Estatística - UVA - Aula 04

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ESTATÍSTICA I 
AULA 4 
Profª Adriana Maria Balena Tostes 
Estas são as notas ordenadas de Estatística I, de 50 alunos da UVA, em dezembro de 2014, 
retiradas da caderneta da professora. 
Pede-se: 
a)  A tabela de distribuição de frequências COM intervalos de classe e Li=30 
b)  As frequências absolutas, relativas e acumuladas. 
c)  Os pontos médios das classes, o histograma e o polígono de frequências. 
33	
   50	
   64	
   71	
   81	
  
35	
   52	
   65	
   73	
   84	
  
35	
   53	
   65	
   73	
   85	
  
39	
   54	
   65	
   74	
   85	
  
41	
   55	
   66	
   74	
   88	
  
41	
   55	
   66	
   76	
   89	
  
42	
   57	
   67	
   77	
   91	
  
45	
   59	
   68	
   77	
   94	
  
47	
   60	
   68	
   78	
   94	
  
48	
   61	
   69	
   80	
   98	
  
3 
Notas	
  de	
  Esta4s5ca	
  I,	
  de	
  50	
  alunos	
  da	
  UVA,	
  em	
  junho	
  de	
  2014	
  
Notas	
   fi	
   fr%	
   Fi	
   Fr%	
   Xi	
  
30	
   |-­‐-­‐-­‐	
   40	
   4	
   8%	
   4	
   8%	
   35	
  
40	
   |-­‐-­‐-­‐	
   50	
   6	
   12%	
   10	
   20%	
   45	
  
50	
   |-­‐-­‐-­‐	
   60	
   8	
   16%	
   18	
   36%	
   55	
  
60	
   |-­‐-­‐-­‐	
   70	
   12	
   24%	
   30	
   60%	
   65	
  
70	
   |-­‐-­‐-­‐	
   80	
   9	
   18%	
   39	
   78%	
   75	
  
80	
   |-­‐-­‐-­‐	
   90	
   7	
   14%	
   46	
   92%	
   85	
  
90	
   |-­‐-­‐-­‐	
   100	
   4	
   8%	
   50	
   100%	
   95	
  
Total	
   50	
   100%	
   	
  	
   	
  	
   	
  	
  
Fonte:	
  Caderneta	
  da	
  profª	
  
0 
3 
6 
9 
12 
15 
20 |--- 30 30 |--- 40 40 |--- 50 50 |--- 60 60 |--- 70 70 |--- 80 80 |--- 90 90 |--- 100 100 |--- 
110 
Notas de Estatística I, de 50 alunos da UVA, 
em junho de 2014 
0 
3 
6 
9 
12 
15 
25 35 45 55 65 75 85 95 105 
Notas de Estatística I, de 50 alunos da 
UVA, em junho de 2014 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas de Posição 
São medidas que representam uma série de dados, orientando-nos 
quanto à posição da distribuição, em relação ao eixo horizontal, do 
gráfico da curva de frequência. 
 
As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência 
central, que recebem tal denominação pelo fato de os dados 
observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores 
centrais. Dentre as medidas de tendência central, destacamos: a média, 
a mediana e a moda. 
 
Outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam a 
própria mediana, os quartis, os decis e os percentis. 
 
•  Dados não agrupados 
•  Dados agrupados SEM intervalos de classes 
•  Dados agrupados COM intervalos de classe 
 
•  Dados não agrupados 
•  Dados agrupados SEM intervalos de classes 
•  Dados agrupados COM intervalos de classe 
•  Separatrizes 
 
•  Dados não agrupados 
•  Dados agrupados SEM intervalos de classes 
•  Dados agrupados COM intervalos de classe 
Média ( ou μ) 
 
 X = Σ xi 
 n 
 
Sendo: 
 X – a média aritmética amostral; 
 xi – os valores da variável; 
 n – o número de entradas em uma amostra 
 
 µ = Σ xi 
 N 
 
Sendo: 
 µ – a média aritmética amostral; 
 xi – os valores da variável; 
 N – o número de entradas em uma população 
1 - Para dados não agrupados: 
Exemplos: 
1- Os preços (em dólares) para uma amostra de voos de 
ida e volta partindo de Chicago para Cancun são listados 
a seguir. Qual é o preço médio dos voos? 
 872 432 397 427 388 782 397 
 
