Estatística - UVA - Aula 07

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Introdução ao Cálculo 
das Probabilidades 
Profª Adriana Maria Balena Tostes 
Eventos Condicionados (E1 / E2) 
Dois eventos associados a uma mesma 
experiência são ditos condicionados 
quando a ocorrência prévia de um deles 
aumenta ou diminui a ocorrência do outro. 
 
Exemplos: 
Ir a praia e fazer sol 
Letra u e letra q 
Almoçar e ter fome 
 
 
Probabilidade Condicionada 
É o percentual de ocorrência de um evento 
E2 sabendo que outro evento E1 já ocorreu. 
 
OBS.: Com P(E1)≠0 
1- Numa escola com 100 alunos, 40 estudam só 
matemática, 30 estudam só inglês e 20 estudam 
matemática e inglês. Sabendo que o um aluno já estuda 
matemática qual a probabilidade de estudar inglês? 
40 20 30 
10 
20/60 = 33% 
Exemplos 
M I 
2- Suponha que o seguinte quadro represente uma possível divisão 
dos alunos matriculados em um dado instituto de matemática, num 
dado ano: 
Curso M F Total 
Matemática 
Pura 
70 40 110 
Matemática 
Aplicada 
15 15 30 
Estatística 10 20 30 
Computação 20 10 30 
Total 115 85 200 
Seleciona-se um estudante deste instituto. Foi constatado que 
ele era do curso de estatística. Qual a probabilidade dele ser 
do sexo masculino? 
Resposta: 10/30 = 33% 
3- Em uma cidade existem 15000 usuários de telefonia, dos 
quais 10000 possuem telefones fixos, 8000 telefones 
móveis e 3000 têm telefones fixos e móveis. Seja a 
experiência aleatória de uma operadora de telefone móvel 
selecionar uma pessoa da cidade para oferecer uma 
promoção do tipo “fale grátis de seu móvel para seu fixo”. 
Pergunta-se: 
 
a)  Já sabendo que ela tem um telefone móvel, qual a 
probabilidade de ela ter telefone fixo também? 
 
b)  Já sabendo que ela tem um telefone fixo, qual a 
probabilidade de ela ter telefone móvel também? 
a)  37,5% b)30% 
Regra do produto para eventos 
condicionados 
—  Se dois eventos são condicionados, então: 
Teorema da Probabilidade Total 
Sejam os eventos E1, E2, …, En eventos complementares que constituem uma 
partição do espaço amostral Ω e B um evento qualquer em Ω. Então, pode-se ter a 
seguinte visualização em diagrama: 
A probabilidade P(B) pode ser definida pela expressão, conhecida como teorema da 
Probabilidade Total: 
E1 E2 
… 
En 
B 
E1∧B E2∧B 
En∧B 
Ω 
Exemplo: 
Um piloto de fórmula I tem 50% de probabilidade de vencer determinada 
corrida quando esta se realiza sob chuva. Caso não chova durante a corrida 
sua probabilidade de vitória é de 25%. Se o serviço de meteorologia estimar 
em 30% a probabilidade de que chova durante a corrida, qual é a probabilidade 
deste piloto ganhar a corrida? 
Teorema de Bayes 
Considere E1, E2, E3, …., En eventos mutuamente exludentes cuja união 
representa o espaço amostral Ω. 
Assim, se B é um evento qualquer, temos o seguinte teorema, conhecido 
como Teorema de Bayes, ou Teorema da Probabilidade das Causas ou dos 
Antecedentes, ou Teorema da Probabilidade a posteriori, dado pela fórmula: 
 
O Teorema de Bayes é importante porque inverte probabilidades 
condicionais. Ele nos dá a probabilidade de uma causa ocorrer, desde que 
B já tenha ocorrido. Aí se questiona até que ponto a causa Ei teve 
participação nesta ocorrência. 
Exemplo 1: 
—  Em uma cidade, durante um período de observação, verificou-se 
que o trânsito ficou engarrafado no horário do rush da manhã 30% 
das vezes. Nos dias em que o trânsito ficou engarrafado, um 
funcionário chegou atrasado 10% das vezes e nos dias de trânsito 
bom, ele chegou atrasado com uma frequencia de 1%. Certo dia o 
funcionário chegou atrasado. Qual a probabilidade de ter sido em 
um dia de trânsito engarrafado? 
Efeito: chegar atrasado 
Causas: trânsito engarrafado, trânsito bom 
 
