RESOLUÇÕES DE EXERCÍCIOS SEÇÃO 3.1 - LIVRO UM CURSO DE CALCULO - HAMILTOM GUIDORRIZI

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UM CURSO DE CÁLCULO VOL.1
HAMILTOM L. GUIDORIZZI
Exercícios Resolvidos
bit.ly/cicerohitzschky
Introdução
Neste documento irei resolver todos os exercícios da seção 3.1 do livro Um curso de cálculo
Vol.1. Este documento será o primeiro de vários que estarei publicando aqui com as resoluções
das seções deste livro de Hamiltom Luiz Guidorizzi. Espero que gostem, compartilhem e curtam!
Me motivando a fazer mais resoluções como esta. Para um contato mais direto tirar alguma
dúvida, clique no link acima e será direcionado ao meu instagram.
Nesta seção, o autor dá uma ideia intuitiva de limite e continuidade. Além de dar um
pequeno spoiler sobre o que seja a derivada de uma função, propõe exercícios mais ”visu-
ais”preparando o leitor para a definição formal que será abordada nas seções imediatamente
seguintes.
Exercícios 3.1
1. Esboce o gráfico da função dada e, utilizando a ideia intuitiva de função contínua, deter-
mine os pontos em que a função deverá ser contínua.
(a) f(x) = 2.
Solução:
Vemos que a função é contínua, pois não
apresenta nenhum ”salto”em seu gráfico.
1
bit.ly/cicerohitzschky
Noção Intuitiva de Limite e Continuidade 2
(b) f(x) = x+ 1.
Solução:
Vemos que a função é contínua, pois não
apresenta nenhum ”salto”em seu gráfico.
(c) f(x) = x2 .
Solução:
Vemos que a função é contínua, pois não
apresenta nenhum ”salto”em seu gráfico.
(d) f(x) =
{
x2, se x ≤ 1
2, se x > 1
Solução:
Vemos que a função não é contínua, pois
apresenta um ”salto”em seu gráfico. No
caso, o salto ocorre no ponto (1,2)
Prof. Cícero Hitzschky
Noção Intuitiva de Limite e Continuidade 3
(e) f(x) =

1
x2
, se |x| ≥ 1
2, se |x| < 1
Solução:
Vemos que a função não é contínua, pois
apresenta ”saltos”em seu gráfico. No caso,
os saltos ocorrem nos pontos (-1,2) e (1,2).
(f) f(x) = x2 + 2.
Solução:
Vemos que a função é contínua, pois não
apresenta nenhum ”salto”em seu gráfico.
Note que se trata apenas de uma transla-
ção da função apresentada no item c
2. Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule:
(a) lim
x→1
(x+ 2).
Solução:
Como a função envolvida é contínua, basta substituir o valor para onde o valor de
x está tendendo. Neste caso, basta substituir x por 1. Assim,
lim
x→1
(x+ 2) = 1 + 2 = 3
(b) lim
x→1
(2x+ 1).
Solução:
Como a função é contínua lim
x→1
(2x+ 1) = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3
(c) lim
x→0
(3x+ 1).
Solução:
Como a função é contínua lim
x→0
(3x+ 1) = 3(0) + 1 = 0 + 1 = 1
(d) lim
x→2
(x2 + 1).
Solução:
Como a função é contínua lim
x→2
(x2 + 1) = (2)2 + 1 = 4 + 1 = 5
(e) lim
x→1
(
√
x).
Solução:
Como a função é contínua lim
x→1
(
√
x) =
√
1 = 1
Prof. Cícero Hitzschky
Noção Intuitiva de Limite e Continuidade 4
(f) lim
x→2
x2 + x
x+ 3
.
Solução:
Como a função é contínua lim
x→2
x2 + x
x+ 3
=
(2)2 + 2
(2) + 3
=
4 + 2
2 + 3
=
6
5
(g) lim
x→2
( 3
√
x).
Solução:
Como a função é contínua lim
x→2
( 3
√
x) =
3
√
2
(h) lim
x→0
(
√
x+ x).
