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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 2 - Turma L
2a Lista de Exerc´ıcios – 2o/2012
Prof. Jose´ Antoˆnio O. Freitas
Nos exerc´ıcios de 1 a` 37 encontre a soluc¸a˜o das seguintes EDO’s.
1. y′ − y = 2te2t
2. y′ − 4
x
y = − 2
x3
3. y′ − 4
x
y = x5ex
4. y′ + 2y = te−2t, y(0) = 1
5. t3y′ + 4t2y = e−t, y(−1) = 0, t > 0
6. ty′ + (t+ 1)y = t, y(ln 2) = 1, t > 0
7. y′ − 1
2
y = 2 cos t, y(0) = a
8. ty′ + (t+ 1)y = 2te−t, y(1) = a, t > 0.
9. (1 + t2)y′ + 4ty = (1 + t2)−2
10. (x2 − 9)y′ + xy = 0, y(5) = y0
11. y′ +
2
t
y =
cos t
t2
, y(pi) = 0, t > 0
12. y′ − y cos t = tet2+sen t, y(0) = 2;
13. (1 + x2)y′ − xy = 0;
14. (ayx2 + by)y′ − x = 0, para a, b ∈ R,
a 6= 0
15. (ay2 + b)1/2 − xyy′ = 0, para a, b ∈ R,
a 6= 0
16. ay2 + b− x2yy′ = 0, para a, b ∈ R, a 6= 0
17. y′ + y2senx = 0
18. y′ =
x2
y(1 + x3)
, para x 6= −1
19. y′ =
3x2 + 1
3 + 2y
20. y′ = (cos2 x)(cos2 2y)
21. y′ = (1− 2x)y2, y(0) = −1
6
22. xdx+ ye−xdy = 0, y(0) = 1
23. sen (2x)dx+ cos(3y)dy = 0, y
(pi
2
)
=
pi
3
24.
dy
dx
=
x2 + xy + y2
x2
25.
dy
dx
=
4y − 3x
2x− y
26.
dy
dx
= −4x+ 3y
2x+ y
27.
dy
dx
=
x+ 3y
x− y ;
28.
dy
dx
=
x2 − 3y2
2xy
29.
dy
dx
=
3y2 − x2
2xy
30. (x2 + 3xy + y2)dx− x2dy = 0
31. y′ = ry − ky2, r > 0 e k > 0
32. y′ = ay − by3, a > 0 e b > 0
33. y′ = (a cos t + b)y − y3, onde a e b sa˜o
constantes
34. y′ +
4
x
y = −x5exy2
35. t2y′ + 2ty = y3, t > 0
36. y′ +
2
x
y =
y3
x3
37. y′ + y = xy3
38. Num processo qu´ımico, uma substaˆncia se transforma em outra, a uma taxa proporcional
a` quantidade de substaˆncia na˜o transformada. Se esta quantidade e´ 48 ao fim de 1 hora, e
27, ao fim de 3 horas, qual a quantidade inicial da substaˆncia.
39. Um tanque conte´m 100 litros de uma soluc¸a˜o a uma concentrac¸a˜o de 1 grama por litro.
Uma soluc¸a˜o com uma concentrac¸a˜o de 2te−
1
100
t gramas por litro entra no tanque a uma taxa
constante de 1 litro por minuto, enquanto que a soluc¸a˜o bem misturada sai a` mesma taxa.
a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t e´ contado a partir
do in´ıcio do processo.
b) Calcule a concentrac¸a˜o de sal no tanque t = 10 minutos apo´s o in´ıcio do processo.
40. Dentro da Terra a forc¸a da gravidade e´ proporcional a` distaˆncia ao centro. Um buraco
e´ cavado de polo a polo e uma pedra e´ largada na borda do buraco.
a) Determine a velocidade da pedra em func¸a˜o da distaˆncia.
b) Com que velocidade a pedra atinge o centro da Terra? Com que velocidade atinge o
outro polo?
(Sugesta˜o: dv
dt
= dv
dx
dx
dt
e v = dx
dt
).
