Analise Dimensional

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Centro Universitário da FEI 
 
 
 
NOÇÕES DE 
ANÁLISE 
DIMENSIONAL E 
SISTEMA 
INTERNACIONAL DE 
UNIDADES 
 
Física I 
 
 
 
 
versão: 01/08/2012 
 
 
NOS TERMOS DA LEI, FICA TERMINANTEMENTE VEDADA A 
REPRODUÇÃO DESTE TEXTO, PARA COMERCIALIZAÇÃO, SEM 
AUTORIZAÇÃO EXPRESSA DOS AUTORES. 
 2 
ANÁLISE DIMENSIONAL 
 
 
1.1. Definições preliminares 
 
 As leis da física são expressas em termos de grandezas fundamentais, que 
devem ser definidas de forma clara. Certas grandezas físicas, como força, 
velocidade, aceleração, etc., podem ser definidas em termos de grandezas mais 
fundamentais. Na verdade, qualquer grandeza física pode ser expressa em termos 
de 7 grandezas, quais sejam, comprimento, tempo, massa, intensidade luminosa, 
intensidade de corrente elétrica, quantidade de substância e temperatura. 
Estaremos ao longo destas aulas, discutindo como podem ser expressas todas as 
grandezas físicas em termos destas 7 grandezas básicas, concentrando-nos 
particularmente nas grandezas mecânicas, que podem ser expressas em termos das 
grandezas comprimento, massa e tempo. Estas grandezas são definidas de forma a 
se estabelecer um padrão, de modo que uma mesma grandeza, medida em 
diferentes locais, resulte no mesmo valor. 
Vejamos a seguir algumas definições preliminares importantes para o 
estudo da análise dimensional. 
 
 
 
a) Grandeza física 
 
 É uma propriedade física que pode ser representada numericamente, 
pois qualquer fenômeno físico só tem interesse científico quando a ele podemos 
associar valores mensuráveis. 
 
 
 
b) Medida de uma grandeza física 
 
 Medir uma grandeza é compará-la a outra de mesma espécie, chamada 
"unidade de medida" ou padrão. É verificar quantas unidades de medida estão 
contidas dentro da grandeza. 
 
 
 
c) Unidades de medida 
 
 São padrões previamente estabelecidos de acordo com a conveniência. 
Existem diversos sistemas de unidades, pois em sua criação foram levados em 
conta as necessidades e fenômenos físicos observados na natureza, de tal maneira 
que a unidade escolhida possibilite trabalhar com números razoáveis, não 
excessivamente grandes nem pequenos. Existem também sistemas como o inglês, 
em que as medidas foram criadas de maneira a agradar ao Rei. 
 Os sistemas de unidades mais conhecidos são: SI (Sistema Internacional – 
ver apêndice), MKS, CGS, MK*S (ou Técnico) e o Sistema Inglês. 
 
 3 
 
d) Medição 
 
 Denomina-se medição como sendo a verificação de quantas unidades de 
medida estão contidas na grandeza. Logo, 
 
 
 
U
G
M 
 
 
onde: M = medida 
 G = grandeza 
 U = unidade 
 
 
Portanto, podemos escrever: 
 
 
UMG 
 
 
 
Exemplo: Considere um intervalo de tempo 
t
de 50 s. 
 
Medida M = 50 
Grandeza G = 
t
 (medida de intervalo de tempo) 
Unidade U = s (segundo) 
 
 
Observação 1: A razão entre as medidas de duas grandezas de mesma unidade é 
igual à razão entre as suas medidas, isto é: 
 
Se G1 = m1 . U e G2 = m2 . U , então 
2
1
2
1
m
m
G
G

 
 
 
Observação 2: A razão entre as medidas de mesma grandeza com unidades 
diferentes é igual ao inverso da razão entre as suas unidades: 
 
Se 
1
1
U
G
m 
 e 
2
2
U
G
m 
 então 
1
2
2
1
U
U
m
m

 
 
Exemplo: O diâmetro externo de um tubo foi medido com dois instrumentos 
diferentes. Foram obtidos os seguintes dados: D1 = 50,8 mm e D2 = 2'' 
(polegadas). 
 
1
2
2
1
U
U
m
m

 isto é , 
mm
polegadas

2
8,50
  1 '' = 25,4 mm 
 
 
 
 4 
 
 
e) Grandezas fundamentais 
 
 São grandezas a partir das quais iremos escrever todas as outras grandezas. 
As grandezas fundamentais são: 
 
M (massa)  (temperatura) N = quantidade de 
matéria 
L (comprimento) I (intensidade de corrente elétrica) 
T (tempo) Io (intensidade luminosa) 
 
 
 No Sistema Internacional de unidades, por exemplo, essas grandezas são 
representadas pelas seguintes unidades: 
 
M kg (quilograma)   K (kelvin) N  mol 
L m (metro) I  A (ampère) 
T  s (segundo) Io  cd (candela) 
 
 
A mecânica dos fluidos, por questão de simplificação para os fenômenos 
por ela estudados, utiliza como grandezas fundamentais: 
 
F (força) 
 L (comprimento) 
 T (tempo) 
 
 
 
f) Grandezas derivadas 
 
 São as grandezas escritas em função das grandezas fundamentais na forma 
de produtos de potência, na qual as bases são as grandezas fundamentais e os 
expoentes são chamados de dimensões, constituindo-se assim as equações 
dimensionais. 
 
