios das Seguintes Expresso˜es
1)
x− 1√
x+ 1
o domı´nio sera: x− 1 > 0⇒ x > 1.
2)
x2 + 3
3
√
x+ 1
o domı´nio sera: x+ 1 6= 0⇒ x 6= −1. Veja que o ı´ndice do radical e´ ı´mpar.
4.1.3 Valores Nume´ricos de Uma Expressa˜o Literal
As expresso˜es geralmente sa˜o compostas por sinais operacionais, por nume´ros e por simbolos litera´rios
(Letras) ”Dai, Expresso˜es Literais”. E elas podem assumir um determinado valor depois de efectu-
adas algumas operac¸o˜es. Este valor tem o nome de valor nume´rico de expresso˜es literais. Por exemplo,
se elas possuem varia´veis, ao substituirmos as varia´veis por respectivos valores nume´ricos, obteremos
atrave´s de operac¸o˜es um nume´ro que correspondera´ ao valor nume´rico da expressa˜o no seu todo.
Exemplo 4.8. Determine o valor nume´rico das seguintes expresso˜es:
1) x2 − y2, quando x = 1 e y = 2, teremos:
x2 − y2 = (1)2 − (2)2 = 1− 4 = −3.
Assim −3 e´ o valor nume´rico da expressa˜o dada com as condic¸o˜es dadas.
dr. betuel de jesus varela canhanga 27
2) x2 − y2, quando x = 2 e y = 1, teremos:
x2 − y2 = (2)2 − (1)2 = 4− 1 = 3.
Assim 3 e´ o valor nume´rico da expressa˜o dada com as condic¸o˜es dadas.
3) x2 − y2, quando x = a e y = b , teremos:
x2 − y2 = (a)2 − (b)2.
Assim a2 − b2 e´ o valor nume´rico da expressa˜o dada com as condic¸o˜es dadas.
4) x+ y3, quando x = −1 e y = −3, teremos:
−1 + (−3)3 = −1 + (−27) = −1− 27 = −28.
Assim −28 e´ o valor nume´rico da expressa˜o dada com as condic¸o˜es dadas.
4.1.4 Polino´mios
Definic¸a˜o 4.1. Chama-se mono´mio a expressa˜o constituida por nu´meros relactivos ou por um pro-
ducto de nu´meros relactivos eventualmente representados por letras.
Exemplo 4.9. Vejamos seguintes exemplos
1) 3 e´ um mono´mio
2) 2x e´ um mono´mio
3) 3x2 e´ um mono´mio
4) 7x2y3 e´ um mono´mio
5)
xy2
7
e´ um mono´mio
Definic¸a˜o 4.2. Num mono´mio a parte composta por nume´ros (constantes) chama-se coeficiente.
Definic¸a˜o 4.3. A parte composta por letras chama-se parte literal.
Definic¸a˜o 4.4. Chama-se grau de um mono´mio a soma dos expoentes associados as varia´veis. Vamos
considerar sem limitac¸a˜o da sua esseˆncia, mono´mios de varia´vel x.
Exemplo 4.10. Vejamos os seguintes exemplos.
1) No mono´mio 7x2y3 o coeficiente e´ o 7 e a parte literal e´ x2y3 , o grau deste mono´mio e´
2 + 3 = 5
2) No mono´mio ax2 o coeficiente e´ o a e a parte literal e´ x2 , o grau deste mono´mio e´ 2
3) No mono´mio abx3 o coeficiente e´ o ab e a parte literal e´ x3 , o grau deste mono´mio e´ 3
28 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
4.1.5 Mono´mios Semelhantes e Mono´mios Iguais
Definic¸a˜o 4.5. Diz se que dois mono´mios sa˜o semelhantes ou identicos, se eles tem amesma parte
literal
Exemplo 4.11. Considere seguintes exemplos
1) 4x e −7x sa˜o mono´mios identicos
2) 2x2y e
yx2
4
sa˜o mono´mios identicos.
Definic¸a˜o 4.6. Dois mono´mios sa˜o iguais se eles sa˜o identicos e possuem mesmos coeficientes.