2-As idades de todos os funcionários de um 
departamento estão listadas a seguir. Calcule a média de 
idades desses funcionários. 
 34 27 50 45 41 37 24 57 40 38 62 44 39 40 
1)  X = $527,90 
2)  μ=41,3 anos 
Média ( ou μ) 
 
 X = Σ (xi.fi) 
 n 
 
Sendo: 
 X – a média aritmética amostral; 
 µ – a média aritmética populacional; 
 xi – os valores da variável; 
 fi – a frequência da classe 
 n – o número de entradas em uma amostra 
 N – o número de entradas em uma população 
 
 µ = Σ (xi.fi) 
 N 
 
2 - Para dados agrupados SEM intervalo de classe: 
Valor em torno do qual os dados estão 
concentrados 
Exemplo: 
¨  A tabela seguinte apresenta o número de refeições 
servidas por dia, em um restaurante do Rio de Janeiro, 
durante um mês . Pede-se calcular o número médio de 
refeições servidas no restaurante neste mês. 
Nº de refeições 
servidas / dia	
  
Quantidade de 
dias (fi)	
  
154 12 
157 8 
160 10 
Total 30 
Média ( ou μ) 
 
 X = Σ (Xi.fi) 
 n 
 
Sendo: 
 X – a média aritmética amostral; 
 µ – a média aritmética populacional; 
 Xi – os pontos médios das classes; 
 fi – a frequência da classe 
 n – o número de entradas em uma amostra 
 N – o número de entradas em uma população 
 
 µ = Σ (Xi.fi) 
 N 
 
3 - Para dados agrupados COM intervalo de classe: 
Exemplo: 
¨  A tabela seguinte apresenta o número de refeições 
servidas por dia, em um restaurante do Rio de 
Janeiro, durante um mês . Pede-se calcular o número 
médio de refeições servidas no restaurante neste 
mês. 
Nº refeições fi Xi Fi. Xi 
154 |-- 156 12 155 1860	
  
156 |-- 158 8 157 1256	
  
158 |-- 160 10 159 1590	
  
Total 30 4706	
  
Moda (Mo) 
Valor (ou valores) mais frequente(s). 
Pode ser usada quando trabalhamos com variáveis categóricas (qualitativas). 
Uma distribuição pode ser unimodal, bimodal, trimodal, polimodal ou amodal 
 1 - Para dados não agrupados: 
Exemplos: 
a) 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6 
 Mo = 4 
 
b) 1, 2, 3, 4, 5 
 Mo = - 
 
c) 4, 4, 4, 4, 4 
 Mo = - 
 
Alguns pesquisadores consideram Mo=4 pois será o número em torno 
do qual a distribuição se concentra. Outros dizem ser amodal pois não 
tem um valor que se repetiu mais do que outro. 
Moda: 
Tipo 
sanguíneo 
fi 
O 717 
A 414 
B 165 
AB 53 
Mo = sangue tipo O 
2 - Para dados agrupados SEM intervalo de classe: 
Basta identificar a classe que apresenta a maior frequência 
Moda: 
3 - Para dados agrupados COM intervalo de classe: 
Dois processos: 
 
Processo 1: 
Basta identificar o intervalo de classe que apresenta a maior frequência (classe 
modal) e calcular o ponto médio do intervalo desta classe. 
 
Processo 2: Fórmula de Czuber 
 
h = amplitude da classe modal 
Exemplo: 
Estaturas (cm) Frequencia Absolluta 
150 |--- 154 4 
154 |--- 158 9 
158 |--- 162 11 
162 |--- 166 8 
166 |--- 170 5 
170 |--- 174 3 
Total 40 
Mo = 160 
 
Mo = 159,6 
Mediana (Md) 
—  Valor que divide um grupo de valores ordenados em duas 
partes com o mesmo número de termos. 
 
—  50% dos dados estão abaixo desta medida e 50% estão acima. 
 
—  Vem nos auxiliar porque a média é fortemente influenciada por 
valores discrepantes. 
Mediana (Md) 
1 - Para dados não agrupados: 
Ø Quando temos um número ímpar de dados a mediana será o valor que ocupa a posição central do rol. 
Ø  Quando temos um número par de dados a mediana será a média aritmética entre os dois termos centrais do 
rol. 
 
