GABARITO Exec FisicaI Sem1Aulas1a4 Bim2 Engen UNIVESP

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Engenharia - UNIVESP
Disciplina Física I
Bimestre 2
Lista de exercícios da semana 1 (aulas 1 a 4)
GABARITO PARA MEDIADORES
Semana 1
Exercícios para o portfólio: 4 e 14.
Exercício 1
As extremidades de um segmento de reta AB tem coordenadas A(-80 cm, 80 cm) e B(80 cm, 160 cm). Trace o segmento de reta num referencial cartesiano (x,y) e calcule a distância AB.
Resposta comentada.
A figura ilustra o referencial cartesiano, os pontos A e B e o segmento de reta AB.
Para o cálculo da distância AB, desenhamos uma paralela ao eixo y por B e uma paralela ao eixo x, por A. A interseção é o ponto C(80 cm, 40 cm).Este artifício define o triângulo retângulo ABC. A hipotenusa é a = AB e os catetos são b = AC e c = CB.
A relação entre a hipotenusa e os catetos é dada pelo Teorema de Pitágoras:
 a² = b² + c² → a = = distância AB.
Os catetos b e c podem ser determinados pelas projeções dos pontos A e B sobre os eixos x e y. Veja a tabela abaixo.
	Pontos
	Projeção no eixo x
	Projeção no eixo y
	A
	 = -80 cm
	 = 40 cm
	B
	 = = 80 cm
	 = 160 cm
As medidas dos catetos são determinadas da seguinte forma:
b = | - | = |80 – (-80)| = 160 cm
c = | - | = |160 - 40| = 120 cm
Portanto,
a = AB = = = 200 cm.
Distância entre dois pontos no plano cartesiano.
Generalizando: a distância entre dois pontos A ( , ) e B( , ) pode ser determinada por:
Distância AB = 
Distância AB = = = 200 cm
Exercício 2
A superfície de um campo de futebol é um retângulo de 110 x 70 metros. 
As marcações das linhas internas e externas do campo são simétricas.
Num determinado momento de um jogo, um massagista realiza uma corrida em linha reta desde o ponto E até o ponto I. 
Qual a distância percorrida pelo massagista?
Resposta comentada.
A distância entre E e I pode ser determinado por = . 
As coordenadas do ponto E são = 35 m e = 0, ou seja, E ( 35 m; 0).
As coordenadas de I podem ser determinadas por considerações de simetria:
G é simétrico ao ponto H em relação ao eixo 0y. Logo, = - = - 20 m e = = -40 m, portanto, G (-20 m; - 40 m).
I é simétrico a G em relação ao eixo 0x. Logo, = = -20 m e = - = -(-40 m) = + 40m), portanto, I (-20 m; 40 m).
Conhecidas as coordenadas dos pontos E e I, calcula a distânciao, = = = = 68 m.
Na corrida, em linha reta, desde E até I, o massagista percorreu 68 m.
 = = = = 67,14 m.
 
Exercício 3
	A estrutura prismática retangular tem:
altura h=30 cm;
diagonal FD de comprimento 50 cm;
área do lado ABFE = 600 cm².
Considerando o referêncial cartesiano xyz esquematizado, determinar as coordenadas dos pontos A e G.
	
