03 operaes algbricas

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MATEMÁTICA 
 
Editora Exato 7 
OPERAÇÕES ALGÉBRICAS 
1. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
Monômio ou Termo 
É a expressão algébrica mais sintética. É a ex-
pressão formada por produtos e quocientes somente. 
23x y 3 42 x x⋅ 
2
5x
4y
 
824x− x
z
− 4a 
Um monômio tem sempre dois componentes: 
A parte numérica, chamada coeficiente, que é 
seguida pelas letras. As letras de um termo recebem o 
nome de parte literal. 
Dizemos que dois monômios ou temos são se-
melhantes quando tiverem a mesma parte literal. 
Exemplo: 
3 42x y z é semelhante a 3 43x y z− . 
Adição e Subtração de Monômios 
Só podemos somar dois monômios, se eles fo-
rem semelhantes. Caso contrário, a operação fica in-
dicada. 
Comumente a adição e subtração de Expres-
sões algébricas é chamada de redução de termos se-
melhantes: 
A redução de dois termos semelhantes se faz 
conservando-se a parte literal e somando-se os coefi-
cientes. 
O último exemplo não satisfaz à condição. No-
te que as partes literais são distintas. 
Multiplicação e Divisão de Monômios 
Multiplicam-se (dividem-se) os coeficientes e 
multiplicam-se (dividem-se) as partes literais, obede-
cendo às regras de potenciação. 
Exemplo: 
( ) ( )
( ) ( )
3 2 2 3 5
4 3 2 2 2
2xy 3x y 6x y
33x y z : 2x y x y z
2
=
=
 
Adição e Subtração de Polinômios 
Opera-se como na adição e subtração de mo-
nômios. 
Exemplo: 
( ) ( )
( ) ( )
+ + + + + + + = + + +
+ + − + − + =
= + + − − + − =
= − − +
3 2 2 3 3 2
3 4 3
3 4 3
4 3
x x x 1 3x 8x x 4 9x 4x 2x 5
x 5x 2 2x 3x x 2
x 5x 2 2x 3x x 2
2x 2x 6x
 
 
 
Multiplicação de Polinômios 
Multiplica-se cada termo do primeiro por todos 
os termos do outro e a seguir reduz-se os termos se-
melhantes. 
Exemplo: 
3xy (2x + 4xy - 3y)=2
22(x - 3x + 2x + 1) (x + x + 1)=3
(a + b) (x + y) = ax + ay + bx + by
 
2. PRODUTOS NOTÁVEIS 
Quadrado da soma 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2 2
a b a b a b a 2ab b
a b c a b c a b c
a b c 2ab 2bc 2ac
+ = + + = + +
+ + = + + + + =
= + + + + +
 
Quadrado da diferença 
( ) ( ) ( )2 2 2a b a b a b a 2ab b− = − − = − + 
Produto da soma pela diferença 
( ) ( ) 2 2a b a b a b+ − = − 
3. FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉ-
BRICAS 
Fator comum 
Por certo, você se lembra de que 
( )a b c ab ac+ = + . Pela propriedade simétrica, temos. 
( )ab ac a b c+ = + . 
Exemplo: 
2 23x y 9xy+ = 
O fator comum é: 
Evidenciando-o fica ( )2 23x y 9xy 3xy x 3y+ = + . 
Agrupamento 
A expressão não admite um mesmo fator co-
mum a todos os seus termos, mas, agrupando-os, po-
demos fatorar a expressão pelo caso anterior. 
4. EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
É toda sentença aberta, redutível e equivalente 
a ax b 0+ = , com ∈a R * e b R∈ . 
Exemplos: 
São equações do 1º grau as sentenças abertas 
5x 12− e 3x x 3 1
2 2
+
− = . 
 
