3 - CA Exercicios

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3AÇÕES, SOLICITAÇÕES E RESISTÊNCIAS1 
3.1 Tipos de ações 
Na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que possam 
produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-se em conta os possíveis estados limites últimos e os de serviço. 
As ações a considerar classificam-se de acordo com a ABNT NBR 8681 em: 
	permanentes; 
	variáveis; e 	excepcionais. 
3.1.1 Ações permanentes 
Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda 
a vida da construção. Também são consideradas como permanentes as ações que crescem no tempo, tendendo a um valor limite constante. As ações permanentes devem ser consideradas com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança. 
As ações permanentes são constituídas pelas: 
	ações permanentes diretas; e 
	ações permanentes indiretas. 
3.1.1.1 Ações permanentes diretas 
As ações permanentes diretas são constituídas pelos: 
	peso próprio da estrutura; 
	pesos dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes; e 
	empuxos permanentes. 
3.1.1.1.1 Peso próprio da estrutura 
Nas construções correntes admite-se que o peso próprio da estrutura seja avaliado 
considerando a massa especifica do material conforme estabelecido em [1.4.2]. 
3.1.1.1.2 Peso dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes 
As massas específicas dos materiais de construção correntes podem ser avaliadas com 
base nos valores indicados na ABNT NBR 6120. Os pesos das instalações permanentes são considerados com os valores nominais indicados pelos respectivos fornecedores. 
3.1.1.1.3 Empuxos permanentes 
Consideram-se como permanentes os empuxos de terra e outros materiais granulosos 
quando forem admitidos não removíveis. 
Como representativos devem ser considerados os valores característicos Fk,sup ou Fk,inf 
conforme a ABNT NBR 8681. 
3.1.1.2 Ações permanentes indiretas 
As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por: 
	retração; 
	fluência; 
	deslocamentos de apoio; e 
	imperfeições geométricas. 
1
O texto relativo a este capítulo é, basicamente, uma cópia dos capítulos 11 e 12 da ABNT NBR 6118. 
2006 	3-1 	ufpr/tc405 
3.1.1.2.1 Retração do concreto 
A deformação específica de retração do concreto deve ser calculada conforme indica o 
Anexo A da ABNT NBR 6118. 
Na grande maioria dos casos, permite-se que ela seja calculada simplificadamente através 
da Tabela [1.2], por interpolação. Essa tabela fornece o valor característico superior da 
deformação específica de retração entre os instantes t0 e t,cs(t,t0), em algumas situações 
usuais. 
Nos casos correntes das obras de concreto armado, em função da restrição à retração do 
concreto, imposta pela armadura, satisfazendo o mínimo especificado na ABNT NBR 6118, o valor 
decs(t,t0) pode ser adotado igual a 
cs(t,t0 )0,15‰ (-15 10-5 ) 
Equação 3.1 
Esse valor admite elementos estruturais de dimensões usuais, entre 10 cm e 100 cm 
sujeitos a umidade ambiental não inferior a 75%. 
O valor característico inferior da retração do concreto é considerado nulo. 
Nos elementos estruturais permanentes submetidos a diferentes condições de umidade em 
faces opostas, admite-se variação linear da retração ao longo da espessura do elemento estrutural entre os dois valores correspondentes a cada uma das faces. 
3.1.1.2.2 Fluência do concreto 
As deformações decorrentes da fluência do concreto devem ser calculadas conforme indica 
o Anexo A da ABNT NBR 618. 
Nos casos em que a tensãoc(t0) não varia significativamente, permite-se que essas 
deformações sejam calculadas simplificadamente pela expressão: 
c (t,t0 )c (t0 ) 1ϕ(t,t0 )


