REV C Aula GAAL Unidade I

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1 
 
 
Prof. Me. Deyvid Oliveira dos Anjos 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
E ÁLGEBRA LINEAR 
2 
Unidade I: Vetores, Multiplicação de 
Vetores, Retas e Planos 
3 
• Definir o conceito matemático de vetores com as 
operações usuais. 
• Reconhecer conjuntos linearmente dependentes e 
independentes. 
• Definir os conceitos de multiplicação de vetores (produto 
escalar e vetorial). 
• Determinar e reconhecer as equações dos planos e das 
retas. 
• Identificar as posições relativas entre planos, retas, bem 
como calcular ângulos e distâncias. 
 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 
4 
• Vetores; 
 
• Operação com Vetores; Dependência e Independência 
Linear; 
 
• Expressão Analítica de um Vetor; 
 
• Multiplicação de Vetores; 
 
• Sistemas de Coordenadas; O Plano; A Reta; 
 
• Posições Relativas. 
PLANO DE ESTUDO 
5 
Vetores 
 
6 
Segmentos Orientados 
 
Algumas grandezas físicas ao serem medidas necessitam 
apenas do valor numérico seguido da unidade de medida, 
por exemplo: a massa, o comprimento, a área e o volume 
são chamadas de grandezas escalares. No entanto, 
existem outras grandezas que precisam de mais 
informações além das citadas anteriormente, como, por 
exemplo, a força aplicada, o campo elétrico, a aceleração e 
a velocidade. 
 
 
VETORES 
7 
Segmentos Orientados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES 
Sentido Positivo 
8 
Segmentos Orientados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES 
Sentido Positivo 
O B A 
9 
Segmentos Orientados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES 
Sentido Positivo 
O B A 
10 
Segmentos Orientados 
 
 
 
 
 
 
 
Módulo: │𝐴𝐵│ = 𝐴𝐵; │𝐵𝐴│ = 𝐵𝐴 
Direção 
Sentido 
VETORES 
Sentido Positivo 
B A 
B A 
Sentido Negativo 
𝐴𝐵 
𝐵𝐴 
11 
Segmentos Orientados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES 
Colineares Coincidentes Num paralelogramo 
12 
Vetor: 
 
Dizemos que o vetor determinado por um segmento 
orientado AB é o conjunto de todos segmentos orientados 
equipolentes a ele. 
 
 
 
 
 
 
VETORES 
B A 
2 1 
Y X 
13 
EXEMPLO: 
 
Quais os vetores que representam as forças atuando entre 
os pontos A e B, A e C e A e D? 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES 
A 
B 
C 
D 
14 
EXEMPLO: 
 
Quais os vetores que representam as forças atuando entre 
os pontos A e B, A e C e A e D? 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES 
A 
B 
C 
D 
𝐴𝐵 
15 
EXEMPLO: 
 
Quais os vetores que representam as forças atuando entre 
os pontos A e B, A e C e A e D? 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES 
A 
B 
C 
D 
𝐴𝐵 
𝐴𝐶 
16 
EXEMPLO: 
 
Quais os vetores que representam as forças atuando entre 
os pontos A e B, A e C e A e D? 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES 
A 
B 
C 
D 
𝐴𝐵 
𝐴𝐶 
𝐴𝐷 
17 
EXEMPLO: 
 
Quais os vetores que representam as forças no desenho? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES 
18 
EXEMPLO: 
 
Quais os vetores que representam as forças no desenho? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES 
𝑵 
𝑷 
𝑭𝒂 
𝑻 
19 
Conceitos: 
 
Norma ou comprimento de um vetor 𝑣 = 𝐴𝐵: módulo, 
indicado por 𝑣 um número real t tal que 𝑣 = 𝑡 . 
 
É importante destacar que as características de um vetor 
são as mesmas em qualquer um de seus representantes, 
isto é, o módulo, a direção e o sentido. 
 
