aula 6

Prévia do material em texto

Olá, seja bem-vindo a sexta aula de Física Mecânica. Hoje, vamos conhecer a rotação de corpos rígidos e 
a dinâmica do movimento de rotação. 
Desde a invenção da roda, ou talvez muito antes disso, o movimento de corpos girando fascina o ser 
humano. A observação dos planetas, que em movimento de rotação, giram em torno de seu próprio eixo, 
mas ao mesmo tempo transladam em trajetória circular ao redor do sol, assim como o movimento de 
galáxias; o movimento de elétrons ao redor do núcleo dos átomos; a rotação da roda (do carro, da 
 
 
bicicleta, etc.); e até mesmo a rotação de rodas gigantes, ilustram perfeitamente o estudo em questão 
que iremos realizar. Vamos conhecer exemplos de rodas gigantes construídas ao redor do mundo? 
London Eye 
situada em Londres com 135 metros de 
altura 
Singapore 
Flyer construída em Singapura (China) com 165 
metros Estrela de 
Nanchang localizada na cidade Nanchang 
(China) com 160 metros 
Todos os exemplos citados acima não podem ser tratados plenamente como o movimento de um ponto 
ou de uma partícula como até agora fizemos. Todos eles envolvem um objeto, corpo que gira em torno 
de um eixo estacionário, em determinado referencial inercial. Precisamos considerar os corpos com 
tamanho e forma definidos e imutáveis, que não sofrem deformação e que além do movimento de 
rotação também podem ter combinado um movimento de translação. Esse modelo idealizado de corpo é 
chamado de corpo rígido. 
Posição angular 
O movimento de rotação do corpo rígido ocorre em torno de um eixo fixo, entenda por eixo fixo, um eixo 
que permanece em repouso em relação à algum referencial inercial e que não muda de direção em 
relação à esse eixo. Por exemplo, o eixo de um motor, o eixo da roda gigante, o eixo onde estão presas 
 
 
as pás do liquidificador, etc. Analisando esse tipo de movimento, iremos determinar algumas grandezas 
para descrevê-lo. 
A figura abaixo apresenta um corpo rígido (uma pedra), girando em torno de um eixo fixo que passa 
pelo ponto O perpendicular ao plano xy. Considerando a reta que liga o ponto O ao ponto P que 
encontra-se sobre o corpo rígido, note que a linha OP fica fixa no corpo e gira com ele, podemos 
localizar a posição do corpo no plano xy pelo ângulo que essa linha OP forma em relação ao eixo 
positivo +Ox. 
 
 
Figura 1 – Uma pedra girando em sentido anti-horário em torno de um eixo fixo. 
O ângulo  é a coordenada angular, ou posição angular. Este ângulo posiciona o corpo no plano de 
rotação e pode ser positivo ou negativo. Quando a rotação ocorrer no sentido anti-horário o ângulo  
será positivo e quando a rotação for em sentido horário o ângulo é negativo. 
 
 
O ângulo  deve ser medido em radianos, lembrando que 1 rad é o ângulo em que o arco de 
circunferência possui o mesmo comprimento do raio da circunferência, sendo dado pela razão entre o 
arco de circunferência e o raio dessa circunferência. 
 ou 
Um radiano é o ângulo em que o arco s possui o mesmo comprimento do raio r. 
 
Figura 2 
Velocidade angular 
Como vimos a coordenada angular  especifica a posição de rotação de um corpo rígido em dado 
instante. Suponha que na figura abaixo a posição do ponto P marcado na pedra, no instante de tempo 
 
 
t1, seja dada pela posição angular  e no instante de tempo t2, a posição seja dada por 2. Veja figura 
abaixo: 
 
Figura 3 – Deslocamento angular  da pedra em rotação (corpo rígido) 
O deslocamento angular  realizado pela pedra no intervalo de tempo t = t2 – t1, é dado por: 
 
 
Definimos velocidade angular média m do corpo em um intervalo de tempo t = t2 – t1 como a razão entre 
o deslocamento angular  e o intervalo de tempo t: 
 
 
A velocidade angular instantânea  é o limite de m quando t tende a zero, ou seja, a derivada de  em 
relação ao tempo: 
 