Equação 3.2 
Eci(t0 ) Eci(28)
onde: 
c(t,t0) é a deformação específica total do concreto entre os instantes t0 e t; 
c(t0) 	é a tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em t0; 
ϕ(t,t0) é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por carregamento 
aplicado em t0; 
Eci(t0) é o módulo de elasticidade inicial do concreto no instante t0; e Eci(28) é o módulo de elasticidade inicial do concreto aos 28 dias. 
O valor deϕ(t,t0) pode ser calculado por interpolação da Tabela [1.2]. Essa Tabela fornece 
o valor característico superior deϕ(t,t0) em algumas situações usuais. 
O valor característico inferior deϕ(t,t0) é considerado nulo. 
3.1.1.2.3 Deslocamentos de apoio 
Os deslocamentos de apoio só devem ser considerados quando gerarem esforços 
significativos em relação ao conjunto das outras ações, isto é, quando a estrutura for hiperestática e muito rígida. 
O deslocamento de cada apoio deve ser avaliado em função das características físicas do 
correspondente material de fundação. Como representativo desses deslocamentos, devem ser 
considerados os valores característicos superiores,k,sup, calculados com avaliação pessimista da 
rigidez do material de fundação, correspondente, em princípio, ao quantil de 5% da respectiva 
distribuição de probabilidade. 
Os valores característicos inferiores podem ser considerados nulos. 
O conjunto desses deslocamentos constitui-se numa única ação, admitindo-se que todos 
eles sejam majorados pelo mesmo coeficiente de ponderação. 
3.1.1.2.4 Imperfeições geométricas 
Na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as 
imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada. Essas 
imperfeições podem ser divididas em dois grupos: 
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	imperfeições globais; e 
	imperfeições locais. 
3.1.2 Ações variáveis 
As ações variáveis são constituídas pelas: 
	ações variáveis diretas; e 	ações variáveis indiretas. 
3.1.2.1 Ações variáveis diretas 
As ações variáveis diretas são constituídas pelas: 
	cargas acidentais1 previstas para o uso da construção; e 
	ação do vento e da chuva. 
Todas as ações devem respeitar as prescrições feitas por Normas Brasileiras específicas. 
3.1.2.1.1 Cargas acidentais previstas para o uso da construção 
As cargas acidentais correspondem normalmente a: 
	cargas verticais de uso da construção; 
	cargas móveis, considerando o impacto vertical; 
	impacto lateral; 
	força longitudinal de frenação ou aceleração; e 
	força centrífuga. 
Essas cargas devem ser dispostas nas posições mais desfavoráveis para o elemento 
estudado, ressalvadas as simplificações permitidas por Normas Brasileiras específicas. 
3.1.2.1.2 Ação do vento 
Os esforços devidos à ação do vento devem ser considerados e recomenda-se que sejam 
determinados de acordo com o prescrito pela ABNT NBR 6123, permitindo-se o emprego de regras simplificadas previstas em Normas Brasileiras específicas. 
3.1.2.1.3 Ação da água 
O nível d'água, ou de outro líquido, adotado para cálculo de reservatórios, tanques, 
decantadores e outros deve ser igual ao máximo possível compatível com o sistema de 
extravasão, considerando apenas o coeficientef =f3 =1,2 (ver 3.5 e 3.6). Nas estruturas em que 
a água de chuva possa ficar retida deve ser considerada a presença de uma lâmina de água 
correspondente ao nível da drenagem efetivamente garantida pela construção. 
3.1.2.1.4 Ações variáveis durante a construção 
As estruturas em que todas as fases construtivas não tenham sua segurança garantida pela 
verificação da obra pronta, devem ter, incluídas no projeto, as verificações das fases construtivas mais significativas e sua influência na fase final. 
A verificação de cada uma dessas fases deve ser feita considerando a parte da estrutura já 
executada e as estruturas provisórias auxiliares com os respectivos pesos próprios. Além disso devem ser consideradas as cargas acidentais de execução. 
3.1.2.2 Ações variáveis indiretas 
As ações variáveis indiretas são constituídas pelas: 
	variações uniformes de temperatura; e 
	variações não uniformes de temperatura. 
3.1.2.2.1 Variações uniformesde temperatura 
A variação da temperatura da estrutura, causada globalmente pela variação da temperatura 
da atmosfera e pela insolação direta, é considerada uniforme. Ela depende do local de implantação da construção e das dimensões dos elementos estruturais que a compõem. 
1
O termo "cargas acidentais", embora bastante consagrado na engenharia brasileira de estruturas, não representa carregamento que provoque acidente, mas corresponde, apenas e tão somente, as "cargas não permanentes". Nos paises de língua inglesa, cargas acidentais (não permanentes) são definidas como "live loads" e cargas permanentes como "dead loads". 
2006 	3-3 	ufpr/tc405 
De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valores: 
	para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm, deve ser 
considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de 10ºC a 15ºC; 
	para elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vazios inteiramente 
fechados, cuja menor dimensão seja superior a 70 cm, admite-se que essa oscilação 
seja reduzida respectivamente para 5ºC a 10ºC; e 
	para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70 cm 
admite-se que seja feita uma interpolação linear entre os valores acima indicados. 
A escolha de um valor entre esses dois limites pode ser feita considerando 50% da 
diferença entre as temperaturas médias de verão e inverno, no local da obra. 
Em edifícios de vários andares devem ser respeitadas as exigências construtivas prescritas 
pela ABNT NBR 6118 para que sejam minimizados os efeitos das variações de temperatura sobre a estrutura da construção. 
3.1.2.2.2 Variações não uniformes de temperatura 
Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição significativamente 
diferente da uniforme, devem ser considerados os efeitos dessa distribuição. Na falta de dados mais precisos, pode ser admitida uma variação linear entre os valores de temperatura adotados, desde que a variação de temperatura considerada entre uma face e outra da estrutura não seja inferior a 5ºC. 
3.1.3 Ações dinâmicas 
Quando a estrutura, pelas suas condições de uso, está sujeita a choques ou vibrações, os 
respectivos efeitos devem ser considerados na determinação das solicitações e a possibilidade de fadiga deve ser considerada no dimensionamento dos elementos estruturais de acordo com a seção 23 da ABNT NBR 6118. 
3.1.4 Ações excepcionais 
No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos efeitos 
não possam ser controlados por outros meios, devem ser consideradas ações excepcionais com os valores definidos, em cada caso particular, por Normas Brasileiras específicas. 
3.2 Tipos de estruturas 
Segundo a ABNT NBR 8681, as estruturas são classificadas como: 
	grandes pontes; 
	edificações tipo 1; e 
	edificações tipo 2. 
3.2.1 Grandes pontes 
Grandes pontes são aquelas em que o peso próprio da estrutura supera 75% da totalidade 
das ações permanentes. 
3.2.2 Edificações tipo 1 
Edificações tipo 1 são aquelas onde as cargas acidentais superam 5 kN/m2. 
3.2.3 Edificações tipo 2 
Edificações tipo 2 são aquelas onde as cargas acidentais não superam 5 kN/m2. 
3.3 Valores das ações 
3.3.1 Valores característicos 
Os valores característicos Fk das ações são estabelecido em função da variabilidade de 
suas intensidades. 
3.3.1.1 Ações permanentes 
Para as ações permanentes, os valores característicos devem ser adotados iguais aos 
valores médios das respectivas distribuições de probabilidade, sejam valores característicos 
2006 	3-4 	ufpr/tc405 
superiores ou inferiores. Esses valores estão definidos na ABNT NBR 6118 ou em Normas 
Brasileiras específicas, como a ABNT NBR 6120. 
Alguns valores apresentados na ABNT NBR 6120, para peso específico de materiais de 
construção, correspondem a: 
blocos de argamassa ................................................................................................. 22 kN/m3 lajotas cerâmicas ....................................................................................................... 18 kN/m3 tijolos furados ............................................................................................................. 13 kN/m3 tijolos maciços ............................................................................................................ 18 kN/m3 argamassa de cal, cimento e areia ............................................................................ 19 kN/m3 argamassa de cimento e areia ................................................................................... 21 kN/m3 concreto simples ........................................................................................................ 24 kN/m3 concreto armado ........................................................................................................ 25 kN/m3 
3.3.1.2 Ações variáveis 
Os valores característicos das ações variáveis, Fqk estabelecidos por consenso e indicados 
em Normas Brasileiras específicas, correspondem a valores que têm de 25% a 35% de 
probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos, o 
que significa que o valor característico Fqk é o valor com período médio de retorno de 200 a 140 
anos respectivamente. Esses valores estão definidos na ABNT NBR 6118 ou em Normas 
Brasileiras específicas, como a ABNT NBR 6120. 
Alguns valores apresentados na ABNT NBR 6120, para valores mínimos de cargas verticais, 
correspondem a: 
ginásios de esportes ................................................................................................. 5,0 kN/m2 lojas ........................................................................................................................... 4,0 kN/m2 restaurantes .............................................................................................................. 3,0 kN/m2 escritórios .................................................................................................................. 2,0 kN/m2 forros ......................................................................................................................... 0,5 kN/m2 
edifícios residenciais 
dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro ...................................................... 1,5 kN/m2 despensa, área de serviço e lavanderia .......................................................... 2,0 kN/m2 
escadas 
com acesso ao público .................................................................................... 3,0 kN/m2 sem acesso ao público .................................................................................... 2,5 kN/m2 
3.3.2 Valores representativos 
As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser: 
	valores característicos conforme definido em 3.3.1; 
	valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as ações 
excepcionais; 
	valores reduzidos, em função da combinação de ações, tais como: 
!	verificações de estados limites últimos, quando a ação considerada se 
combina com a ação principal. Os valores reduzidos são determinados a partir 
dos valores característicos pela expressão0 Fk, que considera muito baixa a 
probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou 
mais ações variáveis de naturezas diferentes; e 
!	verificações de estados limites de serviço. Estes valores reduzidos são 
determinados a partir dos valores característicos pelas expressões1 Fk e2 Fk, 
que estimam valores freqüentes e quase permanentes, respectivamente, de 
uma ação que acompanha a ação principal. 
3.3.3 Valores de cálculo 
Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores representativos, 
multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderaçãof. 
2006 	3-5 	ufpr/tc405 
3.4 Tipos de carregamento1 
Durante o período de vida da construção, podem ocorrer os seguintes tipos de 
carregamento:normal; 
	especial; 
	excepcional; ou 
	de construção. 
Os tipos de carregamento podem ser de longa duração ou transitórios, conforme seu tempo 
de duração. 
3.4.1 Carregamento normal 
O carregamento normal decorre do uso previsto para construção. Admite-se que o 
carregamento normal possa ter duração igual ao período de referência da estrutura, e sempre deve ser considerado na verificação da segurança, tanto em relação a estados limites últimos quanto em relação a estados limites de serviço. 
3.4.2 Carregamento especial 
Um carregamento especial decorre da atuação de ações variáveis de natureza ou 
intensidade especiais, cujos efeitos superem em intensidade os efeitos produzidos pelas ações consideradas no carregamento normal. Os carregamentos especiais são transitórios, com duração muito pequena em relação ao período de referência da estrutura. Os carregamentos especiais são em geral considerados apenas na verificação da segurança em relação aos estados limites últimos, não se observando as exigências referentes aos estados limites de serviço. 
3.4.3 Carregamento excepcional 
Um carregamento excepcional decorre da atuação de ações excepcionais que podem 
provocar efeitos catastróficos. Os carregamentos excepcionais somente devem ser considerados no projeto de estrutura de determinados tipos de construção, para os quais a ocorrência de ações excepcionais não possa ser desprezada e que, além disso, na concepção estrutural, não possam ser tomadas medidas que anulem ou atenuem a gravidade das conseqüências dos efeitos dessas ações. O carregamento excepcional é transitório, com duração extremamente curta. Com um carregamento do tipo excepcional, considera-se apenas a verificação da segurança em relação a estados limites últimos, através de uma única combinação última excepcional de ações. 
3.4.4 Carregamento de construção 
O carregamento de construção é considerado apenas nas estruturas em que haja risco de 
ocorrência de estados limites, já durante a fase de construção. O carregamento de construção é transitório e sua duração deve ser definida em cada caso particular. Devem ser consideradas tantas combinações de ações quantas sejam necessárias para verificação das condições de segurança em relação a todos os estados limites que são de se temer durante a fase de construção. 
3.5 Coeficientes de ponderação das ações 
3.5.1 Estado limite último 
3.5.1.1 Coeficientes de majoração de ações 
Quando se consideram estados limites últimos, os coeficientesf de ponderação 
(majoração) das ações podem ser considerados como o produto de dois outros, de tal forma que: 
 f f1 f3 1,0 	Equação 3.3 
onde2: 
f1 	leva em conta a variabilidade das ações; e 
f3 	considera os possíveis erros de avaliação dos efeitos das ações, seja por problemas 
construtivos, seja por deficiência do método de cálculo empregado. 
1
2
O texto relativo a este capítulo é, basicamente, uma cópia do item 4.3.2 da ABNT NBR 8681. O coeficiente de combinação0 faz o papel do terceiro coeficiente, que seria indicado porf2. 
2006 	3-6 	ufpr/tc405 
O desdobramento do coeficiente de segurançaf em coeficientes parciais permite que os 
valores gerais estabelecidos paraf possam ser discriminados em função de peculiaridades dos 
diferentes tipos de estruturas e de materiais de construção considerados. 
Tendo em vista as diversas ações levadas em conta no projeto, o índice do coeficientef 
pode ser alterado para identificar a ação considerada, resultando os símbolosg,q e, de tal 
forma que: 
 g 	(ações permanentes diretas) 

 f f1 f 3 
g 
(ações permanentes indiretas) 

