07 funes

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MATEMÁTICA 
 
Editora Exato 20 
FUNÇÕES 
1. PAR ORDENADO 
É uma seqüência de dois elementos em uma 
dada ordem. 
1.1 Igualdade 
( ) ( ) cad,cb,a =⇔= e db = 
Exemplos: 
E.1) ( ) ( ) 21ab,1a3,2 =+⇒+= e 3b = , logo 
1a = e 3b = . 
E.2) ( ) ( )



=−
=+
⇒=−+
6ba
3b2a
6,3ba,b2a , logo 
5a = e 1b −= . 
2. PRODUTO CARTESIANO 
2.1 Representação 
O produto cartesiano será simbolizado por 
AxB. 
2.2 Definição 
Dados os conjuntos A e B, não vazios, define-
se como produto cartesiano ( )AxB o conjunto de todos 
os pares ordenados ( )y,x , tais que Ax ∈ e By ∈ . Em 
símbolos, temos: 
( ){ }By e Ax/y,xAxB ∈∈= 
Se A ou B forem vazios, afirmamos que 
φ=AxB . 
Exemplos: 
E.1) Dados { }2,1A = e { }4,3B = , determine AxB 
e BxA. 
Resolução: 
( ) ( ) ( ) ( ){ }AxB 1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4= 
( ) ( ) ( ) ( ){ }2,4,2,3,1,4,1,3BxA = 
E.2) Determine AxAA2 = , em que { }3,2,1A = . 
Resolução: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,3,2,3,1,3,3,2,2,2,1,2,3,1,2,1,1,1AxAA2 == 
2.3 Propriedade 
( ) ( ) ( )BnAnAxBn ⋅= , em que ( )AxBn , ( )An e ( )Bn re-
presentam, respectivamente, o número de elementos 
em AxB , A e B. 
3. RELAÇÃO BINÁRIA 
3.1 Definição 
Define-se como relação binária de A em B a 
qualquer subconjunto de AxB. 
3.2 Representação 
A relação binária de A em B pode ser repre-
sentada como: 
I) Listagem dos pares ordenados envolvidos na 
relação. 
II) Diagrama de flechas entre os conjuntos A e 
B. 
III) Representação gráfica no plano cartesiano. 
Exemplo: 
Considere a relação ( ){ }1xy/AxBy,xR +=∈= em 
que { }6,5,3,2A = e { }11,10,7,4,3B = . Represente a rela-
ção R. 
Resolução: 
I) Representação dos pares ordenados. 
( ) ( ) ( ){ }7,6,4,3,3,2R = . 
II) Representação com diagrama de flechas. 
5
3
2
6
A
y=x+1
3
4
7
10
11
B
 
III) Representação no gráfico cartesiano. 
32 6
3
4
7
 
3.3 Domínio, Imagem e Contra-domínio 
Dada uma relação R de A em B ( )BA:R → . 
Define-se como: 
� Contra-domínio da relação R o conjunto de 
chegada da relação R, ou seja, o conjunto 
B. 
� Domínio da relação R o conjunto formado 
pelos elementos relacionados pela relação 
R no conjunto de partida (conjunto A). 
� Imagem da relação R ao conjunto formado 
pelos elementos relacionados pela relação 
 
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R no conjunto de chegada (conjunto B), ou 
seja, os segundos elementos de todos os pa-
res ordenados de R. 
Exemplo: 
5
A B
1
3
7
8
9
10
2
3
5
7
 
I) Domínio da relação R: ( ) { }8,5,3,1RD = . 
II) Contra-domínio da relação R (conjunto de 
chegada): ( ) BRCD = . 
III) Imagem da relação ( ) { }10,5,3,2RIm:R = . 
4. FUNÇÃO 
4.1 Definição 
Define-se como função de A em B a toda rela-
ção binária de A em B que satisfaz as propriedades 
abaixo. 
I) Todo elemento do domínio possui um cor-
respondente no contra-domínio, ou seja, no conjunto 
de partida não existe elemento sem correspondente. 
Exemplo: 
E.1) 
A B
não satisfaz
à propriedade I
 
E.2) 
A B
satisfaz à 
propriedade I
 
E.3) 
A B
satisfaz à 
propriedade I
 
II) Cada elemento do domínio possui um único 
correspondente no contra-domínio. 
Exemplo: 
E.1) 
não satisfaz à
propriedade II
 
E.2) 
satisfaz à
propriedade II
 
E.3) 
satisfaz à
propriedade II
 
4.2 Função Inversa 
Dada uma função f de A em B, bijetora, defi-
ne-se como função inversa de f a toda função g em B 
em A, tal que: 
( ) ( )f fog x go x x= = . 
Símbolo: A função inversa de f é indicada por 
f 1− . 
 
