Bases Matemáticas: Funções e Relações

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BASES MATEMÁTICAS 
PROF. SILVIO TADEU 
 
ANALISAR A NATUREZA DAS RELAÇÕES DE INTERDEPENDÊNCIA ENTRE DUAS GRANDEZAS 
 
DEFINIÇÃO 
HISTÓRIA DA FUNÇÃO 
A ideia de funcionalidade veio da necessidade humana em analisar relações de 
interdependência entre grandezas. Não se tem um consenso entre os pesquisadores, a respeito 
da origem do conceito de função (seu caráter empírico), mas por muitos essa origem se deu no 
povo Babilônio (2.000 a.c.) tal povo já possuía o instinto de funcionalidade que ficou bem claro em 
suas tabelas de cálculo (vide figura 1). 
 
Figura 1 – fonte: http://docplayer.com.br/docs-images/41/22669800/images/14-0.png 
Porém, para compreendermos esse conceito de interdependência entre grandeza é 
necessário o estudo de relações binárias. 
Vamos considerar os seguintes conjuntos: 
A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3} 
 
Agora, vamos analisar as relações binárias existentes entre os conjuntos: 
 
R = {x,y A X B | y = x +1} 
S = { x,y A X B | y² = x² } 
T = { x,y A X B | y = x} 
V = { x,y A X B | y = (x +1)² - 1} 
W = { x,y A X B | y = 2} 
 
Podemos observar que cada relação é descrita por uma lei, ou seja, operações 
matemáticas que inter-relacionam um, dois ou nenhum elemento dos conjuntos. Analisando cada 
relação temos: 
A relação R tem como pares: (0,1), (1,2), (2,3), resumindo em um diagrama de flechas e 
estabelecendo as relações por meio de uma seta. 
 
Figura 2 – fonte: Fundamentos da Matemática Elementar 1- Conjuntos e Funções. IEZZI & 
MURAKAMI (1977) 
 
Percebemos no diagrama de flechas que existem elementos em B que não possuem 
nenhuma relação com elementos do conjunto A. 
A relação S apresentará como pares: (0,0), (1,1), (2, 4), (3, 9), porém o elemento 9 não 
faz parte nenhum grupo, portanto o par (3,9) não faz parte da relação descrita por diagramas a 
seguir. 
 
Figura 3 – fonte: Fundamentos da Matemática Elementar 1- Conjuntos e Funções. IEZZI & 
MURAKAMI (1977) 
 
Notamos que um único elemento, “1”, do conjunto A possui relação com dois elementos 
de B, “-1” e “0”. 
A relação T apresenta os seguintes pares: (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), estabelecendo a 
relação no diagrama de flechas. 
 
 
Figura 4 – fonte: Fundamentos da Matemática Elementar 1- Conjuntos e Funções. IEZZI & 
MURAKAMI (1977) 
 
 
A relação V apresenta os pares: (0,0), (1,-1), (2,0), (3,3), exemplificando no diagrama de 
flechas temos. 
 
 
Figura 5 – fonte: Fundamentos da Matemática Elementar 1- Conjuntos e Funções. IEZZI & 
MURAKAMI (1977) 
 
 A relação W apresenta os pares: (0,2), (1,2), (2,2), (3,2), no diagrama de flechas. 
 
 
Figura 6 – fonte: Fundamentos da Matemática Elementar 1- Conjuntos e Funções. IEZZI & 
MURAKAMI (1977) 
 
COMPREENDER O CONCEITO DE FUNÇÃO. 
 
As relações estabelecidas por T, V e W pode ser definido como “para todo x A existe 
um só y B tal que (x, y) pertence a relação”, recebem o nome de aplicação de A em B ou função 
definida de A com imagens em B. 
Logo, Função é unção é uma lei ou regra que associa cada elemento de um conjunto A à 
um único elemento de um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função, enquanto 
que o conjunto B é denominado de contradomínio da função. 
Percebemos durante nossos estudos iniciais a existência de Domínio, Contradomínio e 
imagem de uma função, que vamos discutir a seguir. 
 