Exemplo 4.12. Considere seguintes exemplos
1) 4x e 4x sa˜o iguais
2) 2x2y e
8yx2
4
sa˜o iguais.
4.1.6 Operac¸o˜es Sobre Mono´mios
Com os mono´mios podemos efectuar as operac¸o˜es de adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o e divisa˜o.
Os estudantes devem prestar atenc¸a˜o a explicac¸o˜es do Professor
Adic¸a˜o - Adicione seguintes mono´mios
1) 3x2 e 7x2
2) ax2 e bx2
3) 7x4 e 7x3
4) 3x2 e 7x5
5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3
Subtrac¸a˜o - Subtraia seguintes mono´mios
1) 3x2 e 7x2
2) ax2 e bx2
3) 7x4 e 7x3
4) 3x2 e 7x5
5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3
Divisa˜o - Divida seguintes mono´mios
Na divisa˜o de mono´mios seguem se as regras sobre divisa˜o de poteˆncias (com mesma base e expoente
diferentes).
1) 3x2 e 7x2
dr. betuel de jesus varela canhanga 29
2) ax2 e bx2
3) 7x4 e 7x3
4) 3x2 e 7x5
5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3
Multiplicac¸a˜o - Multiplique seguintes mono´mios
Na multiplicac¸a˜o de mono´mios seguem se as regras sobre multiplicac¸a˜o de poteˆncias (com mesma
base e expoente diferentes).
1) 3x2 e 7x2
2) ax2 e bx2
3) 7x4 e 7x3
4) 3x2 e 7x5
5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3
4.1.7 Polino´mios, Polino´mios Semelhantes e Polino´mios Iguais
Definic¸a˜o 4.7. Um Polino´mio e´ um agrupamento de mono´mios (este agrupamento e´ feito atrave´s
de operadores de adic¸a˜o ou subtrac¸a˜o)
Definic¸a˜o 4.8. Dois polino´mios sa˜o identicos se os seus mono´mios sa˜o identicos dois a dois
Exemplo 4.13. x2 − 1 e 3x2 + 3
Definic¸a˜o 4.9. Dois polino´mios sa˜o iguais se os seus mono´mios sa˜o iguais dois a dois
Exemplo 4.14. x2 − 1, x2 − 1 e −1 + x2
Com polino´mios podemos efectuar as operac¸o˜es de adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, divisa˜o e multiplicac¸a˜o. (Os
estudantes podem consultar o livro Matema´tica Jovem de Anto´nio Almeida Costa, Alfredo dos Anjos
e Anto´nio Lopes)
Os estudantes devem prestar atenc¸a˜o a explicac¸o˜es do Professor
Adicione seguintes polino´mios
1) x3 − 7x+ 9 e 2x3 +√5x+ 5
2) x2 − x 73 + 2 e 2x 73 +√5x
3) x4 − x sin 7− 3 e 2x3 +√5x+ 6
Subtraia seguintes polino´mios
1) x3 − 7x+ 9 e 2x3 +√5x+ 5
2) x2 − x 73 + 2 e 2x 73 +√5x
30 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
3) x4 − x sin 7− 3 e 2x3 +√5x+ 6
Multiplique seguintes polino´mios
1) x3 − 7x+ 9 e 2x3 +√5x
2) x2 − x 73 + 2 e 2x 73 +√5x
3) x4 − x sin 7− 3 e 2x3 + 6
Divida seguintes polino´mios
1) x3 − 7x+ 9 e 2x3 + 3
2) x2 − 3x+ 2 e 2x− 1
3) x4 − 3x3 + 2x2 − x+ 1 e 2x3 + x2 − 3x
4) −x5 + 3x2 + 4x e 2x
5) 2x2 + x− 10 e x− 2
6) 3x3 − 2x+ 5 e x− 3
4.1.8 Factorizac¸a˜o de Polino´mios
Antes de introduzirmo-nos neste tema, vamos procurar perceber que o termo factorizac¸a˜o vem de
factores, e que factores sa˜o os diferentes componentes de uma multiplicac¸a˜o. Por exemplo 2× 4 = 8,
podemos dizer que 2 e 4 sa˜o factores.
