Matemática e Raciocínio lógico

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Raciocínio Lógico para STN 
Prof Vítor Menezes – Aula 00 
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AULA 00: Lógica: parte 1 
 
1. APRESENTAÇÃO .............................................................................................................................. 2 
2. CRONOGRAMA DO CURSO ............................................................................................................. 4 
3. PROPOSIÇÕES.................................................................................................................................. 5 
4. CONECTIVOS LÓGICOS .................................................................................................................... 7 
5. TABELA VERDADE DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS ..................................................................... 10 
6. CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE ......................................................................................... 29 
7. TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA .......................................................................... 30 
8. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS ............................................................................................................. 34 
9. RESUMÃO ...................................................................................................................................... 55 
10. CONTEÚDO DE DESTAQUE ........................................................................................................ 56 
11. QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA....................................................................................... 57 
12. GABARITO ................................................................................................................................. 62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Raciocínio Lógico para STN 
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1. APRESENTAÇÃO 
Olá pessoal! 
Meu nome é Vítor Menezes, sou Auditor Federal de Controle Externo do Tribunal de Contas 
da União (turma de 2006), lotado na Secretaria de Controle Externo do TCU em São Paulo. 
Antes de tudo sou um apaixonado por matemática, que certamente é a ciência mais 
importante do mundo. O resto é bobagem ☺ 
Ainda falando um pouquinho de mim. Sou formado em engenharia eletrônica pelo Instituto 
Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Logo na faculdade percebi que meu negócio era fazer 
concurso, e saí da graduação direto para meu primeiro cargo: Auditor Fiscal do ICMS de 
Minas Gerais. Lá fiquei durante 1 ano e meio, e vim parar no cargo que hoje ocupo, no 
Tribunal de Contas. 
Dou aulas para concursos públicos desde 2005, sempre na área de exatas. Hoje tenho a 
felicidade de ser professor do Estratégia Concursos, o melhor curso em pdf do Brasil. 
Também sou professor do excelente site de vídeo-aulas “Eu Vou Passar”. 
Por último, mas não menos importante: sou professor do Tec Concursos, o melhor site de 
questões do país. A propósito, a ferramenta se enquadra perfeitamente como complemento 
para qualquer curso que você fizer. Só de Raciocínio Lógico são mais de 1.300 questões 
comentadas (sendo que este professor que vos fala comentou 1135 destas questões). Das 
1300, são 308 só de Esaf. 
 
Bom, chega de falar do prof e vamos falar do curso. 
O curso será de teoria e exercícios, já contendo as últimas questões da banca que 
apareceram em concursos agora de 2012. A teoria será dada de forma enxuta, sem muito 
blá blá blá, indo direto onde interessa para resolvermos as questões. 
É bem o estilo dessa aula demonstrativa mesmo – ela dá uma boa noção de como serão as 
próximas aulas. 
 
Agora vamos ao edital. O conteúdo é o seguinte: 
Esta prova visa a avaliar a habilidade do candidato em entender a estrutura lógica de 
relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas 
informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a 
estrutura daquelas relações. Os estímulos visuais utilizados na prova, constituídos de 
elementos conhecidos e significativos, visam a analisar as habilidades dos candidatos para 
compreender e elaborar a lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais: 
raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio sequencial, orientação espacial e 
temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos. Em síntese, as questões da 
prova destinam- se a medir a capacidade de compreender o processo lógico que, a partir 
de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas. 
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Essa descrição do edital é extremamente genérica. Fala, fala e não diz coisa alguma. É uma 
carta branca para o examinador cobrar o que bem entender. Enfim, não temos qualquer 
pista de quais assuntos temos que abordar para chegarmos preparados para a prova. 
Esse tipo de edital é muito mais comum em concursos da FCC. A grande diferença é que há 
muitos e muitos anos a FCC traz editais como esse, de modo que já temos um histórico 
grande da banca para saber o que de fato é cobrado em prova. Contudo, o estilo de 
questões da FCC é bem diferente do estilo de questões da Esaf. 
Muito bem. Vasculhando outros editais da Esaf, achei um muito similar a esse do STN. Trata-
se do edital da CGU 2012. A vantagem daquele outro é que, ao final da parte genérica que 
nennhuma pista nos fornece, foi apresentada uma relação bem precisa de assuntos, a saber: 
1. Estruturas Lógicas. 2. Lógica de Argumentação. 3. Diagramas Lógicos. 4. Trigonometria. 5. 
Matrizes Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. 6. Álgebra. 7. Probabilidades. 
8. Combinações, Arranjos e Permutação. 9. Geometria Básica. 
 
Vou então usar essa listagem de assuntos como um norte para podermos desenvolver nosso 
curso para a STN. Vamos ao cronograma do curso: 
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2. CRONOGRAMA DO CURSO 
Aula Data Conteúdo 
0 Disponível Proposições, conectivos lógicos, equivalências lógicas 
1 Disponível Lógica de argumentação. Diagramas lógicos. 
2 Disponível Matrizes, determinantes e sistemas lineares 
3 4/1/2013 Problemas envolvendo as quatro operações, princípio da casa dos 
pombos, números primos, frações, dízimas periódicas, grandezas 
proporcionais, regra de três, problemas envolvendo 
espaço/tempo/velocidade, porcentagem, conjuntos, equações, 
inequações. 
4 14/1/2013 Potências e radicais, progressão aritmética, progressão geométrica, 
logaritmos, funções, polinômios 
5 24/1/2013 Geometria e trigonometria 
6 4/2/2013 Análise combinatória 
7 14/2/2013 Probabilidade 
8 21/2/2013 Outros problemas de lógica 
 
Quem iniciou o curso antes do edital não será prejudicado. Vejam que mantive as aulas já 
dadas exatamente como estavam, de modo que, caso você já as tenha estudado, não 
precisará perder tempo lendo novamente. 
O que mudou em relação ao curso lançado antes do edital foi a exclusão dos tópicos de 
matemática financeira (excluída do novo edital) e a inclusão de novos tópicos de raciocínio 
lógico. 
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3. PROPOSIÇÕES 
Para resolver as questões, você precisa saberque uma proposição é tudo aquilo que 
podemos julgar em verdadeiro ou falso. 
O exemplo mais comum é uma frase declarativa. 
Exemplo: 
A seleção brasileira de futebol é pentacampeã mundial. 
Dá para julgar em V ou F? Sim, certamente. Então é proposição. Sabemos que esta 
proposição é verdadeira. 
Outra coisa importante: uma proposição só pode ser julgada em verdadeiro ou falso. Não 
tem uma terceira opção! 
E uma proposição será só verdadeira ou só falsa (não dá para ser verdadeiro e falso ao 
mesmo tempo). 
Exemplo: 
A lei Eusébio de Queirós foi assinada em 1850. 
A gente até pode não saber se a lei Eusébio de Queirós foi assinada mesmo em 1850 ou não. 
Concorda? 
Agora, o simples fato de não sabermos isso, não nos impede de afirmar que estamos diante 
de uma proposição. 
Por quê? 
Porque é possível julgá-la em verdadeiro ou falso. 
Ou é verdade que a lei Eusébio de Queirós foi assinada em 1850 (proposição verdadeira), ou 
é falso que a lei foi assinada naquele ano (proposição falsa). 
Não tem outra opção: ou isso é verdadeiro ou é falso. 
E mais: não podemos ter as duas situações simultaneamente. 
É impossível que a lei tenha sido assinada em 1850 e, além disso, não tenha sido assinada 
em 1850. 
 
Acima vimos o que é uma proposição. Agora precisamos também saber aquilo que não é 
proposição. 
Não são proposições as perguntas, exclamações, pedidos, ordens, desejos, opiniões, pois 
tudo isso não pode ser julgado em V ou F. 
Exemplo: 
Que horas são? 
Isso é uma pergunta, só pode ser respondida. Não dá para julgar em V ou F. 
O mesmo vale para uma ordem. Exemplo: 
Saia do meu quarto! 
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Essa ordem você não julga em V ou F. Uma ordem só pode ser obedecida ou desobedecida, 
mas não julgada. 
O mesmo vale para tudo o que mencionamos acima: exclamações, desejos, opiniões, 
conselhos, pedidos etc. 
 
Também não é proposição a frase que contenha uma variável. Frases com variáveis são 
ditas sentenças abertas. Estudaremos isso com mais detalhe na próxima aula. 
Exemplo: 
� − 5 = 0 
Não dá para julgar esta sentença em verdadeiro ou falso, simplesmente porque não é 
possível descobrir o valor de x. Se x valer 5, de fato, � − 5 = 0. 
Caso contrário, se x for diferente de 5, a igualdade acima está errada. 
“x” é uma variável, pode assumir inúmeros valores. Sendo variável, temos então uma 
sentença aberta. Logo, não é proposição. 
Aqui cabe uma observação: é possível transformar uma sentença aberta em proposição, 
utilizando os quantificadores. Falaremos disso na próxima aula. 
 