 
 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM: 
DOMÍNIO. 
O domínio é o conjunto de partida. Ele composto de todos os elementos do conjunto de 
partida. 
CONTRADOMÍNIO. 
O contradomínio é o conjunto de chegada. Ele composto de todos os elementos do 
conjunto de chegada. 
 IMAGEM 
 Os elementos do conjunto imagem são todos os elementos do contradomínio que estão 
associados a algum elemento do domínio 
 
Exemplo: 
Vamos analisar a relação R1 = {(-3,9), (0,0), (3,9)}, cujo diagrama de flechas está disposto 
abaixo. 
 
Figura 7 – fonte: Fundamentos da Matemática Elementar 1- Conjuntos e Funções. IEZZI & 
MURAKAMI (1977) 
 Podemos observar que todos os elementos de A possuem uma flecha em relação em direção a 
um único elemento do conjunto B. Ou seja, não existe elemento do conjunto A que não esteja 
associado a um elemento do conjunto B. E ainda, cada um desses elementos de A está 
associado a apenas um elemento de B. Tal propriedade garante que esta relação é uma função f 
de A em B representada por: 
 
f:A →B 
 
Neste exemplo o conjunto A é o domínio da função f e é representado por D(f) = { -
3, 0, 3 }. O contradomínio da função f, representado por CD(f) = { 0, 9, 18 }, contém todos os 
elementos do conjunto B. A imagem da função é o conjunto de elementos que possuem relação 
com os elementos do domínio. Dependendo do caso é o próprio contradomínio, ou então apenas 
um subconjunto. 
 
 
PRATICANDO UM POUCO 
 
Dada à função h: {-3, 0, 3, 8} → {-2, 0, 15, 18, 27, 40} definida pela lei h(x)=x² - 3x. 
Indique o Domínio, Contradomínio e Imagem desta função. 
 
 
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 
 
 O plano cartesiano foi desenvolvido pelo matemático, físico e filosofo francês René 
Descartes (1956-1650) alguns autores dizem que sua inspiração para a criação do Plano foi ver 
uma mosca mover-se no teto. 
 A orientação cartesiana tem em sua concepção várias aplicações, dentre as quais: 
orientação em mapas, leituras de latitudes e longitudes, utilização de navegação por GPS 
(sistema de posicionamento global em inglês, global positioning system), o uso de programas de 
artes como o Sratch (um software que permite a construção de lindas pinturas por meio do uso de 
coordenadas). 
 O sistema cartesiano ortogonal é composto por dois eixos perpendiculares (que formam 
entre si um ângulo de 90°), sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo 
das ordenadas. 
 
Figura 8 
 Para facilitara orientação, as disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes, 
mostrados na figura a seguir: 
 
 
 
Figura 9 
 
O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é formado 
por um par ordenado (x, y), onde x: abscissa e y: ordenada. 
 
PRATICANDO UM POUCO 
 
Dados os pontos A(3,6), B(2,3), C(-1,2), D(-5,-3), E(2,-4), F(3,0), G(0,5), represente-os no 
plano cartesiano. 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES 
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DEFINIR E IDENTIFICAR FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1° GRAU OU FUNÇÃO AFIM 
 
DEFINIÇÃO 
 
A função polinomial do 1° grau o função afim relaciona valores numéricos obtidos de 
expressões algébricas do tipo ax + b, constituindo, a função, f(x) = ax +b ou y = ax +b. Por 
exemplo: f(x) = 5x + 2; h(x) = 4x + 1; g(x) = - 3x – 1. 
Então, chama-se função polinomial do 1° grau , ou função afim, a qualquer função F: IR 
→IR dada pela lei de formação f(x) = ax + b, onde “a” e “b” são números reais com a≠0. Na 
função, “a” é chamado de coeficiente angular e “b” de coeficiente linear. 
 
