Lista Parametrizacao 2

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Lista 4 de Exercícios: 
1. Para cada uma das curvas no R2, faça um esboço e calcule uma parametrização da reta 
tangente e da reta normal nos pontos dados: 
 
a. ߪ(ݐ) = (ݐ, ݐଶ), ݐ ∈ ܴ ݁݉ ݐ = 2. 
b. ߪ(ݐ) = (ܿ݋ݏݐ, ݏ݁݊ݐ), ݐ ∈ ሾ0,2ߨ) ݁݉ ݐ = ߨ. 
c. ߪ(ݐ) = (ܿ݋ݏݐ, 2ݏ݁݊ݐ), ݐ ∈ ሾ0,2ߨ) ݁݉ ݐ = ߨ/2. 
d. ߪ(ݐ) = (ݐଷ, ݐ), ݐ ∈ ܴ ݁݉ ݐ = 1. 
e. ݔଶ + ݕଶ = 9 ݁݉ (3,0). 
f. (ݔ − 3)ଶ + (ݕ + 1)ଶ = 1 ݁݉ (3, −2). 
g. (ݔ + 1)ଶ + (ݕ + 2)ଶ = 1 ݁݉ (−1, −1). 
h. ݔ = ݕଶ ݁݉ (1, −1). 
i. ௫
మ
ସ
+ ௬
మ
ଽ
= 1 ݁݉ (0,3). 
j. (௫ିଵ)
మ
ଵ
+ ௬
మ
ଽ
= 1 ݁݉ (1, −3). 
k. ߪ(ݐ) = (2ܿ݋ݏݐ, 1 + 2ݏ݁݊ݐ), ݐ ∈ ሾ0,2ߨ) ݁݉ ൫√3, 2൯. 
 
2. Se ߪᇱ(ݐ) = (ݐଶ + 1, ݐ), ݐ ∈ ܴ ݁ ߪ(0) = (1,3), ݁݊ܿ݋݊ݐݎ݁ ߪ(ݐ). 
 
3. A astróide ݔ
మ
య + ݕ
మ
య = 2
మ
య tem equações paramétricas x = 2cos3t e y = 2sen3t, ݐ ∈ ሾ0,2ߨ). 
Escreva a equação da reta tangente à astróide no ponto correspondente a ݐ = గ
ସ
. 
 
4. Seja C a curva parametrizada por ߪ(ݐ) = (ܿ݋ݏݐ, ݏ݁݊ݐ, 1 − 2ݏ݁݊ݐ), ݐ ∈ ሾ0,2ߨ). 
a. Determine ߪ′(ݐ). 
b. Determine uma parametrização da reta tangente em (-1,0,1). 
 
5. Faça um esboço das curvas no R3 definidas pelas seguintes parametrizações: 
a. ߪ(ݐ) = (1,2, ݐ), ݐ ∈ ܴ. 
b. ߪ(ݐ) = (ݐ, ݐ, ݐ), ݐ ∈ ܴ. 
c. ߪ(ݐ) = (2ܿ݋ݏݐ, 3ݏ݁݊ݐ, 4), ݐ ∈ ܴ. 
d. ߪ(ݐ) = (2ܿ݋ݏݐ, 4,3ݏ݁݊ݐ), ݐ ∈ ܴ. 
e. ߪ(ݐ) = (ݐ + 1, ݐ, ݐ − 1), ݐ ∈ ܴ. 
f. ߪ(ݐ) = (1 + ݐ, 2 − ݐ, ݐ − 5ݐ), ݐ ∈ ܴ. 
g. ߪ(ݐ) = (1 + 2ܿ݋ݏݐ, 2 + 4ݏ݁݊ݐ, 9), ݐ ∈ ܴ. 
h. ߪ(ݐ) = (ܿ݋ݏݐ, 3 + ݏ݁݊ݐ, 1), ݐ ∈ ܴ. 
i. ߪ(ݐ) = (1, ܿ݋ݏݐ, ݏ݁݊ݐ), ݐ ∈ ܴ. 
j. ߪ(ݐ) = (ܿ݋ݏݐ, −1, ݏ݁݊ݐ), ݐ ∈ ܴ. 
k. ߪ(ݐ) = (4,2ܿ݋ݏݐ, ݏ݁݊ݐ), ݐ ∈ ܴ. 
l. ߪ(ݐ) = (1,2, ݐ + 1), ݐ ∈ ܴ. 
m. ߪ(ݐ) = (1,2ݐ, ݐ), ݐ ∈ ܴ. 
n. ߪ(ݐ) = (1 + 3ܿ݋ݏݐ, 2 + 8ݏ݁݊ݐ, 5), ݐ ∈ ܴ. 
o. ߪ(ݐ) = (ݐ, 2, ݐ), ݐ ∈ ܴ. 
p. ߪ(ݐ) = (3ܿ݋ݏݐ, 4,3ݏ݁݊ݐ), ݐ ∈ ܴ. 
q. ߪ(ݐ) = (ݐ, 2ݐ − 1, ݐ + 2), ݐ ∈ ܴ. 
r. ߪ(ݐ) = (1 − ݐ, 2 − ݐ, ݐ − 1), ݐ ∈ ܴ. 
6. Esboce o gráfico dos planos abaixo, e dê um vetor normal de cada um. 
 
a. ݔ = 2. 
b. ݕ = 3. 
c. ݔ = 4. 
d. ݖ = −4. 
e. ݔ + 2ݕ − 6 = 0. 
f. 3ݔ − 2ݖ − 12 = 0. 
g. 2ݔ + ݕ + 5ݖ = 0. 
h. ݔ + ݕ + ݖ = 1. 
i. ݔ + ݕ = 7. 
j. ݔ + ݖ = 2. 
k. ݕ + ݖ = 3. 
l. ݔ + 2ݕ + 2ݖ = 2. 
m. ݕ = 2. 
n. ݔ = 2 − ݖ + ݕ. 
o. ݔ = 2 − 6ݕ. 
 
7. Esboce o gráfico de cada um dos cilindros abaixo: 
a. ݔଶ + (ݕ − 2)ଶ = 4. 
b. ݕଶ + ݖଶ = 16. 
c. (ݔ + 1)ଶ + (ݕ − 6)ଶ = 4. 
d. ݔଶ = 9ݖ. 
e. ݕ = |ݖ|. 
f. ݔଶ − 4ݕ = 0. 
g. ݔଶ + ݕଶ = 1. 
h. ݔଶ + ݖଶ = 9. 
i. ݔଶ = ݕଶ. 
j. ݔଶ = (ݕ − 1)ଶ. 
k. ݔଷ = ݕ 
l. ݕ = ݏ݁݊ݔ. 
m. ݕ = ݔଶ.