 
 
g) Símbolos dimensionais 
 
 É a maneira pela qual representamos a grandeza física dimensionalmente. 
Por convenção, uma grandeza derivada qualquer é indicada por uma letra 
representativa entre colchetes. 
 
 
[massa] = M [temperatura] =  
[comprimento] = L [corrente elétrica] = I 
[tempo] = T [intensidade luminosa] = Io 
 [quantidade de matéria] = N 
 5 
Exemplos 
 
 
Exemplo 1: Determinar a equação dimensional da velocidade. 
 
tsv 
, onde 
 
s
= comprimento [Δs] = L 
 
t
= tempo  [Δt] = T 
 
 
1][  LT
T
L
v
 
 
 
Exemplo 2: Determinar a equação dimensional da força. 
 
F = m.a, onde 
 
m = massa  [m] = M 
 
a = aceleração  
tva 
  
2
1
][ 

 LT
T
 LT
a
 
 
 
 
2][  MLTF
 
 
 
Exemplo 3: Determinar a equação dimensional da grandeza A, definida pela 
expressão abaixo, sabendo-se que F = força, r = distância e  = velocidade 
angular. 
 

r.F
A 
 
 
 [F] = MLT-2 
 
 [r] = L 

 [] = T-1 
 
 
12
1
2.
][ 


 TML
T
LMLT
A
 
 
 6 
EXERCÍCIOS 
 
1) Determine as equações dimensionais para as grandezas abaixo relacionadas: 
01. Área (S) 
02. Volume (V) 
03. Velocidade (v) 
04. Aceleração (a) 
05. Ângulo plano () 
06. Velocidade angular () 
07. Aceleração angular () 
08. Força (peso, normal, atrito, etc.) (F) 
09. Impulso e quantidade de movimento (I e p) 
10. Massa específica ou densidade absoluta () 
11. Peso específico () 
12. Pressão (p) 
13. Trabalho (W) 
14. Potência (P) 15. Tensão superficial em um líquido (); 
s
F


onde 
s
 é 
comprimento e 
F
é força 
16. Viscosidade dinâmica (); 
vS
sF
.
.

 onde 
v
 é velocidade, 
S
é área, 
s
 é 
comprimento e F é força 
17. Viscosidade cinemática (); 


 
 onde ρ é densidade volumétrica de massa e 

 é 
viscosidade dinâmica 
18. Torque ou Momento de uma força (M); 
sFM  .
onde 
s
 é comprimento e 
F
é força 
19. Constante elástica da mola (k) 
20. Constante de gravitação universal (G); 
2
2).(
m
sF
G


 onde 
m
 é massa, 
s
 é comprimento e 
F
é força 
21. Freqüência (f) 
22. Quantidade de calor (Q) 
23. Calor específico (c) 
24. Capacidade térmica (C) 
25. Densidade linear (); (massa/comprimento) 
26. Energia (cinética, potencial, mecânica)(E) 
27. Momento angular (H) (
svmH  ..
onde 
m
 é massa, 
v
 é velocidade e 
s
 é 
comprimento) 
 
 
2) Para as grandezas acima relacionadas, pesquisar as unidades de cada uma delas 
nos seguintes sistemas de unidades: 
a) Internacional 
b) CGS 
 
 
 7 
3) Determinar as equações dimensionais para as grandezas abaixo discriminadas, 
onde l = comprimento, F = força,  = densidade linear, H = momento angular e 
 = velocidade angular. 
a) 

F
x 
 b) 
x
l
y
2
1

2
 c) 
2
H
z 
 d) 
z
yx
u 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. Homogeneidade dimensional 
 
As equações que representam os fenômenos físicos são, em geral, 
polinômios de um ou mais termos. Uma equação deste tipo é dita homogênea 
quando cada um de seus monômios possuírem os mesmos símbolos dimensionais 
com os mesmos expoentes.Vamos, por exemplo, considerar uma equação física 
qualquer, constituída por grandezas mecânicas e representada pela expressão 
abaixo: 
 
 
HE
D
CB
A .
.

 
 
Suponhamos que as fórmulas dimensionais dos termos sejam: 
 
 
 
111][

TLMA 
 
 
 
2221..
. 
TLMDCB
D
CB





 
 
 
 
333][

TLMHE 
 
 
 
A equação é dimensionalmente homogênea se: 
 
 
1 = 2 = 3 e 1 = 2 = 3 e 1 = 2 = 3 
 
 
"UMA EQUAÇÃO FÍSICA SERÁ DIMENSIONALMENTE HOMOGÊNEA SE 
TODAS AS PARCELAS DOS DOIS MEMBROS POSSUÍREM IGUAL 
DIMENSÃO EM RELAÇÃO À MESMA GRANDEZA FUNDAMENTAL". 
 8 
 
PRINCÍPIO DA HOMOGENEIDADE 
 
 
"TODA EQUAÇÃO FÍSICA VERDADEIRA É DIMENSIONALMENTE 
HOMOGÊNEA." 
 
