Apostila_Cap_1_Circuitos_CC

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FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 1
Cap. I - CIRCUITOS DE CORRENTE CONTINUA 
 
1. ELEMENTOS DE CIRCUITOS 
 
1.1. Tipos, notações e convenções 
 
 Sentidos de tensão e corrente (convencional) 
 
 
 Potência fornecida: P= - V I Potência recebida: P= V I 
 
 A é um gerador de energia elétrica ( V e I tem o mesmo sentido ). 
B é um receptor de energia elétrica ( V e I tem sentidos opostos ) 
 
 
 
1.2. Bipolos ( yaro burian ) 
 
 
Características dos bipolos 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 2
Equação do bipolo linear: 
 
 
 
 
FI
Etag ====α ; 
I
Etag ∆α ==== ⇒ ∆E = I tag α ⇒ ∆E = I 
FI
E
 ⇒ E – V = I 
FI
E
 ⇒ 
 V = E - ∆E = E - I 
FI
E
 
 
1) V = f ( I ) ; y = a x + b (a é negativo) 
 
I
IF
EEV −−−−==== ⇒ IREV −−−−==== )I( RVR ==== 
 
FI
E
 = R � Resistência interna do bipolo [ Ω ] 
 E = Força eletromotriz interna do bipolo [ V ] 
 
2) I = g ( V ) 
 
V = E - 
FI
E
 I ⇒ 
FI
E
 I = E - V ⇒ I = 
E
F
F
I
I −−−− V 
I = 
E
F
F
I
I −−−− V ⇒ GV−−−−==== FII )I( G GV==== 
 
E
FI = G = Condutância interna do bipolo [ S ] 
FI = Fonte interna de corrente do bipolo [ A ] (corrente interna da fonte [A] ) 
 
 
Circuitos Equivalentes para Bipolos Lineares: 
 
 a) Fonte de tensão real 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 3
 b) Fonte de corrente real 
 
 
 
FI
ER ==== ; 
E
IF
====G ; 
R
1G ==== 
 
 c) Fonte de tensão ideal (Resistência interna em série é nula ) 
 
 
 
 d) Fonte de corrente ideal (Resistência interna em paralelo é infinita ) 
 
 
 
 
Atenção: 
 
 Nota: Se I e V tivessem o mesmo sentido, entraria o sinal negativo. 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 4
Exemplos de análises envolvendo bipolos: 
 
a) Calcule a corrente I no trecho P - Q 
 
 
 
 
b) Determinar a fonte de corrente correspondente ao circuito da letra (a). 
 
Transformação de fontes 
 
 
Solução: 
 
 
2
1
R
1G ======== = 0,5 S 
 
 ============
2
5
R
E
FI 2,5 A ou FI = G ×××× E = 0,5 ×××× 5 = 2,5 A 
 
 Observação: Sentidos de E e de FI coincidem. 
 
 
c) Determine a tensão V. 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 5
d) Determine a corrente I. 
 
 
 
 
 
 
Associação de Bipolos: 
 
a) Em série 
 
 
 
n21 V...............................VVV ++++++++++++==== 
 
I111 REV −−−−==== 
 
I222 REV −−−−==== 
 . . . . . . . . . . . . 
 
Innn REV −−−−==== 
___________________________ 
I∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
============
−−−−====
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
i REV 
 
 
Fazendo: ∑∑∑∑
====
====
n
1i
iVV ; ∑∑∑∑
====
====
n
1i
i0 EE ; ∑∑∑∑
====
====
n
1i
i0 RR 
 
 
Obtemos o bipolo equivalente: 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 6
b) Em paralelo 
 
 
 
nI.................III ++++++++++++==== 21 
 
VG11 −−−−==== 1FII 
 
VG22 −−−−==== 2FII 
. . . . . . . . . . . . 
 
VGn−−−−==== nFn II 
_____________________________________ 
 
VG
n
1i
i
n
1
n
1i
i )(
i
iF
II ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
============
−−−−==== 
 
Fazendo: I I
i
i∑∑∑∑
====
====
n
1
 ; ∑=
=
n
i 1 i0
FF II ; ∑∑∑∑
====
====
n
1i
i0 GG 
 
Obtemos o bipolo equivalente: 
 
 
 
 
 
 
 
VG0−−−−==== 0FII 
 
 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 7
Exemplo de Associação de Bipolos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 8
Observações importantes: 
 
 
 
A não influencia na tensão em B e vice-versa. 
 
Logo, qualquer bipolo em paralelo com fonte de tensão ideal e que não 
interesse pode ser desconsiderado. 
 
 
 
 
A não influencia na corrente em B e vice-versa. 
 
Logo, qualquer bipolo em série com fonte de corrente ideal e que não 
interesse pode ser desconsiderado. 
 
 
2. LEIS FUNDAMENTAIS DE CIRCUITOS 
 
2.1. Primeira Lei de Kirchhoff ou Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) 
 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 9
CONVENÇÃO: 
 
 Nó = Ponto de conexão de dois ou mais elementos de circuitos. 
. Correntes que chegam ⇒⇒⇒⇒ sinal positivo 
. Correntes que saem ⇒⇒⇒⇒ sinal negativo 
 
Nó A : 06321 ====−−−−−−−−−−−− IIII 
Nó B : 0III ====++++
−−−− 654 
 
Somando as equações dos nós A e B tem-se a equação da superfície fechada. 
 
021 ====++++++++ 543 III-I-I 
 
Esta equação é uma combinação linear das equações dos nós A e B. 
 
 
Conseqüência 
 
 
 
 
 
 
A equação do nó N é a mesma da superfície fechada e corresponde a uma 
combinação linear das equações dos outros nós. 
 