 
 
VETORES 
20 
Conceitos: 
 
• Igualdade de Vetores: dois vetores 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 são iguais 
se forem equipolentes; 
• Vetor Nulo: o vetor nulo é o vetor determinado por 
segmento nulo e indicado por 0; 
• Vetores Opostos ou Simétricos: dado um vetor 𝐴𝐵, o 
vetor 𝐵𝐴 é chamado de vetor oposto (ou simétrico), 
denotado por 𝐵𝐴 = −𝐴𝐵; 
• Vetor Unitário: dizemos que 𝐴𝐵 é um vetor unitário, 
quando sua norma é igual a 1. 
VETORES 
21 
Conceitos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES 
Vetores iguais Vetor nulo 
Vetores simétricos 
Vetor unitário 
 𝒗 =1 
22 
Conceitos: 
 
 
• Vetores Colineares; 
 
 
• Vetores Coplanares. 
 
 
 
 
VETORES 
23 
Vetores 
 
24 
Operação com Vetores; Dependência e 
Independência Linear 
25 
Soma: 
 
Sejam 𝑢 e 𝑣 dois vetores, definimos por vetor soma desses 
vetores 𝑠 = 𝑢 + 𝑣 : 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑢 
𝑣 
𝑣 
𝑢 
26 
Soma: 
 
 
 
 
 
 
O vetor soma 𝑠 tem origem na origem do vetor 𝑢 e 
extremidade na extremidade vetor 𝑣 , em que a origem do 
vetor 𝑣 é a extremidade do vetor 𝑢. 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑣 
𝑢 
𝑣 
𝑢 
𝑠 
27 
Soma: 
 
PROPRIEDADES 
 
I) Comutativa: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 
 
II) Associativa: 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 
 
III) Existência do vetor nulo 0, assim, para todo v existe 0, tal 
que 𝑢 + 0 = 0 + 𝑢 = 𝑢 
 
IV) Para todo vetor 𝑢 existe o vetor −𝑢, tal que 𝑢 + (−𝑢) = 0 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
28 
Soma: 
 
REGRA DO PARALELOGRAMO 
 
Procede-se da seguinte maneira: marca-se os vetores com 
origem em comum (no ponto A), isto é, 𝑢 = 𝐴𝐵 e , 𝑣 = 𝐴𝐷, 
depois traça-se duas retas paralelas aos segmentos AB e 
AD, cuja interseção nos dá um ponto C, assim, o vetor 
soma é aquele com origem no ponto A e extremidade em 
C, isto é, 𝐴𝐶 . 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
29 
Soma: 
 
REGRA DO PARALELOGRAMO 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
30 
EXEMPLO 
 
Qual o vetor soma (vetor resultante) dos seguintes vetores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑣 
𝑢 
31 
EXEMPLO 
 
Qual o vetor soma (vetor resultante) dos seguintes vetores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑣 
𝑢 
32 
EXEMPLO 
 
Qual o vetor soma (vetor resultante) dos seguintes vetores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑣 
𝑢 
𝑣 
𝑢 
33 
EXEMPLO 
 
Qual o vetor soma (vetor resultante) dos seguintes vetores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑣 
𝑢 
𝑣 
𝑢 
𝑢 
34 
EXEMPLO 
 
Qual o vetor soma (vetor resultante) dos seguintes vetores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑣 
𝑢 
𝑣 
𝑢 
𝑢 
𝑣 
35 
EXEMPLO 
 
Qual o vetor soma (vetor resultante) dos seguintes vetores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑣 
𝑢 
𝑣 
𝑢 
𝑢 
𝑣 
36 
EXEMPLO 
 
Qual o vetor soma (vetor resultante) dos seguintes vetores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑣 
𝑢 
𝑤 = 𝑢 + 𝑣 
37 
EXEMPLO 
 
Qual o vetor soma (vetor resultante) dos seguintes vetores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑏 
𝑎 
𝑐 𝑑 
38 
EXEMPLO 
 
Qual o vetor soma (vetor resultante) dos seguintes vetores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑏 
𝑎 
𝑐 𝑑 
39 
EXEMPLO 
 
Qual o vetor soma (vetor resultante) dos seguintes vetores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑏 
𝑎 
𝑐 𝑑 
𝑒 
40 
EXEMPLO 
 
Qual o vetor soma (vetorresultante) dos seguintes vetores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑒 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 
41 
Diferença: 
 
Qual a solução de 𝑣 − 𝑢 ? 
 
 
 
 
 
 
 𝑣 − 𝑢 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑣 
𝑢 
42 
Diferença: 
 
Qual a solução de 𝑣 − 𝑢 ? 
 