 
OBSERVAÇÃO.: uma equação pode ser dimensionalmente homogênea e não 
verdadeira. Logo, a homogeneidade dimensional é necessária mas não é suficiente 
para que a equação física seja verdadeira. 
 
Exemplo: Verificar se as expressões abaixo são dimensionalmente homogêneas: 
 
a) 
3
4
2
.
.
D
pS
F


, onde F = força; S = área; p = pressão;  = trabalho; D = diâmetro 
 
[F] = MLT 
-2 
[S] = L
2
 
[p] = ML
-1
T 
-2
 
[] = ML2T -2 
[D] = L 
 
1
o
. Membro: MLT 
-2
 
 
2
o
. Membro: 
13 33
26
23
3
422
2122
.
.)( 




 LL
TML
TML
LTML
TMLL 
 
 
MLT 
-2
 

 L
-1
 
 
Logo, esta equação não é dimensionalmente homogênea. 
 
 
b) 
R
mv
F
2

, onde: F = força; m = massa; v = velocidade e R = raio 
 
1
o
. Membro: [F] = MLT 
-2
 
 
2
o
. Membro 
 
[m] = M 
[v] = LT 
-1
 
[R] = L 
 
2
2221).( 

 MLT
L
TML
L
LTM
 
 
 9 
1
o
. Membro = 2
o
. Membro 
 
MLT 
-2
 = MLT 
-2
 
 
Logo, a equação é dimensionalmente homogênea. 
 
 
 
c) Sabendo-se que a equação abaixo é dimensionalmente homogênea, determinar 
as dimensões das grandezas A, B e D. Obs.: p = pressão; Q = quantidade de 
movimento e  é adimensional. 
 
BQpA Q
pD

.
..  
 
 [A] = [B] = [p.Q] 
21][  TMLp
 
 [Q] = MLT 
-1
 
 [] = adimensional = 1 
 [p.Q] = ML
-1
T 
-2
MLT 
-1
 = M 
2
T
 -3 
 
Logo, 
 
[A] = [B] = M 
2
T 
-3 
 
 
0001
][
][
TLM
Q
pD


 
 
 
000
1
21].[
TLM
MLT
TMLD


 
 
 
 
00012][ TLMTLD  
 
 
 









1
2
0
].[ 00012



 TLMTLTLM
 
 
 
 
 
 
 10 
EXERCÍCIOS 
 
1) Verificar a homogeneidade dimensional das seguintes equações abaixo, onde: 
v = velocidade, g = aceleração da gravidade, h = altura, Ec = energia cinética, 
m = massa, F = força, W = trabalho, p = pressão e  = massa específica ou 
densidade absoluta. 
 
a) 
ghv 2
 
 
b) 
2
2mv
Ec 
 
 
c) 
W
Fv
h 
 
 
d) 
hgp 
 
 
e) 
2
2mv
W 
 
 
 
2) Seja d = distância percorrida, g = aceleração da gravidade, t = tempo e k é um 
adimensional. Determinar as constantes A e B para a expressão abaixo, 
sabendo-se que ela é verdadeira. 
 
 d = k.g
A
.t
B
 
 
3) A equação do MHS (Movimento Harmônico Simples) é 
)tcos(Ay 0 
, 
onde y é a ordenada (posição) e t é tempo. Determinar a equação dimensional 
das grandezas (A, , 0). 
 
4) A equação abaixo fornece a velocidade média de escoamento v da água em um 
rio onde RH é o raio hidráulico, que é a relação entre a área da secção e o 
perímetro molhado, e k é adimensional. Determinar as equações dimensionais 
de A e B. 
 
 
H
H
R
B
A
Rk
v


. 
 
5) Na equação de Van der Waals para gases reais p = pressão,  = volume 
específico, que é a razão entre o volume e a massa, e t = temperatura. 
Determinar as equações dimensionais das constantes a, b e k. 
 
 
tkb
a
p 





 )(
2


 
 11 
 
6) Segundo a Teoria da Relatividade, um objeto que tem comprimento próprio Lo 
(Lo é medido em relação a um referencial que tem velocidade zero em relação 
ao objeto) possui um comprimento L = Lo / quando medido em relação a um 
observador que se move com uma velocidade v em relação ao objeto (este 
efeito é chamado de contração do espaço). Sabendo-se que 
21
1




 
(fator de Lorentz), onde 
c
v

(parâmetro de velocidade ou fator de dobra), 
determine as equações dimensionais de c,  e . 
 
 
 
7) Em um sistema mola-massa que oscila verticalmente sujeito a um 
amortecimento (Movimento Harmônico Simples amortecido), a posição y da 
massa m em função do tempo t é dada por 
)(cos    teAy t
. Sabendo-
se que 
m
b
2

, determine as equações dimensionais de A, , b,  e . 
 