Conclusão: Existem apenas ( N – 1 ) equações para circuitos com N nós. 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 10
2.2. Segunda Lei de Kirchhoff ou Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação da malha externa é a combinação linear das equações das demais 
malhas. 
 
malha I : 0VVV 321 ====++++−−−− 
malha II : 0VVVV 6542 ====−−−−−−−−++++ 
 
Para a malha externa : 
 
0VVVVV 65431 ====−−−−−−−−++++++++ 
 
A malha externa pode ser obtida pela soma das equações das malhas I e II.) 
 
Conclusão: Existem apenas ( N – 1 ) equações para circuitos com N malhas. 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 11
3. MÉTODOS DE ANÁLISE DOS CIRCUITOS 
 
3.1. Análise Nodal 
 
 
 
Números de nós : N = 3 
 
Nó A : 0VGVGVG 223311321 ====++++−−−−++++−−−−−−−− 44 344 21
AF
FFF
I
III 
 
Nó B : 0VGVG 442242 ====++++−−−−++++ 43421
BF
FF
I
II 
 
Nó C : 0VGVGVG 443311F 413 ====−−−−++++−−−−−−−−−−−− 44 344 21
CF
FF
I
III 
 
Observação: Esta terceira equação é desnecessária pois apenas ( N – 1 ) equações 
são necessárias. 
 
Considerações: 
 
AFFFF
IIII ====−−−−−−−− 321 ; BFFF III ====++++ 42 ; CFFFF IIII ====−−−−−−−− 413 
 
CBA VeVV , são os potenciais dos nós A, B e C. 
 
AC1 VVV −−−−==== 
AB2 VVV −−−−==== 
CA3 VVV −−−−==== 
BC4 VVV −−−−==== 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 12
Adotando-se 0VC ==== ( Terra ) e desconsiderando a equação do nó C : 
 
Nó A : 0VVGVVGVVG AB2CA3AC1 ====−−−−++++−−−−−−−−−−−−++++ )()()(I AF 
 
Sendo 0VC ==== ⇒⇒⇒⇒ )(I AF AB2A3A1 VVGVGVG −−−−−−−−++++==== 
B2A321 VGVGGG −−−−++++++++==== )(I AF 
 
Nó B : 0VVGVVG BC4AB2 ====−−−−++++−−−−−−−− )()(I BF 
 
Sendo 0VC ==== ⇒⇒⇒⇒ B4AB2 VGVVG ++++−−−−==== )(I BF 
 
A2B42 VGVGG −−−−++++==== )(I BF 
 
Equação nodal na forma matricial: 
 












++++−−−−
−−−−++++++++
====





B
A
422
2321
V
V
GGG
GGGG
B )(
)(
I
I
F
FA 
 
Equação nodal na forma matricial condensada: 
 
 
VGI =Montagem direta da equação nodal: 
1. Transformam-se todos os bipolos de tensão em bipolos de corrente; 
2. Escolhe um nó como referência (terra); 
Atenção: Normalmente escolhe-se o nó com mais bipolos como referência. 
3. De um lado da igualdade coloca-se o vetor das correntes das fontes; 
4. No outro lado da igualdade coloca-se a matriz de condutâncias multiplicada pelo 
vetor de tensões nos nós; 
5. A matriz de condutâncias (simétrica) é formada fazendo: 
� Elemento da diagonal principal � soma das condutâncias ligadas ao nó, 
� Elemento fora da diagonal principal � Soma das condutâncias entre os nós 
com sinal negativo. 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 13
Exemplos de análise nodal : 
 
a) Determine as tensões mostradas nos bipolos ( ou nos ramos ) 
 
 
 
 
 Forma matricial 
 
 ( A ) ( C ) ( D ) 
 
 
)(
)(
)(
D
C
A
 













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

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


++++++++−−−−−−−−
−−−−++++++++−−−−
−−−−−−−−++++++++
====

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






++++−−−−−−−−
−−−−++++++++
++++−−−−−−−−
D
B
A
V
V
V
502503503
501505050
3503250
82015
82010
151210
),,(,
,),,(,
,),(
 
 
 � Diagonal principal : soma das condutâncias ligadas ao nó. 
� Demais elementos : condutâncias mútuas com sinal trocado. 
 
 
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
{












========
>>>>−−−−−−−−−−−− iCOLUNASF
SF
I
;I
ll
ll
ll
ll
VG i∆ ; ∆
∆ i
iV ==== 
 


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






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







−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
====










−−−−
−−−−
D
C
A
V
V
V
753503
50250
35055
27
22
7
,,
,,
,,
 � 
volts3712V
volts046V
volts477V
D
C
A
,
,
,
−−−−====
====
−−−−====
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 14
volts904VVV DA1 ,====−−−−==== volts046VVV CB4 ,−−−−====−−−−==== 
volts5113VVV AC2 ,====−−−−==== volts3712VVV BD5 ,−−−−====−−−−==== 
volts477VVV AB3 ,====−−−−==== volts4118VVV DC6 ,====−−−−==== 
 
Observação 
 
Outra forma de resolver seria usando: 
 
Primeira Lei de Kirchhoff � 3 equações e 6 incógnitas. 
Segunda Lei de Kirchhoff � 3 equações e 6 incógnitas. 
Lei de ohm � 6 equações e 6 incógnitas. 
 
TOTAL � 12 equações e 12 incógnitas. 
 
 
b) Determinar as tensões dos bipolos usando análise nodal. 
 