q 
(ações variáveis diretas) 
Equação 3.4 
q 
(ações variáveis indiretas) 
Os coeficientes de ponderação para combinações últimasg,g,q eq são apresentados, 
em forma de tabelas, na ABNT NBR 8681, considerando: 
	ações permanentes diretas consideradas separadamente (Tabela 1); 
	ações permanentes diretas agrupadas (Tabela 2); 
	efeitos de recalques de apoio e de retração dos materiais (Tabela 3); 
	ações variáveis consideradas separadamente (Tabela 4); e 
	ações variáveis consideradas conjuntamente (Tabela 5). 
A ABNT NBR 6118 procura sintetizar, na sua Tabela 11.1, os valores mais usados 
apresentados nas Tabelas 1 a 5 de ABNT NBR 8681. Por se tratar de uma tabela incompleta (não leva em conta os tipos de estrutura, não diferencia ações consideradas separadamente de ações agrupadas, não apresenta coeficientes para efeitos de temperatura, etc.) recomenda-se, sempre, o uso das tabelas da ABNT NBR 8681. 
Quando as ações permanentes diretas são agrupadas (Tabela 1 da ABNT NBR 8681) e as 
ações variáveis são consideradas conjuntamente (Tabela 5 da ABNT NBR 8681), os valores deg, 
g,q eq assumem os valores apresentados na Tabela 3.11, Tabela 3.2 e Tabela 3.3. 
Grandes pontes 
Ações 
Combinações de 
Permanentes 
Variáveis 
ações 
Diretas (g) 
Indiretas (g) 
Diretas (q) 
Indiretas (q) 
D	F	D	F	D	F	D	F
Normais 	1,3 	1,0 	1,2 	0,0 	1,5 	0,0 	1,2 	0,0 
Especiais 
ou de 	1,2 	1,0 	1,2 	0,0 	1,3 	0,0 	1,0 	0,0 
construção 
Excepcionais 	1,1 	1,0 	0,0 	0,0 	1,0 	0,0 	0,0 	0,0 
D desfavorável 	F favorável 
Tabela 3.1 - ELU - Coeficientesf - Grandes pontes - Ações permanentes diretas agrupadas e 
ações variáveis consideradas conjuntamente 
1
A Tabela 3.1, Tabela 3.2 e Tabela 3.3 foram construídas com base na afirmação contida no rodapé da Tabela 5 da 
ABNT NBR 8681: 
"Quando as ações variáveis forem consideradas conjuntamente, o coeficiente de ponderação mostrado na tabela 5 se aplica a todas as ações, devendo-se considerar também conjuntamente as ações permanentes diretas. Nesse caso permite-se considerar separadamente as ações indiretas como recalque de apoio e retração dos 
materiais conforme tabela 3 e o efeito de temperatura conforme tabela 4." 
2006 	3-7 	ufpr/tc405 
Combinações de 
Edificações tipo 1 e pontes em geral 
Ações 
Permanentes 
Variáveis 
ações 
Diretas (g) 
Indiretas (g) 
Diretas (q) 
Indiretas (q) 
D	F	D	F	D	F	D	F
Normais 	1,35 	1,0 	1,2 	0,0 	1,5 	0,0 	1,2 	0,0 
Especiais 
ou de 	1,25 	1,0 	1,2 	0,0 	1,3 	0,0 	1,0 	0,0 
construção 
Excepcionais 	1,15 	1,0 	0,0 	0,0 	1,0 	0,0 	0,0 	0,0 
D desfavorável 	F favorável 
Tabela 3.2 - ELU - Coeficientesf - Edificações tipo 1 e pontes em geral - Ações permanentes 
diretas agrupadas e ações variáveis consideradas conjuntamente 
Edificações tipo 2 
Ações 
Combinações de 
Permanentes 
Variáveis 
ações 
Diretas (g) 
Indiretas (g) 
Diretas (q) 
Indiretas (q) 
D	F	D	F	D	F	D	F
Normais 	1,4 	1,0 	1,2 	0,0 	1,4 	0,0 	1,2 	0,0 
Especiais 
ou de 	1,3 	1,0 	1,2 	0,0 	1,2 	0,0 	1,0 	0,0 
construção 
Excepcionais 	1,2 	1,0 	0,0 	0,0 	1,0 	0,0 	0,0 	0,0 
D desfavorável 	F favorável 
Tabela 3.3 - ELU - Coeficientesf - Edificações tipo 2 - Ações permanentes diretas agrupadas e 
ações variáveis consideradas conjuntamente 
O valor do coeficiente de ponderação, de cargas permanentes de mesma origem, num dado 
carregamento, deve ser o mesmo ao longo de toda estrutura. A única exceção é o caso da verificação da estabilidade como corpo rígido. 
O valor do coeficiente de ponderação, para ações variáveis direta decorrentes de empuxos 
d'água, ou de outro líquido, adotado para cálculo de reservatórios, tanques, decantadores e outros deve ser considerando como sendo 1,1 (ver 3.1.2.1.3). 
3.5.1.2 Pilares com dimensão inferior a 20 cm 
Em casos especiais, permite-se a consideração de pilares ou pilares-parede com dimensões 
entre 19 cm e 12 cm, desde que se multipliquem as ações a serem consideradas no 
dimensionamento por um coeficiente adicional (coeficiente de ajustamento)n apresentado na 
Tabela 3.4. Em qualquer caso não se permite pilar com seção transversal inferior a 360 cm2. 
2006 	3-8 	ufpr/tc405 
b (cm)19 	18 	17 	16 	15 	14 	13 	12 
n 	1,00 	1,05 	1,10 	1,15 	1,20 	1,25 	1,30 	1,35 
onde: 
n = 1,95 - 0,05b (b em cm) 
b é a menor dimensão da seção transversal da parede ou pilar. 
nota: o coeficienten deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos 
pilares, quando de seu dimensionamento. 
Tabela 3.4 - Coeficienten - ELU 
3.5.1.3 Fatores de combinação de ações 
A consideração da simultaneidade das ações variáveis é expressa pelo fator0 da 
ABNT NBR 8681 e estão, resumidamente, apresentados na Tabela 3.5. O fator0 pode ser 
representado por: 
 f f20 1,0 	Equação 3.5 
Ações 	0 
Cargas acidentais de 
edifícios 
Vento 
Temperatura 
Passarelas e pontes 
Edificações residenciais, de acesso restrito 
Edificações comerciais, de escritórios e de 
acesso público 
Bibliotecas, arquivos, depósitos, oficinas e 
garagens 
Pressão dinâmica do vento nas estruturas 
em geral 
Variações uniformes de temperatura em 
relação à média anual local 
Passarelas de pedestre 
Pontes rodoviárias 
Pontes ferroviárias não especializadas 
Pontes ferroviárias especializadas 
Vigas de rolamento de pontes rolantes 
0,5 
0,7 
0,8 
0,6 
0,6 
0,6 
0,7 0,8 1,0 1,0 
Tabela 3.5 - Coeficientef2 - ELU 
3.5.2 Estado limite de serviço 
O coeficiente de ponderação das ações para estados limites de serviço é dado pela 
Equação 3.6 e tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (Tabela 3.6). 
 f f2 	Equação 3.6 
onde: 
f2 = 1,0 para combinações raras; 
f2 =1 para combinações freqüentes; e 
f2 =2 para combinações quase permanentes. 
2006 	3-9 	ufpr/tc405 
Cargas acidentais de 
edifícios 
Vento 
Temperatura 
Passarelas e pontes 
Ações 
Edificações residenciais, de acesso restrito 
Edificações comerciais, de escritórios e de 
acesso público 
Bibliotecas, arquivos, depósitos, oficinas e 
garagens 
Pressão dinâmica do vento nas estruturas 
em geral 
Variações uniformes de temperatura em 
relação à média anual local 
Passarelas de pedestre 
Pontes rodoviárias 
Pontes ferroviárias não especializadas 
Pontes ferroviárias especializadas 
Vigas de rolamento de pontes rolantes 
1 
0,4 
0,6 
0,7 
0,3 
0,5 
0,4 
0,5 0,7 1,0 0,8 
21), 2) 
0,3 
0,4 
0,6 
0,0 
0,3 
0,3 
0,3 0,5 0,6 0,5 
1) 
2) 
Para combinações excepcionais onde a ação principal for sismo, admite-se adotar para2 o valor zero. 
Para combinações excepcionais onde a ação principal for o fogo, o fator de redução2 pode ser reduzido, 
multiplicando-o por 0,7. 
Tabela 3.6 - Coeficientef2 - ELS 
3.6 Combinações de ações 
Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não 
desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período pré-estabelecido. 
A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser determinados os efeitos 
mais desfavoráveis para a estrutura. A verificação da segurança em relação aos estados limites últimos e aos estados limites de serviço deve ser realizada em função de combinações últimas e combinações de serviço, respectivamente. 
3.6.1 Combinações últimas 
Uma combinação última pode ser classificada em: 
	normal; 
	especial ou de construção; e 
	excepcional. 
3.6.1.1 Combinações últimas normais 
Em cada combinação devem estar incluídas as ações permanentes e a ação variável 
principal, com seus valores característicos e as demais ações variáveis, consideradas como secundárias, com seus valores reduzidos de combinação, conforme ABNT NBR 8681. 
De modo geral, as combinações últimas usuais de ações deverão considerar: 
	o esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais de concreto 
armado; e 
	a perda de equilíbrio como corpo rígido 
3.6.1.1.1 Esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais 
A equação para o cálculo de solicitações considerando o possível esgotamento da 
capacidade resistente de elementos estruturais de concreto armado pode ser representada por: 
2006 
Fdg Fgkg Fgkq (Fq1k
0 j Fqjk )
3-10 
q0 Fqk 
Equação 3.7 
ufpr/tc405 
onde: 
Fd 	é o valor de cálculo das ações para combinação última. 
Fgk 	representa as ações permanentes diretas (valor característico): 
	peso próprio da estrutura; 
	peso dos elementos construtivos fixos das instalações permanentes; e 
	empuxos permanentes. 
Fgk 	representa as ações permanentes indiretas (valor característico): 
	retração do concreto; 
	fluência do concreto; 
	deslocamentos de apoio; e 
	imperfeições geométricas. 
Fq1k 	representa a ação variável direta considerada como principal (valor característico). 
Fqjk 	representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal (valor 
característico): 
	cargas acidentais; 
	ação do vento; e 
	ação da água. 
Fqk 	representa as ações variáveis indiretas (valor característico): 
	variações uniformes de temperatura; e 
	variações não uniformes de temperatura. 
g 	representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas: 
Grandes pontes (Tabela 3.1): 
	1,3 para combinação desfavorável; e 
	1,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 
	1,35 para combinação desfavorável; e 
	1,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): 
	1,4 para combinação desfavorável; e 
	1,0 para combinação favorável. 
g 	representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes indiretas (Tabela 3.1, 
Tabela 3.2 e Tabela 3.3): 
	1,2 para combinação desfavorável; e 
	0,0 para combinação favorável. 
q 	representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas: 
Grandes pontes (Tabela 3.1): 
	1,5 para combinação desfavorável; e 
	0,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 
	1,5 para combinação desfavorável; e 
	0,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): 
	1,4 para combinação desfavorável; e 
	0,0 para combinação favorável. 
q 	representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis indiretas (Tabela 3.1, 
Tabela 3.2 e Tabela 3.3): 
	1,2 para combinação desfavorável; e 
	0,0 para combinação favorável. 
0j 	representa o fator de redução de combinação para ações variáveis diretas 
(Tabela 3.5): 
	0,5 para cargas acidentais de edifícios residenciais; 
	0,7 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; 	0,8 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 
	0,6 para o vento. 
2006 	3-11 	ufpr/tc405 
0	representa o fator de redução de combinação para ações variáveis indiretas 
(Tabela 3.5): 
	0,6 para variações uniformes de temperatura. 
No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações onde o efeito favorável das 
cargas permanentes seja reduzido pela consideração deg = 1,0. No caso de estruturas usuais 
de edifícios essas combinações que consideramg reduzido (1,0) não precisam ser 
consideradas. 
Deve ser observado que a Equação 3.7 não considera a ação variável indireta (temperatura) 
como possível de ser a ação principal dentre as ações variáveis (diretas ou indiretas). Caso os 
efeitos de temperatura (Fqk) venham a se constituir em fator altamente significativo para a 
determinação dos esforços em estruturas, constituindo-se numa possível ação variável principal, a 
seguinte equação deve também ser verificada: 
Fd g Fgkg Fgk q 
3.6.1.1.2 Cargas de Fundações 