 
 12 
1.3. PREVISÃO DE EQUAÇÕES FÍSICAS 
 
 
 
a) Teorema de Bridgman: 
 
“TODA GRANDEZA DERIVADA QUE SATISFAZ A CONDIÇÃO DE 
SIGNIFICADO ABSOLUTO DO VALOR RELATIVO, PODE SER 
EXPRESSA PELO PRODUTO DE UMA CONSTANTE PURAMENTE 
NUMÉRICA, POR POTÊNCIAS CONVENIENTES DE GRANDEZAS 
FUNDAMENTAIS.” 
 
Exemplo: 
 
  CBA.KG  
 
onde: A, B, C são grandezas fundamentais e K, , e  são constantes numéricas, 
ou seja, sem unidades. 
Com base na homogeneidade dimensional e utilizando-se o Teorema de 
Bridgman, podemos fazer previsões de equações físicas através de dados obtidos 
em ensaios experimentais. Para se fazer a previsão de uma fórmula para um certo 
fenômeno é necessário conhecer quais grandezas estão envolvidas no fenômeno. 
 
Exemplo: A força de atração entre duas cargas elétricas depende das cargas Q1 e 
Q2 e da distância entre elas. 
 
F = f(Q1, Q2, d) 
 
Sabemos quais são as grandezas envolvidas, mas não sabemos qual é a 
relação entre elas. 
 
 
 
b) Previsão de equações físicas: 
 
Seja uma grandeza qualquer A. Sabemos através de experiências que ela 
depende de outras grandezas B, D, E. Pelo Teorema de Bridgman, podemos 
escrever: 
 
 EDKBA 
 
 
Para se determinar a equação física, é necessário descobrir os valores das 
constantes k, , e . Suponhamos que A, B, D e E são grandezas mecânicas. 
Logo, vamos escrever suas equações dimensionais usando como grandezas 
fundamentais M, L, T. 
 
 
zyx TLMA ][
 
 
111][
zyx
TLMB 
 
 
222][
zyx
TLMD 
 
 13 
 
333][
zyx
TLME 
 
 
 [A] = K[B]

[D]

[E]

 
 
Logo, 
  ][][][ 333222111 zyxzyxzyxzyx TLMTLMTLMKTLM  
 
 (M)  x = x1 + x2 + x3
 
 (L)  y = y1 + y2 +y3 
 
 (T)  z = z1 + z2 + z3 
 
Portanto, chegamos a um sistema com três equações e três incógnitas (,  
e ), pois x1, x2, x3, y1, y2, y3, z1, z2, z3 são conhecidos. Para que a equação fique 
completa é necessário determinar o valor de K. Com ,  e  conhecidos, basta 
fazer uma experiência e determinar os valores de A, B, D e E. Substituindo-se 
todos os valores na equação podemos calcular K. 
 
Exemplo: 
1) A potência P de uma hélice de avião depende da densidade absoluta do ar (, 
da velocidade angular da hélice () e do raio da mesma (R). Determinar a 
equação que dá esta dependência. 
 
),,( RfP 
 
 
[P] = ML
2
T 
-3
 
 
[] = ML-3 
 
[] = T-1 
 
[R] = L 
 
 
  ][][][ RKP 
 

  ][][][ 1332 LTMLTML   
 
(M)   = 1 
 
(L)  2 = -3 +   2 = -3 +    = 5 
 
(T) -3 = -   = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
2) A velocidade de uma onda que se propaga em uma corda depende da 
densidade linear da corda () e da força que traciona a corda (F). Uma 
experiência foi realizada em uma corda de comprimento l = 1 m e massa m = 
10 g que estava sujeita a uma força F = 4 N, e encontrou-se v = 20 m/s. 
Determinar a expressão da velocidade. 
 
 
 v = KF

  
 
 [v] = LT 
-1
 
 
 [F] = MLT 
-2
 
 
[ ] = ML-1 
 
 [v] = K [F]

[] 
 
 LT 
-1
= K [MLT 
-2
]

 [ML
-1
]

 
 
 (M)  0 =  +  
 
 (L)  1 =  –   1 = 0,5 –    = -0,5 
 
 (T)  -1 = -2   = 0,5 
 
 
5,05,0  KFv
 
 
 

F
Kv 
 
 
 
Determinação de K 
 
v = 20 m/s 
 
F = 4 N 
 
2
3
10
1
10.10 


l
m
 kg/m 
 
210
4
20

 K
 
 
K = 1 

F
v 
 
 
 
 15 
3) A velocidade do som em um gás depende da constante dos gases R, da massa 
m, do mol M do gás e da temperatura absoluta (t). Sabe-se que a velocidade do 
som no ar à temperatura de 0 
o
C é de 332 m/s. Determinar a velocidade para t 
= 40 °C. 
 
v = f (R, m, M, t)  v = K.RmMt 
 
[v] = LT
-1
 
 
1122][  NTMLR 
 
 
[m] = M 
 
[M] = N 
 
[t] =  
 
LT 
-1
 = K[ML
2
T 
-2 -1N -1][M][N][] 
 
(L) 1 = 2   = 0,5 
 
(T) -1 = -2   = 0,5 
 
(M)  0 =  +    = -0,5 
 
  0 = - +    = 0,5 
 
(N)  0 = - +    = 0,5 
 
v = KR
0,5
m
-0,5
M
0,5
t
0,5
  
m
tMR
Kv 
 
 
 