 P(E)= 30% P(Ē) = 70% 
P(A/E) = 10% P(A/Ē) = 1% 
 
 
P(E/A) = ? 
atrasado 
E Ē 
Resposta: 81% 
Exemplo 2: 
—  Ficou constatado que o aumento nas vendas de certo produto 
comercializado por certa empresa num certo mês pode ocorrer somente 
por uma das causas mutuamente exclusivas: ação de marketing, 
publicidade/propaganda, oscilações econômicas no país e sazonalidade. A 
probabilidade de haver uma ação de marketing eficaz no mês é de 40%; de 
publicidade/propaganda, 30%; oscilações econômicas no país 20%; e 
sazonalidade, 10%. Uma pesquisa mostrou que a probabilidade de haver 
aumento nas vendas do produto devido a uma ação de marketing eficaz é 
de 7%; de publicidade/propaganda é de 7,5%, de oscilações econômicas no 
país de 3% e de sazonalidade 2%. Em um dado mês, o incremento nas 
vendas foi considerável. Indique a causa mais provável. Qual a probabilidade 
de aumento das vendas em um dado mês? 
MK PP OE SA 
Aumento nas 
vendas 
Resposta: mk=47,8% pp=38,5% 
oe= 10,3% sa = 3,4% 
P(aumento) = 5,8% 
Efeito: aumento nas vendas 
Causas: ação de marketing 
 publicidade/propaganda 
 oscilações econômicas no país 
 sazonalidade 
P(MK) = 0,4 P(A/MK) = 0,07 P(MK/A) = ? 
P(PP) = 0,3 P(A/PP) = 0,075 P(MK/A) = ? 
P(OE) = 0,2 P(A/OE) = 0,03 P(MK/A) = ? 
P(SA) = 0,1 P(A/SA) = 0,02 P(MK/A) = ? 
Exemplo 3: 
—  Um indivíduo pode chegar atrasado ao emprego utilizando-se 
apenas de um desses meios de locomoção: bicicleta, 
motocicleta ou carro. Sabe-se, por experiência, que a 
probabilidade dele usar carro é de 0,6; bicicleta 0,1; e de 
motocicleta, 0,3. A probabilidade dele chegar atrasado dado 
que se utilizou do carro é 0,05; de bicicleta, 0,02; e de 
motocicleta, 0,08. Certo dia ele chegou atrasado, qual a 
probabilidade de ter sido devido ao uso do carro? 
B M C 
atrasado 
Efeito: chegar atrasado 
Causas: ir de bicicleta 
 ir de motocicleta 
 ir de carro 
P(C) = 0,6 P(B)= 0,1 P(M)= 0,3 
P(A/C)= 0,05 P(A/B)=0,02 P(A/M)=0,08 
 
P(C/A) = ? 
Resposta: 53,57% 
Exercícios 
1- As máquinas A e B são responsáveis por 70% e 30%, 
respectivamente, da produção da empresa. A máquina A produz 2% das 
peças defeituosas e a máquina B produz 8% de peças defeituosas. 
Calcule a probabilidade de peças defeituosas na produção desta 
empresa. 
2- As máquinas A e B são responsáveis por 60% e 40% respectivamente, da 
produção de uma empresa. Os índices de peças defeituosas na produção 
destas máquinas valem 3% e 7% respectivamente. Se uma peça defeituosa foi 
selecionada da produção desta empresa, qual é a probabilidade de que tenha 
sido produzida pela máquina B? 
3- Um pesquisador desenvolve sementes de quatro tipos de plantas, P1, 
P2, P3 e P4. A probabilidade de ocorrência das plantas nos canteiros são 
idênticas e iguais a 25%. Plantados canteiros-pilotos destas sementes a 
probabilidade de todas germinarem é 40% para P1, 30% para P2, 25% para 
P3 e 50% para P4. Um canteiro-piloto é selecionado ao acaso. 
a)  Qual é a probabilidade de que todas as sementes ali plantadas tenham 
germinado? 
b)  Escolhido um canteiro ao acaso, verificou-se que todas as sementes 
haviam germinado. Calcule a probabilidade de que o canteiro 
escolhido seja o de sementes de P1. 
 
b) 27,6% 
4- A probabilidade de que um carro apresente problemas de carburação é 
de 40%, e de distribuição é de 30%. Se o problema for de carburação, a 
probabilidade de conserto no local é de 80%. Se o problema for de 
distribuição, a probabilidade de conserto no local é de 60%. Se o 
problema for de outra natureza, a probabilidade de conserto no local é de 
10%. Um carro acaba de apresentar problemas. Calcule a probabilidade de 
que seja consertado. 
P(CA) = 40% P(CO/CA) = 80% 
P(DI) = 30% P(CO/DI) = 60% 
P(OU) = 30% P(CO/OU) = 10% 
P(C) = 0,4 . 0,8 + 0,3 . 0,6 + 0,3 . 0,1 = 53% 
5- Ambientalistas de uma ONG (Organização Não Governamental), após um 
levantamento de dados, constataram, emuma cidade, a existência de três 
indústrias: I, II, III. Cada indústria participa com 40%, 35%, 25%, respectivamente, 
da produção industrial da cidade. A proporção de gases poluentes lançados na 
atmosfera é de 2% pela indústria I, 1% pela indústria II e 3% pela indústria III. 
Uma análise da emissão de gases poluentes ou de partículas sólidas na 
atmosfera é realizada ao acaso nesta cidade, o que permitiu aos ambientalistas 
verificar a existência de polução atmosférica. Qual a probabilidade dos gases 
considerados poluentes terem sidos lançados pela indústria II? 
6- Um vendedor de produtos eletrônicos estima que 2% dos seus clientes são da 
classe A, 15% da classe B, 63% da classe C e o restante das classes D e E. Ele esta 
divulgando uma promoção para a venda de computadores portáteis e acredita que 
tem 90% de probabilidade de vendê-los para indivíduos da classe A, 70% de 
probabilidade de vendê-los para a classe B, para a classe C, 40%, e para as classes D e 
E, 10%. 
a. Um cliente entra na loja. Qual a probabilidade de ele comprar o computador em 
promoção? 
b. Um cliente entra na loja e não se interessa pela promoção. Qual a probabilidade de 
que seja da classe B?