 
 
 ( A ) ( B ) 
)(
)(
B
A
 











++++++++−−−−
−−−−++++
====





−−−−++++
−−−−−−−−
B
A
V
V
4322
221
501520
1020
)(
)(
 � 
 












−−−−
−−−−
====





−−−−
−−−−
B
A
V
V
92
23
15
30
 � 10530023 21 −−−−====−−−−======== ∆∆∆ ;; 
 
volts574V
volts0413V
B
A
,
,
−−−−====
−−−−====
 � 
volts478VVV
volts0413VVV
BA2
AC1
,
,
−−−−====−−−−====
====−−−−====
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 15
3.2. Análise de malhas 
 
 
 
A equação da malha externa é uma combinação linear das equações das malhas 
internas. 
 
MALHA : Percurso fechado que não contenha percursos internos. 
 
A segunda lei de Kirchhoff aplicada a um percurso qualquer gera uma equação 
que é combinação linear das equações das malhas contidas neste percurso. 
 





====−−−−++++−−−−−−−−
====++++++++++++
0EERRBmalha
0REERAmalha
233322
111222
II:
II:
 � 
 





++++====++++−−−−
−−−−−−−−====++++
332232
221121
RREEBmalha
RREEAmalha
II:
II:
 
 
 ABAB III;II;II −−−−====−−−−======== 213 
 





++++−−−−====++++−−−−
−−−−−−−−−−−−====++++
33B232
B2A121
RREEB
RREEA
I)I(I)(
)I(I)(I)(
A
A
 � 
 





++++++++−−−−====++++−−−−
−−−−++++====++++
B32232
B22121
RRREEB
RRREEA
I)(I)(
II)()(
A
A
 
 
 
Equação de malha na forma matricial: 
 












+−
−+
=





+−
+
B
A
RRR
RRR
EE
EE
I
I
322
221
32
21
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 16
Equação nodal na forma matricial condensada: 
 
 
IRE =
 
 
Montagem direta da equação de malha: 
1. Transformam-se todos os bipolos de corrente em bipolos de tensão; 
2. De um lado da igualdade coloca-se o vetor das tensões das fontes (onde cada 
elemento representa a soma das fontes de tensão ao longo do percurso da 
corrente de malha); 
3. No outro lado da igualdade coloca-se a matriz de resistências multiplicada pelo 
vetor de correntes de malha; 
4. A matriz de resistências (simétrica) é formada fazendo: 
� Elemento da diagonal principal � soma das resistências ao longo da malha, 
� Elemento fora da diagonal principal � Soma das resistências em comum com 
sinal negativo, se a correntes tiverem sentidos opostos, ou sinal positivo, se as 
correntes tiverem sentidos iguais. 
 
Exemplo de análise de malhas : 
 
Determine as correntes em todos os ramos. 
 
 
 
 ( A ) ( B ) ( C ) 
)(
)(
)(
C
B
A
 


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
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

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

++++++++−−−−−−−−
−−−−++++++++−−−−
−−−−−−−−++++++++
====

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





++++++++−−−−
−−−−++++
−−−−++++−−−−
C
B
A
I
I
I
)(
)(
)(
52454
51533
43342
302515
30105
101520
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 17



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






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
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


−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
====
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





−−−−
−−−−
C
B
A
I
I
I
1154
593
439
40
15
15
 � 
A1584
A7920
A4460
,I
,I
,I
C
B
A
====
====
====
 
 
C
CB
B
CA
AB
A
II
III
II
III
III
II
====
−−−−====
====
−−−−====
−−−−====
====
6
5
4
3
2
1
 � 
A1584
A3363
A7920
A7123
A3460
A4460
6
5
4
3
2
1
,I
,I
,I
,I
,I
,I
====
−−−−====
====
−−−−====
====
====
 
 
 
Análise de percursos: 
 
� Escolher um número de percursos que coincida com o número de malhas e 
que passe por todos os elementos. 
 
� Se um percurso incluir ramos já abrangidos, irá gerar combinações lineares ou 
equações não independentes. 
 
� As tensões internas anulam-se sobrando então o percurso externo.



















++++++++−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−++++++++++++−−−−
−−−−−−−−−−−−++++++++++++
====










++++−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
++++++++−−−−
C
B
A
I
I
I
)()()(
)()()(
)()()(
4255242
52165262
42626324
542
1652
6324
RRRRRRR
RRRRRRRR
RRRRRRRR
EEE
EEEE
EEEE
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 18
Revisão: Para elementos fora da diagonal principal tem-se: 
 
� Caso o elemento seja percorrido por duas correntes de sentidos contrários � 
entra com sinal negativo. 
� Caso o elemento seja percorrido por duas correntes no mesmo sentido � 
entra com sinal positivo. 
 
 
BA6
5
C4
3
C2
B1
III
III
III
II
IIII
II
CB
A
A
BA
++++−−−−====
−−−−====
++++−−−−====
====
−−−−++++====
====
 
 
 
3.3 Transformação ∆ ∆ ∆ ∆ −> −> −> −> Y 
 
 
 
Se as duas conexões são equivalentes, então para uma mesma tensão E entre 2 
terminais, obtém-se a mesma corrente I. Logo, a resistência equivalente entre os 2 
terminais é a mesma para as duas conexões.. 
 