Para t = 0 
o
C (273 K) e v = 332 m/s: 
 
m
RM
K
273.
332 
 
 
m
RM
KK '
 
 
332 = K’.16,523  K’ = 20,093 
 
 
Para t = 40 °C (313 K) 
 
313'Kv 
 v = 355,5 m/s 
 16 
EXERCÍCIOS 
 
1) Numa experiência sobre estados estacionários em uma corda tracionada, sabe-
se que a freqüência f é diretamente proporcional ao n° de ventres n e que é 
função do comprimento l da corda, da força F que traciona a corda e da 
densidade linear . Um aluno realizou esta experiência e encontrou os 
seguintes dados: f = 50 Hz, n = 2 ventres, l = 1 m, F = 25 N e  = 10-2 kg/m. 
Determinar a expressão da freqüência para o estado estacionário. 
 
2) Sabe-se que o período de vibração (T) de uma gota é função da massa 
específica  do fluido, da tensão superficial  e do raio R da gota. Determinar 
a expressão do período. 
 
3) Uma partícula de massa m, movendo-se na direção horizontal com velocidade 
v0, fica sujeita à ação de uma força vertical, de intensidade constante F, a partir 
de um certo instante. Nestas condições a trajetória descrita é um arco de 
parábola. Seja  o ângulo que sua velocidade faz com a horizontal num 
instante qualquer t. A tangente de é inversamente proporcional à massa e é 
função ainda de F, t, e v0. Determinar o ângulo no instante t = 4 s, sabendo-
se que no instante t = 6 s temos que  = 60°. 
 
 
4) Sabe-se que o momento de inércia I de um cilindro depende de sua massa m e 
do raio R de sua base, quando calculado em relação ao seu eixo de simetria. 
Sabendo-se que o momento angular é H = I, que quando a massa vale m = 50 
kg e o raio R = 0,05 m, temos I = 0,09 kg.m
2
, determinar: 
a) A equação dimensional do momento de inércia 
b) A expressão do momento de inércia do corpo 
 
5) A energia cinética de rotação Kr de um corpo depende do momento de inércia I 
e da velocidade angular . Determine a expressão da energia cinética de 
rotação, sabendo-se que quando I = 0,1 kg.m
2
 e  = 10 rad/s, temos Kr = 5 
joules. 
 17 
Apêndice: O Sistema Internacional de Unidades (SI) 
 
Breve Histórico 
 
Uma grandeza física só tem sentido quando pode ser medida de alguma 
forma. Medir uma grandeza significa compará-la a um padrão. Por muito tempo, 
cada país teve seu próprio sistema de medidas, isto é, seu conjunto de padrões. 
Esses sistemas de medidas, entretanto, eram muitas vezes arbitrários e imprecisos, 
como por exemplo, aqueles baseados no corpo humano, como o palmo, o pé, a 
polegada, etc. Com a expansão do comércio entre os países, diversos problemas 
começaram a surgir, devido a essa subjetividade de alguns padrões, e devido à 
pouca familiaridade que as pessoas de uma dada região tinham com o sistema de 
medir das outras regiões. A necessidade de se converter uma medida em outra era 
tão importante quanto a necessidade de se converter uma moeda em outra. Em 
diversos países, inclusive no Brasil Imperial, o órgão responsável pela moeda 
também respondia pelo sistema de medidas. 
O Governo Francês, em 1789, procurou resolver esse problema de 
diferentes sistemas de unidades pedindo à Academia de Ciência da França que 
criasse um sistema de medidas baseado em uma "constante natural", ou seja, 
procurando evitar a arbitrariedade no sistema de medidas. Assim foi criado o 
Sistema Métrico Decimal, constituído inicialmente por três unidades básicas: o 
metro, que deu nome ao sistema, o litro e o quilograma. 
Neste sistema, a unidade de medir a grandeza comprimento, o metro, foi 
definida como sendo o comprimento do meridiano terrestre dividido por 
40.000.000. Para materializar-se esta grandeza foi construída uma barra de platina 
de secção retangular, com 25,3mm de espessura e com 1m de comprimento. Esse 
padrão data de 1799 e não é mais usado como padrão de comprimento, servindo 
apenas como peça de museu. 
A unidade de medir a grandeza volume, no Sistema Métrico Decimal, foi 
chamada de litro e foi definida como sendo "o volume de um decímetro cúbico". O 
litro permanece ainda hoje como uma das unidades em uso no SI. 
Para medir a grandeza massa, foi definido o quilograma como sendo "a 
massa de um decímetro cúbico de água na temperatura de maior massa específica, 
ou seja, a 4,44ºC". Para materializá-lo foi construído um cilindro de platina 
iridiada, com diâmetro e altura iguais a 39 milímetros. 
Muitos países, inclusive o Brasil, adotaram por algum tempo o Sistema 
Métrico Decimal. Apesar das vantagens que possuía, não foi possível torná-lo 
universal. Além disso, o desenvolvimento científico e tecnológico passou a exigir 
medições cada vez mais precisas para as diversas grandezas, o que fez com que em 
1960 ele fosse substituído pelo Sistema Internacional de Unidades (SI), cujas 
definições são mais complexas, sofisticadas e precisas. Ainda hoje, diversos 
sistemas de medidas encontram-se em uso, embora exista uma forte pressão para 
que se adote de maneira global o Sistema Internacional de Unidades (SI). 
 O SI foi sancionado em 1960 pela Conferência Geral de Pesos e Medidas. 
O Brasil adotou oficialmente o Sistema Internacional de Unidades em 1962. A 
Resolução nº 12 de 1988 do Conselho Nacional de Metrologia,Normalização e 
Qualidade Industrial ratificou a adoção do SI no País e tornou seu uso obrigatório 
em todo o território nacional. 
 