 
 
A velocidade angular instantânea  é o limite de m quando t tende a zero, ou seja, a derivada de  em 
relação ao tempo: 
 
A velocidade angular pode ser positiva ou negativa, dependendo da direção em que o corpo rígido está 
girando. Se a rotação for em sentido anti-horário, o sinal da velocidade angular será positivo e quando 
for no sentido horário, a velocidade angular será negativa. Já a velocidade escalar angular, é o 
módulo da velocidade angular, destituída de sinal. 
Como todos os pontos de um corpo rígido giram o mesmo ângulo em relação a determinado referencial 
no mesmo instante, a velocidade angular é a mesma para todos os pontos desse corpo rígido. 
Se o ângulo  for medido em radianos, a unidade de velocidade angular é o radiano por segundo 
(rad/s). Usualmente costuma-se utilizar como unidade revoluções por minuto (rev/min ou rpm). A 
relação de conversão entre elas é: 
 
e 
 
 
 
Aceleração angular 
Quando a velocidade angular de um corpo rígido varia em um intervalo de tempo, o movimento de 
rotação possui aceleração angular. 
Se o instante de tempo t1 a velocidade angular do movimento é 1 e no instante t2 passa a ser 2, o 
movimento tem aceleração angular. A aceleração angular média m é dada pela razão da variação 
da velocidade angular pelo intervalo de tempo. 
 
 
A aceleração angular instantânea  é o limite da m quando t tende a zero: 
 
A unidade de aceleração angular é o radiano por segundo ao quadrado, rad/s2. 
Assim como fizemos para descrever se o movimento linear era acelerado ou retardado, para o 
movimento de rotação valem as mesmas regras. 
 
 
O movimento de rotação será acelerado quando os sinais da aceleração angular e da velocidade angular 
forem iguais e será retardado quando os sinais da aceleração angular e da velocidade angular forem 
diferentes. 
Rotação com aceleração angular constante 
Assim como no movimento retilíneo com aceleração constante, visto nas aulas anteriores, o movimento 
de rotação com aceleração angular constante também é bastante simples. As equações envolvidas em 
ambos os movimentos são muito parecidas, basta apenas trocar x por , V por  e a por  Assim temos: 
 
 
 
 
 
A equação de posição angular em função do 
tempo: 
 
 
A equação de velocidade angular em função do 
tempo: 
E a equação que não depende do tempo, relacionando as velocidades angulares inicial e final, a 
aceleração angular e o deslocamento: 
 
 
 
Essas equações são válidas somente quando a aceleração angular  for constante, por isso tome 
cuidado para não aplicá-las em problemas com aceleração angular variável. 
 
Relações entre a cinemática linear e a cinemática angular 
Muitas vezes, é necessário expressar a velocidade linear de determinado ponto localizado em um corpo 
rígido em rotação. Para isso, iremos relacionar a velocidade angular com a velocidade linear. 
Quando um corpo rígido realiza uma rotação em torno de um eixo fixo, cada ponto localizado neste 
corpo rígido gira com a mesma velocidade angular, no entanto a velocidade linear de cada um desses 
pontos depende da distância em que esse ponto encontra-se do eixo de rotação, ou seja, depende do 
raio da trajetória de rotação deste ponto, e sua velocidade linear é diretamente proporcional à velocidade 
angular do corpo. 
Na figura abaixo o ponto P está a uma distância r do eixo de rotação, identificado por O, de maneira que 
ele gira em trajetória circular de raio r. Para qualquer posição na trajetória de rotação do ponto P pode-
se relacionar o comprimento do arco s e o ângulo  (em radianos) pela equação s = r
 
 
 
 
Figura 4 – Velocidade linear de um ponto localizado em um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo 
no ponto O. 
Como r é constante para o mesmo ponto P, iremos realizar a derivada dessa equação em relação ao 
tempo e tomando o módulo de ambos os lados, obtemos: 
 
Como é o valor da velociadade linear v da partícula em m/s, localizada no ponto P e é a 
velociadeangular escalar  em rad/s. Substituindo temos uma relação entre a velociadade linear de 
determinado ponto no corpo e a velocidade angular do corpo. 
 