Assim entre os pontos ( A ) e ( B ) : 
 
 
CABCAB
CABCAB
BA RRR
)RR(RRR
++
+
=+ ( 1 ) 
 
Entre os pontos ( B ) e ( C ) : 
 
 
CABCAB
ABCABC
CB RRR
)RR(RRR
++
+
=+ ( 2 ) 
 
Entre os pontos ( C ) e ( A ) : 
 
CABCAB
BCABCA
AC RRR
)RR(RRR
++
+
=+ ( 3 ) 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 19
 ( 3 ) - ( 2 ) � 
CABCAB
ABCABCBCABCA
BA RRR
)RR(R)RR(RRR
++
+−+
=− ( 4 ) 
 
 ( 4 ) + ( 1 ) � 
CABCAB
CABCABABCABCBCABCA
A RRR
)RR(R)RR(R)RR(RR
++
+++−+
=2 
 
CABCAB
ABCA
A RRR
RRR
++
=
22 
 
Daí obtém-se: 
 
CABCAB
ABCA
A RRR
RRR
++
=
 ; 
 
Analogamente: 
 
CABCAB
BCAB
B RRR
RRR
++
=
 e 
 
CABCAB
CABC
C RRR
RRR
++
=
 
 
 
3.4. Transformação Y −> ∆
 −> ∆ −> ∆ −> ∆ 
 
 
 
 
Se as duas conexões são equivalentes, então para uma mesma tensão E entre 2 
terminais, obtém-se a mesma corrente I. Logo, a condutância equivalente entre os 2 
terminais é a mesma para as duas conexões.. 
 
Entre os nós A e C das duas figuras, tem-se : 
 
CB
CB
A
CB
A
CAAB
RR
RRR
RR
RRR
+
+
=
+
+
=+
1
11
1
111
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 20
 
ACCBBA
CB
CAAB RRRRRR
RR
RR ++
+
=+
11
 ( 1 ) 
 
Analogamente, entre os nós C e B: 
 
ACCBBA
BA
BCCA RRRRRR
RR
RR ++
+
=+
11
 ( 2 ) 
 
Entre os nós B e A: 
 
ACCBBA
AC
ABBC RRRRRR
RR
RR ++
+
=+
11
 ( 3 ) 
 
( 3 ) - ( 2 ) � 
ACCBBA
BC
CAAB RRRRRR
RR
RR ++
−
=−
11
 ( 4 ) 
 
 ( 4 ) + ( 1 ) � 
ACCBBA
C
AB RRRRRR
R
R ++
=
22
 
 
Logo: 
 
 
C
ACCBBA
AB R
RRRRRRR ++=
 
 
Do mesmo modo, obtém-se: 
 
 
A
ACCBBA
BC R
RRRRRRR ++=
 
 
 
B
ACCBBA
CA R
RRRRRRR ++=
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 21
 Exemplo : 
 
 Determine a resistência equivalente entre P e Q . 
 
 
 
 
 
Ω51
532
35RA ,' ====++++++++
××××
==== ; Ω1
532
52RB ====++++++++
××××
====
'
 ; 
532
32RC ++++++++
××××
====
'
= 0,6 Ω 
 
 
 
 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 22
3.5. Deslocamento de Fontes ( YARO BURIAN ( PAG 170 ) 
 
 
3.5.1. Deslocamento de Fonte de Tensão 
 
 
 
� Neste caso as equações de malha são as mesmas. 
 
 
 
3.5.2 Deslocamento de Fonte de Corrente 
 
 
 
 � Escolhe-se um lado para o deslocamento da fonte. 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 23
 
 
� Neste caso não há mudança nos potenciais dos nós, portanto não há mudança 
das diferenças de potenciais. 
 
 
Exemplo: 
 
Determinar o bipolo equivalente, visto dos pontos A – B. 
 
 
 
 
Fonte tensão � Fonte corrente. 
 
 
 ∆ ⇒⇒⇒⇒ Y 
 
Deslocando a fonte de corrente para a esquerda. 
 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 24
Fonte corrente � Fonte tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 25
Exercício: 
Determinar as tensões 321 VeVV , do circuito a seguir, por análise nodal. 
 
 
 
Deslocando a fonte de tensão para a esquerda. 
 
 
 
 1V desaparece, mas após o cálculo de 3V volta-se a esta figura e calcula 1V . 
 
 
 
 ( B ) ( C ) 
)(
)(
C
B












++++++++++++++++−−−−
++++−−−−++++++++
====





++++
−−−−
C
B
V
V
1501212
121102
510
10
),()(
)(),(
 � 











−−−−
−−−−
====




−−−−
C
B
V
V
543
313
15
10
,
,
 
 
Logo: 
voltsVV B 02 ≅= ; volts,VV C 3333 == e volts,VVV CA 67151 −=−== 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 26
4. TEOREMA DOS CIRCUITOS: 
 
 
4.1. Teorema da Superposição de Efeitos 
 
 Atenção: Este teorema não é válido para potências. 
 
a) A resposta de uma rede linear a várias excitações simultâneas, é igual a soma 
das respostas devidas a cada uma das fontes independentes agindo 
isoladamente. 
 
 
 
� Retirando as fontes, exceto 1E � I’ ---> ação de 1E 
� Retirando as fontes, exceto 2E � I’’ ---> ação de 2E 
� Retirando as fontes, exceto 3E � I’” ---> ação de 3E 
� Retirando as fontes, exceto 4E � I’’’’ ---> ação de 4E 
 
 I = I’ + I’’ + I’” + I’’’’ 
 
b ) Multiplicando as excitações das fontes independentes por uma mesma constante, 
as respostas serão multiplicadas pela mesma constante. ( fontes de corrente ou 
tensão ) 
 
 
Observações: 
 
I ) Fontes de tensão, ao serem retiradas do circuito, devem ser substituídas por 
curto-circuitos. 
II ) Fontes de corrente, ao serem retiradas do circuito, devem ser substituídas 
por circuitos abertos. 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 27
 
 
Exemplo 
 
(a) Determinar a corrente I, considerando as duas fontes atuando simultaneamente. 
(b) Determine a contribuição de cada fonte no valor da corrente I. 
 
