CÁLCULO DAS LAJES II

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CÁLCULO DAS LAJES – L1/L2/L3 e L4
O projeto consistia em calcular as lajes da Figura 1. Para tanto nos baseamos na NBR 6118/2014. Será apresentado o passo a passo seguido para que se justifique o cálculo final das armaduras eleitas, ao longo do projeto estará sendo feito referência as figuras apresentadas abaixo:
Figura 1: Planta de fôrma – necessária ao projeto do cálculo das lajes.
Figura 2 está sendo apresentado os vão teóricos – eleito com a referência para diversos cálculos (adotado sempre que possível), e as vinculações adotadas;
Figura 3: Planta Baixa do projeto;
Figura 4: Sobreposição entre Planta de Fôrmas e Planta Baixa;
CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES
Com os vão teóricos apresentados na Figura 2, foi calculado se as Lajes estariam em uma ou duas direções, já que nas lajes armadas em duas direções as duas armaduras são calculadas para resistir aos momentos fletores nessas direções. Para tanto se considerou:
VINCULAÇÃO
Tipos de Vínculos, determinação de quais são e onde estão os vínculos. Partiremos inicialmente da determinação que entre lajes adjacentes se houver uma diferença significativa na espessura de uma para a outra, deverá ser feito o cálculo abaixo que determinará se a laje maior estará ou não engastada na menor. Já que de maneira generalizada sabemos que lajes menores sempre estarão engastada nas maiores, então o cálculo abaixo é admitido para entender se a delimitação de borda engastada somente para lajes com menor espessura permanece, admitindo-se simplesmente apoiada a laje com maior espessura.
Admitiu-se que:
L4 está engastada em L3 e L2;
L3 está engastada em L2;
L2 está engastada em L1
Portanto se a a expressão , for verdadeira entenda que L1 também está engastada em L2, o cálculo é apresentado abaixo:
As vinculações adotadas para o cálculo das lajes é apresentado na Figura 2, tendo como referência a Tabela 1.
PRÉ-DIMENSIONAMENTO
O cálculo para o pré-dimensionamento das lajes segue dois critérios distintos apenas pela quantidade de direções que cada laje terá. Diferenciando apenas o .
c = cobrimento
Tabela 7.1 - Classe I
Tabela 7.2 – c= 20mm
d = cobrimento estimado
Ø = diâmetro estimado da armadura (10.0 mm)
Caso 1 : lajes armadas em duas direção:
 n= número de bordas engastadas
l= é o menor valor entre lx e 0,70ly
O “l*” encontrado é apresentado na tabela abaixo:
Com o l* encontrado e sabendo o número de engastes de cada laje – Figura 2, determinou-se o cobrimento “d” como sendo:
Caso 2: lajes armadas em uma direção:
Para determinarmos o cobrimento “d” nos caso em que as lajes estão armadas em uma direção utilizou-se a fórmula abaixo, destacando que está fórmula também poderia ser utilizada no primeiro caso, contudo geralmente há um dimensionamento superior.
Na tabela 4 para laje maciças, considerando 1,15 ), obtém-se . Desta maneira:
L3:
L4:
Com todas as variáveis encontradas determinou-se o pré-dimensionamento da altura de cada laje.
Vamos adotar diante das alturas encontradas um que servirá para que o cálculo seja comum a todas. Para tanto nossa altura pré-dimensionada será 14cm.
CARREGAMENTOS – CARGAS ATUANTES
Temos atuando nas lajes seu peso próprio, aqueles de revestimento do piso e forro, o peso de paredes e/ou divisórias e as cargas de uso determinada pelo tipo de uso do ambiente. Admite-se segundo a norma que o concreto armado tem peso específico igual a 25KN/m³, já as cargas relativas aos revestimentos dependerão do tipo de material e portanto seus pesos específicos. Temos que paredes que estão diretamente apoiadas nas lajes serão consideradas cargas distribuídas.