0j 
Fqjkq Fqk 
Equação 3.8 
A capacidade de carga1 de fundações superficiais (sapatas) ou de fundações profundas 
(estacas ou tubulões), de modo geral, são definidas por tensões admissíveis (fundações superficiais) ou cargas admissíveis (fundações profundas). Essas tensões ou cargas admissíveis incluem coeficientes (fatores) de segurança que minoram as resistências dos elementos de fundação.Segundo a Tabela 1 da ABNT NBR 6122, os fatores de segurança globais mínimos 
correspondem a: 
capacidade de carga de fundações superficiais ................................................................. 3,0 capacidade de carga de estacas ou tubulões sem prova de carga .................................... 2,0 capacidade de carga de estacas ou tubulões com prova de carga .................................... 1,6 
Os valores das solicitações correspondentes às reações de apoio a serem suportadas por 
elementos de fundação, decorrentes das combinações de ações estabelecidas pela Equação 3.7 (estado limite último), consideram coeficientes de ponderação (majoração) variáveis de acordo com a natureza das ações. 
Se as reações de apoio a serem suportadas por elementos de fundação, definidas pela 
Equação 3.7 do estado limite último, forem usadas diretamente nos projetos de fundações superficiais ou profundas, baseados no critério das tensões ou cargas admissíveis, haverá um 
confronto de critérios de segurança, pois: 
	o critério do estado limite último usa coeficientes de segurança diferenciados tanto 
para as solicitações (ações) como para as resistências dos materiais; e 
	o critério das tensões ou cargas admissíveis usa um único coeficiente de segurança 
global envolvendo tanto as solicitações (ações) com as resistências dos materiais. 
Portanto, para que não ocorra confronto entre critérios de segurança, a aplicação do critério 
das tensões ou cargas admissíveis nas fundações superficiais ou profundas implica na necessidade das solicitações resultantes das combinações de ações atuantes na estrutura serem consideradas sem coeficientes de ponderação (majoração). 
Por outro lado, a probabilidade de ocorrência simultânea de diferentes ações variáveis 
(cargas acidentais, vento, temperatura, etc.), representada pelo coeficiente0, deve ser 
considerada. 
Desta forma, a equação para a definição das reações de apoio a serem suportadas por 
elementos de fundação superficiais ou profundas, que empregam fator se segurança global 
(tensões ou cargas admissíveis), corresponde a: 
Fd,fundFgkFgk (Fq1k
0 j Fqjk )0 Fqk 
Equação 3.9 
1
A ABNT NBR 6122 estabelece dois modos de verificação de segurança. O cálculo empregando fator de segurança global (tensões e cargas admissíveis) e o cálculo empregando-se fatores de segurança parciais (estado limite último). O primeiro é quase que o único utilizado. 
2006 	3-12 	ufpr/tc405 
A Figura 3.1 mostra as solicitações decorrentes das diversas combinações de ações, a 
serem usadas na verificação da 
Nz 
My 
Hy 
Mx 
Hx 
capacidade do terreno de fundação superficial (sapata). A força normal 
Nz, sendo de compressão, tem o 
sentido indicado na Figura. Os 
momentos fletores Mx e My, bem 
como as forças horizontais Hx e Hy 
dependem das combinações das 
ações (direção do vento, por exemplo) e podem assumir tanto 
valores positivos como negativos. 
Figura 3.1 - Solicitações em sapatas de concreto armado 
Deve-se tomar muito cuidado com a manipulação da Equação 3.7 e da Equação 3.9. No 
caso específico da Figura 3.1, a Equação 3.7 deve ser usada para o dimensionamento da sapata de concreto armado, ao passo que a Equação 3.9 seria a usada para a verificação da capacidade do terreno de fundação. 
Exemplo 3.1: Definir a equação de cálculo das ações para a combinação última normal (Fd) de 
estruturas de edifícios comerciais onde os carregamentos são resultantes de 
combinações que só levam em consideração as ações permanentes diretas (peso próprio da estrutura, paredes, caixa d'água, etc.) e ações variáveis diretas (cargas acidentais e vento). Considerar o esgotamento da capacidade resistente 
de edificações tipo 2 para: 
-	carregamentos gerais desfavoráveis; e 
-	efeito favorável das cargas permanentes. 
Solução: 
Estabelecer, também, as equações de cálculo a serem usadas em projeto de fundação. 
Para a combinação última normal, deverão ser usados, para a Equação 3.7, os 
valores da Tabela 3.3 e da Tabela 3.5. Para o projeto de fundações diretas, deverá ser usada a Equação 3.9. 
Fgk: 	Gk (valor característico da ação permanente direta) 
Fqk,acid: Qk (valor característico da ação variável direta - carga acidental) 
Fqk,vento: Wk (valor característico da ação variável direta - vento) 
g: 
q: 
0: 
0: 
1,4 (combinação normal, ação permanente direta desfavorável) 
1,0 (combinação normal, ação permanente direta favorável) 
1,4 (combinação normal, ação variável direta desfavorável geral) 
0,0 (combinação normal, ação variável direta favorável) 
0,7 (carga acidental de edifício comercial - desfavorável) 
0,0 (carga acidental de edifício comercial - favorável) 
0,6 (vento - desfavorável) 
0,0 (vento - favorável) 
a. 	Ação permanente direta desfavorável (g =1,4) 
Fdg Fgkg Fgkq (Fq1k
0 j Fqjk ) 
q0 Fqk 
Fd = 1,4 Gk + 0,0 (Qk + 0,0 Wk) Fd = 1,4 Gk ◄ 
Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Qk + 0,0 Wk) Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk ◄ 
Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Qk + 0,6 Wk) Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk + 0,84 Wk ◄ 
Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Wk + 0,0 Qk) Fd = 1,4 Gk + 1,4 Wk ◄ 
2006 	3-13 	ufpr/tc405 
Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Wk + 0,7 Qk) Fd = 1,4 Gk + 1,4 Wk + 0,98 Qk ◄ 
b. 	Ação permanente direta favorável (g =1,0) 
Fdg Fgkg Fgkq (Fq1k
0 j Fqjk )
q0 Fqk 
Fd = 1,0 Gk + 0,0 (Qk + 0,0 Wk) Fd = 1,0 Gk ◄ 
Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Qk + 0,0 Wk) Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk ◄ 
Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Qk + 0,6 Wk) Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk + 0,84 Wk ◄ 
Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Wk + 0,0 Qk) Fd = 1,0 Gk + 1,4 Wk ◄ 
Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Wk + 0,7 Qk) Fd = 1,0 Gk + 1,4 Wk + 0,98 Qk ◄ 
c. 	Ação para projeto de fundação 
Fd,fundFgkFgk (Fq1k
0 j Fqjk ) 
0 Fqk 
Fd = Gk + 0,0 (Qk + Wk) Fd = Gk ◄ 
Fd = Gk + (Qk + 0,0 Wk) Fd = Gk + Qk ◄ 
Fd = Gk + (Qk + 0,6 Wk) Fd = Gk + Qk + 0,6 Wk ◄ 
Fd = Gk + (Wk + 0,0 Qk) Fd = Gk + Wk ◄ 
Fd = Gk + (Wk + 0,7 Qk) Fd = Gk + Wk + 0,7 Qk ◄ 
d. 	Observações 
d.1 Vento 
Todas as equações que envolvem o vento (Wk) equivalem a quatro, ou seja o 
vento tem que ser considerado atuando nas duas direções principais da estrutura (da 
esquerda para direita, da direita para a esquerda, de baixo para cima e de cima para baixo). Isto vale dizer que haveria 14 combinações possíveis de ações (carregamentos) para o item a e mais 14 combinações para o item b. O total corresponderia a 28 possíveis combinações de ações (carregamentos) para a consideração do estado limite último - combinação normal. 
WK4 
Wk2 
Wk1 
Wk3 
planta de pilares 
da estrutura 
d.2 	Verificação da fundação direta 
Também para o projeto de fundação haveria outras 14 combinações de ações, 
dependentes das direções do vento. 
A planilha para fornecimento das ações possíveis de atuarem nos elementos de 
fundação, para cada um deles (cada pilar), tem o aspecto mostrado a seguir. É importante observar que as 14 combinações de ações, individualmente, têm que ser verificadas. A combinação de valores da tabela, como por exemplo valores máximos, não deve ser incluída como outros casos possíveis de combinação de ações. 
2006 	3-14 	ufpr/tc405 
Sapata (Bloco) nº .... 	Nz 	Mx 	My 	Hx 	Hy 
cp 
cp + ca 
cp + ca + (0,6 vt1) 
cp + ca + (0,6 vt2) cp + ca + (0,6 vt3) cp + ca + (0,6 vt4) 
cp + vt1 cp + vt2 cp + vt3 cp + vt4 
cp + vt1 + (0,7 ca) cp + vt2 + (0,7 ca) cp + vt3 + (0,7 ca) cp + vt4 + (0,7 ca) 
cp: carga permanente 
ca: carga acidental 
vt: 	vento 
d.3 
d.4 
Estruturas usuais de edifícios 
Caso a estrutura venha a ser considerada como "usual", os efeitos decorrentes 
das ações permanentes diretas favoráveis (g =1,0) não precisam ser considerados. 
Isto vale dizer que todo o item b poderia ser desconsiderado. 
Carregamentos obrigatórios em estruturas 
As ações (carregamentos) consideradas neste exemplo (cargas permanentes, 
cargasacidentais e vento) constituem as ações obrigatórias de serem consideradas em todas as estruturas. Para qualquer tipo de estrutura, a ação do vento tem que ser considerada. 
Incluindo a definição dos carregamentos nos elementos de fundação, são 
necessárias 42 combinações de ações para o projeto estrutural de um edifício de concreto armado. A consideração de ações indiretas (fluência, retração, recalques de apoio, temperatura, etc.) elevaria bem mais este valor. 
3.6.1.1.3 Perda de equilíbrio como corpo rígido 
A equação para a verificação da perda de equilíbrio como corpo rígido pode ser 
representada por: 
SFsd SFnd
Fsd gs Gsk Rd 	Equação 3.10 
Fnd gn Gnk q (Q1k0j 	Q jk ) qsQs,min 
onde: 
S(Fsd) 
S(Fnd) 
Fsd Fnd Rd 
Gsk Gnk Q1k Qjk 
Qs,min 
é o valor de cálculo das solicitações estabilizantes. 
é o valor de cálculo das solicitações não estabilizantes. representa as ações estabilizantes (valor de cálculo). 
representa as ações não estabilizantes (valor de cálculo). 
é o esforço resistente considerado como estabilizante, quando houver. é o valor característico da ação permanente estabilizante. é o valor característico da ação permanente instabilizante. 
é o valor característico da ação variável instabilizante considerada como principal. é o valor característico da ação variável instabilizante. 
é o valor característico mínimo da ação variável estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante. 
2006 	3-15 	ufpr/tc405 
gs 	representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas 
estabilizante: 
	1,0 para combinação favorável. 
gn 	representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas 
instabilizante: 
	valores das Tabelas 1 e 2 da ABNT NBR 8681. 
q 	representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas instabilizante: 
	valores das Tabelas 4 e 5 da ABNT NBR 8681. 
qs 	representa o coeficiente de ponderação da ação variável estabilizante que 
acompanha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante: 
	usar o valor que conduza ao máximo Fnd. 
0j 	representa o fator de redução de combinação para ações variáveis diretas 
instabilizantes: 
	usar valores que levem em conta a simultaneidade das ações. 
Exemplo 3.2: Verificar as condições de segurança quanto ao tombamento da barragem de 
rejeito abaixo representada. Considerar: 
-	massa específica do concreto da barragem igual a 2 2003 kg/m3; e 
-	massa específica do material de rejeito igual 1 300 kg/m . 
54 m 
51 m 
1H 
1,8V 
0m 
A
Solução: 
Deverá ser verificada a condição de perda de equilíbrio como corpo rígido da barragem. Para tal deverão ser calculados o momento estabilizante [S(Fsd)] e o 
momento não estabilizantes [S(Fnd)] em relação ao pé da barragem (ponto A). A 
barragem será segura se [S(Fsd)] [S(Fnd)]. Deverão ser usados, para a 
Equação 3.10, as seguintes notações e os seguintes valores para as ações e 
coeficientes: 
Gsk = Gpp,bar (peso próprio da barragem - ação característica estabilizante) 
Q1k = Erej (empuxo do material de rejeito - ação característica não 
estabilizante) 
Fsd =gs Gsk =gs Gpp,bar (valor de cálculo da ação estabilizante) 
Fnd =q Q1k =q Erej (valor de cálculo da ação não estabilizante) 
gs = 1,0 (combinação normal, ação permanente direta favorável) 
q = 1,2 (ver 3.1.2.1.3) 
a. 	Massas específicas e pesos específicos do concreto e do material de rejeito (valores 
característicos) 
conc = 2 200 kg/m3⇒ pconc = 22 000 N/m3 = 22 kN/m3 
rej = 1 300 kg/m3⇒ prej = 13 000 N/m3 = 13 kN/m3 
2006 	3-16 	ufpr/tc405 
b. 	Ação permanente estabilizante (peso próprio da barragem) 
1
1,8 
H = 54 m 
Gsk 
A
B
B 54 30 m 
1,8 
Gsk Gpp,bar B H pconc 30 54 22 17 820,0 kN/m 
2	2
Fsd gsGsk 1,0 17 820 17 820,0 kN/m 
c. 	Ação variável não estabilizante (empuxo do material de rejeito) 
H = 51 m 
Q1k 
A
2	2
Q1k Erejei H prejei 51 13 16 906,5 kN/m 
2	2
FndqQ1k 1,2 16 905,5 20 286,6 kN/m 
d. 	Solicitações de cálculo (momentos referentes ao pé da barragem - ponto A) 
Fsd 
Hrej = 51 m 
Fnd 
A
Bbar = 30 m 
SFsd MApp,bar Fsd 2 Bbar 17 820,0 2 30 356 400,0 kNm/m 
2006 
d, 
3
3
3-17 
ufpr/tc405 
e. 
SFnd MA emp,rejei Fndd, 
Condição de segurança 
Hrejei 
3
 20 286,6 51 344 872,2 kNm/m 
3
S2sd S23⇒ barragem segura ◄ 
1F3 	1Fnd 
(356 400,0) 	(344 872,2) 
f. 	Consideração do material de rejeito como sólido 
Como o peso próprio da estrutura supera em 75% peso total das ações permanentes 
deve ser considerado paraq o valor 1,5 (Tabela 5 da ABNT NBR 8681). 
f.1 Ação variável não estabilizante (empuxo do material de rejeito) 
H = 51 m 
Q1k 
A
2	2
Q1k Erejei H prejei 51 13 16 906,5 kN/m 
2	2
FndqQ1k 1,5 16 905,5 25 358,25 kN/m 
f.2 	Solicitações de cálculo (momentos referentes ao pé da barragem - ponto A) 
Fsd 
Hrej = 51 m 
Fnd 
A
Bbar = 30 m 
SFsd MApp,bar Fsd 2 Bbar 17 820,0 2 30 356 400,0 kNm/m 
d, 
3
3
SFnd MA emp,rejei Fnd rejei 25 358,25 51 431090,25 kNm/m H
f.3 
d, 
Condição de segurança 
3
3
S2sd S23⇒ barragem não segura ◄ 
1F3 	1Fnd 
(356 400,0) 	(431090,25) 
3.6.1.2 Combinações últimas especiais ou de construção 
Em cada combinação devem estar presentes as ações permanentes e a ação variável 
especial, quando existir, com seus valores característicos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme ABNT NBR 8681. 
2006 	3-18 	ufpr/tc405 
As combinações últimas de ações deverão considerar o esgotamento da capacidade 
resistente de elementos estruturais. A equação para o cálculo de solicitações pode ser 
representada por: 
onde: 
Fd g Fgkg Fgk q (Fq1k