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Exemplo: 
Dada ( )f x 3x 5= + , determine sua função inver-
sa. 
Resolução: 
Na prática, para determinarmos a função inver-
sa de f, devemos trocar o x por y, o y por x e depois 
isolar o y. 
( )
{ { ( ) 3
5x
xf
y
5y3x5x3xf
1
yx
−
=⇒+=⇒+=
−
, logo 
( )
3
5x
xf 1
−
=
−
. 
5. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 
5.1 Definição 
Define-se como função polinomial do 1º grau 
ou função afim a toda função f de R em R que asso-
cia a cada número ( )x D f∈ um número ( ) ( )f x CD f∈ , 
tal que ( )f x =ax+b (com a ∈ R* e b ∈ R). 
5.2 Gráficos 
Dada a função f: R → R, tal que ( ) baxxf += 
(com 0a ≠ ). 
Gráficos 
a > 0
função crescente
y
xO
a < 0
função decrescente
y
xO
 
� Propriedades 
O coeficiente a é denominado de coeficiente 
angular e representa a tangente do ângulo de inclina-
ção. 
O coeficiente b é denominado de coeficiente 
linear e representa o ponto de encontro da função 
com o eixo y, ou seja, o ponto ( )b,0 pertence ao grá-
fico da função f. 
6. FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Define-se como função polinomial do 2º grau a 
função quadrática a toda função f de R em R que as-
socia a cada número ( )fx D∈ um número 
( ) ( )f fx CD∈ , tal que ( ) cbxaxxf 2 ++= (com a∈R* e b, 
c ∈R). 
 
 
7. CONCAVIDADE E RAÍZES 
A função polinomial do 2º grau possui como 
representação gráfica a curva denominada de parábo-
la. 
� concavidade 



⇒<
⇒>
baixo para voltada 0a
cima para voltada0a
 
� raízes 





⇒<∆
⇒∆
⇒>∆
reais raízes existem não0
iguais e reais raízes 2 0=
distintas e reais raízes 2 0
 
8. GRÁFICOS 
Devemos observar que o número de possibili-
dades para a construção do gráfico da função quadrá-
tica é 6, levando em consideração as possibilidades 
da concavidade e raízes. 
8.1 a>0 e ∆>0 
� Concavidade voltada para cima e duas raí-
zes reais distintas. 
x1 x2
 
8.2 a>0 e ∆=0 
� Concavidade voltada para cima e duas raí-
zes reais iguais. 
x1 x2=
 
8.3 a>0 e ∆<0 
� Concavidade voltada para cima e não pos-
sui raízes reais. 
 
 
8.4 a<0 e ∆>0 
� Concavidade voltada para baixo e duas raí-
zes reais distintas. 
x1 x2
 
 
Editora Exato 23 
8.5 a<0 e ∆=0 
� Concavidade voltada para baixo e duas raí-
zes reais iguais. 
x1= x2
 
8.6 a<0 e ∆<0 
� Concavidade voltada para baixo e não pos-
sui raízes reais. 
 
9. VÉRTICE DA PARÁBOLA 
Dada a função ( ) 2f x =ax +bx+c (com 0a ≠ ) a 
coordenada do vértice da parábola ( )vv y,xv pode ser 
determinada pelas relações abaixo. 
a2
b
xv
−
= e 
a4
yv
∆−
= 
Exemplo: 
Dada a função 2f(x) 2x 5x 10= − − , determine a 
coordenada do vértice da parábola e faça a represen-
tação gráfica da função f no plano cartesiano. 
Resolução: 
( )
4
5
2.2
5
xv =
−
−= e 
( ) ( )( )
24
10245
y
2
v
⋅
−⋅−−
=
8
105
−= 
Devemos observar que 0∆ > e 0a > ; logo, a 
parábola possui concavidade voltada para cima e du-
as raízes reais distintas. 
y
x
5
4
105
8 





−
8
105
,
4
5
vV
 
 
9.1 Valor máximo e mínimo 
Para uma função polinomial do 2º grau pode-
mos determinar o valor máximo ou mínimo da ima-
gem determinando o valor da imagem da função no 
vértice da parábola 