 
 
 
 
 
 𝑣 − 𝑢 𝑣 + (−𝑢) 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑣 
𝑢 
−𝑢 
𝑣 
43 
Diferença: 
 
Qual a solução de 𝑣 − 𝑢 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
−𝑢 
𝑣 
44 
Diferença: 
 
Qual a solução de 𝑣 − 𝑢 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
−𝑢 
𝑣 
45 
Diferença: 
 
Qual a solução de 𝑣 − 𝑢 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
−𝑢 
𝑣 
46 
Diferença: 
 
Qual a solução de 𝑣 − 𝑢 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
−𝑢 
𝑣 
𝑣 − 𝑢 
47 
Multiplicação de um vetor por um escalar: 
 
Seja 𝑣 um vetor não nulo e k um número real (escalar), 
chama-se produto de um número real pelo vetor 𝑣 o vetor 
𝑝 = 𝑘. 𝑣 , cuja direção é a mesma do vetor 𝑣 . 
 
Se k>0, terá o mesmo sentido. 
Se k<0, terá sentido oposto 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
48 
Multiplicação de um vetor por um escalar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑢 
2𝑢 
3𝑢 
−𝑢 
−2𝑢 
−3𝑢 
49 
Dependência e Independência Linear 
 
Quando um vetor for múltiplo de outro (multiplicação por 
escalar) e/ou combinação linear de outros vetores (soma 
e diferença de vetores) eles serão chamados de L.D. entre 
si. 
 
Se isso não ocorrer, eles serão L.I. entre si. 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
50 
LD e LI: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑦 
𝑥 
𝑦 
𝑥 
𝑧 
51 
LD e LI: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E RELAÇÕES 
𝑥 
𝑦 
52 
Operação com Vetores; Dependência e 
Independência Linear 
53 
Expressão Analítica de um Vetor 
54 
Vetores no plano R² 
 
Considere a base canônica para o plano, cada ponto (par 
ordenado) (𝑥, 𝑦) associa-se a um vetor 𝑣 = (𝑥, 𝑦) e, 
reciprocamente, cada vetor do plano pode ser associado a 
um par ordenado. 
 
 
 
 
EXPRESSÃO ANALÍTICA 
55 
Vetores no plano R² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPRESSÃO ANALÍTICA 
𝑥 
𝑦 
56 
Vetores no plano R² 
 
Igualdade: dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) são 
iguais se 𝑥1 = 𝑥2 e 𝑦1 = 𝑦2. 
Soma: 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2). 
Multiplicação por escalar: dados 𝑘 ∈ 𝑅 e 𝑣 ∈ R² definimos 
k. 𝑣 = 𝑘. 𝑥2, 𝑘. 𝑦2 . 
 
Notação: 𝑣 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥, 0 + 0, 𝑦 = 𝑥. 1,0 + 𝑦 0,1 
𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 
 
EXPRESSÃO ANALÍTICA 
57 
Vetores no plano R² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPRESSÃO ANALÍTICA 
𝑥 
𝑦 
58 
Vetores no plano R² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPRESSÃO ANALÍTICA 
𝑥 
𝑦 
59 
Vetores no plano R² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPRESSÃO ANALÍTICA 
𝑥 
𝑦 
𝑶𝑨 = 𝒖 = (𝟏, 𝟏) 
1 
1 
𝑶 
𝑨 
60 
Vetores no plano R² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPRESSÃO ANALÍTICA 
𝑥 
𝑦 
𝑶𝑨 = 𝒖 = (𝟏, 𝟏) 
1 
1 
𝑶 
𝑨 
𝑶𝑩 = 𝒗 = (𝟓, 𝟑) 
5 
3 
𝑩 
61 
Vetores no plano R² 
 
𝑤 = 𝑢 − 𝑣 
 
𝑤 = 𝑂𝐴 − 𝑂𝐵 = 𝑂𝐴 + 𝐵𝑂 = 𝐵𝑂 + 𝑂𝐴 = 𝐵𝐴 
 
 
𝑤 = 𝑢 − 𝑣 
 
𝑤 = 1,1 − 5,3 = 1 − 5,1 − 3 = (−4,−2) 
 
EXPRESSÃO ANALÍTICA 
62 
Vetores no plano R² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPRESSÃO ANALÍTICA 
4 
2 
𝑥 
𝑦 
𝑩𝑨 = 𝒘 = (−𝟒,−𝟐) 
𝑩 
𝑨 
63 
Vetores no espaço R³ 
 
Igualdade: dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 
são iguais se 𝑥1 = 𝑥2, 𝑦1 = 𝑦2 e 𝑧1 = 𝑧2. 
Soma: 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2). 
Multiplicação por escalar: dados 𝑘 ∈ 𝑅 e 𝑣 ∈ R³ definimos 
k. 𝑣 = 𝑘. 𝑥2, 𝑘. 𝑦2, 𝑘. 𝑧2 . 
 