41. Uma pessoa rece´m-graduada obteve um empre´stimo de R$100.000,00 a uma taxa de
9% ao ano para comprar um apartamento. Antecipando aumentos regulares de sala´rio, o
comprador espera efetuar pagamentos a uma taxa mensal de 800(1 + t/120), onde t e´ o
nu´mero de meses desde que o empre´stimo foi feito.
a) Supondo que essa programac¸a˜o de pagamentos possa ser mantida, quando o empre´stimo
estara´ liquidado?
b) Supondo o mesmo programa de pagamento, qual o empre´stimo ma´ximo que pode ser
liquidado em exatamente 20 anos?
42. Uma populac¸a˜ao de bacte´rias cresce a uma taxa proporcional a populac¸a˜o presente.
Sabendo-se que apo´s uma hora a populac¸a˜o e´ 2 vezes a populac¸a˜o inicial, determine:
a) A populac¸a˜o como func¸a˜o do tempo.
b) O tempo necessa´rio para que a populac¸a˜o triplique.
43. Considere um lago de volume constante V contendo, no instante t, uma quantidade Q(t)
de poluentes, distribuidos uniformemente no lago, com um concentrac¸a˜o c(t), onde c(t) =
Q(t)/V . Suponha que entra a´gua contendo uma concentrac¸a˜o k de poluentes a uma taxa r e
que a a´gua deixa o lago a` mesma taxa. Suponha que os poluentes sa˜o, tambe´m, adcionados
diretamente ao lago a uma taxa constante P . Note que as hipo´teses feitas negligenciam
uma se´rie de fatores que podem ser importantes em alguns casos – por exemplo, a a´gua
adicionanda ou perdida por precipitac¸a˜o, absorc¸a˜o ou evaporac¸a˜o; o efeito estratificador de
diferenc¸as de temperatura em um lago profundo; a tendeˆncia de irregularidades na costa
produzirem ba´ıas protegidas; e o fato de que os poluentes na˜o sa˜o depositados uniformemente
no lago, mas (em geral) em pontos isolados de sua periferia. Os resultados a seguir teˆm que
ser interpretados levando-se em considerac¸a˜o que fatores desse tipo foram desprezados.
a) Se, no instante t = 0, a concentrac¸a˜o de poluentes e´ c0, encontre uma fo´rmula para a
concentrac¸a˜o c(t) em qualquer instante. Qual a concentrac¸a˜o limite quando t→∞?
b) Se termina a adic¸a˜o de poluentes ao lago (k = 0 e P = 0 para t > 0), determine o
intervalo de tempo T necessa´rio para que a concentrac¸a˜o de poluentes seja reduzida a
50% de seu valor original; e a 10% de seu valor original.
c) A Tabela abaixo conte´m os dados para diversos lagos na regia˜o dos grandes lagos ameri-
canos. Usando esses dados, determine, do item (b), o tempo T necessa´rio para reduzir
a contaminac¸a˜o de cada um desses lagos a 10% de seu valor original.
Dados sobre Volume e Fluxo nos Grandes Lagos Americanos
Lago V (km3 × 103) r(km3/ano)
Superior 12,2 65,2
Michigan 4,9 158
Erie 0,46 175
Onta´rio 1,6 209
44. Suponha que em uma comunidade de 100 pessoas inicialmente apenas uma pessoa seja
portador de um v´ırus e que a taxa com que o v´ırus se espalha na comunidade seja proporcional
tanto ao nu´mero de pessoas infectadas como tambe´m ao nu´mero de pessoas na˜o infectadas.
Se for observado que apo´s 4 semanas 5 pessoas esta˜o infectadas. Determine o nu´mero de
pessoas infectadas em func¸a˜o do tempo.
Nos exerc´ıcio de 45 a` 48 encontre o wronskiano do par de func¸o˜es dadas.
45. f(t) = e2t, g(t) = e−3t/2
46. f(t) = etsen t, g(t) = et cos t
47. f(t) = cos t, g(t) = sen t
48. f(θ) = cos2 θ, g(θ) = 1 + cos(2θ)
Nos exerc´ıcio de 49 a` 52 verifique se as func¸o˜es y1 e y2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial
dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluc¸o˜es?