Resposta comentada.
Com as informações fornecidas pelo enunciado, vamos determinar os lados desconhecidos da estrutura.
A área do lado ABFE é dado por (FE)(AF) = (FE)(30cm) = 600 cm² (FE) = = 20 cm. Com este dado, podemos inferir que = - 20 cm, pois ele se encontra no 3° quadrante do referencial xyz adotado. Como E pertence ao plano xy, a coordenada = 0 . Finalmente, a coordena = .
Comprimento da diagonal: = . As coordenadas conhecidas:
 = = 0 ( pois os pontos F e D pertencem ao plano yz);
 = ? 
 = 0 ( D, por pertence r ao eixo 0z, tem coordenada x = y = 0);
 = 0 ( pois F pertence ao plano xy e todos os pontos deste plano tem coordenada z = 0)
 = h = 30 cm.
Substituindo-se as coordenadas em = 50 cm = . Desta relação tem-se: ()² = (50 cm)² - (-30 cm)² = 1600 cm² .
Logo, = = 40 cm. Devemos escolher o sinal (-) pois o ponto F encontra-se no semi-eixo negativo do eixo 0y. Portanto: = - 40 cm.
Deste modo, com as informações acima, as coordenadas dos pontos A e G são:
A (0; -40 cm; 30 cm) 
 G (-20 cm; -40 cm; 0)
Exercício 4
 As posições ocupadas por um projétil lançado da origem do referencial, conforme esquema abaixo, são dadas pelas equações x = 60.t e y = 80.t – 5t² onde x e y são expressos em metro e t em segundos.
Qual a posição do projétil no instante t = 0 s?
Em que instante t o projétil passa pelo ponto P?
Se o projétil atinge o ponto Q (solo) em t = 20 s, quais as coordenadas deste ponto?
Qual a distância entre a origem e o ponto Q?
Respostas comentadas.
a) Substituindo-se t = 0 s nas equações x = f(t) e y = y(t) tem-se os valores das coordenadas do ponto ocupado pelo projétil neste instante. Então: x = 80(0) = 0 e y = 80(0)-5(0)² = 0. Conclusão: o projétil encontrava-se na origem do referencial adotado.
b) As coordenadas de P são x = 60.t (conhecendo-se t determina-se x) e y = 0. Por meio da equação y = y(t) = 80t-5t², determina-se t, ou seja, 0 = 80t – 5t² ou, t(80-5t) = 0. A solução exibe duas raízes: t = 0 ( projetil na origem) e t = = 16 s, o instante em que o projétil passa pelo ponto P.
c) Em t = 20 s temos: x = 60x20 = 1200 m e y = 80(20) – 5(20)² = -400 m. Portanto, o ponto Q tem coordenadas Q(1200m; -400m).
d) Distância 0Q = = = 100 = 400 m
Exercício 5
Considere os pontos em evidência no plano cartesiano/polar.
Representar os pontos A,B,C,D,E G em coordenadas cartesianas e em coordenadas polares.
Resposta
	Ponto
	Coordenadas Cartesianas ( em m)
	Coordenadas polares
 = ( em m); = arctan(y/x) ( em °)
	A
	30; 0
	 = 30 m ; = 0° + N.360° com N = 0,1,2,3... (*)
	B
	-20; 20
	 = 20 m ; = 135° + N.360 com N = 1,2,3,..
	C
	0; 40
	 =40 m ; = 90° + N.360 com N = 1,2,3,..
	D
	0; -10
	 = 10 m ; = 270° + N.360 com N = 1,2,3,..
	E
	30; 40
	 = 50 m ; = 53,13° + N.360 com N = 1,2,3,..
	F
	40;-30
	 = 50 m ; = 323,16° + N.360 com N = 1,2,3,..
A variável angular ( ou azimute polar) pode assumir infinitos valores. Vejamos:
A coordenada angular ou azimute polar associado a uma coordenada radial pode assumir infinitos valores.
 Vejamos. Vamos concentrar no ponto B
 = = = 20 m é a distância do polo 0 até o ponto B ( coordenada radial).
= arctan() = arctan(-1) = 135° + N.360°. Para N=0, o azimute polar será = 135° ( tan 135° = -1).
Para N=1, = 135°+(1)360° = 495°, cuja tangente é tan(495°) = -1 e assim por diante.
(*) tan[0°+(0)360°] = tan[0°+(1).360°] = tan[0°+(2).360°] = tan[0°+ (3).360°]......tan(0°+N.360°); assim, a coordenada angular ou azimute polar, pode assumir infinitos valores. Se o caso geral não for solicitado expressamente, a coordenada angular pode ser expressa para N = 0.
Exercício 6
Considere os pontos A,B ,D e E no disco polar figurado.
	