Portanto, factorizar e´ o mesmo que trasnformar uma determinada expressa˜o polinomial em uma
sucessa˜o de factores. Transformar uma expressa˜o em uma multiplicac¸a˜o.
Exemplo 4.15. Existem diferentes me´todos de factorizac¸a˜o, cada me´todo e´ adequado a determinadas
situac¸o˜es. Veja os exemplos que se seguem
1) x3 = x× x× x.
2) x3 + x2 = x2(x+ 1) (evidenciamos os factores comuns).
3) 2x3 + 2x = 2x(x2 + 1) (evidenciamos os factores comuns).
4) ax+ a2x+ a2 + a = x(a2 + a) + a2 + a = (a2 + a)(x+ 1) (evidenciamos os factores comuns).
5) 10− 3x− x2 Para factorizar este polino´mio quadra´tico teremos
10− 3x− x2 = (2− x)(5+ x)
transformamos assim o polino´mio 10− 3x− x2 em factores (2− x) e (5 + x)
dr. betuel de jesus varela canhanga 31
Observac¸a˜o 4.1. Seja dado o polinomio ax2+ bx+ c, a 6= 0 se ∆ = b2− 4ac ≥ 0 poderemos
factorizar o polinomio seguinte a formula
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2)
onde x1, x2 sa˜o calculados pelas formulas
x1 =
−b+√∆
2a
, x2 =
−b−√∆
2a
Observac¸a˜o 4.2. Em muitos casos usamos algumas igualdades (Os ditos casos nota´veis), vejamos:
Explicar aos estudantes estes casos nota´veis
• (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2,
• (x− y)2 = x2 − 2xy + y2,
• (x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3,
• (x− y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3,
• x2 − y2 = (x− y)(x+ y),
• x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2),
• x3 + y3 = (x+ y)(x2 − xy + y2),
4.1.9 Polino´mios Quadra´ticos
Existem diferentes classes de polino´mios, e estas classes sa˜o atribuidas em func¸a˜o do seu maior ex-
poente. Por exemplo, um polino´mio com maior expoente igual a 1 chama-se polino´mio de grau 1 ou
linear, um polino´mio com maior expoente igual a 2 chama-se polino´mio de grau 2 ou quadra´tico,
um polino´mio com maior expoente igual a 3 chama-se polino´mio de grau 3 ou cu´bico... assim em
diante.
Definic¸a˜o 4.10. Chama-se polino´mio quadra´tico de varia´vel x ao polino´mio dado na forma
P (x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0, b, c ∈ R.
A a, b e c chamamos coeficientes do polino´mio.
Ao igualarmos um polino´mio quadra´tico a zero transformamo-lo numa equac¸a˜o quadra´tica.
