AULA 1 TEORIA DO ERROS

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FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL I 
 
Aula I – Algarismos significativos, Arredondamento, Notação Científica e 
Teoria dos erros. 
Professora Tarcilene Heleno 
tarcileneheleno@gmail.com 
 
1 – Introdução 
 
As determinações experimentais envolvem medidas e como as medidas estão sempre 
sujeitas a alguma incerteza, é preciso fazer-se alguma estimativa dessas incertezas 
antes que os resultados possam ser interpretados ou usados. Assim, quando medimos 
uma grandeza um certo número de vezes, os valores obtidos provavelmente não 
serão idênticos devido aos erros experimentais. 
Assim, para analisar os resultados de uma experiência torna-se necessário, portanto, 
fixarem-se critérios para escolher o valor representativo e seu domínio de flutuação, e 
estabelecer-se o nível de confiança a tal domínio. Tais questões são objetos de 
estudos da teoria dos erros. 
Algumas Questões 
Surgem, então, as questões: 
1. Qual o valor mais representativo da grandeza? 
2. Que medida de dispersão usar para definir um intervalo de variação para a medida? 
3. Como se associar uma chance de reprodutibilidade (nível de confiança) a um dado 
intervalo? 
4. Como propagar os erros associados às grandezas medidas a outras grandezas 
calculadas a partir delas, através de expressões matemáticas? 
5. Ao realizar uma medida o resultado da mesma é obtido diretamente? Quando 
fazemos uma medida o resultado não é obtido de forma tão direta, pois a medida está 
sujeita a erros. 
6. Como utilizar o resultado se ele não é, ou não sabemos se é o Valor Verdadeiro da 
grandeza? E, se a grandeza tiver um caráter estatístico, ou seja, ela não possui um 
valor verdadeiro, mas pode assumir diversos valores. 
O que fazer? 
Estudaremos aqui a teoria dos erros, pois é frequentemente utilizada na Física 
Experimental. Para isso precisamos saber quais são os tipos de erros e a origem dos 
mesmos. 
Primeiro, iremos revisar alguns conceitos importantes: 
 
2 – Grandezas e unidades 
 
Uma grandeza física é uma propriedade de um corpo, ou particularidade de um 
fenômeno, susceptível de ser medida, ou seja, à qual se pode atribuir um valor 
numérico. As grandezas podem ser vetoriais ou escalares, conforme será mostrado na 
parte teórica do curso. 
As grandezas estudadas neste curso (geométricas, cinemáticas e dinâmicas), são 
expressas em função de três grandezas fundamentais: comprimento [L], massa [M] e 
tempo [T]. 
Unidades são nomes arbitrários relacionados às grandezas físicas adotadas como 
padrões. Exemplos: metro, tonelada, galão, polegada, segundo. 
 Em 1960, uma convenção internacional criou o Sistema Internacional de 
Unidades (SI) que foi adotado na maioria dos países. 
 
 
 Pesquisar outras unidades para as grandezas comprimento, massa e tempo. 
 
3 - Algarismos significativos 
Medir uma grandeza física é compará-la com outra grandeza de mesma 
espécie, que é a unidade de medida. Verifica-se, então, quantas vezes a unidade está 
contida na grandeza que está sendo medida. Em resumo, Grandeza Física é tudo 
aquilo que pode ser medido e associado um valor numérico e a uma unidade. 
Os algarismos significativos são os algarismos que têm importância na 
exatidão de um número, por exemplo, o número 2,67 tem três algarismos 
significativos. Se expressarmos o número como 2,6700, entretanto, temos cinco 
algarismos significativos, pois os zeros à direita dão maior exatidão para o número. 
Definição: Numa medida, são ditos significativos todos os algarismos contados a 
partir do primeiro não nulo (diferente de zero), ou seja, o zero a esquerda não conta 
como significativo. Pelo menos um algarismo duvidoso é incluído no resultado de uma 
medida, mesmo que ele seja zero. 
 Números que contenham potência de dez (notação científica por exemplo), serão 
algarismos significativos tudo, exceto a própria potência, 
 Zeros à esquerda não são algarismos significativos, como em: 
000000000003 apenas um algarismo significativo 
Exemplos: o número 35 tem dois algarismos significativos; o número 3,50 tem três; o 
número 0,047 tem dois; o número 2,8 x 104 tem dois algarismos significativos. 
Ao medir o comprimento do objeto da figura abaixo, usando uma régua 
milimetrada, é possível, neste caso, apresentar esta medida com no máximo três 
algarismos, ou seja, 29,4mm ou 2,94 cm. Neste resultado, os dois primeiros 
algarismos (2 e 9) temos certeza, enquanto que o algarismo 4 já é duvidoso, sendo 
estimando visualmente. Associar a esta medida um quarto algarismo, é errado, uma 
vez que este é desconhecido para a régua milimetrada. 
 