Exemplos: 
1)  Considere o preço, em reais, da gasolina coletados em sete postos de uma cidade: 
 
 1,99 2,08 2,03 2,05 1,98 1,99 2,09 
 
 Rol: 
 1,98 1,99 1,99 2,03 2,05 2,08 2,09 Me=2,03 
 
 
 
 2) Considere o preço, em reais, da gasolina coletados em seis postos de uma cidade: 
 
 1,99 2,08 2,03 2,05 1,98 1,99 
 
 Rol:1,98 1,99 1,99 2,03 2,05 2,08 Me=(1,99 + 2,03)/2 = 2,01 
 
Mediana (Md) 
2 - Para dados agrupados SEM intervalo de classe: 
•  O valor que divide a distribuição de frequências em 2 grupos com mesmo número de 
elementos estará na posição dada por: 
•  Neste caso basta identificar a classe que contenha a frequência acumulada 
imediatamente superior à metade da soma das frequências, ou identificar a primeira 
classe de frequência relativa acumulada que contenha mais de 50% dos dados. 
•  Exemplo: 
Tamanho 
do sapato 
fi Fi 
36 5 5 
37 9 14 
38 4 18 
39 4 22 
40 3 25 
Total 25 
Posto da mediana = 13 
 
Como a 13 observação está no F2, 
então o valor que ocupa a 13ª 
posição é o tamanho 37. 
 
Portanto o tamanho mediano dos 
sapatos é 37. 
Mediana (Md) 
3 - Para dados agrupados COM intervalo de classe: 
- Interpolação, área no histograma, fórmula, Ogiva de Galton, dentre outros: 
 
Interpolação: 
 
1º) Identificar a classe da mediana (posto) que é aquela que apresenta a 
frequência acumulada imediatamente maior ao quociente: 
 
2º) Encontrar o valor da mediana por meio da igualdade dos quocientes: 
Exemplo: 
Estatura	
  das	
  alunas	
  de	
  Esta4s5ca	
  I,	
  da	
  UVA	
  em	
  Fev/2015	
   	
  	
  
Estaturas	
  (cm)	
   fi	
   Fi	
   fri	
   Fri%	
  
150	
  |-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐	
  154	
  	
   4	
   4	
   10%	
   10%	
  
154	
  |-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐	
  158	
  	
   9	
   13	
   23%	
   33%	
  
158	
  |-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐	
  162	
  	
   11	
   24	
   28%	
   60%	
  
162	
  |-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐	
  166	
  	
   8	
   32	
   20%	
   80%	
  
166	
  |-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐	
  170	
  	
   5	
   37	
   13%	
   93%	
  
170	
  |-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐	
  174	
  	
   3	
   40	
   8%	
   100%	
  
Total	
   40	
   	
  	
   100%	
   	
  	
  
Dados	
  Fic4ceos	
  
Calcular a mediana da distribuição abaixo: 
Md=160,54 
•  Como vimos, a mediana caracteriza uma série de valores devido 
à sua posição central. 
 
•  Além das medidas de posição que estudamos, há outras que, 
consideradas individualmente, não são medidas de tendência 
central, mas são medidas de posição. Essas medidas são: 
§  Os quartis 
§  Os percentis 
§  Os decis 
•  Denominamos quartis os valores de uma série que a 
dividem em 4 partes iguais. 
 
•  Há portanto três quartis: 
 
ü  Q1 – Primeiro quartil – valor situado de tal modo na série 
que uma quarta parte (25%) dos dados é menor que ele e 
as três quartas partes restantes (75%) são maiores. 
 