Observac¸a˜o 4.3. Importante
• um polino´mio de grau 1 tem uma soluc¸a˜o (ou 1 raiz)
• um polino´mio de grau 2 tem duas soluc¸o˜es (ou 2 raizes)
• um polino´mio de grau 3 tem treˆs soluc¸o˜es (ou 3 raizes)
• · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
32 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Os polino´mios quadra´ticos sa˜o sobejamente conhecidos, raza˜o pela qual existem
formulas para momentos importantes de estudos sobre estes tipos de polino´mios. Veja
atentamente
Definic¸a˜o 4.11. Para um polino´mio quadra´tico na forma ax2+bx+c = 0, chama-seDiscriminante,
e denota-se ∆ ao valor nume´rico dado pela expressa˜o ∆ = b2 − 4ac
Definic¸a˜o 4.12. Chama-se Zero de um polino´mio aos valores de x que fazem com que o polino´mio
seja igual a zero. Isto e´:
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
Fac¸amos seguintes transformac¸a˜os:
1) (colocar em evideˆncia o valor de a , e a seguir multiplicar e dividir a segunda parcela por 2)
ax2 + bx+ c = 0⇒ a
(
x2 +
b
a
x+
c
a
)
= 0⇒ a
(
x2 +
2b
2a
x+
c
a
)
= 0
2) passar o a , para o membro direito, somar e subtrair a equac¸a˜o o valor
(
b
2a
)2
ax2 + bx+ c = x2 +
b
a
x+
c
a
= x2 + 2
b
2a
x+
(
b
2a
)2
−
(
b
2a
)2
+
c
a
= 0
3) Identificar o caso nota´vel
ax2 + bx+ c =
(
x+
b
2a
)2
−
(
b
2a
)2
+
c
a
=
[
x−
(
− b
2a
)]2
−
(
b
2a
)2
+
4ac
4a2
= 0
4) Fazendo transformac¸o˜es na parte da constante teremos
ax2 + bx+ c =
[
x−
(
− b
2a
)]2
− b
2 − 4ac
4a2
= 0⇒
[
x−
(
− b
2a
)]2
=
b2 − 4ac
4a2
5) Resolvendo a equac¸a˜o teremos
ax2 + bx+ c = x−
(
− b
2a
)
= ±
√
b2 − 4ac
2a
⇒ x =
(
− b
2a
)
±
√
b2 − 4ac
2a
de onde teremos
x1,2 =
−b±√b2 − 4ac
2a
=
−b±√∆
2a
Definic¸a˜o 4.13. Para um polino´mio quadra´tico na forma ax2 + bx + c = 0, chama-se Vertice ao
ponto onde o gra´fico muda de monotonia. e determinam-se as coordenadas deste ponto usando as
expresso˜es
xv =
−b
2a
, yv =
−∆
4a
tambe´m, pode se achar o xv achando a me´dia aritme´tica dos zeros da func¸a˜o
dr. betuel de jesus varela canhanga 33
Observac¸a˜o 4.4. E´ importante saber que um ponto no plano e´ composto por duas coordenadas, uma
coordenada no eixo dos x e uma outra coordenada no eixo dos y , e´ analogo ao cena´rio de que um
casal e´ composto por duas entidades (masculina e femenina). Assim ao determinarmos o ve´rtice de
uma para´bola preocupamo-nos em determinar o xv e o yv , portanto o par (xv, yv)
Observac¸a˜o 4.5. Se designarmos os dois zeros de uma equac¸a˜o quadra´tica por x1 e x2 , poderemos
escrever uma equac¸a˜o quadra´tica ou um polino´mio quadra´tico de modo seguinte
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2)
Observac¸a˜o 4.6. Se designarmos os dois zeros de uma equac¸a˜o quadra´tica por x1 e x2 , poderemos
escrever uma equac¸a˜o quadra´tica ou um polino´mio quadra´tico de modo seguinte
ax2 + bx+ c = a[x2 − (x1 + x2)x+ x1 × x2]
Veja que
x1 + x2 = − b
a
e x1 × x2 = c
a
Observac¸a˜o 4.7. Nas equac¸o˜es quadra´ticas ou polino´mios quadra´ticos, podemos calcular as coorde-
nadas do ve´rtice e a seguir escrever o polino´mio de modo seguinte
ax2 + bx+ c = a(x− xv)2 + yv.
Esta formula e´ tambe´m conhecida por Fo´rmula de Viet - SP
4.1.10 Tria˜ngulo de Pascal
linha 0
1
linha 1
1 1
linha 2
1 2 1
linha 3
1 3 3 1
linha 4
1 4 6 4 1
linha 5
1 5 10 10 5 1
linha 6
1 6 15 20 15 6 1
linha 7
1 7 21 35 35 21 7 1
linha 8
1 8 28 56 70 56 28 8 1
34 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Exemplo 4.16. Veja de seguida os exemplos da aplicac¸a˜o do triaˆngulo de Pascal
Observac¸a˜o 4.8. Um bino´mio com expoente n ∈ N pode ser desenvlvido em soma de mono´mios com
grau igual a n e coeficiente tirados da linha n do triaˆngulo de Pascal.