Não são proposições: perguntas, exclamações, pedidos, ordens, sentenças abertas (aquelas 
com variáveis), expressões de sentimento/desejo/opinião, enfim, tudo o que não for 
possível julgar em V ou F. 
 
Como a Esaf não cobra esta parte da matéria, vamos ver uma única questão de outra banca, 
só para ver como cai em prova. Depois já mudamos de assunto, para poupar vosso tempo. 
 
Questão 1 FINEP 2009 [CESPE] 
Acerca de proposições, considere as seguintes frases: 
I Os Fundos Setoriais de Ciência e Tecnologia são instrumentos de financiamento de 
projetos. 
II O que é o CT-Amazônia? 
III Preste atenção ao edital! 
IV Se o projeto for de cooperação universidade-empresa, então podem ser pleiteados 
recursos do fundo setorial verde-amarelo. 
São proposições apenas as frases correspondentes aos itens 
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a) I e IV. 
b) II e III. 
c) III e IV. 
d) I, II e III. 
e) I, II e IV. 
 
Resolução. 
A frase II é uma pergunta, não podendo ser julgada em V ou F. 
A frase III é uma ordem, que também não é proposição. 
Logo, são proposições as frases I e IV. 
Gabarito: A 
 
4. CONECTIVOS LÓGICOS 
Uma proposição simples é aquela que não pode ser dividida em proposições menores. 
Exemplo: 
P: Pedro é alto 
A proposição “Pedro é alto”, simbolizada pela letra “P”, é uma proposição simples. 
Outro exemplo: 
Q: Pedro é rico 
A proposição “Pedro é rico”, simbolizada pela letra “Q”, é outra proposição simples. 
 
Quando juntamos duas ou mais proposições simples, formamos uma proposição composta. 
R: Pedro é alto e Pedro é rico. 
 
Para juntar as proposições simples, usamos os conectivos lógicos. Acima, utilizamos o 
conectivo “e”. 
São cinco conectivos. Cada um tem um nome e um símbolo. 
Para a prova da Esaf, você não precisa saber nem o nome, e nem o símbolo. Basta saber que 
os conectivos são: 
• “e” 
• “ou” 
• “se... então” 
• “ou... ou” 
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• “se, e somente se” 
 
A Esaf não cobra o mero reconhecimento dos conectivos lógicos aplicáveis. 
Contudo, seria muito difícil dar aula de lógica sem recorrermos aos símbolos dos conectivos. 
Então, mesmo não sendo exigido pela Esaf, peço que vocês dêem uma olhada no quadro da 
seção seguinte. 
Conectivo Nome Símbolo 
“e” Conjunção ∧ 
“ou” Disjunção ∨ 
“se... então” Condicional → 
“se, e somente se” Bicondicional ↔ 
“ou... ou” Disjunção exclusiva ∨ 
 
Além disso, é importante saber que existe a negação, cujos possíveis símbolos são: 
Negação 
~ 
¬ 
De todo modo, mesmo que seu enfoque seja Esaf, peço que guarde esses símbolos, porque 
seria difícil dar aula de lógica sem utilizá-los. 
 
Tem gente que tem dificuldade de diferenciar os símbolos do “e” e do “ou”. 
Bom, a dica é a seguinte. Observem a letra “e”, escrita lá no caderno de caligrafia (lembram 
dele?): 
 
Observem a letra “e”. Ela parece mais com qual dos símbolos??? 
 
Então o conectivo “e” tem como símbolo “∧”. 
É isso. 
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Como já falei, a Esaf não cobra o simples conhecimento dos conectivos. 
Só para não passar batido, um exercício do CESPE: 
 
Questão 2 STF 2008 [CESPE] 
Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S: 
P: Nesse país o direito é respeitado. 
Q: O país é próspero. 
R: O cidadão se sente seguro. 
S: Todos os trabalhadores têm emprego. 
Considere também que os símbolos “ ∨”, “ ∧”, “ → ” e “ ¬ ” representem os conectivos 
lógicos “ou”, “e”, “se ... então” e “não”, respectivamente. 
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 
1. A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” pode 
ser representada simbolicamente por � ∧ (~
) 
2. A proposição “Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego” pode ser 
representada simbolicamente por � → �. 
3. A proposição “O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma 
conseqüência de, nesse país, o direito ser respeitado” pode ser representada 
simbolicamente por (� ∧ 
) → � 
 
Resolução. 
Primeiro item. 
Temos: 
“Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” 
Vamos colocar parêntesis para delimitar as proposições simples: 
(Nesse país o direito é respeitado), mas (o cidadão não se sente seguro) 
As duas parcelas são unidas pela palavrinha “mas”, que acrescenta uma informação. Ela tem 
um papel análogo ao do “e”. É como se afirmássemos que o direito é respeitado e o cidadão 
não se sente seguro. 
 
Além disso, vemos que a segunda parcela apresentauma negação. 
Portanto, a proposição mencionada pode ser representada por: 
� ∧ (~
) 
Item certo 
 
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Segundo item. 
A sentença é: 
Se (o país é próspero), então (todos os trabalhadores têm emprego). 
Em símbolos: 
� → � 
Item certo 
 
Terceiro item. 
A proposição é: 
“O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma conseqüência de, 
nesse país, o direito ser respeitado”. 
Vamos usar parêntesis para delimitar as proposições simples: 
((O país ser próspero) e (todos os trabalhadores terem emprego)) é uma conseqüência de, 
(nesse país, o direito ser respeitado). 
 
A expressão “é uma conseqüência”, remete ao condicional (se... então). 
Podemos reescrever a frase assim: 
Se (nesse país, o direito é respeitado), então ((o país é próspero) e (todos os trabalhadores 
têm emprego)). 
 
Em símbolos, ficamos com: 
� → (� ∧ �) 
Não foi essa a simbologia indicada pelo enunciado. Item errado. 
 
Gabarito: certo, certo, errado 
 
Como Esaf não cobra isso, já vamos mudando de assunto! Afinal, o tempo de vocês é 
precioso. 
 
5. TABELA VERDADE DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
A tabela verdade é uma tabela em que combinamos todas as possibilidades das proposições 
simples para ver quais são os resultados das proposições compostas. 
 
A tabela verdade do conectivo “e” é a seguinte: 
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P Q P e Q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
O que isto significa? 
Significa que, quando P for verdadeiro e Q também for verdadeiro, a proposição composta 
“P e Q” também será verdadeira (ver linha 1 da tabela). 
 
Quando P for verdadeiro e Q for falso, a proposição composta “P e Q” será falsa (linha 2 da 
tabela). 
Quando P for falso e Q for verdadeiro, a proposição composta será falsa (linha 3). 
Finalmente, se P e Q forem falsos, a proposição composta será falsa (linha 4). 
Pronto. Isso é uma tabela verdade. 
 
Para os demais conectivos, as tabelas verdade estão abaixo indicadas. 
 
Tabela verdade do conectivo “ou”: 
P Q P ou Q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
Tabela verdade do conectivo “se, então”: 
P Q se P, então Q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Para resolver os exercícios, você ainda precisa saber que, no condicional “se P, então Q”, as 
proposições simples recebem nomes especiais. 
P é o antecedente. 
Q é o conseqüente. 
 
Tabela verdade do conectivo “se, e somente se”: 
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P Q P, se e somente se, Q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Tabela verdade do conectivo “ou... ou” 
P Q ou P ou Q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
Pronto. Para resolver os exercícios de concursos, é só decorar as tabelas acima. 
Eu não vou passar nenhuma regrinha, nenhum macete de como decorar tudo. Neste caso, 
acho que é muito mais proveitoso, em vez de simplesmente decorar tudo, tentar entender a 
ideia por trás de cada conectivo. Para tanto, eu vou colocar exemplos que dispensam a 
tabela verdade, ok? 
Ah, mais uma coisa. Para resolver os exercícios, você também precisa saber a ordem de 
precedência dos conectivos. Mas eu vou deixar para falar disso direto no exercício (ver 
Questão 3, página 24) 
 
Para entendermos a ideia de cada conectivo, vamos a alguns exemplos. 
 
Exemplo 1: 
João vai viajar. Antes de pegar a estrada, passou na oficina para que fosse feita uma revisão 
nos freios e na suspensão de seu carro. 
No dia seguinte, João vai à oficina buscar seu carro. Em cada uma das situações abaixo, 
como João classificaria o atendimento da oficina? 
a) foram checados os freios e a suspensão 
b) foram checados só os freios; a suspensão não foi checada 
c) foi checada só a suspensão; os freios não foram checados 
d) não foi checada a suspensão; os freios também não foram checados 
 
Resolução: 
O que João quer é realizar uma viagem segura. Ele só estará seguro se os dois itens 
mencionados forem checados. Não adianta nada estar com os freios bons e a suspensão 
ruim. João continuará correndo risco de acidente. Da mesma forma, não é seguro ele viajar 
com a suspensão em ordem se os freios não estiverem ok. 
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Deste modo, a única situação em que João vai aprovar o atendimento da oficina será na 
letra “a”, em que os dois itens são checados. Em qualquer outra hipótese, o atendimento 
terá sido falho. 
João só estará satisfeito com o atendimento quando os dois itens forem checados 
(suspensão e freios). Ele só estará satisfeito com o atendimento quando for checado o freio 
e também for checada a suspensão. 
Analogamente, uma proposição com o conectivo “e” só será verdadeira quando todas as 
suas “parcelas” forem verdadeiras. Ou ainda, quando todos os seus termos forem 
verdadeiros. 
Daí dá até para entender o nome do conectivo. A proposição composta só será verdadeira 
se suas parcelas forem conjuntamente verdadeiras. 
 