 
COEFICIENTES E RAIZ 
 
 O coeficiente “a” da função polinomial f(x) = ax + b é denominado coeficiente angular ou 
declividade da reta no plano cartesiano, que estudaremos mais detalhadamente no próximo 
tópico. 
 O coeficiente “b” da função polinomial f(x) = ax + b é denominado coeficiente linear. 
 
Exemplo: Na função y = 2x + 1 o coeficiente angular é 2 e o coeficiente linear é 1. Observe que 
se considerarmos x = 0 temos y = 1. Portanto, coeficiente linear é a ordenada do ponto em que 
a reta corta o eixo y. 
 
 A raiz ou zero da função é todo numero x cuja raiz é nula, ou seja,f(x) = 0 → ax + b = 0. 
Logo, o zero da função é dado pelo valor de x onde a função assume o valor de zero. Podemos 
interpretar o zero ou raiz da função afim, como sendo a abscissa do ponto onde a reta corta o 
eixo x. 
 
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 
 
 Dizemos que a função polinomial do 1° grau ou afim é crescente quando seu coeficiente 
angular for maior que zero, ou seja, a > 0. E será decrescente quando o coeficiente angular for 
menor que zero, ou seja, a < 0. 
 
Exemplo: A função f(x) = 3x + 2 é crescente, pois seu coeficiente angular é 3 (a = 3) ou seja 
maior que zero. Enquanto que a função f(x) = - x + 4 é decrescente, pois seu coeficiente angular é 
– 1 (a = -1), ou seja, menor que zero. 
 
 
 
CONSTRUIR E INTERPRETAR GRÁFICOS DESSAS FUNÇÕES 
 
 GRÁFICO CARTESIANO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1° GRAU 
 
 O gráfico de uma função polinomial do 1° grau ou função afim é constituído por pontos 
dispostos no plano cartesiano a partir da lei de formação f(x) = ax + b. 
 Vamos construir o gráfico de uma função afim no plano cartesiano. 
 
 Função afim com a ≠ 0 e b ≠ 0 
 
Para, f(x) = 2x + 1, assumiremos valores quaisquer para x. Assim construiremos a tabela 
a seguir: 
 
x f(x) 
-2 -3 
-1 -1 
0 1 
1 3 
2 5 
 
 
 
       








 
 
 
CONSIDERAÇÕES 
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______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 
 
 Para, f(x) = - 3x + 1, assumiremos valores quaisquer para x. Assim construiremos a tabela 
a seguir. 
 
x f(x) 
-1 4 
0 1 
1 -2 
 
 
 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 
 
 
Função afim com a ≠ 0 
 
Para, f(x) = 3x, assumiremos valores quaisquer para x. Assim construiremos a tabela a seguir. 
 
x f(x) 
-1 - 3 
0 0 
1 3 
 
 
 
 
 
 
       








       








 
 
 
CONSIDERAÇÕES 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 
 
 
 
VARIAÇÂO DO SINAL 
 
 Faremos o estudo do sinal da função analisando o gráfico: 
Primeiro caso, sendo f(x) = ax + b e a > 0. 
 
 
 
 
Resumindo: 
 
 
x = r → f(x) = 0 
x > r → f(x) > 0 
x < r → f(x) < 0 
 
Primeiro caso, sendo f(x) = ax + b e a < 0. 
 