1) Decomponha (3 + 2)1, como podemos ver temos uma poteˆncia de expoente 1, vamos enta˜o
recorrer a linha 1, teremos que somar mono´mios de grau 1 e coeficientes 1 e 1 (veja a linha 1),
teremos enta˜o:
(3 + 2)1 = 1× 3120 + 1× 3021 = 3 + 2 = 5
2) Decomponha (3 + 2)2, como podemos ver temos uma poteˆncia de expoente 2, vamos enta˜o
recorrer a linha 2, teremos que somar mono´mios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha
2), teremos enta˜o:
(3 + 2)2 = 1× 3220 + 2× 3121 + 1× 3022 = 9 + 12 + 4 = 25
3) Decomponha (a + b)2, como podemos ver temos uma poteˆncia de expoente 2, vamos enta˜o
recorrer a linha 2, teremos que somar mono´mios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha
2), teremos enta˜o:
(a+ b)2 = 1× a2b0 + 2× a1b1 + 1× a0b2 = a2 + 2ab+ b2
4) Decomponha (a + b)3, como podemos ver temos uma poteˆncia de expoente 3, vamos enta˜o
recorrer a linha 3, teremos que somar mono´mios de grau 3 e coeficientes 1, 3, 3 e 1 (veja a linha
3), teremos enta˜o:
(a+ b)3 = 1× a3b0 + 3× a2b1 + 3× a1b2 + 1× a0b3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
5) Decomponha (a + b)4, como podemos ver temos uma poteˆncia de expoente 4, vamos enta˜o
recorrer a linha 4, teremos que somar mono´mios de grau 4 e coeficientes 1, 4, 6, 4 e 1 (veja a
linha 4), teremos enta˜o:
(a+ b)4 = 1× a4b0 + 4× a3b1 + 6× a2b2 + 4× a1b3 + 1× a0b4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4
6) Decomponha (a − b)2 = [a + (−b)]2, como podemos ver temos uma poteˆncia de expoente 2,
vamos enta˜o recorrer a linha 2, teremos que somar mono´mios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1
(veja a linha 2), teremos enta˜o:
(a+ b)2 = [a+ (−b)]2 = 1× a2(−b)0 + 2× a1(−b)1 + 1× a0(−b)2 = a2 − 2ab+ b2
dr. betuel de jesus varela canhanga 35
7) Decomponha (a − b)3 = [a + (−b)]3, como podemos ver temos uma poteˆncia de expoente 3,
vamos enta˜o recorrer a linha 3, teremos que somar mono´mios de grau 3 e coeficientes 1, 3, 3 e 1
(veja a linha 3), teremos enta˜o:
(a−b)3 = [a+(−b)]3 = 1×a3(−b)0+3×a2(−b)1+3×a1(−b)2+1×a0(−b)3 = a3−3a2b+3ab2−b3
8) Decomponha (a − b)4 = [a + (−b)]2, como podemos ver temos uma poteˆncia de expoente 4,
vamos enta˜o recorrer a linha 4, teremos que somar mono´mios de grau 4 e coeficientes 1, 4, 6, 4
e 1 (veja a linha 4), teremos enta˜o:
(a−b)4 = 1×a4(−b)0+4×a3(−b)1+6×a2(−b)2+4×a1(−b)3+1×a0(−b)4 = a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4
4.1.11 Exercicios Resolvidos
1) Determine os Valores de A e B de modo que:
(a)
1
(x− 1)(x+ 1) =
A
x− 1 +
B
x+ 1
Resoluc¸a˜o
vamos somar as fracc¸o˜es que se encontrama direita, teremos:
1
(x− 1)(x+ 1) =
A(x+ 1) +B(x− 1)
(x− 1)(x+ 1) ⇒
⇒ 1 = Ax+A+Bx−B ⇒ (A+B)x+A−B = 0x+ 1
daqui resolvemos o seguinte sistema de equac¸o˜es
{
A+B = 0
A−B = 1 ⇒
{
A = −B
−B −B = 1 ⇒
{
A = −B
B = −1
2
⇒

A =
1
2
B = −1
2
.