Existe apenas uma situação em que a proposição composta pelo conectivo “e” é 
verdadeira: quando todas as proposições simples são verdadeiras. 
 
Exemplo 2: 
Hoje é feriado e Maria quer fazer um almoço especial. Para tanto, incumbiu José, seu 
marido, de ir comprar a “mistura”. 
Como eles moram numa cidade pequena, Maria sabe que muitos estabelecimentos 
comerciais estarão fechados (ou seja, José pode ter dificuldades para “cumprir sua missão”). 
Por isso ela deixou opções para ele: José pode comprar carne ou peixe. 
Em cada uma das situações abaixo, como Maria avaliaria o cumprimento da tarefa de José? 
a) José comprou a carne, mas não comprou o peixe. 
b) José comprou o peixe, mas não comprou a carne. 
c) José comprou a carne e o peixe. 
d) José não comprou nem carne nem peixe. 
 
Resolução: 
A ideia de Maria é ter algo pra fazer de almoço. Se o José comprar qualquer um dos dois 
itens (peixe ou carne), terá cumprido sua tarefa com êxito e Maria poderá fazer o almoço. 
Assim, nas letras “a” e “b”, Maria ficará satisfeita com José, tendo em vista que ele comprou 
pelo menos uma das duas opções de mistura. O almoço estará garantido. 
Na letra “c” José teve, igualmente, êxito. Comprou ambos: peixe e carne. Maria não só 
poderá fazer o almoço de hoje como também já poderá planejar o almoço do dia seguinte. 
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Só na letra “d” é que Maria ficará insatisfeita com seu marido. Na letra “d”, José voltou para 
casa de mãos abanando. José voltou sem nada e o almoço ficou prejudicado. 
Neste exemplo, José precisava comprar a carne ou o peixe. Isto significa que ele precisava 
comprar pelo menos um dos dois. Poderia ser só a carne, só o peixe, ou ambos, carne e 
peixe. 
A única situação em que José não cumpre sua tarefa é aquela em que ele não compra nada: 
nem carne nem peixe. 
Analogamente, uma proposição com o conectivo “ou” só será falsa se todas as suas 
“parcelas” forem falsas (ou ainda: se todas as proposições simples que a compõem forem 
falsas). 
Disso dá para entender o nome do conectivo: a proposição composta será verdadeira ainda 
que as proposições simples sejamdisjuntamente (ou separadamente) verdadeiras. 
 
A proposição composta pelo conectivo “ou” só será falsa quando todas as proposições 
simples forem falsas. 
 
Exemplo 3: 
Augusto contratou um seguro de carro. O seguro protegia contra batidas. Assim, se Augusto 
bater o carro, então a seguradora paga a indenização. 
Como Augusto avaliaria a seguradora em cada situação abaixo: 
a) Augusto bate o carro e a seguradora paga a indenização 
b) Augusto bate o carro e a seguradora não paga a indenização 
c) Augusto não bate o carro e a seguradora paga a indenização 
d) Augusto não bate o carro e a seguradora não paga a indenização 
 
Resolução 
Na letra “a”, temos a situação normal de contrato. Augusto bateu o carro e a seguradora 
paga a indenização. A seguradora cumpriu com seu papel e Augusto ficará satisfeito com o 
serviço prestado pela seguradora. 
Na letra “b”, Augusto bateu novamente o carro. A seguradora deveria pagar o seguro. 
Deveria, mas não o fez. Augusto certamente ficará insatisfeito com a seguradora, podendo 
acionar o Procon, a justiça, etc. 
Na letra “c”, temos uma situação até meio irreal. Augusto nem bateu o carro e a seguradora 
está dando dinheiro para ele. Ô seguradora boa, hein! Podemos pensar que se trata de um 
prêmio, ou desconto, alguma vantagem. Seria a situação em que as seguradoras premiam 
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bons clientes. Na letra “c”, novamente o Augusto ficará satisfeito com o atendimento da 
seguradora. Muito satisfeito, por sinal. 
Na letra “d”, Augusto não bate o carro e a seguradora não paga a indenização. Augusto tem 
o direito de ficar insatisfeito? Não, não tem. A seguradora não tinha obrigação de pagar 
indenização nenhuma. Afinal de contas, Augusto não bateu o carro. 
Na letra “d”, Augusto não tem motivo algum para dizer que a seguradora prestou um mal 
serviço. Portanto, ele, não tendo motivos concretos para fazer uma avaliação negativa, diria 
que a Seguradora presta um bom serviço (ou seja, presume-se que seja uma boa empresa, 
até prova em contrário). 
Observe a situação inicial. Temos exatamente uma frase com “se... então”. 
Se Augusto bater o carro, então a seguradora paga a indenização. 
Vamos dividir esta frase em duas “parcelas”. A primeira parcela se refere a Augusto bater o 
carro. A segunda se refere à seguradora pagar a indenização. 
A única possibilidade de Augusto ficar insatisfeito ocorre quando a primeira “parcela” 
acontece (ou seja, quando ele bate o carro) e a segunda “parcela” não acontece (ou seja, 
quando a seguradora não paga a indenização). 
De modo análogo, uma proposição: se “p”, então “q”, só é falsa quando “p” é verdadeiro e 
“q” é falso. 
 
Como os alunos costumam ter um pouco de dúvidas neste conectivo condicional, vejamos 
outro exemplo. 
 
Exemplo 4: 
Júlia, hoje pela manhã, disse à sua amiga: hoje, se fizer sol, eu vou ao clube. 
Ao final do dia, temos as situações descritas abaixo. Em cada uma delas, avalie se Júlia disse 
a verdade ou se Júlia mentiu. 
a) fez sol e Júlia foi ao clube. 
b) fez sol e Júlia não foi ao clube. 
c) não fez sol e Júlia foi ao clube. 
d) não fez sol e Júlia não foi ao clube. 
 
Resolução: 
Na letra “a” fez sol. E Júlia disse que, se fizesse sol, ela iria ao clube. Como ela de fato foi ao 
clube, então ela disse a verdade. 
Na letra “b”, novamente, fez sol. E Júlia disse que, se fizesse sol, ela iria ao clube. Como ela 
não foi ao clube, ela mentiu. 
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Nas letras “c” e “d”, não fez sol. Ora, Júlia não prometeu nada para o caso de não fazer sol. 
O compromisso dela era apenas para o caso de fazer sol. Ela assumiu um compromisso de, 
fazendo sol, ir ao clube. 
Ora, se não fez sol, então Júlia está liberada de seu compromisso. Ela não prometeu nada 
caso chovesse, ou ficasse nublado. 
Portanto, não interessa o que ela tenha feito nas letras “c” e “d”. Você não pode dizer que 
ela mentiu. 
Se considerarmos que a situação inicial é composta de duas “parcelas”, teríamos o seguinte: 
primeira parcela – fazer sol; segunda parcela – Júlia ir ao clube. 
Novamente, a única situação em que dizemos que Júlia mente ocorre quando a primeira 
parcela acontece (ou seja, faz sol) e a segunda não acontece (Júlia não vai ao clube). 
De modo análogo, uma proposição com o conectivo “se... então” só é falsa quando a 
primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa. 
E, não custa relembrar: vimos que a primeira parcela recebe o nome de antecedente, e a 
segunda parcela recebe o nome de conseqüente. 
 
 
Um condicional só será falso se sua primeira parcela for verdadeira (antecedente 
verdadeiro) e sua segunda parcela for falsa (conseqüente falso). 
 
Pare a leitura da aula! 
Volte ao quadro acima e decore cada palavra. Se tem um lugar que aluno adora errar é 
nisso. 
O condicional só será falso se tivermos: 
• Antecedente verdadeiro 
• Consequente falso 
Ou seja, se tivermos V/F (nessa ordem) pronto: o condicional é falso. 
 
Em qualquer outro caso, não interessa qual seja, o condicional é verdadeiro. 
 
Exemplo 5: 
Inácio é um veterinário. Num dado dia, ele recebe dois cães, gravemente feridos (Alfa e 
Beta, ambos vítimas de atropelamento). Os dois precisam de pronto atendimento. Do 
contrário, irão falecer. 
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Inácio não tem outros veterinários para lhe auxiliar, só tendo condições de atender a um 
dos cães por vez. Avalie o comportamento de Inácio nas situações abaixo. 
a) Inácio atende Alfa e o salva; Beta não é atendido e morre. 
b) Inácio atende Beta e o salva; Alfa não é atendido e morre. 
c) Inácio tenta atender os dois ao mesmo tempo. Acaba não conseguindo atender nenhum 
dos cães de forma adequada e ambos morrem. 
d) Inácio não atende a nenhum dos dois e ambos morrem. 
 