0j 
Fqjk )q0 Fqk 
Equação 3.11 
Fd 	é o valor de cálculo das ações para combinação última. 
Fgk 	representa as ações permanentes diretas, para a situação transitória considerada 
(valor característico). 
	peso próprio parcial da estrutura; 
	peso dos elementos construtivos transitórios; 
	empuxos transitórios. 
Fgk 	representa as ações permanentes indiretas, para a situação transitória considerada 
(valor característico). 
	retração parcial do concreto; 
	fluência parcial do concreto; e 
	deslocamentos de apoio. 
Fq1k 	representa a ação variável direta principal (especial, se for o caso), para a situação 
transitória considerada (valor característico). 
Fqjk 	representa as demais ações variáveis diretas que podem agir concomitantemente com 
a ação principal Fq1k (valor característico): 
	ações variáveis transitórias durante a construção; e 
	demais ações variáveis diretas (vento, água, etc.). 
Fqk 	representa as ações variáveis indiretas que podem agir concomitantemente com a 
ação principal Fq1k (valor característico). 
	variações de temperatura. 
g 	representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas: 
Grandes pontes (Tabela 3.1): 
	1,2 para combinação desfavorável; e 
	1,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 
	1,25 para combinação desfavorável; e 
	1,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): 
	1,3 para combinação desfavorável; e 
	1,0 para combinação favorável. 
g 	representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes indiretas (Tabela 3.1, 
Tabela 3.2 e Tabela 3.3): 
	1,2 para combinação desfavorável; e 
	0,0 para combinação favorável. 
q 	representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas: 
Grandes pontes (Tabela 3.1): 
	1,3 para combinação desfavorável; e 
	0,0 para combinação favorável.Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 
	1,3 para combinação desfavorável; e 
	0,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): 
	1,2 para combinação desfavorável; e 
	0,0 para combinação favorável. 
q 	representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis indiretas (Tabela 3.1, 
Tabela 3.2 e Tabela 3.3): 
	1,0 para combinação desfavorável; e 
	0,0 para combinação favorável. 
2006 	3-19 	ufpr/tc405 
0j1 
representa o fator de redução de combinação para ações variáveis diretas que podem 
agir concomitantemente com a ação principal Fq1k, durante a situação transitória. Este 
fator deverá ser igual aos valores adotados nas combinações normais (Tabela 3.5), 
salvo quando a ação principal Fq1k tiver um tempo de atuação muito pequeno ou 
probabilidade de ocorrência muito baixa, caso em que0j pode ser tomado com o 
correspondente2j (Tabela 3.6): 
	0,5 ou 0,3 para cargas acidentais de edifícios residenciais; 
	0,7 ou 0,4 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; 	0,8 ou 0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 
	0,6 ou 0,0 para o vento. 
0 representa o fator de redução de combinação para ações variáveis indiretas que 
podem agir concomitantemente com a ação principal Fq1k, durante a situação 
transitória. Este fator deverá ser igual aos valores adotados nas combinações normais 
(Tabela 3.5), salvo quando a ação principal Fq1k tiver um tempo de atuação muito 
pequeno ou probabilidade de ocorrência muito baixa, caso em que0 pode ser 
tomado com o correspondente2 (Tabela 3.6): 
	0,6 ou 0,3 para variações uniformes de temperatura. 
Deve ser observado, que a Equação 3.11 não considera a ação variável indireta 
(temperatura) como possível de ser a ação principal dentre as ações variáveis (diretas ou 
indiretas). Caso os efeitos de temperatura (Fqk) venham a se constituir em fator altamente 
significativo para a determinação dos esforços em estruturas, constituindo-se numa possível ação 
variável principal, a seguinte equação deve também ser verificada: 
Fd g Fgkg Fgk q 

