Lista I Eletrostática

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Teoria Eletromagnética I 
Lista I – Eletrostática – Prof. José Alexandre (Ufes) 
 
Determine o campo elétrico e o potencial 
elétrico escalar gerado pelas distribuições 
de carga elétrica dos exercícios de 1 a 12. 
 
1
0
) Superficial, cilíndrica, infinita e 
uniforme de densidade 𝜎 ≡ 𝑐𝑡𝑒. 
 
2
0
) Volumétrica, cilíndrica, infinita e 
uniforme de densidade 𝜌 ≡ 𝑐𝑡𝑒. 
 
3
0
) Volumétrica, cilíndrica, infinita, 
uniforme com densidade 𝜌 ≡ 𝑐𝑡𝑒, existente 
numa casca cilíndrica, de superfície externa 
𝑆𝑏 e interna 𝑆𝑎 (𝑏 > 𝑎). 
 
4
0
) Superficial, esférica e uniforme de 
densidade 𝜎 ≡ 𝑐𝑡𝑒. 
 
5
0
) Volumétrica, esférica e uniforme de 
densidade 𝜌 ≡ 𝑐𝑡𝑒. 
 
6
0
) Volumétrica, esférica e uniforme de 
densidade 𝜌 ≡ 𝑐𝑡𝑒, existente numa casca 
esférica de superfície externa 𝑆𝑏 e interna 
𝑆𝑎 (𝑏 > 𝑎). 
 
7
0
) Superficial, plana infinita e uniforme de 
densidade 𝜎 ≡ 𝑐𝑡𝑒. 
 
8
0
) Volumétrica, plana e uniforme de 
densidade 𝜌 ≡ 𝑐𝑡𝑒, existente entre dois 
planos 𝑃𝑏 e 𝑃𝑎. 
 
9
0
) Esférica com densidade 
𝜌(𝑟) = {
𝐴𝑟, 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅 
0, 𝑟 > 𝑅
. 
 
10
0
) Cilíndrica com densidade 
𝜌(⍴) = {
𝐴⍴, 0 ≤ ⍴ ≤ 𝑅 
0, ⍴ > 𝑅
, 
onde ⍴ é a distância do eixo do cilindro. 
 
11
0
) Esférica com densidade 
𝜌(⍴) = {
⍴1 ≡ 𝑐𝑡𝑒, 0 ≤ ⍴ ≤ 𝑅1 
⍴2 ≡ 𝑐𝑡𝑒, 𝑅1 < ⍴ ≤ 𝑅2
. 
12
0
) Distribuição 
𝜌(𝑟) = −𝐴𝛿(𝑟) +
𝑏
𝑟
𝑒−𝑎𝑟 , 
com 𝐴, 𝑎 e 𝑏 constantes. Faça 𝑏 = 0 para 
𝑟 < 𝜀 (𝜀 > 0 e muito, muito pequeno). 
 
13
0
) Um disco circular de raio 𝑅 tem uma 
densidade superficial uniforme de carga 
elétrica 𝜎. Determine o campo elétrico em 
um ponto sobre o eixo do disco a uma 
distância 𝑧 do plano do disco. 
 
14
0
) Um cilindro circular reto de raio 𝑅 e 
altura 𝑙 está orientando ao longo do eixo 𝑧. 
Ele possui uma densidade volumétrica 
uniforme de carga elétrica 𝜌. Determine o 
potencial eletrostático num ponto sobre o 
eixo do cilindro, porém externo à 
distribuição. 
 
15
0
) Para o cilindro do exercício anterior, 
determine a força sobre uma carga elétrica 
p uniforme 𝑞 situada no centro do cilindro. 
 
16
0
) Determine a força elétrica exercida 
sobre uma carga elétrica puntiforme 𝑞 
situada no centro de um cilindro reto de 
raio 𝑅, altura 𝑙 e densidade de carga elétrica 
𝜌(𝑧) = 𝜌0 + 𝛽𝑧, 
onde 𝜌0 e 𝛽 são constantes, 
 
17
0
) Duas cargas puntiformes, −𝑞 e 
𝑞
2
 estão 
situadas na origem e no ponto (𝑎, 0,0) 
respectivamente. Determine em que ponto, 
ao longo do eixo 𝑋, o campo elétrico se 
anula. 
 
18
0
) Uma esfera de densidade 𝜌 e raio 𝑅0 
tem uma cavidade também esférica em seu 
interior de raio 𝑟0. Determine o campo 
elétrico em um ponto 𝑃 no interior da 
cavidade, sabendo que �⃗� é o vetor que sai 
do centro da esfera e vai até o centro da 
cavidade. 
 
19
0
) Determine a distribuição de carga 
elétrica e o campo elétrico que produz o 
potencial eletrostático 
𝜑(𝑟) =
𝑄
4𝜋𝜀0
𝑒
−
𝑟
𝜆
𝑟
, 
onde 𝜆 é uma constante. 
 
20
0
) Determine a distribuição de carga 
elétrica e o campo elétrico que produz o 
potencial eletrostático 
𝜑(𝑟) =
𝑄
4𝜋𝜀0
𝑒−𝛼𝑟 , 
onde 𝛼 é uma constante. 
 
21
0
) Determine a distribuição de carga 
elétrica e o campo elétrico que produz o 
potencial eletrostático 
𝜑(𝑟) =
𝐴
4𝜋𝜀0
𝑒−𝛼𝑟 +
𝐵
4𝜋𝜀0
𝑒−𝛼𝑟 
onde 𝐴, 𝐵 e 𝛼 são uma constantes. 
 