	
a) Representar cada um dos pontos em coordenadas polares.
b) Representar cada ponto em coordenadas cartesianas.
Respostas comentadas.
	As coordenadas polares podem ser inferidas a partir dos raios das circunferências desenhadas no disco polar. 
Item (a)
	Ponto
	Coord. radial
 
	Coord.angular (N=0)
 
	A
	10 m
	45° 
	B
	20 m
	120°
	C
	15 m
	330°
	D
	10 m
	210°
	
Item (b)
A conversão de coordenadas polares em coordenadas cartesianas é realizada mediante as relações: x = .cos( ) e y = .sen() .
	Ponto (coord.polares)
	x = .cos( )
(m)
	y = .sen()
(m)
	Expressão cartesiana
(m)
	A (10 m; 45°)
	x =10.cos() = 7,07 
	y =10.sen() = 7,07
	 A (7,07; 7,07)
	B (20 m; 120°)
	x =20.cos(120°)=-10 
	y =20.sen(120°)= 17,32 
	 B( -10; 17,32)
	C (15 m; 330°)
	x =15.cos(330°)= 13
	y =15.sen(330°)=-7,5
	 C (13; -7,5)
	D (10 m; 210°)
	x =10.cos(210°)= -8,66
	y =10.sen(210°)= -5
	 D (-8,66 ; -5)
Exercício 7
Um ponto P tem coordenadas polares ( 20 m, ). Dar as coordenadas cartesianas de P.
Respostas comentadas.
A conversão é feita mediante as relações: x = .cos e y = sen . No caso em tela, = 20 m e = = 30°. Portanto, x = 20.cos30° = 20. = 10. m e y = 20.sen30° = 20(0,5) = 10 m.
Exercício 8
Considere as seguintes equações cartesianas: a) (x-1)² + y² = 1 e b) y = 3. Determinar as respectivas equações polares.
Respostas comentadas
Item (a)
A equação em coordenadas cartesianas, a ser transformadaem equação em coordenadas polares, é (x-1)² +y² = 1. Substituindo-se as respectivas relações de transformação: x = .cos e y = .sen, temos:
[(.cos – 1)² + (.sen )² = 1. Desenvolvendo:
(cos)² -2(1)(cos) +(1)² + (sen = 1
.[cos² + sen²] – 2cos +1 = 1.
 Da trigonometria temos [cos² + sen²] = 1, logo, 
.[1] – 2cos +1 = 1 ou [-2co] = 1 – 1 
[-2co] = 0. Como 0, então: – 2cos = 0. 
Portanto, = 2cos que é a equação em coordenadas polares.
Item (b)
Agora a equação cartesiana é y = 3. Neste caso, vamos substituir y = .sen. Assim: (.sen.) = 3 o que nos leva a escrever: = = 3.cossec().[ Em trigonometria: cossec() = 
Exercício 9
Dada a equação polar: = 5 m. Encontre a respectiva equação cartesiana.
Resposta:
A conversão de sistema polar para cartesiana obedece a relação: = . Portanto, para a equação polar = 5 m, escrevemos: = 5 m ou x²+ y² = 25 m² que é a equação cartesiana de uma circunferência de raio 5 m . 
Exercício 10
Considere a estrutura tridimensional abaixo esquematizada na qual se desenham esferas ocupando certas posições e o referencial cartesiano adotado.
a) Quais as coordenadas das posições B e F? 
b) Qual o comprimento da diagonal AE?
Respostas comentadas.
a) B(-15 cm; -10 cm; 0) e F(0; 15 cm; 40 cm)
b) O ponto A tem coordenadas A(0; -15 cm; 0) e E tem coordenadas E(20 cm; 15 cm; 40 cm). A distância AE = = = = 10 cm ou AE = 53,85 cm.
Exercício 11
Numa viagem de automóvel pela Via Anhanguera de São Paulo a Pirassununga ( sem parar), um estudante anotou o espaço percorrido e calculou a velocidade média em alguns trechos, conforme registra a tabela: 
	Origem destino
	s (km)
	 (km/h)
	São Paulo - Campinas
	100
	80
	Campinas - Americana
	45
	60 
	Americana - Limeira
	40
	80
	Limeira - Pirassununga
	60
	50
Determinar
a) o tempo total do percurso S.Paulo - Pirassununga
b) a velocidade escalar média no percurso S.Paulo – Pirassununga em km/h e em m/s.
Respostas
a) Vamos calcular o tempo em cada trecho no qual conhecemos o espaço percorrido e a velocidade escalar média. A tabela condensa essas informações.
	Origem-Destino
	s (km)
	 (km/h)
	t = ( h)
	São Paulo - Campinas
	100
	80
	1,25
	Campinas-Americana
	45
	60
	0,75
	Americana-Limeira
	40
	80
	0,50
	Limeira-Pirassununga
	60
	50
	1,20
Portanto, o tempo total de percurso foi = 1,25+0,75+0,50+1,20 = 3,7 h.
b) = = 66,2 km/h
Exercício 12
O gráfico representa a variação do espaço “s” (km) em função do tempo “t” (min) de um carro durante uma viagem por uma das rodovias SP. Ele foi elaborado após as conversões de marcos quilométricas em coordenadas “espaços”.
a) O movimento foi sempre progressivo?
b) Calcule a velocidade escalar média da viagem ( resposta em km/h).
c) Calcule a velocidade média no intervalo =(100 - 90) min.
Respostas comentadas.