0j 
Fqjkq Fqk 
Equação 3.12 
3.6.1.3 Combinações últimas excepcionais 
Em cada combinação devem figurar as ações permanentes e a ação variável excepcional, 
quando existir, com seus valores representativos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme ABNT NBR 8681. Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo, incêndio e colapso progressivo. 
As combinações últimas de ações deverão considerar o esgotamento da capacidade 
resistente de elementos estruturais. A equação2 para o cálculo de solicitações pode ser 
representada por: 
onde: 
Fd g Fgk Fq1exc q 

0j 
Fqjk 
Equação 3.13 
Fd 	é o valor de cálculo das ações para combinação última. 
Fgk 	representa as ações permanentes diretas, para a situação transitória considerada 
(valor característico). 
	peso próprio parcial da estrutura; 
	peso dos elementos construtivos transitórios; e 
	empuxos transitórios. 
Fq1exc representa a ação variável transitória excepcional (valor característico). 
Fqjk representa as ações variáveis diretas que podem agir concomitantemente com a ação 
excepcional Fq1exc (valor característico). 
	ações variáveis transitórias; e 
	demais ações variáveis diretas (vento, água, etc.). 
g 	representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas: 
Grandes pontes (Tabela 3.1): 
	1,1 para combinação desfavorável; e 
	1,0 para combinação favorável. 
1
2
A ABNT NBR 8681 define este fator como0,ef. Como a ABNT NBR 6118 não faz distinção de valores0, a 
Equação 3.7 (combinação última normal) e a Equação 3.11 (combinação última especial ou de construção) são 
iguais na apresentação, embora com significados diferentes na aplicação. 
A equação apresentada pela ABNT NBR 6118 contém os termos Fgk e Fqk, o que não faz sentido pois os 
coeficientesg eq são nulos (Tabela 3.1, Tabela 3.2 e Tabela 3.3). 
2006 	3-20 	ufpr/tc405 
Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 
	1,15 para combinação desfavorável; e 
	1,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): 
	1,2 para combinação desfavorável; e 
	1,0 para combinação favorável. 
q 	representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas 
Grandes pontes (Tabela 3.1): 
	1,0 para combinação desfavorável; e 
	0,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 
	1,0 para combinação desfavorável; e 
	0,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): 
	1,0 para combinação desfavorável; e 
	0,0 para combinação favorável. 
0j 
representa o fator de redução de combinação para ações variáveis diretas que podem agir concomitantemente com a ação excepcional Fq1exc, durante a situação transitória. 
Este fator deverá ser igual aos valores adotados nas combinações normais 
(Tabela 3.5), salvo quando a ação excepcional Fq1exc tiver um tempo de atuação muito pequeno ou probabilidade de ocorrência muito baixa, caso em que0j pode ser tomado com o correspondente2j (Tabela 3.6). 
	0,5 ou 0,3 para cargas acidentais de edifícios residenciais; 
	0,7 ou 0,4 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; 	0,8 ou 0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 
	0,6 ou 0,0 para o vento. 
3.6.2 Combinações de serviço 
As combinações de serviço são classificadas de acordo com sua permanência na estrutura 
e devem ser verificadas como estabelecido a seguir: 
	quase permanentes; 
	freqüentes; e 
	raras. 
3.6.2.1 Combinações quase permanentes de serviço 
São combinações que podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e 
sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações excessivas. 
Nas combinações quase permanentes de serviço, todas as ações variáveis são 
consideradas com seus valores quase permanentes2 Fqk. 
A equação para o cálculo de solicitações pode ser representada por: 
onde: 
Fd,ser Fgk

2j 
Fqjk 
Equação 3.14 
Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço. 
Fgk representa as ações permanentes diretas (valor característico): 
	peso próprio da estrutura; 
	peso dos elementos construtivos fixos das instalações permanentes; e 
	empuxos permanentes. 
Fqjk representa as ações variáveis diretas (valor característico): 
	cargas acidentais; 
	ação do vento; e 
	ação da água. 
2j representa o fator de redução de combinação quase permanente para as ações 
variáveis diretas (Tabela 3.6): 
	0,3 para cargas acidentais de edifícios residenciais; 
	0,4 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; 
2006 	3-21 	ufpr/tc405 
	0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 
	0,0 para o vento. 
3.6.2.2 Combinações freqüentes de serviço 
São combinações que se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e 
sua consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de formação de fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser consideradas para verificações de estados limites de deformações excessivas decorrentes de vento ou temperatura que podem comprometer as vedações. 
Nas combinações freqüentes de serviço, a ação variável principal Fq1 é tomada com seu 
valor freqüente1 Fq1k e todas as demais ações variáveis são tomadas com seus valores quase permanentes2 Fqk. 
A equação para o cálculo de solicitações pode ser representada por: 
onde: 
Fd,ser Fgk1 Fq1k

2j 
Fqjk 
Equação 3.15 
Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço. 
Fgk representa as ações permanentes diretas (valor característico): 
	peso próprio da estrutura; 
	peso dos elementos construtivos fixos das instalações permanentes; e 
	empuxospermanentes. 
Fq1k representa a ação variável direta considerada como principal (valor característico). 
Fqjk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal (valor 
característico): 
	cargas acidentais; 
	ação do vento; e 
	ação da água. 
1 	representa o fator de redução de combinação freqüente para a ação variável direta 
principal Tabela 3.6): 
	0,4 para cargas acidentais de edifícios residenciais; 
	0,6 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; 	0,7 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 
	0,3 para o vento. 
2j representa o fator de redução de combinação quase permanente para as ações 
variáveis diretas (Tabela 3.6): 
	0,3 para cargas acidentais de edifícios residenciais; 
	0,4 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; 	0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 
	0,0 para o vento. 
3.6.2.3 Combinações raras de serviço 
São combinações que ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua 
consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de formação de fissuras. 
Nas combinações raras de serviço, a ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor 
característico Fq1k e todas as demais ações são tomadas com seus valores freqüentes1 Fqk. 
A equação para o cálculo de solicitações pode ser representada por: 
onde: 
Fd,ser Fgk Fq1k