O módulo da velocidade linear é diretamente proporcional ao produto de r pelo módulo da velocidade 
angular , logo, quanto mais afastado do eixo de rotação o ponto P estiver, maior será o módulo de 
 
 
sua velocidade linear. A direção do vetor velocidade linear no ponto P, é tangente à sua trajetória 
circular neste ponto. 
A aceleração linear também pode ser representada em função dos componentes angulares. Tanto a 
aceleração tangencial atg , a qual têm direção paralela a velocidade linear instantânea e tangente à 
trajetória circular, alterando a velocidade linear da partícula, como a aceleração centrípeta arad , com 
direção radial, apontando ao centro da trajetória circular, responsável por alterar a direção da 
velocidade linear do ponto P. 
Derivando a equação da velocidade linear e velocidade angular em relação ao tempo, temos: 
 
Como e , então 
Onde  é a aceleração angular, responsável pela variação da velocidade escalar angular. 
Já a componente radial da aceleração arad, está associada a variação da direção da velocidade linear da 
partícula que encontra-se no ponto P. Pela relação: 
 
 
 
Substituindo , temos . 
A soma vetorial da aceleração centripeta com a aceleração tangencial fornece a aceleração 
linear . 
Figura 5 – Aceleração linear do ponto P – soma 
Fique atento! É importante lembrar que as relações matemáticas vistas até agora, como s = r e qualquer 
outra deduzida a partir dessa, valem somente quando o ângulo  é medido em radianos. 
 
Energia no movimento de rotação 
Considerando que um corpo rígido é formado por pequenas partículas, cada uma contribuindo com uma 
parcela da massa total do corpo, quando esse corpo gira, essas partículas possuem velocidade angular. 
Outra característica que se deve as partículas que formam o corpo é o momento de inércia, essa 
grandeza é mensurada de acordo com a distribuição da massa do corpo em relação ao eixo de rotação, 
ou seja, como essas pequenas partículas de massa estão distribuídas ao redor do eixo fixo. Podemos 
escrever a energia cinética do corpo em termos de sua velocidade angular e de seu momento de inércia. 
Para obter essa equação continuaremos a considerar o corpo rígido formado por diversas partículas, cada 
uma delas com massas m1 para primeira partícula, m2 para segunda e assim por diante, m3, m4, ... mi. 
Cada uma dessas partículas é posicionada perpendicularmente em relação ao eixo de rotação pelas 
 
 
distâncias r1, r2, r3, r4 ... ri, podemos escrever a energia cinética de uma das partículas, por exemplo a 
primeira partícula, como: 
 
Substituindo a velocidade linear pela relação: 
 
temos: 
 
 
Se considerarmos cada uma das partículas que constituem o corpo, a energia cinética total será dada 
pela soma da energia cinética de todas as partículas. 
 
 
Reescrevendo a equação e colocando em evidência o fator comum para todos os termos da equação, 
temos: 
 
A quantidade entre parênteses, dada pelo somatório do produto da massa de cada partícula pelo 
quadrado da distância r ao eixo de rotação, é chamada de momento de inércia do corpo em 
relação a este eixo de rotação, representado por I. 
 
 
 
O momento de inércia depende de como a massa do corpo está distribuída no espaço em relação ao eixo 
de rotação, quanto mais afastada a massa estiver em relação ao eixo, maior será o momento de inércia. 
A unidade do momento de inércia no S.I. é o quilograma vezes metro ao quadrado (kg.m2). 
 
