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Estatística experimental( Apostila)

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alteração na média, avalia-se uma 
característica de interesse do pesquisador num conjunto de elementos amostrais tomados 
ao acaso na população quando a mesma esteja sob a condição 1. Digamos que a 
avaliação da característica resulte nos seguintes valores amostrais X11, X12,... , X1n. 
Depois de feita esta avaliação, os elementos amostrais que originaram a primeira 
amostra, sejam submetidos à condição 2. Os mesmos elementos amostrais são 
novamente avaliados para a mesma característica na nova condição 2. Digamos que esta 
nova avaliação resulte nos seguintes valores amostrais X21, X22, ... , X2n. Se a condição 2 
não tiver nenhum efeito, espera-se que em média os valores observados nas duas 
condições sejam iguais. 
Em termos de desvios, se a alteração das condições não resultasse em nenhum 
efeito significativo, poderíamos dizer que a diferença entre os valores observados na 
primeira condição e na segunda condição seria em média igual a zero. Portanto para 
verificar se houve alteração na média de uma população avaliada em duas condições 
diferentes, pode-se testar a hipótese de que o desvio médio ser estatisticamente igual a 
zero. Portanto, a partir de duas amostras obtém-se uma outra baseada nos desvios, 
conforme é mostrado a seguir. 
 
Elemento amostral i 1 2 ... n 
Amostra 1 X11 X11 ... X1n 
Amostra 2 X21 X22 ... X2n 
di=X1i-X2i d1 d2 ... dn 
 
 Apresentado desta forma, o teste t para duas amostras dependentes reduz-se teste 
t para uma média populacional, visto anteriormente. No presente caso, deseja-se testar 
se a média dos desvios é igual por exemplo a um valor m0. Escrevendo em termos de 
hipóteses estatísticas teríamos 
 
H0: m = m0 versus 
Ha: m > m0 ou 
Ha: m < m0 ou 
Ha: m ≠ m0 
 
Para decidir entre Rejeitar ou Não-Rejeitar a hipótese de nulidade, deve-se calcular 
o valor da estatística t dada por 
n
s
mmˆt
2
0−= 
em que 
n
d
mˆ
n
1i
i∑
== 
Cap 1 – Testes de Hipóteses 
____________________________________________________________________ 
 
 
14 
1n
n
d
d
s
2n
1i
in
1i
2
i
2
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
=
∑∑ =
= 
Sob Ho, esta estatística t tem distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. 
A comparação deste valor calculado com o valor de ttab dado por ( )1ntt tab −= α . 
Depois de obtido os valores calculado e tabelado de t, usamos a seguinte regra 
decisória: 
- se tabtt ≥ então Rejeita-se Ho 
- se tabtt < então Não-Rejeita-se HO. 
 
Exercícios 
1.4. Com o objetivo de avaliar se determinado produto químico é eficiente para repelir 
insetos domésticos, foi realizada uma contagem do número de insetos, antes e após a 
aplicação deste produto químico, em 7 residências. O número de insetos observado em 
cada residência foi 
Residênca 1 2 3 4 5 6 7 
Antes da aplicação 8 6 7 8 9 6 7 
Após a aplicação 4 0 3 5 3 4 2 
Por meio destes dados e ao nível de 5% de probabilidade, é possível concluir, em 
termos médios, que o produto utilizado é eficiente para repelir insetos? 
 
1.5. Com a finalidade de testar se determinado método de secagem rápida consegue 
reduzir significativamente a quantidade média de água de grãos de cereais, uma porção 
de cada um dos seguintes tipos de cereais: Milho, Cevada, Trigo, Arroz e Sorgo, foi 
exposta ao referido método de secagem. Os resultados obtidos, para o peso da porção 
(em g) amostrada por cereal, com a realização do experimento foram: 
 Milho Cevada Trigo Arroz Sorgo 
Sem a secagem 30 34 41 25 36 
Com a secagem 21 28 33 21 31 
É possível concluir ao nível de 5% de significância que o método de secagem 
proposto, é eficiente para secar os grãos? 
1.3.2 Teste F para Comparação de Variâncias de Duas Populações 
Este teste é indicado para verificar se duas populações, digamos 1 e 2, apresentam 
igual valor para o parâmetro variância. Em termos de hipóteses estatísticas teríamos: 
H0: 21σ = 
2
2σ 
versus 
Ha: 21σ > 22σ ou 
Ha: 21σ < 22σ ou 
Ha: 21σ ≠ 22σ 
 
A estatística F usada para decidir entre Rejeitar ou Não-Rejeitar Ho é dada pelo 
quociente entre as duas estimativas de variância, ou seja: 
EST 220 – Estatística Experimental – I/2008 
________________________________________________________________ 
 
 
15 
2
2
2
1
s
sF = 
Sob a hipótese de nulidade, este quociente tem distribuição F, de Fisher-Snedecor, 
com 21 nen graus de liberdade, ou seja a distribuição de probabilidades da estatística 
F depende dos números de graus de liberdade n1 e n2. Um gráfico para a distribuição F, 
para três diferentes pares de graus de liberdade é ilustrado na figura a seguir. 
 
