conservação de energia cap 8

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Professor Me: Lucas Corrêa de Almeida 
Energia potencial e 
Conservação da energia 
Prof Me.:Lucas Corrêa de Almeida 
Introdução 
 Por que uma grande avalanche 
pode atingir uma distancia quase 30 
vezes maior que uma avalanche 
pequena? 
 
 Quando uma avalanche de 
pedras desce a encosta de uma 
montanha e chega a um vale, o atrito 
entre as pedras e o solo acaba por 
imobilizar as pedras. 
 A distância que as pedras percorrem em um vale e, normalmente, cerca 
de 2/3 da altura de onde caíram. 
 
 Nas grandes avalanches, porem, quando uma grande quantidade de 
pedras desce uma montanha essa distancia pode ser ate 30 vezes maior, o 
suficiente para colher de surpresa os moradores de uma cidade próxima 
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Energia potencial 
 Energia potencial e qualquer energia que pode ser associada 
a configuração (arranjo) de um sistema de objetos que exercem 
forças uns sobre as outros. 
 
 
Energia potencial gravitacional 𝑼 : 
 Trata-se de uma energia associada 
ao estado de separarão vertical entre dais 
objetos que se atraem mutuamente 
através da força gravitacional. 
Energia potencial elástica 𝑼: Trata-se da 
energia associada ao estado de 
compressão ou distensão de um objeto 
elástico. 
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Trabalho e energia potencial 
Suponha que uma bola de beisebol seja arremessada para cima: 
 
Enquanto a bola está subindo, o trabalho 𝑊𝑔 realizado pela força 
gravitacional sobre ela é negativo, porque a força extrai energia 
da energia cinética do objeto. 
A bola perde velocidade, para e começa a cair de volta por 
causa da força gravitacional. Durante a queda a transferência 
de energia se inverte, pois, a força gravitacional passa a 
transferir energia potencial, devido a altura, em energia 
cinética. 
Tanto na subida como na descida a variação ∆𝑈 da energia 
potencial gravitacional é definida como o negativo do trabalho 
realizado sobre o corpo pela força gravitacional, ou seja, 
∆𝑈 = −𝑊 
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Forças conservativas e dissipativas 
 Uma força é dita conservativa quando seu trabalho independe da 
trajetória, dependendo apenas das posições inicial e final 
 
 A força gravitacional e a força elástica são exemplos de forças 
conservativas. 
 
 Uma força que não é conservativa é chamada de dissipativa. 
 
 Exemplos de forças dissipativas são a força de atrito cinético e a força de 
arrasto. 
 
 Se um bloco desliza em um piso com atrito, a força de atrito cinético 
exercida pelo piso realiza trabalho negativo sobre o bloco, reduzindo sua 
velocidade e transferindo energia cinética do bloco para uma outra forma 
de energia, chamada de energia térmica (que está associada ao movimento 
dos átomos e moléculas). 
 
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Forças conservativas e dissipativas 
Observações importantes: 
 
 Os experimentos mostram que essa transferência de energia não 
pode ser revertida (a energia térmica não pode ser transferida de 
volta para a energia cinética do bloco pela força de atrito cinético). 
Assim, a energia térmica NÃO é uma energia potencial! 
 
 O teste principal para determinar se uma força é conservativa ou 
dissipativa é o seguinte: deixa-se a força atuar sobre uma partícula que 
se move ao longo de um percurso fechado, começando em uma certa 
posição e retornando a essa posição (ou seja, fazendo uma viagem de 
ida e de volta). A força é conservativa se e apenas se a energia total 
transferida durante a viagem de ida e de volta, ao longo deste ou de 
qualquer outro percurso fechado, for nula. 
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Exemplos 
 Exemplo 1 (8.1): 
 A figura mostra um pedaço de 2,0 kg de queijo gorduroso que 
desliza por um trilho sem atrito do ponto a ao ponto b. 0 queijo 
percorre uma distancia total de 2.0 m ao longo do trilho e uma 
distancia vertical de O,80 m. Qual e o trabalha realizado sabre o 
queijo pela força gravitacional durante o deslocamento? 
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Exemplos 
 Solução: 
 Sabemos que 𝑊𝑔 = 𝑚 . 𝑔 . 𝑑 . 𝑐𝑜𝑠 𝜑. Entretanto, não podemos usar essa equação, 
visto que o ângulo φ entre a força e o deslocamento variam constantemente nesta trajetória. Como 
a força da gravidade é conservativa, podemos escolher outra trajetória entre a e b para o cálculo do 
trabalho 
 Usando o percurso da figura b, temos: 
 