 
 
 
Solução (a): Por análise de malha 
 
 
 
 











++++−−−−
−−−−++++
====





−−−− 2
1
444
448
40
20
I
I
)(
)(
 
 
Resolvendo: 
Ampères550
Ampères5
Ampère0
21
2
1
====−−−−−−−−====−−−−====
−−−−====
≅≅≅≅
)(III
I
I
 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 28
Solução (b): 
 
b.1) Eliminando a fonte de tensão de 40 V � Contribuição da fonte de 20 V 
 
 
 











++++−−−−
−−−−++++
====





2
1
444
448
0
20
I
I
)(
)(
 
 
Ampère112
Ampère1
Ampères2
21
2
1
====−−−−====−−−−====
====
====
III
I
I
'
 
 
b.2) Eliminando a fonte de tensão de 20 V � Contribuição da fonte de 40 V 
 
 
 












++++−−−−
−−−−++++
====





−−−− 2
1
444
448
40
0
I
I
)(
)(
 
 
Ampères541
Ampères462
Ampères6
Ampères2
21
2
1
====++++====++++====∴∴∴∴====>====>====>====>
====−−−−−−−−−−−−====−−−−====
−−−−====
−−−−====
"'
"
III
)(III
I
I
 
(Teorema da Superposição) 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 29
4.2. Teorema da máxima transferência de potência 
 
 
 
III 2 RV;RVP === 
 
I)RR(E thth += � )R(R
E
th
th
+
=I � 2
2
)RR(
REP
th
th
+
= 
 
02 4
2
2
=
+
+−+
= )RR(
)]RR(R)RR[(E
dR
dP
th
thth
th � 
 
022 =+−+ )RR(R)RR( thth � 0222 222 =−−++ RRRRRRR ththth 
 
022 =− RRth � RRth = � 
th
th
máx R
EP
4
2
=
 
 
Rendimento: 
I
I-I 2
th
thth
E
RE
=η � 
th
th
E
R I1 −=η 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 30
4.3. Teorema de Thevenin 
 
 A tensão e a corrente em um bipolo conectado a uma rede linear A , podem 
ser determinadas substituindo-se toda a rede A por uma fonte ideal de tensão 0E 
associada em série com uma rede 0A , onde 0A é a rede A com todos os seus 
geradores independentes inativados e 0E é a tensão nos terminais da rede A 
quando em circuito aberto . 
 
 
 
 
 
4.4. Teorema de Norton 
 
 A corrente e a tensão em um bipolo conectado a uma rede linear A podem 
ser determinadas, substituindo-se toda a rede A por uma fonte ideal de corrente 
0FI associada em paralelo com uma rede 0A , onde 0A é a rede A com todos 
os seus geradores independentes inativados e 0FI é a corrente de curto-circuito 
entre os terminais da rede A. 
 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 31
Formas de aplicação dos Teoremas de Thevenin e Norton 
 
 
a ) Associação de bipolos. 
 
 
 
 
 
 
 
 ∆ ∆ ∆ ∆ ⇒⇒⇒⇒ Y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 32
 Transformando a fonte de tensão em fonte de corrente. 
 
 
 
 ↓↓↓↓ 
 
 
 
 Transformando a fonte de corrente em fonte de tensão. 
 
 
 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 33
b ) Determinação da tensão em vazio ( thE ). 
 
 Associação das resistências com a prévia retirada das fontes thR . 
 
 
 
 (A) (B) 
 
)(
)(
B
A
 











−−−−
−−−−
====





2
1
943
310
40
0
I
I
,
 � 
A10
40
400
A3
40
120
2
2
1
1
============
============
∆
∆
∆
∆
I
I
 � 
A10
A3
2
1
====
====
I
I
 
 
 )( correntedepassagemhánãopois0VVVVV 33210 ====++++++++==== 
 
 
volts200119VEvolts111011Vvolts933V 0th21 ====++++++++========∴∴∴∴===>===>===>===>====××××========××××==== ,,
 
 Conforme visto no item a , a associação das resistências fornece Ω45R th ,==== . 
 
c ) Determinação da corrente de curto-circuito ( 
NF
I ). 
 
 
N
th
th G
1ER ========
NF
I
 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 34
 




















−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
====










3
2
1
37113
11943
3310
0
40
0
I
I
I
,,
,, � 
A703
A8511
A674
3
2
1
,I
,I
,I
====
====
====
 
 
 
A
45
20A733
,
,II
NF
============
 
 
 
 
 
 Obs : b) e c) são as formas clássicas de cálculo. 
 
 
d ) Determinação de thR por relação de determinantes. 
 
 � Retirando-se as fontes: 
 
 
 
 Pelo teorema de Thevenin : 
I
ER th ==== 
 
 




















−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
====










3
2
1
37113
11943
3310
E
0
0
I
I
I
,,
,, 3II ==== 
 
 ============ ∆
∆
∆
onde33II determinante da matriz de resistências. 
 
 












−−−−−−−−
−−−−
−−−−
====
E113
0943
0310
3
|,
__|____
|,
|
∆ � '
,
∆∆ E
943
310
E3 ====





−−−−
−−−−
==== 
 
 
''
'
I
E
I
∆
∆
∆
∆
∆
∆
=======>===>===>===>=======>===>===>===>==== thR
E
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 35
Onde ∆ é o determinante considerando todas as malhas e, '∆ é o 
determinante levando-se em conta todas as malhas exceto aquela que contem 
os pontos A e B. 
 
