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Lista de exercícios para o 9º ano com resumo de conteúdo 
 
Relações métricas, Relações trigonométricas, Teorema de Pitágoras, diagonal do 
quadrado, altura do triângulo equilátero, Lei dos senos, Lei dos cossenos. 
 
Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é 
retângulo em A e seus elementos são: 
 
 
 
a: hipotenusa 
b e c: catetos 
h: altura relativa a hipotenusa 
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. 
 
 
Relações métricas 
 
Para um triângulo retângulo ABC, podemos estabelecer algumas relações entre as 
medidas de seus elementos: 
 
- O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto 
sobre a hipotenusa. 
b² = a.n c² = a.m 
 
- O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a 
hipotenusa. 
b.c = a.h 
 
- O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 
h² = m.n 
 
- O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. 
 
a² = b² + c² 
 
Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITÁGORAS. 
 
Exemplo: 
 
No triângulo ABC, abaixo, vamos calcular a, h, m e n: 
 
 
 
a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10 
b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8 
c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6 
b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4 
 
 
Exercícios: 
 
Determine os valores literais indicados nas figuras: 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
24
10
AB
AC
 O é o centro da circunferência. 
 
 
d) 
 
 
 
e) Determine a altura de um triângulo equilátero de lado l. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Determine x nas figuras, sabendo – se que o triângulo ABC é equilátero. 
 
I) 
 
II) 
 
 
 
 
III) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine a diagonal de um quadrado de lado l. 
 
a) 
 
b) Calcule o lado de um quadrado cuja diagonal mede 
3
28
. 
 
 
Razões trigonométricas 
 
Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir: 
 
- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do 
triângulo. 
senÊ = e/a senÔ = o/a 
 
- Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do 
triângulo. 
cosÊ = o/a cosÔ = e/a 
 
- Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. 
tgÊ = e/o tgÔ = o/e 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe: 
senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e tgÊ = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º 
 
Exemplo: 
 
senÔ = 
5
3
 = 0,6 senÊ = 
5
4
 = 0,8 
cosÔ = 
5
4
 = 0,8 cosÊ = 
5
3
= 0,6 
tgÔ = 
4
3
 = 0,75 tgÊ = 
3
4
 = 1,333.... 
 
 
Exercícios: 
 
1) Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o 
segmento BC é igual a 10 m e cos = 
5
3
. 
 
2) Calcule a altura de um triângulo equilátero que tem 10 cm de lado 
 
Exercícios de Razões Trigonométricas 
 
a) No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas 
(Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14) 
 
 
 
b) Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b 
indicadas. (Sen 60° = 0,866) 
 
 
 
c) Sabe-se que, em um triângulo retângulo isósceles, cada lado congruente mede 30 cm. 
Determine a medida da hipotenusa desse triângulo. 
 
• Nos triângulos das figuras abaixo, calcule tg Â, tg Ê, tg Ô: 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) Sabendo que o triângulo retângulo da figura abaixo é isósceles, quais são os valores 
de tg  e tg Ê? 
 
 
 
 
 
Encontre x e y: 
 
 
 
3) Determine o seno, cosseno e a tangente dos ângulos agudos e da figura 
abaixo. (Use duas casas decimais). 
 
Lei dos senos 
c
CSen
b
BSen
a
ASen ˆˆˆ
 
Conhecendo as relações, faça oque se pede: 
 
1) Determine o valor de c no triângulo obtusângulo abaixo. 
 
2) No triângulo acutângulo a seguir, determine o valor de x. 
 
 
 
Lei dos cossenos 
 
Para ângulos agudos, temos: 
 
 
 
Para ângulos obtusos, temos: 
 
)180cos(..2222 cbcba 
 
 
 
 
 
1) Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a 
seguir: 
 
 
 
 
2) Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e 
BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A. 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 
 
O Professor desenhou um triângulo retângulo e, fazendo alguns cálculos, descobriu que 
as raízes da equação do 2º grau x² – 14x + 48 = 0 expressam, em centímetros, as 
medidas dos catetos desse triângulo. Com os valores encontrados, calculou o valor da 
hipotenusa e ainda o perímetro do triângulo. 
Qual o valor da hipotenusa e do perímetro que o Professor encontrou?