Resolução: 
Na letra “a”, Inácio agiu corretamente. Ele não teria como atender os dois cães. Ele escolheu 
o cão Alfa e o salvou. Era o máximo que ele poderia fazer naquelas condições. Pelo menos 
um dos cães foi salvo. Na letra “a”, dizemos que Inácio agiu de forma adequada, dadas as 
restrições que ele tinha. 
 
Pelo mesmo raciocínio, na letra “b” também dizemos que Inácio agiu de forma adequada. 
Ele só teria condições de salvar um cão. Ele escolheu Beta e o fez. 
 
Na letra “c” Inácio não foi um bom profissional. Tentou atender aos dois cães, o que ele já 
sabia que não seria possível. Consequentemente, nenhum cão foi atendido de forma 
adequada e ambos morreram. 
 
Na letra “d” Inácio também agiu de forma inadequada. Ao não atender nenhum dos cães, 
ele simplesmente não salvou Alfa nem Beta (quando era possível salvar um dos dois). 
 
Podemos dizer que ou Inácio atende Alfa ou Inácio atende Beta. As únicas formas de ele agir 
corretamente são quando ele atende só o Alfa ou só o Beta. Dividindo a frase em duas 
partes, teríamos: primeira parte – atender Alfa; segunda parte – atender Beta. 
 
O comportamento de Inácio só é adequado quando a primeira parte acontece (atende Alfa) 
e a segunda não (não atende Beta). Outra forma de seu comportamento ser adequado é 
quando a primeira parte não acontece (não atende Alfa) e a segunda parte acontece 
(atende Beta). 
 
De modo análogo, uma proposição com o conectivo “ou ... ou” só é verdadeira quando um 
termo é verdadeiro e o outro é falso. Qualquer outra situação implica em proposição falsa.É muito importante saber diferenciar a disjunção exclusiva (ou ... ou) da disjunção inclusiva 
(ou). 
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As tabelas-verdades de ambas são quase iguais. A diferença se dá apenas quando os dois 
termos são verdadeiros. 
Na disjunção inclusiva, os dois termos verdadeiros implicam em proposição verdadeira. É só 
lembrar do exemplo do José, que poderia comprar carne ou peixe. Quando as duas parcelas 
acontecem (ou seja, quando ele compra carne e peixe), ele cumpriu sua missão (pois Maria 
poderá fazer o almoço). José agiu de maneira satisfatória. 
Na disjunção exclusiva, se os dois termos são verdadeiros, temos uma proposição falsa. É só 
lembrar do exemplo do Inácio. Inácio deveria atender ou Alfa ou Beta. Quando as duas 
parcelas acontecem (ou seja, quando ele atende os dois cães), aí ele não agiu de forma 
satisfatória (pois ambos, Alfa e Beta, morrem). 
Podemos pensar que uma única proposição simples deve ser verdadeira (exclusividade), 
para que a proposição composta seja verdadeira. Assim como um dos cães deveria ter 
exclusividade de atendimento, para que Inácio fosse considerado um bom veterinário. 
 
 
Uma proposição composta pelo conectivo “ou...ou” (disjunção exclusiva) só será 
verdadeira se uma proposição simples for verdadeira e a outra for falsa. 
 
Exemplo 6: 
Rosa foi ao médico, pois está sentindo dores. O médico faz alguns exames, para ver se ela 
está doente ou não, e, se necessário, receita um medicamento. 
Como Rosa avaliaria a qualidade do médico em cada uma das hipóteses abaixo? 
a) Rosa estava doente e o médico receitou um remédio. 
b) Rosa estava doente e o médico não receitou um remédio. 
c) Rosa não estava doente e o médico receitou um remédio. 
d) Rosa não estava doente e o médico não receitou um remédio. 
 
Resolução. 
Na letra “a”, Rosa estava realmente doente. O médico detectou a doença e receitou um 
remédio. É exatamente o que se espera de um bom médico. Nesta situação, Rosa diria que 
seu médico realizou um bom atendimento. 
 
Na letra “b”, Rosa estava doente. O médico, contudo, não detectou a doença e não receitou 
remédio algum. Para Rosa, ele certamente não foi um bom médico. 
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Na letra “c”, Rosa não estava doente. Ainda sim o médico receitou um remédio. Sabemos 
que os remédios não podem ser usados indiscriminadamente, quando a pessoa está 
saudável. A medicação desnecessária pode causar diversos efeitos negativos. Deste modo, 
na letra “c” Rosa diria que se trata de um médico ruim, que receitou remédios 
desnecessariamente. 
Na letra “d”, Rosa não estava doente. O médico percebeu isso e não receitou remédio 
algum. Talvez só tenha recomendado descanso, repouso, algo do gênero. Mas agiu 
corretamente, ao não prescrever nenhuma medicação. Foi um bom médico. 
 
Podemos dizer que o médico deve receitar um remédio se e somente se Rosa estiver 
doente. 
Separando a frase acima em duas parcelas, temos: primeira parcela – o médico receita o 
remédio; segunda parcela – Rosa está doente. 
O médico só será qualificado como um bom médico se as duas parcelas ocorrerem ou se as 
duas não ocorrerem. 
Caso uma das parcelas ocorra e a outra não, então ele será um médico ruim. 
De forma análoga, uma proposição com o conectivo “se e somente se” só será verdadeira 
caso os dois termos sejam verdadeiros ou caso os dois termos sejam falsos. 
Se um dos termos for verdadeiro e o outro for falso, então a proposição com “se e somente 
se” será falsa. 
 
 
Uma proposição composta pelo conectivo “se, e somente se” (bicondicional) só será 
verdadeira se ambas as proposições simples tiverem valores lógicos iguais. 
 
Antes de iniciarmos com exercícios de concursos, segue um exemplo simplificado, só para 
me certificar de que estamos bem na matéria, até agora. E também para vermos como 
montar uma tabela verdade, do zero: 
 
Exemplo 7: 
Construa a tabela verdade para a proposição abaixo: 
(� ∧ �) → � 
 
Resolução. 
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Vamos começar pela proposição “p”. Ela pode ser verdadeira ou falsa. 
 
Fixado o valor lógico de p, vamos para q. Em cada uma das situações acima, podemos ter q 
sendo verdadeiro ou falso. 
Isto está representado no diagrama abaixo. 
 
E, para cada combinação de valores lógicos de p e q, temos duas possibilidades para r: 
verdadeiro ou falso. Veja diagrama abaixo: 
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Ou seja, há 8 cominações possíveis de valores lógicos para p, q e r. 
Uma forma sistemática de abranger todos eles é assim. Para a proposição r, trocamos o 
valor lógico de linha em linha. 
r 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
Pronto. Fomos alternando os valores lógicos. Primeiro V, depois F, depois V, depois F. 
Ok, agora vamos para a proposição q. Vamos alternando os valores lógicos de duas em duas 
linhas. 
q r 
V V 
V F 
F V 
F F 
V V 
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V F 
F V 
F F 
Primeiro colocamos V e V. Depois F e F. Depois V e V. E assim por diante. 
 
E o jeito de fazer é sempre assim, vamos sempre dobrando. 
Vamos agora para a proposição p. Novamente dobramos. Alternamos os valores lógicos de 
4 em 4 linhas. 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
Observem que: 
- para “p”, alternamos o valor lógico a cada 4 linhas 
- para “q”, alternamos o valor lógico a cada 2 linhas 
- para “r”, alternamos o valor lógico a cada 1 linha. 
Esta é uma forma sistemática de abranger todos os casos possíveis. No fundo no fundo, 
simplesmente transformamos o diagrama em uma tabela. 
E isso ajuda a lembrar que a tabela-verdade de uma proposição composta por n proposições 
simples terá 2� linhas. 
Exemplo: se a proposição for composta por 2 proposições simples, ela terá 422 = linhas. 
Se a proposição for composta por 3 proposições simples, a tabela verdade terá 823 = 
linhas. 
Se a proposição for composta por 4 proposições simples, a tabela verdade terá 1624 = 
linhas. 
Viu? Vai sempre dobrando (4, 8, 16, 32, ...) 
 