1j 
Fqjk 
Equação 3.16 
Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço. 
Fgk representa as ações permanentes diretas (valor característico): 
	peso próprio da estrutura; 
	peso dos elementos construtivos fixos das instalações permanentes; e 
	empuxos permanentes. 
Fq1k representa a ação variável direta considerada como principal (valor característico). 
2006 	3-22 	ufpr/tc405 
Fqjk 	representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal (valor 
característico): 
	cargas acidentais; 
	ação do vento; e 
	ação da água. 
1 	representa o fator de redução de combinação freqüente para a ação variável direta 
principal Tabela 3.6): 
	0,4 para cargas acidentais de edifícios residenciais; 
	0,6 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; 	0,7 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 
	0,3 para o vento. 
Exemplo 3.3: Definir as equações cálculo das ações para as combinações de serviço (Fd,ser) de 
estruturas de edifícios residenciais onde os carregamentos são resultantes de 
combinações que só levam em consideração as ações permanentes diretas (peso próprio da estrutura, paredes, caixa d'água, etc.) e ações variáveis diretas (cargas acidentais e vento). 
Solução: 	Deverá ser usada a Equação 3.14 para a combinação quase permanente, a 
Equação 3.15 para a combinação freqüente e a Equação 3.16 para a 
combinação rara. Os valores de1 e2 são os constantes da Tabela 3.6. 
Fgk: 	Gk (valor característico da ação permanente direta) 
Fqk,acid: Qk (valor característico da ação variável direta - carga acidental) 
Fqk,vento: Wk (valor característico da ação variável direta - vento) 
1: 
2: 
1: 
2: 
0,4 (carga acidental de edifício residencial - desfavorável) 
0,0 (carga acidental de edifício residencial - favorável) 
0,3 (carga acidental de edifício residencial - desfavorável) 
0,0 (carga acidental de edifício residencial - favorável) 
0,3 (vento - desfavorável) 
0,0 (vento - favorável) 
0,0 (vento - desfavorável) 
0,0 (vento - favorável) 
a. Combinação quase permanente 
Fd,ser Fgk
 2j Fqjk 
Fd,ser = Gk + 0,3 Qk + 0,0 Wk Fd,ser = Gk + 0,3 Qk ◄ 
b. 	Combinação freqüente 
Fd,ser Fgk1 Fq1k
 2j Fqjk 
Fd,ser = Gk + 0,4 Qk + 0,0 Wk Fd,ser = Gk + 0,4 Qk ◄ 
Fd,ser = Gk + 0,3 Wk + 0,3 Qk Fd,ser = Gk + 0,3 Wk + 0,3 Qk ◄ 
c. 	Combinação rara 
Fd,ser Fgk Fq1k
1j Fqjk 
Fd,ser = Gk + Qk + 0,3 Wk Fd,ser = Gk + Qk + 0,3 Wk ◄ Fd,ser = Gk + Wk + 0,4 Qk Fd,ser = Gk + Wk + 0,4 Qk ◄ 
Todas as equações que envolvem o vento (Wk) equivalem a quatro, ou seja o vento 
tem que ser considerado atuando nas duas direções principais da estrutura (da esquerda 
para direita, da direita para a esquerda, de baixo para cima e de cima para baixo). Isto vale dizer que haveria 5 combinações possíveis de ações (carregamentos) para a combinação freqüente e 8 combinações possíveis para a combinação rara. 
2006 	3-23 	ufpr/tc405 
3.7 Solicitações e tensões de cálculo 
As solicitações (esforços), decorrentes das ações atuantes em elementos estruturais, 
classificam-se em: 
	Solicitações normais, caracterizadas pelos momentos fletores (M) e forças normais 
de (N), e 
	Solicitações de cisalhamento, caracterizadas pelos momentos torçores (T) e forças 
cortantes (V). 
As tensões, também decorrentes das ações, classificam-se em: 
	Tensões normais (), relacionadas aos momentos fletores (M) e forças normais (N), e 
	Tensões de cisalhamento (), relacionadas aos momentos torçores (T) e forças 
cortantes (V). 
Como as ações a serem consideradas no projeto estrutural correspondem às ações de 
cálculo (ações combinadas), as solicitações e as tensões deverão, também, ser representadas pelos seus valores de cálculo. Desta, forma, para efeito de dimensionamento e verificação de 
elementos estruturais os valores das solicitações e tensões a serem considerados são: 
	Solicitações e tensões normais: 
MSd momento fletor solicitante de cálculo; 
NSd força normal solicitante de cálculo; e 
Sd tensão normal solicitante de cálculo. 
	Solicitações e tensões de cisalhamento: 
TSd momento torçor solicitante de cálculo; 
VSd força cortante solicitante de cálculo; e 
Sd tensão de cisalhamento solicitante de cálculo. 
Exemplo 3.4: Determinar, para a viga abaixo indicada, a envoltória do diagrama de momentos 
fletores solicitantes de cálculo (MSd), considerando ações diretas, estado limite 
último, combinações últimas normais, edificação tipo 2 e peso próprio 
desprezível. Admitir: 
a. 
b. 
estrutura qualquer, onde as combinações das ações que consideram o 
efeito favorável das cargas permanentes (g = 1,0) precisam ser 
consideradas; e 
estrutura usual de edifício onde as combinações das ações que 
consideram o efeito favorável das cargas permanentes (g = 1,0) não 
precisam ser consideradas (ver 3.6.1.1.1). 
Gk = 10 kN 
Qk = 5 kN 	(permanente) 
(variável) 
A	C
B	D
4m 	4m 	2m 
Solução: 
Deverão ser usados, para a Equação 3.7, os seguintes valores para as ações e 
coeficientes (Tabela 3.3 - edificação tipo 2): 
Fdg Fgkg Fgkq (Fq1k0j Fqjk )q0 Fqk 
Fgk = Gk = 10 kN (valor característico da ação permanente direta) 
Fq1k = Qk = 5 kN (valor característico da ação variável direta principal) 
g = 1,4 (combinação normal, ação permanente direta desfavorável) 
g = 1,0 (combinação normal, ação permanente direta favorável) 
q = 1,4 (combinação normal, ação variável direta desfavorável geral) 
q = 0,0 (combinação normal, ação variável direta favorável geral) 
Para o caso a, deverão ser consideradas as seguintes combinações: 
Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk (permanente desfavorável + ação variável favorável) 
Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk (permanente desfavorável + variável desfavorável geral) 
Fd = 1,0 Gk + 0,0 Qk (permanente favorável + ação variável favorável) 
2006 	3-24 	ufpr/tc405 
Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk (permanente favorável + variável desfavorável geral) 
Para o caso b, deverão ser consideradas as seguintes combinações: 
Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk (permanente desfavorável + ação variável favorável) 
Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk (permanente desfavorável + variável desfavorável geral) 
a. 	Consideração do efeito favorável da ação permanente 
a.1 Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk 
1,4 x 10 = 14 kN 
0,0 x 5 = 0 kN 
A
4m 
B
4m 
C
2m 
D
MSd,A = -00 kNm 
MSd,B = -14 kNm MSd,C = -28 kNm MSd,D = -00 kNm 
a.2 	Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk1,4 x 10 = 14 kN 
1,4 x 5 = 7 kN 
A	C	MSd,A = -00 kNm 
MSd,B = -00 kNm 
4m 
B
4m 
2m 
D
MSd,C = -28 kNm MSd,D = -00 kNm 
a.3 	Fd = 1,0 Gk + 0,0 Qk 
1,0 x 10 = 10 kN 
0,0 x 5 = 0 kN 
A	C	MSd,A = -00 kNm 
MSd,B = -10 kNm 
4m 
B
4m 
2m 
D
MSd,C = -20 kNm MSd,D = -00 kNm 
a.4 	Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk 
1,0 x 10 = 10 kN 
1,4 x 5 = 7 kN 
A	C	MSd,A = -00 kNm 
MSd,B = +04 kNm 
a.5 
4m 
envoltória MSd 
-14 kNm 
B
4m 
2m 
-28 kNm 
D
MSd,C = -20 kNm MSd,D = -00 kNm 
+4 kNm 
2006 	3-25 	ufpr/tc405 
b. 	Não consideração do efeito favorável da ação permanente 
b.1 Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk 
1,4 x 10 = 14 kN 
0,0 x 5 = 0 kN 
A
4m 
B
4m 
C
2m 
D
MSd,A = -00 kNm 
MSd,B = -14 kNm MSd,C = -28 kNm MSd,D = -00 kNm 
b.2 	Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk 
1,4 x 10 = 14 kN 
1,4 x 5 = 7 kN 
A	C	MSd,A = -00 kNm 
MSd,B = -00 kNm 
b.3 
4m 
envoltória MSd 
-14 kNm 
B
4m 
2m 
-28 kNm 
D
MSd,C = -28 kNm MSd,D = -00 kNm 
c. 
Observações 
Deve ser observado que a consideração ou não do efeito favorável da carga 
permanente define a existência ou não de momentos positivos atuando na viga. A 
envoltória MSd mostrada no item a.5 mostra um momento positivo máximo de 4 kNm, 
enquanto que a envoltória MSd mostrada no item b.3 não apresenta momentos positivos. 
Em princípio, deve-se acreditar que o efeito favorável da carga permanente deva ser 
sempre considerado nas combinações de ações, e que a envoltória apresentada no item a.5 é a única correta. 
Na realidade a opção mostrada em 3.6.1.1.1, onde a ABNT NBR 6118 estabelece: 
"No caso de estruturas usuais de edifícios essas combinações que consideram 
g reduzido (1,0) não precisam ser consideradas" 
não pode ser usada isoladamente. A ABNT NBR 6118 estabelece, também: 
"14.6.7 Estruturas usuais de edifícios - Aproximações permitidas 
14.6.7.1 Vigas contínuas 
Pode ser utilizado o modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares, para o estudo das cargas verticais, observando-se a necessidade das 
seguintes correções adicionais: 
a) não devem ser considerados momentos positivos menores que os que se 
obteriam se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos; 
b) ............." 
Portanto, ao diagrama (envoltória) apresentado no item b.3, deve-se acrescentar o 
diagrama de momentos fletores para o seguinte carregamento: 
2006 	3-26 	ufpr/tc405 
probabilidade 
densidade de 
A
4m 
B
1,4 x 5 = 7 kN 
4m 
C
MSd,A = -0,00 kNm MSd,B = +8,75 kNm MSd,C = -10,5 kNm 
Desta forma, embora o efeito favorável da ação permanente não tenha sido considerado nas combinações últimas, a envoltória MSd apresenta momentos positivos, 
como mostrado no diagrama seguinte. 
-28 kNm 
-14 kNm 
+8,75 kNm 
3.8 Resistências 
3.8.1 Valores característicos 
Os valores característicos fk das resistências são os que, num lote de material, têm uma 
determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavorável para a segurança. 
Usualmente é de interesse a resistência característica inferior fk,inf., cujo valor é menor que a 
resistência média fm, embora por vezes haja interesse na resistência característica superior fk,sup, cujo valor é maior que fm. 
Para os efeitos desta Norma, a resistência característica inferior é admitida como sendo o 
valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de material (Figura 3.2). 
distribuição 
5% 	normal 
fk,inf 
fm 
resistências 
Figura 3.2- Valor característico de resistência 
3.8.1.1 Resistência característica do concreto 
O concreto, quer preparado no canteiro quer pré-misturado, deverá apresentar uma 
resistência característica fck, compatível com a adotada no projeto. Conforme mostrado na 
Tabela [1.1], ao se definir a classe do concreto, fica estabelecido o valor da sua resistência 
característica (por exemplo, para o concreto classe C25, o valor de fck corresponde a 25 MPa). 
2006 	3-27 	ufpr/tc405 
A especificação pura e simples da classe não é suficiente para a caracterização do 
concreto. A ABNT NBR 6118 exige, também, que seja fixado um valor máximo para a relação água/cimento, conforme mostrado na Tabela [2.2]. 
Outras características do concreto, tais como diâmetro máximo da brita, "slump", etc. 
também podem ser requeridas. Em casos específicos, o consumo mínimo de cimento por metro cúbico de concreto pode vir a ser solicitado. 
Outro fator importante que deve ser estabelecido pelo profissional responsável pelo projeto 
é a data em que o concreto deverá ser solicitado estruturalmente. Etapas construtivas, tais como, retirada de cimbramento, manuseio de pré-moldados, etc., definem valores da resistência 
característica do tipo fck,14, fck,90, fck,180, onde o número posterior à vírgula corresponde à data em 
que o concreto deverá ser solicitado estruturalmente. A não indicação da data significa que o 
concreto foi dosado para atingir sua resistência característica aos 28 dias (fck = fck,28). 
3.8.1.2 Resistência característica do aço 
Conforme mostrado na Tabela [1.3], ao se definir a categoria do aço, fica estabelecido o 
valor da sua resistência característica (por exemplo, para o aço CA-25, o valor de fyk corresponde 
a 250 MPa). 
3.8.2 Valores de cálculo 
3.8.2.1 Resistência de cálculo 
A resistência de cálculo fd é dada pela expressão: 
onde: 
fd fk 
m 
f d fk 
m 
resistência de cálculo; 
resistência característica; e 
coeficiente de ponderação (minoração) da resistência. 
Equação 3.17 
O coeficientem é obtido pela multiplicação de três fatores, de tal forma que: 
mm1m2m3 	Equação 3.18 
onde: 
m1 
m2 
m3 
leva em conta a variabilidade da resistência efetiva, transformando a resistência 
característica num valor extremo de menor probabilidade de ocorrência; 
considera as diferenças entre a resistência efetiva do material da estrutura e a 
resistência medida convencionalmente em corpos-de-prova padronizados; e 
considera as incertezas existentes na determinação das solicitações resistentes, seja 
em decorrência de métodos construtivos seja em virtude do método de cálculo empregado. 
3.8.2.2 Resistência de cálculo do concreto 
Quando os valores de projeto são referidos à resistência do concreto aos 28 dias, a 
resistência de cálculo fica definida pela expressão: 
fcd fck 
c 
Equação 3.19 
O valor dec varia acordo com os estados limites e com as combinações de ações. Seus 
valores estão mostrados na Tabela 3.7. 
Estado Limite Ultimo 
Combinações 
Normais 
Especiais ou de construção 
Excepcionais 
c 
1,40 
1,20 1,20 
Estado Limite de Serviço 	1,00 
Tabela 3.7 - Valores dec 
2006 	3-28 	ufpr/tc405 
Para a execução de elementos estruturais nos quais estejam previstas condições 
desfavoráveis (por exemplo, más condições de transporte, ou adensamento manual, ou 
concretagem deficiente por concentração de armadura), o coeficientec deve ser multiplicado por 
1,1. 
Para elementos estruturais pré-moldados e pré-fabricados deve ser consultada a 
ABNT NBR 9062. 
Admite-se, no caso de testemunhos extraídos da estrutura, dividir o valor dec por 1,1 
No caso em que o concreto venha a ser solicitado antes dos 28 dias, a resistência de 
cálculo fica definida pela expressão: 
fcd ckj≅1 fck f
Equação 3.20 
c
c
Na Equação 3.20, fckj representa a resistência característica do concreto aos j dias. Os 
valores de1 dependem do tipo de cimento e podem ser estabelecidos pelas expressões: 



