Solucao da Segunda Lei de Fick Cd

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Solução da Segunda Lei de Fick
Caso: Meio semi-infinito com concentração constante na superfície interna
Modelo Governante -Equação Diferencial Parcial
 
Condições Iniciais e de Contorno
Condição Inicial: 
 
Condição de Contorno Externa: 
 
Condição de Contorno interna: 
 
Vamos usar a definição de concentração adimensional fazendo a seguinte mudança de variável:
 
 
 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
 
 ............................... (1)
Precisamos também incorporar a mudança de variável nas condições iniciais e de contorno.
Condição Inicial: 
 ............................... (2)
Condição de Contorno Externa: 
 ........................ (3)
Condição de Contorno interna: 
 ......................... (4)
Solução Analítica via mudança de variável: 
 ................ (5)
 ........................... (6) 
 ....................... (7)
Inserindo (6) e (7) em (1), tem-se:
 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 ...................... (8)
Introduzindo nova mudança de variável, tem-se:
 .................... (9)
Inserindo (9) em (8), tem-se:
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 ......................... (10)
De (9), tem-se que 
. Então, reescrevendo-se (10), tem-se:
.................... (11)
A equação 11 é uma equação diferencial não linear, de 1ª ordem, cuja solução analítica é obtida, separando-se as variáveis, como segue:
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 ........................... (12)
Agora, volta-se a trabalhar com as variáveis x e t. Inserindo-se (9), (5) e (6) em (12), tem-se:
 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 .......................... (13)
Novamente, aplicando separação de variáveis sobre a equação (13), tem-se:
........................ (14)
Integrando-se (14) e aplicando-se sobre ambos os membros as condições, inicial, e de contorno externa, tem-se:
�� EMBED Equation.3 ............................ (15)
Fazendo-se uma mudança na variável de integração de (15), tem-se:
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
e 
Logo,
�� EMBED Equation.3 
 ................................. (16)
Aplicando-se agora a condição de contorno interna sobre (16), tem-se:
.................................... (17)
Da definição da função erro de Gauss, tem-se:
 .............................. (18)
Para 
 tem-se que 
. Logo,
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 ................................ (19)
Inserindo-se (19) em (17), tem-se:
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
Inserindo-se a expressão acima, determinada para a constante K, em (16), tem-se:
 
 ............................. (20)
Sabe-se também que
 ............................. (21)
Então, introduzindo-se (18) e (19) em (21), tem-se:
�� EMBED Equation.3 ...................................... (22)
Inserindo-se (22) em (20), e retornando-se para a variável x, tem-se:
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 ................................ (23)
Retornando-se para a variável C(x,t), tem-se:
�� EMBED Equation.3 ................................ (24),
Com
 e 
A equação (24) juntamente com a equação (18) representa a solução analítica da Segunda lei de Fick para um meio semi-infinito co concentração constante na superfície.
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