+ 
_- 
r 
 
 
Resumindo: 
 
 
 
x = r → f(x) = 0 
x > r → f(x) < 0 
x < r → f(x) > 0 
 
 
 
RECONHECER FUNÇÕES LINEARES E QUADRÁTICAS EM SITUAÇÕES DO COTIDIANO 
 
Aplicação prática do estudo do sinal da Função Polinomial do 1° grau ou Função Afim 
 
 
Um comerciante gastou R$ 500,00 na compra de um lote de mangas. Como cada manga 
será vendida a R$ 1,00, ele deseja saber quantas mangas devem ser vendidas para haver lucro. 
Bom, para analisar o caso devemos criar um modelo matemático que represente a situação. 
Como o objetivo é calcular o lucro devemos subtrair o valor da receita com a despesa. Se 
cada manga é representada pela letra x o modelo será a lei de formação de uma função afim f(x) 
= 1x – 500. 
Vendendo 500 mangas não haverá lucro nem prejuízo. Pois, x = 500, temos f(x) = 0. 
Vendendo mais de 500 mangas haverá lucro. Pois, x > 500, temos f(x) > 0. 
+ 
- 
r 
Vendendo menos de 500 mangas haverá prejuízo. Pois x < 500, temos f(x) < 500. 
Em uma situação como a do exemplo, dizemos que foi realizado um estudo do sinal da 
função, que consiste em determinar os valores de x do domínio para os quais f(x) = 0, f(x) > 0 e 
f(x) < 500. 
 
 
 PROBLEMAS DE VARIAÇÃO LINEAR 
 
1) O preço de venda de um livro é de R$ 25,00 a unidade. Sabendo que o custo de cada livro 
corresponde a um valor fixo de R$ 4,00 mais R$ 6,00 por unidade, construa uma função capaz 
de determinar o lucro líquido (valor descontado das despesas) na venda de x livros, e o lucro 
obtido na venda de 500 livros. 
 
2) O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, mais uma 
parte variável de 12% sobre o valor de suas vendas no mês. Caso ele consiga vender R$ 450 
000,00, calcule o valor de seu salário. 
 
 
3) Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. 
Condições dos planos: 
Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num certo período. 
Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num certo período. 
Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x dentro do 
período pré – estabelecido. 
Vamos determinar: 
a) A função correspondente a cada plano. 
b) Em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os dois se 
equivalem. 
 
 
 
Exercícios Propostos 
01) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais 
um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de 
unidades produzidas: 
a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças. 
b) calcule o custo para 100 peças. 
 
02) Um comerciante teve uma despesa de R$230,00 na compra de certa 
mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$5,00, o lucro final L será 
dado em função das x unidades vendidas. Responda: 
a) Qual a lei dessa função f; 
b) Para que valores de x têm f(x) < 0? Como podemos interpretar esse caso? 
 
03) (Ufes) Uma produtora pretende lançar um filme em fita de vídeo e prevê 
uma venda de 20.000 cópias. O custo fixo de produção do filme foi 
R$150.000,00 e o custo por unidade foi de R$20,00 (fita virgem, processo de 
copiar e embalagem). 
Qual o preço mínimo que deverá ser cobrado por fita, para não haver prejuízo? 
a) R$ 20,00 
b) R$ 22,50 
c) R$ 25,00 
d) R$ 27,50 
e) R$ 35,00 
 
04) O valor de um carro novo é de R$9.000,00 e, com 4 anos de uso, é de 
R$4.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, 
o valor de um carro com 1 ano de uso é: 
a) R$8.250,00 
b) R$8.000,00 
c) R$7.750,00 
d) R$7.500,00 
e) R$7.000,00 
 
05) Em certa cidade, durante os dez primeiros dias do mês de julho de 2003, a 
temperatura, em graus Celsius, foi decrescendo de forma linear de acordo com 
a função T(t) = -2t + 18, em que t é o tempo medido em dias. Nessas 
condições, pode-se afirmar que, no dia 8 de julho de 2003, a temperatura 
nessa cidade foi: 
a) 0°C 
b) 2°C 
c) 3°C 
d) 4°C 
e) 1° C 
 
DEFINIR E IDENTIFICAR FUNÇÃO DO 2º GRAU. 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2° GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA 
DEFINIÇÃO 
Uma função polinomial do 2° grau ou quadrática é definida como: f: IR →IR 
com a lei de formação f(x) = ax² + bx + c com a, b e c números reais, a≠0 e x є 
IR. 
Exemplos: 
f(x) = -x² + 100x, em que a = -1, b = 100 e c = 0 
 f(x) = x² - 4, em que a = 1, b = 0 e c = -4 
 f(x) = 17x², em que a = 17, b = 0 e c = 0 
 