 ∆−
=
a4
yv . 
� Se a > 0, então o valor encontrado no yv se-
rá mínimo. 
� Se a < 0, então o valor encontrado no yv se-
rá máximo. 
10. FUNÇÃO MODULAR 
10.1. Definição 
Define-se como função modular a toda função 
f de R em R que associa a cada ( )x D f∈ um número 
( ) ( )f x CD f∈ , tal que, ( )f x x= . Em símbolos, temos: 
x, se x 0
f : f(x)
-x, se x<0
≥
→ = 

R R . 
10.2. Elementos 
Dada a função módulo f(x) x= . 
� Domínio de f :D(f) = R . 
� Contra domínio de f: CD(f) = R . 
� Imagem de f: Im(f) += R . 
10.3. Equações Modulares 
x k
x k ou
x k
=

= ⇔ 

= −
 
Exemplo: 
E.1) Determine o valor de x na equação 
x 3 5− = . 
Resolução 
x 3 5 x 8
x 3 5 ou
x 3 5 x 2
− = →=

− = ⇒ 

− = − ⇒ = −
 
� Propriedades 
nn
n n
x 0.
x y x y .
xx
, para y 0.
y y
n x .
x x , para n par.
≥
⋅ = ⋅
= ≠
=
=
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1 Qual dos gráficos abaixo representa uma função? 
a) 
 
Editora Exato 24 
y
y
y
1
1
2
xx
 
b) 
y
y
y
1
1
2
xx
 
c) 
y
y
1
1 xx
 
d) 
y
y
1
1 xx
 
 
 
 
Resolução: 
c) e d) 
Observe que a definição de função compreen-
de dar um valor x e encontrar um, e somente um, va-
lor para y. 
Dica: fazer uma reta vertical em qualquer pon-
to do gráfico e não corresponder dois ou mais valores 
em y. 
 
2 Seja a função ( ) 3 22 1f x x x x= − + + , calcular: 
a) f(0) 
b) ( )1f − 
Resolução: 
a) substituir na função o valor atribuído a x 
( ) ( )230 0 2 0 0 1 1f = − + + = 
b) 
( ) ( ) ( )3 21 2 1 1 1
1 2 1 1 3
− − − + − + =
/ /− − − + = −
 
EXERCÍCIOS 
1 (FMU-SP) Seja a função f definida por 
( ) 3f x 2x 1= − . Então ( ) ( ) 1f 0 f 1 f
2
 
+ − +  
 
 é: 
a) 3
4
− d) 19
4
− 
b) 15
4
− e) 13
4
− 
c) 17
4
− 
 
2 (MACK-SP) Se ( ) 2f x 1 x− = , então o valor de 
( )f 2 é: 
a) 9 
b) 6 
c) 4 
d) 1 
e) 0 
 
3 (FGV-SP) A população de uma cidade daqui a t 
anos é estimada em ( ) 4P t 30
t
= − milhares de pes-
soas. Durante o 5º ano, o crescimento da popula-
ção será de: 
a) 300 pessoas. 
b) 200 pessoas. 
c) 133 pessoas. 
d) 30 pessoas. 
e) 2 pessoas. 
 
 
4 (UFMG) Suponha que o número f(x) de funcio-
nários necessários para distribuir, em um dia, 
contas de luz entre x por cento de moradores, 
numa determinada cidade, seja dado pela função 
( ) 300xf x
150 x
=
−
. Se o número de funcionários ne-
cessários para distribuir, em um dia, as contas de 
luz foi 75, a porcentagem de moradores que as 
receberam é: 
a) 30. 
b) 40. 
c) 45. 
d) 50. 
e) 55. 
 
 
Editora Exato 25 
5 (UEL-PR) Para que os pontos ( )1;3 e ( )3; 1− per-
tençam ao gráfico da função dada f(x) ax b= + , o 
valor de b a− deve ser: 
a) 7. 
b) 5. 
c) 3. 
d) –3. 
e) –7. 
 
6 (CESCEM) Se 3f(x) 2x= , então, os valores de: 
f(0); ( )f 1− ; ( )f 2 ; ( )f 2− ; e 1f
2
 
− − 
 
 são: 
a) 2, 2, 4, -4, -1/4. 
b) 0, -2, 16, -16, 1/4. 
c) 0, -6, 16, -16, 1/3. 
d) 2, -2, 2, -2,-1/3. 
e) 0, 2, 16, 16, 1/4. 
 
