Estatística - UVA - Aula 10

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Modelos Probabilisticos 
 
Modelos de distribuições Discretas (cont.) 
Profª Adriana Maria Balena Tostes 
Aula 9 
 A variável aleatória de Poisson é definida como o número de 
sucessos em certo intervalo contínuo (tempo, comprimento, área, 
volume, massa) fixo considerado. 
Exemplo: 
1.  Número de carros que passam em um pedágio em uma hora. 
2.  Número de vezes em que o corpo de bombeiros é chamado por 
dia para combater incêndios numa cidade. 
3.  Número de acidentes de trabalho por semana em uma empresa 
industrial. 
4.  Numero de reparos em uma rodovia em um trecho de 100 km. 
5.  Número de automóveis que chegam ao Campus entre 7:00 a.m. a 
10:00 a.m. 
6.  Número de microorganismos por cm3 de água contaminada. 
7.  Número de vazamentos em 100 Km de tubulação. 
 
Modelo de Poisson 
•  Acertos individuais ocorrerão aleatoriamente e 
independentemente dentro um intervalo fixo de 
observação; 
•  O número de ocorrências de certo evento de interesse 
neste intervalo é uma variável discreta com valores 
possíveis 0, 1, 2, 3... . Note que x não possui limite máximo. 
•  Uma distribuição de Poisson modela bem eventos “raros”. 
Fenômenos raros são aqueles que não ocorrem com 
grande frequência para qualquer intervalo de observação. 
•  PRINCIPAL ASPECTO: nº de sucessos num intervalo 
determinado. 
Algumas condições para construção do modelo: 
 
Parâmetros de uma distribuição 
de Poisson 
 
 µ= λ . t média de eventos discretos em “t” 
 unidades de medida 
 λ = coeficiente de proporcionalidade, ou 
 taxa de frequência por unidade de 
 medida 
 t = unidade de medida 
 
 
 
 Notação: X~P(µ) 
 
indica que v.a. X tem 
distribuição de Poisson 
com parâmetro µ. 
Onde: 
X: número de eventos discretos em t unidades de medida; 
λ: coeficiente de proporcionalidade, ou taxa de frequência 
por unidade de medida; 
t: unidade de medida; 
µ= λ t: media de eventos discretos em t unidades de medida 
f (x) =
e−µµ x
x! x = 0,1, 2,!
0; c.c.
"
#
$
%
$
Fórmula: 
 
µ= λ t 
σ2= λ t 
Exemplos 
Uma concessionária de rodovias está interessado em modelar o número de 
carros que chegam em um determinado ponto de pedágio em um período 
de 5 minutos. Para isso, assume que a chegada dos carros seguirá as 
seguintes hipóteses: 
-  A probabilidade de um carro chegar ao pedágio é a mesma para dois 
períodos quaisquer de igual duração; 
-  O fato de carros chegarem ou não em qualquer período é 
independentemente da chegada ou não chegada de outro carro em 
qualquer período. 
-  Segundo dados históricos o número médio de carros que passam por 
este trecho da estrada é de 3 carros no período de 5 minutos. 
Determine a probabilidade de passar 0, 1, 2, 3, 4 ou mais de 4 carros em 5’. 
X: número de pedidos de empréstimos que um 
banco recebe por dia 
X~P(7,5) 
!,2,1,0,
!
5,7)(
5,7
==
−
x
x
exf
x
(a) P(X = 2) = e
−7,5(7, 5)2
2 = 0,015555
(b) P(X ≤ 2) = P(X = 0)+P(X =1)+P(X = 2) =
= 0,000553+ 0,004148+ 0,015555= 0,0202567
(c) P(X ≥ 8) =1−P(X < 8) =1− P(X = x) =
x=0
7
∑
=1− 0,52463853= 0, 47536147
Exemplo 2: 
 O número de pedidos de empréstimos que um banco recebe 
por dia é uma variável aleatória com distribuição de Poisson 
com µ=7,5. Determine as probabilidades de que, em um dia 
qualquer, o banco receba 
(a)  Exatamente 2 pedidos de empréstimo; 
(b)  No máximo 2 pedidos de empréstimo; 
(c)  No mínimo oito pedidos de empréstimo. 
Exemplo 3. 
Contaminação é um problema de fabricação de discos ópticos de 
armazenagem. O número de partículas de contaminação que ocorrem 
em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson e o número 
médio de partículas por centímetro quadrado da superfície é 0,1. A área 
do disco em estudo é 100 centímetros quadrados. Encontre a 
probabilidade de que 12 partículas ocorram na área de um disco sob 
estudo. 
Se X: número de partículas na área de um disco sob estudo, 
 então, X ~P(µ). Aqui t=100 e λ=0,1, então µ=(100)(0,1)=10. Ou seja 
X~P(10) 
!,2,1,0,
!
10)(
10
==
−
x
x
exf
x
0,095
12
)10()12(
1210
===
−eXP
Exemplo 4. 
O pessoal do controle de qualidade afirma que os rolos de fita isolante 
apresentam, em média, uma emenda a cada 50 metros. Admitindo-se que 
a distribuição do número de emendas é dada pela Poisson, calcule as 
probabilidades de: 
 a) Ocorrer nenhuma emenda em um rolo de 125m. 
b) Ocorrerem no máximo duas emendas em um rolo de 125 m 
c) Ocorrer pelo menos uma emenda em um rolo de 100 m. 
a)  8,21% 
b)  54,4% 
c)  86,47% 
Aproximação das probabilidades 
Binomiais com as probabilidades da 
Distribuição de Poisson 
A distribuição de Poisson é muito útil como uma 
aproximação da distribuição binomial, porque é 
mais fácil de ser tratada. 
 
Regra prática: pode-se aproximar uma distribuição 
binomial pela de Poisson quando n>50 e np<5. 
A distribuição Binomial para x sucessos em n ensaios de Bernoulli ´e dada 
por: 
.,,0,)1()( nxpp
x
n
xXP xnx !=−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
== −
Se µ=np,⇒ p=µ/n, substituindo p na função probabilidade temos 
x
n
xxnx
n
n
xn
x
nnnnx
n
xXP
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
==
−
µ
µ
µµµ
1
1
!
1121111)( !
!
)(,
x
exXPtemosnFazendo
x µµ −
==∞→
Exemplo 1: Em um cruzamento de duas avenidas de tráfego intenso, a 
probabilidade de um carro sofrer acidente é de 0,0001. Se entre 17 h e 19 h 
passam 1000 veículos nesse cruzamento, qual é a probabilidade de que dois ou 
mais acidentes ocorram durante esse período? 
X~B(1000; 0,00001) 
 
 
Como n> 50 e n.p=0,1 < 5 então: 
 
Como μ= n . p = 1000 . 0,0001= 0,1 
 
Então: X~P(0,1) 
 
P(X≥2) = 1 – [P(X=0) + P(X=1)] = 0,045%