Conhecendo-se o momento de inércia, pode-se escrever a energia cinética do corpo rígido como: 
 
Ao usarmos essa equação devemos ter cuidado para expressar a velocidade angular , pois a unidade 
desta deve ser radianos por segundo. Assim obteremos a energia cinética K em Joules. 
A interpretação física para essa equação mostra que quanto maior for o momento de inércia do corpo, 
maior será sua energia cinética quando girar com determinada velocidade angular. De acordo com o 
teorema trabalho-energia cinética, quanto maior o trabalho realizado para acelerar o corpo até a 
velocidade considerada, maior será sua energia cinética. Dessa maneira, quanto maior for o momento de 
inércia de um corpo, mais difícil será fazê-lo girar a partir do repouso, ou mais difícil será pará-lo quando 
estiver girando. 
Para um conjunto de massas que podem ser consideradas puntiformes, o cálculo do momento de inércia 
é feito pela relação , o somatório do produto de cada massa pela distância r, por exemplo, a figura 
abaixo representa um sistema de duas massas, mA e mB, que giram em relação ao eixo C fixadas por 
hastes de massa desprezível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O momento de inércia do conjunto em relação ao eixo de rotação C será: 
 
 
 
 
No entanto, quando o corpo é uma distribuição uniforme e contínua de matéria, como um eixo cilíndrico, 
a soma do produto de cada elemento de massa pela sua coordenada r em relação ao eixo, torna-se uma 
integral, ou seja, necessitamos usar o cálculo integral para obter o momento de inércia. Para algumas 
formas geométricas conhecidas o cálculo do momento de inércia, encontra-se em tabelas. 
 
 
 
Tabela 1 – Momento de inércia para corpos com distribuição uniforme de massa. 
 
 
 
Teorema dos eixos paralelos 
O momento de inércia de um corpo não possui um valor único, pois depende da posição do eixo de 
rotação, logo determinado corpo possui diversos momentos de inércia, um para cada eixo de rotação 
possível. O teorema dos eixos paralelos relaciona o momento de inércia do corpo em relação ao eixo 
que passa pelo centro de massa do corpo Icm com o momento de inércia em outro eixo paralelo a esse 
Ip, afastado uma distância d, pela relação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Eixo de rotação paralelo ao eixo 
que passa pelo centro de massa. 
 
Segundo a equação do teorema dos eixos paralelos, o momento de inércia em relação ao eixo que passa 
no centro de massa é menor que o momento de inércia em qualquer outro eixo paralelo. Isso mostra 
que é mais fácil girar um corpo quando o eixo passa pelo centro de massa que qualquer outro eixo 
paralelo. 
 
 
Dinâmica do movimento de rotação 
De acordo com a segunda Lei de Newton, quando uma força resultante atua em um corpo provocando o 
movimento de translação, essa força produz aceleração no corpo em questão durante o movimento. Da 
mesma maneira se a força resultante aplicada produzir um movimento de rotação, isso implicará em uma 
aceleração angular. Já a força que provoca a ação giratória no corpo produz uma torção. 
A grandeza física que mede o quanto de torção a força aplicada produziu no corpo é chamada torque. O 
torque resultante produzido pela força determina a aceleração angular sofrida por esse corpo. 
Torque () 
A grandeza física que fornece a medida quantitativa de como a ação de uma força pode provocar ou 
alterar o movimento de rotação de um corpo é chamada torque, ou momento. Para provocar o 
movimento de rotação em um corpo, ou para alterar um movimento já iniciado, não só o módulo, a 
direção e o sentido da força aplicada são importantes, mas também o ponto de aplicação dessa força no 
corpo. 
Veja na figura abaixo, uma chave de grifo amarela é utilizada para apertar um parafuso de três 
maneiras diferentes. Na primeira a força é aplicada na extremidade do cabo da chave, afastada do 
eixo de rotação do parafuso, ponto O, na figura do meio à força é aplicada no eixo de rotação do 
parafuso e na última, a força é aplicada mais próximo ao eixo de rotação do parafuso, mais próxima 
de O. 
 