 Onde 
 
 ∆ = 216 ; 
 
 
'∆ = 40 Ω
∆
∆ 45
40
216R th ,
'
============∴∴∴∴ 
 
Exercício: Determine a resistência R de forma que a potência dissipada nesta 
resistência seja máxima. Calcule o valor da potência máxima. 
 
 
 
 
 
 
1o ) Cálculo de thE ( Tensão em vazio por análise de malhas ). 
 
 
A8330
A8330
11010
10110
100
100
2
1
2
1
,I
,I
I
I
====
−−−−====
====>====>====>====>











−−−−
−−−−
====




−−−−
 
 
 210 VVV ++++==== 
volts661666163233EV
volts6616i20V
volts3233i40V
th0
22
11 ,,,
,)(
,)(
====−−−−===========>===>===>===>



−−−−====−−−−====
====−−−−====
. 
 
2o ) ?====thR 
 
 a ) 
curto
curto
I
I thth
ER =======>===>===>===> 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 36
 b ) Associação de resistências 
 
 
 
 
 
 
 ∆ ∆ ∆ ∆ ⇒⇒⇒⇒ Y 
 
 
 
 
 
 
 
Ω33340R th ,==== 
 
c ) 
'∆
∆
====thR 
 
 
 484000
602040
2011010
4010110====










−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
====∆ ; 12000
11010
10110
====





−−−−
−−−−
===='∆ 
 
Ω
∆
∆ 33340
12000
484000R th ,
'
========
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 37
3o ) Cálculo de R . 
 
 
 Para potência máxima: R = thR = 40,333 Ω 
 
721
333404
6616
R4
EP
2
th
2
th
máx ,
,
,
====
××××
======== W . 
 
 
4.5. Teorema da Reciprocidade 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 38
 
 
A6661
A5
93
35
0
20
2
1
2
1
,I
I
I
I
====
====
===>===>===>===>











−−−−
−−−−
====





 
 
 
 
 
A7772
A6661
93
35
20
0
2
1
2
1
,I
,I
I
I
'
'
'
'
====
====
===>===>===>===>














−−−−
−−−−
====





 
 
� Se a fonte estivesse sido colocada ao contrário, a corrente 'I1 teria sentido 
contrário. 
• Se puser fonte no mesmo sentido da corrente, a corrente manterá sentido 
da fonte. 
• Caso contrário, corrente será oposta a da fonte. 
 
Exercício : 
 
 Dado o circuito ( a ) determine 32 e II do circuito ( b ). 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 39
Solução: 
 
 
1 ) ][sup)(I)(II "'" efeitosdeerposiçãoEadevidoEadevido 321 ++++==== 
 
2 ) 
20
80
2
"II ++++==== 
 
3 ) 
10
80
3
"'II −−−−==== 
 
4 ) 1032 ====++++ II 
 
 De ( 2 ) e ( 3 ) : '''" II;II 84 32 −−−−======== 
 
 
A
3
4
A
3
26
10
2
84
3
2
32
32
1
====
====




====++++
====−−−−
===>===>===>===>++++====
I
I
II
II
III ''''' 
 
 A
6
1A
6
13 −−−−
========
''''' I;I 
 
 
4.6. Teorema de Tellegen 
 
Consideremos uma rede com r ramos e n nós com elementos quaisquer. 
Adotando-se, para todos os elementos, a mesma convenção de sinais para 
tensões e correntes ( por exemplo, a convenção de receptor ), vale a expressão: 
 
 
 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 40
Fontes controladas – Tipos e Notação ( pág. 204 - YARO BURIAN ) 
 
a ) Tensão controlada por tensão. 
 
 
 
b ) Tensão controlada por corrente. 
 
 
 
][,:; Ωµµ aresistêncitransrireRrondeRieRiv mkmkmkkkkk −−−−========∴∴∴∴============
 
c ) Corrente controlada por corrente. 
 
 
 
d ) Corrente controlada por tensão. 
 
 
 
acondutâncitrans
R
bdov
R
1i
R
vi
k
mk
k
F
k
k
k −−−−================
α
α sen; . 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 41
Exercício: 
 
a ) Determine as correntes e tensões nos ramos do circuito a seguir por análise 
nodal. 
 
 
 
Solução: Por análise nodal, temos: 
 
 
 
 
6
V
6V
V
4
1
2
1
4
1
4
1
6
1
4
1
2
1
2
15 A
B
A
============>====>====>====>















++++−−−−
−−−−++++++++
====




 RVI
)(
)(
I
 
 
 





++++−−−−====
−−−−====
===>===>===>===>





++++−−−−====
−−−−====
BA
BA
BA
A
BA
V
4
3V
12
70
V
4
1V
12
1115
V
4
3V
4
1
3
V
V
4
1V
12
1115
 
 
 
volts153816V
volts76920V
V
V
4
3
12
7
4
1
12
11
0
15
B
A
B
A
,
,
====
====
===>===>===>===>















−−−−
−−−−
====





 =� 





====
====
====
74998
2511
541660
2
1
,
,
,
∆
∆
∆
 
 
volts,
,
,VA 76920541660
25111
==
∆
∆
= 
volts,
,
,VB 153816541660
749982
==
∆
∆
= 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 42
b ) Determine as correntes e tensões nos ramos do circuito anterior por análise 
de malhas. 
 