Item (a): No intervalo de tempo [90 – 100] min a coordenada espaço do carro variou de = 200 km para = 160 km. Assim o espaço percorrido foi O sinal negativo NÃO significa que o odômetro (instrumento que mede a quilometragem do carro, mede distância percorrida que é igual ao módulo do espaço percorrido e, este, pode ser negativo) retroagiu. O sinal negativo deve ser interpretado como movimento retrógrado, ou seja, o carro movimentou-se no sentido dos marcos quilômetros decrescentes.
No intervalo de tempo [0 – 50] min, o espaço percorrido pelo carro foi = +100 km. Neste caso o movimento foi progressivo, ou seja, no sentido crescente dos marcos quilométricos.
Conclusão: o movimento descrito pelo gráfico não foi sempre progressivo pelas razões acima expostas.
Item b: A viagem durou = (110 min – 0) = 110 min e o respectivo espaço percorrido foi s = (160 km –20km)= 140 km. Logo, = = (140 km)/(110min) 1,27 km/min = 1.270 m/min
Para transformar = 1,27 km/min em km/h, basta substituir “min = “. Assim, 
= 1,27 km/min = 1,27km/(1h/60) = 1,27x60 km/h = 76.2 km/h.
Item c: No intervalo =(100 - 90) min = 10 min,o carro que estava no espaço s90 = 200 km, retorna para o espaço s100 = 160 km. Logo, o espaço percorrido foi s = [160 – 200]km = - 40 km (movimento retrogrado). A velocidade média, neste intervalo, é: 
 = = = -4 km/min
O sinal negativo deve ser interpretado: significa que o movimento foi retrogrado.
Exercício 13
As funções horárias do espaço que descrevem os movimentos simultâneos de duas partículas A e B que correm ao longo de um trecho de uma ciclovia são: = -20 + 4.t (s; m) e = 10 - 2t (s; m).
Determinar a velocidade escalar instantânea de cada ciclista.
Os ciclistas correm no mesmo sentido ou em sentidos opostos?
Em que instante t os ciclistas se cruzam? Qual a coordenada do respectivo ponto?
Plotar, no mesmo papel quadriculado, os gráficos das respectivas equações horárias e partir do gráfico, indicar como obter as respostas às questões anteriores..
Respostas comentadas.
Item a: Conhecida a função (equação) horária do espaço s(t) , a velocidade escalar instantânea v(t) é a taxa de variação do espaço em relação ao tempo. Matematicamente, v(t) = = derivada do espaço em relação ao tempo. Então, se 
 (t) = -20 + 4t (s; m) (t) = = 4 m/s
 (t) = 10 - 2t (s; m) (t) = = - 2 m/s
Item b: As velocidades escalares dos ciclistas têm sinais algébricos opostos, portanto, eles se movem em sentidos opostos. O movimento de A é progressivo e o de B, retrógrado em relação ao sistema de coordenadas espaços adotado.
Item c: No ponto onde ocorre o cruzamento, as coordenadas se igualam, ou seja, = . Podemos então igualar as respectivas funções horárias do espaço: -20 + 4t = 10 - 2t . Resolvendo o sistema: 6t = 30 e, portanto, t = 5 s. Substituindo-se t = 5 s na equação horária de A ( ou de B) tem-se: = -20 + 4(5) = 0. Portanto, os ciclistas se cruzam no instante t = 5 s e no ponto de coordenada = = 0
Item d: Para plotar os gráficos vamos elaboras uma tabela com alguns pares de valores de coordenadas e de tempos das funções: (t) = -20 + 4t e (t) = 10 - 2t 
	t (s)
	0
	2
	4
	6
	8
	10
	 (m)
	10
	6
	2
	-2
	-6
	-10
	 (s)
	-20
	-12
	-4
	4
	12
	20
As funções horárias de A e de B são polinomiais de 1° grau cujos gráficos cartesianos são lineares. Observe que para t = 5 s, as coordenadas são iguais a 0 para ambos os ciclistas.
Dois parâmetros importantes das funções lineares são:
Coeficiente linear = ponto de interseção da reta com o eixo das coordenadas espaço. Corresponde ao termo independente da função linear de ordem 1. Comparem:
 (t) = -20 + 4t e (t) = 10 - 2t ( termos independentes: -20 e + 10 que correspondem aos coeficientes lineares de cada reta.
Coeficiente angular = coeficiente que multiplica a variável independente, neste caso, esta variável é o tempo representado pela letra “t”. Nas funções lineares em tela, os coeficientes angulares são, respectivamente, 4 e -2. 
O que eles representam? Representam a velocidade instantânea de cada partícula.
Como determinar no gráfico? Traça um triângulo retângulo tendo como hipotenusa um trecho do gráfico. O cateto na direção dos eixos dos tempos é sempre positivo e o cateto na direção dos eixos dos espaços pode ser negativo. 
O coef.ang = = = v = que é a derivada da função s(t) em relação ao tempo.
Veja os dois triângulos no gráfico.
Exercício 14
Uma partícula desloca-se ao longo do eixo 0x cujas posições são descritas pela função horária:
x = 2t² + 10t + 20 (s; m) 
a) Esboçar o gráfico cartesiano x t ( valores de x no eixo das ordenadas e os valores de t no eixo das abscissas.
	