O peso próprio das paredes são apresentados abaixo:
h= 0,14cm
Piso e revestimentos: 
Paredes
Cálculo das paredes é dado por duas fórmulas uma considera que a laje esteja armada em duas direções e a outra armada em duas direções:
Parede em lajes em duas direções:
h= altura da parede
l = comprimento da parede
lx = comprimento do menor vão da laje
Paredes em lajes em uma direção:
h= altura da parede
l = comprimento da parede
lx = comprimento do menor vão da laje
Cargas Acidentais, segundo Tabela 9
Laje 1- Cozinha e Sala = 
Laje 2- Dormitório = 
Laje 3- W.C e Escritório = 
Laje 4- Terraço = 
Desta maneira temos os pesos totais por laje apresentado no Quadro Abaixo:
	No caso da mureta que está na L4 se cortarmos no menor vão essa mureta será uma carga pontual dada pelo cálculo abaixo:
h= altura da mureta
Abaixo segue um quadro resumo com os dados calculados até o momento, para melhor identificação das informações expostas.
CÁLCULO DOS MOMENTOS
Nos casos de lajes armadas em duas direções temos, antes que identificar os chamados casos, para isso utilizamos a Tabela de Marcus, que estão em nossos anexos.
Lajes armadas em duas direções
L1 – Caso 2
Portanto temos:
L2 – Caso 2
Portanto temos:
Lajes armadas em uma direção
Para o cálculo dos momentos nas lajes L3 e L4, seguiremos o cálculo por resolução manual. Temos a figura abaixo feita do programa computacional Ftools, que já nos mostra o resultado das forças cortantes e nos momentos. O cálculo que apresenta os momentos e reações encontra-se em nos anexos ao final desse trabalho.
L3
L4
Os momentos são apresentados na figura abaixo:
COMPATIBILIZAÇÃO DOS MOMENTOS:
Negativo L1/L2
 (80% do maior momento)
 (média entre ambas)
Adota-se o maior momento 11,70KN.m e consideraremos este em toda a extensão de L1 uma vez que o momento em L3 seria inferior ao encontrado.
Positivo L1/L2
m3=positivo da laje à compatibilizar
m’34=negativo da laje à compatibilizar
m34 = negativo compatibilizado
Abaixo está apresentado as lajes como o momento encontrados:
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
Diâmetro máximo
Armadura - Principal
Negativas
Positivas na direção no menor vão (1direção)
Positivas nas duas direções
Armadura – Secundária
Positivas na direção do maior vão (1 direção)
Negativas perpendiculares as principais (armadura de distribuição)
Espaçamento mínimo – Principal e Secundária
ARMADURA MÍNIMA (As,mín)
Tabela 19.1 (NBR 6118/2014 – p.158) 
Tabela 17.3 (NBR 6118/2014 – p.130) 
Principal
Armadura Negativas
Armaduras Positivas na direção do menor vão para 1 direção – Principal
Armaduras Positivas nas duas direções 
b= 100cm
h= 14cm
Armadura Positiva para 2 direções
Armadura de Distribuição
Armadura deverá ser eleita a partir de três critérios:
As, principal = Referência da armadura para onde está sendo calculada a de distribuição.
b= 100
h = 14cm
Com os dados que temos até o momento só conseguiremos determinar o resultado dos critérios II e III, vamos seguir para com os cálculos das armaduras, tendo como referência as disposições encontradas.
CÁLCULO DAS ARMADURAS
Negativas
Equação:
Temos que “d” é adquirido pela expressão:
 
Temos que “Md” é adquirido pela expressão:
Temos que “Kc” é adquirido pela expressão:
	Portanto vamos aos cálculos das armaduras negativas inicialmente:
L1/L2 e L1/L3
Na Tabela 13 – ks=0,024
Assim temos segundo Tabela 14:
Portanto:
L2/L3
Na Tabela 13 – ks=0,024cm ²/KN
Como nesse caso , admitiremos o As, mín=2,10cm²/m
Assim temos segundo Tabela 14:
Portanto:
L3/L4 e L2/L4
Na Tabela 13 – ks=0,024cm ²/KN
Assim temos segundo Tabela 14:
Portanto:
Positivas
As armaduras positivas também é dada pela equação:
Temos que “d” é adquirido pela expressão:
 
Temos que “Md” é adquirido pela expressão:
Temos que “Kc” é adquirido pela expressão:
L1 - lx
Na Tabela 13 – ks=0,024
Assim temos segundo Tabela 14:
Portanto:
L1 - ly
Na Tabela 13 – ks=0,023
Como nesse caso , admitiremos o As, mín=1,407cm²/m
Assim temos segundo Tabela 14:
Portanto:
L2 - lx
Na Tabela 13 – ks=0,024
Assim temos segundo Tabela 14:
Portanto:
L2 - ly
Na Tabela 13 – ks=0,023
Como nesse caso , admitiremos o As, mín=1,407cm²/m
Assim temos segundo Tabela 14:
Portanto:
L3
Na Tabela 13 – ks=0,023
Como nesse caso , admitiremos o As, mín= 2,10cm²/m
Assim temos segundo Tabela 14:
Portanto:
Armadura de distribuição
L1/L2 e L1/L3
Elegendo a maior armadura temos: As,mín = 1,05cm²/m, e portanto:
Portanto:
L2/L3
(A positiva de distribuição de L3, seguirá essas dimensões As, min também é 2,23cm²/m)
Elegendo a maior armadura temos: As,mín = 1,05cm²/m, e portanto:
Portanto:
L2/L4 e L3/L4
Elegendo a maior armadura temos: As,mín = 1,05cm²/m, e portanto:
Portanto:
VERIFICAÇÃO DA FISSURA
Md = 5,465KN.cm
Mk = 546,50 KN.cm
α = 1,50 para retangulares;
fct = resistência a tração do concreto;
Ic = inércia
Yt = Linha neutra (h/2)
Voltando a equação 1 temos que Mrara:
Concluindo:
VERIFICAÇÃO DE FLECHA
Tabela 13.3 (NBR 8118/2014)
Flecha limite
Lx = 360 (laje 1)
Flecha Imediata – L1
b = 100cm
g = carregamento permanente
q = carregamento acidental
α = Tabela 8.1
Flecha Total
Tabela 17.1
ρ = 0 (situação mais desfavorável)
Portanto temos:
Concluindo: 
REAÇÕES DE APOIO
Tabela 7 – Lajes armadas em duas direções
L4– cálculo hiperestático – Anexo 1
L4 temos:
R’x = qLx+p
R’x = 2,64 + 6,50x1,50
Rx = 12,39KN
Vk =15,22KN – L3
CISALHAMENTO
Caso a verificação abaixo seja verdadeira concluímos que não há necessidade de estribos na lajes:
Vsd ≤ Vrd1
Item 19.4.1 (NBR 6118/2014)
αf =1,4
Substituindo a equação 4 na 3:
Substituindo a equação 3 na equação 2:
Substituindo a equação 2 na equação 1:
Substituindo os dados encontrados na equação original:
Concluindo:
COMPRIMENTO DAS ARMADURAS
Comprimento das armaduras positivas
)cm
)cm
)cm
Comprimento das armaduras negativas
Para Uma barra
Exemplo - L1/L2 – (Ø8.0)
Comprimento para duas barras
Para duas barra alternadas temos:
Exemplo L1/L2
Então:
L4 – laje em balanço
Comprimento das Armaduras de Distribuição
L1/L2 – (Ø 6.3)
ARMADURA DE CANTO
L1 – As,e = 1,64cm²/m
t= largura da viga
lx = menor vão teórico
L2 – As, e=1,56cm²/m
QUANTIDADE DE BARRAS
LISTA DE BARRAS
ANEXOS
CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO DA AMAZÔNIA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
ELETRICIDADE APLICADA
CÁLCULO DAS LAJES
Boa Vista-RR
01 de Maio de 2017
KARLA CONEGUNDES MOURA
Trabalho elaborado para obtenção de notas do sétimo semestre da disciplina de Estruturas de Concreto I Aplicada, do curso de Engenharia Civil.
Orientador: Kellen Singh.