 
CONSTRUIR E INTERPRETAR GRÁFICOS DESSAS FUNÇÕES. 
GRÁFICO 
Vamos observar o gráfico da função f(x) = x² - 4x +3. 
Para a construção do gráfico iremos montar uma tabela com valores arbitrários 
de x. 
Observe a tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
A partir dos pares ordenados, podemos interligar os pontos por meio de uma 
curva suave. Encontrando assim a Parábola, denominação do gráfico gerado 
por uma equação do segundo grau. 
 
 
 
x Y = f(x) = x² -4x + 3 (x, y) 
0 3 (0, 3) 
1 0 (1, 0) 
2 -1(2, -1) 
3 0 (3, 0) 
4 3 (4, 3) 
        








CONSIDERAÇÕES 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 
 
Agora utilizaremos a seguinte função: f(x) = - x² -4x + 3. 
Executando mais uma vez a construção da tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, a partir dos pares ordenados podemos demarcar pontos que serão 
unidos por uma curva suave, mais uma vez surge nossa parábola. 
 
             














x
y
 
 
CONSIDERAÇÕES 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
x Y = f(x) = - x² -4x + 
3 
(x, y) 
-1 0 (-1,0) 
0 3 (0, 3) 
1 -2 (1,-2) 
2 -7 (2, -7) 
3 -18 (3, 0) 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 
Elementos do gráfico da Função do Segundo Grau 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 
 
ZEROS DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO SEGUNDO GRAU OU FUNÇÃO 
QUADRÁTICA 
Os zeros da função são os números xIR tal que f(x) = 0, ou seja, pontos do 
eixo das abscissas onde a parábola o intercepta. 
Para determinar os valores dos zeros da Função basta encontrar as raízes da 
equação do 2º grau: ax² +bx +c utilizando a fórmula de Bhaskára. 
x = 
a
b
.2

com  = b² - 4.a.c (discriminante). 
Vamos observar as consequências do discriminante para os gráficos da função 
quadrática. 
1) Quando > 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem dois zeros reais diferentes. 
 
 
 
 
Portanto, a parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos. 
 
 
 
2) Quando = 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem um zero real. 
 
 
 
 
 
Logo, a parábola intersecta o eixo x em um só ponto. 
 
3) Quando  < 0, a função f(x) = ax² + bx + c não tem zeros reais . 
 
 
 
 
 
 
Assim, a parábola não intersecta o eixo x. 
 
RELAÇÃO DOS PARAMÊTROS DA EQUAÇÃO NA PARÁBOLA 
Vamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na parábola que representa a 
função quadrática f(x) = ax² + bx + c. 
Parâmetro a: Responsável pela concavidade e abertura da parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parâmetro b: Um ponto ao percorrer a parábola, da esquerda para a direita, ao 
cruzar o eixo das ordenadas poderá estar subindo ou descendo. 
 
 
 
 
 
 
 
Parâmetro c: Indica o ponto onde a parábola cruza o eixo y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Na função quadrática f(x) = ax² + bx + c da figura abaixo, a < 0, b > 0, 
c > 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PONTO DE MÁXIMO E MÍNIMO 
 
Fonte: http://2.bp.blogspot.com/-1Ae8oR_t6Lg/Vn2F5Kw2AKI/AAAAAAAAFRc/FH--
FLINZDk/s1600/pontos%2Bde%2Bmaximos%2Be%2Bminimos%2Bde%2Buma%2Bfun%25C3
%25A7%25C3%25A3o%2Bquadratica.png 
 
