Distribuição de Poisson

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Probabilidade e Estatistica Aplicada 
Distribuições estatísticas
Distribuição Discreta
Tem um número contável e finito de valores (defeito, bom,…)
Distribuição Continua
Tem sua resposta não em um número exato, mas em um conjunto de valores.(Peso, altura,etc…)
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson nada mais é do que um tipo de distribuição estatística discrete, ou seja, situações em que a saída de interesse só pode assumir valores inteiros.
Foi descoberta por Siméon Denis Poisson e publicada, juntamente com sua teoria de probabilidade, no ano de 1838.
O que é distribuição de Poisson?  
Para reconhecer uma distribuição de Poisson, basta observar os três aspectos a seguir: 
O experimento calcula quantas vezes(k) que um evento ocorre em um determinado intervalo de tempo, área, volume, etc; 
A probabilidade do evento ocorrer é a mesma para cada intervalo; 
O número de ocorrências de um intervalo é independente do outro.
Aplicação
Usuários de computador ligados à Internet; 
Clientes chegando ao caixa de um supermercado; 
Acidentes com automóveis em uma determinada estrada; 
Erros de digitação por um certo período de tempo; 
Número de carros que chegam a um posto de gasolina;
Número de falhas em componentes por unidade de tempo;
Número de requisições para um servidor em um intervalo de tempo.
A distribuição de Poisson possui o parâmetro (lambda) que corresponde a taxa de ocorrência, que corresponde à frequência média ou esperada de ocorrências em um determinado intervalo. Além disso, sempre temos que > 0.
A probabilidade é calculada da seguinte forma:
P(x =k) = 
Onde:
x é a variável aleatória que assume o valor k. 
 é o valor da taxa média, taxa de ocorrência ;
“e” é o número de Euler, que vale aproximadamente 2,71828…
Essa equação é obtida através de uma aproximação da Distribuição Binomial, considerando o ‘n’ tendendo a infinito e ‘P’ tendendo a zero. (http://www.portalaction.com.br/probabilidades/52-distribuicao-de-Poisson)
Exemplo 01
Em um banco, foi constatado após uma coleta de dados que o número médio de clientes que adquire um determinado seguro é de 6 por hora. Determine, então, a probabilidade de em uma determinada hora do dia serem vendidos exatamente 8 seguros?
Exemplo 02
Para o situação do exemplo anterior qual seria então a probabilidade de em uma determinada hora serem vendidos menos que 3 seguros?
Exemplo 03
Suponha que 360 erros de impressão estejam distribuídos aleatoriamente, segundo uma Poisson, em um livro de 180 páginas. Calcule a probabilidade de encontrar uma página com:
a) nenhum erro;
b) mais de um erro.
Exercícios
Exercício 01
A emissão de partículas radioativas tem sido modelada através de uma distribuição de Poisson. Suponha que o número de partículas gama emitidas é de 5 a cada minuto. Calcule a probabilidade de haver mais de 3 emissões em um minuto.
Exercício 02
Você é gerente de uma loja e sabe que, fora do horário de pico, entram, em média, 6 clientes a cada 10 minutos. Qual a probabilidade de entrarem:
6 clientes na loja em um período qualquer de 10 minutos fora do horário de pico?
Até 2 clientes num período de 10 minutos fora do horário de pico?
Entraram 3 clientes ou mais fora do horário de pico ao longo de 10 minutos?
Exercício 03
No pedágio do Paiva passam, em média, 3600 carros por hora em véspera de feriado. Qual a probabilidade de:
Passar dois carros em um segundo?
Passarem 30 carros em 15 segundos?
Passarem até 5 carros em 10 segundos? 
Exercício 4
O número de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três petroleiros em dois dias é igual a
Exercício 05
Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia. Calcule a probabilidade de receber, em um dia: 
a) 4 chamadas; 
b) 3 ou mais chamadas
Exercício 06
Uma indústria de tintas recebe pedidos de seus vendedores através de fax, telefone e Internet. O número de pedidos que chegam por qualquer meio, durante o horário comercial, é uma variável aleatória discreta com distribuição Poisson com taxa de 5 pedidos por hora.
a) Calcule a probabilidade de haver mais de 2 pedidos por hora. 
b) Em um dia de trabalho (8 horas), qual seria a probabilidade de haver 50 pedidos? 
c) Qual a probabilidade de não haver nenhum pedido em um dia de trabalho? Você diria que isso é um evento raro?
Exercício 07
A aplicação de fundo anticorrosivo em chapas de aço de 1 m2 é feita mecanicamente e pode produzir defeitos (pequenas bolhas na pintura), de acordo com uma variável aleatória Poisson de parâmetro 𝜆 = 1 defeitos por m2 . Uma chapa é sorteada ao acaso para ser inspecionada. Qual a probabilidade de: 
a) encontrarmos pelo menos 1 defeito? 
b) no máximo 2 defeitos serem encontrados? 
c) encontrar entre 2 e 4 defeitos? 
d) não mais de 1 defeito ser encontrado?