 
 18 
Unidades SI mais utilizadas 
 
Grandeza Nome Símbolo Definição 
comprimento metro m 
Metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz 
no vácuo, durante um intervalo de tempo de 
1/299.792.458 de segundo (Unidade de Base 
ratificada pela 17ª CGPM - 1983) 
área 
metro 
quadrado 
m² 
Área de um quadrado cujo lado tem 1 metro de 
comprimento 
volume 
metro 
cúbico 
m³ 
Volume de um cubo cuja aresta tem 1 metro de 
comprimento 
ângulo plano radiano rad 
Ângulo central que subtende um arco de círculo de 
comprimento igual ao do respectivo raio 
tempo segundo s 
Duração de 9 192 631 770 períodos da radiação 
correspondente à transição entre os dois níveis 
hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 
133 (Unidade de Base ratificada pela 13ª CGPM - 
1967) 
freqüência hertz Hz 
Freqüência de um fenômeno periódico cujo período é 
de 1 segundo 
velocidade 
metro por 
segundo 
m/s 
Velocidade de um móvel que, em movimento 
uniforme percorre a distância de 1 metro em 1 
segundo 
aceleração 
metro por 
segundo 
por 
segundo 
m/s² 
Aceleração de um móvel em movimento retilíneo 
uniformemente variado, cuja velocidade varia de 1 
metro por segundo em 1 segundo 
massa quilograma kg 
Massa do protótipo internacional do quilograma 
(Unidade de Base ratificada pela 3ª CGPM -1901) 
massa 
específica 
quilograma 
por metro 
cúbico 
kg/m³ 
Massa específica de um corpo homogêneo, em que 
um volume igual a 1 metro cúbico contém massa igual 
a 1 quilograma 
vazão 
metro 
cúbico por 
segundo 
m³/s 
Vazão de um fluído que, em regime permanente 
através de uma superfície determinada, escoa o 
volume de 1 metro cúbico do fluído em 1 segundo 
quantidade de 
matéria 
mol mol 
Quantidade de matéria de um sistema que contém 
tantas entidades elementares quantos são os átomos 
contidos em 0,012 quilograma de carbono 12. 
(Unidade de Base ratificada pela 14ª CGPM -1971.) 
Quando se utiliza o mol, as entidades elementares 
devem ser especificadas, podendo ser átomos, 
moléculas, íons, elétrons ou outras partículas, bem 
como agrupamentos especificados de tais partículas 
força newton N 
Força que comunica à massa de 1 quilograma a 
aceleração de 1 metro por segundo, por segundo 
trabalho, 
energia, 
quantidade de 
calor 
joule J 
Trabalho realizado por uma força constante de 1 
newton que desloca seu ponto de aplicação de 1 metro 
na sua direção 
potência, watt W Potência desenvolvida quando se realiza, de maneira 
 19 
quantidade de 
energia 
contínua e uniforme, o trabalho de 1 joule em 1 
segundo 
corrente elétrica ampère A 
Corrente elétrica invariável que mantida em dois 
condutores retilíneos, paralelos, de comprimento 
infinito e de área de seção transversal desprezível e 
situados no vácuo a 1 metro de distância um do outro, 
produz entre esses condutores uma força igual a 2 x 
10
-7
 newton, por metro de comprimento desses 
condutores. (Unidade de Base ratificada pela 9ª CGPM 
- 1948.) O ampère é também unidade de força 
magnetomotriz; nesse caso, se houver possibilidade de 
confusão, poderá ser chamado de ampère-espira, 
porém sem alterar o símbolo A 
carga de energia 
(quantidade de 
eletricidade) 
coulomb C 
Carga elétrica que atravessa em 1 segundo, uma seção 
transversal de um condutor percorrido por uma 
corrente invariável de 1 ampère 
tensão elétrica, 
diferença de 
potencial 
volt V 
Tensão elétrica entre os terminais de um elemento 
passivo de circuito, que dissipa a potência de 1 watt 
quando percorrido por uma corrente invariável de 1 
ampère 
resistência 
elétrica 
ohms 
Resistência elétrica de um elemento passivo de 
circuito que é percorrido por uma corrente invariável 
de 1 ampère, quando uma tensão elétrica constante de 
1 volt é aplicada aos seus terminais. O ohm é também 
unidade de impedância e de reatância em elementos 
de circuito percorridos por corrente alternada 
condutância siemens S 
Condutância de um elemento passivo de circuito cuja 
resistência elétrica é de 1 ohm. (O siemens é também 
unidade de admitância e de susceptância em 
elementos de circuito percorridos por corrente 
alternada) 
capacitância farad F 
Capacitância de um elemento passivo de circuito entre 
cujos terminais a tensão elétrica varia uniformemente 
à razão de 1 volt por segundo, quando percorrido por 
uma corrente invariável de 1 ampère 
temperatura 
termodinâmica 
kelvin K 
Fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do 
ponto tríplice da água. (Unidade de Base ratificada 
pela 13ª CGPM -1967). Kelvin e grau Celsius são ainda 
unidades de intervalo de temperaturas. t (ºC) 
=T(K) - 273,15 
temperatura 
Celsius 
grau 
Celsius 
ºC 
Intervalo de temperatura unitário igual a 1 kelvin, 
numa escala de temperaturas em que o ponto 0 
coincide com 273,15 kelvins. (Unidade de Base 
ratificada pela 13ª CGPM - 1967). Kelvin e grau 
Celsius são ainda unidades de intervalo de 
temperaturas 
intensidade 
luminosa 
candela cd 
Intensidade luminosa, numa direção dada, de uma 
fonte que emite uma radiação monocromática de 
freqüência 540 x 10
12
 hertz e cuja intensidade 
energética naquela direção é 1/683 watt por 
 20 
esterradiano (Unidade de Base ratificada pela 16ª 
CGPM - 1979) 
fluxo luminoso lúmen lm 
Fluxo luminoso emitido por uma fonte puntiforme e 
invariável de 1 candela, de mesmo valor em todas as 
direções, no interior de um ângulo sólido de 1 
esterradiano 
iluminamento lux lx 
Iluminamento de uma superfície plana de um metro 
quadrado de área, sobre a qual incide 
perpendicularmente um fluxo luminoso de 1 lúmen, 
uniformemente 
 
