Questões Limites Fundamentais - Leandro

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Galera, uma menina que eu na˜o sei o nome me pediu para fazer, na ultima monitoria,
duas questo˜es da lista que o outro monitor passou para voceˆs. Como as questo˜es eram
mais trabalhosas e eu na˜o tive uma ideia ra´pida de resoluc¸a˜o, fiquei de resolver depois.
Sabendo que mais pessoas me perguntariam a mesma coisa estou deixando aqui para
voceˆs a resoluc¸a˜o dessas questo˜es.
Enta˜o vamos la´! =)
Limite Fundamental Trigonome´trico - LFT
lim
x→0
senx
x
= 1
Limite Fundamental Exponencial - LFE
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= e
1. Utilizando os limites fundamentais, calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→1
(1− x) tg(pi
2
x)
(b) lim
x→∞
(
2x+ 3
2x+ 1
)x+1
Resoluc¸a˜o
(a) Lembrando que tgα =
senα
cosα
, segue que:
lim
x→1
(1− x) tg(pi
2
x) = lim
x→1
(1− x) sen pi
2
x
cos pi
2
x
= lim
x→1
1− x
cos pi
2
x
sen
pi
2
x
=
(
lim
x→1
1− x
cos pi
2
x
)
×
(
lim
x→1
sen
pi
2
x
)
︸ ︷︷ ︸
= 1
Agora vamos nos concentrar em resolver o limite da func¸a˜o f(x) =
1− x
cos pi
2
x
e para isso
vamos fazer a mudanc¸a de varia´vel 1−x = u (Pergunta: Por que eu pensei, em particular,
nessa mudanc¸a? Resposta: Ora, porque no´s queremos usar o LFT e precisamos de uma
varia´vel→ 0 e na˜o→ 1) . Se 1−x = u enta˜o quando x→ 1 temos que u→ 0 e portanto,
lim
x→1
1− x
cos pi
2
x
= lim
u→0
u
cos(pi
2
− pi
2
u)
Lembrando da identidade cos(α− β) = cosα cos β + senα sen β temos que,
cos(
pi
2
− pi
2
u) = cos
pi
2
cos
pi
2
u+ sen
pi
2
sen
pi
2
u = sen
pi
2
u
Assim,
lim
x→1
1− x
cos pi
2
x
= lim
u→0
u
sen pi
2
u
= lim
u→0
2
pi
pi
2
u
sen pi
2
u
= lim
u→0
2
pi
pi
2
u
sen pi
2
u
=
2
pi
lim
u→0
pi
2
u
sen pi
2
u
=
2
pi
lim
u→0
(
sen pi
2
u
pi
2
u
)−1
1
Ou seja, lim
x→1
1− x
cos pi
2
x
=
2
pi
(
lim
u→0
sen pi
2
u
pi
2
u
)−1
e segue do LFT que lim
u→0
sen pi
2
u
pi
2
u
= 1 (Nesse
caso basta tomar pi
2
u = t, enta˜o quando u → 0, t → 0 e voila` teremos a cara do LFT),
logo lim
x→1
1− x
cos pi
2
x
=
2
pi
, e portanto:
lim
x→1
(1− x) tg(pi
2
x) =
(
lim
x→1
1− x
cos pi
2
x
)
×
(
lim
x→1
sen
pi
2
x
)
=
2
pi
× 1 = 2
pi
E a´ı pessoal, foi? Essa deu trabalho hem. Ainda bem que acabou! Ufa,
Enta˜o vamos para a pro´xima que essa ta´ mais fa´cil.
(b) Primeiro vamos tentar reescrever a func¸a˜o f(x) =
2x+ 3
2x+ 1
de alguma forma que
fique parecida com a cara do LFE.
2x+ 3
2x+ 1
=
(2x+ 1) + 2
2x+ 1
=
2x+ 1
2x+ 1
+
2
2x+ 1
= 1 +
2
2x+ 1
= 1 +
1
x+ 1
2
Agora fazendo a mudanc¸a de varia´vel x + 1
2
= h segue que x + 1 = h + 1
2
e quando
x→∞ temos que h→∞. Portanto,
lim
x→∞
(
2x+ 3
2x+ 1
)x+1
= lim
x→∞
(
1 +
1
x+ 1
2
)x+1
= lim
h→∞
(
1 +
1
h
)h+ 1
2
= lim
h→∞
(
1 +
1
h
)h
×
(
1 +
1
h
) 1
2
= lim
h→∞
(
1 +
1
h
)h
×
√
1 +
1
h
=
(
lim
h→∞
(
1 +
1
h
)h)
︸ ︷︷ ︸
LFE
×
(
lim
h→∞
√
1 +
1
h
)
︸ ︷︷ ︸
=1
= e
Bom, quando voceˆs aprenderem a Regra de L’Hospital voceˆs va˜o ter um me´todo para
calcular esses limites facilmente, sem precisar de todo esse malabarismo alge´brico, pore´m
voceˆs precisam aprender derivadas primeiro.
Enfim, ate´ quarta-feira para aqueles que va˜o a` monitoria.
Abrac¸os e bons estudos.
2 Danilo Arcanjo