Vertical: 𝑊𝑔 = 2 . 9,8 . 0,8 . 𝑐𝑜𝑠 0 = 15,7 𝐽 
 
Horizontal: 𝑊𝑔 = 2 . 9,8 . 0,8 . 𝑐𝑜𝑠 90 = 0. (vemos que não há trabalho gravitacional na 
horizontal) 
 
 Então, o trabalho total realizado sobre o queijo por 𝐹𝑔 quando o queijo se desloca do 
ponto ao ponto b ao longo do percurso tracejado é 15,7 𝐽. 
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Energia potencial gravitacional 
 Vimos que a variação de energia potencial é dada por 
Δ𝑈 = − 𝑊. 
 Se uma partícula sai da posição inicial (𝑦0) e vai até a 
posição final (𝑦), e se tomarmos o sentido do eixo 𝑦 positivo para 
cima, g terá sinal negativo e a equação se torna: 
 𝑈 – 𝑈0 = − 𝑊 → 
 𝑈 – 𝑈0 = − 𝑚 −𝑔 𝑦 – 𝑦0 → 
 𝑈 – 𝑈0 = 𝑚 𝑔 (𝑦 – 𝑦0). 
 
 Podemos ainda tomar 𝑈0 como sendo a energia potencial 
gravitacional do sistema quando ele se encontra em uma 
configuração de referência no ponto de referência. Então 
𝑈 = 𝑚 . 𝑔 . 𝑦 
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Exemplos 
 Exemplo 2 (8.2): 
 Uma preguiça de 2,0 𝑘𝑔 esta 
pendurada a 5,0 m acima do solo (ver 
figura). 
(a) Qual e a energia potencial 
gravitacional 𝑈 do sistema preguiça-
Terra se tomamos o ponto de 
referencia 𝑦 = 0 como estando 
(1) no do solo, 
(2) no piso de uma varanda que esta a 
3,0 𝑚 acima do solo. 
(3) no galho onde esta a preguiça e 
(4) 1,0 𝑚 acima do galho? Considere a 
energia potencial como sendo nula 
em 𝑦 = 0. 
(b) A preguiça desce da arvore. Para 
cada escolha do ponto de referenda, 
qual e a variação ∆𝑈 da energia 
potencial do sistema preguiça-Terra? 
 
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Exemplos 
 Solução: 
 
a) A referência da preguiça é 𝑦 = 5,0 𝑚, assim: 
 
(1) 𝑈 = 𝑚. 𝑔. 𝑦 → 𝑈 = 2. 9,8 . (5,0) → 𝑈 = 98𝐽 
 
(2) 𝑈 = 𝑚. 𝑔. 𝑦 → 𝑈 = 2. 9,8 . (2,0) → 𝑈 = 39𝐽 
 
(3) 𝑈 = 𝑚. 𝑔. 𝑦 → 𝑈 = 2. 9,8 . (0) → 𝑈 = 0𝐽 
 
(4) 𝑈 = 𝑚. 𝑔. 𝑦 → 𝑈 = 2. 9,8 . −1,0 → 𝑈 = −19,6𝐽 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos 
Solução: 
 
b) A variação da energia potencial não depende da escolha do ponto 
de referência, mas apenas de Δ𝑦, a variação de altura. 
Nas quatro situações temos o mesmo valor Δ𝑦 = −5,0 𝑚. Assim, 
para as quatro situações: 
 
Δ𝑈 = 𝑚 𝑔 Δ𝑦 = (2,0 𝑘𝑔) (9,8 𝑚/𝑠²) (−5,0 𝑚) = −98 𝐽 
. 
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Sistemas conservativos e energia mecânica 
Você já reparou que, em uma montanha-russa, a altura em que o 
carrinho inicia a primeira descida é maior dentre todas e que, 
portanto, ele não atinge essa altura em nenhuma outra ocasião? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para entender por que isso ocorre, vamos supor que alguém tenha 
descoberto como eliminar totalmente o atrito que sempre 
acompanha o movimento e que resolva aplicar sua descoberta à 
construção de uma montanha-russa. 
 