Notação: 𝑣 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥, 0,0 + 0, 𝑦, 0 + 0,0, 𝑧 = 
= 𝑥. 1,0,0 + 𝑦 0,1,0 + 𝑧 0,0,1 
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 
 
EXPRESSÃO ANALÍTICA 
64 
Vetores no espaço R³ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPRESSÃO ANALÍTICA 
𝑥 
𝑦 
𝑧 
65 
Vetores no espaço R³ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPRESSÃO ANALÍTICA 
𝑥 
𝑦 
𝑧 
66 
Vetores em R² e R³ 
Norma: 
 
Dois vetores 𝑣 = 𝑥, 𝑦 
 
𝑣 = 𝑥 2 + 𝑦 2 
 
Dois vetores 𝑣 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 
 
𝑣 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 
 
EXPRESSÃO ANALÍTICA 
67 
Vetores em R² e R³ 
Norma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPRESSÃO ANALÍTICA 
68 
EXEMPLO 
 
1) Norma de −2𝑢 + 𝑣 , 𝑢 = (1,2) e 𝑣 = (3,6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPRESSÃO ANALÍTICA 
69 
EXEMPLO 
 
2) Norma de 𝑢 − 𝑣 + 𝑤. 
𝑢 = 3,1,0 , 𝑣 = (2,2,1) e 𝑤 = (1,3,0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPRESSÃO ANALÍTICA 
70 
Expressão Analítica de um Vetor 
71 
Multiplicação de Vetores 
72 
Multiplicações 
 
A saber, o produto interno (produto escalar) e o produto 
vetorial (produto externo). 
 
O produto interno é uma função binária que associa a cada 
par de vetores um número real (escalar), enquanto 
o produto vetorial é uma função que associa a cada par de 
vetores um outro vetor. 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
73 
Multiplicações 
 
O conceito de produto interno e produto vetorial é de 
extrema importância para o estudo do cálculo vetorial, bem 
como nas aplicações relacionadas à física clássica, 
mecânica e eletromagnetismo. 
Existem muitos estudos que tentam justificar a origem das 
definições dessas duas operações, no entanto, ficaremos 
restritos apenas a defini-los e aplicá-los conforme objetivo 
do curso. 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
74 
Produto Interno (∙) 
 
Vamos definir uma operação denominada de produto 
interno, também conhecido por produto 
escalar (não confunda com o produto por escalar). 
Essa operação associa a cada par de vetores um número 
real, mas, para definir tal operação, primeiramente, 
precisamos de dois conceitos relacionados aos vetores: o 
primeiro é ângulo formado por dois vetores e o segundo é a 
norma (módulo) ou comprimento de um vetor. 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
75 
Produto Interno 
Ângulo e Norma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
𝑢 
𝑣 
76 
Produto Interno 
 
Sendo 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) então: 
 
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 . 𝑣 . cos (𝛼) 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
77 
Produto Interno 
 
Sendo que a base ortonormal {𝑖 , 𝑗 , 𝑘} é conhecida como 
base canônica de R³, em que 𝑖 = 1,0,0 , 𝑗 = 0,1,0 e 
 𝑘 = 0,0,1 . 
 
Teorema: se 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 é uma base ortonormal canônica e 
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) então: 
 
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑥1. 𝑥2 + 𝑦1. 𝑦2 + 𝑧1. 𝑧2 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
78 
EXEMPLO 
 
Qual o produto interno entre 𝑢 = −2,3,1 e 
𝑣 = 1,−3,2 ? 
 
 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
79 
EXEMPLO 
 
Qual o ângulo entre 𝑢 = 1,2,3 e 𝑣 = 3,2,1 ? 
 
 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
80 
EXEMPLO 
 
Qual o ânguloentre 𝑢 = 1,2,3 e 𝑣 = 3,2,1 ? 
 