 
 
 
 
 
 
 
O "Quadro Geral de Unidades", aprovado pela Resolução do CONMETRO 
nº 12/88 inclui outras unidades aceitas para uso simultâneo com as unidades SI, 
sem restrição de prazo. 
 
 
 
GRANDEZA Nome Símbolo Definição 
Valor em unidade 
do SI 
comprimento 
unidade 
astronômica 
UA 
Distância média da terra 
ao sol. (Valor adotado 
pela União Astronômica 
Internacional.) 
149.600 x 10
6
 m 
parsec pc 
Comprimento do raio de 
um círculo no qual o 
ângulo central de 1 
segundo subtende uma 
corda igual a 1 unidade 
astronômica. (A União 
Astronômica 
Internacional adota 
como exato o valor 
1pc=206.265 UA) 
300.857 x 10
16
m 
(aproximadamente) 
volume litro l ou L 
Volume igual a 1 
decímetro cúbico. 
(Adotado pela 16ª CGPM 
- 1979). O símbolo L 
será empregado sempre 
que as máquinas de 
impressão não 
apresentem distinção 
entre o algarismo 1 e a 
letra minúscula "l". 
0,001m³ 
ângulo plano grau º 
Ângulo plano igual à 
fração 1/360 do ângulo 
central de um círculo 
completo. 
/180 rad 
 21 
minuto ' 
Ângulo plano igual à 
fração 1/60 de 1 grau. 
/10.800 rad 
segundo " 
Ângulo plano igual à 
fração 1/60 de 1 minuto 
/648.000 rad 
tempo 
minuto min 
Intervalo de tempo igual 
a 60 segundos 
60s 
hora h 
Intervalo de tempo igual 
a 60 minutos 
3.600s 
dia d 
Intervalo de tempo igual 
a 24 horas 
86.400s 
intervalo de 
freqüências 
oitava não tem 
Intervalo de duas 
freqüências cuja relação 
é igual a 2. (O número 
de oitavas de um 
intervalo de freqüências 
é igual ao logaritmo de 
base 2 da relação entre 
as freqüências extremasdo intervalo) 
n/t 
massa 
unidade 
(unificada 
de massa 
atômica) 
u 
Massa igual à fração 
1/12 da massa de um 
átomo de carbono 12 
1,660 57 x 10
-27
 kg 
tonelada t 
Massa - igual a 1.000 
quilogramas 
1.000kg 
velocidade 
angular 
rotação por 
minuto 
rpm 
Velocidade angular de 
um móvel que, em 
movimento de rotação 
uniforme a partir de uma 
posição inicial, retorna à 
mesma posição após 1 
minuto 
/30 rad/s 
energia elétron-volt eV 
Energia adquirida por 
um elétron ao 
atravessar, no vácuo, 
uma diferença de 
potencial igual a 1 volt 
1,602 19 x 10
-19
 J 
(aproximadamente) 
nível de 
potência 
decibel dB 
Divisão de uma escala 
logarítmica cujos 
valores são 10 vezes o 
logaritmo decimal da 
relação entre o valor de 
potência considerado, e 
um valor de potência 
especificado, tomado 
como referência e 
expresso na mesma 
unidade 
n/t 
 22 
dbn 
0
10log10 

 
decremento 
logarítmico 
neper n/t 
Divisão de uma escala 
logarítmica cujos 
valores são os 
logarítmos neperiano da 
relação entre dois 
valores de tensões 
elétricas, ou entre dois 
valores de correntes 
elétricas. 
N = loge V1/V2 Np ou 
N = loge I1/I2 Np 
n/t 
 