 
 
A conclusão do teste é feita mediante a comparação do valor de F com o valor de 
Ftab= ( )21 n,nF =α . 
Se ⇒≥ tabFF Rejeita-se 0H ao nível α de probabilidade. Caso contrário Não-
Rejeita-se HO 
 
Exercícios 
1.6. Com o intuito de controlar a homogeneidade da produção de certas partes ao longo 
do tempo, amostras semanais são retiradas da produção corrente. Uma primeira amostra, 
de dez elementos, forneceu média 284,55 e desvio padrão 0,320, ao passo que, numa 
segunda amostra, forneceu, nas mesmas unidades, os seguintes valores: 
 
284,6 283,9 284,8 285,2 284,3 283,7 284,0 
 
Ao nível de 5% de significância, podemos concluir que a semana 2 apresentou 
maior variabilidade que a semana 1? 
 
1.7. A qualidade de rebites é tanto melhor quanto maior sua homogeneidade. Seis rebites 
de duas marcas foram ensaiados ao cisalhamento, tendo-se obtido as seguintes cargas 
de ruptura: 
Cap 1 – Testes de Hipóteses 
____________________________________________________________________ 
 
 
16 
Rebite 1 2 3 4 5 6 
Marca A 34,9 35,5 38,8 39,2 33,7 37,6 
Marca B 38,5 39,0 40,7 42,9 37,8 41,4 
Estes resultados ratificam a afirmação do produtor da marca B, de que seus rebites 
são melhores? Use o nível de 5% de significância. 
1.4. Exercícios Suplementares 
1.8. Uma fábrica de cerâmica produz um tipo de peça usando o processo A de fabricação. 
Com o objetivo de melhorar a média de resistência das peças, quando submetidas a 
determinado grau de temperatura, o processo B foi introduzido. Com os dados amostrais 
abaixo, relativos à temperatura de rompimento das peças, testar a hipótese oH e concluir 
para α = 5%. 
PROCESSO A 90,3 93,4 96,8 91,4 92,6 102,5 103,4 
PROCESSO B 101,4 98,5 104,6 95,8 96,2 94,6 99,5 
 
1.9. Um material isolante foi utilizado com a finalidade de reduzir a temperatura média 
interna em ambientes similares. Para testar a hipótese oH , 10 ambientes foram 
selecionados ao acaso e expostos a uma determinada fonte de radiação de calor. Testar 
a hipótese oH e concluir para α = 5%. Os dados obtidos (em ºC) são fornecidos abaixo. 
AMBIENTE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
s/isolante 30,5 35,3 33,2 40,8 42,3 41,5 36,3 43,2 34,6 38,5 
c/isolante 28,2 35,1 33,2 35,6 40,2 37,4 34,2 42,1 30,5 38,4 
 
1.10. Dois processos que têm por objetivo o controle da temperatura média interna em 
ambientes foram colocados em competição. Para testar a oH , 20 ambientes foram 
convenientemente preparados. Testar e concluir para α = 5% , considerando os dados 
abaixo. 
PROCESSO Temperatura °C 
s/isolamento 30,5 35,3 33,2 40,8 42,3 41,5 36,3 43,2 34,6 38,5 
c/isolamento 28,2 35,1 33,2 35,6 40,2 37,4 34,2 42,1 30,5 38,4 
 
1.11. Um produto foi desenvolvido com o objetivo de reduzir a média da temperatura do 
funcionamento de motores. Para testar o produto, foram selecionados ao acaso 8 motores 
e após 10 minutos de funcionamento, em cada condição, foram obtidos os dados (em ° C) 
do quadro abaixo. Testar a hipótese oH e concluir, para α = 5% . 
MOTOR 1 2 3 4 5 6 7 8 
SEM PRODUTO 80,5 99,6 83,4 100,2 81,5 84,6 85,0 105,8 
COM PRODUTO 75,8 98,8 77,6 99,9 74,2 80,5 83,6 105,8 
 
1.12. Um experimentador deseja testar o efeito de certo fertilizante

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