(b)
2
(x− 1)(x+ 1)2 =
A
x− 1 +
B
x+ 1
+
C
(x+ 1)2
Resoluc¸a˜o
vamos somar as fracc¸o˜es que se encontram a direita, teremos:
2
(x− 1)(x+ 1)2 =
A(x+ 1)2 +B(x− 1)(x+ 1) + C(x− 1)
(x− 1)(x+ 1)2 ⇒
⇒ 2 = A(x2+2x+1)+B(x2− 1)+C(x− 1) = (A+B)x2+(2A+C)x+(A−B−C) = 2
daqui resolvemos o seguinte sistema de equac¸o˜es
A+B = 0
2A+ C = 0
A−B − C = 2
⇒

A = −B
2(−B) + C = 0
−B −B − C = 2
⇒

A = −B
−2B = −C
−2B − C = 2
⇒
⇒

A = −B
−2B = −C
−2C = 2
⇒

A = −B
−2B = 1
C = −1
⇒

A =
1
2
B = −1
2
C = −1
36 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
(c) Factorize o seguinte Polino´mio
P (x) = x3 − 3x2 + 2x
Resoluc¸a˜o
Vamos primeiro evidenciar o factor comum, o factor que aparece em todos os mono´mios,
teremos enta˜o:
P (x) = x3 − 3x2 + 2x = x(x2 − 3x+ 2)
vemos que estamos agora na presenc¸a de um polino´mio quadra´tico. Podemos achar as
raizes (x1 = 1; x2 = 2) e dai poderemos escrever
P (x) = x3 − 3x2 + 2x = x(x2 − 3x+ 2) = x(x− 1)(x− 2)
(d) Factorize o seguinte Polino´mio
x3 − y3,
Resoluc¸a˜o
trata-se da diferenc¸a de cubos, veja que estamos na presenc¸a de um caso nota´vel, teremos
enta˜o:
x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2)
(e) Factorize o seguinte Polino´mio
x2 − y4,
trata-se da diferenc¸a de quadrados, veja que estamos na presenc¸a de um caso nota´vel,
teremos enta˜o:
x2 − y4 = x2 − (y2)2 = (x− y2)(x+ y2)
2) Efectue as seguintes operac¸o˜es
(a)
5
2x− 10 +
x
x− 5
Resoluc¸a˜o
Vamos antes de tudo transformar a primeira fracc¸a˜o e de seguida achamos o mmc.
5
2x− 10 +
x
x− 5 =
5
2(x− 5) +
x
x− 5 =
5
2(x− 5) +
2x
2(x− 5) =
5 + 2x
2x− 10 .
(b)
x2
x+ 2
− 4x− 4
x+ 2
Resoluc¸a˜o
Como temos duas fracc¸o˜es com mesmo denominador, iremos somente efectuar a operac¸a˜o
de subtracc¸a˜o, preste atenc¸a˜o porque antes do sinal de fracc¸a˜o aparece um sinal -”que afecta
toda a fracc¸a˜o.
x2
x+ 2
− 4x− 4
x+ 2
=
x2 − 4x+ 4
x+ 2
.