 
 
ÂNGULO de 44º aproximadamente. 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
81 
Produto Interno 
PROPRIEDADES: 
 
I) 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢 
 
II) k 𝑢 ∙ 𝑣 = k𝑢 ∙ 𝑣 , 𝑘 ∈ 𝑅 
 
III) 𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑤 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
82 
Produto Vetorial (×) 
 
Dados dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), nessa 
ordem, o produto vetorial de u por v denotado por 𝑢 × 𝑣 
resulta em um vetor com as seguintes propriedades: 
 
I) 𝑢 × 𝑣 = 𝑢 . 𝑣 . sen 𝛼 
 
II) 𝑢 × 𝑣 é perpendicular ao plano gerado por 𝑢 e 𝑣 
 
III) O sentido do vetor 𝑢 × 𝑣 pode ser indicado pela regra 
da mão direita. 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
83 
REGRA DA MÃO DIREITA 
 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
84 
Produto Vetorial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
85 
Produto Vetorial (×) 
 
Dados dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), nessa 
ordem: 
 
𝑢 × 𝑣 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
86 
Produto Vetorial (×) 
PROPRIEDADES: 
 
Dados dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2): 
 
I) 𝑢 × 𝑢 = 0, ∀ 𝑢 
II) 𝑢 × 𝑣 = −𝑣 × 𝑢 
III) 𝑢 × 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑤 
IV) 𝑢 × 𝑣 = 0 se, e somente se, um dos vetores é nulo, ou 𝑢 
e 𝑣 são colineares (paralelos). 
VI) O vetor 𝑢 × 𝑣 é ortogonal aos vetores 𝑢 e 𝑣 . 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
87 
EXEMPLO 
 
Qual o produto vetorial entre 𝑢 = 1,0,2 e 
𝑣 = 3,2,3 ? 
 
 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
88 
EXEMPLO 
 
Qual o produto vetorial entre 𝑢 = 1,0,2 e 
𝑣 = 3,2,3 ? 
 
 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
89 
Produto Misto 
 
 
𝑢, 𝑣 , 𝑤 = (𝑢 × 𝑣 ) ∙ 𝑤 
 
 
𝑢, 𝑣 , 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 . 𝑤 . cos(𝑢 × 𝑣 ,𝑤) 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
90 
Produto Misto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
91 
Produto Misto 
 
Dados três vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), 
𝑣 = (𝑥3, 𝑦3, 𝑧3), nessa ordem: 
 
(𝑢 × 𝑣 ) ∙ 𝑤 =
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
92 
EXEMPLO 
 
Qual o produto misto entre 𝑢 = 1,−3,2 , 𝑣 = 0,2,4 , 
𝑤 = 1,2,1 ? 
 
 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
93 
Multiplicação de Vetores 
94 
Sistema de Coordenadas; 
O Plano; A Reta 
95 
Plano Cartesiano 
 
A Geometria Analítica, também conhecida como 
geometria das coordenadas, baseia-se no 
estudo da geometria com a utilização da Álgebra. Indícios 
históricos apontam que seus estudos iniciaram-se com o 
matemático francês René Descartes (1596-1650), criador 
do sistema de coordenadas cartesianas ou plano 
cartesiano. Ele conseguiu estabelecer relações entre a 
geometria e a álgebra ao analisar o ponto, distâncias, retas 
e circunferências no plano cartesiano por meio de 
suas coordenadas. 
COORDENADAS 
96 
Sistema de Coordenadas 
 
Também conhecido como Sistema Ortogonal. 
Considerando as retas que contêm os segmentos OA, OB 
e OC respectivamente, ou apenas eixos x, y e z (eixos 
coordenados). O plano que contém os eixos x e y recebe o 
nome de plano xy, x e z de plano xz e y e z de plano yz. 
Cada ponto P do espaço corresponde a um único 
segmento orientado OP com origem em O. Esse segmento 
determina um único vetor 𝑣 = 𝑂𝑃 que se escreve como 
combinação linear dos vetores 𝑖 , 𝑗 e 𝑘: 
 
𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 , 𝑜𝑢 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
COORDENADAS 
97 
Sistema de Coordenadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS 
𝑥 
𝑦 
𝑧 
98 
Sistema de Coordenadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS 
𝑥 
𝑦 
𝑧 
99 
Sistema de Coordenadas 
DISTÂNCIA 
 