IMAGEM E DOMINIO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Para determinar a imagem de uma função é necessário encontrar o valor do 
vértice, consequentemente, seus valores de máximo ou mínimo. 
x v = 
a
b
2

 e y v = 
a4

 
Logo, dada a função f: IR →IR tal que f(x) = ax² + bx + c, com a  0, para v(xv, 
yv) é o vértice da parábola. 
a > 0 ↔ yv é o valor mínimo de f ↔ Im (f) ={ y │ y  IR} 
a < 0 ↔ yv é o valor mínimo de f ↔ Im (f) ={ y │ y  IR} 
 
ESTUDO DOS SINAIS 
Os sinais são estudados a partir da construção gráfica, como o discriminante 
influencia o gráfico vamos realizar o estudo do sinal por casos a partir do 
discriminante. 
 
 
1º Caso:  > 0 
http://2.bp.blogspot.com/-1Ae8oR_t6Lg/Vn2F5Kw2AKI/AAAAAAAAFRc/FH--FLINZDk/s1600/pontos%2Bde%2Bmaximos%2Be%2Bminimos%2Bde%2Buma%2Bfun%25C3%25A7%25C3%25A3o%2Bquadratica.png
http://2.bp.blogspot.com/-1Ae8oR_t6Lg/Vn2F5Kw2AKI/AAAAAAAAFRc/FH--FLINZDk/s1600/pontos%2Bde%2Bmaximos%2Be%2Bminimos%2Bde%2Buma%2Bfun%25C3%25A7%25C3%25A3o%2Bquadratica.png
http://2.bp.blogspot.com/-1Ae8oR_t6Lg/Vn2F5Kw2AKI/AAAAAAAAFRc/FH--FLINZDk/s1600/pontos%2Bde%2Bmaximos%2Be%2Bminimos%2Bde%2Buma%2Bfun%25C3%25A7%25C3%25A3o%2Bquadratica.png
 
f(x) = 0 para x = x 1 ou x = x 2 
f(x) > 0 para x < x 1 ou x > x 2 
f(x) < 0 para x 2 < x < x 1 
Consequências: 
 A função admite dois zeros reais distintos, x 1 e x, ou seja, a parábola que 
representa a função intersecta o eixo x em dois pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Caso:  = 0 
Consequências: 
 A função admite um zero real duplo x 1 = x, ou seja, a parábola que representa 
a função tangencia o eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º Caso:  < 0 
Consequências: 
 A função não admite zeros reais, logo a parábola que representa a função não 
intersecta o eixo x. 
a > 0 a < 0 
f(x) = 0 para x = x 1 ou x = x 2 
f(x) > 0 para x 1 < x < x 2 
f(x) < 0 para x < x 1 ou x > x 2 
a > 0 a < 0 
f(x) = 0 para x = x 1 = x 2 
f(x) > 0 para x  x 1 
f(x) = 0 para x = x 1 = x 2 
f(x) < 0 para x  x 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1) Estude o sinal das seguintes funções quadráticas: 
a) f(x) = x² - 10x + 25 b) -3x² + 2x + 1 c) -4x² + 1 
 
2) Dada a função f(x) = -2x² + 3x, determine os valores reais de x para os quais 
f(x) > 0. 
 
3) Para quais valores de m a função f(x) = (m - 1)x² - 6x – 2 assume valores 
negativos para todo x real? 
 
4) Dada a função quadrática f(x) = –x² + 6x – 9, determine: 
 
a) Se a concavidade da parábola esta voltada para cima ou para baixo; 
b) Os zeros da função; 
c) O vértice V da parábola definida pela função; 
d) A intersecção com o eixo x e com o eixo y; 
e) O domínio D e o conjunto Im da função; 
f) Os intervalos onde a função é crescente, decrescente ou constante; 
g) O esboço do gráfico. 
a > 0 a < 0 
f(x) > 0 para todo x real f(x) < 0 para todo x real 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. (F.C.CHAGAS) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 
20, tem um valor: 
 
a) mínimo igual a –16, para x = 6 
b) mínimo igual a 16, para x = -12 
c) máximo igual a 56, para x = 6 
d) máximo igual a 72, para x = 12 
e) máximo igual a 240, para x = 20. 
 