 
 
 Por análise de malhas : 
 
 
 
 











−−−−
−−−−
====





++++−−−−
−−−−
2
1
86
612
430
4
I
I
I)(
I
 ===� 1II −−−−==== 
 
 
2121
21211
823086430
6806124
IIIII
IIIII
++++−−−−====−−−−===>===>===>===>++++−−−−====++++−−−−
−−−−=======>===>===>===>−−−−====++++
 
 
 ==� 











−−−−
−−−−
====





−−−− 2
1
82
68
30
0
I
I
 =� 24018052 21 −−−−====−−−−======== ∆∆∆ ;; 
 
 
 ==� 
A6154
52
240
A463
52
180
2
2
1
1
,I
,I
−−−−====
−−−−
========
−−−−====
−−−−
========
∆
∆
∆
∆
 ==� A463,I ==== 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 43
Exercício: 
 
Determine os circuitos de Thevenin e Norton vistos dos pontos A e B do circuito 
a seguir. 
 
 
 
Solução: 
 
1o ) Determinação da tensão em vazio thE : 
 
 
 
 
 
 ==� 





1440
720
162
2
1
====
−−−−====
====
∆
∆
∆
 ==� 
A8888
A4444
2
1
,I
,I
====
−−−−====
 
 
0E88885444484444100Evvv thth21 ====++++××××−−−−××××++++−−−−××××−−−−===>===>===>===>====++++−−−−++++−−−− ,,,
 
 
volts5535E th ,−−−−==== 












====




−−−−
2
1
90
018
80
80
I
I
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 44
2o ) Determinação da corrente de curto-circuito. 
 
 
 
 3C III N ======== 
 
 




















−−−−−−−−
−−−−
−−−−
====









−−−−
===>===>===>===>




















−−−−−−−−
−−−−
−−−−
====









−−−−
3
2
1
3
2
13518
590
8018
0
80
80
1358
590
8018
i10
80
80 1
I
I
I
I
I
I
 ===>===>===>===> 
====
====
====
3
2
1
I
I
I
 
 
 360====∆ ; 
57601880580918
0518
8090
80018
3 −−−−====××××××××++++××××××××−−−−====










−−−−−−−−
−−−−
====∆ 
 
 A16
360
5760
N3 −−−−====
−−−−
======== II ==� Ω2218216
5535R th ,
,
========FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 45
Exercício: 
 
Determine a corrente I por análise de malhas, escolhendo os percursos mais 
adequados de forma a diminuir o número de determinantes a serem 
calculados. 
 
Observação: Esse exercício não faz sentido quando se usa a calculadora pois ela 
fornece diretamente as correntes. 
 
 
 
Solução: 
 
Pela figura temos 4 malhas, portanto necessitamos de 3 equações ( percursos ). 
 
Da maneira desenhada diminui-se o número de determinantes pois para achar I 
só precisa de 1I e tem-se I = 1I . Assim, necessita-se de apenas 1e ∆∆ . 
 
Se fizermos : 
 
 
 
 � 321 IIII ++++−−−−==== 
 
 Necessita-se de : ),,,( 321 ∆∆∆∆ 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 46
5. OUTRAS TÉCNICAS DE ANÁLISE DOS CIRCUITOS 
 
5.1. Divisores de Tensão 
 
 
 
( ) iRRRiRiRvvv S 212121 +==+=+= 
S
vv
RRR
i =
+
=
21
 
v
R
R
v
RR
R
iRv
S
1
21
1
11 =
+
== e v
R
R
v
RR
R
iRv
S
2
21
2
22 =
+
== 
 
Genericamente, para a i-ésima resistência em série, ter-se-ia: 
 
v
R
R
v
S
i
i = 
 
5.2. Divisores de Corrente 
 
 
 
vGv)GG(vGvGiii P=+=+=+= 212121 
PG
i
GG
i
v =
+
=
21
 
1
1
21
1
11 R
Ri
G
Gi
GG
G
vGi P
P
==
+
== e i
R
Ri
G
Gi
GG
G
vGi P
P 2
2
21
2
22 ==+
== 
 
Genericamente, para a n-ésima condutância/resistência em paralelo, ter-se-ia: 
 
i
R
Ri
G
Gi
n
P
P
n
n == 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 47
5.3. Super Nós - Circuitos Contendo Fontes de Tensão 
 
À primeira vista, pode parecer que a presença de fontes de tensão em um circuito 
complica a análise nodal. Não mais podemos escrever as equações empregando o 
processo simplificado, pois são desconhecidos os valores das correntes que fluem pelas 
fontes de tensão. Entretanto, a análise nodal não se torna mais complicada e em muitos 
casos, pode ser até mais fácil aplicá-la quando existem fontes de tensão, como veremos. 
 
 
Exemplo 1: Analise o circuito da Fig. 1 para obter as tensões nos nós. 
 
Solução: Indicamos os nós de não-referência como 54321 vevvvv ,,, e tomamos 
o sexto nó como o de referência, como mostrado. 
 
 
 
Fig. 1 Circuito contendo fontes de tensão 
 
Uma vez que existem seis nós (N=6), precisamos de cinco (N-1=5) equações. 
 
Sem escrevermos qualquer equação através da LKC podemos notar por inspeção, que: 
 
2
1
g45
g1
vvv
vv
====−−−−
====
 (01) 
 
Então, precisamos de somente três equações pela LKC. Para sistematizar e ao mesmo 
tempo eliminar a necessidade de conhecer os valores das correntes que fluem através 
das fontes de tensão, vamos então envolver as fontes de tensão com linhas tracejadas, 
como mostrado na Fig. 1. 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 48
Podemos pensar nestas superfícies como nós generalizados ou, como alguns autores 
preferem, super nós. Lembramos que a LKC se aplica para o super nó do mesmo modo 
que para um nó normal. Temos, portanto, dois super nós e dois nós normais, indicados 
como 32 vev , com um total de quatro nós. Então necessitamos de três equações pela 
LKC, que em conjunto com (01) constituem as cinco equações necessárias, em função 
das tensões de nós. 
 