Dados dois pontos A = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e 𝐵 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), a 
distância entre eles é: 
 
𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2 + 𝑧2 − 𝑧1 2 
 
 
 
COORDENADAS 
10
0 
Sistema de Coordenadas 
DISTÂNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS 
𝑥 
𝑦 
𝑧 
10
1 
Sistema de Coordenadas 
PLANO 
 
Sejam A(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴), B(𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵) e C(𝑥𝐶, 𝑦𝐶, 𝑧𝐶) pontos não 
colineares e o plano que contém esses pontos. Assim, se 
P(x, y, z) é um ponto genérico, vamos encontrar condições 
para que P. Como 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 são LI, logo, P ∈ π se existem 
escalares a e b tais que 𝐴𝑃 = a𝐴𝐵 + b𝐴𝐶. 
 
 
 
COORDENADAS 
10
2 
Sistema de Coordenadas 
PLANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS 
10
3 
Sistema de Coordenadas 
PLANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS 
10
4 
Sistema de Coordenadas 
PLANO 
 
A representação algébrica desse sistema seria: 
 
 
𝑥 = 𝑥𝐴 + 𝑎 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 + 𝑏(𝑥𝐶 − 𝑥𝐴)
𝑦 = 𝑦𝐴 + 𝑎 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 + 𝑏(𝑦𝐶 − 𝑦𝐴)
𝑧 = 𝑧𝐴 + 𝑎 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴 + 𝑏(𝑧𝐶 − 𝑧𝐴)
 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS. 
 
COORDENADAS 
10
5 
Sistema de Coordenadas 
PLANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS 
10
6 
EXEMPLO 
 
Sejam A(1,2,3), B(2,0,1) e C(5,5,2) pontos não colineares. 
Quais as equações paramétricas do plano definido por 
eles? 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS 
10
7 
EXEMPLO 
 
Sejam A(1,2,3), B(2,0,1) e C(5,5,2) pontos não colineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS 
10
8 
Sistema de Coordenadas 
PLANO 
 
A equação normal do plano: 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS 
10
9 
Sistema de Coordenadas 
PLANO 
 
A equação normal do plano: 
Dizemos que um vetor 𝑛 é normal (perpendicular) a um 
plano se ele é perpendicular a todos vetores desse plano. 
 
𝑛 ∙ 𝐴𝑃 = 0 
 
 
 
 
COORDENADAS 
11
0 
Sistema de Coordenadas 
PLANO 
 
𝑛 ∙ 𝐴𝑃 = 0 
𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 
𝐴𝑃 = (𝑥 − 𝑥𝐴, 𝑦 − 𝑦𝐴, 𝑧 − 𝑧𝐴) 
 
(𝑎, 𝑏, 𝑐) ∙ (𝑥 − 𝑥𝐴, 𝑦 − 𝑦𝐴, 𝑧 − 𝑧𝐴) = 0 
𝑎 𝑥 − 𝑥𝐴 + 𝑏 𝑦 − 𝑦𝐴 + 𝑐 𝑧 − 𝑧𝐴 = 0 
 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧− 𝑎𝑥𝐴 + 𝑏𝑦𝐴 + 𝑐𝑧𝐴 = 0 
 𝑑 
COORDENADAS 
11
1 
Sistema de Coordenadas 
PLANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS 
11
2 
Sistema de Coordenadas 
RETA 
 
Sabemos que dados dois pontos distintos 𝑃1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 
𝑃2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 existe uma única reta que passa por esses 
pontos. Seja P(x, y, z) um ponto dessa reta que 
chamaremos de 𝑟, assim, temos um conjunto {𝑃1𝑃, 𝑃1𝑃2} 
Linearmente Dependente. 
 
𝑃1𝑃 = 𝜆𝑃1𝑃2 
𝑃 − 𝑃1 = 𝜆𝑃1𝑃2 
𝑃 = 𝑃1 + 𝜆𝑃1𝑃2 (𝐸𝑄𝑈𝐴ÇÃ𝑂 𝑉𝐸𝑇𝑂𝑅𝐼𝐴𝐿) 
 
COORDENADAS 
11
3 
Sistema de Coordenadas 
RETA 
 
A representação algébrica seria: 
 
 
𝑥 = 𝑥1 + 𝜆 𝑥2 − 𝑥1
𝑦 = 𝑦2 + 𝜆 𝑦2 − 𝑦1
𝑧 = 𝑧2 + 𝜆 𝑧2 − 𝑧1
⇒ 
𝑥 = 𝑥1 + 𝜆𝑎
𝑦 = 𝑦2 + 𝜆𝑏
𝑧 = 𝑧2 + 𝜆𝑏
 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS. 
 