49. y′′ + 4y = 0, y1(t) = cos 2t, y2(t) = sen 2t
50. y′′ − 2y′ + y = 0, y1(t) = et, y2(t) = tet
51. x2y′′ − x(x+ 2)y′ + (x+ 2)y = 0, x > 0, y1(x) = x, y2(x) = xex
52. (1− xcotg x)y′′ − xy′ + y = 0, 0 < x < pi
2
, y1(x) = x, y2(x) = senx
Nos exerc´ıcio de 53 a` 75 encontre a soluc¸a˜o geral das seguintes equac¸o˜es.
53. y′′−2y′+5y = 0, y(pi/2) = 0, y′(pi/2) = 2
54. 2y′′ − 3y′ + y = 0
55. y′′ + 5y′ = 0
56. 9y′′ + 6y′ + y = 0
57. y′′ − 2y′ + 10y = 0
58. 25y′′ − 20y′ + 4y = 0
59. y′′ + 4y′ + 3y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1
60. y′′ + 2y′ − 3y = 0
61. y′′ + 4y′ + 6, 25y = 0
62. y′′ + 2y′ − 8y = 0
63. y′′ + 8y′ − 9y = 0, y(1) = 1, y′(1) = 0
64. y′′ + 4y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0
65. y′′+ 4y′+ 4y = 0, y(−1) = 2, y′(−1) = 1
66. 4y′′ + 9y = 0
67. y′′ − 3y = 0
68. y′′ − piy = 0
69. 4y′′ − y′ + 3y = 0
70. y′′ + 2y′ + 4y = 0
71. y′′ + y − 30y = 0
72. y′′ + 10y′ + 24y = 0
73. y′′ − 2√2y′ + 2y = 0
74. y′′ − 14y′ + 49y = 0
75. y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2
Nos exerc´ıcios de 76 a` 105 encontre a soluc¸a˜o geral das seguintes equac¸o˜es.
76. y′′ + 5y′ + 6y = xe−5x
77. y′′ − 4y′ + 6y = 3x
78. y′′ + y = cossec t
79. y′′ − y = (1 + e−t)−2
80. y′′ + 4y = 2sen (2t) + t
81. y′′ + 2y = et + 2
82. y′′+ y′− 2y = t2 + 3, y(0) = 0, y′(0) = 0
83. y′′ + 2y′ + y = 3sen (2t), y(0) = 0,
y′(0) = 0
84. y′′ − 4y′ + 4y = 3e−t, y(0) = 0, y′(0) = 0
85. 2y′′ + 2y′ + y = t2, y(0) = 0, y′(0) = 0
86. y′′ − 2y′ − 3y = −3te−t
87. y′′ + 9y = t2e3t + 6;
88. 2y′′ + 3y′ + y = t2 + 3sen t;
89. y′′ + y = 3sen (2t) + t cos(2t)
90. y′′+y′+4y = 2senh t,
(
senh t =
et − e−t
2
)
91. y′′ + 3y′ = 2t4 + t2e−3t + sen (3t)
92. y′′−5y′+6y = et cos(2t)+e2t(3t+4)sen t93. y′′ + 9y = 9 sec2(3t), para 0 < t < pi/6
94. y′′ + 4y′ + 4y = t−2e−2t, t > 0
95. y′′ + 4y = 3cossec (2t), 0 < t < pi/2
96. 4y′′ + y = 2 sec(t/2), −pi < t < pi
97. y′′ + (y′)2 = 0
98. ty′′ = y′
99. (1 + x2)y′′ + 2xy′ = 2x−3
100. y′′ + y(y′)3 = 0
101. y2y′′ − y′ = 0
102. y′′ = (y′)3 + y′
103. x2y′′ + 4xy′ + 2y = 0, x > 0
104. x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0, x > 0
105. x2y′′ + 3xy′ + 5y = 0, x > 0
RESPOSTAS
1 y(t) = 2(t− 1)e2t + cet
2 y(x) =
1
3x2
+ cx4
3 y(x) = x5ex − x4ex + cx4
4 y(t) =
(t2 + 2)e−2t
2
5 y(t) =
−(1 + t)e−t
t4
, t 6= 0
6 y(t) =
t− 1 + 2e−t
t
, t 6= 0
7 y(t) =
8
5
sen t− 4
5
cos t+
(
a+
4
5
)
et/2
8 y(t) = te−t +
(ea− 1)e−t
t
9 y(x) =
arctan t+ k
(1 + t2)2
10 y(x) =
4y0√|x2 − 9|
11 y(t) =
sen t
t2
12 y(x) =
1
2
et
2+sen t +
3
2
esen t
13 y(x) = c
√
1 + x2
14 y2 =
1
a
ln |ax2 + b|+ c
15
1
a
√
ay2 + b = ln |x|+ c
16
1
2a
ln |ay2 + b| = −x−1 + c
17 y−1 + cosx = c, y 6= 0. Tambe´m y = 0.