Solução:
Como a função é contínua lim
x→0
(
√
x+ x) =
√
0 + 0 = 0 + 0 = 0
3. Esboce o gráfico de f(x) = 4x
2 − 1
2x− 1
. Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule
lim
x→ 1
2
4x2 − 1
2x− 1
.
Solução:
Observe que a função não está definida para x = 1
2
, pois f
(
1
2
)
=
0
0
e esta expressão é
indefinida. Por outro lado, para x ̸= 1
2
temos
4x2 − 1
2x− 1
=
(2x)2 − 12
2x− 1
Logo, podemos usar a diferença de quadrados a2 − b2 = (a − b)(a + b) onde a = 2x e
b = 1. Assim
(2x)2 − 12
2x− 1
=
(2x− 1)(2x+ 1)
2x− 1
= 2x+ 1
Com isso, vemos que o gráfico dessa função é idêntica a reta 2x+1 exceto no ponto x = 1
2
.
Prof. Cícero Hitzschky
Noção Intuitiva de Limite e Continuidade 5
Agora vamos calcular o limite. Quando estamos falando de limite de uma função f em
relação a um ponto p, estamos interessados em estudar como a função se comporta nos
pontos próximos de p e não o ponto p. Assim,
lim
x→ 1
2
4x2 − 1
2x− 1
= lim
x→ 1
2
(2x+ 1) = 2
(
1
2
)
+ 1 = 1 + 1 = 2
4. Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule
(a) lim
x→2
x2 − 4
x− 2
Solução:
A função não é contínua pois se substituirmos o x por 2 teremos uma indeterminação
como na questão 3. Por outro lado, note que podemos usar um produto notável já
conhecido diferença de quadrados. Logo, como x ̸= 2, temos
x2 − 4
x− 2
=
x2 − 22
x− 2
=
(x− 2)(x+ 2)
(x− 2)
= x+ 2
Desta forma, lim
x→2
x2 − 4
x− 2
= lim
x→2
(x+ 2) = 2 + 2 = 4
(b) lim
x→0
x2 + x
x
Solução:
Note que x2 + x = x(x+ 1). Logo,
lim
x→0
x2 + x
x
= lim
x→0
x(x+ 1)
x
= lim
x→0
(x+ 1) = 0 + 1 = 1
(c) lim
x→1
√
x− 1
x− 1
Solução:
Fazendo a =
√
x e b =
√
1 na diferença de quadrados temos
lim
x→1
√
x− 1
x− 1
= lim
x→1
√
x− 1
(
√
x− 1)(
√
x+ 1)
= lim
x→1
1√
x+ 1
=
1√
1 + 1
=
1
1 + 1
=
1
2
(d) lim
x→2
x2 − 4x+ 4
x− 2
Solução:
Perceba que a raiz da equação quadrática x2 − 4x + 4 é 2. Assim, pelo teorema da
decomposição de polinômios1 temos que x2 − 4x+ 4 = (x− 2)(x− 2). Logo,
lim
x→2
x2 − 4x+ 4
x− 2
= lim
x→2
(x− 2)(x− 2)
x− 2
= lim
x→2
(x− 2) = 2− 2 = 0
1Caso não recorde acesse: https://www.youtube.com/watch?v=be4PK59osIw
Prof. Cícero Hitzschky
https://www.youtube.com/watch?v=be4PK59osIw
Noção Intuitiva de Limite e Continuidade 6
(e) lim
x→−1
x2 − 1
x+ 1
Solução:
Novamente temos
lim
x→−1
x2 − 1
x+ 1
= lim
x→−1
x2 − 12
x+ 1
= lim
x→−1
(x+ 1)(x− 1)
x+ 1
= lim
x→−1
(x− 1) = −1− 1 = −2
(f) lim
x→0
sen(x)
Solução:
Como a função seno é contínua. Temos
lim
x→0
sen(x) = sen(0) = 0
Prof. Cícero Hitzschky