 
Editora Exato 8 
Resolução: 
Notando que bax b 0 ax b x
a
+ = ⇔ = − ⇔ = − para 
a 0≠ , concluímos que o conjunto-verdade da equa-
ção é bV
a
 
= − 
 
. 
Exercício resolvido: 
( )3x x 3 1 2 3x x 3 4
2 4
76x x 3 4 5x 7 x
5
7V .
5
+
− = ⇔ ⋅ − + = ⇔
− − = ⇔ = ⇔ = ⇔
 
=  
 
 
5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
Quando temos duas ou mais equações, em que 
a solução de uma equação deve satisfazer as outras 
equações, tem-se um sistema de equações. Existem 
vários processos de solução, porém estudaremos os 
dois mais importantes: 
ADIÇÃO e SUBSTITUIÇÃO
 
Substituição 
Consiste em escolhermos uma das duas equa-
ções e isolarmos uma incógnita, substituindo-a na ou-
tra equação: 
Adição 
Consiste em adicionar os membros das equa-
ções de forma que se anule uma das incógnitas. Caso 
não ocorra, devemos preparar as equações. 
6. EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
É toda a sentença aberta, em x, redutível e e-
quivalente a: 2ax bx c 0+ + = , com a ∈a R * , b R∈ e 
c R∈ . 
Resolução do caso geral 
Utilizando “alguns artifícios”, Baskara verifi-
cou que a equação 2ax bx c 0+ + = é equivalente à e-
quação ( )2 22ax b b 4ac+ = − . 
De fato: 2ax bx c 0+ + = ⇔ 2ax bx c+ = − , multi-
plicando ambos os membros desta última igualdade 
por 4a , obtém-se: 2ax bx c+ = − ⇔ 
2 24a x 4abx 4ac+ = − . 
Somando b2 aos dois membros da igualdade 
assim obtida, resulta: 
2 2 2 24a x 4abx b b 4ac+ + = − ⇔ ( )2 22ax b b 4ac+ = − . 
Assim, representando por ∆ o discriminante 
2b 4ac− , tem solução em R. 
a) 0∆ < ⇒ a equação não tem solução em R. 
b) 0 2ax b 2ax b∆ ≥ ⇒ + = ± ∆ ⇔ = − ± ∆ ⇔ 
b
x
2a
− ± ∆
⇔ = . 
Portanto, sendo V o conjunto verdade em R, 
conclui-se que: 
b b0 V ;
2a 2a
 
− + ∆ − − ∆ ∆ > ⇒ =  
  
 
b0 V
2a
− ∆ = ⇒ =  
 
 
0 V∆ < ⇒ = φ 
Propriedades 
Se 0∆ ≥ e { }1 2x ;x é conjunto verdade da equa-
ção 2ax bx x 0+ + = , com a 0≠ , então: 
1 2
bS x x
a
−
= + = 
1 2
cP x x
a
= ⋅ = 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1 Resolva a expressão algébrica a seguir: 
+ =2 23x y 7x y 
Resolução: 
( )+ =2
2
3 7 x y
10x y
 
 
2 Resolva os seguintes agrupamentos: 
a) ab + ax + bx + x 2 
Resolução: 
a(b + x) + x(b + x)=
(b + x) (a + x)
 
b) 3 22x + 3x - 3x - 2x 
Resolução 
2
3 22x + 3x - 3x - 2x
2x(x - 1) + 3x(x - 1)
2x(x + 1) (x - 1) + 3x(x - 1) x(x - 1) [2(x + 1) + 3]
ou x(x - 1) [2x + 2 + 3] x(x - 1) (2x + 5)
 
 
3 Resolva o sistema a seguir: 
+ =

+ =
x y 4
2x y 7
 
+ =
= −
x y 4
x 4 y
 
Substituindo na 2ª equação 
( )
2x y 7
2 4 y y 7
8 2y y 7
8 y 7
y 1
+ =
− + =
− + =
− =
=
 
Então: 
 
Editora Exato 9 
x 4 y
x 4 1
x 3
= −
= −
=
 
 
4 Resolva: 
+ =


x y 3
2x-y=3
 
Resolução: 
+ = //

− =
x y 3 I
2x y 3 II 
= ⇔ =
 3x = 6
6
x x 2
3
 
Volta em I: 
x y 3
2 y 3
y 3 2
y 1
+ =
+ =
= −
=
 
 
5 Resolver, em R, a equação 210x x 2 0+ − = . 
Resolução: 
Notando que ( )21 4 10 2 81∆ = − ⋅ ⋅ − = , temos: 
1 81 1 9 1 9
x x ou
2 10 20 20
1 9 8 10 2 1
x x ou x V ;
20 20 20 5 2
− ± − ± − +
= = ⇔ =
⋅
− −  
= ⇔ = = − ⇔ =  
 
 
 
6 Determinar a soma e o produto das raízes da e-
quação 
22x 7x 3 0− − = 
Resolução: 
Lembrando que se 2 22x 7x 3 ax bx c− − = + + , 
temos a 2= , b 7= − e x 3= − . A soma das raízes é 
( )7 7b 7S
a 2 2
− −
−
= = = e o produto é c 3P
a 2
−
= = . 
 