	
	
	Gráfico x t
	Gráfico v t
	Gráfico a t
 
b) Determinar a equação horária da velocidade da partícula e representá-la num gráfico v t.
c) Determinar a equação horária da aceleração da partícula e esboçar o gráfico a t .
d) O movimento é uniforme ou uniformemente acelerado?
Respostas comentadas.
Itens (a), (b) e (c): A função horária do espaço é x= 2t² + 10t + 20 (s; m) ; a velocidade instantânea da partícula é a taxa de variação instantânea ( relativo ao tempo) da função horária da posição. Assim: v(t) = = = 4t + 10 ( s; m/s). A aceleração instantânea é a taxa de variação instantânea da função velocidade. Assim, a(t) = = = 4 m/s². 
	
	
	
	x = 2t² + 10t + 20
Polinomial de grau 2 em relação ao tempo. Parábola.
	v(t) = 4t + 10
Polinomial grau 1 em relação ao tempo. Gráfico linear inclinado em relação ao eixo dos tempos.
	a(t) = 4 m/s²
Polinomial grau 0 em relação ao tempo. Grafico linear paralelo ao eixo dos tempos.
Item d: Como a 0 o movimento da partícula NÃO é uniforme. No movimento uniforme a aceleração escalar é nula; como consequência a velocidade permanece invariável e o espaço varia linearmente com o tempo, ou seja, a função espaço é uma polinomial de grau 1 no tempo. Em resumo: no movimento uniforme: 1) a(t) = 0; 2) v(t) = ; 3) x(t) = + .t [ a variável x pode ser trocada por “s”, por “y”, etc. Os gráficos do espaço e da velocidade são lineares:
	
