Cálculo de área e volume

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Disciplina: Topografia 1
AULA 7
CÁLCULO DE ÁREAS e VOLUMES
Professores.:
Sandro Inácio Carneiro da Cruz
Disciplina: Topografia 2
Processos: Gráfico
Computacional
Mecânico
Analíticos
Método de Gauss
Método de Bezout (Trapézios)
Método de Simpson
Método de Poncelet
CÁLCULO DE ÁREAS (Revisão)
Disciplina: Topografia 3
Processo Gráfico
(Revisão)
Disciplina: Topografia 4
Processo Computacional
(Revisão)
Disciplina: Topografia 5
Processo Computacional
(Revisão)
Disciplina: Topografia 6
Processo Mecânico
(Revisão)
Planímetro Polar Analógico
Disciplina: Topografia 7
Processo Analítico
(Revisão)
Método de Gauss
Disciplina: Topografia 8
Processo Analítico
(Revisão)
Método de Gauss
Disciplina: Topografia 9
Processo Analítico
(Revisão)
Método de Gauss
OU
ou
ou
ATENÇÃO !!!
Para 4 
pontos:
Para 5 
pontos:
Disciplina: Topografia 10
Processo Analítico
(Revisão)
Método de Gauss
1- Aplicação
Calcule a área do polígono formado pelas coordenadas a seguir:
Ponto x(m) Y(m)
1 0,00 0,00
2 40,00 40,00
3 99,99 49,98
4 90,03 -9,96
5 50,02 10,02x1(y4 - y2) 0,00
x2(y1 - y3) -1999,20
x3(y2 - y4) 4995,50
x4(y3 - y5) 3597,60
x5(y4 - y1) -498,20
2 A = 6095,70
A = 3047,85
Disciplina: Topografia 11
Processo Analítico
Método de Simpson*
 
3
1
)(
x
x
Adxxf
)421(*
3
1 APAIyy
x
A n 
Para um número PAR de Áreas:
Os comprimentos das cordas Y são perpendiculares a distância X.
Onde: d – distância entre as cordas;
y1 – primeira corda;
yn – última corda;
AI – somas das cordas ímpares;
AP – somas das cordas pares;
•Conforme Borges
Disciplina: Topografia 12
Processo Analítico
Método de Bezout (Trapézios)*
21)(
3
1
AAdxxf
x
x

)2120(
2
21
2
)21(
2
)10(
21
yyy
d
AA
yy
d
yy
dAA





Os comprimentos das cordas Y são perpendiculares a distância D.
Onde: d – distância entre as cordas;
y0 – primeira corda;
yn – última corda;
yi – soma das cordas restantes;
))(20(
2
1
2




n
i
yiyny
d
A
* Conforme Borges
Disciplina: Topografia 13
Processo Analítico
Método de Poncelet*
Os comprimentos das cordas Y são perpendiculares a distância D.
ATENÇÃO: DEVE-SE DIVIDIR EM UM NÚMERO PAR DE ÁREAS
Onde: d – distância entre as cordas;
P – soma de todos os ys pares;
E – ys extremos;
E’ – ys adjacentes dos extremos;
)
4
'
2(
EE
PdA


* Conforme Borges
O método considera média da área formada pelos 
pelos pontos ABCDE (a1) e os trapézios das 
tangentes dos pontos B, C e D (a2)
2
21 aa
A


Disciplina: Topografia 14
Processo Analítico
Método de Poncelet
)
4
'
2(
EE
PdA


2
21 aa
A


Área a1 – área formada pelos trapézios 
traçados pelas tangentes em B, C e D
Área a2 – área formada pelos trapézios 
internos 1AB2, 2BC4 e 4CD6, ....
...)642(.21  yyyda
y2, y4, y6, ... – Base média dos trapézios
)
2
12
)1...42(2
2
1
.(2
)
2
)21(
.(2