18 3y2 − 2 ln |1 + x3| = c, x 6= −1, y 6= 0
19 3y + y2 − x3 − x = c, y 6= −3
2
20 2tg (2y)− 2x− sen (2x) = c, se cos(2y) 6=
0, y 6= ±(2n+ 1)pi
n
, n ∈ Z
21 y(x) =
1
x2 − x− 6
22 y = [2(1− x)ex − 1]1/2
23
1
3
sen (3y) =
1
2
cos(2x) +
1
2
24 arctan
(y
x
)
− ln |x| = c
25
1
4
ln
∣∣∣y
x
− 1
∣∣∣ − 5
4
ln
∣∣∣y
x
+ 3
∣∣∣ = ln |x| + c;
y = −3x tambe´m e´ soluc¸a˜o.
26
1
3
ln
∣∣∣y
x
+ 1
∣∣∣+ 2
3
∣∣∣y
x
+ 4
∣∣∣+ ln |x| = c.
27 − 2x
x+ y
+ ln
∣∣∣y
x
+ 1
∣∣∣ = ln |x| + c; y = −x
tambe´m e´ soluc¸a˜o.
28 |x|3|x2 − 5y2| = c
29 c|x|3 = |y2 − x2|
30
x
x+ y
+ ln |x| = c; y = −x tambe´m e´
soluc¸a˜o.
31 y(t) =
r
k + cre−rt
32 y(t) = ±
(
a
b+ cae−2at
)1/2
33 y(t) = ±
(
µ(t)
2
∫ t
t0
µ(s)ds+ c
)1/2
, onde
µ(t) = e2asen t+2bt.
34 y(x) =
1
x5ex − x4ex + cx4
35 y(t) = ±
(
5t4
2t5 + c
)1/2
36 y−2 =
1
3x2
+ cx4.
37 y−2 = x+
1
2
+ ke2x
38 64
39 a) Q(t) = t2e
−
t
100 + 100e
−
t
100
b) c(10) = 2e
−
1
10
40 a) v(x) =
√
k(R2 − x2
m
b) v(0) =
√
kR2
m
; v(−R) = 0
41 a) t ≈ 135, 36 meses
b) R$ 152.698,56
42 a) y(t) = y0e
ln 2t = y0e
t
b) t =
ln 3
ln 2
≈ 1, 585 horas ≈
1h e 35 minutos
43 a) c = k +
P
r
+ [c0 − k − P
r
]e−rt/V
b) T =
V ln 2
r
, T =
V ln 10
r
c) Superior T = 431 anos; Michigan T =
71, 4 anos; Erie T = 6, 05 anos; Onta´rio
T = 17, 6 anos.