EXERCÍCIOS 
1 Resolver as equações: 
a) 4x+6=5x+9 
b) 2(x+3)=3x+7(x+4) 
c) 5(x+1)–2(x–3)=10–(2x+3) 
 
 
 
 
 
2 O número 2 é raiz da equação: 
a) x + 4=7 
b) x + 2=4 
c) 2x – 1=0 
d) x + 6=12 
e) Nenhuma. 
 
3 A raiz de 2x 2 x 3 1
2 2
− −
− = é: 
a) –5 
b) +1 
c) 7 
d) 2 
e) Nenhum. 
 
4 Resolva: x y 2
x y 4
+ =

− =
 
a) x 3
b) x 1
c) x 1
d) x 2
=
= −
=
=
 
; y 1
; y 3
; y 4
; y 2
= −
= −
=
= −
 
e) nenhuma. 
 
5 Resolva: x 3y 5
x 8y 0
− =

− =
 
a) x 8
b) x 8
c) x 8
d) x 8
= −
=
= −
=
 
; y 1
; y 1
; y 1
; y 1
= −
= −
=
=
 
e) Nenhuma. 
 
6 O valor de x em: 2x 3y 8
5x 2y 1
+ =

− =
é: 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) –1 
e) Nenhuma. 
 
7 A soma de dois números é 14, a diferença é 2. 
Quais são esses números? 
a) 9 e 5 
b) 10 e 4 
c) 8 e 6 
d) 11 e 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Editora Exato 10 
8 Resolva: x2–4x+3=0 
a) x´ 1
b) x´ 1
c) x´ 1
d) x´ 1
=
= −
=
= −
 
e x´ ´ 2
e x´ ´ 2
e x´ ´ 3
e x´ ´ 3
=
= −
=
= −
 
 e) Nenhuma. 
 
9 Resolva: x2–10x+25=0 
a) =x´ 1 e x´´=25 
b) =x´ 5 e x´´=-5 
c) = =x´ x´´ 5 
d) =x´ 2 e x´´=5 
e) Nenhuma. 
 
10 Na equação x2–10x+24=0, a soma e o produto 
das raízes valem, respectivamente: 
a) { }10;24− 
b) { } 24;10 
c) { } 10;24 
d { } 10; 24− 
e) Nenhuma. 
 
11 As raízes de x2-2x-3=0, são: 
a) 3 e–1 
b)–3 e 1 
c) 1 e 3 
d) –1 e –3 
e) 2 e 3 
 
12 O valor de m na equação x2–8x+m=0, de modo 
que essa equação não tenha raiz real: 
a) m=16 
b) m<16 
c) m>16 
d) m<–16 
e) Nenhuma. 
 
13 Resolva: 16x2+3x–10=0 
a) { }0;3 
b) 30;
16
 
 
 
 
c) { }4;1 
d) { }1;4− 
e) Nenhuma. 
 
 
 
 
 
 
 
14 Resolva: x2+9x2–4x=7x] 
a) { }3,5 
b) 100;
11
 
 
 
 
c) 110;
10
 
 
 
 
d) 113;
10
 
 
 
 
e) Nenhuma. 
 
15 Resolva: x 2 4+ = 
a) 14 
b) 12 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
16 Resolva: x 2= 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
e) 12 
 
17 Resolva: x 2 2x+ = 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 1 
e) 0 
 
 
18 Resolva: 3x 1 2x 1+ = + 
a) 1 d) –4 
b) 0 e) 3 
c) –1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Editora Exato 11 
GABARITO 
1 
a) x=–3 
b) 11
4
− 
c) 4
5
−
 
2 B 
3 B 
4 A 
5 D 
6 C 
7 C 
8 C 
9 C 
10 C 
11 A 
12 C 
13 E 
14 C 
15 A 
16 A 
17 A 
18 B