3) Seja f(x) = 2x2−x Determine f(2), f(a), f(2+a), f(2−a), f(k+a), f(a)−f(2−a)
(a) f(2) = 2(2)2 − 2 = 2× 4− 2 = 8− 2 = 6
(b) f(a) = 2(a)2 − a = 2× a2 − a = a(2a− 1)
(c) f(2+a) = 2(2+a)2− (2+a) = 2× (4+4a+a2)−2−a = 8+8a+2a2−2−a = 2a2+8a+6
(d) f(2−a) = 2(2−a)2− (2−a) = 2× (4−4a+a2)−2+a = 8−8a+2a2−2+a = 2a2−7a+6
(e) f(k + a) = 2(k + a)2 − (k + a) = 2× (k2 + 2ka+ a2)− k − a = 2k2 + 4ka+ 2a2 − k − a =
2a2 + 2k2 + 4ka− k − a
(f) f(a)− f(2− a) = 2a2 − a− (2a2 − 7a+ 6) = −a+ 7a− 6 = 6a− 6
dr. betuel de jesus varela canhanga 37
4.1.12 Exerc´ıcios de Aplicac¸a˜o
1) Calcule o valor nume´rico das seguintes expresso˜es para os valores de x indicados
(a) (x− 1)(x2 + x+ 1) para x = 1, x = √2
(b)
x+ 1
x− 1 −
x3 − 5x
x2 − 1 para x = −3
2) Seja f(x) = 3(x− 2)2 + 5 calcule f(2 + α) e f(2− α)
3) Seja f(x) =
5
2− x calcule f(2 + α) e f(2− α)
4) Seja f(x) =
x+ 3
x− 2 calcule f(2 + α) e f(2− α)
5) Seja f(x) = x2−3x+2. Calcule f(−3), f(2x−3), f(2x−3)+f(2x+3), f(x+h), f(x+ h)− f(x)
h
6) Seja f(x) = 2x− 3 e g(x) = x2 + 5 calcule
(a) f(5), g(−3), g[f(2)], f [g(3)], g[f(x)]
(b) f [g(x+ 1)] + g[g(x)]
7) Determine o domı´nio de seguintes expresso˜es
(a) x2 − 1 + 1
x
(b)
x2 − 5x+ 1
x2 − 2x
(c)
√
2− x
(d)
1√
x
+
2
x+ 3
(e)
√
x+ 3
x− 4
(f)
√
x2 + 3
x− 1
(g)
5
x2 − 9 +
7√
x+ 3
(h)
√
x− 2 +√6− 2x
8) Seja P (x) = 2x3 + ax2 + bx− 5. Determine a e b de modo que P (2) = 0 e P (−1) = 0
9) Sejam dados os polino´mios
A(x) = −x3 + 3x2 − 7x+ 5, B(x) = 2x3 − 3x2 + 2x− 1, C(x) = −3x3 + 5x− 2.
Determine
(a) A+B + C
(b) 2A+ 2B − C
(c) 2A− 3B − 5C
10) Determine α e β de modo que os polinomios A(x) e B(x) sejam iguais
(a) A(x) = (α+ β)x2 − 3x B(x) = 5x2 − (α− β)x
(b) A(x) = 2αx2 + 3x− 5 B(x) = 4x2 + 3βx− 3α+ β
38 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
11) Determine m de modo que o polino´mio Q(x) = (m2 − 1)x2 + (m2 − 3m+ 2)x+ 1 +m3
(a) seja constante
(b) seja do primeiro grau
12) Factorize pondo em evideˆncia o factor comum
(a) 8a3b2 + 16a2b3 + 20a3b3
(b) 5x3 − 15x2
(c) 16x5 − 20x4 + 8x3
(d) (x+ 1)(7x− 3)− (x+ 1)(2− x)
(e) 2x(x− 1)2 − 2x2(x− 1)
13) Factorize os seguintes trino´mios
(a) x2 + 3x+ 2
(b) x2 + 7x+ 6
(c) x2 + x− 42
(d) x5 + 4x4 + 4x3
14) Factorize (Difereˆnc¸a de quadrados)
(a) 25a2 − 36
(b)
4x2
9
− 16y
2
25
(c) 18− 5x2
(d) (a+ 5)2 − (4− 3a)2
15) Escreva sob forma de quadrado perfeito
(a) 81a2 − 18a+ 1
(b) 49x2 + 28xy + 4y2
(c) (a+ 3)2 − 6(a+ 3)√5 + 45
(d)
(6− x)2
12
+
6− x
x
+
3
x2
16) Factorize usando casos nota´veis
(a) 8x3 − y
3
27
(b)
8a3
27
+
64b6
125
(c) 8x3 − (x− 3)3
(d) (2x− 5)3 + 27x3
17) Factorize agrupando em factores