Boa Vista-RR
01 de Maio de 2017
Plan1
	Laje em duas direções	l* = menor vão	l*=70% do maior vão	l* eleito
	L1	360	l* = 0,70x690 = 483	360
	L2	470	l*= 0,70x500 = 350	350
Plan1
	dest.= (2,5 - 0,1n)
	Lajes armadas em duas direções	n	l*	destimado
	L1	1	360	864
	L2	1	350	840
Plan1
	Laje	destimado	c	Ø/2	h = cm
	L1	8,64cm	2	0 1/2	11.14
	L2	8,40cm	2	0 1/2	10.90
	L3	7,33cm	2	0 1/2	9.83
	L4	12cm	2	0 1/2	14.50
	c = cobrimento
	·         Tabela 7.1 - Classe I
	·         Tabela 7.2 – c= 20mm
	d = cobrimento estimado
	Ø = diâmetro estimado da armadura (10.0 mm)
Plan1
	CARREGAMENTO DAS LAJES
	LAJES	Peso próprio	Peso da parede	Piso+Revestimento	Peso carga de uso	Total = KN/M²
	L1	3.50	1.00	1.00	1.50	7.00
	L2	3.50	0.00	1.00	1.50	6.00
	L3	3.50	4.57	1.00	2.00	11.07
	L4	3.50	0.00	1.00	2.00	6.50
Plan1
	Resumo das Características das Lajes
	LAJES	lx (cm)	ly (cm)	λ = ly/lx	Classificação	Altura	Peso carregamento (KN/m²)
	L1	360	690	1.917	2 direções	14cm	7.00
	L2	470	500	1.064	2 direções	14cm	6.00
	L3	220	500	2.273	1 direção	14cm	11.07
	L4	150	460	3.067	1 direção	14cm	6,50 + 2,64
Plan1
	L1 - dados
	λ	1.917
	q	7
	Lx²	3.6
	mx	16.6
	my	83.2
	Kx	0.971
	Resultados para L1
	Mx	My	qx	qy	Xx
	5.47	1.09	6.797	0.203	-11.01
Plan1
	L2 - dados
	λ	0.94
	q	6
	Lx²	5
	mx	33.3
	my	35.6
	Kx	0.661
	Resultados para L1
	Mx	My	qx	qy	Xx
	4.50	4.21	3.966	2.034	-12.39
Plan1
	Resumo dos Momentos
	LAJES	Mx	My	Xx	Xy
	L1	5.465	1.09	11.01
	L2	4.5	4.21	12.39
	L3	6.666	3.8
	L4	11.272
Plan1
	Resumo - Armaduras Negativas - Principal
	Lajes	Md	Kc	ks	As,nec	As,e	Aço
	L1/L2 e L1/l3	1170KN.cm	8.073	0.024	3,418cm²/m	3,59cm²/m	Ø8.0 c/ 14
	L2/L3	937,44KN.cm	14.11	0.024	2,1cm²/m	2,23cm²/m	Ø6.3 c/ 14
	L2/L4 e L3/L4	1127,2KN.cm	8.38	0.024	3,29cm²/m	3,35cm²/m	Ø8.0 c/ 15
Plan1
	Resumo - Armaduras Positivas - Principal
	Lajes	Md (KN.cm)	Kc	ks	As,nec (cm²/m)	As,e (cm²/m)	Aço
	L1 - lx	765.1	17.28	0.024	1.596	1.64	Ø6.3 c/ 19
	L1 - ly	152.6	86.664	0.023	1.407	1.56	Ø6.3 c/ 20
	L2 - lx	678.3	19.497	0.023	1.407	1.56	Ø6.3 c/ 20
	L2 - ly	589.4	22.438	0.023	1.407	1.56	Ø6.3 c/ 20
	L3	532	24.86	0.023	2.1	2.23	Ø6.3 c/ 14
Plan1
	Resumo - Armaduras de Distribuição
	Lajes	Tipo	As,nec (cm²/m)	As,e (cm²/m)	Aço
	L1/L2 e L1/L3	N	1.05	1.11	Ø6.3 c/ 28
	L3/L2	N	1.05	1.11	Ø6.3 c/ 28
	L2/L4 e L3/L4	N	1.05	1.11	Ø6.3 c/ 28
	L3	P	1.05	1.11	Ø6.3 c/ 28
Plan1
	Dados
	LAJE	λ	Caso	Vx	vy	v'x	v'y	Rx (KN)	Ry (KN)	R'x (KN)	R'y (KN)
	L1	1.916	2B	3.52	1.83	5.15	8.87	4.61	12.978
	L2	1.06	2A	2.01	2.85	4.17	5.67	8.037	11.756
	L3	2.27	3	4.38	2.17	6.25	3.17	10.66	5.28	15.22	7.72
	p = cargas
	lx = menor vão teórico
Plan1
	Comprimento das armaduras negativas para uma barra
	LAJES	Aço	Lx	Lx	lb	lg	ce	c
	L1/L2	8.0	360	500	24	15	149 + 15	150 + 7,5+75
	L1/L3	8.0	360	500	24	15	149 + 15	150 + 7,5+75