Figura 7 – Torques diversos para apertar um parafuso 
 
 
 
A força que irá provoca o maior torque no parafuso em relação ao ponto O é a força , pois ela está 
aplicada mais afastada do eixo de rotação do parafuso, a força aplica um torquenulo, pois quando a 
força é aplicada no eixo de rotação esta força não produz torque e a força é a força que realiza 
menor toque, isso porque, além de possuir menor módulo, ela é aplicada a uma distância menor em 
relação ao eixo de rotação. 
A distância em relação ao eixo de rotação e o ponto de aplicação da força é chamada braço da 
alavanca e é representado por l. O esforço de torção depende mutuamente do módulo da força 
aplicada perpendicular ao braço da alavanca e também do valor de l. Portanto para uma força de 
módulo F aplicada com linha de ação perpendicular ao braço da alavanca a uma distância l ao ponto 
do eixo de rotação o torque () produzido é dado por: 
 
 
Repare que o torque é sempre calculado em relação a um ponto específico, geralmente o eixo de 
rotação, porém se deslocarmos a posição deste ponto, escolhendo outro ponto como referência o 
torque da força também irá mudar. Outra observação a ser feita é em relação ao sentido de rotação, 
toda vez que a força aplicada produzir uma rotação em torno do ponto O no sentido contrário ao dos 
ponteiros do relógio (sentido anti-horário) o torque será positivo e quando essa força girar o corpo no 
sentido horário o torque será negativo. 
A unidade de torque no S.I. é o Newton-metro, apesar de já termos utilizado essa combinação de 
unidades quando discutimos sobre trabalho e energia, na qual essa combinação de unidades era 
chamada de Joule, como torque não é trabalho, nem energia, ele deve ser expresso como Newton-
metro. 
Quando a força aplicada no braço da alavanca não for perpendicular a ela, veja figura abaixo: 
 
 
 
Figura 8 – Torque devido uma força inclinada em relação ao braço da alavanca 
Nesse caso, o módulo do torque realizado pela força em relação ao ponto O, deve ser calculado pela 
relação: 
 
 
Torque e aceleração angular de um corpo rígido 
Assim como a segunda lei de Newton é fundamental para o movimento de translação de uma 
partícula, a equação que relaciona o torque com a aceleração angular é para a dinâmica de rotação de 
um corpo rígido. Veremos que o somatório dos componentes do torque ao longo do eixo de rotação de 
um corpo que gira é diretamente proporcional ao produto do momento de inércia do corpo pela sua 
aceleração angular. 
Para isso, iremos considerar que o corpo rígido é constituído por um grande número de partículas que 
interagem entre si por forças internas e giram ao redor do eixo de rotação posicionado no eixo 
cartesiano Oz. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Corpo rígido girando em torno do eixo z, a partícula m1 que constitui o corpo, está sujeita a uma 
força F1 
A figura mostra uma partícula m1 que constitui o corpo rígido. Quando esse corpo gira, a partícula m1 
descreve uma trajetória circular de raio r1 e está sujeita a força F1 tangente a trajetória de rotação. 
 
 
 
De acordo com a segunda lei de Newton a força externa aplicada na partícula m1 produz nesta uma 
aceleração tangencial a1, dada por: 
 
Substituindo a aceleração tangencial a1 em termos da aceleração angular  do corpo, . 
E multiplicando ambos os lados da equação por , temos . 
O lado direito desta equação é o módulo do torque 1 da força F1 em relação ao eixo de rotação. Como 
a rotação acontece no plano xy o torque tem direção do eixo de rotação, no caso, eixo z. Como não há 
outra força que afete o movimento de rotação da partícula no eixo z, então o torque resultante que 
atua sobre a partícula 1 em relação a esse eixo ser
á . 
Como a quantidade é o momento de inércia da partícula 1 em relação ao eixo de rotação, 
podemos escrever: . 
Para as outras partículas o torque resultante sobre cada partícula pode ser calculado por uma equação 
semelhante a essa, para partícula 2, o torque será: 
Para partícula 3: . 
E assim por diante para todas as outras partículas que fazem parte do corpo rígido. O torque total será 
dado pela soma de todos os torques individuais de cada partícula: 
 
 
 
 
Pela equação, é o somatório de todos os torques em torno do eixo de rotação que atua sobre todas 
as partículas e é o momento de inércia total do corpo em torno do eixo de rotação, que 
multiplica a aceleração angular  do corpo rígido. 
Resultando na equação abaixo: 
 
Essa equação é a segunda lei de Newton para o movimento de rotação. O torque resultante sobre um 
corpo rígido de vido a forças externas é igual ao momento de inércia do corpo em relação ao eixo de 
rotação vezes a sua aceleração angular em rad/s2. 
 
