lista4 Gabarito Algebra Linear

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ZAB 0161 - Álgebra linear com aplicações em geometria
analítica
Lista 4 - Problemas de aplicação
1. Sejam m e n números reais tais que m 6= n e as matrizes A =
[
2 1
3 5
]
e B =
[ −1 1
0 1
]
. Qual
a relação necessária entre m e n para que a matriz C = mA+ nB não seja inversível?
Resolução: C = mA+ nB =
[
2m− n m+ n
3m 5m+ n
]
. Seu determinante é
det(C) = (2m− n)(5m+ n)− 3m(m+ n).
Para que a matriz não seja inversível seu determinante deve ser nulo, então
(2m− n)(5m+ n)− 3m(m+ n) = 0. Desenvolvendo a expressão temos: 7m2 − 6mn− n2 = 0.
Resolvendo para m a equação quadrática temos m = 6n±
√
64n2
14 , simplificando temos dois valores
m = n e m = −n7 . Como não podem ser iguais a solução é a segunda que pode ser representada
por 7m+ n = 0.
2. Sabendo que
|A| =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = 4 e |B| =
∣∣∣∣∣∣
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
∣∣∣∣∣∣ = −10
encontre o valor de∣∣∣∣ 5a11 5a12a21 a22
∣∣∣∣ =? ∣∣∣∣ 5a12 5a115a22 5a21
∣∣∣∣ =?
∣∣∣∣∣∣
b12 b11 4b13
b22 b21 4b23
b32 b31 4b33
∣∣∣∣∣∣ =?
Resolução: A primeira matriz é idêntica a matriz A, com a primeira linha multiplicada por 5, logo
o determinante será o determinante de A vezes 5, dando o valor de 20.
A segunda matriz tem as colunas trocadas da matriz A, e além disso as duas linhas foram mul-
tiplicadas vezes 5, portanto o determinante da segunda matriz será o determinante da matriz A,
com sinal trocado e vezes 25, que dá o valor de −100.
A terceira matriz tem a coluna 2 trocada com a coluna 1 da matriz B (o que muda o sinal), e a
terceira coluna multiplicada vezes 4, dando um valor de 40.
3. Um feirante separou um número inteiro de dúzias de tangerinas (t), de maçãs (m) e de pêras (p).
Observou que para cada maçã arrumada, havia 2 tangerinas. Com 90 dúzias, ele fez lotes de 6
tangerinas, lotes com 6 maçãs e lotes com 4 pêras. Colocou em cada lote, indistintamente, o preço
de R$ 0, 50. Arrecadou R$ 105, 00 na venda de todos eles. Calcule t, m, e p.
Resolução: Considerando t, m e p o número de dúzias de cada fruta, temos que 2m = t e que
1
t+m+p = 90. Cada dúzia pode conter 2 lotes de tangerinas, 2 lotes de maças ou 3 lotes de peras.
Logo foram feitos 2t lotes de tangerinas, 2m lotes de maças e 3p lotes de peras e como o preço é
igual para cada lote temos o sistema de equações 2m = tt+m+ p = 90
0.5(2t) + 0.5(2m) + 0.5(3p) = 105
Resolvendo por Gauss Jordan temos p = 30, m = 20 e t = 40.
4. Misturam-se dois tipos de leite, um com 3% de gordura outro com 4% de gordura para obter,
ao todo, 80 litros de leite com 3, 25% de gordura. Quantos litros de leite de cada tipo foram
misturados?
Resolução: Representando com x a quantidade de litros de leite com 3% de gordura, e com y
a quantidade de litros de leite com 4% de gordura, o resultado final deve ser 3.25%(x + y). O
sistema a ser resolvido é {
x+ y = 80
3x+ 4y = 3.25(x+ y)
Resolvendo por Gauss Jordan temos y = 20 litros e x = 60 litros.
5. Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são vendidos a R$12,00
a unidade, as galinhas a R$5,00 e os marrecos a R$15,00. Considere um comerciante que tenha
gastado R$440,00 na compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do que
marrecos. Qual o número de patos comprados pelo comerciante.
Resolução: Representamos por x o número de patos, y o número de galinhas e z o número de
marrecos, temos o sistema {
x+ y + z = 50
12x+ 5y + 15z = 440
Resolvendo por Gauss Jordan temos[
1 1 1 50
12 5 15 440
]
∼
[
1 0 107
190
7
0 1 − 37 1607
]
que dá infinitas soluções, então deveremos analisar o resultado. Assume-se que z pode tomar
qualquer valor, então o número de patos é x = 1907 − 107 z = 107 (19 − z). Como x e z não podem
ser negativos então 0 ≤ z ≤ 19, além disso o termo 19− z deve ser múltiplo de 7, pois o número
de patos deve ser inteiro. Assim temos duas alternativas: 19 − z = 14 ou 19 − z = 7, logo z = 5
ou z = 12. Se z = 12 então z = 107 (7) = 10, o que não é válido pois o número de patos deve ser
maior ao número de marrecos. Portanto a única solução é z = 5 e x = 107 (14) = 20.
6. Uma partícula se desloca pela curva de um polinômio quadrático e passou pelos pontos (2, 1)
(3,−3) e (1,−1). Outra partícula tem como trajetória a curva de outro polinômio quadrático e
passou pelos pontos (−2, 1), (0,−2) e (4, 2). Existe a possibilidade de colidirem as partículas?
Resolução: Expressamos as trajetórias da primeira e segunda partícula como
T1(t) = a0 + a1t+ a2t
2
T2(t) = b0 + b1t+ b2t
2 .
Substituindo os pontos de passo da primeira partícula em T1, temos o sistema
 a0 + 2a1 + 4a2 = 1a0 + 3a1 + 9a2 = −3
a0 + a1 + a2 = −1
,
que resolvendo por Gauss Jordan dá como solução T1(t) = −9 + 11t− 3t2. De forma similar para
2
a trajetória da segunda partícula dá T2(t) = −2− 23 t+ 512 t2. Graficando os polinômios vemos que
existem dois pontos de intersação, prováveis lugares de colisão.
7. Sabendo que uma partícula, P, percorre uma trajetória linear passando pelos pontos (2, 2) e (4, 7),
e que uma segunda partícula Q, vai percorrer uma curva quadrática passando pelos pontos (0, 0),
(1, 2) e (3, 4). Em que ponto deve parar a partícula P para que a partícula Q colida com P.
Resolução: Os pontos da trajetória linear não correspondem a uma reta vertical então represen-
tamos a trajetória da partícula P por P (x) = a1x + a2. Considerando os pontos de passagem
temos a equação matricial
[
2 1
4 1
] [
a1
a2
]
=
[
2
7
]
, resolvendo P (x) = 52x − 3. A trajetória
quadrática será Q(x) = b1x
2 + b2x + b3. Considerando os pontos de passagem temos a equação
matricial
 0 0 11 1 1
9 3 1
 b1b2
b3
 =
 02
4