22
0
) O campo elétrico na atmosfera da 
superfície terrestre é de aproximadamente 
200 V/m, dirigido para baixo. A 1.400 m 
acima da superfície da Terra, o campo 
elétrico na atmosfera é de somente 20 v/m, 
também dirigido para baixo. Calcule a 
densidade média de carga elétrica na 
atmosfera abaixo de 1.400 m. Ela consiste 
predominantemente de íons positivos ou 
negativos? 
 
23
0
) Use a Lei de Gauss para determinar o 
campo elétrico produzido por um cilindro 
muito longo de densidade de carga elétrica 
volumétrica 𝜌(⍴) = 5⍴𝑒−2⍴, onde ⍴ é a 
distância do eixo do cilindro. 
 
24
0
) Use a Lei de Gauss para determinar o 
campo elétrico produzido por uma 
distribuição esférica de carga elétrica de 
densidade volumétrica 𝜌(𝑟) =
𝛼
𝑟2
, onde 𝛼 é 
uma constante. 
 
25
0
) Mostre que o momento de dipolo 
elétrico de um sistema de cargas elétricas é 
independente da escolha da origem, se a 
carga elétrica total do sistema é nula. 
Determine os termos de monopólio, dipolo 
e quadripolo elétrico da expansão do 
potencial escalar elétrico para as 
distribuições de carga elétrica dos 
exercícios de 26 a 37. 
 
26
0
) 
 
 
27
0
) 
 
 
28
0
) 
 
 
29
0
) 
 
 
 
 
+𝑞 
𝑎 
𝑎 
−𝑞 
𝑏 
𝑏 
+𝑞 
−𝑞 𝑋 
𝑌 
+𝑞 
𝑎 
𝑎 
−𝑞 
+𝑞 −𝑞 
𝑋 
𝑌 
+𝑞 
𝑎 
𝑎 
+𝑞 
−2𝑞 𝑌 
𝑍 
𝑋 
𝜆 ≡ 𝑐𝑡𝑒 
𝑙 𝑙 
𝑋 
𝑌 
30
0
) Anel de raio 𝑎, no plano 𝑋𝑌 e centro 
na origem, e carga elétrica total +𝑞 
distribuída uniformemente e carga elétrica 
pontual −𝑞 situada na origem. 
 
 
31
0
) Carga elétrica distribuída num anel, de 
raio 𝑎 no plano 𝑋𝑌 e centro na origem, com 
densidade linear dada por 
𝜆 =
𝑞
𝑎
[cos(𝜙) − sin(2𝜙)]. 
 
32
0
) 
 
 
33
0
) Carga elétrica distribuída numa 
superfície esférica de raio 𝑎 com densidade 
superficial 𝜎 ≡ 𝑐𝑡𝑒. 
 
34
0
) Carga elétrica distribuída em um disco 
circular de raio 𝑎 com densidade superficial 
𝜎 ≡ 𝑐𝑡𝑒. 
 
35
0
) Carga elétrica distribuída numa 
superfície esférica de raio 𝑎 com densidade 
superficial 𝜎 ≡ 𝜎0 cos(𝜃), onde 𝜎0 ≡ 𝑐𝑡𝑒. 
 
36
0
) Carga elétrica distribuída numa 
superfície esférica de raio 𝑎 com densidade 
superficial 𝜎 ≡ 𝜎0 sin
2(𝜃), onde 𝜎0 ≡ 𝑐𝑡𝑒. 
 
37
0
) Um anel de raio 𝑎 com distribuição de 
carga elétrica 𝜆 = 𝜆0 sin(𝜙), 𝜆0 ≡ 𝑐𝑡𝑒. 
 
38
0
) Um dipolo elétrico e uma carga 
elétrica pontual fixa estão localizados como 
mostrado na figura. Determine a força e o 
torque que atuam no dipolo elétrico. 
 
 
 
39
0
) Demonstre que: 
a) a força elétrica que atua num dipolo 
�⃗� colocado em um campo elétrico 
externo �⃗⃗�𝑒𝑥𝑡 é 
�⃗� = (�⃗� ∙ ∇⃗⃗⃗)�⃗⃗�𝑒𝑥𝑡; 
b) o torque atuante num dipolo neste 
campo elétrico é 
𝜏 = 𝑟 × [(�⃗� ∙ ∇⃗⃗⃗)�⃗⃗�𝑒𝑥𝑡] + �⃗� × �⃗⃗�𝑒𝑥𝑡, 
onde 𝑟 é a distância vetorial desde 
o ponto em relação ao qual o torque 
será medido até o dipolo. 
 
40
0
) Usando a função delta de Dirac para a 
distribuição de cargas pontuais, demonstre 
que o momento de dipolo de um par de 
cargas elétricas pontuais �⃗� = 𝑞𝑙 provém da 
definição geral �⃗� = ∫ 𝑟′𝜌(𝑟′)𝑑𝑉𝑜𝑙
′
𝑉𝑜𝑙
′ . 
 
41
0
) Determine o campo elétrico externo 
gerado por uma superfície esférica de raio 
𝑅 e carga elétrica total 𝑄 uniformemente 
distribuída, supondo que o campo gerado 
por uma carga elétrica pontual 𝑞 seja dado 
pela expressão 
�⃗⃗�(𝑟) =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑟𝑛
�̂�, 
onde 𝑛 é um número inteiro e 𝑛 ≥ 2. 
𝑎 
−𝑞 𝑌 
𝑍 
𝑋 
+𝑞 
𝑎 
𝑎 
−𝑞 
2𝑎 
+𝑞 
−𝑞 
𝑋 
𝑌 
2𝑎 
𝜃 
+𝑞 
−𝑞 
𝑙 
+𝑞 
𝑎 
𝜃