(a) ax+ 2x+ 3a+ 6
(b) ax− x− 5a+ 5
(c) x2 − 3ax− 2x+ 6a
18) Factorize caso poss´ıvel
dr. betuel de jesus varela canhanga 39
(a) x4 − 16y4
(b) 5x2 + 125
(c) −9x3y + 30x2y2 − 25xy3
(d) 3x2 + 15xy + 12y2
(e) 5a2 − 10a2b2 + 5b4
(f) (a− 3)2 − (5− 2a)2
(g) (x− y)3 − (x+ y)3
19) Simplifique
(a)
4x− 8
x− 2
(b)
−6x2 − 14x
14 + 6x
(c)
x− 3
x2 − 6x+ 9
(d)
x2 − 8x+ 16
16− x2
(e)
8x− 4x2
6x− 12
(f)
4x2 − 12x+ 9
4x2 − 9
(g)
(2x− 1)(x− 1)2 − 2(x2 − x− 1)(x− 1)
(x− 1)4
20) Simplifique
(a)
2x(x− 1)− x2
(x− 1)2
(b)
(2x+ 3)x2 − 2x(x2 + 3x)
x3
(c)
(2x+ 1)(x2 − x)− (2x− 1)(x2 + x)
x2(x− 1)2
21) Efectue seguintes operac¸o˜es
(a)
x2
x+ 2
− 4x− 4
x+ 2
(b)
x
x+ 1
+
3
4
(c)
x
x− 3 −
2
x2 − 9
(d)
2x
x2 − 2x− 15 +
3
x2 − 10x+ 25
22) Determine A e B de modo que:
(a)
3x− 1
x2 + 4x− 5 =
A
x+ 5
+
B
x− 1
(b)
1
2x2 + 3x− 2 =
A
2x− 1 +
B
x+ 2
Ensinar e´ lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceˆ
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Cap´ıtulo 5
Geometria Plana
5.1 A´reas, Per´ımetros e Volumes de Figuras Geome´tricas
5.1.1 Quadrado
E´ uma figura geometrica que tem as seguintes caracteristica:
1) Quatro lados iguais;
2) Quatro aˆngulos rectos - (iguais a 90o).
3) Diagonais iguais e perpendiculares.
Chamemos d− diagonal; P− Per´ımetro, S− Superf´ıcie ou a´rea; a− o lado do quadrado. Veja a
figura
A B
CD
a
a
a
a
90o
Figura 5.1:
40
dr. betuel de jesus varela canhanga 41
Com base na figura e nas propriedades do quadrado podemos tirar as seguintes ilac¸o˜es:
• AC = BD = d,
• AB = BC = CD = AD = a.
• d2 = a2 + a2 ⇒ d2 = 2a2 ⇒ d =
√
2a2 ⇒ d = a√2;
• P = 4a, S = a2.
5.1.2 Losango
E´ uma figura geometrica que tem as seguintes caracteristica:
1) Quatro lados iguais;
2) Diagonais perpendiculares.
Chamemos d− diagonal; P− Per´ımetro, S− Superf´ıcie ou a´rea; a− o lado do losango. Veja a
figura
A B
CD
a
a
a
a
90o
K
Figura 5.2:
42 centro de preparac¸a˜o de exames de admissa˜o ao ensino superior
Com base na figura e nas propriedades do losango podemos tirar as seguintes ilac¸o˜es:
• DK = h e´ perpendicular a AB - (altura).
• AC = d1, BD = d2,
• AB = BC = CD = AD = a.
• P = 4a, S = ah, S = d1 + d2
2
5.1.3 Rectaˆngulo
E´ uma figura geometrica que tem as seguintes caracteristica:
1) Lados iguais 2 a 2;
2) Quatro aˆngulos rectos - (iguais a 90o).
3) Diagonais iguais.
Chamemos d− diagonal; P− Per´ımetro, S− Superf´ıcie ou a´rea; l− o lado menor do rectaˆngulo
e c− o lado maior do rectaˆngulo. Veja a figura
A B
C
D
c
l
Figura 5.3:
dr. betuel de jesus varela canhanga 43
Com base na figura e nas propriedades do rectaˆngulo