, daqui Q(x) = − 13x2 + 73x. Para conhecer os pontos
comuns igualamos os polinômios e bastaria resolver 2x2 + x − 18 = 0. Portanto a partícula P
pode ser detida em qualquer dos dois pontos
(
1
4
(−1±√145) , 18 (−29± 5√145)) para colidir com
a partícula Q.
8. Uma partícula trafega por uma curva (assuma um polinômio de ordem 3) e foram identificados
quatro pontos de passagem (1, 3), (2,−2), (3,−5) e (4, 0). Qual a trajetória da partícula?
Resolução: Consideramos P (x) = ax3+bx2+cx+d a trajetória da partícula. A partir dos pontos
de passagem temos a equação matricial

1 1 1 1
8 4 2 1
27 9 3 1
64 16 4 1


a
b
c
d
 =

3
−2
−5
0
. Resolvendo por
Gauss Jordan obtemos o polinômio P (x) = x3 − 5x2 + 3x+ 4.
9. Uma carga pesada foi desembarcada sobre uma plataforma obliqua e plana. Identificamos três
pontos da plataforma (0, 0, 0), (0, 3, 1) e (−3, 0, 2). Qual o plano da plataforma?
Resolução: Podemos representar o plano pela equação z = ax+ by + c. A partir dos três pontos
conhecidos do plano podemos encontrar os valores de a, b e c. Resolvemos a equação matricial 0 0 10 3 1
−3 0 1
 ab
c
 =
 01
2

obtendo z = − 23x+ 13y ou 3z + 2x− y = 0.
3