7 (PUC) Qual dos gráficos não representa uma 
função? 
a) 
x
y
 
b) 
x
y
 
c) 
x
y
 
 
 
 
 
 
 
d) 
x
y
 
e) 
x
y
 
 
8 (ESC. AERON) Determinar o campo de existên-
cia da função 2y 4 x= − : 
a) ( )4,4− 
b) [ ]2,4− 
c) ( )2, 2− 
d) [ ]2,2− 
e) Nenhuma. 
 
9 (PUC-RS) O domínio da função real dada por 
( ) 2 1f x 2x 5x 3= + − é o conjunto: 
a) 1R 3,
2
 
− − 
 
 
b) 1R ,3
2
 
− − 
 
 
c) 1R
2
 
−  
 
 
d) 13,
2
 
− 
 
 
e) 1,2
2
 
− 
 
 
 
10 (FMU-SP) O domínio real da função 
( ) 2x 4f x
x 2
−
=
−
 é o conjunto: 
a) { }x R / x 2 ou x 2∈ ≤ − ≥ 
b) { }x R / 2 x<2∈ − ≤ 
c) { }x R / 2 x 2∈ − ≤ ≤ 
d) { }x R / x 2 ou x>2∈ ≤ − 
e) { }x R / x 2∈ > 
 
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11 (PELOTAS) Se f e g são funções definidas em R 
por ( )f x x 2= + e ( )g x 3x 5= + , então ( )g f x   é: 
a) 3x+11 
b) 3x2 + 10 
c) 3x2 + 11x + 10 
d) 4x+7 
e) ( )f g x   
 
12 (USP) Se ( )f x 5x= e ( ) 2g x 3x= , então ( )f g x   
será igual a: 
a) 15x + 3x2 
b) 15x2 
c) 8x3 
d) 15x 
e) 15x3 
 
13 (PUC-SP) Sendo ( ) 3f x x 1= + e ( )g x x 2= − , então 
( )gof 0 é igual a: 
a) 1 
b) 3 
c) 0 
d) 2 
e) –1 
 
 
14 (UFPR) Para cada valor real de x, sejam 
( ) 2f x x= e ( ) ( )g x f f x =   . Calcular o valor de 
( )
( )
f g 3
g 3
  
. 
a) 20. 
b) 21. 
c) 31. 
d) 81. 
e) 80. 
 
15 Uma função do 2º grau, nos dá sempre 
a) uma reta. 
b) uma hipérbole. 
c) uma parábola. 
d) uma elipse. 
e) nenhuma. 
 
16 O vértice da parábola 2y x 4x 5= − + + é: 
a) ( )V 2,9 . 
b) ( )V 5, 1− . 
c) ( )V 1, 5− − . 
d) ( )V 0,0 . 
e) Nenhuma. 
 
17 A função 2y 2x x 1= − + é uma parábola que: 
a) corta o eixo x em dois pontos. 
b) passa pela origem. 
c) não corta o eixo x. 
d) tem concavidade voltada para baixo. 
e) nenhuma. 
 
18 Dada a função ( )f x mx n= + , conhecendo-se 
( )f 0 2= e ( )f 1 3= , então o valor de m e n é: 
a) 1 e 2. 
b) 2 e 1. 
c) 3 e 1. 
d) 2 e 3. 
e) 0 e 1. 
 
19 (PUC) Sendo m R∈ , então as raízes da equação 
( )2x m 1 x m 0− − − = serão reais e iguais se, e so-
mente se, 
a) m 1≠ . 
b) m=1. 
c) m 1≠ − . 
d) m=-1. 
e) m=0. 
 
20 (PUC) Para que as raízes ou zeros da função 
2y x mx 4= − + sejam reais, é necessário que: 
a) [ ]m R e m -4 ou m>4∈ ≤ . 
b) m R e m>4∈ . 
c) [ ]m R e m -4 ou m 4∈ ≤ ≤ . 
d) [ ]m R e -4 m 4∈ ≤ ≤ . 
e) [ ]m R e -4 < m <4∈ . 
 
21 (UFPR) O vértice da parábola 2y 2x 8x 8= − + − 
tem coordenadas: 
a) ( )0, 8− . 
b) ( )1, 2− . 
c) ( )2,0 . 
d) ( )3,0 . 
e) ( )3. 2− . 
 
 
GABARITO 
1 D 
2 A 
3 B 
4 A 
5 B 
 
Editora Exato 27 
6 B 
7 B 
8 D 
9 A 
10 D 
11 A 
12 B 
13 E 
14 D 
15 C 
16 A 
17 C 
18 A 
19 D 
20 C 
21 C