Toda medida contém geralmente uma margem de erro e, por isso, o resultado da 
medida deve ser escrito com um número de algarismos significativos tal que procure 
representar a precisão obtida para a medida. O último algarismo registrado é o 
duvidoso, porque ele é o algarismo sujeito as incertezas. 
 
Regras de aproximação de algarismos significativos: Às vezes é necessário fazer 
uma aproximação de um resultado de acordo com o número de significativos das 
medidas que lhes deram origem. Deste modo os dígitos excedentes são 
arredondados, usando-se os seguintes critérios: 
1- Se o primeiro dígito desprezado for um número variando entre 0 e 4, o anterior não 
será alterado; 
2- Se for de 5 a 9, o anterior é acrescido de uma unidade. 
Regras de operações com algarismos significativos: Nas operações com 
algarismos significativos deve-se preservar a precisão do resultado final. Valem, então, 
as seguintes regras: 
1- Na multiplicação e divisão o resultado final deve ser escrito com um número de 
significativos igual ao do fator com menor número de significativos. 
Exemplos: 
3,7 × 4,384 = 
0,632 / 0,20 = 
4,40 × 6242 = 
2- Em operações envolvendo inverso de números e multiplicação por fatores 
constantes, o número de significativos deve ser preservado no resultado. 
Exemplos: 
1 / 248 
 2 × 6,23 = 
 413,5  
3- Na soma e subtração o resultado final terá um número de decimais igual ao da 
parcela com menos decimais. 
Exemplos: 
3,4 + 0,256 – 2,22 = 1,4 
34 + 2,92 – 0,5 = 36 
4 . Arredondamento de Números 
Frequentemente ocorre que números devem ser arredondados. Por exemplo, na soma 
ou subtração de duas quantidades, as mesmas devem ser escritas com apenas um 
algarismo duvidoso. O arredondamento deve ser empregado na eliminação dos 
algarismos não significativos de um número. 
Suponha que uma determinada medida de temperatura foi apresentada na forma 
28,6348 0C; 28,3500ºC; 28,6500 ºC; 28,276ºC; 28,85007ºC 
e queremos apresentá-la somente com três algarismos significativos. Para os 
propósitos das práticas de laboratório desenvolvidas neste curso, serão adotadas as 
seguintes regras: 
a) Se o primeiro algarismo excedente for menor do que cinco, o algarismo anterior 
permanece inalterado (arredondamento para baixo); 
b) Se o primeiro algarismo excedente for maior do que cinco, ou cinco seguido de pelo 
menos um número diferente de zero, o algarismo anterior é aumentado de uma 
unidade (arredondamento para cima). 
c) Se o primeiro algarismo excedente for igual a 5 seguido apenas de zeros, faz-se 
com que o número fique par (caso o último algarismo que fica seja ímpar, soma-se a 
ele uma unidade para torná-lo par). Portanto, as medidas anteriores podem ser 
expressas como: 
28,6 ºC; 28,4 ºC; 28,6 ºC; 28,3 ºC; 28,9 ºC 
 
5. Notação Científica 
A maneira de se escrever o valor numérico em trabalhos científicos é 
preferencialmente a notação científica. Nesta notação escreve-se o número 
referindo-se à potência de dez, com a particularidade de se conservar à esquerda 
da vírgula, apenas um dígito, diferente de zero. Exemplos: 
125 
22,34 
0,00350 
1,0052 
A razão de se preferir a notação científica a qualquer outra é que elapermite a rápida 
visualização da grandeza (a potência de 10 ) e do número de algarismos significativos. 
 Exemplos: A medida 143,25 cm: 
 Notação Científica: 1,4325. 102. 
Nº. de Algarismos Significativos: cinco (1, 4, 3,2 e 5) 
Algarismos corretos: 1, 4,3 e 2 
Algarismo duvidoso: 5 
 A medida 0,00014 cm: 
Notação Científica: 1,4. 10-4. 
Nº. de Algarismos Significativos: dois (1 e 4) 
 Algarismos corretos: 1 
 Algarismo duvidoso: 4 
 Os zeros (0) à esquerda do algarismo 1 não são significativos. 
 