	
Exercício 15
O velocímetro digital de um carro registra 108 km/h quando, a 126 m de um posto policial, o motorista aciona os freios introduzindo uma aceleração escalar constante a = -3 m/s² que atua no carro até ele parar. Adotar a origem das coordenadas espaço na posição em que os freios foram acionados (t = 0) e determinar:
a) a equação horária da aceleração escalar, da velocidade escalar e do espaço..
b) a velocidade escalar do carro quando passa pelo posto policial.
Respostas comentadas.
 Item a:
	
	O esquema ao lado representa o referencial de coordenadas espaço adotado. 
Vamos começar a contagem do tempo ( t = 0) quando o carro estiver passando pela origem das coordenadas espaço (s = 0). 
Então, o carro passa pela origem s = 0 com = 30 m /s e a aceleração escalar a = -3 m/s².
Equações horárias do movimento da partícula ( carro) são:
a (t) = - 3 m/s² [aceleração constante]
Em virtude da aceleração do carro ser constante, as equações da velocidade e do espaço têm os seguintes formatos: v(t) = + at e s(t) = + t + .t². Substituindo-se a = - 3 m/s²; = 30 m/s e = 0 ( condições iniciais) temos: v(t) = 30 – 3.t (s; m/s) e s(t) = 30.t - .t² (s; m)
Item b: Quando o carro passar pelo posto policial no instante t = ? (incógnita) a coordenada s = 126 m. Substituindo-se s = 126 m na equação horária do espaço, determinamos o instante de tempo t correspondente. Assim: 126 = 30.t - .t² ou .t² - 30.t + 126 = 0 . Multiplicando – se todos os termos, de ambos os lados da igualdade, por , temos: t² - 20.t + 84 = 0. Para se determinar a incógnita t, aplicamos a fórmula de Bhaskara: t = . Fazendo a correspondência: b = -20; a = 1 e c = 84, teremos t = . = . Temos então duas respostas reais t’ = 6 s e t” = 14 s. Qual escolher? Analisemos os gráficos s t e v t antes da escolha final.
	
	
	v(t) = 30 – 3.t
	s(t) = 30.t – .t²
O gráfico s t ilustra que as coordenadas s do carro varia segundo uma parábola, com vértice em t = 10s ( instante em que v = = 0 ). De 0 a 10 s, o carro ocupa posições de coordenadas crescentes. O movimento neste intervalo é progressivo. O carro pára em t = 10s a 150 metros da posição onde os freios foram acionados e, nesta posição ele fica parado. O carro não retorna mais. Portanto, t = 6 s é o tempo a ser escolhido para responder ao quesito b.
A parte do gráfico com t 10 s, não tem significado real, pois o carro não retorna, como retornaria uma laranja jogada verticalmente para cima. Portanto, a região do gráfico s t que se relaciona a movimento retrogrado, são tem significado matemático.
Logo, a resposta ao quesito b é: no instante t = 6 s o carro passa com velocidade v = 30 – 3(6) = 12 m/s (43,2 km/h) defronte ao posto policial situado a 126 m da posição onde os freios foram acionados.
Exercício 16
	O gráfico representa os espaços “y” (alturas) de um projétil em função do tempo “t” cuja equação horária é y(t) = 600t – 5t² (s; m) .
O movimento é progressivo? Retrógrado?
Determine a equação horária da velocidade.
Calcule a aceleração do projétil
Qual a velocidade do projétil no instante em que ele atinge a altura máxima?
	