Para completar a formulação das equações dos nós, vamos aplicar a LKC aos nós 
32 vev e ao super nó que contém 2gv . As duas primeiras são obtidas como segue: 
 
0vGvGvGvGGG 5432112421 ====−−−−−−−−−−−−++++++++ )( (02) 
 
0vGvGvGGG 45223532 ====−−−−−−−−++++++++ )( 
 
 
Finalmente, igualando a zero as correntes que deixam o super nó, temos 
 
0vGvvGvvG 56345254 ====++++−−−−++++−−−− )()( (03) 
 
O circuito é analisado pela solução simultânea de (01), (02) e (03). 
 
 
Exemplo 2: Como um segundo exemplo, vamos encontrar v no circuito da Fig. 2(a). 
 
Solução: O nó inferior é tomado como o de referência e os de não-referências são 
denominados v, ev1 2v , como mostrado na Fig. 2(b). 
 
 (a) Circuito original 
 
 (b) Circuito redesenhado para mostrar as tensões de nó 
 
Fig. 2 Circuito contendo fontes de tensão e de corrente 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 49
Por inspeção, vemos que: 
1v = v + 3 
20v2 ==== 
 
Isto é, o nó 1v está 3 volts acima do nó v e o nó 2v está 20 volts acima do terra. 
Interpretando as duas fontes de tensão como super nós, mostrado em tracejado, vemos 
que existem somente dois “nós“ , logo precisamos escrever somente uma equação de nó 
( em qualquer dos super nós ). É só o que é necessário, pois só existe uma equação de 
nó ( em qualquer dos super nós ). É só o que é necessário, pois só existe uma grandeza 
desconhecida, a tensão do nó v. 
 
A equação nodal para o super nó superior é 
 
6
4
v
2
3v
6
203v
====++++
++++
++++
−−−−++++
 
 
Onde, se v é dado em volts, todos os termos têm a unidade de miliampères. 
 
Resolvendo a equação têm-se v = 8 volts. 
 
 
5.4. Super Malhas - Circuitos Contendo Fontes de Corrente 
 
Como no caso de análise nodal de um circuito com fontes de tensão, a análise de 
malhas é mais fácil se presentes fontes de corrente. 
 
 
Exemplo 3: Analise circuito da Fig. 3 que tem duas fontes de corrente e uma fonte de 
tensão 
 
 
Fig. 3 Circuito com duas fontes de corrente e uma de tensão. 
 
Solução: Com as correntes de malha 321 ieii escolhidas como indicado, é claro que 
necessitamos de três equações independentes. Entretanto, nem todas estas precisam ser 
equações de malha. A presença de duas fontes de corrente nos dá duas restrições que 
podem ser obtidas por inspeção: 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 50
2g13
1g2
iii
ii
====−−−−
−−−−====
 (04) 
 
 Portanto, só necessitamos de mais uma equação. Desde que ela terá que vir da LKT, 
precisamos selecionar um percurso fechado no qual todas as tensões sejam facilmente 
obtidas. Isto é, devemos evitar as fontes de corrente visto que suas tensões não são 
facilmente encontradas. 
 
Se imaginarmos por um instante que as duas fontes de corrente são removidas, isto é, 
abertas, então teremos duas malhas a menos. Mas já temos duas equações, então ainda 
existem malhas suficientes para o número de equações necessário. Além disto, os laços 
que sobram (eles não podem ser malhas) terão somente resistores e fontes de tensão e, 
portanto, a LKT é facilmente aplicável. Ressalte que não estamos retirando as fontes de 
corrente. Apenas as imaginamos fora por um instante para localizar os laços onde a LKT 
será aplicada. 
 
Retornando à Fig. 3 e imaginando por um momento que as fontes de corrente estejam 
abertas, observamos que temos apenas uma malha, a saber, a malha que contém 
321g ReRRv 3 ,, . 
 
Aplicando a LKT a esta malha, temos a nossa terceira equação. 
 
3g33232211 viRiiRiiR ====++++−−−−++++−−−− )()( (05) 
 
A análise do circuito pode agora ser completada pela solução de (04) e (05). 
 
 
Exemplo 4: Como um exemplo, vamos completar a análise da Fig. 3, fazendo 
volts38vA5iA2i3R1R4R 3g2g1g321 ======================== ,,,,, ΩΩΩ , 
conforme mostra a Fig. 4. 
 
 
Fig. 4 Circuito com duas fontes de corrente e uma de tensão 
 
FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo I 51
Solução: Resolvendo a partir das Equações (04) e (05) vem: 
 
38i3ii1ii4
5ii
2i
32321
13
2
====++++−−−−++++−−−−
====−−−−
−−−−====
)()(
 
 
de onde se obtém A6ie2i1i 321 ====−−−−======== , . 
 
 Neste exemplo, podemos simplificar o processo pelo uso decorrentes de laço, em vez 
de correntes de malha. Suponha que o problema é encontrar a corrente que desce sobre 
3R , que é evidente, 3i = 6 A. Vamos usar as correntes de laço cba ieii , , como na 
Fig. 4, onde ci é agora a corrente que desce sobre Ω3R3 ==== , e nos será útil tomar 
somente uma corrente de laço, que é a mesma da fonte de corrente. Por inspeção temos 
 
5i
2i
b
a
====
====
 
 
e pela LKT em volta do laço de ci 
 
ou, 
38i3i21i524
38i3ii1iii4
ccc
ccacba
====++++++++++++++++−−−−
====++++++++++++++++−−−−
)()(
)()(
 
 
Resolvendo esta equação, temos ci = 6 A, como anteriormente. 
 
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	Apostila - Cap1-Parte2.pdf
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