 
6 - Medidas diretas e indiretas 
Medida Direta: É a medida (leitura) obtida diretamente do instrumento de medida. Ex. 
altura (a leitura é feita diretamente na trena); tempo (leitura feita diretamente no 
cronômetro). Nesta categoria ainda temos: 
 Medida direta de uma única medida: Quando somente uma leitura é suficiente. 
Ex.: Medida da largura de uma mesa. Basta medirmos uma única vez. 
 Medida direta de várias medidas: Quando é necessário medirmos várias vezes 
a mesma grandeza para minimizar a imprecisão na medida. Ex.: tempo de 
queda de um corpo. Medimos várias vezes e tiramos à média. 
• Medida Indireta: É quando uma medida é obtida com o auxílio de uma equação. Por 
exemplo: a determinação da velocidade final de um corpo preso por um fio, em 
translação na direção vertical (aceleração constante). 
A velocidade final é expressa por: v = 2h / t. Para determinar a velocidade, utilizamos 
as medidas diretas: da altura e do tempo médio de percurso. 
 
7 - Classificação de erros 
 
As medidas experimentais são ordinariamente acompanhadas de alguma incerteza e 
esta incerteza limita o objetivo de se conhecer o valor verdadeiro da grandeza. Têm-
se, assim, os erros, os quais podem ser classificados nos seguintes tipos: 
Erros grosseiros são aqueles cometidos devido à falta de atenção ou de prática do 
operador. Deste tipo são os erros cometidos em operações matemáticas, enganos na 
leitura ou escrita de dados, ou engano na leitura duma escala. A possibilidade de 
ocorrência desses erros pode ser bastante reduzida pela atenção do operador e pela 
repetição das medidas e dos cálculos. 
Erros sistemáticos são aqueles decorrentes de causas constantes e se caracterizam 
por ocorrerem sempre com os mesmos valores e sinal. São deste tipo os erros 
devidos a aparelhos descalibrados, a métodos falhos, ao uso de equações 
incompletas, a condições ambientais inadequadas aos instrumentos de medida e a 
hábitos errados do operador. O modo de eliminarem-se esses erros, ou reduzi-los a 
um mínimo, é trabalhar com instrumentos calibrados os instrumentos devem estar 
"zerados" e, quando for o caso, com a calibração corrigida para as condições 
ambientais — com métodos corretos e equações adequadas. No caso de se ter 
medidas afetadas por um erro sistemático e se conheça seu valor e sinal, é possível 
eliminá-lo, já que ele entra com valor e sinal iguais em todas as medidas. 
Erros aleatórios decorrem de fatores imprevisíveis. Também chamados de erros 
aleatórios ou estatísticos, eles resultam do somatório de pequenos erros 
independentes e incontroláveis afetando o observador, o instrumento de medida, o 
objeto a ser medido e as condições ambientais. São causas desses erros, por 
exemplo, a variação do "milímetro" ao longo de uma reta milimetrada; a flutuação dos 
instrumentos de medida ligados na rede elétrica; a estimativa que o observador faz na 
leitura de dados, as pequenas variações da grandeza medida quando comparadas à 
sensibilidade do arranjo experimental (no caso de a variação da grandeza ser bem 
maior que a sensibilidade do arranjo experimental, a diferença entre as medidas deve 
ser atribuída à própria variação da grandeza). Sendo esses erros originados por um 
grande número de causas, todas elas provocando variações, para mais e para menos, 
de intensidade dentro da sensibilidade do arranjo experimental, eles obedecem a leis 
matemáticas bem definidas e podem ser tratados pela teoria estatística. 
8 • Noções sobre Teoria Estatística de Erros 
Se tentarmos efetuar uma série de medidas de uma mesma grandeza (tal como tempo 
de percurso de uma dada massa a uma altura fixa) empregando os mesmos métodos, 
os mesmos instrumentos de medida e nas mesmas condições experimentais, obtém-
se resultados diferentes. Sendo assim, que número deverá ser assumido como 
medida da grandeza? Qual o valor que melhor a representará? Qual a confiabilidade 
que uma série de medições pode inspirar? Como comparar entre si duas ou mais 
séries de medidas? A resposta a essas perguntas constitui o objeto da Teoria de 
Erros. 
O erro é inerente ao próprio processo de medida, isto é, nunca será completamente 
eliminado. Poderá ser minimizado procurando-se eliminar o máximo possível as fontes 
de erros acima citadas. Portanto, ao realizar medidas é necessário avaliar 
quantitativamente os erros cometidos. 
ERRO ABSOLUTO 
É a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real da 
mesma. 
É expresso na mesma unidade da medida. 
ERRO RELATIVO 
• É a razão entre o erro absoluto e o valor real da grandeza. 
• É expresso em termos percentuais e é adimensional. 
 