yny
ynyy
yny
da
y
yy
da
Disciplina: Topografia 15
Processo Analítico
3- Aplicação
Calcule a área do polígono conforme as informações abaixo:
Método de Bezout (Trapézios)
Método Berzout
Corda Comprimento
1 719,81
2 1039,85
3 1373,43
4 1781,4
5 2110,1
6 2346,47
7 2485,2
8 2316,66
9 2019,82
Distância (d)= 625,00 m
Cordas 1 e Corda n = 2739,63
Cordas Remanescentes= 26906,22
Área = 9.264.328,13 m2
Disciplina: Topografia 16
CÁLCULO DE VOLUMES
Após se ter experiência em levantamentos planialtimétricos nos
serviços que estamos envolvidos, sempre teremos que calcular
volumes de escavação (corte) ou aterro, ou senão estimar o
volume de aproveitamento de uma área de empréstimo.
Os métodos de cálculo de áreas (Simpson, Berzout ou Poncelet)
apresentados no item anterior representam integrais de uma
área infinitesimal dA, assim aplicando o mesmo método sobre as
áreas obtidas de seções tomadas a uma mesma distância (d),
conseguimos integrar mais uma vez o sistema e chegar ao
VOLUME do alinhamento desejado.
A seguir, apresentamos um exemplo prático do texto proposto.
Disciplina: Topografia 17
4 – Aplicação
A fim de proteger um torre de transmissão instalada no caminho
de um riacho, pretende-se construir um dique de proteção a
frente da mesma com o propósito de desviar para uma calha já
escavada este riacho.
Pergunta-se: Qual o volume de aterro que será necessário para
construir o dique?
Disciplina: Topografia 18
Torre de Transmissão
Área da Intervenção
Disciplina: Topografia 19
Seção Típica do dique proposto
Disciplina: Topografia 20
Disciplina: Topografia 21
Seções nas Estacas
Disciplina: Topografia 22
Seções nas Estacas
Disciplina: Topografia 23
Seções nas Estacas
Disciplina: Topografia 24
Seções nas Estacas
Disciplina: Topografia
Corda Comprimento (m)
0 0,337
1 0,996
2 0,986
3 0,974
4 0,96
5 0,944
6 0,926
7 0,906
8 0,218
1,00 m
Y0: 0,337
Yn: 0,218
AI: 3,82
AP: 2,872
Syi: 6,692
7,193 m2
6,970 m2
Distância entre cordas (m):
Método de Simpsom:
Método de Bezout (Trapézios):
25
Por exemplo, vamos calcular a Área da Seção da Estaca 1
Repetimos o procedimento para
cada uma das seções, a fim de
calcular a área de cada uma das
seções.
Disciplina: Topografia
Estaca Área (m2)
0 2,1200
1 7,1930
2 11,5237
3 25,7028
4 31,4982
5 76,8380
6 72,0885
7 25,1755
8 0
26
Por exemplo, aceitamos os
resultados obtidos pelo
Método de Simpson.
Assim, obtemos as demais
áreas:
Atenção: a Estaca E-8 não possuí uma
área de aterro do dique (0,0 m3), neste
exemplo acadêmico podemos aceitar
este caso mas em casos reais
realizamos a subdivisão da área em
sub-áreas a fim de evitar o aumento
erro de cálculo produzido pelos
métodos.
Disciplina: Topografia 27
Processo Analítico
Cálculo do Volume
Estaca Área (m2)
0 2,1200
1 7,1930
2 11,5237
3 25,7028
4 31,4982
5 76,8380
6 72,0885
7 25,1755
8 0
20,00 m
Y0: 2,12
Yn: 0
AI: 134,9093
AP: 115,1104
Syi: 250,0197
5146,520 m3
5021,594 m3
Distância entre estacas (m):
Método de Simpsom:
Método de Bezout (Trapézios):
Disciplina: Topografia 28
5- Aplicação
A construção do dique, tal como proposto no exercício anterior
irá acarretar a redução da calha do Riacho. Desta forma, será
necessário escavar o talude de ROCHA a fim de garantir pelo
menos 20,00 metros (fundo de calha) para a passagem do
Riacho.
Pergunta-se: Qual o volume de escavação envolvido no
alargamento do Riacho?
Disciplina: Topografia 29
Disciplina: Topografia 30
Disciplina: Topografia 31
Seção Típica de Escavação
Disciplina: Topografia 32
Admita os seguintes valores das seções levantadas:
Seções Áreas (m2)
S-0 14,72
S-1 32,19
S-2 61,44
S-3 56,93
S-4 62,93
S-5 48,19
S-6 24,64
Disciplina: Topografia 33
Cálculo do Volume
10,00 m
Y1: 14,72
Yn: 24,64
AI: 137,3100
AP: 124,3700
Syi: 261,68
2791,133 m3
2813,600 m3
Distância entre estacas (m):
Método de Simpsom:
Método de Bezout (Trapézios):
Disciplina: Topografia 34
Áreas de Empréstimos
Quando estamos trabalhando em grandes obras sempre
necessitamos identifica Áreas de Empréstimos, que tenham
condições de nos fornecer o volume de material necessário para
realizar o ATERRO desejado.
Evidente, que para estimar o volume de material que temosdisponível
em uma dada localidade devemos realizar sondagens manuais, com o
auxílio de trados ou poços de inspeção. Assim, conseguimos obter as
profundidades de material disponível para exploração.
Assim, através da média das profundidades encontradas e a
dimensão da área pesquisada conseguimos estimar o volume de
material disponível. A seguir apresentamos um exemplo de aplicação.
Disciplina: Topografia 35
Áreas de Empréstimos
Áreas de Empréstimos = 40,0 x 40,0 = 1.600,00 m2
Médias das sondagens:
(3,4+3,6+4,0+2,2+2,5+2,8+2,0+1,8+1,5)/9 = 2,64m
Volume previsto = 1.600 x 2,64 = 4.224,00 m3
Disciplina: Topografia 36
Áreas de Empréstimos
6 – Aplicação Cálculo o volume disponível para exploração da área de
empréstimo abaixo, considera uma média de 30 cm de expurgo em cada
sondagem.