0,381 28
fckj 

t
1
fck 

e

para concreto de cimento CPIII e CPIV 



0,251 28
fckj 


t
1
fck 

e

para concreto de cimento CPI e CPII 
Equação 3.21 



0,201 28
fckj 


t
1
fck 

e

para concreto decimento CPV - ARI 
Na Equação 3.21, t corresponde a idade efetiva do concreto, em dias. Alguns valores de1 
estão mostrados na Tabela 3.8. 
1 
Dias 
37
14 21 28 
CPIII e CPIV 
0,46 0,68 0,85 0,94 1,00 
CPI e CPII 
0,60 0,78 0,90 0,96 1,00 
CPV - ARI 
0,66 0,82 0,92 0,97 1,00 
Tabela 3.8 - Valores de1 
Exemplo 3.5: Definir o valor de fcd para o concreto classe C25. Considerar combinação de 
ações normais para estado limite último, cimento CPIV e concreto solicitado aos 
10 e 28 dias. Considerar, também, estado limite de serviço. 
Solução: 
A fixação da classe do concreto automaticamente define o valor da resistência 
característica fck, conforme mostrado na Tabela [1.1]. A obtenção do valor da resistência de cálculo fcd aos 28 dias é feita pela Equação 3.19, com valores dec 
obtidos da Tabela 3.7. Para a determinação do valor da resistência de cálculo fcd 
aos 10 dias deverão ser usadas a Equação 3.20 e a Equação 3.21. 
a. Valor de fcd aos 28 dias para o concreto classe C25 - ELU 
fck 25 MPa 2,5 kN/cm2 
 c 1,4 
b. 
2006 
fcd fck 2,5 1,79 kN/cm2 ◄ 
 c 1,4 
Valor de fcd aos 28 dias para o concreto classe C25 - ELS 
fck 25 MPa 2,5 kN/cm2 
3-29 
ufpr/tc405 
 c 1,0 
c. 
fcd fck 2,5 2,50 kN/cm2 ◄ 
 c 1,0 
Valor de fcd aos 10 dias para o concreto classe C25, cimento CPIV - ELU 
fck 25 MPa 2,5 kN/cm2 
 c 1,4 
t 10 dias 
cimento = CPIV 






0,381 28
0,381 28
1

e
t


e
10
 0,774 
fcd,101 fck 0,774 2,5 1,38 kN/cm2 ◄ 
c 	1,4 
d. 
Valor de fcd aos 10 dias para o concreto classe C25, cimento CPIV - ELS 
fck 25 MPa 2,5 kN/cm2 
 c 1,0 
t 10 dias 
cimento = CPIV 






0,381 28
0,381 28
1
e



t

e



10
 0,774 
fcd,101 fck 0,774 2,5 1,94 kN/cm2 ◄ 
c 	1,0 
3.8.2.3 Resistência de cálculo do aço 
O valor da resistência de cálculo fyd é definido pela expressão: 
f
fyd yk 
s 
Equação 3.22 
O valor des varia acordo com os estados limites e com as combinações de ações. Seus 
valores estão mostrados na Tabela 3.9. 
Estado Limite Ultimo 
Combinações 
Normais 
Especiais ou de construção 
Excepcionais 
s 
1,15 
1,15 1,00 
Estado Limite de Serviço 	1,00 
Tabela 3.9 - Valores des 
Exemplo 3.6: Definir o valor de fyd para o aço CA-50. Considerar ações normais para o estado 
limite último, e estado limite de serviço. 
Solução: 	A fixação da categoria do aço automaticamente define o valor da resistência 
característica fyk, conforme mostrado na Tabela [1.3]. A obtenção do valor da resistência de cálculo fyd é feita pela Equação 3.22, com valores des obtidos da 
Tabela 3.9. 
a. Valor de fyk para o aço CA-50 - ELU 
fyk 500 MPa 50 kN/cm2 
 s 1,15 
fyd yk 50 43,5 kN/cm 2 ◄ f
 s 1,15 
2006 	3-30 	ufpr/tc405 
b. 	Valor de fyk para o aço CA-50 - ELS 
fyk 500 MPa 50 kN/cm2 
 s 1,0 
fyd yk 50 50,0 kN/cm2 ◄ f
 s 1,0 
3.9 Esforços resistentes de cálculo 
Os esforços resistentes de cálculo decorrem da distribuição de tensões (resistentes) 
atuantes numa dada seção do elemento estrutural. Desta forma, assim como para as solicitações e tensões de cálculo, os esforços e as tensões resistências de cálculo a serem consideradas são: 
	Esforços e tensões normais: 
MRd momento fletor resistente de cálculo; 
NRd força normal resistente de cálculo; e 
Rd tensão normal resistente de cálculo. 
	Esforços e tensões de cisalhamento: 
TRd momento torçor resistente de cálculo; 
VRd força cortante resistente de cálculo; e 
Rd tensão de cisalhamento resistente de cálculo. 
3.10 Verificação da segurança 
Na verificação da segurança das estruturas de concreto devem ser atendidas: 
	as condições construtivas; e 
	as condições analíticas de segurança. 
3.10.1 Condições construtivas de segurança 
Para as condições construtivas de segurança devem ser atendidas as exigências 
estabelecidas: 
	nos critérios de detalhamento constantes das seções 18 e 20 da ABNT NBR 6118; 
	nas normas de controle dos materiais, especialmente a ABNT NBR 12655; e 
	no controle de execução da obra, conforme ABNT NBR 14931 e Normas Brasileiras 
específicas. 
3.10.2 Condições analíticas de segurança 
As condições analíticas de segurança devem ser verificadas para o: 
	estado limite último; e 
	estado limite de utilização. 
3.10.2.1 Estado limite último 
As condições analíticas de segurança estabelecem que as resistências não devem ser 
menores que as solicitações e devem ser verificadas em relação a todos os estados limites e todos os carregamentos especificados para o tipo de construção considerada, ou seja, em 
qualquer caso deve ser respeitada a condição: 
Rd Sd 	Equação 3.23 
onde: 
Rd 	representa os esforços resistentes de cálculo; e 
Sd 	representa as solicitações de cálculo. 
Os valores de cálculo dos esforços resistentes são determinados a partir dos valores de 
cálculo das resistências dos materiais adotados no projeto, ou das tensões resistentes de cálculo, como definido em 3.8.2.1. 
As solicitações de cálculo são calculadas, para a combinação de ações considerada, de 
acordo com a análise estrutural. 
2006 	3-31 	ufpr/tc405 
Para a verificação do estado limite último de perda de equilíbrio como corpo rígido, Rd e Sd 
devem assumir os valores de cálculo das ações estabilizantes e desestabilizantes 
respectivamente. 
Uma condição analítica de segurança pode ser representada no trecho∆l de uma viga de 
concreto armado, mostrada na Figura 3.3. 
c 
c 
Rcd 
h
As 
bw 
d
MRd 
Rsd 
z
∆l 
x
s 
MSd 
esforços resistentes 	solicitações de 
de cálculo 	cálculo 
("interno") 	("externa") 
Figura 3.3 - Solicitações e resistências em viga de concreto armado 
Na Figura 3.3, as dimensões, áreas, deformações, tensões, esforços e solicitações 
correspondem a: 
MSd solicitação de cálculo obtida da envoltória MSd (ações características - permanentes, 
variáveis, dinâmicas ou excepcionais - ponderadas pelos coeficientesf e combinadas 
entres si definem a envoltória MSd, como mostrado no Exemplo 3.4); 
MRd esforço resistente de cálculo, binário dado pelo produto Rcd z ou Rsd z; 
c 
s 
c 
x
zd
bw 
h
As 
encurtamento (deformação) do concreto provocado pelo momento fletor solicitante de 
cálculo MSd; 
alongamento (deformação) da armadura provocado pelo momento fletor solicitante de 
cálculo MSd; 
tensão de compressão atuante na região de concreto comprimido decorrente do 
encurtamento (deformação)c; 
posição da linha neutra (distância compreendida entre a fibra de concreto mais 
comprimida e a linha neutra); 
braço de alavanca (distância entre os esforços resistentes de cálculo Rcd e Rsd); 
altura útil da viga (distância compreendida entre a fibra de concreto mais comprimida e 
o centro de gravidade da seção geométrica da armadura tracionada); 
largura da viga; 
altura da viga; 
área da seção transversal da armadura tracionada: 
Rcd esforço resistente de cálculo, atuante na região de concreto comprimido, igual acdA; Rsd esforço resistente de cálculo, atuante na armadura tracionada, igual as As (s obtido 
do diagrama tensão-deformação do aço, atravéss). 
Na Figura 3.3, confrontando os valores