Momento angular 
No decorrer desta aula relacionamos algumas grandezas do movimento de rotação de um corpo rígido 
com grandezas semelhantes encontradas no movimento de translação de uma partícula. Neste sentido, 
a grandeza relacionada ao momento linear de uma partícula, vista no movimento retilíneo, relaciona-
se com o movimento de rotação pelo momento angular, uma grandeza vetorial representada por . 
Seja uma partícula m com massa constante, localizada em relação a um sistema de referencial inercial 
pelo vetor posição , que se movimenta com velocidade  e possui momento linear dado por no 
plano xy. O momento angular dessa partícula será determinado por . 
 
 
 
Figura 10 – Momento angular de uma partícula de massa m 
Nas condições descritas, o movimento da partícula ocorre no plano xy e neste caso a direção do vetor 
momento angular é perpendicular ao plano xy, se o eixo de rotação estiver localizado na origem dos 
eixos cartesianos e a rotação em sentido anti-horário, sua direção será ao longo do eixo +Oz e seu 
módulo será determinado por: 
 
Sendo l o braço da alavanca, determinado pela a distância perpendicular do ponto O à linha da direção 
do vetor . 
Se uma força resultante for aplicada na partícula de massa m, realizando um torque, sua velocidade e 
seu momento linear variam, podendo variar também seu momento angular. Se derivarmos a equação 
do momento angular em relação ao tempo, obteremos a taxa de variação do momento angular. 
 
 
 
O termo é o produto vetorial da velocidade por ela mesmo, e devido a definição de produto 
vetorial seu resultado é zero. E no termo , substituindo pela força resultante , obtemos 
 
Ou seja, a taxa de variação do momento 
angular de uma partícula é igual ao torque da 
força resultante que atua sobre ela. 
 
 
 
Iremos estender essa ideia para determinar o momento angular para um corpo rígido que gira em 
torno do eixo Oz com velocidade angular . Considere uma partícula de massa mi que pertence ao 
corpo rígido que gira no plano xy com o eixo de rotação posicionado no eixo cartesiano Oz. A 
velocidade dessa partícula é em qualquer posição é sempre perpendicular ao vetor posição , neste 
caso, o ângulo  para qualquer partícula pertencente ao corpo rígido. Sendo a velocidade , 
o módulo do momento angular Li, será: 
 
 
Nesta configuração, sendo a rotação no plano xy, o sentido do vetor momento angular de cada 
partícula, de acordo com a regra da mão direita, será o eixo +Oz. Veja a figura: 
 
Figura 11 – Regra da mão direita para determinar o sentido do vetor momento angular 
 
 
Para determinar o momento angular do corpo rígido como um todo, precisamos somar a contribuição 
do momento angular de cada uma das partículas pertencentes ao corpo rígido, logo, somando ambos 
os membros da equação do momento angular, temos: 
 
Essa relação será válida quando o eixo de rotação do corpo for um eixo de simetria, logo quando um 
corpo rígido gira em torno do eixo de simetria, seu vetor momento angular permanecerá ao longo 
desse o eixo, com o seu módulo determinado por: 
 
Sendo I o momento de inércia do corpo rígido e  o módulo do vetor velocidade angular que possui a 
mesma direção e o mesmo sentido do vetor momento angular, logo a relação será válida: . 
Como visto, para qualquer sistema de partículas, corpos rígidos ou não, a taxa de variação do 
momento angular total é igual à soma dos torques de todasas forças que atuam sobre as partículas, 
matematicamente: 
 
Substituindo o momento angular por sua equação correspondente, temos . 
 
 
Conservação do momento angular 
A lei da conservação do momento angular será válida quando o torque externo resultante que atua em 
um sistema de partículas ou corpo rígido for igual a zero, neste caso, o momento angular do sistema 
permanece constante. 
 
Quando há conservação do momento angular, podemos escrever que o momento angular do sistema 
em determinado instante inicial é igual ao momento angular em outro instante qualquer final: 
 
Chegamos ao fim da nossa aula, continue estudando e pesquisando sobre os assuntos tratados e até a 
próxima!