2. (F.C.CHAGAS) Seja a função f, de R em R, definida por f(x) = 2x2 – 24x +1. 
O valor mínimo de f é: 
 
a) 73 
b) 71 
c) –71 
d) –73 
e) –79 
 
3. (PUC) Considere um terreno retangular que pode ser cercado com 50m de 
corda. A área desse terreno expressa como função do comprimento x de um 
dos lados é: 
 
a) A(x) = -x2 + 25x para x  0 
b) A(x) = -x2 + 25x para 0 < x < 25 
 
c) A(x) = -3x2 + 50x para x  0 
d) A(x) = -3x2 + 50x para 0 < x < 50/3 
e) A(x) = x² + 12x para x > 3 
 
 
4. (UFMG) Sendo f : R  R uma função definida por f(x) = x2 –1, calcule: 
a) 





2
1
f b)  21f  
 
5. (UCMG) O valor máximo da função f(x) = -x2 + 2x + 2 é: 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
6. (FUVEST) O gráfico de f(x) = x2 + bx + c, onde b e c são constantes, passa 
pelos pontos (0,0) e (1,2). Então f(-2/3) vale: 
 
a) 
9
2
 
b) 
9
2
 
c) 
4
1
d) 
4
1
 
e) 4 
 
7. (PUC) A função quadrática y = (m2 – 4)x2 – (m + 2)x – 1 está definida 
quando: 
 
a) m  4 
b) m  2 
c) m  -2 
d) m = -2 ou +2 
e) m   2 
 
8. (MACK) O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por f(x) = x2 – 2x + k; então, 
k pode ser: 
 
a) -2 
b) -1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
9. (F.C.CHAGAS) Uma função quadrática f, de R em R, tem raízes, nos pontos 
(-1,0) e (1,0) e assume o valor mínimo –1 se x = 0. Essa função é dada por: 
 
a) f(x) = x2 – 1 
b) f(x) = x2 + 1 
c) f(x) = x2 – 2x + 1 
 
d) f(x) = x2 – 2x – 2 
e) f(x) = x2 – x + 1 
 
10- (UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 
3x2 – 15x + 21. Se a venda de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que 
o lucro L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem ser vendidas: 
 
a) 20 unidades 
b) 16 unidades 
c) 12 unidades 
d) 8 unidades 
e) 4 unidades 
 
11. (UNICAMP) Determine o número m de modo que o gráfico da função y = x2 
+ mx + 8 – m seja tangente ao eixo dos X. 
 
12. (UNESP) A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está 
esboçado, é: 
 
a) f(x) = -2x2 - 2x + 4 
b) f(x) = x2 + 2x – 4 
c) f(x) = x2 + x - 2 
d) f(x) = 2x2 + 2x - 4 
e) f(x) = 2x2 + 2x - 2 
 
 
 
 
Respostas: 
1) c; 2) c; 3) b; 4-a) –3/4; 4-b)  212  ;5) b; 6) a; 7) e; 8) e; 9) a; 10) d; 11) –
8 ou 4; 12) d. 
 
 
REFERÊNCIAS 
CARNEIRO, Vera C. Funções elementares. Porto Alegre: 
Universidade/UFRGS, 1993. 
 
DEMANA, Franklin et al. Pré-cálculo Vol. Único. 7ª Ed. São Paulo 2009. 
 
Desenvolvimento histórico do conceito de funções. Disponível em: 
<http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=hist_funcao> Acesso em: 20 de 
Mar. de 2017. 
 
IEZZI, G. e MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar. Vol. 1, 
8ª Ed. São Paulo: Atual, 2004. 
 
SOUZA, Joamir. Matemática: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. São Paulo: FTD, 
2010.