 
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Sistemas conservativos e energia mecânica 
 Logo, a pessoa percebe que, ao contrário do que ocorre na 
realidade, a altura inicial do carrinho pode ser alcançada infinitas 
vezes. 
 
 Numa montanha-russa ideal, em qualquer posição que o 
carrinho esteja, a soma das suas energias cinética e potencial 
terá sempre o mesmo valor. Essa soma échamada de energia 
mecânica. Sistemas em que a energia mecânica total se mantém 
constante são chamados sistemas conservativos. 
 
 
 
 
 
OBS: A energia mecânica, quando conservada (∆𝐸𝑚𝑒𝑐 = 0), indica 
que o sistema é conservativo. 
 
 
 
 
 
 
𝐸𝑚𝑒𝑐 = 𝐾 + 𝑈 
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Exemplos 
 Exemplo 3: 
 
 A figura mostra quatro situações: uma na qual um bloco 
inicialmente em repouso é deixado cair e três outras nas quais 
o bloco desce deslizando em rampas sem atrito. (a) Ordene as 
situações de acordo com a energia cinética do bloco no ponto 
B, em ordem decrescente. (b) Ordene as situações de acordo 
com a velocidade do bloco no ponto B, em ordem decrescente 
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Exemplos 
 Solução: 
 
 a) Como a força gravitacional é conservativa: 𝐸𝑚𝑒𝑐 do 
sistema é constante. Inicialmente, o bloco tem 𝑉0 = 0, em todos os 
quatro casos e suas alturas são iguais a ℎ. A equação da variação de 
energia mecânica 𝐸𝑚𝑒𝑐 do sistema (antes (em A) e depois (em B)) 
em todos os casos é: 
𝐸𝑚𝑒𝑐𝐴 = 𝐸𝑚𝑒𝑐𝐵 → 
 𝑈A + KA = UB + KB → 
 𝑚 . 𝑔 . ℎ𝐴 +
𝑚,𝑣𝐴
2
2
 = 𝑚𝑔ℎ𝐵 + 𝐾𝐵 
Como 𝑣𝐴 = 0 e ℎ𝐵 = 0 (para todos os quatro casos), temos: 
 
𝑚 . 𝑔 . ℎ𝐴 + 0 = 0 + 𝐾𝐵 → 𝑘𝐵 = 𝑚 . 𝑔 . ℎ𝐴 
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Exemplos 
 Solução: 
 
b) Da mesma forma, como a energia cinética da partícula em B é a 
mesma para quaisquer das quatro situações, a velocidade da 
partícula em B é igual nas quatro situações. 
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Exemplos 
 Exemplo 3: 
Na figura, uma criança de massa m parte do 
repouso no alto de um toboágua, a uma altura 
ℎ = 8,5 𝑚 acima da base do brinquedo. 
Supondo que a presença da água torna o atrito 
desprezível, encontre a velocidade da criança 
ao chegar à base do toboágua. 
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Exemplos 
 Solução: 
 
 
 
 
𝐸𝑚𝑒𝑐𝐴 = 𝐸𝑚𝑒𝑐𝐵 → 
 
𝑈A + KA = UB + KB → 
 
𝑚 . 𝑔 . ℎ𝐴 +
𝑚,𝑣𝐴
2
2
 = 𝑚𝑔ℎ𝐵 + 𝐾𝐵 → 
 
𝑚 . 𝑔 . ℎ𝐴 + 0 = 0 +
𝑚,𝑣𝐵
2
2
 → 
 
𝑉𝐵
2
2
= 9,8 . 8,5 → 
 
𝑉𝐵 = 12,9 𝑚/𝑠