Uma proposição composta por “n” proposições simples terá tabela verdade contendo 2� 
linhas 
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Agora que já conseguimos relacionar todas as combinações de valores lógicos para p, q e r, 
podemos continuar montando a tabela verdade. 
A proposição composta é: 
(� ∧ �) → � 
 
O parêntesis nos indica que devemos, primeiro, fazer o “e”. 
p q r qp ∧ 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
Para tanto, consultamos as colunas p e q. 
Quando p e q são verdadeiros, a conjunção também é verdadeira. 
p q r qp ∧ 
V V V V 
V V F V 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
Em qualquer outro caso, ou seja, quando pelo menos uma das parcelas é falsa, a conjunção 
será falsa (em vermelho o que preenchemos agora, em azul o que já havia sido preenchido). 
pq r qp ∧ 
V V V V 
V V F V 
V F V F 
V F F F 
F V V F 
F V F F 
F F V F 
F F F F 
Pronto. Já fizemos a parcela que está entre parêntesis. 
Agora podemos finalmente fazer a coluna da proposição composta desejada. 
p q r qp ∧ rqp →∧ )( 
V V V V 
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p q r qp ∧ rqp →∧ )( 
V V F V 
V F V F 
V F F F 
F V V F 
F V F F 
F F V F 
F F F F 
Temos um condicional. Suas parcelas são: 
1ª parcela: qp ∧ 
2ª parcela: r 
O condicional só é falso quando a primeira parcela é verdadeira e a segunda é falsa. 
 
Em qualquer outro caso, o condicional é verdadeiro. 
 
p q r qp ∧ rqp →∧ )( 
V V V V V 
V V F V F 
V F V F V 
V F F F V 
F V V F V 
F V F F V 
F F V F V 
F F F F V 
Pronto. Montamos a tabela-verdade da proposição composta rqp →∧ )( . 
 
Questão 3 MPOG 2009 [ESAF] 
Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é: 
a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França. 
b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França. 
c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França. 
d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da Inglaterra. 
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e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra. 
 
Resolução. 
Letra A 
Temos um condicional: 
1ª parcela: Roma é a capital da Itália (verdadeiro) 
2ª parcela: Londres é a capital da França (falso) 
Quando a primeira parcela do condicional é verdadeira e a segunda é falsa, o condicional é 
falso. 
 
Letra B. 
Outro condicional em que a primeira parcela é verdadeira e a segunda é falsa. Proposição 
falsa. 
 
Letra C. 
Aqui vem algo muito interessante. Quando temos diversos conectivos, costumamos utilizar 
parêntesis ou colchetes para indicar qual tem precedência. 
Como exemplo, considere as duas proposições abaixo: 
� ∧ (� ∨ 
) 
(� ∧ �) ∨ 
 
Na primeira delas, o “ou” tem prioridade, por causa dos parêntesis. Primeiro fazemos “Q ou 
R”. Depois, pegamos o resultado disso e fazemos a conjunção com P. 
Na segunda proposição, a conjunção tem preferência. Primeiro fazemos “P e Q”. Depois 
pegamos o resultado disso e fazemos a disjunção com R. 
 
Há situações em que os parêntesis são omitidos. Neste caso, temos que saber a ordem de 
precedência entre os conectivos. A ordem é: 
• 1º: operador “não” 
• 2º: conectivo “e” 
• 3º: conectivo “ou” 
• 4º: conectivo “se então” 
• 5º: conectivo “se, e somente se” 
 
Nunca vi um material escrito que, nesta relação, me indicasse em que posição está o 
conectivo “ou...ou”. 
Muito bem, e para que é que a gente precisa dessa ordem de precedência? 
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Quando a frase está escrita em linguagem comum (em vez da utilização da simbologia 
lógica), não há como colocar parêntesis para indicar qual conectivo deve ser feito primeiro. 
Neste caso, seguimos a ordem acima indicada. 
 
A proposição em questão é: 
Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França. 
 
Temos um “e” e um “ou”. Seguindo a ordem de precedência, primeiro fazemos o “e”. 
Depois fazemos o “ou”. Colocando parêntesis, ficaria assim: 
 
(Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França) ou Paris é a capital da França. 
 
A proposição é composta por um “ou”. 
Primeira parcela: (Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França) 
Segunda parcela: Paris é a capital da França. 
 
Observem que a segunda parcela do “ou” é verdadeira. Isto já é suficiente para que a 
proposição inteira seja verdadeira. 
Achamos a alternativa correta. 
Gabarito: C 
 
De todo modo, vamos continuar com a questão. 
 
Letra D: 
Novamente, usamos a ordem de precedência entre os conectivos. Primeiro fazemos o “e”, 
depois fazemos o “ou”: 
 
(Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França) ou Paris é a capital da Inglaterra. 
 
Temos um “ou”, formado por duas parcelas. 
1ª parcela: Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França 
2ª parcela: Paris é a capital da Inglaterra. 
 
A 2ª parcela é falsa. 
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A 1ª parcela é composta por um “e”. Esta conjunção, por sua vez, é decomposta em duas 
outras parcelas: 
 1 .1 – Roma é capital da Itália (verdadeiro) 
 1.2 – Londres é capital da França (falso) 
Como a segunda parcela da conjunção é falsa, então ela é falsa. 
Logo, é falso que (Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França). 
 
Ficamos com: 
(V e F) ou F 
Entre parêntesis, temos um “e”, em que uma parcela é falsa. Logo, a expressão entre 
parêntesis é falsa. 
(F) ou F 
Assim, nosso “ou” tem duas parcelas falsas. 
Logo, a proposição dada na alternativa D é falsa. 
 
Letra E: 
Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra. 
Temos uma proposição composta pelo conectivo “e”. 
1ª parcela: Roma é a capital da Itália (verdadeiro) 
2ª parcela: Londres não é a capital da Inglaterra (falso) 
 
Ficamos com: 
V e F 
Se a segunda parcela é falsa, então a proposição composta é falsa. 
 
Questão 4 SEFAZ MG 2005 [ESAF] 
O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: “O dragão 
desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem”. O rei, tentando 
compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte: 
1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir 
corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? 
2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir 
corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? 
3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir 
corretamente que o dragão desaparecerá amanhã? 
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O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as 
três perguntas são, respectivamente: 
a) Não, sim, não 
b) Não, não, sim 
c) Sim, sim, sim 
d) Não, sim, sim 
e) Sim, não, sim 
 
Resolução. 
Vamos dar nomes às proposições. A proposição d (de dragão) será: 
d: O dragão desaparecerá amanhã. 
A proposição a (de Aladim) será: 
a: Aladim beijou a princesa ontem 
A afirmação do mago é: 
ad ↔ 
Item 1. 
A afirmação do mago é falsa e o dragão desaparece amanhã. Logo: 
d: Verdadeiro 
ad ↔ : Falso 
Ou seja, uma das parcelas do bicondicional é verdadeira. Para que o bicondicional seja falso, 
a segunda parcela deve ser falsa. Logo, no primeiro item, Aladim não beijou a princesa 
ontem. 
 
Item 2. 
A afirmação do mago é verdadeira e o dragão desaparece amanhã. Logo: 
d: Verdadeiro 
ad ↔ : Verdadeiro 
Ou seja, uma das parcelas do bicondicional é verdadeira. Para que o bicondicional seja 
verdadeiro, a segunda parcela deve ser verdadeira. Logo, no primeiro item, Aladim beijou a 
princesa ontem. 
 
Item 3. 
Aafirmação do mago é falsa e o Aladim não beijou a princesa ontem. Logo: 
a: Falso 
ad ↔ : Falso 
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Uma das parcelas do bicondicional é falsa. Para que o bicondicional seja falso, a outra 
parcela deve ser verdadeira. Logo, no terceiro item, o dragão desaparecerá amanhã. 
As respostas às três perguntas são: não, sim, sim. 
Gabarito: D 
 
6. CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE 
Num condicional � → �, verdadeiro, dizemos que P é condição suficiente para Q. E Q é 
condição necessária para P. 
� → � 
Se p, então q 
p é condição suficiente para q 
q é condição necessária para p 
Para não confundir quem é necessário e quem é suficiente, uma dica. 
Observe a proposição. 
Se p, então q. 
A palavrinha “Se” começa com “S”. E suficiente também começa com “s”. 
A dica é: a proposição que estiver perto do “s” é a condição suficiente. 
 
Essa nomenclatura pode confundir muita gente. Esse “necessário” e “suficiente” não tem 
nada a ver com o uso rotineiro de tais palavras. Vocês não podem associá-los a uma relação 
de causa e conseqüência. 
Esta nomenclatura se refere ao comportamento dos valores lógicos na tabela-verdade. 
Observe a tabela para a proposição “se p, então q”: 
P Q � → � 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
Como nossa proposição composta é verdadeira, vamos ignorar a segunda linha. 
Analisando as linhas remanescentes, temos o seguinte: 
- em todas as linhas em que P é verdadeiro, Q também é; ou seja, na tabela-verdade, P ser 
verdadeiro é suficiente para Q também ser; 
- em todas as linhas em que Q é falso, P também é; logo, para que P seja verdadeiro, é 
necessário que Q também seja (embora isso não seja suficiente). 
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Deste modo, as expressões “condição necessária” e “condição suficiente” apenas se 
referem ao comportamento dos valores lógicos na tabela verdade. Apenas isso. 
 