8.1 Variáveis Estatísticas 
8.1.1 Uma única medida (incerteza): 
O critério é o seguinte: Quando efetuamos uma uca medida tomamos como incerteza 
da medida a metade da menor subdivisão, desde que não seja fornecido pelo 
fabricante. 
Exemplo: Efetuando uma medida de um comprimento - largura de uma mesa, por 
exemplo: 62cm utilizando uma trena com precisão de 1 mm. A incerteza na medida 
será de: O, 5 mm que corresponde à metade da menor divisão da trena. Tal que a 
representação ficará então l = (620, 0± 0, 5) mm. O que significa que o valor medido 
está entre 619,5mm e 620,5mm, ou seja, possui uma incerteza de 0, 5 mm para mais 
ou para menos. 
 
8.1.2 Para Várias Medidas: 
Necessitamos primeiramente tirar a média das medidas (que será o valor mais 
provável da medida) e calcular o desvio, assim vejamos como se calculam essas 
quantidades. 
 Média 
Vamos representar uma medida da grandeza x por x1, uma segunda medida realizada 
nas mesmas condições de x1 da mesma grandeza x será representada por x2 e 
sucessivamente para as demais medidas. Dessa forma, x1, x2, x3, x4, x5,... ,Xn, 
representam um conjunto de medidas realizadas, da mesma forma e com as mesmas 
condições, de uma dada grandeza x. 
 Caso se tenha diferentes medidas para uma mesma grandeza, como 
expressamos o valor dessa grandeza? 
Para isso, utilizamos o valor médio. Uma vez que todas as medidas foram obtidas da 
mesma forma (com as mesmas condições), o peso atribuído a cada medida será o 
mesmo. Portanto, a média que utilizaremos será uma média aritmética simples: 
 
onde n corresponde ao número total de medidas realizadas. 
Obs: A barra horizontal sobre a grandeza x indica valor médio e o símbolo ∑: significa 
somatório. 
 
 Desvio Padrão 
Esse desvio nos dirá o quanto à respectiva medida estará distante do valor médio; se 
o desvio for negativo significa que a medida está abaixo da média; se o desvio for 
positivo significa que o valor da medida está acima da média. O desvio padrão 
atribuído à medida de uma dada grandeza é dado por: 
 
onde i corresponde a i-ésima medida e n o número total de medidas realizadas. 
Esta equação é utilizada quando temos menos de 100 medidas, ou seja, poucas 
medidas, sendo esta a equação que utilizaremos neste curso. 
 