ü  Q2 – Segundo quartil – Mediana 
 
ü  Q3 – Terceiro quartil - valor situado de tal modo na série 
que as três quartas partes (75%) dos dados são menores 
que ele e uma quarta parte (25%) é maior. 
¨  Quando os dados são agrupados, para determinar os quartis 
substituímos na fórmula da mediana, o termo 
●  Para determinar os percentis, substituímos na fórmula da mediana, o termo 
¨  Calcule os quartis e o 20º percentil da distribuição abaixo: 
Custos Frequência 
Absoluta 
Frequencia 
Acumulada 
450 |--- 550 8 8 
550 |--- 650 10 18 
650 |--- 750 11 29 
750 |--- 850 16 45 
850 |--- 950 13 58 
950 |--- 1050 5 63 
1050 |--- 1150 1 64 
Total 64 
Comparando a média, a mediana e a 
moda 
Seja uma amostra da idade de 20 alunos de Estatística I. 
 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 
 22 22 22 23 23 23 23 23 23 67 
¨  Encontre a média, a mediana e a moda para estas 
idades. 
¨  Qual medida de tendência central melhor descreve 
uma entrada típica desse conjunto de dados? 
¨  Represente graficamente os dados. 
 
Média = 23,75 anos 
Mediana = 21,5 anos 
Moda = 20 anos ou 23 anos 
 
 
Interpretação: A média leva em conta todos os dados e foi fortemente influenciada pelo 
valor discrepante de 65 anos. Por ser bimodal a distribuição, a moda não esclarece 
muito. Já a mediana neste caso descreve melhor o conjunto de dados. 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
0 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
Idade dos alunos 
Moda 
Média 
Mediana 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Retire o outleier e refaça o exercício 
Média = 20,4 anos 
Mediana = 21anos 
Moda = 20 anos ou 23 anos 
 
 
Interpretação: Os dados estão girando em torno de 20-21 anos. 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
0 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
Idade dos alunos 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Forma das Distribuições 
Para onde a 
cauda se estende 
Forma das distribuições 
Quando a distribuição for simétrica e 
unimodal, a média, a mediana e a 
moda são iguais 
Se a distribuição for assimétrica à 
esquerda (negativamente assimétrica), 
a média é menor que a mediana que é 
menor que a moda. 
Se a distribuição for simétrica e 
uniforme a média e a mediana são 
iguais. Não haverá moda para essa 
distribuição. 
Se a distribuição for assimétrica à 
direita (positivamente assimétrica), a 
média é maior que a mediana que é 
maior que a moda. 
A média sempre irá na direção que a 
distribuição for assimétrica, ou seja, na 
direção da cauda. 
1- Durante determinada hora do dia, uma pessoa fez 5 ligações de seu aparelho 
celular. O tempo, em minutos, gasto em cada ligação está relacionado abaixo: 
 2 5 14 10 5 
 
a) Qual o tempo médio de duração das ligações feitas por essa pessoa durante este 
período? 
 
b) Qual o tempo mediano de duração das ligações de Amanda? 
c) Qual é o tempo modal de duração das ligações de Amanda? 
d) Sabendo que o valor da tarifa por minuto de ligação na operadora é de R$1,05, 
quanto foi o gasto médio por ligação? 
Exercícios: 
7,2 
5 
5 
R$7,56 
2- As mensalidades em reais de 20 universidades referentes os curso de 
Pedagogia estão relacionados a seguir: 
 
a)  Qual o custo médio de uma mensalidade para o referido custo? 
b)  Qual o valor modal das mensalidades do custo? 
Mensalidade R$ 
Nº de 
univesidades 
(fi) 
PMi 
(Xi) PMi . Fi 
[400,500[ 8 450 3600 
[500,600[ 7 550 3850 
[600,700[ 2 650 1300 
[700,800[ 1 750 750 
[800,900[ 1 850 850 
[900,1000[ 1 950 950 
 20 11300 
565 
450 
3- No último vestibular de uma faculdade para o curso de Jornalismo, a prova 
constava de 98 questões objetivas. Compareceram 1.200 alunos ao exame 
e os resultados encontram-se na distribuição de frequência abaixo. 
Calcular a média e a mediana dessa distribuição. 
Quan5dade	
  
de	
  pontos	
  
Nº	
  de	
  alunos	
  	
  	
  	
  	
  	
  
(fi)	
   PMi	
  (Xi)	
   PMi	
  .	
  Fi	
   Fi	
  
[0,20[	
   320	
   10	
   3200	
   320	
  
[20,40[	
   250	
   30	
   7500	
   570	
  
[40,60[	
   412	
   50	
   20600	
   982	
  
[60,80[	
   126	
   70	
   8820	
   1108	
  
[80,100[	
   92	
   90	
   8280	
   1200	
  
Total	
  	
   1200	
   	
  	
   48400