05 tringulo retngulo e razes trigonomtricas

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MATEMÁTICA 
 
Editora Exato 15 
TRIÂNGULO RETÂNGULO E RAZÕES TRIGO-
NOMÉTRICAS 
1. TRIANGULO RETÂNGULO 
A B
C
a
b
c
 
BC a hipotenusa
AB c cateto
AC b cateto
= =
= =
= =
 
2. TEOREMA DE PITÁGORAS 
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da 
medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados 
das medidas dos catetos. 
2 2 2a b c= + 
3. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRI-
ÂNGULO RETÂNGULO 
Seja um triângulo ABC, retângulo em A. Os 
outros ângulos ˆB e ˆC são agudos e complementares 
( )ˆˆB C 90º+ = . Para ângulos agudos, temos as seguin-
tes definições das funções trigonométricas: 
cateto oposto
seno
hipotenusa
= 
cateto adjacente
cosseno :
hipotenusa
 
=
cateto opostotangente
cateto adjacente 
cateto adjacente
cot angente
cateto oposto
= 
hipotenusa
sec ante
cateto adjacente= 
hipotenusa
cossec ante
cateto oposto
= 
 
A partir dessas definições, no triângulo retân-
gulo da figura, temos: 
A B
C
a
b
c
 
b
senB
a
= 
c
sec C
a
= 
c
cosB
a
= 
b
cosC
a
= 
btgB
c
= 
ctgC
b
= 
c
cot gB
b
= 
b
cot gC
c
= 
a
sec B
c
= 
a
sec C
b
= 
a
cosssec B
b
= 
a
cossec C
c
= 
 
Observando que: 
senB cosC= tgB cot gC= secB coseC= 
cosB senC= CotgB=tgC CossecB=secC 
Concluímos que as “co-funções de ângulos 
complementares são iguais”. 
Valores notáveis 
A partir de triângulos retângulos convenientes, 
as definições de seno, cosseno e tangente permitem a 
obtenção do seguinte quadro de valores notáveis. 
 
x Sen x Cos x Tg x 
30º 1
2
 
3
2
 
3
3
 
45º 2
2
 
2
2
 
1 
60º 3
2
 
1
2
 
3 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1 Achar x na figura: 
30°
3cm
x
 
Resolução: 
X= representa a hipotenusa (maior lado) 
Dado fornecido: 
Cateto oposto do ângulo 3cm 
Fórmula 
3
30º
co
seno sen
h x
= → = 
 
 
 
Editora Exato 16 
1
30º ( )
2
1 3
6
2
sen tabela
x cm
x
=
= → =
 
 
2 Um engenheiro, situado a 100m de uma torre 
avista o topo da torre sob um ângulo de 30°. A 
altura da torre vale: 
30°
100m
h
 
Resolução: 
H= corresponde ao cateto oposto ao ângulo. 
Dado: 
Cateto adjacente = 100m 
Fórmula 
3
30
100 3 100
co h h
tag tg
ca
θ = → = → = 
100 3
3
h m= 
 
EXERCÍCIOS 
1 O valor da distância AC na figura: 
30°
60m
B
40m
60°A C
 
a) AC = 30 3 20+ 
b) AC = 50 3 
c) AC = 30 3 
d) AC =20 
 
2 Uma escada, apoiada em uma parede, num ponto 
distante 4m do solo, forma com essa parede um 
ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada 
em m? 
a) 7. 
b) 10. 
c) 9. 
d) 8. 
 
 
 
 
3 Os valores de x e y, no triângulo abaixo, são 
respectivamente: 
x
y60°
BA
3
 
a) 3 e 2 3 
b) 3 3 e 4 3 
c) 3 3 e 2 3 
d) 3 e 4 3 
 
4 (UNEB) Seja o ponto M, no interior do quadrado 
ABCD, conforme a figura abaixo. 
30°
C
D
60°
 
Se MH= 4 3cm , o perímetro do quadrado ABCD 
é em cm: 
a) 64. 
b) 36. 
c) 48. 
d) 24. 
e) 72. 
 
GABARITO 
1 A 
2 D 
3 A 
4 A