COORDENADAS 
11
4 
EXEMPLO 
 
Qual a equação paramétrica para a reta entre os pontos 
A(1,2,3), B(−2,−5,1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS 
11
5 
Sistema de Coordenadas 
RETAS e PLANOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS 
11
6 
Sistema de Coordenadas 
RETAS e PLANOSCOORDENADAS 
11
7 
Sistema de Coordenadas; 
O Plano; A Reta 
11
8 
Posições Relativas 
11
9 
 
Planos Paralelos 
 
Se 𝜋1 e 𝜋2 são planos paralelos, com 𝑛1 e 𝑛2 seus vetores 
normais, então, 𝑛1 e 𝑛2 são múltiplos (paralelos), isto é, 
existe 𝜆 tal que: 
 
𝑛1 = 𝜆𝑛2 
𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 = 𝜆 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 
𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 = 𝜆𝑎2, 𝜆𝑏2, 𝜆𝑐2 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS 
12
0 
EXEMPLO 
 
Os planos 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 8 = 0 e −6𝑥 + 9𝑦 − 3𝑧 − 1 = 0 são 
paralelos? 
 
 
 
 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS 
12
1 
 
Planos Perpendiculares 
 
Se 𝜋1 e 𝜋2 são planos perpendiculares, com 𝑛1 e 𝑛2 seus 
vetores normais, então, 𝑛1 e 𝑛2 respeitam a seguinte 
relação: 
 
𝑛1 ∙ 𝑛2 = 0 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS 
12
2 
EXEMPLO 
 
Os planos 3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 1 = 0 e 𝑥 + 5𝑦 + 𝑧 + 2 = 0 são 
paralelos? São perpendiculares? 
 
 
 
 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS 
12
3 
 
Retas Paralelas 
 
Se 𝑟1 e 𝑟2 são retas paralelas, com 𝑣1 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 e 
𝑣2 = 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 os vetores diretores, então: 
 
𝑣1 = 𝜆𝑣2 
𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 = 𝜆 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 
𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 = 𝜆𝑎2, 𝜆𝑏2, 𝜆𝑐2 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS 
12
4 
 
Retas Paralelas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS 
12
5 
 
Retas Concorrentes e Reversas 
 
Quando duas retas 𝑟1 e 𝑟2 são retas concorrentes 
(encontram-se) ou reversas (não se encontram) há 
formação de ângulo entre elas. 
 
cos 𝜃 = cos(𝑣1, 𝑣2) 
 
cos 𝜃 =
𝑣1 ∙ 𝑣2
𝑣1 . 𝑣2
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS 
12
6 
 
Retas Concorrentes e Reversas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS 
12
7 
 
Retas Ortogonais 
 
Quando duas retas 𝑟1 e 𝑟2 são retas concorrentes 
(encontram-se) ou reversas (não se encontram) há 
formação de ângulo entre elas. 
 
𝑣1 ∙ 𝑣2 = 0 
 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS 
12
8 
 
Retas Ortogonais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS 
12
9 
 
Distância entre Ponto e Plano 
 
 
𝑑(𝑃0, 𝜋) =
𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐²
 
 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS 
13
0 
 
Distância entre Ponto Plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS 
13
1 
 
Distância entre Ponto e Reta 
 
 
𝑑(𝑃0, 𝑟) =
𝑃1𝑃0 × 𝑣 
𝑣 
 
 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS 
13
2 
 
Distância entre Ponto e Reta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS 
13
3 
 
Distância entre Retas 
 
 
𝑑(𝑠, 𝑟) =
𝑃1𝑃0 × 𝑣𝑟
𝑣𝑟
 
 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS 
13
4 
 
Distância entre Retas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS 
13
5 
Posições Relativas 
13
6 
 
 
Prof. Me. Deyvid Oliveira dos Anjos 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
E ÁLGEBRA LINEAR