 
 
Múltiplos e Submúltiplos mais usuais das Unidades SI 
 
 
Nome do Prefixo 
Símbolo do 
Prefixo 
Fator pelo qual a unidade é multiplicada 
peta P 10
15
 = 1 000 000 000 000 000 
tera T 10
12
 = 1 000 000 000 000 
giga G 10
9
 = 1 000 000 000 
mega M 10
6
 = 1 000 000 
quilo k 10
3
 = 1 000 
deci d 10
-1
 = 0,1 
centi c 10
-2
 = 0,01 
mili m 10
-3
 = 0,001 
micro µ 10
-6
 = 0,000 001 
nano n 10
-9
 = 0,000 000 001 
pico p 10
-12
 = 0,000 000 000 001 
femto f 10
-15
 = 0,000 000 000 000 001 
 
 
 
 
Grafia dos nomes e símbolos das Unidades SI 
 
 Para se escrever as unidades do SI, devem ser obedecidas certas regras: 
 
a) As unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI) podem ser escritas por 
seus nomes ou representadas por meio de símbolos. 
Exemplos: 
10 metros ou 10 m 
30 segundos ou 30 s 
 
 23 
 
b) Os nomes das unidades SI são escritos em letra minúscula, exceto quando esta 
se encontra no início de uma frase. 
 Exemplos: 
quilograma; newton; 
 
c) A Resolução CONMETRO 12/88 estabelece regras específicas para a formação 
do plural dos nomes das unidades SI, que muitas vezes não coincidem com as 
regras da língua portuguesa. O plural correto dos nomes de algumas unidades são 
os seguintes: 
 
d) Nas unidades SI o acento tônico recai sobre a unidade e não sobre o prefixo: 
 
Exemplos centigrama, hectolitro, micrometro e megametro 
Exceções 
quilômetro, hectômetro, centímetro, decâmetro, decímetro e 
milímetro 
 
e) Quando a unidade provém do nome de algum cientista, o símbolo é obtido 
tomando-se a primeira letra do nome, e grafando-se a mesma em letra maiúscula. 
 
Exemplos: 
 
Volt  V 
Ampère  A 
 
 
a) Ao escrever medidas de tempo, observe os símbolos corretos para hora, minuto 
e segundo. Exemplo: 
 
 
Certo Errado 
9h 25min 6s 9:25h e 9h 25' 6" 
 
 
 
Alguns cuidados precisam ser tomados para evitar alguns erros muito 
comuns quando se escrevem unidades: 
 
a) Símbolo não é abreviatura: O símbolo é um sinal convencional e invariável 
utilizado para facilitar e universalizar a escrita e a leitura das unidades SI. Por isso 
mesmo não é seguido de ponto. Exemplos: 
 
Certo Errado 
s s. 
m m. ; mt. ; mtr. ; mt 
kg kg. ; kgr. 
 
 
 
 
 24 
 
b) Símbolo não tem plural: Lembre-se sempre que o símbolo das unidades SI é 
invariável e, portanto, não pode ser seguido de "s" para indicar o plural. Exemplos: 
 
 
Certo Errado 
5 m 5 ms 
3 kg 3 kgs 
 
 
c) Não misturar nome com símbolo: Ao escrever uma unidade composta, não 
misture nome com símbolo. Exemplos: 
 
 
Certo Errado 
quilômetro por hora quilômetro/h 
km/h km/hora 
metro por segundo metro/s 
m/s m/segundo 
 
 
a) Cuidado com a grandeza “grama”. O grama pertence ao gênero masculino. Por 
isso, ao escrever (e pronunciar) essa unidade, seus múltiplos e submúltiplos, 
faça a concordância corretamente. Exemplos: 
 
 
Certo Errado 
dois quilogramas duas quilogramas 
duzentos e cinqüenta 
gramas 
duzentas e cinqüenta 
gramas 
quinhentos miligramas quinhentas miligramas 
oitocentos e um gramas oitocentas e uma gramas 
 
 
e) Cuidado com o prefixo quilo: O Prefixo “quilo” (símbolo k minúsculo) indica 
que a unidade está multiplicada por mil. Portanto não pode ser utilizado sozinho. 
Deve ser dada atenção para a grafia correta do mesmo. Exemplos: 
 
 
Certo Errado 
quilograma; kg quilo; k 
quilômetro kilômetro 
quilograma kilograma 
quilolitro kilolitro 
 
 
 
 
 
 25 
Referências complementares e sugestões de leituras 
 
 
 
2. Site do NIST no endereço http://www.nist.gov/public_affairs/pubs.htm 
 
3. Site do Bureau International des Poids et Mésures (BIPM) que pode ser 
acessado no endereço http://www.bipm.fr/enus/welcome.html 
 
4. A biblioteca do Centro Universitário da FEI dispõe das normas da ABNT para 
consulta. 
 
8. O apêndice sobre o SI é um texto adaptado do IPEM, que pode ser acessado no 
endereço: http://www.ipem.sp.gov.br/