Questão 5 MPOG 2009 [ESAF] 
Considere que: “se o dia está bonito, então não chove”. 
Desse modo: 
a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito. 
b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito. 
c) chover é condição necessária para o dia estar bonito. 
d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover. 
e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito. 
 
Resolução. 
Vimos que, num condicional � → �, P é condição suficiente para Q. E Q é condição 
necessária para P. 
Logo, dizemos que: 
- o dia estar bonito é condição suficiente para não chover. 
- não chover é condição necessária para o dia estar bonito. 
Gabarito: A 
 
7. TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA 
Tautologia é uma proposição composta cuja tabela verdade só apresenta valores lógicos V, 
independente dos valores lógicos que assumem suas proposições de origem. 
Exemplo: Ou chove ou não chove. 
Temos duas parcelas 
1) Chove (p) 
2) Não chove (~p) 
A tabela-verdade desta afirmação fica assim: 
p ~p p ∨ ~p 
V F V 
F V V 
Só temos respostas verdadeiras na tabela-verdade, independentemente dos valores lógicos 
de “p”. Por isso, a afirmação “Ou chove ou não chove” é uma tautologia. 
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Contradição é uma proposição composta cuja tabela verdade só apresenta valores lógicos F, 
independente dos valores lógicos das proposições que lhe dão origem. 
Exemplo: )(~ pp ∧ . 
A tabela-verdade desta proposição composta fica: 
p ~p p ∧ ~p 
V F F 
F V F 
Observem a última coluna (destacada em vermelho). A proposição composta é sempre 
falsa, não interessa o que ocorra com as proposições simples. 
 
Há uma contingência quando não temos nem uma tautologia nem uma contradição, ou 
seja, quando a tabela-verdade apresenta alguns verdadeiros e alguns falsos, a depender do 
valor das proposições que dão origem à sentença em análise. 
 
Exemplo: p ↔ q 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
O bicondicional pode ser tanto verdadeiro (quando suas duas parcelas são ou ambas 
verdadeiras ou ambas falsas) quanto falso (quando uma parcela é verdadeira e a outra é 
falsa). Com isso, o “se, e somente se” não é nem uma tautologia, nem uma contradição. É 
uma contingência. 
A contingência é a situação mais comum de ocorrer. Ela é a regra geral. A tautologia e a 
contradição são exceções. 
 
Questão 6 Fiscal Trabalho 1998 [ESAF] 
Um exemplo de tautologia é: 
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo 
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo 
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo 
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo 
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e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo 
 
Resolução: 
Todas as alternativas trabalham com as mesmas proposições simples, a saber: 
p: João é alto 
q: Guilherme é gordo 
 
Vamos, para praticar, montar a tabela-verdade de cada caso. 
Na próxima aula veremos alguns conceitos que permitem resolver esta questão sem a 
tabela verdade. Veremos que um condicional é tautológico quando puder ser associado a 
um argumento válido. 
 
Letra A: “se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo” 
Vamos passar esta frase para a forma simbólica? 
Podemos dividir esta frase em duas parcelas: 
1ª - João é alto 
2ª - João é alto ou Guilherme é gordo 
 
A segunda parte é um “ou”: João é alto (p) ou Guilherme é gordo (q) = p ∨ q 
A ligação entre a primeira parte e a segunda é feita por um condicional. 
Vejamos: se João é alto (p), então João é alto (p) ou Guilherme é gordo (q) 
Representamos esta frase assim: 
p → (p ∨ q). 
A tabela-verdade neste caso fica assim: 
p q p ∨ q p → (p ∨ q) 
V V V V 
V F V V 
F V V V 
F F F V 
 
Já temos nossa resposta. Esta é a alternativa correspondente a uma tautologia. 
Como montamos a tabela? Lembrando mais uma vez que o condicional só é falso quando 
seu primeiro termo é verdadeiro (p) e seu segundo termo é falso (p ∨ q). Acontece que não 
existe esta situação na tabela. Por isso, a última coluna só apresenta valores lógicos 
verdadeiros (V) e temos uma tautologia. 
Com isso, descobrimos que dizer: 
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“Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo” 
é uma verdade SEMPRE! 
Não importa se, de fato, João é alto ou não. 
Não importa se, de fato, Guilherme é gordo ou não. 
Nada disso importa. 
Quaisquer que sejam as características de João e Guilherme (alto x baixo; magro x gordo), a 
proposição composta será verdadeira. 
 
Letra B: “se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo” 
Agora a proposição é representada por: 
p → (p ∧ q) 
A tabela fica assim: 
p q p ∧ q p → (p ∧ q) 
V V V V 
V F F F 
F V F V 
F F F V 
Aqui temos uma contingência, já que existem verdadeiros e falsos na solução. 
 
Letra C: “se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo” 
Neste item, temos um “ou” na primeira parte do condicional. 
Então a representação em símbolos é assim: 
(p ∨ q) → qConstruindo a tabela, teremos: 
p q p ∨ q (p ∨ q) → q 
V V V V 
V F V F 
F V V V 
F F F V 
Novamente, uma contingência. 
 
Letra D: “se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo” 
Aqui temos um “ou” na primeira parte do condicional (João é alto ou Guilherme é gordo) e 
um “e” na segunda parte (João é alto e Guilherme é gordo) 
Como estas duas partes são unidas por um condicional, o resultado fica assim: 
(p ∨ q) → (p ∧ q) 
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A tabela-verdade fica assim: 
p q p ∨ q p ∧ q (p ∨ q) → (p ∧ q) 
V V V V V 
V F V F F 
F V V F F 
F F F F V 
Trata-se novamente de uma contingência. 
 
Letra E. “se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo” 
Neste item, temos um “ou” entre uma afirmação e sua própria negação na primeira parte 
do condicional. (João é alto ou João não é alto) 
A representação em símbolos fica: 
(p ∨ ~p) → q 
A tabela-verdade é apresentada em seqüência: 
p ~p p ∨ ~p q (p ∨ ~p) → q 
V F V V V 
V F V F F 
F V V V V 
F V V F F 
Também é uma contingência. Há verdadeiros e falsos na resposta. Veja que na primeira 
parte do condicional temos apenas verdadeiros (p ∨ ~p é sempre verdadeiro), mas o que 
nos interessa é o resultado final (última coluna), não as parcelas individuais do condicional. 
Gabarito: A 
 
8. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS 
Existem algumas proposições compostas que apresentam tabelas verdades idênticas. 
Quando isso acontece, dizemos que as proposições envolvidas são equivalentes. 
Em outras palavras, duas proposições compostas são equivalentes quando apresentam 
sempre o mesmo valor lógico, independentemente dos valores lógicos das proposições 
simples que as compõem. 
Quando duas proposições p, q são equivalentes escrevemos p q⇔ . Podemos também 
escrever assim: 
� ≡ � 
É possível construirmos inúmeras equivalências lógicas. Para concursos, quatro delas são 
especialmente importantes: 
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• ~(p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q) 
• ~(p ∨ q) ⇔ (~p) ∧ (~q) 
• p → q ⇔ (~p) ∨ q 
• p → q ⇔ (~q) → (~p) 
 
 
Então é isso, sabendo as equivalências acima, dá para resolver as questões de equivalências 
lógicas. Mais adiante, eu vou dar exemplos para facilitar o entendimento das equivalências. 
 
É lógico que dá para montar infinitas outras equivalências. O Cespe, por exemplo, às vezes 
cobra a seguinte equivalência: 
~(� → �) ⇔ � ∧ (~�) 
Mas esta equivalência aí pode ser rapidamente obtida a partir das equivalências (3) e (4) 
que citei acima. 
Quanto à Esaf, recentemente ela tem cobrado outras equivalências, mas falamos delas 
diretamente nos exercícios. 
 
Vamos detalhar agora um pouquinho mais o que vimos acima. 
Em primeiro lugar, vamos ver porque é que as proposições indicadas na seção anterior são 
equivalentes. 
Vamos focar na primeira equivalência lógica: ~(p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q). 
Para comprovar que estas duas proposições são equivalentes, basta fazer as respectivas 
tabelas verdades. 
Vamos lá! 
Vamos começar com a tabela-verdade de “~(p ∧ q)” 
p q p ∧ q ~(p ∧ q) 
V V V F 
V F F V 
F V F V 
F F F V 
Agora vamos para a tabela verdade de (~p) ∨ (~q) 
p ~p q ~q (~p) ∨ (~q) 
V F V F F 
V F F V V 
F V V F V 
F V F V V 
Observem as últimas colunas, destacadas em vermelho. 
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Elas são idênticas!!! 
Por isso dizemos que as proposições “~(p ∧ q)” e “(~p) ∨ (~q)” são equivalentes. 
Usando um procedimento semelhante, podemos verificar que todas as demais 
equivalências apresentadas estão corretas. 
 
Vamos agora dar exemplos das equivalências, utilizando frases. 
 
Primeira equivalência: ~(p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q) 
Para negar um “e” lógico, nós temos que fazer um “ou” da negação de cada parcela. 
 