44 y(t) =
100
99
(
19
99
)1/4
+ 1
45 −7
2
et/2
46 −e2t
47 1
48 0
49 Sim.
50 Sim.
51 Sim.
52 Sim.
53 y(t) = −e(t−pi2 )sen 2t
54 y(t) = c1e
t/2 + c2e
t
55 y(t) = c1 + c2e
−5t
56 y(t) = c1e
−t/3 + c2te−t/3
57 y(t) = c1e
t cos 3t+ c2e
tsen 3t
58 y(t) = c1e
2t/5 + c2te
2t/5
59 y(t) =
5
2
e−t − 1
2
e−3t
60 y(t) = c1e
t + c2e
−3t
61 y(t) = c1e
−2t cos
(
3t
2
)
+ c2e
−2tsen
(
3t
2
)
62 y(t) = c1e
2t + c2e
−4t
63 y(t) =
1
10
e−9(t−1) +
9
10
e(t−1)
64 y(t) = e−2t cos t+ 2e−2tsen t
65 y(t) = 7e−2(t+1) + 5te−2(t+1)
66 y(t) = c1 cos
(
3t
2
)
+ c2sen
(
3t
2
)
67 y(t) = c1e
t
√
3 + c2e
−t√3
68 y(t) = c1e
pit + c2te
pit
69 y(t) = c1e
t/2 cos
(
t
√
3
2
)
+c2e
t/2sen
(
t
√
3
2
)
70 y(t) = c1e
−t cos 2t+ c2e−tsen 2t
71 y(t) = c1e
5t + c2e
−6t
72 y(t) = c1e
−4t + c2e−6t
73 y(t) = c1e
t
√
2 + c2te
t
√
2
74 y(t) = c1e
7t + c2te
7t
75 y(t) = 2te3t
76 y(x) =
(
5
36
+
x
6
)
e−5x + c1e−3x + c2e−2x
77 y(x) =
1
3
+
x
2
+ c1e
2x cos(x
√
2) +
c2e
2xsen (x
√
2)
78 y(t) = (ln |sen t|)sen t− t cos t+ c1 cos t+
c2sen t
79 y(t) =
et
2(1 + e−t)
+
e−t
2(1 + et)
+ e−t ln(1 +
et)− 1 + e
t
2
+ c1e
t + c2e
−t
80 y(t) = c1 cos(2t)+c2sen (2t)− t cos(2t)
2
+
t
4
81 y(t) = c1 cos(t
√
2) + c2sen (t
√
2) +
et
3
+ 1
82 y(t) =
7e−2t
12
+
5et
3
− 9
4
− t
2
− t
2
2
83 y(t) =
12
25
e−t +
6
5
te−t − 12 cos(2t)
25
−
9sen (2t)
25
84 y(t) = −1
3
e2t + te2t +
e−t
3
85 y(t) = −4e−t/2 cos(t/2)+4e−t/2sen (t/2)+
(t− 2)2
86 y(t) = c1e
3t + c2e
−t +
3te−t
16
+
3t2e−t
8
87 y(t) = c1 cos(3t) + c2sen (3t) +
(9t2 − 6t+ 1)e3t
162
+
1
3
88 y(t) = c1e
−t + c2e−t/2 + t2 − 6t + 14 −
3sen t
10
− 9 cos t
10
89 y(t) = c1 cos t + c2sen t − t cos(2t)
3
−
5sen (2t)
9
90 y(t) = c1e
−t/2 cos
(
t
√
15
2
)
+
c2e
−t/2sen
(
t
√
15
2
)
+
et
6
− e
−t
4
91 y(t) = c1 cos(t
√
3) + c2sen (t
√
3) +(
2t5
15
− 2t
4
9
+
8t3
27
− 8t
2
27
+
16t
81
)
−
(
t3
9
+
t2
9
+
2t
27
)
e−3t−
sen (3t)
18
− cos(3t)
18
92 y(t) = c1e
2t+c2e
3t−
(
cos(2t) + 3sen (2t)
20
)
et−(
3t
2
+ 5
)
e2tsen t+
(
3t
2
+
1
2
)
e2t cos t
93 y(t) = c1 cos(3t) + c2sen (3t) + ln[tg (3t) +
sec(3t)]sen (3t)− 1
94 y(t) = c1e
−2t + c2te−2t − e−2t ln t
95 y(t) = c1 cos(2t) + c2sen (2t) +
3sen (2t) ln(sen (2t))
4
− 3t cos(2t)
2
96 y(t) = c1 cos(t/2) + c2sen (t/2) +
tsen (t/2) + 2[ln cos(t/2)] cos(t/2)
97 y(t) = ln |t+ c1|+ c2
98 y(t) = c1
t2
2
+ c2
99 y(x) =
1
x
+ arctanx+ c2
100
y3
3
+ c1y = 2t+ c2
101 y +
ln |c1y − 1|
c1
= c1t+ c2.
102 sen (y + c1) = c2e
t
103 y(x) = c1x
−2 + c2x−1
104 y(x) = c1x
2 + c2x
2 lnx
105 y(x) = c1x
−1 cos(2 lnx)+c2x−1sen (2 lnx)