 Como se representa um resultado experimental? 
Uma medida terá sentido somente quando se puder determinar, de uma forma ou de 
outra, o erro de que está afetada. Quando efetuamos uma medida ou várias medidas 
(nas mesmas condições, de uma mesma grandeza), o valor dessa grandeza deve ser 
expresso pela relação: 
𝑋 = 𝑥 ± 𝜎𝑥 unidade 
onde, no caso de uma únicamedida x é a própria medida e para várias medidas é a 
média dos valores medidos, e 𝜎𝑥 chamada de incerteza para uma única medida, e de 
desvio para várias medidas. Como obter tais quantidades é o que veremos a seguir. E 
para isso primeiramente vamos falar a respeito da classificação das medidas, e uma 
noção de estatísticas de erros. 
Incertezas na medida com um Instrumento 
A incerteza de uma medida é uma fração avaliada da menor divisão da escala 
utilizada, ou seja, é no algarismo duvidoso que reside a incerteza da medida. A 
incerteza de uma medida é o intervalo de incerteza fixado pelo operador com o sinal 
mais ou menos (±). Ela depende da perícia do observador, de sua segurança, de sua 
facilidade de leitura da escala, além do próprio aparelho ou instrumento utilizado na 
medição. 
Uma forma de apresentar a incerteza de uma medida é utilizar a metade da menor 
escala. Por exemplo, na Figura, a menor divisão da régua é 1 mm e a incerteza 
poderá ser, então, 0,5 mm. Assim, o resultado desta medida poderá ser escrito como: 
152,3 ± 0,5 mm. Alguns autores adotam como norma uma incerteza correspondente a 
10% da menor divisão da escala. No caso do exemplo da figura, o resultado poderia 
ser escrito como: 152,3 ± 0,1 mm. 
 
 Regras para representação do valor e do desvio de uma medida 
1-O desvio padrão, tanto da medida direta quanto da medida indireta, deverá ser 
expresso com dois algarismos significativos; 
2- O desvio avaliado deverá ser escrito com um algarismo significativo; 
3-O valor da medida deverá sempre ter o mesmo número de casas decimais que o 
desvio. Seja ele o desvio padrão ou avaliado; 
4-O desvio tem a mesma unidade que a medida. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Escreva os resultados das operações abaixo com o número correto de algarismos 
significativos. 
 
 
2. Considere a Figura abaixo: 
 
a) Como deve ser expresso o comprimento da barra? 
b) Quais são os algarismos corretos e o duvidoso desta medida? 
c) Expresse sua medida também em função da incerteza. 
 
3. Uma pessoa sabe que o resultado de uma medida deve ser expresso apenas com 
algarismos significativos. Se esta pessoa lhe disser que a velocidade de um carro era 
de 153 Km/h, 
a) Quais são os algarismos que ela leu no velocímetro analógico? 
b) Qual foi o algarismo duvidoso avaliado pela pessoa? 
 
4. A temperatura de um menino foi medida usando-se dois termômetros diferentes, 
encontrando-se 36,8ºC e 36,80ºC. 
a) Qual é o algarismo duvidoso da primeira medida? 
b) Na segunda medida o algarismo 8 é o duvidoso ou correto? Justifique. 
 
5. Considerando as regras de arredondamento, escreva as medidas seguintes com 
apenas três algarismos significativos: 
a) 272,92 cm 
b) 6,545 g 
c) 12,67 s 
d) 78,90 N 
 
6. Um estudante precisa realizar a seguinte soma, de tal forma que o resultado 
contenha apenas algarismos significativos: 77,12 cm + 2,6 cm. Qual é o resultado da 
adição? 
 
7.Considere a multiplicação: 345,7 x 2,34. Responda: 
a) Qual dos fatores possui o menor número de algarismos significativos? 
b) Com quantos algarismos devemos apresentar o resultado da multiplicação? 
c) Escreva o resultado apenas com algarismos significativos 
d) Seria aceitável apresentar 808,9 como resultado? e 808,94? Justifique. 
 
8. Ao medir o comprimento de uma estrada, um agrimensor encontrou 75 km. 
a) Qual o algarismo duvidoso desta medida? 
b) É aceitável escrever esta medida como 75000 m? Por quê? 
c) Qual é a maneira certa de se expressar esta medida em metros, sem deixar dúvidas 
quanto aos algarismos significativos? 
 
9. Mediu-se um objeto com uma régua milimetrada utilizando-se um desvio avaliado 
de 0,4 mm. Diga quais medidas estão corretas, do ponto de vista do número de 
algarismos significativos. 
a) 3,54 mm ; b) 4,30 cm ; c) 8,9 mm ; d) 0,873 m ; e) 4 mm ; f) 0,3452 m ; g) 0,456 dm.