Ou ainda: para negar um “e”, nós negamos cada parcela e trocamos o “e” por um “ou”. 
Exemplo: A negação de “Pedro é alto e Júlio é rico” é “Pedro não é alto ou Júlio não é rico”. 
 
Aqui cabe uma observação. Tem muita gente que confunde as coisas. 
A negação de “Pedro é alto e Júlio é rico” é “Pedro não é alto ou Júlio não é rico”. 
 
Tem aluno que pensa que “Pedro é alto e Júlio é rico” é equivalente a “Pedro não é alto ou 
Júlio não é rico”. Isso está errado!!! 
 
O que a equivalência nos diz é que uma proposição é a negação da outra. 
Ou ainda, a negação da primeira proposição é equivalente à segunda proposição. 
É isso. 
 
Outra equivalência lógica importante é: 
~(p ∨ q) ⇔ (~p) ∧ (~q) 
Para negar um “ou” lógico, nós devemos fazer um “e” da negação de cada parcela. 
Ou ainda: para negar um “ou”, nós negamos cada parcela e trocamos o “ou” por um “e”. 
 
Exemplo: A negação de “O governo aumenta os juros ou a inflação sobe” é “O governo não 
aumenta os juros e a inflação não sobe”. 
 
A terceira importante equivalência lógica é: 
p → q ⇔ (~p) ∨ q 
 
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Exemplo: Dizer que “Se os juros baixam então eu compro um carro novo” é o mesmo que 
dizer (em termos lógicos) que “Os juros não baixam ou eu compro um carro novo”. 
 
A quarta importante equivalência é: 
p → q ⇔ (~q) → (~p) 
Exemplo: Dizer “Se baixam os juros então a inflação sobe” é o mesmo que dizer, em termos 
lógicos, que “Se a inflação não sobe então os juros não baixam”. 
 
Um outro exemplo bem legal. 
Lembram daquela propaganda que aparece toda hora na televisão? As frases ditas são: 
Se beber, então não dirija. 
Se for dirigir, então não beba. 
É claro que a ideia da propaganda é reforçar, ao máximo, que bebida e direção não 
combinam. Mas, em termos lógicos, não seria necessário que as duas frases fossem ditas. 
Isto porque elas são equivalentes!!! 
Olhem só: 
Se beber, então não dirija. 
Temos: 
- primeira parcela: beber 
- segunda parcela: não dirigir. 
Agora vamos trocar a ordem das parcelas, negando-as. Ficamos com: 
- primeira parcela: dirigir. 
- segunda parcela: não beber. 
 
O grande problema deste exemplo é que, como as frases estão no formato imperativo (uma 
ordem para não dirigir), não seriam proposições. 
Mas acho que podemos ignorar este problema. Afinal de contas, a propaganda é algo ótimo 
para ajudar a lembrarmos da equivalência. 
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Resumindo as equivalências: 
Proposição de origem Como fazer Resultado 
Quero negar a seguinte proposição: 
“Pedro é alto e Júlio é rico” 
Nega primeira parcela: Pedro não é alto 
Nega a segunda parcela: Júlio não é rico. 
Troca o conectivo: ou 
Pedro não é alto ou Júlio não é rico 
Quero negar a seguinte proposição: 
“Pedro é alto ou Júlio é rico” 
Nega primeira parcela: Pedro não é alto 
Nega a segunda parcela: Júlio não é rico. 
Troca o conectivo: e 
Pedro não é alto e Júlio não é rico 
Se os juros baixam, então eu compro um 
carro novo. 
Nega a primeira parcela: Os juros não baixam. 
Mantém a segunda parcela: Eu compro um carro novo. 
Troca o conectivo: ou 
Os juros não baixam ou eu compro 
um carro novo. 
Se beber, então não dirija(*) Nega primeira parcela: Não beba 
Nega segunda parcela: Dirija 
Inverte a ordem 
Se dirigir, então não beba 
(*) vamos desconsiderar o fato de que, sendo uma ordem, não teríamos proposição. 
 
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Questão 7 CGU 2008 [ESAF] 
Um renomado economista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”. Do 
ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que: 
a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta. 
b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa. 
c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta. 
d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta. 
e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta. 
 
Resolução: 
Vamos ver a afirmação do economista: 
“A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta” 
Podemos observar que a frase do economista usa o conectivo “ou”. Olhando para as 
alternativas, percebemos que todas elas apresentam condicionais. Neste momento, já 
devemos ficar atentos para a equivalência que relaciona o condicional com o “ou” 
(disjunção). Vamos revê-la: 
p → q ⇔ (~p) ∨ q 
O que estes símbolos me dizem? 
Que podemos trocar um condicional por um “ou”. Bata negar a primeira parcela e manter a 
segunda. 
E é exatamente isso que vamos fazer. 
Vamos negar a primeira parcela e vamos manter a segunda. 
 
Vamos ver quais são as parcelas da nossa afirmação: 
Primeira parcela: A inflação não baixa (~p) 
Segunda parcela: A taxa de juros aumenta (q) 
 
Reparem que a afirmação do enunciado tem exatamente a forma do “ou” na propriedade: 
A inflação não baixa = (~p) 
ou 
a taxa de juros aumenta = q 
 
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Podemos usar imediatamente a equivalência que aprendemos: 
p →→→→ q = (~p) ∨∨∨∨ q 
A figura abaixo detalha a equivalência: 
 
Assim: 
A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta. ((~p) ∨∨∨∨ q) 
 É dizer a mesma coisa que: 
Se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta. (p →→→→ q) 
Gabarito: D 
 
Questão 8 Enap 2006 [ESAF] 
Dizer que “Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” é do ponto de vista lógico, o mesmo que 
dizer: 
a) se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz. 
b) se Beatriz é feliz, então Ana é alegre. 
c) se Ana é alegre, então Beatriz é feliz. 
d) se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz. 
e) se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz. 
 
Resolução: 
Temos a seguinte proposição: 
“Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” 
Exatamente como no exercício anterior, temos um “ou” no enunciado e condicionais nas 
alternativas. 
Basta aplicar a mesma equivalência. Podemos trocar um “ou” por um condicional. Basta 
negar a primeira parcela e manter a segunda. 
As partes da afirmação do enunciado são: 
Primeira parcela: Ana não é alegre (~p) 
Segunda parcela: Beatriz é feliz (q) 
Fazendo a equivalência, temos: 
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Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz. (p →→→→ q) 
Gabarito: C 
 
Questão 9 MPOG 2009 [ESAF] 
A negação de “Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José” é: 
a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José. 
b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha. 
c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José. 
d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema. 
e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José. 
 
Resolução. 
A proposição original contém uma conjunção. 
(Maria comprou uma blusa nova) e (foi ao cinema com José). 
Para negarmos um “e”, nós negamos cada parcela e trocamos o “e” por um “ou”. Ficamos 
com: 
(Maria não comprou uma blusa nova) ou (não foi ao cinema com José). 
Gabarito: A 
 
Questão 10 AFRFB 2009 [ESAF] 
Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica molhado”. Sendo 
assim, pode-se afirmar que: 
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou. 
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou. 
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou. 
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou. 
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou. 
 
Resolução. 
Na verdade, a questão está mal escrita. 
O que a banca queria era que o candidato marcasse a alternativa com uma proposição 
equivalente à dada no comando da questão. 
Vamos então fazer isso. 
 
Vamos dar nomes às proposições simples. 
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p: Chove 
q: neva 
r: o chão fica molhado. 
 
Representando a proposição dada por meio de símbolos: 
rqp →∨ )( 
Num condicional, podemos inverter as parcelas, negando-as. 
Logo: 
rqp →∨ )( ⇔ )(~~ qpr ∨→ 
 
Ficamos com a seguinte proposição, que é equivalente àquela dada pelo enunciado: 
)(~~ qpr ∨→ 
Podemos trabalhar mais um pouco com esta proposição. 
Na sua segunda parcela, temos a negação de um “Ou”. Para negar um “ou”, negamos cada 
parcela e trocamos o conectivo por um “e”. 
 
Logo, chegamos à seguinte proposição: 
)(~)(~~ qpr ∧→ 
Em palavras, temos: 
Se o chão não fica molhado, então não chove e não neva. 
Ou ainda: 
Se o chão fica seco, então não chove e não neva. 
Isso está expresso na letra E, que foi dada como gabarito. 
Gabarito: E 
 
O grande detalhe é que, ao contrário do que aconteceu em todas as questões anteriores, 
em nenhum momento a questão diz para marcamos a alternativa com uma proposição 
equivalente. Em nenhum momento temos uma indicação de que se trata de uma questão 
sobre equivalências lógicas. 
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Se fôssemos seguir ao pé da letra o que está escrito na questão, teríamos, na verdade, um 
exercício de lógica de argumentação (matéria que ainda não estudamos). 
E, considerando a questão como de lógica de argumentação, teríamos duas alternativas 
corretas, pelo que a questão deveria ter sido anulada. 
Deveria, mas não foi, isto acontece... 
Mas, infelizmente, isso é comum em provas. E o que a gente não quer é brigar com o 
enunciado, não é mesmo? 
Então, peço que, mesmo depois que estudarmos lógica de argumentação, vocês sempre 
tentem resolver as questões primeiro aplicando equivalências lógicas. Se não deu, aí sim, 
partam para a lógica de argumentação. 
Mas, por hora, não esquentem a cabeça. Comentamos mais a respeito, quando virmos 
lógica de argumentação. 
 