Respostas comentadas.
Item a: Para 0 t 60 s, o movimento é progressivo, pois o projetil ocupa posições de y de valores crescente. No intervalo 60 s t 120 s, o movimento é retrogrado em relação ao referencial adotado, pois o projétil passa a ocupar posições de y decrescente 
Item b: v(t) = = = 600 – 10.t .Portanto: v(t) = 600 -10.t (s; m). 
Item c: a(t) = = = - 10 m/s² . Portanto: a(t) = - 10 m/s² ( constante)
Item d: Conforme o gráfico, em t = 60 s o projétil atinge a altura máxima, pois neste ponto, o movimento inverte de sentido. Então: = 600 – 10(60) = 0 e = 600(60) – 5(60)² = 18.000 m
Exercício 17
	Uma esfera á abandonada ( =0) no ponto A de um plano inclinado. O seu centro, considerado como ponto material, desloca-se plano abaixo e passa pelo ponto com velocidade v = 2 m/s pelo ponto B.
A aceleração do centro da esfera é a = g.sen = 5 m/s².
Calcular a distância AB.
	
Resposta
Vamos aplicar a Equação de Torricelli v² = ( )² + 2.a. para movimentos com a = constante, onde s = AB. Rever Exercício 16.
2² = (0)² + 2.(5) AB AB = = 0,4 metros.
Exercício 18
As posições ocupadas por uma partícula são condensadas no gráfico abaixo.
a) Qual a velocidade no instante t = 1 s?
b) Qual a velocidade no instante t = 3 s?
c) Qual a velocidade no instante t = 5 s? 
Respostas comentadas.
Item a: No intervalo 0t2s o movimento é uniforme (gráfico retilíneo); a velocidade neste intervalo é v = coef.angular da reta = = = 10 m/s. Portanto, no instante t = 1 s a velocidade também é v = 10 m/s.
Item b: No intervalo 2t4s o movimento é uniforme, com espaço invariável (segmento de reta paralelo ao eixo das abscissas). Espaço invariável →Δs = 0 → partícula em repouso: v=0.
Item c: A velocidade no intervalo 4t6s é constante (movimento uniforme), pois neste intervalo o segmento de reta que representa a variação do espaço é retilíneo. A velocidade corresponde ao coef.angular da reta: v = = = = -20 m/s. Velocidade negativa → movimento retrogrado.
Exercício 19
O gráfico representa a variação da velocidade escalar de uma partícula.
a) Em quais intervalos de tempo a aceleração escalar é nula? E em quais ela é diferente de zero?
b) Em quais intervalos de tempo a velocidade da partícula é nula?
c) Em qual intervalo de tempo o movimento da partícula é progressivo?
Respostas comentadas.
Item a1: a.1 - A aceleração escalar é a taxa de variação instantânea da velocidade. Logo, nos intervalos onde ela não varia a aceleração escalar é nula. Isto acontece nos intervalos: 
0 0,8s; 2) 0,8 2,0s; 3) 2,8 4,0s ; 4) 4,0 4,8s
Item a.2: No intervalo de tempo 2 2,8s observa-se que a velocidade varia uniformemente com t. Neste intervalo → 0. Como a velocidade varia uniformemente, a aceleração escalar coincide com a velocidade média. Logo, 
 = = = = - 5 m/s²
Item b: O gráfico representa a variação da velocidade da partícula em função do tempo. (O gráfico mostra que t nos intervalos 1) 0 0,8s; 2) 4,0 4,8s a velocidade é nula (partícula em repouso).
Item c: O movimento é progressivo se o deslocamento ocorre no sentido crescente dos espaços. Nas rodovias paulista, os ” marcos quilometricos” crescem da Capital para o Interior. Um carro que retorna do interior move-se no sentido decrescente dos espaços (movimento retrógrado). No movimento progressivo a velocidade escalar é positiva. O gráfico ilustra que para 2,0 s o gráfico situa-se acima dos eixos do tempo t, representando velocidades positivas (apesar de cada vez menores).
No instante t = 2,4 s o gráfico cruza o eixo dos tempos. Neste instante, momentaneamente, a velocidade é nula. Para 2,4 t a velocidade é negativa e para 2,0 s, a velocidade é positiva. Logo, o instantet = 2,4 s representa um ponto de inversão de movimento: de v0 para v 0.
 
Disciplina: Física I, Autor: Gil da Costa Marques