	L2/L3	6.3	470	220	19	12	136,50 + 12	140 + 6 +6
Plan1
	Comprimento das armaduras negativas para duas barra
	LAJES	Aço	Lx	Lx	d	lg	comprimento estimado	comprimento 1	comprimento 2	comprimento total	c
	L1/L2	8.0	360	500	11.50	15	212.12	70.7	141.42	75+145 +15	220 +7,50 + 7,50
	L1/L3	8.0	360	500	11.50	15	212.12	70.7	141.42	75+145 +15	220 +7,50 + 7,50
	L2/L3	6.3	470	220	11.50	12	197.475	65.825	131.65	70 + 135 + 12	205 + 6 +6
Plan1
	Laje	Aço	c	Ly	comprimento
	L1/L2	6.3	2	490	486 + 6 + 6
	L1/L3	6.3	2	240	236 + 6 + 6
	L2/L3	6.3	2	520	516 + 6 + 6
	L2/L4	6.3	2	250	246 + 6 + 6
	L3/L4	6.3	2	240	236 + 6 + 6
Plan1
	Positivas	Tipo	número	Vão	Aço	Espaçamento	Quantidade	Quantidade adotada
	L1 - lx	Principal	N1	690	6.3	c/19	36.3157894737	36
	L1 - ly	Principal	N4	360	6.3	c/20	18	17
	L2 - lx	Principal	N2	470	6.3	c/20	23.5	23
	L2 - ly	Principal	N5	500	6.3	c/20	25	24
	L3 - ly	Distribuição	N3	220	6.3	c/28	7.8571428571	7
	L3 - lx	Principal	N6	500	6.3	c/14	35.7142857143	35
Plan1
	Negativas	Tipo	número	Vão	Aço	Espaçamento	Quantidade	Quantidade adotada
	L1/L2	Principal	N7	470	8.0	c/14	33.5714285714	66
	L1/L3	Principal	N8	220	8.0	c/14	15.7142857143	30
	L2/L3	Principal	N9	500	6.3	c/14	35.7142857143	70
	L2/L4 e L3/L4	Principal	N10	470	8.0	c/15	31.3333333333	31
Plan1
	Distribuição	Tipo	número	Vão	Aço	Espaçamento	Quantidade	Quantidade adotada
	L1/L2	Distribuição	N11	220	6.3	c/28	7.8571428571	7X2
	L1/L3	Distribuição	N12	220	6.3	c/28	7.8571428571	7X2
	L2/L3	Distribuição	N13	205	6.3	c/28	7.3214285714	7X2
	L2/L4 	Distribuição	N14	375	6.3	c/28	13.3928571429	13
	L3/L4	Distribuição	N15	375	6.3	c/28	13.3928571429	13
Plan1
	Canto	Tipo	número	Vão
Aço	Espaçamento	Quantidade	Quantidade adotada
	L1-1	Canto	NC1	90	6.3	c/33	2x2	4
	L1-2	Canto	NC2	90	6.3	c/33	2x2	4
	L2	Canto	NC3	118	6.3	c/33	2x3	6
Plan1
	Número	Aço (mm)	Quantidade	Unit. (m)	Total (m)
	N1	6.3	36	381	13716
	N2	6.3	23	521	11983
	N3	6.3	7	551	3857
	N4	6.3	17	717	12189
	N5	6.3	24	491	11784
	N6	6.3	35	241	8435
	N7	8.0	66	235	15510
	N8	8.0	30	235	7050
	N9	6.3	70	217	15190
	N10	8.0	31	390	12090
	N11	6.3	14	498	6972
	N12	6.3	14	248	3472
	N13	6.3	14	528	7392
	N14	6.3	13	258	3354
	N15	6.3	13	248	3224
	NC1	6.3	4	102	408
	NC1-1	6.3	4	102	408
	NC2	6.3	6	130	780
	Quadro Resumo
	Aço (mm)	Comp. Total	Massa (kg/m)	Massa Total +10% (kg)
	6.3	103164	0.245	* 27,802.70
	8.0	34650	0.395	* 15,055.43
Plan1
	LAJES	Ly	Lx	λ= Ly/Lx	Se λ<= 2 armada em duas 
	L1	690	360	1.92	Laje Armada em duas direções
	L2	500	470	1.06	Laje Armada em duas direções
	L3	500	220	2.27	Laje armada em uma direção
	L4	470	150	3.13	Laje armada em uma direção
	Ly = maior vão
	Lx = menor vão
Plan1
	Vinculação entre L1 e L2
	Lx	Ly	Resultado	Conclusão
	4.7	6.9	460	L1 está engastada em L2