Questão 11 STN 2005 [ESAF] 
Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo, 
a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. 
b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. 
c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. 
d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. 
e) Marcos estudar é condição necessária para João passear. 
 
Resolução. 
A proposição fornecida foi: 
Se Marcos não estuda, então João não passeia. 
Temos que: 
- Marcos não estudar é condição suficiente para João não passear. 
- João não passear é condição necessária para Marcos não estudar. 
 
Analisando as alternativas, não temos nenhuma que contenha as frases acima.Qual foi o nosso erro? 
Nenhum. Está tudo certo. Se houvesse alguma alternativa que contemplasse as frases 
acima, ela seria a resposta. O único problema é que, com a teoria que estudamos, não 
chegamos a nenhuma alternativa. 
E agora? O que fazer? 
 
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Agora aplicamos uma equivalência lógica muito importante. Num condicional, podemos 
inverter as parcelas, negando-as. 
Ou seja, qp → é equivalente a )(~)(~ pq → . 
Assim, as duas proposições abaixo são equivalentes: 
“Se Marcos não estuda, então João não passeia” 
“Se João passeia, então Marcos estuda” 
Neste novo condicional, temos: 
- João passear é condição suficiente para Marcos estudar. 
- Marcos estudar é condição necessária para João passear. 
E agora sim, temos condições de saber que a conclusão exposta na alternativa E está 
correta. 
Gabarito: E 
 
Questão 12 CGU 2008 [ESAF] 
Maria foi informada por João que Ana é prima de Beatriz e Carina é prima de Denise. Como 
Maria sabe que João sempre mente, Maria tem certeza que a afirmação é falsa. Desse 
modo, e do ponto de vista lógico, Maria pode concluir que é verdade que: 
a) Ana é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise. 
b) Ana não é prima de Beatriz e Carina não é prima de Denise. 
c) Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise. 
d) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina é prima de Denise. 
e) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina não é prima de Denise 
 
Resolução. 
Olha o finalzinho do enunciado: “Maria pode concluir que:”. 
Para sabermos se podemos concluir qualquer coisa, para isso usamos análise de 
argumentos. 
Como já disse anteriormente, tente, primeiro, usar equivalências lógicas. 
 
A informação que temos é: 
p: Ana é prima de Beatriz e Carina é prima de Denise. 
Esta afirmativa é falsa. 
Logo, sua negação é verdadeira. 
Como fazemos para negar p? 
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Temos um “e”. Para negá-lo, negamos cada parcela e trocamos o “e” por um “ou”. Ficamos 
com: 
~p: Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise. 
Gabarito: C 
 
Questão 13 MPOG 2008 [ESAF] 
Dois colegas estão tentando resolver um problema de matemática. Pedro afirma para Paulo 
que X = B e Y = D. Como Paulo sabe que Pedro sempre mente, então, do ponto de vista 
lógico, Paulo pode afirmar corretamente que: 
a) X ≠ B e Y ≠ D 
b) X = B ou Y ≠ D 
c) X ≠ B ou Y ≠ D 
d) se X ≠ B, então Y ≠ D 
e) se X ≠ B, então Y = D 
 
Resolução: 
É a mesma questão, mudando apenas os nomes! 
Veja, sabemos que: 
É falso que: X = B e Y = D. 
Se esta afirmação é falsa, sua negação é obrigatoriamente verdadeira. Temos que encontrar 
esta negação. Aprendemos como negar um “e” lógico. Basta negar cada parcela e trocar o 
“e” por um “ou”. 
Quais nossas parcelas? 
1) X = B 
2) Y = D 
 
Como fazemos para negar “X = B”? 
Dizer que “X não é igual a B” é o mesmo que dizer que “X é diferente de B”. 
Portanto, a negação de cada parcela acima fica: 
1) X ≠ B 
2) Y ≠ D 
 
Agora, para negar a afirmação do enunciado, basta ligar estas duas negações por um “ou”. 
Assim: 
X ≠ B ou Y ≠ D. 
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Sabemos que a afirmação do enunciado é falsa. Então sua negação é verdadeira. Assim: 
É verdade que: X ≠ B ou Y ≠ D. 
Gabarito: C 
 
Pergunta: Professor, mas você disse lá no começo da aula que, quando temos variáveis, não 
dá para julgar em verdadeiro ou falso. Ou seja, não temos proposição. E agora? 
 
Resposta: De fato, seguindo este raciocínio, não teríamos uma proposição sequer na 
questão, e não daria para resolver. 
Aí vem o meu lema: não brigue com o enunciado. 
Apesar de usar letras “X” e “B”, a questão não está se referindo a elas como variáveis. 
Então deixa esse probleminha para lá. Desconsidere isso e resolva a questão normalmente. 
Suponha que estamos sim diante de proposições. 
 
Questão 14 Prefeitura de Natal 2008 [ESAF] 
Durante uma prova de matemática, Joãozinho faz uma pergunta para a professora. 
Mariazinha - que precisa obter nota alta e, portanto, qualquer informação na hora da prova 
lhe será muito valiosa -, não escutou a pergunta de Joãozinho. Contudo, ela ouviu quando a 
professora respondeu para Joãozinho afirmando que: se X ≠ 2, então Y = 3. Sabendo que a 
professora sempre fala a verdade, então Mariazinha conclui corretamente que: 
a) se X = 2, então Y ≠ 3 
b) X ≠ 2 e Y = 3 
c) X = 2 ou Y = 3 
d) se Y = 3, então X ≠ 2 
e) se X ≠ 2, então Y ≠ 3 
 
Resolução: 
A proposição dada foi: 
Se X ≠ 2, então Y = 3. 
Ela é nosso ponto de partida. Ela é nossa premissa. 
Partindo desta premissa, o que podemos concluir? 
Ah, isso é tarefa para a análise de argumentos. 
Mas, como estamos diante da ESAF, já sabemos que é muito provável que a gente deva usar 
apenas equivalências lógicas. 
 
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Num condicional, podemos inverter as parcelas negando-as. Logo, a partir da proposição 
acima, obtemos outra equivalente: 
Se Y ≠ 3, então X = 2 
Pronto. Achamos uma proposição equivalente. O problema é que nenhuma das alternativas 
contempla esta proposição. 
Então vamos utilizar outra equivalência. Podemos trocar um condicional por um “Ou”. Basta 
negar a primeira parcela e manter a segunda. Logo, “Se X ≠ 2, então Y = 3” é equivalente a: 
X = 2 ou Y=3 
E esta proposição sim está contemplada na alternativa C. 
Gabarito: C 
 
Questão 15 ATA MF 2009 [ESAF] 
X e Y são números tais que: Se 4≤x , então 7>y . Sendo assim: 
a) Se 7≤y , então 4>x 
b) Se 7>y , então 4≥x 
c) Se 4≥x , então 7<y 
d) Se 7<y , então 4≥x 
e) Se 4<x , então 7≥y 
 
Resolução. 
Como ponto de partida, temos uma única proposição, qual seja: 
Se 4≤x , então 7>y . 
Vamos achar qual é a proposição que é equivalente a: Se 4≤x , então 7>y . 
Num condicional, podemos inverter as parcelas, negando-as. 
A primeira parcela é: 4≤x . 
Como é que negamos isso? 
 
Basta pensar assim: quando é que x não é menor ou igual a 4? 
Ah, isso ocorre quando x é maior que 4. 
Logo, para negar 4≤x , fazemos assim: 
4>x 
A segunda parcela é: 7>y . 
Queremos negá-la. 
Quando é que y não é maior que 7? 
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Bem, isso ocorre quando y é menor que 7, correto? 
 
Sim, isso está correto. Na verdade, parcialmente correto. 
Há outro caso a ser considerado. 
Quando y é exatamente igual a 7, ele não é maior que 7. Concorda? 
Assim, para negar a segunda parcela, temos que considerar os dois casos: 
- quando y é menor que 7 
- quando y é igual a 7. 
Ou seja, para negar 7>y nós fazemos assim: 
7≤y 
A proposição original é: 
Se 4≤x , então 7>y . 
Usando a equivalência lógica, podemos inverter a ordem das parcelas, negando-as. Fica 
assim: 
Se 7≤y , então 4>x . 
Gabarito: A 
 
Questão 16 ATRFB 2009 [ESAF] 
A afirmação: “João não chegou ou Maria está atrasada” equivale logicamente a: 
a) Se João não chegou, Maria está atrasada. 
b) João chegou e Maria não está atrasada. 
c) Se João